实分析与泛函分析[讨论帖]

Rudin的书是研究生用的

武大刘培德的实变和泛函不错，简明，关键书不厚

请问下学实分析需要什么基础

非常感感谢分享。感谢楼主。。。。

45# szwjll
证明长短根本不能说明任何问题  对读者没有任何用处 关键是要写的通俗直观  让读者能看懂 理解透彻 那才是王道

szwjll 发表于 2009-8-12 13:58
我在上面说张建平丘京辉的《实变函数》写得极为精练。
现在举几个例子比较一下。
周民强书上的定理1.7（可列个可列集之并为可列集），证明要一定的篇幅，而该书给出的证明仅二行半（定理1.4.3）。
周民强书上的定理1.10（[0，1]不是可数集），证明要大半页，而该书给出的证明仅一行（定理1.5.3）。
周民强书上的定理1.1.7（Cantor闭集套定理），证明要一定的篇幅，并且读者自己还要补充一些细节的证明，而该书给出的证明仅三行（定理2.4.3），而读者不须再补充什么。
周民强书上的定理2.4（距离外测度性质），证明较长（要先证明引理2.3），而该书给出的证明仅三行（命题3.4.8），且不需要引理。
在“点集间的距离”一节中，周民强先给出定理1.24（用覆盖定理来证明），再给出推论1.26（无证明），若要给出推论1.26的证明，则要按照定理1.24的思路用覆盖定理再来一次。而在该书中，先给出周书推论1.26的简洁证明（定理2.6.1），再把周书定理1.24作为其推论，这时理由是极为简单的，真的用不着写出来。
另外，该书在不少方面的论述（例如开集闭集的性质、函数的连续性、勒贝格积分与黎曼积分的关系等），比那些“大部头”专著讲得更为透彻。

证明长短有毛用  关键是要通俗直观透彻深刻 那才是王道

求教 ：rudin, real and complex analysis（机工版）第8页

定义了在集合X上的topology和sigma-algebra,我在仔细对比了两个定义，发现差别仅是TOPOLOGY中对可数和不可数的并运算封闭，而sigma-algebra只对可列并运算封闭。

请高手 指教下这两个定义这么弄有什么差别 ，这样定义的意义在哪里，是不是topology的定义比sigma-algebra要宽泛？还是别的 。。。

请版主删掉那些与具体问题无关的帖，讨论哪个教材好意义不大，关键是 看懂一本教材就行 。

kickyras 发表于 2010-12-16 09:59
求教 ：rudin, real and complex analysis（机工版）第8页

定义了在集合X上的topology和sigma-algebra,我在仔细对比了两个定义，发现差别仅是TOPOLOGY中对可数和不可数的并运算封闭，而sigma-algebra只对可列并运算封闭。

请高手 指教下这两个定义这么弄有什么差别 ，这样定义的意义在哪里，是不是topology的定义比sigma-algebra要宽泛？还是别的 。。。

这是两个不同数学分支的内容，一个是拓扑的内容，一个是测度的内容，实际上topology定义中给出的性质都是开集所具有的性质，而sigma-algebra定义中除了并运算不同之外，还有一条是对补运算的封闭性（这在topology中是不具备的）。
定义了一个集合的拓扑后，就有了开集的概念，从而就可以研究这个集合上函数的连续性，有了集合上的sigma代数的概念之后，就可以在这个sigma代数上定义测度，进而可以定义可测函数以及可测函数的积分了

mysteve 发表于 2009-1-20 14:28
集合的开闭是相对于所在空间的，[0,1]对R1是闭的，对R2就不是闭的。而紧集不取决于被安置的空间，这是集合自身的性质。

R1与R2是不同的空间彼此不具同构，
因此在谈时一定要是同一个空间，
在谈「[0,1]对R1是闭的，对R2就不是闭的」的说法上是有问题的。

另外如果定义T={(x,y)εR2 | x=[0,1],y=0}，基本上T是closed在R2上的，
因为你可找到有限个open
ball盖住他。

集合开闭与所知确实应当与所在空间有关，楼上举的例子有点问题。(0,1)在R1上是开的。
定义T=｛（x,y）在R2|x=(0,1),y=0｝,在R2上不是开的，因为T所有点都不是内点。
我初学，对紧集的概念不太理解，开集不也可以被有限个子覆盖盖住吗？
另外，如果集合E没有极限点，那么E是否闭集？像上边定义的集合T，其中的点是否极限点？