[原创]MWG高级微观经济学03：经典需求理论

以下是引用猫爪在2008-12-18 15:52:00的发言：

以下是引用vesperw在2008-12-18 15:34:00的发言：

以下是引用demander在2008-12-18 15:18:00的发言：

问个问题

偏好不连续 是否就可以推出：偏好不能用连续效用函数表示？

Yes, because

If preferences can be represented by continuous utilty function, then preference is continuous

this is equivalent to say that:

if preference is not continuous, then it cannot be represented by continuous utility function

我想demander老弟的意思应该是，为何偏好不连续，就没有一个表示此偏好的效用函数？

这是两个问题。

消费集如果是有限集，不管偏好是否连续，都可以有“效用函数表示”。

不过，这里还有一个问题：定义偏好连续性所涉及的闭集（或开集），还要看事先对消费集所做的拓扑。

我想demander老弟的意思应该是，为何偏好不连续，就没有一个表示此偏好的效用函数？

这是两个问题。

消费集如果是有限集，不管偏好是否连续，都可以有“效用函数表示”。

嗯嗯 但这个“效用函数”不是一个连续的函数，因为偏好不连续。

猫爪说的问题不是我问的，那个问题还是看你自己引用的那个贴，那人说的很好。我的理解因为u( x,1) <u( x,2) 所以由于什么什么有理数的紧密性保证了有条缝有理数就能钻进去，这就保证了有个u(x,1)就有个有理数，不同的x对应的有理数还不一样（否则可推矛盾），但是这一点就有悖常理，集合u(x,1）本身是与x对应的，而x是R+，有理数就与实数建立了11对应的关系 这是不合常理的

简单的讲不正规的讲 你不能把二维的所有点挤到一维上（在常规情况是这样，不排除超越性的思想!）

数学我是用到才学 不好意思 但愿我的理解有点外部效用

[此贴子已经被作者于2008-12-18 23:37:39编辑过]

猫爪  金钱 +30  魅力 +15  多谢您的说明，我现在正在学习经济数学，呵呵。 2008-12-20 17:42:28

以下是引用猫爪在2008-12-18 15:52:00的发言：我没看懂那个证明。

设R+是非负实数集，Q是有理数集。
设定义在R+×R+上的字典式偏好存在效用函数表示：u: R+×R+→R。
∀x∈R+: u(x,2)>u(x,1)，从而∃c∈(u(x,1), u(x,2))∩Q。
∀x≠y∈R+: (u(x,1), u(x,2))∩(u(y,1), u(y,2))=∅，从而任意分别包含于两区间的有理数的集合亦不相交。
于是，我们可以建立从R+到Q的一个单射（不同的原像，其像不同），这意味着|R+|≤|Q|，即不可数集的势不大于可数集的势，而这出现矛盾。

http://www.pinggu.org/bbs/thread-375593-1-1.html

http://www.pinggu.org/bbs/thread-294014-1-1.html

以下是引用sungmoo在2008-12-18 16:00:00的发言：
不过，这里还有一个问题：定义偏好连续性所涉及的闭集（或开集），还要看事先对消费集所做的拓扑。

有沒有一個例子是: consumption set X=R^n, preference is not continuous, but utility function representing preference is continuous?

以下是引用vesperw在2008-12-19 4:46:00的发言：

以下是引用sungmoo在2008-12-18 16:00:00的发言：
不过，这里还有一个问题：定义偏好连续性所涉及的闭集（或开集），还要看事先对消费集所做的拓扑。

有沒有一個例子是: consumption set X=R^n, preference is not continuous, but utility function representing preference is continuous?

对于拓扑空间{X, α}与{Y, β}，映射f:X->Y是连续的，等价于，∀B∈β: f^-1(B)∈α（或者写作：f^-1(β)⊆α）。

考虑关于R+的拓扑{R+, Ø, [1, +∞)}。以R+为消费集。设R+到自身的恒同映射u:R+->R+是表征定义在R+上的偏好的效用函数。对于上述（关于R+的）拓扑，u是连续的，但该偏好不是连续的。

对于拓扑空间{Ω, φ}与{R, β}，其中，Ω是消费集，R是实数集。
若∀x∈R: (-∞, x), (x, +∞)∈β，则若定义在Ω上的偏好存在连续效用函数表示u:Ω→R，则该偏好是连续的。

http://www.pinggu.org/bbs/thread-256120-1-1.html

以下是引用sungmoo在2008-12-19 13:07:00的发言：

若∀x∈R: (-∞, x), (x, +∞)∈β

实数空间。

以下是引用sungmoo在2008-12-19 12:58:00的发言：

考虑关于R+的拓扑{R+, Ø, [1, +∞)}。以R+为消费集。

这个不是实数空间。

[此贴子已经被作者于2008-12-19 16:23:03编辑过]

y

要是WORD版本就好了

有理数是可列集，实数是不可列集，不可能形成一一对应。