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本科生数学基础课教材。
作者简介 伍胜健，北京大学数学科学学院教授、博士生导师。1992年在中国科学院数学研究所获博士学位。主要研究方向是复分析。在北京大学长期讲授数学分析、复变函数、复分析等课程。
| 第一章 函数 |
| §1.1 实数 |
| 1.1.1 数集 |
| 1.1.2 实数系的连续性 |
| 1.1.3 有界集与确界 |
| 1.1.4 几个常用不等式 |
| 1.1.5 常用记号 |
| §1.2 函数的概念 |
| 1.2.1 函数的定义 |
| 1.2.2 由已知函数构造新函数的方法 |
| §1.3 函数的性质 |
| 1.3.1 函数的有界性 |
| 1.3.2 函数的单调性 |
| 1.3.3 函数的周期性 |
| 1.3.4 函数的奇偶性 |
| §1.4 初等函数 |
| 习题一 |
| 第二章 序列的极限 |
| §2.1 序列极限的定义 |
| 2.1.1 序列 |
| 2.1.2 序列极限的定义 |
| 2.1.3 无穷小量 |
| 2.1.4 无穷大量 |
| §2.2 序列极限的性质 |
| §2.3 单调收敛原理 |
| 2.3.1 单调收敛原理 |
| 2.3.2 无理数e和欧拉常数c |
| §2.4 实数系连续性的基本定理 |
| 2.4.1 闭区间套定理 |
| 2.4.2 有限覆盖定理 |
| 2.4.3 聚点原理 |
| 2.4.4 柯西收敛准则 |
| §2.5 序列的上、下极限 |
| 习题二 |
| 第三章 函数的极限与连续性 |
| §3.1 函数的极限 |
| 3.1.1 函数极限的定义 |
| 3.1.2 函数极限的性质 |
| 3.1.3 函数极限概念的推广 |
| 3.1.4 序列极限与函数极限的关系 |
| 3.1.5 极限存在性定理和两个重要极限 |
| §3.2 函数的连续与间断 |
| 3.2.1 函数的连续与间断 |
| 3.2.2 连续函数的性质 |
| 3.2.3 初等函数的连续性 |
| §3.3 闭区间上连续函数的基本性质 |
| §3.4 无穷小量与无穷大量的阶 |
| 习题三 |
| 第四章 导数与微分 |
| §4.1 导数 |
| 4.1.1 导数概念的引入 |
| 4.1.2 导数的定义 |
| 4.1.3 单侧导数 |
| §4.2 求导数的方法 |
| 4.2.1 函数四则运算的导数 |
| 4.2.2 反函数的求导法则 |
| 4.2.3 复合函数的求导法则 |
| 4.2.4 隐函数的求导法 |
| 4.2.5 参数式函数的求导法 |
| 4.2.6 极坐标式函数的求导法 |
| §4.3 微分 |
| 4.3.1 微分的定义 |
| 4.3.2 一阶微分的形式不变性 |
| §4.4 高阶导数与高阶微分 |
| 4.4.1 高阶导数 |
| 4.4.2 莱布尼茨公式 |
| 4.4.3 一般函数的高阶导数 |
| 4.4.4 高阶微分 |
| 习题四 |
| 第五章 导数的应用 |
| §5.1 微分中值定理 |
| 5.1.1 费马定理 |
| 5.1.2 罗尔微分中值定理 |
| 5.1.3 拉格朗日微分中值定理 |
| 5.1.4 柯西微分中值定理 |
| §5.2 洛必达法则 |
| 5.2.1 0/0型不定式 |
| 5.2.2 ∞/∞型不定式 |
| 5.2.3 其他类型不定式 |
| §5.3 泰勒公式 |
| 5.3.1 带佩亚诺余项的泰勒公式 |
| 5.3.2 带拉格朗日余项的泰勒公式 |
| 5.3.3 拉格朗日插值多项式 |
| §5.4 利用导数研究函数 |
| 5.4.1 函数的单调性 |
| 5.4.2 函数的极值 |
| 5.4.3 函数的凹凸性 |
| 5.4.4 拐点 |
| 5.4.5 渐近线 |
| 5.4.6 函数的作图 |
| 习题五 |
| 第六章 不定积分 |
| §6.1 原函数与不定积分 |
| 6.1.1 原函数与不定积分的概念 |
| 6.1.2 基本不定积分表和不定积分的线性性质 |
| §6.2 换元法与分部积分法 |
| 6.2.1 第一换元法 |
| 6.2.2 第二换元法 |
| 6.2.3 分部积分法 |
| §6.3 其他类型函数的不定积分 |
| 6.3.1 有理函数的不定积分 |
| 6.3.2 三角函数有理式的不定积分 |
| 6.3.3 无理函数的不定积分 |
| 习题六 |
| 第七章 定积分 |
| §7.1 定积分的概念与微积分基本定理 |
| 7.1.1 曲边梯形的面积 |
| 7.1.2 定积分的定义 |
| 7.1.3 定积分的几何意义 |
| 7.1.4 连续函数的可积性 |
| 7.1.5 微积分基本定理 |
| §7.2 可积性问题 |
| 7.2.1 可积的必要条件 |
| 7.2.2 达布理论 |
| 7.2.3 可积函数类 |
| §7.3 定积分的性质 |
| §7.4 原函数的存在性与定积分的计算 |
| 7.4.1 变限定积分 |
| 7.4.2 定积分的计算 |
| §7.5 定积分中值定理 |
| 7.5.1 定积分第一中值定理 |
| 7.5.2 定积分第二中值定理 |
| §7.6 定积分在几何学中的应用 |
| 7.6.1 直角坐标系下平面图形的面积 |
| 7.6.2 参数方程表示的曲线所围平面图形的面积 |
| 7.6.3 微元法 |
| 7.6.4 极坐标方程表示的曲线所围平面图形的面积 |
| 7.6.5 平行截面面积为已知的立体的体积 |
| 7.6.6 曲线的弧长 |
| 7.6.7 旋转体的侧面积 |
| §7.7 定积分在物理学中的应用 |
| 习题七 |
| 第八章 广义积分 |
| §8.1 无穷积分的基本概念与性质 |
| §8.2 无穷积分敛散性的判别法 |
| §8.3 瑕积分 |
| 8.3.1 瑕积分的概念 |
| 8.3.2 瑕积分敛散性的判别法 |
| 习题八 |
| 第九章 数项级数 |
| §9.1 数项级数的基本概念 |
| 9.1.1 数项级数的基本概念 |
| 9.1.2 柯西准则 |
| §9.2 正项级数 |
| 9.2.1 比较判别法 |
| 9.2.2 达朗贝尔判别法与柯西判别法 |
| 9.2.3 拉贝判别法 |
| 9.2.4 柯西积分判别法 |
| §9.3 任意项级数 |
| 9.3.1 交错级数的敛散性 |
| 9.3.2 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 |
| §9.4 数项级数的性质 |
| 9.4.1 结合律 |
| 9.4.2 交换律 |
| 9.4.3 级数的乘法（分配律） |
| §9.5 无穷乘积 |
| 习题九 |
| 第十章 函数序列与函数项级数 |
| §10.1 函数序列与函数项级数的基本问题 |
| §10.2 一致收敛的概念 |
| §10.3 函数序列与函数项级数一致收敛的判别法 |
| 10.3.1 柯西准则 |
| 10.3.2 一致收敛的判别法 |
| §10.4 一致收敛的函数序列和函数项级数 |
| 10.4.1 极限函数的连续性 |
| 10.4.2 极限函数的积分 |
| 10.4.3 极限函数的导数 |
| 习题十 |
| 第十一章 幂级数 |
| §11.1 幂级数的收敛半径与收敛域 |
| 11.1.1 幂级数的收敛半径与收敛域 |
| 11.1.2 收敛半径的求法 |
| §11.2 幂级数的性质 |
| §11.3 初等函数的幂级数展开 |
| 11.3.1 泰勒级数 |
| 11.3.2 初等函数的泰勒展式 |
| §11.4 连续函数的多项式逼近 |
| 习题十一 |
| 第十二章 傅里叶级数 |
| §12.1 函数的傅里叶级数 |
| 12.1.1 基本三角函数系 |
| 12.1.2 周期为2π的函数的傅里叶级数 |
| 12.1.3 正弦级数与余弦级数 |
| 12.1.4 周期为2T的函数的傅里叶级数 |
| §12.2 傅里叶级数的敛散性 |
| 12.2.1 狄利克雷积分 |
| 12.2.2 傅里叶级数的收敛判别法 |
| §12.3 傅里叶级数的其他收敛性 |
| 12.3.1 连续函数的三角多项式一致逼近 |
| 12.3.2 傅里叶级数的均方收敛 |
| 12.3.3 傅里叶级数的一致收敛性 |
| 习题十二 |
| 第十三章 多元函数的极限和连续 |
| §13.1 欧氏空间Rn |
| 13.1.1 欧氏空间Rn |
| 13.1.2 点列极限 |
| 13.1.3 聚点 |
| 13.1.4 开集与闭集 |
| 13.1.5 欧氏空间Rn 中的基本定理 |
| §13.2 多元函数与向量函数的极限 |
| 13.2.1 多元函数的概念 |
| 13.2.2 多元函数的极限 |
| 13.2.3 累次极限 |
| 13.2.4 向量函数的定义与极限 |
| §13.3 多元连续函数 |
| 13.3.1 多元连续函数 |
| 13.3.2 多元连续向量函数 |
| 13.3.3 集合的连通性 |
| 13.3.4 连续函数的性质 |
| 13.3.5 同胚映射 |
| 习题十三 |
| 第十四章 多元微分学 |
| §14.1 偏导数与全微分 |
| 14.1.1 偏导数 |
| 14.1.2 方向导数 |
| 14.1.3 全微分 |
| 14.1.4 梯度 |
| 14.1.5 向量函数的导数与全微分 |
| §14.2 多元函数求导法 |
| 14.2.1 导数的四则运算 |
| 14.2.2 复合函数的求导法 |
| 14.2.3 高阶偏导数68 |
| 14.2.4 复合函数的高阶偏导数 |
| 14.2.5 一阶微分的形式不变性与高阶微分 |
| §14.3 泰勒公式 |
| §14.4 隐函数存在定理 |
| 14.4.1 单个方程的情形 |
| 14.4.2 方程组的情形 |
| 14.4.3 逆映射存在定理 |
| §14.5 多元函数的极值 |
| 14.5.1 通常极值问题 |
| 14.5.2 条件极值问题 |
| §14.6 多元微分学的几何应用 |
| 14.6.1 空间曲线的切线与法平面 |
| 14.6.2 曲面的切平面与法线 |
| 14.6.3 多元凸函数 |
| 习题十四 |
| 第十五章 重积分 |
| §15.1 重积分的定义 |
| 15.1.1 Rn 空间中集合的体积 |
| 15.1.2 重积分的定义 |
| §15.2 多元函数的可积性理论与重积分的性质 |
| 15.2.1 达布理论 |
| 15.2.2 重积分的性质 |
| §15.3 化重积分为累次积分 |
| 15.3.1 化二重积分为累次积分 |
| 15.3.2 化三重积分为累次积分 |
| §15.4 重积分的变量替换 |
| 15.4.1 重积分的变量替换公式 |
| 15.4.2 利用变量替换计算重积分 |
| §15.5 广义重积分 |
| 15.5.1 无穷重积分的基本概念 |
| 15.5.2 无穷重积分敛散性的判定 |
| 15.5.3 瑕重积分 |
| 习题十五 |
| 第十六章 曲线积分与曲面积分 |
| §16.1 第一型曲线积分 |
| 16.1.1 第一型曲线积分的定义 |
| 16.1.2 第一型曲线积分的存在性与计算公式 |
| §16.2 第二型曲线积分 |
| 16.2.1 第二型曲线积分的定义 |
| 16.2.2 第二型曲线积分的存在性与计算公式 |
| §16.3 第一型曲面积分 |
| 16.3.1 曲面的面积 |
| 16.3.2 第一型曲面积分的定义 |
| 16.3.3 第一型曲面积分的存在性与计算公式 |
| §16.4 第二型曲面积分 |
| 16.4.1 曲面的侧 |
| 16.4.2 第二型曲面积分的定义 |
| 16.4.3 第二型曲面积分的存在性与计算公式 |
| §16.5 各类积分之间的联系 |
| 16.5.1 格林公式 |
| 16.5.2 高斯公式 |
| 16.5.3 斯托克斯公式 |
| §16.6 微分形式简介 |
| 16.6.1 微分形式 |
| 16.6.2 微分形式的外积 |
| 16.6.3 外微分 |
| §16.7 曲线积分与路径的无关性 |
| §16.8 场论简介 |
| 16.8.1 数量场的梯度 |
| 16.8.2 量场的向量线 |
| 16.8.3 量场的散度 |
| 16.8.4 量场的旋度 |
| 16.8.5 一些重要算子 |
| 习题十六 |
| 第十七章 含参变量积分 |
| §17.1 含参变量定积分 |
| §17.2 含参变量广义积分 |
| 17.2.1 含参变量无穷积分 |
| 17.2.2 含参变量无穷积分的性质 |
| 17.2.3 含参变量瑕积分 |
| §17.3 г函数与B函数 |
| 17.3.1 г函数 |
| 17.3.2 B函数 |
| 17.3.3 г函数与B函数的关系 |
| 习题十七 |
| 部分习题答案与提示 |
京公网安备 11010802022788号
