[求助]高级微观经济理论（2版）第一章的习题1.11如何证明？

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<p>杰里和瑞尼第一章课后习题1.11</p><p>表明如果二元关系≧是成立的,那么定理1.1（就是效用函数存在定理）证明中定义的A与B集都是实数集R上的闭子集。</p><p>具体条件列在下面：</p><p><strong>A恒等于{t>=0 | t*e≧ x}；</strong></p><p><strong>B恒等于{t>=0 | t*e≧x}；</strong></p><p><strong>其中：</strong></p><p><strong>e={1，……，1}  e属于n维非负空间；</strong></p><p><strong>ｔ属于１维非负空间；</strong></p><p><strong>ｘ是任取的一个消费束，属于n维非负空间；</strong></p><p><strong>偏好关系≧满足完备、传递、连续、严格单调；</strong></p><p>请证明Ａ和Ｂ是闭的</p>

[此贴子已经被作者于2008-12-14 18:48:46编辑过]

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关键词：高级微观经济 微观经济理论 微观经济 经济理论 高级微观 如何 空间

希望有大牛提醒一下啊！

[此贴子已经被作者于2008-12-11 19:47:28编辑过]

得,马斯克莱尔的也没这么难

如果偏好关系存在,则效用函数存在,函数存在的等价条件是函数是拟凹的: 即f(x,y)>=C(效用值)

那么在二维(X,Y)的的商品空间,消费集是凸的.

在闭集中,必有一端凸集.

如果偏好关系存在就效用函数存在 那这个还要证吗？楼上的拜托看清楚了再回答

你用的是哪本书？能否把你的条件与欲证结论再清晰表述一遍？

以下是引用sungmoo在2008-12-12 7:45:00的发言：
你用的是哪本书？能否把你的条件与欲证结论再清晰表述一遍？

杰里和瑞尼的高级微观经济理论，不过这位老兄的公式写错了一点地方。

很有意思，从这本书和MWG对此问题的安排，可以看出两者还是有一点点难度上的区别的。

以下是引用demander在2008-12-11 16:22:00的发言：

课后习题1.11

表明如果二元关系≧是成立的,那么定理1.1（就是效用函数存在定理）证明中定义的A与B集都是实数集R上的闭子集。

具体条件列在下面：

A恒等于{t>=0 | t*e≧ x}；

B恒等于{t>=0 | t*e≧x}；

其中：

e={1，……，1}  e属于n维非负空间；

ｔ属于１维非负空间；

ｘ是任取的一个消费束，属于n维非负空间；

偏好关系≧满足完备、传递、连续、严格单调；

怎么证明偏好关系≧的连续性蕴含着非负实数集上的Ａ和Ｂ是闭的？？

1、有一点儿小错误，估计老兄粘贴之后忘了修改了：

A恒等于{t>=0 | x≧t*e }；

B恒等于{t>=0 | t*e≧x}；

2、这个问题的其实是问“偏好的连续性，是否意味着上等值集和下等值集都是闭集？”

所以这个问题反过来问，其实更难。

即“上下等值集皆为闭集，是否意味着偏好连续？”

3、在MWG中文版64-65页，有对这个问题轻描淡写的回答。

按我自己的理解，应该是这个意思：

连续性保证了在序列的任何一个点上，都有x≧y的情况，而y又属于X（空间），

因此y能够达到不大于x的任何一个点，y必然包括边界（因为连续性要求在极限上y仍然小于x）。

反之亦然。

4、落实到您的原题，其实更好理解：

te是空间内的向量，随着t的变化，向量的“长度”可以任意变化，无论怎样变化，即使在极限上，

te还是不会超过x，所以te自然可以达到以x为边界的任意位置，包括边界。

请您和sungmoo指点。

附上原书：

[此贴子已经被作者于2008-12-12 10:18:10编辑过]

谢谢了

“按我自己的理解，应该是这个意思：

连续性保证了在序列的任何一个点上，都有x≧y的情况，而y又属于X（空间），

因此y能够达到不大于x的任何一个点，y必然包括边界（因为连续性要求在极限上y仍然小于x）。

反之亦然。”

根据二元关系单调性

y能够达到不大于x的任何一个点<——y能够达到不优于x的任何一个点。反之不行，如果再加入严凸，则这一点可以保证。

而只有：y能够达到不优于x的任何一个点——>y必然包括边界。

PS：你的理解可能有点点问题。x是任意的消费束。不是指边界。边界是无差异于x的集合。有点区别。

“4、落实到您的原题，其实更好理解：

te是空间内的向量，随着t的变化，向量的“长度”可以任意变化，无论怎样变化，即使在极限上，

te还是不会超过x，所以te自然可以达到以x为边界的任意位置，包括边界。”

但是你知道在e方向上存在一点属于边界正是最终要证的。这一点基本上不是x。

[此贴子已经被作者于2008-12-12 15:10:58编辑过]

确实粘错了 谢谢指出 我修改下

证明 设A为开的

那么根据单调性只能形如[0,b）（谁能证明这个），

b不属于A，而be属于n维非负空间，根据完备性be严格优于x。

根据偏好关系连续性和单调性存在一个t1e<<be,使得t1e严格优于x。

t1e<<be,可得t1<b,那么t1属于A，矛盾。那么b属于A。

那么A为闭区的。

[此贴子已经被作者于2008-12-12 14:23:15编辑过]