[求助]高级微观经济理论（2版）第一章的习题1.11如何证明？

请大牛给个明确的证明 谢谢

靠，猫爪很强么。

那楼上的不嫌麻烦就给个答复吧

证明：

利用数列与集合关系的定理

{t(k)}是A内任何一个收敛子序列，收敛于t，那么显然序列{t(k)e}也收敛于te。

显然{t(k)e}属于“不比x好的”集合，根据偏好关系的连续性，有te属于“不比x好的”集合，那么t也是属于A的。

根据定理A1.9（数列与集合关系定理）有A是个闭集。

这也许是最简单的证明了，希望大侠们提提意见

都是高手  我看看

Take a convergent sequence {t_n} in A, t_n --> t.

Since (t_n)e>= x for all n, and (t_n)e --> te and x is a constant sequence

Continuity of >= implies the order of limit is not reversed, i.e., te>=x

so t is in A.

Hence A is closed. Similar argument applies to closedness of B.

谢谢vesperw

我也想到这个方法了 在14楼！

数学学的不好 所以之前没想起利用序列和集合的关系定理

还是你厉害！

以下是引用demander在2008-12-12 11:19:00的发言：

y能够达到不大于x的任何一个点<——y能够达到不优于x的任何一个点。

反之不行，如果再加入严凸，则这一点可以保证。

而只有：y能够达到不优于x的任何一个点——>y必然包括边界。

PS：你的理解可能有点点问题。x是任意的消费束。不是指边界。边界是无差异于x的集合。有点区别。

但是你知道在e方向上存在一点属于边界正是最终要证的。这一点基本上不是x。

您说有问题，那看来就是有问题了，呵呵。

不过很多东西不好编辑，确实是个问题。

比如作为偏好的x和y，和每个点的xn和yn，要想说清楚它们的序列啦，极限啦，不是很好弄呢。

我感觉这里和凸性关系不大，我认为用连续性——>极限说明上下等值集是闭集已经够了。

[此贴子已经被作者于2008-12-12 19:34:20编辑过]

以下是引用demander在2008-12-12 15:03:00的发言：

证明：

利用数列与集合关系的定理

{t(k)}是A内任何一个收敛子序列，收敛于t，那么显然序列{t(k)e}也收敛于te。

显然{t(k)e}属于“不比x好的”集合，根据偏好关系的连续性，有te属于“不比x好的”集合，那么t也是属于A的。

根据定理A1.9（数列与集合关系定理）有A是个闭集。

（1）C是闭集，等价于，X中任意收敛序列的极限属于C。

（2）偏好是连续的，等价于，任意给定消费束x，x的不劣集与不优集都是闭集。

可用反证法。

任意给定消费束x，假设A（或B）非闭集，则A（或B）中存在一个收敛序列，其极限不属于A（或B），而这与连续偏好的定义相悖。

（本证明不需要偏好的强单调性）