随机游走模型stochastic trend问题

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在random walk model里，如果没有b0,那么Yt=Y0+∑ut，如果有b0,那么Yt=Y0+ta+∑ut.我拿第二种情况问问题。

在老师的PPT里显示着，E(Yt)=E(Y0+ta+∑ut)=ta+Y0.

1.       我可以理解E(Y0)=0,但为什么E(ta)=ta? E(∑ut)=0?

2.       对于E(∑ut)=0，我个人的理解是：E(∑ut)=E(u1+u2+…+ut)=E(u1|X1)+E(u2|X2)+…+E(ut|xt)因为有经典回归假设E(ui|Xi)=0，所以上式=0，这样理解正确吗？

3.       根据经典回归假设，如果E(ui|Xi)=0，那么我可否认为∑(u1|X1)= ∑(u2|X2)=…=0?也就是对于一给定的X值，所有可能出现的u的总合为0。

4.       既然E(∑ut)=0，那么我认为∑ut=∑(u1+u2+…+ut)=∑(u1|X1)+∑(u2|X2)+…∑(ut|Xt)=0，这样正确吗？

5.       如果3是正确的，那为什么我们把∑ut作为stochastic component放在random walk mode里？而不是把它当作0删掉？

6.       计量经济学里，Y拔和E(Y)是两个不同的概念吗？我的理解是Y拔是所有观测到的样本的Y值得均值，而E(Y)是E(Yi|Xi),也就是给定某一X值之后所有可能出现的Y值的期望。这样理解正确吗？

请高手解答。详细些,我计量经济学学的不是很好，感觉很多基础的东西都没弄懂。但是关系到我马上要到的期末考，所以解答的人请耐心，many thanks！！！想了一晚上想的头都痛了。尤其是第4个问题，谢指教！！

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关键词：Stochastic Stochast trend stoc 随机游走 模型 经典

哦，我还忘了一个问题，对于Yt=Y0+ta+∑ut来说，为什么Var(Yt)=Var(ut)=𝜎^2?为什么和t无关？可以列一下详细的计算过程吗？

在Yt=Y0+ta+∑ut模型中，Y0是随机过程的起点项，a是漂移，∑ut是纯粹的随机过程。

所谓纯粹的随机过程∑ut，实际就是ut~N(0,K^2)，同时u1，u2，…，ut之间独立不相关。因此自然有
E(∑ut)=E(u1+u2+…+ut)=E(u1)+E(u2)+…+E(ut)=0+0+…+0=0。
Var(∑ut)=Var(u1+u2+…+ut)=Var(u1)+Var(u2)+…+Var(ut)=K^2+K^2+…+K^2=t*K^2。
也就是说
                      ∑ut~N(0,t*K^2)
要注意的是：这里的∑ut是随机变量，∑ut不等于0，而是其期望值为0！(E(∑ut)= 0。)
另外，Y0是随机过程的起点项，对模型而言它不是随机变量，而是一个常数(可调整的常数)，既然是常数当然有E(Y0)=Y0。同样的原因a*t是漂移项，对模型而言它也不是随机变量，而是一个常数(可调整的常数)，当然也有E(a*t)=a*t。
如果再考虑Y0，t*a，∑ut三项之间彼此独立不相关，则很快就可以得到
       E(Yt)=E(Y0+t*a+∑ut)=E(Y0)+E(t*a)+E(∑ut)=t*a+Y0+0=t*a+Y0.
       Var(Yt)=E(Yt-E(Yt))^2=E(Y0+t*a+∑ut-(Y0+t*a))^2= E(∑ut)^2=Var(∑ut)=t*K^2.

希望能够帮到你！

非常感谢非常感谢！