关于拉格朗日中值定理的一个问题

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如果f(x)在闭区间上也可导,那么拉格朗日中值定理中的ξ可以取到端点不？

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关键词：拉格朗日 拉格朗

介值定理也是有闭区间版本的, 比如下面这样:
设f(x)在[a,b]连续, 若t满足f(a) ≤ t ≤ f(b), 则存在c ∈ [a,b], 使f(c) = t.
通常的积分第一中值定理的证明, 本质上是使用的这个版本.
因为使用时的条件是: f的最小值 ≤ 积分均值 ≤ f的最大值, 不是严格的不等号.
实际上, 开区间版本的积分第一中值定理也是成立的 (建议自己试着证明一下).
但这与闭区间版本的积分第一中值定理并不矛盾,
因为c ∈ (a,b)可以推出c ∈ [a,b], 所以这只是一种加强.
中值点一般是不唯一的, 所以有时端点也可以是取到中值.
最简单的例子是f(x)为常数函数, 所有点都取中值.
又比如f(x) = sin(x)在[-π,π]的积分, 在-π, 0, π处取得中值.