关于QQ图中的理论分位数（Theoretical Quantiles）的讨论

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QQ图的主要作用是判断样本是否近似于某种类型的分布，这里的“QQ”是两个Quantiles的大写字母，即两个分位数，一个是样本分位数（Sample Quantiles），一般画在纵轴，一个是理论分位数（Theoretical Quantiles），一般画在横轴。

1. n <-rnrom(100, 0, 1) #生成100个均值为0，方差为1的正态分布样本
   
2. qqnorm(n)#做变量n的QQ图

复制代码

以正态分布为例，qqnorm()是判断样本是否近似于正态分布的函数。针对拟判断的样本变量，运行完上述代码，可以得到QQ图。

1. q<- qqnorm(n) # 将变量n的QQ图的结果保存到变量q中
   
2. q

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运行完结果后，我们想知道结果是怎么计算出来的，换句话说这个（x,y）形式的二维的散点图的坐标是如何确定的。要回答这个问题需要先从qqnorm()入手，把QQ图的结果保存到变量中，再对这个变量进行分析。

返回结果会发现q是一个列表变量

1. >q
   
2. $x
   
3.   [1]  0.29237490  0.21470157  0.39885507  1.25356544 -1.25356544 -0.37185609  0.24042603
   
4.   [8]  0.65883769 -1.43953147 -0.85961736 -2.57582930  0.01253347 -0.59776013 -0.89647336
   
5. ……
   
6. $y
   
7.   [1]  0.462814915  0.374278392  0.554904362  1.336120985 -1.185658515 -0.005494698  0.446647652
   
8.   [8]  0.856330811 -1.325852442 -0.642461498 -2.655929616  0.255900133 -0.314253761 -0.678510112
   
9. ……
   
10. #这里没有用set.seed()函数生成可重复的模拟样本，所以显示的值可能不同

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变量q$y是样本分位数，也是刚才随机产生的100个样本的值，即和变量n是完全一样的，为了验证，如果运行下面的代码，会得到100个“TRUE”

1. n <- rnorm(100,0,1)
   
2. qqnorm(n)
   
3. q<- qqnorm(n)
   
4. y <- q$y
   
5. y==n

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接下来讨论这个q$x，q$x是理论分位数，之所以是“理论”，指的是如果按照正态分布的假设（qqnorm对应的是正态分布假设，qqpois对应的是泊松分布的假设），这个分位数的理论值应该是多少。例如如果有5个样本，那么理论分位数应该给出的是20%，40%，60%，80%，100%的分位数，但是100%的分位数一般会无限大，因此在这里需要进行一下数据处理，找一个“近似”的理论样本，来替代“真正”的理论样本。在这里问题就在这个“近似”的理论样本的数据处理方法。举个例子，假设P（）为正态分布函数，是正态分布函数的反函数，假设一共有N个样本，则第n个样本的“真正”的理论样本分位数应该是\[P^{-1}\left ( \ \right )\]，即概率等于n/N时的分位数。关于第n个样本的“近似”的理论样本分位数，数据处理方法有不同版本解释，有人认为是\[P^{-1}\left ( \frac{n-0.5}{N}\right )\]（https://bbs.pinggu.org/forum.php?mod=viewthread&tid=2141131&page=1），在薛毅和陈立萍的《统计建模与R软件》（清华大学出版社，2007年）中，计算公式则是\[P^{-1}\left ( \frac{n-0.375}{N+0.25}\right )\]，见下图。

我编了几行代码对这个公式进行了验证，结论是用哪一种数据处理方法取决于样本的数量N。如果N小于等于10的时候，分位数的取值应该是\[P^{-1}\left ( \frac{n-0.375}{N+0.25}\right )\]，如果样本的数量N大于10，分位数的取值应该是\[P^{-1}\left ( \frac{n-0.5}{N}\right )\]。代码如下。

1. N=100#设定样本数量，可以将100改为别的数进行验证
   
2. d <- matrix(nrow= N ,ncol= 3)#生成一个N *3的矩阵
   
3. d[,1]<-1:N#给每一次N的值编上序号
   
4. for(i in 2:N){ #从i=2开始计算，一直计算到i=N
   
5.   x <- rnorm(i,0,1) #生成均值为0,、方差为1的i个数的样本，保存到x
   
6.   y <- qqnorm(x) #生成样本x的QQ图，保存到变量y
   
7.   yy <- sort(y$x) #将QQ图中的理论样本值保存到变量yy中
   
8.   yyy<- pnorm(yy,0,1) # 计算分位数yy的概率，保存到yyy中
   
9.   a <- 1:i
   
10.   ayyy<-lm(a~yyy) #计算公式“ayyy=a*系数+截距“中的参数
    
11.   b <-summary(ayyy)$coefficients
    
12.   d[i,2]<-b[1,1]#将截距保存到第二列
    
13.   d[i,3]<-b[2,1]#将系数保存到第三类
    
14. }
    
15. d

复制代码

得到结果如下，验证了上述结论：

1. > d
   
2.        [,1]  [,2]   [,3]
   
3.   [1,]    1    NA     NA
   
4.   [2,]    2  0.375   2.25
   
5.   [3,]    3  0.375   3.25
   
6.   [4,]    4  0.375   4.25
   
7.   [5,]    5  0.375   5.25
   
8.   [6,]    6  0.375   6.25
   
9.   [7,]    7  0.375   7.25
   
10.   [8,]    8  0.375   8.25
    
11.   [9,]    9  0.375   9.25
    
12. [10,]   10  0.375  10.25
    
13. [11,]   11  0.500  11.00
    
14. [12,]   12  0.500  12.00
    
15. [13,]   13  0.500  13.00
    
16. [14,]   14  0.500  14.00
    
17. [15,]   15  0.500  15.00
    
18. [16,]   16  0.500  16.00
    
19. [17,]   17  0.500  17.00
    
20. [18,]   18  0.500  18.00
    
21. [19,]   19  0.500  19.00
    
22. [20,]   20  0.500  20.00
    
23. ……

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关键词：Theoretical quantiles Theoretic quantile quant 正态分布 样本 字母

好棒！对我非常有用，正在研究这个横坐标到底是什么！！

很好！