随机微积分问题

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1.请问，对于被积函数为随机过程，积分变量为普通参数积分，例如Ito过程定义中的L积分，shreve的书说其仍适用于ordinary 微积分，但是这个积分应该是用L2极限定义的，不应该是均方意义下的极限，积分等等么。另外对于确定的，非随机的，有非零二次变差的函数有针对它们的推广的“微”积分么？
2.请问ito公式的适用范围，我理解是ito公式是经典微积分中微分公式的在具有非零二次变差的函数上的推广，自然，它也适用于二次变差为零的函数。同时，其是针对随机过程的，那么对于1中说的确定的，非随机的，有非零二次变差的函数ito公式适用么？或者有类似的推广？

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关键词：随机微积分 微积分 Ordinary shreve 随机过程 ordinary 微积分 极限 经典 推广

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萧焚 发表于 2014-11-9 02:00
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1）shreve说的适用我觉得应该是一种实际上的应用，例如很多用法结论表面上很像，但是背后的数学逻辑是有区别的。shreve的书本身就不是数学书所以很多东西其实不是很严谨，还是偏重金融中的运用。
2）随机数学里面的微分只是一个符号，或者说是积分的一种简写。
3）应该work，比如说一段段分段的阶梯函数，其实有点像代jump的Ito公式，阶梯函数可以看作jump大小和时间都已知的函数，你可以看shreve的最后一章关于代jump的随机过程的Ito公式。就是一个推广

Chemist_MZ 发表于 2014-11-9 11:42
1）shreve说的适用我觉得应该是一种实际上的应用，例如很多用法结论表面上很像，但是背后的数学逻辑是有区别 ...

我现在还是在入门，我对于有些东西有时喜欢去想，一个结果就是在一个地方上待好久，这样又觉得效率低。
比如对于广义GBM，他是SDE  ds(t)=a(t)s(t)dt+c(t)s(t)dw(t)的唯一解，依这个，可以得到s(t)是一个ito过程，解出来s(t)是一个指数为ito过程的“指数”过程。shreve又在证明以为levy定理时提到ito公式的证明中提到只用到了BM的连续路径以及二次变差，这个是暗示ito公式的适用范围不限于BM么（此处包含包括由BM导出的ito过程）。
另外经典微积分针对二次变差为0的，几乎处处连续函数。二次变差不为0的函数在金融中找到了用武之地，而其三次变差为0，一次变差无穷。那么三次变差不为0的函数呢?乃至n次？

萧焚 发表于 2014-11-9 13:26
我现在还是在入门，我对于有些东西有时喜欢去想，一个结果就是在一个地方上待好久，这样又觉得效率低。
...

爱想绝对是好事，开始的时候基础的概念和大框架想明白了后面那些技术细节就很容易掌握。

1）Yes，不光对BM，还是举带跳的过程，他可以对passion process（compensated，compound）定义Ito积分，对于很多martingale都可以定义Ito积分（参考shreve最后一章），我不是学数学的所以可能话不是说得很严谨，但是you know what I mean。

2）想象一下，如果每时每刻都可以发生一个强度为随机的jump，如果jump的次数是无限的话可以相见他的quadratic variation是无限的。这方面你可以去看Levy process，他是一类介于纯跳和纯连续(BM)process之间的process。简单不严谨得说就是jump的强度满足一个distribution （levy density）。但是数学要求极高，建议还是先把经典的随机金融掌握了再说。

Chemist_MZ 发表于 2014-11-9 20:55
爱想绝对是好事，开始的时候基础的概念和大框架想明白了后面那些技术细节就很容易掌握。

1）Yes，不光 ...

你有思考过：在非随机环境下，一元函数中，存在二次变差在任意给定区间上不为0的函数么？魏尔斯特拉斯函数？其二次变差是怎样的？在排除掉这些特意构造的函数中那些除了否定原命题之外没有其他作用的函数，结果又是怎样的。

萧焚 发表于 2014-11-11 01:47
你有思考过：在非随机环境下，一元函数中，存在二次变差在任意给定区间上不为0的函数么？魏尔斯特拉斯函数 ...

I am a finance guy so I don't consider those that is not useful in finance. Pricing is based on several so-called market "facts" such as lognormal assumption, fat tail, jump. It's original motivation is not pure mathematics.
And, it is really hard for me to understand this sentence, too complicated. "在排除掉这些特意构造的函数中那些除了否定原命题之外没有其他作用的函数"

Again, your question is a good mathematical question. But to me I won't bother to think about it.

回复不了，我就在底下写了。
谢谢版主耐心的回复。我那句话的意思是：对于一个命题，可能存在一些反例足以否定改命题，但是对于这些反例中那些只是用来否定该命题的，在应用中不予以考虑，原因在于这些反例往往在现实中发生的概率为0.
我思考这个是因为：随机微积分在金融中很有用。而随机微积分不同于经典微积分在于三点，1。积分变量为一个随机过程2.把随机性放在极限过程中予以考虑而不放在被积函数或积分变量中（这与一不矛盾，毕竟积分变量只是符号上的写法，逻辑上，其实我没有弄清楚，目前认为是给定样本点，作为确定的一个和来考虑，然后再考虑随机性，这样随机性便被放在极限过程中了）3.被积函数，这个我认为不是关键之处。
主要区别在于1与2，我之前问的确定性环境下存在二次变差不为零的函数便是出于此考虑，因为所谓的“经典微积分处理二次变差为零，几乎处处联系的函数，随机微积分可以处理二次变差不为零的函数”
考虑这个是想三次变差不为零的函数是否存在？若存在能否应用已金融中，并给予基于现有理论的模型以显著性的改进？在学术与实务中均有意义。