[讨论]一道高微证明题

以下是引用sungmoo在2008-12-22 10:39:00的发言：

y=x^2，x≥0，

该函数严格递增、规模报酬递增，但是，它是拟凹的，故其对应的生产可能集是凸的。

根据定义,拟凹函数是上等值集为凸集的函数,据此判断f(x)=x^2并不是个拟凹函数,它是拟凸函数,而且它是凸函数.

如果一函数是凸函数,根据定义,对于0<a<1有:f[a*x1+(1-a)*x2]<a*f(x)+(1-a)*f(x2). 令y1=f(x1), y2=f(x2), 那么(y1, x1), (y2, x2)都在生产可能集Y中,而(a*y1+(1-a)*y2, a*x1+(1-a)*x2)不在Y中,因为y=f(x)是生产可能集中对应x最大的产出,而a*y1+(1-a)*y2>f[a*x1+(1-a)*x2]. 从而命题得证.

我以为最大的问题在于如何由"单调且规模报酬递增"推出生产函数为凸函数.

以下是引用万岁大中华在2008-12-22 11:30:00的发言：

我证明了一下儿，用的是两种要素的生产函数。

因为我学习的是平新乔的微观，所以就只能有这种水平了。

利用的是第109页关于规模报酬递增的函数定义，及凸函数的定义。

我很赞同你的思路,我也是想用凸函数的定义去证明,关键是如何得出生产函数是凸函数?可能两中生产要素的生产函数很容易推导出凸函数,但能不能推广到多种投入要素?

学习了

我不懂微观，但凸函数不一定可微，但一定连续，左右导数都存在，但不一定相等，可能在你们学经济的都是可微的吧。

我先看看啊

关于生产的凸函数：

见于：平新乔的《微观经济学十八讲》第93页：

生产技术的性质

我们通常假定，生产技术具有以下两个性质：

1、单调性。单调性是指，如果你在至少一种生产要素上增加了投入，那么产出量应该至少等于你原先的生产量。这一性质有时被称为是“自由处置”（free disposal）：既企业可以无代价地处置任何投入品，拥有超额的投入品至少不会损害企业。

2、凸性：这是指：如果你有两种方法（x1,x2)，（z1,z2)去生产y单位的产出，那么，上述两种方法的加权平均，至少能生产出同样多的产出量。

类似于无差异曲线的凸性一样。

上述的性质与规模报酬递增问题，并不一定需要求导。

也不一定用上导数。

我回头写一个详细的证明吧。

应当根据定义可以推广到多种要素的凸函数问题。

当然了，规模报酬递增的定义也得推广到多种要素的问题。

以下是引用狼行成双在2008-12-23 0:52:00的发言：根据定义,拟凹函数是上等值集为凸集的函数,据此判断f(x)=x^2并不是个拟凹函数,它是拟凸函数,而且它是凸函数

上等值集也可以是一维点集。

以下是引用sungmoo在2008-12-23 14:01:00的发言：

上等值集也可以是一维点集。

上等值集可以是一维点集没问题,但f(x)=x^2的开口向上的,它的上等值集并不是凸集,而f(x)=-x^2的上等值集才是凸集.

以下是引用狼行成双在2008-12-23 14:50:00的发言：上等值集可以是一维点集没问题,但f(x)=x^2的开口向上的,它的上等值集并不是凸集,而f(x)=-x^2的上等值集才是凸集.

上等值集是定义域的子集。