超级经典的文章《谈公平》，从数学角度论证为什么资本家拿大头

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<p>贴在马克思板块，实在能看懂的人不多，而且有心看的人不多。还是贴在这里。</p><p>原文出处：<a href="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/index.html">http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/index.html</a></p><p><table cellspacing="0" cellpadding="0" width="720" border="0"><tbody><tr valign="top"><td valign="middle" align="center" width="580" bgcolor="#ffffff"><p></p><div class="title"><font face="標楷體"><font size="6">談公平</font></font></div><p><font face="標楷體" size="5">楊照崑</font><br/>      </p><p><table width="400" align="center" border="0"><tbody><tr><td><ul type="square"><font class="side" size="2"><li><a href="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/index.html#01_SECTION0001">前言</a><br/>             </li><li><a href="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/page2.html#02_SECTION0002">謝卜勒 (Shapley) 公平三原則</a><br/>             </li><li><a href="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/page3.html#03_SECTION0003">謝氏定理一些有趣的結果</a><br/>             </li><li><a href="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/page4.html#04_SECTION0004">一點感想</a><br/>             </li></font></ul></td></tr></tbody></table></p></td><td width="10" bgcolor="#ffffff"> </td></tr></tbody></table><!--Element not supported - Type: 8 Name: #comment--><table cellspacing="0" cellpadding="0" width="720" border="0"><tbody><tr><td width="10" bgcolor="#ffffff"> </td><td width="580" bgcolor="#ffffff"><p><!--Element not supported - Type: 8 Name: #comment--></p><p><!--Element not supported - Type: 8 Name: #comment--><!--Element not supported - Type: 8 Name: #comment--><a name="01_SECTION0001"></a><br/><table cellspacing="0" cellpadding="5" width="480" border="0"><tbody><tr><td width="480" bgcolor="#cedbff" height="40"><font class="seclev1" face="標楷體" size="5">前言</font></td></tr></tbody></table><!--Element not supported - Type: 8 Name: #comment--></p><p>「員工拼死幹活，老闆毫無表示，員工創造利潤，有權要求分享<span class="MATH"><img height="14" alt="$\cdots\cdots$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img1.gif" width="44" align="bottom" border="0"/></span>」這是黃凡近著，〈財閥〉長篇小說中工人向資本家要求公平待遇的口號。生動的刻劃出了一些社會上的不平之鳴。「不平」，不但受害人覺得委曲，就是旁觀者也憤怒難忍，仁者悲天憫人，奔走呼號，勇者路見不平，拔刀相助，而對一個求智者而言，我們能不能客觀的決定怎樣才是公平？是資本家剝削得太厲害，還是勞工要求過份？您也許不會相信一個簡單的數學公式就可以基本上瞭解這個問題，而且讓我們看到一幅嶄新的圖畫，體會到人間的真理。 </p><p></p><p>有人說過問題是數學的靈魂。那麼我們就從問題開始吧。假定有一個資本家（廠主）、一個工程師及二個工人。資本家有工廠，但若沒有工程師及工人則不能賺錢。若資本家與工程師合作，沒有工人，則二人大才小用，做些工人的工作，每月可賺三萬元，若加一個工人，因工人有體力技術，效率大增，三人合作每月可賺6萬元，若再加一工人，則一月可賺9萬元。但若只有廠主與工人沒有工程師，則工廠亦不能開工。現在問這9萬元的利潤要如何分配方為公平合理？（請注意這九萬元完全是利潤，工廠保養、資金利息、股東紅利均已扣除。） </p><p></p><p>廠主可能對工人說：我們二一添作五，一個月給你一萬五吧。 </p><p></p><p>工人可能會回答，這豈不是太黑。我們每人每月為工廠「淨」賺三萬。給我們一人二萬有何不可？這樣你們仍可以白白分到我們勞工所創的二萬利潤。何必貪得無厭。 </p><p></p><p>廠主會說：笑話，我不給你工作，別說一萬五，你一毛都賺不到，給你一萬五還人心不足！於是紛爭遂起，工說工有理，主說主有理。那麼聰明的你會站在那一邊呢？我們能用理智來解決這個分配問題嗎？在往下看之前，我希望您暫時合起本文，閉眼想一想這個問題應如何著手解決。先自己想清楚再看答案是增加數學趣味及功力的重要法則。 </p><p></p><p>想好了？那麼我先告訴您答案，一個相當公平的分配應是廠主與工程師各得三萬五，二個工人各得一萬元。不公平？不，再找不到比這公平的法則了。 </p><p></p><p>在談到數學之前，我們可以看看這個問題的博大精深。幾乎所有的經濟問題都與這個問題有關。醫院賺大錢，醫生、護士、技師、警衛均不可少，他們要如何分配這筆大錢？學校中校長、教員、職員、工友在待遇上應有何差別？學生論文發表，教授的功勞應算多少？更進一步，我們身為社會一份子，應付多少稅，取多少薪水，也可做如是觀。一切權利的基礎也應從公平上著手，我不虧待人，但我也不允許別人虧待我。 </p></td></tr></tbody></table></p><p><table cellspacing="0" cellpadding="5" width="480" border="0"><tbody><tr><td width="480" bgcolor="#cedbff" height="40"><font class="seclev1" face="標楷體" size="5">謝卜勒 (Shapley) 公平三原則</font></td></tr></tbody></table><!--Element not supported - Type: 8 Name: #comment--></p><p>首先我們必須明白有合作才有分配公不公平的問題。否則你走你的陽關道打獵，我過我的獨木橋捕魚，在山吃山，靠水吃水，各顧自己，就談不到分配不均的問題。今令 ω 為一個可由多人合作的工作，而 <span class="MATH"><i>S</i></span> 表示可以參與工作的人們的集合。若 <span class="MATH"><i>U</i></span> 為 <span class="MATH"><i>S</i></span> 的一個子集，則 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\omega(U)$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img2.gif" width="39" align="middle" border="0"/></span> 表示 <span class="MATH"><i>U</i></span> 人合作時可得的工作利潤。以前面工廠為例，則 <br/></p><p></p><div class="mathdisplay" align="center"><img height="28" alt="\begin{displaymath}<br>S = \{ \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \ch...<br>...0.1pt{\fontfamily{cwM3}\fontseries{m}\selectfont \char 14}} \}<br>\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img3.gif" width="230" border="0"/><br/> </div><p><br clear="all"/></p><p></p><p>若 <span class="MATH"><i>U</i>=</span>{廠主, 工程師} 時，<span class="MATH"><img height="31" alt="$\omega(U)=3$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img4.gif" width="69" align="middle" border="0"/></span>(萬元)，若 <span class="MATH"><i>U</i></span>={廠主, 工程師, 工人甲}，則 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\omega(U)=6$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img5.gif" width="69" align="middle" border="0"/></span>，若 <span class="MATH"><i>U</i>=</span>{廠主, 工人甲}，則 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\omega(U)=0$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img6.gif" width="69" align="middle" border="0"/></span>，為了簡便起見，令 <span class="MATH"><i>S</i></span> 中的元素以 1,2,…,<span class="MATH"><i>n</i></span> 為代號，即 <span class="MATH"><img height="31" alt="$S = \{1,\cdots,n\}$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img7.gif" width="105" align="middle" border="0"/></span>。令 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\phi(\omega)$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img8.gif" width="36" align="middle" border="0"/></span> 表示 <span class="MATH"><i>i</i></span> 成員在 ω 工作上該得的報酬。謝卜勒在1953年的論文中，訂下了三個公平的原則。 </p><p></p><p></p><dl><dt></dt><dd>原則1：報酬與名字無關，只與各人的貢獻有關。即若 <span class="MATH"><i>i</i></span> 與 <span class="MATH"><i>j</i></span> 互換而不影響 ω 時， <span class="MATH"><img height="31" alt="$\phi_{i}(\omega)=\phi_{j}(\omega)$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img9.gif" width="102" align="middle" border="0"/></span>。 <p></p><p>沒有人會反對這個原則，即同工應同酬，張三若可做李四的事，則張三可拿李四的報酬，與他叫張三或李四無關。 </p><p></p></dd><dt></dt><dd>原則2：利潤屬於工作者， <span class="MATH"><img height="31" alt="$\sum_{i\in U} \phi_{i}(\omega)=\omega(U)$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img10.gif" width="142" align="middle" border="0"/></span> 對所有 <span class="MATH"><img height="29" alt="$U\subset S$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img11.gif" width="49" align="middle" border="0"/></span>均成立。 <p></p><p>這也是一個公平的原則，<span class="MATH"><i>U</i></span> 人合得的利益，自然分給 <span class="MATH"><i>U</i></span> 裡的人。 </p><p></p><p></p></dd><dt></dt><dd>原則3：若有二件工作 <span class="MATH"><img height="28" alt="$\omega_1$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img12.gif" width="21" align="middle" border="0"/></span> 與 <span class="MATH"><img height="28" alt="$\omega_2$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img13.gif" width="21" align="middle" border="0"/></span>，則 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\phi_i (\omega_1,\omega_2)$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img14.gif" width="72" align="middle" border="0"/></span> = <span class="MATH"><img height="31" alt="$\phi_i (\omega_1) + \phi_i (\omega_2)$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img15.gif" width="112" align="middle" border="0"/></span> 對所有 <span class="MATH"><i>i</i></span> 均成立。 <p></p><p>這也是無人反對的公理，我做二份工作，自可得二分酬勞。 </p><p></p></dd></dl><p>稀奇的是(在謝氏原論文中，他亦稱奇)。只要這三個原則，即可求出 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\phi_i(\omega)$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img16.gif" width="42" align="middle" border="0"/></span>。 </p><p></p><p></p><dl><dd></dd><dt></dt><dd>定理（Shapley）：根據上項三原則，若對所有 <span class="MATH"><img height="31" alt="$U\subset S,\omega(U)$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img17.gif" width="90" align="middle" border="0"/></span> 已給定，則 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\phi_i(\omega)$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img16.gif" width="42" align="middle" border="0"/></span> 的唯一解為 <br/><p></p><div class="mathdisplay" align="center"><img height="47" alt="\begin{displaymath}<br>\phi_i (\omega) = \sum_{ U \subseteq S} r_n (s)<br>[\omega(U)-\omega(U-\{i\})] \eqno{(1)}<br>\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img18.gif" width="408" border="0"/><br/>   </div><br clear="all"/><p></p><p></p><blockquote><span class="MATH"><i>s</i> = <i>U</i></span> 所含之元素數目, <br/><span class="MATH"><img height="40" alt="$r_n = \frac{(s-1)!(n-s)!}{n!}$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img19.gif" width="118" align="middle" border="0"/></span><br/>    <br/>且 <span class="MATH"><i>U</i>-{i}</span> 表示 <span class="MATH"><i>U</i></span> 中減去成員 <span class="MATH">{i}</span>。 </blockquote></dd></dl><p>雖然本定理的證明不長(大約二頁，高中代數程度)，我們不在此重複，有興趣的讀者一定可以從本文的參考資料中找到。而且下文中會對(1)式做直觀的分析，即使不查證明，多數人也會相信(1)是一個公平的分配方式。為了明瞭此公式的用法，讓我們演算一下廠主的報酬，令 <br/></p><p></p><div class="mathdisplay" align="center"><span class="MATH"><i>S</i>={1,2,3,4} </span></div><p><br clear="all"/></p><p></p><p>1,2,3,4 依次代表廠主，工程師，工人甲乙。<span class="MATH"><i>U</i></span> 是 <span class="MATH"><i>S</i></span> 的子集合，共有 <span class="MATH">2<sup>4</sup>=16</span> 個。可細列如下： </p><p></p><p></p><dl><dt></dt><dd>(1) 空集合及含有一個元素的集合均使 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\omega(U)-\omega(U-\{i\})=0-0=0$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img20.gif" width="221" align="middle" border="0"/></span>。 <p></p><p></p></dd><dt></dt><dd>(2)含有二個元素的集合有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)。其中只有 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\omega(1,2)-\omega(2)=3-0=3$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img21.gif" width="186" align="middle" border="0"/></span>，其餘均為0，而 <br/><p></p><div class="mathdisplay" align="center"><img height="40" alt="\begin{displaymath}<br>r_2=\frac{(2-1)!(4-2)!}{4!}=\frac{1}{12}\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 1}}<br>\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img22.gif" width="189" border="0"/><br/>   </div><br clear="all"/><p></p></dd><dt></dt><dd>(3)含有三個元素的集合有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)，其中 <br/><p></p><div class="mathdisplay" align="center"><img height="100" alt="\begin{eqnarray*}<br>&& \omega(1,2,3) - \omega(2,3)=6-0=6,\&& \omega(1,2,4) - \o...<br>...a(1,3,4) - \omega(3,4)=0,\&& \omega(2,3,4) - \omega(2,3,4)=0,<br>\end{eqnarray*}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img23.gif" width="216" border="0"/><br/>   </div><p></p><br clear="all"/>且 <br/><p></p><div class="mathdisplay" align="center"><img height="40" alt="\begin{displaymath}<br>r_3=\frac{(3-1)!(4-3)!}{4!}=\frac{1}{12}<br>\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img24.gif" width="183" border="0"/><br/>   </div><br clear="all"/><p></p></dd><dt></dt><dd>(4)含有四個元素的集只有(1,2,3,4)得 <br/><p></p><div class="mathdisplay" align="center"><img height="38" alt="\begin{displaymath}<br>\omega(1,2,3,4)-\omega(2,3,4)<br>=9-0=9,\mbox{ {\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 47}}r_4=\frac{1}{4} \; .<br>\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img25.gif" width="323" border="0"/><br/>   </div><br clear="all"/><p></p>因此求得 <br/><p></p><div class="mathdisplay" align="center"><img height="55" alt="\begin{eqnarray*}<br>\phi_{1}(\omega) &=& \frac{1}{12} \times 3 + \frac{1}{12} \times<br>(6+6) + \frac{1}{4} \times 9 \&=& 3.5<br>\end{eqnarray*}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img26.gif" width="294" border="0"/><br/>   </div><p></p><br clear="all"/>同理可得 <br/><p></p><div class="mathdisplay" align="center"><img height="52" alt="\begin{eqnarray*}<br>\phi_2(\omega) &=& 3.5 \\phi_3(\omega) &=& \phi_4(\omega)=1 \; .<br>\end{eqnarray*}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img27.gif" width="159" border="0"/><br/>   </div><p></p><br clear="all"/></dd></dl><p>現在如果誰要再說這種分配不公平就為時已晚了，因為一旦你承認了謝卜勒三原則，則剩下的推導全是推不倒，像 <span class="MATH"><i>a</i>+<i>b</i>=<i>b</i>+<i>a</i></span> 之類的數學公理。而謝卜勒原則似乎又無懈可擊。因此我們不得不承認這個 3.5:3.5:1:1 是一個公平的分配法。 </p><p></p><p>從另一個角度來看(1)式，我們發現 <br/></p><p></p><div class="mathdisplay" align="center"><img height="28" alt="\begin{displaymath}<br>\omega(U)-\omega(U-\{i\})<br>\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img28.gif" width="130" border="0"/><br/> </div><p><br clear="all"/></p><p></p><p>表示的是 <span class="MATH">{i}</span> 加入 <span class="MATH"><i>U</i></span> 時所增加的(邊際)利潤，也就是 <span class="MATH">{i}</span> 所帶給 <span class="MATH"><i>U</i></span> 的利潤。而 <span class="MATH"><i>r</i><sub><i>n</i></sub>(<i>s</i>)</span> 表示在所有 1,2,…,<span class="MATH"><i>n</i></span> 排列中，<span class="MATH">{i}</span> 在 <span class="MATH"><i>s</i></span> 位置而能保持前後成員不變的或然率，因 <span class="MATH"><i>s</i></span> 是 <span class="MATH"><i>U</i></span> 所含的元素數目，也就是 <span class="MATH">{i}</span> 成為 <span class="MATH"><i>U</i></span> 中最後加入成員的或然率。因此(1)所表示的是 <span class="MATH">{i}</span> 成員為 <span class="MATH"><i>S</i></span> 團體帶來邊際利潤的期望值，這自然應是 <span class="MATH">{i}</span> 所得到的報酬。好像不容易說得清楚，且看一個例子。因前例 <span class="MATH">4!=24</span> 太大了一點，我們在前例中減少一個工人，看看(1)的分配是什麼回事。同時也可以比較一下少一個工人時對各人收入的影響。現在 <span class="MATH"><i>S</i>={1,2,3}</span> 依次代表了廠主、工程師，及工人甲。表一的左邊有這三個數的全部排列法。其第二，三，四列代表的是在這種排列下，各人所帶的邊際利潤。以第一行的排列 1 2 3 為例。廠主先到，他不能開工，因此他帶來的利潤是 0，工程師第二個到，他與廠主合作可得 3 萬利潤，因此他帶來的邊際利潤是 3(不全是他的功勞，但算他帶來的)，工人最後來，他又帶來了 3 萬利潤 因此這 3 萬就記在工人名下，因此在第一行中各人所帶來的利潤是 0,3,3，但我們沒有理由讓廠主先到，這 3! 的排列應有同等的機會(很公平是不是？)因此一平均下來，各人所帶來的利潤，也就是他們應有的報酬是 2.5,2.5,1。表一的最後三列是代表此表與(1)式的關係，只要仔細對照一下，就可以看出(1)所表示的就是這些排列下所產生的平均值。 </p><p></p><p></p><div align="center"><table cellspacing="0" cellpadding="5" border="1"><tbody><tr><td align="center">排列</td><td align="center">1</td><td align="center">2</td><td align="center">3</td><td align="left">含1的 <span class="MATH"><i>U</i></span></td><td align="center"><span class="MATH"><i>s</i></span></td><td align="center"><span class="MATH"><img height="31" alt="$\gamma_n(s)$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img29.gif" width="41" align="middle" border="0"/></span></td></tr><tr><td align="center">123</td><td align="center">0</td><td align="center">3</td><td align="center">3</td><td align="left">{1}</td><td align="center"> </td><td align="center"> </td></tr><tr><td align="center">132</td><td align="center">0</td><td align="center">6</td><td align="center">0</td><td align="left">{1}</td><td align="center">1</td><td align="center">2/6</td></tr><tr><td align="center">213</td><td align="center">3</td><td align="center">0</td><td align="center">3</td><td align="left">{2,1}</td><td align="center">2</td><td align="center">1/6</td></tr><tr><td align="center">312</td><td align="center">0</td><td align="center">6</td><td align="center">0</td><td align="left">{3,1}</td><td align="center">2</td><td align="center">1/6</td></tr><tr><td align="center">231</td><td align="center">6</td><td align="center">0</td><td align="center">0</td><td align="left">{1,2,3}</td><td align="center"> </td><td align="center"> </td></tr><tr><td align="center">321</td><td align="center">6</td><td align="center">0</td><td align="center">0</td><td align="left">{1,2,3}</td><td align="center">3</td><td align="center">2/6</td></tr><tr><td align="center">和</td><td align="center">15</td><td align="center">15</td><td align="center">6</td><td align="left"> </td><td align="center"> </td><td align="center">1</td></tr><tr><td align="center">平均 (和/6)</td><td align="center">2.5</td><td align="center">2.5</td><td align="center">1</td><td align="left"> </td><td align="center"> </td><td align="center"> </td></tr></tbody></table></div><p></p><div align="center">表一：對 <span class="MATH">{i}</span> 而言的邊際利潤 </div><p>若把表一的結果與先前有二個工人的結果比較，我們會發現多來的工人乙與原先的工人甲同工同酬(很合理，是不是？)，都得了一萬元的報酬，但他所造成的另外二萬利潤則又被廠與工程師吞去了 (您覺得工人很倒霉是不是？還有更倒霉的事情在後面，如果真的要公平的話。) 因此無論由三原則推導，或由(1)式直觀，我們發現公平的分配並不像我們想像的那麼難纏。謝卜勒能看到這一點已造成他成為一代宗師的地位，他的公式已成為數理經濟學的柱石。 </p><p><table cellspacing="0" cellpadding="5" width="480" border="0"><tbody><tr><td width="480" bgcolor="#cedbff" height="40"><font class="seclev1" face="標楷體" size="5">謝氏定理一些有趣的結果</font></td></tr></tbody></table><!--Element not supported - Type: 8 Name: #comment--></p><p>工作不能增加利潤，則他的報酬當是 0。此人稱為冗員 (dummy)，因對一個冗員 <span class="MATH"><i>i</i></span> 而言， <span class="MATH"><img height="31" alt="$\omega(U)-\omega(U-\{i\})$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img30.gif" width="135" align="middle" border="0"/></span> 恆為 0，故 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\phi_{i}(\omega)=0$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img31.gif" width="71" align="middle" border="0"/></span>。 </p><p></p><p>在上題中我們看到工程師與廠主的報酬相同，這似乎與事實不合，在大部分的工廠中，工程師拿不到廠主的待遇。這個原因是在一般情形下，工程師不只一個，尤其當工程師供過於求時，他們的身價就會慘跌。現設 <span class="MATH"><i>S</i></span>={廠主，工程師甲，工程師乙，工人甲} 其代號仍依次為 1,2,3,4。但只需一個工程師就夠了。在這時候，若廠主請了其中的一位，他仍付他二萬五？且看公式(1)中 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\phi_{2}(\omega)$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img32.gif" width="44" align="middle" border="0"/></span> 的結果。 </p><p></p><p></p><dl><dt></dt><dd>(1) 對空集合及含一元素之集合而言， <span class="MATH"><img height="31" alt="$\omega(U)-\omega(U-\{2\})=0$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img33.gif" width="167" align="middle" border="0"/></span>。 <p></p></dd><dt></dt><dd>(2) 對二元素的集合而言，只有 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\omega(1,2)-\omega(1)=3$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img34.gif" width="129" align="middle" border="0"/></span>不為0。 <p></p></dd><dt></dt><dd>(3) 對三元素的集合而言，只有 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\omega(1,2,4)-\omega(1,4)=6$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img35.gif" width="159" align="middle" border="0"/></span> 不為 0 ( <span class="MATH"><i>U</i>(1,2,3)-<i>U</i>(1,3)=3-3=0</span>，因另一個工程師乙捷足先登，工程師甲的工作就泡了湯。) <p></p></dd><dt></dt><dd>(4) 對四元素之集合 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\omega(1,2,3,4)-\omega(1,3,4)=6-6=0$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img36.gif" width="246" align="middle" border="0"/></span>。因此工程師甲的報酬應為 <span class="MATH"><img height="34" alt="$\frac{3}{12}+\frac{6}{12} =0.75$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img37.gif" width="106" align="middle" border="0"/></span>。引用原則一，或再導一次可知工程師乙之公平所得亦為0.75，二者之和只有1.5萬，竟然比原來一個人可得的2.5萬少了一萬。這說明了供過於求一個可怕的結果，多一個工程師不但不能增加工程師的收入，而且拖了同仁下水。其原因自然因為廠主有恃無恐，不怕找不到工程師而可以加以殺價的緣故。但這個事實竟能從公平三原則中反映出來，不可不謂數學的奇蹟。現在看看資本家與工人可因此多獲利多少。稍加計算可得 <span class="MATH"><img height="31" alt="$\phi_1(\omega)=3.25$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img38.gif" width="93" align="middle" border="0"/></span>, <span class="MATH"><img height="31" alt="$\phi_4(\omega)=1.25$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img39.gif" width="93" align="middle" border="0"/></span>，可見其中大部分的好處為廠主所得，但工人也因工程師多而身價小增。依理往前推，若工程師再多，則其身價必又再跌，原來工程師之所以可以與資本家平分秋色乃是因工程師只有一位，沒有他開不了工，奇貨可居之故。當然若只有一個工程師而有二個工廠，則他的身價會增加而廠主的報酬就要下跌。但在一般社會中都是資本家少，工程師多，而勞工更多，因此工人可以分得之公平工資之慘，可以想見。 </dd></dl><p>公式(1)之推導固然精彩，可惜(幸好)在一般情形下，不容易計算，因為 <span class="MATH"><img height="29" alt="$U \subseteq S$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img40.gif" width="49" align="middle" border="0"/></span> 含有 <span class="MATH"><i>S</i></span> 中全部的子集，有 <span class="MATH">2<sup><i>n</i></sup></span> 個。當 <span class="MATH"><i>n</i></span> 稍大時，計算量就會壓死計算機。但在某些情形下，特別是成員的能力大多相同時，表一中的排列法就能減少到可以計算的地步。現舉一個這樣的例子。 </p><p></p><p>設某鳥商請一個村子裡的人為他養鳥，各家養一隻。到收購的時候，他宣佈他只能買成對的鳥兒，一對一千元。村人各戶人家集合算了一下，發現有雄鳥110隻，雌鳥90隻，因此可賣九萬元，為了不使養雄鳥之家搶賣打破頭起見，全村一氣，算大家共賣，因此得了九萬元，放生了20隻雄鳥。現在問題是錢要如何分配才「公平」。當養雄鳥之家主張均攤，即每隻鳥值 9萬/200 = 450 元，但養雌鳥人家認為物以稀為貴，雌鳥之所以活得少，必定是比較難養，理應多分一點，紛爭又起，如何擺平？如果我們以謝卜勒原則看公平，則因鳥只有二種，可以求出 <br/></p><p></p><div class="mathdisplay" align="center"><img height="62" alt="\begin{displaymath}<br>\phi_{i}(\omega)=\sum_{k=1}^{n-1}r_n(k+1)\sum_{x\geq[\frac{k}{2}+1]}^{k}{n_2 \choose x}{n_1-1 \choose k-x}<br>\eqno{(2)}<br>\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img41.gif" width="432" border="0"/><br/> </div><p><br clear="all"/></p><p></p><p>式中 [<span class="MATH"><i>y</i></span>] 表 <span class="MATH"><i>y</i></span> 之整數值，<span class="MATH"><i>n</i><sub>1</sub></span> 為 <span class="MATH"><i>i</i></span> 所屬之類的鳥數，即若 <span class="MATH"><i>i</i></span> 為雄，則<span class="MATH"><i>n</i><sub>1</sub>=110</span>，<span class="MATH"><i>i</i></span> 為雌，則 <span class="MATH"><i>n</i><sub>1</sub>=90,<i>n</i><sub>2</sub></span> 另一類鳥數，<span class="MATH"><i>n</i>=<i>n</i><sub>1</sub>+<i>n</i><sub>2</sub></span>。用計算機算出結果是雄鳥單價值 109 元，雌鳥單價為 876 元，而全部雄鳥之值只有雌鳥的 6.5 分之一。其實稍不平衡，價差就很驚人，如果雄、雌各為 102 及 98 隻，則其單價比為 1:1.82，物以稀而貴，一致於此。 </p><p></p><p>記得若干年前臺灣適婚年齡者男多女少，少女身價百倍。現在好像是女多男少，單身漢行情看漲。不過人間的情形很複雜，我們不能把每位少男少女像鳥兒一樣看為等價。因各人條件不同，每個人的公平地位就不容易由(1)計算出來(<span class="MATH">2<sup><i>n</i></sup></span>子集而<span class="MATH"><img height="33" alt="$n\geq10^6$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_3_08/img42.gif" width="58" align="middle" border="0"/></span>?)，條件好的男女是不介意情敵多少的。但(1)式至少能解釋一個重要的現象，稍不平衡，就產生極大的價差。 </p><p></p><p>其實人們雖不知公式(1)，但這種現象早已深植於人們的心中，每個人都想改變自我環境，使得公式(1)對我有利。當供過於求的時候，人們曾經把糧食、牛奶、羊毛倒入海中以求增加價格，以鳥兒為例，若雄鳥人家先商量好，偷偷放走20隻 則對養雄鳥人家都有利， (若放走30隻則更有利，這時候雌鳥每隻只值201元而雄鳥值773元，雖全部只剩下80對鳥兒，但對雄鳥人家而言則有利。但這要合作才行，若你自己把鳥放了，則可能一文都拿不到。)各行業防止供過於求，用執照、工會、幫會、碼頭等加以限制人數。而大家也都知道要進到一個行業中成為一個不可少的人。 </p><p></p><p>然而也有些人雖不喜歡不平，但卻想破壞公平，有人破壞第一原則，利用各種關係，使得報酬與名字有關，他是我的兒子，報酬就自然加大，有的破壞第二原則，沒有做事的人也巧立名目，拿一些錢。當然，最壞的是鼓勵生產力不足的人用搶，嚴重的破壞了公平的分配。 </p><p><table cellspacing="0" cellpadding="5" width="480" border="0"><tbody><tr><td width="480" bgcolor="#cedbff" height="40"><font class="seclev1" face="標楷體" size="5">一點感想</font></td></tr></tbody></table><!--Element not supported - Type: 8 Name: #comment--></p><p>從公平的原則看來，社會上才智高的人似乎反而沒有拿到他份內公平的報酬，這些不可少的創業家，發明家，若照謝卜勒的公式，他們的報酬可能應是不可思議的大。因此當我們未來再為自己訴不平的時候，就該想到公式(1)：從公平的觀點來看，是天下人負我，還是我負天下人？ </p><p></p><p><!--Element not supported - Type: 8 Name: #comment--></p><div class="reflist"><dl><dt></dt><dd>Shapley 的原文發表在 Shapley,L.S.(1953)〈A value for n-person games〉,in《Contributions to the Theory of Games》, Vol. II,Ed. by H.W. Kubn and A.W. Tucker, Princeton University Press. </dd><dt></dt><dd>一些最近的發展可看 <p>《The Shapley Value:Essays in Honor of Lloyd S. Shapley》,1988,Ed. by A.E. Roth, Combridge University Press. </p><p>Shapley 1953年論文亦收在此書內。 </p></dd></dl><p></p></div>

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里面雄鸟雌鸟分配中，X表示什么意思啊