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希望这对一部分喜欢数学、经济、历史、文学的人产生正的外部性
这是前一阵编写的，希望能够得到坛友们的指点

（一）

最近读书，关注历史多一些，而由于一直致力于跨入经济学大门（实事求是，仍然没有入门，这也是比较着急的事情，可是知道，这事只能小火慢炖，欲速不达），理论学得不行，可是却喜欢关注琐碎的东西。看到了一些文字，不忍丢弃，于是就作了一些摘录，有一些地方还自以为是的给予了几句评论，挂一漏万是必然的了。我记性不好的，这样做了摘录，心里稍微踏实一点。

想必几乎所有人都会发自内心的认可，真正的认知建立在客观全面的认知上，如果我们因为牛顿对于上帝的信仰便嗤笑其为迷信的异类，那么我们展现出来的完全是一种无知。不要认为宗教的信仰纯粹是愚昧无知的表现。宗教的本身，是人类历史进步的产物。人类的智力越发达，人类的智力越丰富，其宗教的内含将会越加复杂而多变。社会越是向前进步，人的理性在自己面前所提出的任务就越发复杂，它的迷误就会越发高妙。“宗教迷误的出现需要有一定认识论的根源，而认识论根源只有在人类历史和人的智力发展到某个阶段时才能产生。”我们在宗教信仰的旗帜下可以找到两种迥然不同的人：高度智慧和具有高度文化知识素养的人和的确愚昧无知的蒙昧无知者。正因为如此，宗教的力量在一个民族中才具有相当大的吸引力。那些具有高度智慧和丰富知识的人的宗教信仰是作为一种科学观的社会生活的侧面出现的，他们的宗教信仰，不是一种盲目的无知的空想，而是一种具有带科幻色彩的对未知世界的一种梦寐追求。


杨振宁是娶了翁帆的那个来中国养老的美籍华人。或许是他父亲杨武之先生（从芝加哥大学回来的洋博士）的熏陶，或许是他身处的时代使然，杨先生的人文修养也是十分深厚的，引经据典常常信手拈来，我在这里摘出一首他给国际著名数学家陈省身先生写的诗：天衣岂无缝，匠心剪接成；浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能；千古存心事，欧高黎嘉陈。该诗的末句，便把影响几何发展的代表性人物给概括了，从欧几里德，到高斯，再到高斯的学生黎曼，再到法国的嘉当，再到嘉当的学生美籍华人陈省身，真是让人回味无穷。杨振宁的人文底蕴估计部分来源于他的指导思想，比如他在如何做学术生涯的规划的答问中，便明确指出：“走对了路，左右逢源；走错了路，再努力也不能大成。我的建议是，把天线放长些，多方浏览，不只是浏览本身学科狭窄范围的文献，更要随时留意其他的学科，透过广泛接触，才能找出这门领域的大方向。”某次读野史，看出来杨的虚荣心是很强烈的，甚至有伪造事实之嫌让我不是很有好感。具体说，就是在芝加哥大学任教的物理学泰斗意大利的费米招收了李政道做学生而不愿意招收杨振宁，可是杨却在日后的回忆中谈到他在做费米的研究生的时候如何如何。


给偶一个支点，我将翘起地球。此君还发现了浮力的定律。这就是出生于美丽的西西里岛的阿基米德。据说，为了让人们相信自己的杠杆原理断言，阿基米德曾设计了一组复杂的滑车装置，使叙拉古国王希罗亲手移动了一只巨大的三桅货船。阿基米德在第二次布匿战争中被罗马士兵杀害，终年75岁。史载阿基米德在保卫叙拉古的战斗中发明的许多军械诸如投石炮、火镜等，曾使敌人闻风丧胆。后来叙拉古不幸被罗马军队攻陷，当破城而入的罗马士兵冲到阿基米德身边时，这位老人正在出神地思考数学问题，他让士兵别碰沙盘上的几何图形，被激怒的罗马士兵将他刺死。据说曾下令勿杀阿基米德的罗马主将马赛吕斯事后特意为阿基米德建墓，并按阿基米德的遗愿将其最引以自豪的数学发现的象征图形——球及其外切圆柱刻在了墓碑上。阿基米德的故事让我想到了一篇叫做<<If I rest, I rust>>的文章，最后一段是：Labor vanquishes all ---not inconstant, spasmodic, or ill-directed labor; but faithful ,unremitting, daily effort toward a well-directed purpose . Just as truly as eternal vigilance is the price of liberty, so is eternal vigilance is the price of liberty , so is eternal industry the price of noble and enduring success.做一件事情，做得精湛，果然是一生的任务。


圆周率我们小学就学过了吧，那个亲切的π是靠割圆术逼近出来的。
推算得最精确的在古代还应说是祖冲之先生了。说起祖冲之，想到了清华大学很久以前有个老师叫陈寅恪的，那号称导师的导师啊，但这哥们没有学位的，只是留学西洋数年一个学位都没拿，可是他通晓上十门语言，学贯中西，治学相当严谨啊。他有一句话叫：“一朝负气成今日，四海无人对夕阳。”前无古人，也许也会后无来者，该君纯属书痴啊，亦曾说：“读书不肯为人忙。”那么这个哥们和祖冲之有什么关系呢，那是民国时期，有一次他给报考清华园的学子们命制的题目便是三个字：孙行者。不少同学给出的答案是：胡适之。其实祖冲之更加传神啊。闲言碎语不要说多了，看看祖冲之的情况。祖冲之活跃于南朝宋、齐两代，出生于历法世家，《南齐史》中说他“探异今古”，“革新变旧”，并记载了他与守旧派官员戴法兴关于历法问题的一场辩论。祖冲之在公元462年创制了一部历法《大明历》，该历法在当时是最先进的历法，却遭到戴法兴等人的竭力反对。戴法兴是当朝权臣，《宋书》中说凡官员选择人面、生杀赏罚，皇帝都要同他商量，而祖冲之不过居从事史的微职，却敢于在皇帝面前与戴法兴辩论，并直指戴“浮辞虚贬”，“坚执偏论”。这说明，祖冲之的性格和我们从历史书照片上得到的印象还是有几分不一致的。至少这个人不是好好先生啊。北宋的王安石的《游褒禅山记》中写道：“于是予有叹焉。古人之观于天地、山川、草木、虫鱼、鸟兽，往往有得，以其求思之深而无不在也。夫夷以近，则游者众；险以远，则至者少。而世之奇伟瑰怪非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者，不能至也。有志矣，不随以止也，然力不足者，亦不能至也。有志与力，而又不随以怠，至于幽暗昏惑，而无物以相之，亦不能至也。然力足以至焉，于人为可讥，而在己为有悔；尽吾志也而不能至者，可以无悔矣，其孰能讥之乎？此予之所得也。”王安石所发的这些感慨，说明，要达到高深的学术造诣，就必须具备不畏艰难险阻的决心和百折不挠的精神。他随之提出了志与力与恒的相辅相成的关系。有了志向，还不等于一定能够成功，必须有足够的力量和持之以恒的韧性作为辅助，因地制宜，因势利导，这样看看是否能够达到常人难以企望的崇高境界。这种认知实际已经超出了学问之道而进入了人生价值的范畴，于学于人均有发蒙解惑的作用。王安石写作此文，正当其酝酿改革朝政、实行变法的时期。他深知朝政日非，积重难返，仍然决心兴利除弊，坚持到底。故该文虽主要谈治学，结尾处却有意无意地流露出知难而进，鞠躬尽瘁的改革家的悲壮孤独情绪。两者比照，祖冲之和王安石还确实有那么一点相似。只是，在封建社会专制制度下，做好事总是太累了。


看过初等数学的朋友大概都晓得笛卡尔坐标系。笛卡尔出生于法国都伦的拉哈耶，贵族家庭的后裔，父亲是一个律师。他早年受教于拉福累歇的耶稣会学校。1612年赴巴黎从事研究，曾于1617年和1619年两次从军，离开军营后，旅行于欧洲，他的学术研究实在军旅和旅行中做出的。17世纪，笛卡尔引进了坐标，引发了几何学的革命。H.外尔说“以坐标的形式把数引进几何学，是一种暴力行为。”按他的意思，从此图形和数就会像天使和魔鬼一样，争夺每个数学家的灵魂。陈省身先生认为，综合几何如果是裸体人，那么坐标几何就是原始人，而引入了流形之后，就成了现代人。简单来说，流形是一个具有可变的或相对的坐标（相对性原则）的空间。我们看到，笛卡尔《几何学》的整个思路与传统的方法大相径庭，在这里表现出笛卡尔向传统和权威挑战的巨大勇气。笛卡尔在《方法论》中尖锐的批判了经院哲学特别是被奉为教条的亚里士多德“三段论”法则，认为三段论法则“只是在交流已经知道的事情时才有用，却不能帮助我们发现未知的事情”。他认为“古人的几何学”所思考的仅限于形相，而近代的代数学则“太受法则和公式的束缚”，因此他主张“采取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短。”这种怀疑传统与权威、大胆思索创新的精神，反映了文艺复兴时期的时代特征。笛卡尔的哲学名言是：“我思故我在”。他解释说：“要想追求真理，我们必须在一生中尽可能地把所有的事物都来怀疑一次”，而世界上唯一先需要怀疑的是“我在怀疑”，因为“我在怀疑”证明“我在思想”，说明我确实存在，这就是“我思故我在”，成为笛卡尔唯理主义的一面旗帜。它虽然在物质与精神的关系上有所颠倒，但主张用怀疑的态度代替盲从和迷信，认为只有依靠理性才能获得真理。在当时不仅打击了经院哲学的教会权威，而且也为笛卡尔自己的科学发现开辟了一条崭新的道路。恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”关于笛卡尔要对所有事情都怀疑一次的态度，菲尔茨奖获得者，美籍华人丘成桐曾在一篇文章中指出：“学习需要融会贯通，更需要博闻强记。有些人以为数学每一步都可推理，不宜强记，这是极为可笑的说法，我还没有亲眼看过一个伟大的数学家有这种能力。即使在做研究的时候，我们不能不记忆前人或近人的工作，使我们能够向前作新的研究。”由此看来，我们还是要辩证看待笛卡尔的观点的。


自然和自然的法则在黑夜中隐藏；
上帝说，让牛顿去吧！
于是一切都已照亮。
这是亚历山大.蒲柏为牛顿写的墓志铭（1727年）


牛顿于伽利略去世那年的圣诞出生于英格兰林肯郡伍尔索普村的一个农民家庭，是遗腹子，且早产，生后勉强存活。少年牛顿不是神童，成绩并不突出，但酷爱读书与制作玩具。17岁时，牛顿被母亲从他就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农，但在牛顿的舅父埃斯库和格兰瑟姆中学校长史托克思的竭力劝说下，牛顿的母亲又允许牛顿返校学习。史托克思校长的劝说辞中，有一句话可以说是科学史上最幸运的预言，他对牛顿的母亲说：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！”


1665年8月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分，发现万有引力和颜色理论，……，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。


有一类最速降线问题，是要求出两点之间一条曲线，使质点在重力作用下沿着它由一点至另一点降落最快（即所需时间最短）。这问题最早由约翰.伯努利提出来向其他数学家挑战，刊登在1696年6月《教师学报》上。问题提出后半年未有回音，他遂于1697年发表著名的元旦《公告》，再次向“全世界最有才能的数学家”挑战。《公告》中有一段话说：“能够解决这一非凡问题的人寥寥无几，即使是那些对自己的方法自视甚高的人也不例外。”这段话被认为是隐射牛顿的。牛顿于1月29日从造币局回到住所，从一封法国来信中看到了伯努利的挑战，他利用晚饭后的时间一举给出了正确的解答——摆线（或称旋轮线）。牛顿将结果写成短文匿名发表在《哲学汇刊》上，伯努利看到后拍案惊呼：“从这锋利的爪我认出了雄狮！”

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关键词：Directed Enduring Faithful Industry constant 历史

在十八世纪英格兰人的眼里，牛顿就是受过所谓“律条”指点的“新的摩西”。整个民族在一起集会，庆祝这个无与伦比的大事：一个人发现了自然所说的和所遵守的语言。

在现代科学中具有划时代意义的科学家莫过于牛顿。1746年，达尔冈侯爵在他的《明哲的哲学》中写道：“引力的狂热今天在荷兰、英国是盛况空前的，它是当时法国对笛卡尔想象之风的狂热所无法比拟的。人们看到律师放弃律师席去研究引力；神学家为了引力忘记了一切神学的学习……”甚至欧洲某些宫廷里的帝王也因此开始对物理学产生了浓厚的兴趣，总之，牛顿的力学定律一产生，使整个欧洲的意识形态发生了一次天翻地覆的变化，大大地扩展了科学的眼界，也给人类带来了征服自然的勇气和力量。伴随牛顿力学定律而来的是科学的一次巨大飞跃，人们开始对一时视为定规的定律和原则加以重新审定和另眼相看，甚至连神学家的教义也不得不做相应的变动和修改。

牛顿是一位科学巨人，但是他有一次在谈到自己的光学发现时却说：“如果我看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”。还有一次，当别人问他是怎样作出自己的科学发现时，他说到：“心里总是装着研究的问题，等待那最初的一线希望渐渐变成普照一切的光明！”据他的助手回忆，牛顿往往一天伏案工作18个小时左右，仆人常常发现送到书房的午饭和晚饭一口未动。偶尔去食堂用餐，刚出门便陷入思考，兜个圈子又回到住所。惠威尔在《归纳科学史》中写道：“除了顽强的毅力和失眠的习惯，牛顿不承认自己与常人有什么区别。”

牛顿终身未婚，晚年由外甥女凯瑟琳协助管家。家喻户晓的苹果落地与万有引力的故事，就是凯瑟琳告诉法国哲学家伏尔泰并被后者写进《牛顿哲学原理》一书中。

牛顿本人也写了一本划时代的名著《自然哲学的数学原理》，在此把其中的哲学推理规则摘录出来：规则一，寻求自然事物的原因，不得超出真实和足以解释其现象者。为达此目的，哲学家们说，自然不做徒劳的事，解释多了白费口舌。言简意赅才是真谛；因为喜欢简单性，不会响应于多余原因的侈谈。规则二，因此对于相同的自然现象，必须尽可能地寻求相同的原因。例如人与野兽的呼吸，欧洲与美洲的石头下落，炊事用火的光亮与阳光，地球反光与行星反光。规则三，物体的特性，若其程度既不能增加也不能减少，且在实验所及范围之内为所有物体所共有，则应视为一切物体的普遍属性（以下省略展开的一些文字）。规则四，在实验哲学中，我们必须将由现象所归纳出的命题视为完全正确的或基本正确的，而不管想象所可能得到的与之相反的种种假说，直到出现了其他的或可排除这些命题，或可使之变得更加精确的现象之时。

牛顿1727年因肺炎和痛风症而逝世，葬于维斯特敏斯特大教堂。当时参加了葬礼的伏尔泰亲眼目睹英国的大人物争抬牛顿的灵柩而无限感叹。在这里又免不了要引述丘成桐先生的一段文字：“然而，认为我的奋斗目标是奖项，是成名成家，那就不对了。这些都不是本人研究的首要目标。我对数学的兴趣，源于人类智能足以参悟自然的欣喜。从几何上看，大自然的美是永恒不朽的。”我想，大概牛顿对于自然哲学的追求，也有几分这样的感觉吧。

在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼兹分享荣誉。
莱布尼兹出生于德国莱比锡一个教授家庭，早年在莱比锡大学学习法律，同时开始接触伽利略、开普勒、笛卡尔、帕斯卡以及巴罗等人的科学思想。1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位，次年开始为缅因兹选帝侯服务，不久被派往巴黎任大使。莱布尼兹在巴黎居留了四年，这四年对他整个科学生涯的意义，可以与牛顿在家乡躲避瘟疫的两年类比，莱布尼兹许多重大的成就包括创立微积分都是在这一时期完成或奠定了基础。

莱布尼兹在巴黎与荷兰数学家、物理学家惠更斯的结识、交往，激发了他对数学的兴趣。他通过卡瓦列里、帕斯卡、巴罗等人的著作，了解并开始研究求曲线的切线以及求面积、体积等微积分问题。大约从1672年开始，莱布尼兹将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来。借助于笛卡尔解析几何，莱布尼兹可以把曲线的纵坐标用数值表示出来，并想象一个由无穷多个纵坐标值y组成的序列，以及对应的x值的序列，而x被看作是确定纵坐标序列的次序。同时考虑任意两相继的y值之差的序列。莱布尼兹后来在致洛必达的一封信中总结说：这使他发现，“求切线不过是求差，求积不过是求和”！在创立微积分的过程中，莱布尼兹最令我们当今的学子感动的，或者说值得被我们学习微积分的人们感激的是他对于微积分符号的选择，积分的那个符号∫是s的拉长，而s表示sum，是求和的缩写，而微分的符号d是求差的意思，这种洞悉了运算本质后对符号的精心选择，是莱布尼兹微积分的一大特点，这些符号后来得到普遍接受并一直沿用至今。相对而言，牛顿对符号不太讲究，他所采用的符号，后来逐渐被淘汰了。牛顿的符号也可以提一下，就是在小写的各种字母上打点或者加一撇。牛顿的直觉之强，真让人叹为观止。

莱布尼兹的博学多才在科学史上罕有所比，其著作涉及数学、力学、机械、地质、逻辑、哲学、法律、外交、神学和语言学等。在数学上，他的贡献也远远不止微积分。莱布尼兹的博学让我想到了西方科学之父亚里士多德，他的著作堪称希腊的大百科全书，在逻辑学，修辞学和诗学上都有较系统的思想，并且，亚里士多德自然科学方面的著述颇多，最完善的是物理学方面的著作。

莱布尼兹1679年撰写《二进制算术》，使他成为二进制的发明人，二进制在现代被应用于计算机设计，但莱布尼兹并没有把它应用到自己的计算机上。莱布尼兹后来发现他的二进制数可以给中国古老的六十四卦易图一个很好的数学解释，他是通过他的朋友、法国传教士白晋得到六十四卦图的。莱布尼兹高兴地说：“可以让我加入中国籍了吧！”莱布尼兹甚至写信给中国康熙皇帝建议成立北京科学院。

1698年后，莱布尼兹失宠于新任的汉诺威公爵乔治.路德维克，加上与牛顿的微积分优先权争论（由第三者挑起的争论，这是科学史上十分不幸的一页），使得他的晚景颇为凄凉。1716年，在经受了胆结石和痛风症的折磨之后，莱布尼兹离开了人世，据说只有忠实的秘书参加了他的葬礼。

在科学史上，重大的真理往往在条件成熟的一定时期由不同的探索者相互独立的发现，微积分的创立，情形也是如此。1687年，当牛顿在《原理》中首次发布他的流数方法时，他在前言中作了这样一段说明：

“十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼兹的信中曾指出：我发现了一种方法，可用以求极大值，极小值，作切线以及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数，……。这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法给我看了，他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别。”这段说明由于优先权之争在第三版时被删去了。尽管发生了纠纷，两位学者却从未怀疑过对方的科学才能。有一则记载说，1701年在柏林王宫的一次宴会上，当普鲁士王问到对牛顿的评价时，莱布尼兹回答道：  “综观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作。”

（二）

在莱布尼兹生活的时代，什么才是欧洲？欧洲就是相邻的人们之间你死我活的拼杀，法国和英国的竞争，法国和奥地利的竞争，奥格斯堡大会战，接着是西班牙战争。如今的欧洲足球赛也能追寻到这样一丝带火药味的联想。历史的协定说明这种混杂的局面很难再遵循历史条约的细节。协议只是短暂的间歇，和平也只是一种怀念，民力耗尽了而战争还在继续。每年春天，军队都要开拔去打仗。

莱布尼兹看到不能阻止欧洲人相互残杀，建议将其战争的狂热转向欧洲以外。但是，当莱布尼兹于1672年想将法国纳入他的宏大的企图之时，荷兰战争爆发了，而人们不相信路易十四曾经接见过这位来自德国的向他提出建议的哲学家。四十年后，当圣.比尔神父着手拟定一个一个的海市蜃楼（即建立欧洲共和国，消除战争）之时，当代人让他将其早熟的梦想抛向真空。充满新的热忱并寻求新的靠山的圣.比尔神父，将其计划告诉了莱布尼兹这位伟大的和平事业的老冠军，可莱布尼兹却忧郁地回答了他。他回答说，人要摆脱许许多多的痛苦最需要的是意志。严格说来，一个强有力的君王能够将瘟疫或饥饿拒之于国门之外，但是，要阻止战争的爆发则更为困难，因为事情不取决于一个人的决定，而是要求君王和帝王们的共同合作。他说，没有一个总理愿意向帝王建议放弃西班牙和印度的继承。将西班牙的君主整体转入法国的希望，一直是五十年战争的根源。让人担心的是，把它突出出来的希望又在另外五十年间将欧洲搅得不安。往往存在这样的命运，它阻止人类的幸福！

在牛顿的事迹中提到的伏尔泰是法国的启蒙思想家。这人的一些言论十分发人深省。比如说他宣称人民的自由和贸易的自由是一个国家繁荣的根本。“贸易越是自由的国家，就越是富裕和繁荣，贸易自由和国家繁荣成正比。”他认为封建专制的国家，束缚了人的智慧，压制了人的自由，“王朝的繁荣和昌盛完全靠唯一的人的脾性，这就是专制王朝的命运。”用一个人的任性来代替众人的智慧，这是造成专制王朝愚昧、落后和黑暗的根本原因。在这里，正义被歪曲，光明被掩盖，自由被扼杀。

伏尔泰曾经根据元杂剧中纪君祥的《赵氏孤儿》，创造了自己的名剧《中国孤儿》，写一代天骄成吉思汗攻占汉族的帝京以后，汉族大臣臧悌和他的夫人伊达梅为保护皇太子而忠贞不屈的故事。他们把皇太子藏起来，而献出自己的亲生儿子，而当成吉思汗要处死臧悌并纳伊达梅为妃时，伊达梅甘愿同丈夫一起去死而不愿意嫁给成吉思汗，这对夫妻的忠贞不屈的道德力量感动了成吉思汗，他赦免了臧悌夫妇和他们的儿子及皇太子，并感慨万端地说：
  你使我感到羞愧，臧悌，你占了上风，
  在一颗为我而生的心中，在一颗我所爱慕的心中。
  在我看来，你的妻子甘愿为他的信仰牺牲，
  她宁肯在你手下而死，不愿在我身边而生。
  ……
  我敬佩你们两位，你们战胜了我，
  在胜利的王位上，在我的光荣之中，
  我为在你们之下而脸红。
  ……
  请在这里做法律的最高翻译吧，
  使臣僚们像你自己一样的神圣；
  传授真理、正义和高尚之风，
  让被战胜的人民来统治战胜者，
  让智慧来主宰和掌握勇猛，
  你们战胜了强力，我应该感谢你们，
  我将做出榜样，一代英明的君主
  来把你们体现的法律服从。
  
  伊达梅：谁能使你产生如此宏愿？
  成吉思汗：是你们的道德。

伏尔泰用中国的道德力量，同当时法国统治阶级的非人道和堕落现象作斗争。宣扬其理想中的文明道德和人道主义精神。伏尔泰坚信人间的人道和正义终究会战胜一切黑暗和邪恶，他说：“人间存在着人道和正义，……我已播下了种子，它有朝一日会萌发并取得巨大的丰收。”用我们湖南籍的一位历史人物的话说，是：天若有情天亦老，多少红尘忘不了。好像是人间正道是沧桑。

爱因斯坦的脑袋很大大，众所周知的，质能方程和相对论带来的影响是颠覆性的。然而，作为一个生活在特定时代的人，爱因斯坦却也具有着别样的情感状态。我们可以读到很多爱因斯坦出席交流会或者在某个地方受到欢迎的小段子，所到之处，似乎都可以看到汹涌的人群，其实，爱因斯坦是位相当孤独的人，他只有为数不多的朋友、同事和学生。他生活在一个悲伤痛苦的时代：发生了两次世界大战，又兴起了反犹太主义。毫不奇怪，对他来说，科学是跨过这混乱年月走向胜利的途径。

注意一下爱因斯坦和他年轻时候在苏黎世的最亲密的朋友米歇尔.贝索之间的通信是很有意思的。尽管贝索是一位工程师和科学家，但在晚年时他却越来越关心哲学、文学和那些围绕着人类存在核心的问题。他固执地一次又一次重复着那些同样的问题：什么是不可逆性？它与物理定律之间的关系是什么？爱因斯坦也一次又一次地怀着只对这位密友才表现出的耐心回答说，不可逆性只不过是由“未必有的”初始条件产生出来的一种幻觉而已。这种对话一直进行了许多年，直到这位比爱因斯坦大八岁的贝索去世为止（在爱因斯坦逝世前一个多月）。在给贝索的妹妹和儿子的最后一封信中，爱因斯坦写道：“米歇尔已经在我之前离开了这个奇怪的世界。这其实也没什么。对我们这些信念坚定的物理学家来说，过去、现在和未来之间的差别只是一种幻觉，虽然是一种长久不变的幻觉。”在爱因斯坦试图理解物理学基本定律的努力中，“可以理解的”一词指的就是“永不改变的”。

关于宗教，爱因斯坦说：“那些我们认为在科学上有伟大创造成就的人，全部浸透着真正的宗教观念，他们相信我们这个宇宙是完美的，并且能够使追求知识的理性的努力有所感受。如果这种信念不是一种具有强烈感情的信念，如果那种寻求知识的人未曾受过斯宾诺莎（荷兰哲学家）的对神的理智的爱的激动，那么，他们就很难会有那种不屈不挠的精神，因为只有这种精神才能使人达到他的最高成就。”宗教感情是人身上的一种虔诚的追求精神的体现。它是一种理性信念的产物，要么是相信上帝是宇宙的最高权威，要么是相信有一种相当于主宰宇宙的上帝的权威的存在，无论这两种情况中的哪一种，只要对它进行追求和皈依（我们所说的是真正的皈依和追求）都具有崇高的道德价值。
     
爱因斯坦还说过：“真正的宗教已被科学知识提高了境界，而且意义也更加深远了。”随着人类科学的发展，西方的宗教也在不断的发展，宗教信仰的侧重点也在不断的转移，《圣经》的确定性被否定以后，它所记载的人类历史却是永存的，耶稣的形象随着人类理性的进步和想象、思维的发展，它由一种具体的神而变为一种崇高的理想人格的典范，从这种意义上说，宗教的存在尚有其积极的一面，特别是对在曾经影响到西方文化深层的基督教来说，它在西方文化中无论是从历史上看还是从现实上看都是一种不可忽视和否定的举足轻重的因素。

牛顿力学奠定了经典力学的基础，然而在牛顿获得胜利之后，也仍然会有后来人跟上，来发现牛顿理论的局限。以下是一封信的内容。

……愿上帝保佑我们
离开单一的梦幻和牛顿的长眠！
这是威廉.布莱克写给托马斯.巴茨的信里所提及的话。
经典力学之后，量子力学逐步兴起。作为量子力学的开拓者之一，德国当代著名物理学家、诺贝尔物理奖学金获得者海森堡说：“宗教是伦理学的基础，而伦理学则是生活的先决条件。因为我们每天必须作出决定，我们必须知道决定我们行动的价值（伦理标准），或者至少隐约的想到它们，”基督教理论在西方的影响，相当于儒学在中国的影响，虽然它的很多具体的成分已被扬弃和遗忘，但它在西方民族的伦理学和道德中却仍然起着巨大作用。很多皈依宗教的哲学家、物理学家和文学家的真正皈依，不一定是真正相信《圣经》中那个拯救人类的上帝，而归根结底是皈依一种理性追求的信念。而这种信念在宗教气氛中变得越加神圣化起来而已。科学家、哲学家和文学家与一般教徒同时进教堂去做弥撒、做祈祷，但他们的心灵中所展示的境界却不大一样。很可能科学家的头脑中展示的是一个未被认识的科学领域，哲学家们头脑中展示的是一种理想的人生观，而文学家头脑中所展示的则是一种难以扼止的高尚的激情。

海森堡提出的测不准原理，颠覆了在某些情形下牛顿力学对于物理量的解读。即，我们不可能找出一个函数，既是坐标的又是动量的本征函数。作为量子力学中坐标算符和动量算符的定义的结果，不可能有这样的状态，其中坐标q和动量p这两个物理量同时具有完全确定的值。这种情形在经典力学中是不曾有过的。我们可以测量坐标和动量，但用△q,△p，表示的各自可能预言的差量，被海森堡不等式△q△p≥h（h为普朗克常量）联系起来。我们可以使△q任意小，但那时△p就变成无穷大，反过来也一样。量子力学迫使我们不大可能绝对地谈及某客体的局域化，这一点如玻尔非常强调的，暗示我们必须放弃经典物理学的现实主义。

我们知道，18世纪微积分最重大的进步是由欧拉做出的。在经济学的初级教材中，便能看到生产分配净尽定理，即通常说的欧拉定理，至于专业数学教材中，欧拉这个名字也是为大家所熟知的。陈省身先生在介绍拓扑学的时候，便用欧拉公式做了一个影子，以揭示拓扑变换的实质。这个公式是多面体的顶点数减去棱数加上面数等于二。欧拉这个人阅历是比较丰富的，他出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，13岁就进入巴塞尔大学，数学老师就是本文前面提及的向数学家挑战的约翰.伯努利。师生之间建立了极亲密的关系，伯努利后来在给欧拉的一封信中这样赞许自己这位学生在分析方面的青出于蓝：“我介绍高等分析时，它还是个孩子，而你正在将他带大成人。”欧拉主要的科学生涯是在俄国圣彼得堡科学院和德国柏林科学院度过的。他对圣彼得堡科学院怀有特殊的感情，曾将自己的科学成就归功于“在那儿拥有的有利条件”。

欧拉是历史上最多产的数学家。他生前发表的著作与论文有560余种，死后留下了大量手稿。欧拉说自己未发表的论文足够圣彼得堡科学院用上20年，结果是直到1862年即他去世80年以后，圣彼得堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作。1911年瑞士自然科学协会开始出版欧拉全集，现已出版70多卷，计划出齐84卷，都是大四开本。欧拉从18岁开始创作，到76岁逝世，因此单是收进全集的这些文稿，欧拉平均每天就要写约1.5页大四开纸的东西，而欧拉还有不少手稿在1771年的圣彼得堡大火中化为灰烬。欧拉28岁左眼失明，56岁双目失明，他完全是依靠惊人的记忆和心算能力进行研究和写作。
与牛顿不同的是，欧拉一生结过两次婚，是13个孩子的父亲，不知是否生活压力太重，导致不得不疯狂地探究和创作。1783年9月的一天，欧拉在与同事讨论了天王星轨道计算以后疾病发作，喃喃自语道：“我要死了！”如巴黎科学院秘书孔多塞形容的那样，他停止了计算，也停止了生命。

在牛顿之后，扛着经典力学大旗的拉普拉斯提出了拉普拉斯小妖的观点。即，给定了初始状态的条件以及物理描述对象的对应方程，则整个宇宙的演化就在这灵敏的有着超强计算能力的小妖手中,能够被唯一确定。这显然是决定论的观点。

拉普拉斯(Laplace)是法国诺曼底地区的农家子弟，达朗贝尔帮助他当上了巴黎军事学校数学教授，后来与拉格朗日(Lagrange)和勒让德（Legendre）并称“巴黎三L”。

拉普拉斯对数学物理的影响是巨大的。通常认为他偏爱应用而对纯粹的数学不感兴趣。在拉普拉斯的著作中，确实经常用“容易看出”这样的轻松一笔来代替对所得数学结论的严格证明。这往往使阅读他的著作的人感到头痛，但拉普拉斯有自己的想法。他在另一部著作《概率的解析理论》“绪论”中曾这样写道：“分析和自然哲学中最重大的发现都应归功于这种丰富多产的方法，也就是所谓的‘归纳’方法。牛顿二项式定理和万有引力原理就是归纳法的成果”。与18世纪的其他数学家相比，拉普拉斯更醉心于发现结果而淡出证明，不过无论如何，数学在他心目中有特殊的地位，因为他说过：“一切自然现象都是少数不变定律的数学推论。”从以上的叙述可知，拉普拉斯也是一个很强调直觉的人，他不同于考试从未及格过的埃尔米特，也不同于每次都是当场最后一个领悟到问题实质的希尔伯特，而是和数学通才庞加莱有相似的地方，不愧是继承牛顿精神的人，连直觉的强大也是如此相似。或许，拉普拉斯小妖就是拉普拉斯本人的一个梦幻，在梦幻中，拉普拉斯才是主角。拿破仑曾经问拉普拉斯在他的世界体系中上帝的地位如何，拉普拉斯的回答是：“我不需要这个假设！”

1827年当拉普拉斯逝世时，他留下的遗言据说是：“我们知道的，是很微小的；我们不知道的，是无限的。”或许，他坚定的认为决定论是正确的，只是无从知晓应该如何来进行决定罢了。

说完拉普拉斯，接下来说说拉格朗日。翻看过高等数学上册的朋友想必对拉格朗日这个名字不会陌生。拉格朗日中值定理是微积分中常见的工具。拉格朗日生于意大利的都灵，看看这名字取得多么气派。此君十分有才，19岁就被任命为都灵炮兵学校的数学教授。欧拉和达朗贝尔力荐他到柏林科学院任职。普鲁士王弗里德里希写信邀请拉格朗日说：“欧洲最大之王希望欧洲最大的数学家到宫中为伴”。从1766年到1787年，拉格朗日长期在柏林科学院服务。弗里德里希死后，他接受法王路易十六之邀到巴黎定居。法国大革命期间，革命政府驱走了所有的外籍院士，却破例让拉格朗日留下来并负责法国的度量衡改革。

（三）
18世纪的数学家们不仅大大开拓了分析的疆域，而且赋予它与几何相对的意义，他们力图用纯分析的手法以摆脱几何论证的束缚，这种倾向成为18世纪数学的又一特征，在拉格朗日的工作中达到了登峰造极的境地。拉格朗日在他的《分析力学》中声称：“这本书找不到一张图，我所叙述的方法既不需要作图，也不需要任何几何的或力学的推理，只需要统一而有规则的代数（指分析）运算。”现在当我们在享受拉格朗日乘数法带给我们的快感时，一定不要忘记这位名字响亮的哲学家的辛苦劳作。

接下来我们看到的是一个叫伽罗瓦的年轻人的故事。此君是极品，让我不得不摘录下来。简单的说，他解决了一个困扰数学界几百年的问题。在伽罗瓦之前，拉格朗日已经讨论过方程根的置换并意识到置换理论是“整个问题的真正哲学”，但他却未能继续前进。只是伽罗瓦通过引进全新的群的概念，才明确指出了其间的实质联系，从而解决了包括欧拉，拉格朗日等许多大数学家都感到棘手的问题。

伽罗瓦攻克的难题虽然是三百年前的老问题，但他的思想却大大超出了他的时代。遗憾的是，他的工作在生前完全被忽视了。伽罗瓦身世十分悲惨，出生在巴黎附近的一个小镇的镇长家庭，家境本来很优裕，但他生逢法国大革命的动荡时代。在他18岁那年，父亲因与天主教保守势力冲突而自杀。从此各种不幸接踵而至。在父亲去世一个月后，伽罗瓦报考他向往以久的巴黎综合工科大学又遭失败，原因可能是他在回答主考官提出的一个特殊问题时，做了不合时宜的回答。后来伽罗瓦考进了巴黎高等师范学校，以后又因为政治活动被捕入狱。1832年5月的一天，伽罗瓦在他的政敌利用爱情纠葛而挑起的一场决斗中身亡，死时不到21岁。看来“上圣忘情，王者之道”是很对的，林冲和武大郎都是吃了亏的。伽罗瓦如果能像牛顿那样埋头钻研，终身不娶，成就将很难估量。为何要作如此评论，看了下文您就明白了。

伽罗瓦的数学研究，是在激烈的动荡和遭受种种打击的情况下利用极为有限的时间进行的。伽罗瓦生前曾三次向法国科学院递交他关于代数方程的论文。第一次论文被柯西丢失，第二次因为负责审理的科学院秘书傅里叶病逝而下落不明，第三次则被泊松认为“不可理解”而打入冷宫。

在决斗前夜，伽罗瓦通宵达旦整理自己的数学手稿，并在遗书中坚信“最终会有人发现，将这堆东西解释清楚对他们是有益的”。他去世以后十四年，法国数学家刘维尔在其主编的《数学杂志》上首次发表了伽罗瓦的两篇遗作，伽罗瓦工作的意义才逐渐为人认识。伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端。这不只是因为他解决了方程根式可解这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容、方法上的深刻变革。代数学由于群的概念的引进和发展而获得新生。它不再仅仅是研究代数方程，而更多的是研究各种抽象的“对象”的运算关系，19世纪中叶以后，这种抽象的“对象”层出不穷，从而为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础。当我们从大学的高等数学、线性代数、概率和数理统计等基础科目走向现代数学时，就会发现，刚开始的概念就是群，对称与群，群的定义和性质，子群和商群。

伽罗瓦，比牛顿少活了整整54年，54年给人以无比的幻想空间。让人联想纳兰容若。纳兰容若，名性德，容若是他的字。纳兰容若这名字风光旖旎，教人惊艳：胸纳幽兰，神容略若。一吟此名，浊世才子翩翩风貌，历历眼前。

纳兰容若诞于清顺治十一年，正黄旗人，其祖于清初从龙入关，战功彪炳，其父明珠，是康熙朝权倾一时的首辅之臣。容若天资颖慧，博通经史，工书法，擅丹青，又精骑射，十七为诸生，十八举乡试，二十二岁殿试赐进士出身，后晋一等侍卫，常伴康熙出巡边塞，三十一岁时因寒疾而殁。纳兰容若的词清新婉丽，独具真情锐感，直指本心，在他生前刻本出版后产生过“家家争唱”的轰动效应。在他身后，纳兰被誉为“满清第一词人”、“第一学人”，清家词话和学者均对他评价甚高，王国维赞曰“以自然之眼观物，以自然之舌言情。……北宋以来，一人而已。”

音乐天才莫扎特也能立此存照。莫扎特出生在一位宫廷乐师的家庭。3岁起显露音乐才能，4岁跟父亲学习钢琴，5岁作曲，6岁又随父亲学小提琴（让本人悲伤的是，本人不会任何乐器，泪~~），8岁创作了一批奏鸣曲和交响曲，11岁写了第一 部歌剧。繁重的创作、演出和贫困的生活损害了他的健康，使他过早的离开了人世，他的音乐作品成为世界音乐宝库的珍贵遗产。1791年9月写了最后一部歌剧《魔笛》，并在重病中写作大型宗教音乐作品《追思曲》，未能全部完成，便与世长辞了。莫扎特的短暂一生写出了大量的音乐作品，体裁形式涉及到各个领域，留些了许多不朽杰作。相信每个人或多或少都听到过莫扎特的古典乐。莫扎特一生36年中有25年在从事歌剧创作，共写了20余部。其中《费加罗的婚姻》、《唐璜》、《魔笛》最具代表性。又想起了才艺全面的灵魂、声线略带沙哑的家驹，那比起他来最近去世的杰克逊还算好的，活了五十岁。这两个摇滚明星创作的题材其实有挺多交集的。都是充满大爱的人。真是天妒英才啊。或许，让他们出现，便是对尘世的恩赐了吧。这样来看，范巴斯滕的离去也都不再令人伤感，因为他还好好的活着，又带领荷兰国家队征战世界大赛。

欧洲人真是有血性的人种。看看伽罗瓦这么一个读书人竟然可以如此视死如归。据说欧洲的历史中，没有哪个民族可以被异族统治长时间的。这跟元朝和清朝的异族长期统治形成了鲜明的对比。或许，这不利于培养汉人的血性吧。没有血性，那就只剩下奴性了。也许欧洲人的这种个性中的张力和不安分是由于独特的地理状况导致的，我国地理状况也确实有利于闭关自守。

我们参加过小学或者初中奥赛培训班的朋友大概知道高斯求和这个说法。接下来要介绍的就是高斯了。高斯出生在德国布伦瑞克一个世代都是劳动者的家庭（潜在的含义是这家伙真是天才）。他的父亲当过花匠、瓦工和运河看管人，人虽正直但在家里却很专断。如果按照他那固执的父亲的意见，高斯很可能避免不了同样成为一名花匠或瓦工的命运。幸运的是，高斯有一位开通的母亲和一位聪明能干并具有远见的舅舅。他的母亲虽然没有受过教育，但她却寄希望于儿子，并且一生都以儿子的成就作为自己的精神支柱。而他的舅舅最先发现了高斯异乎寻常的才智，并有意识地对他进行了早期培养。很可惜，时下流行的小学奥数班貌似将每个孩子都当成了高斯。其实是当成了提款机。对于没有兴趣的人来说，学习艰深的数学是对人性的一种摧残。

高斯是历史上并不多见的以“神童”著称的一位数学家。据说，还是三岁时，他就发现了父亲账簿上的一个计算错误。另一则广为流传的故事讲的是高斯10岁时，有一天，老师为了让班里的孩子们有事干，出了一道题：从1一直加到100。然而就在老师刚刚把这道题写在黑板上，小小的高斯就给出了正确的答案：5050。高斯的天才引起了布伦瑞克公爵的注意。这位有权势的人物资助高斯完成了中学和大学的学业。正是出于对公爵的感激，高斯把他的《算术研究》献给布伦瑞克公爵。关于数论，高斯曾说过一句著名的话：“数学是科学的女王，而数论是数学的女王。”他还说过：“天文学与纯数学，是我心智的罗盘永远指向的磁极。”高斯也确实在纯粹数学和应用数学的许多领域都作出过重要贡献。高斯生活的年代是1777——1855年，对应我国应当是清朝的时候。在这个时候的西方，会有权贵资助具有数学天赋的人完成学业，而我国自元末以后传统数学逐渐衰微。皇朝更迭的漫长的封建社会，在晚期表现出日趋严重的停滞性与腐朽性，数学发展缺乏社会动力和思想刺激，元代以后，科举考试制度中的《明算科》完全废除，唯以八股取士，数学家社会地位低下，研究数学者没有出路，自由探讨受到束缚甚至遭到禁锢。这样一来，我国的自然科学定然是跟不上西方的节奏了。华夏文明走上了一条保守和愚昧的道路，天哪，这真是一个悲剧。

不扯远了，接着摘录高斯。本文开始引用的杨振宁写给陈省身先生的诗的末句是：欧高黎嘉陈。这里就略微解释一下欧和高的关系。在非欧几何正式建立之前，它的技术性内容已经被大量的推导出来。但最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间，像欧式几何一样正确的新几何学的是高斯。从高斯的遗稿中可以了解到，他从1799年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里德公理推出来，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。他起先称之为“反欧几里德几何”，最后改称为“非欧几里德几何”，所以“非欧几何”这个名称正是来自高斯的。但他除了在朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露外，高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著。这主要是因为他感到自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，担心世俗的攻击。

他曾在给贝塞尔的一封信中说：如果他公布自己的这些发现，“黄蜂就会围着耳朵飞”，并会“引起波哀提亚人的叫嚣”。这里所讲的波哀提亚人是古希腊的一个部落，向来以愚昧著称，高斯是借此影射那些反对他的人。高斯素有“数学之王”的美誉，在许多数学领域都有奠基性的贡献，但于非欧几何却怯于公开同传统挑战，可见为新思想开辟道路并不是件容易的事情啊。

当声誉甚隆的高斯决定将自己的发现秘而不宣时，一位尚名不见经传的匈牙利青年波约却急切地希望通过高斯的评价而将自己关于非欧几何的研究公诸于世。波约的父亲是高斯的朋友，1832年2月14日，波约的父亲把儿子的一篇题为《绝对空间的科学》的26页文章寄给高斯，其中论述的所谓“绝对几何”就是非欧几何，希望高斯发表意见。然而高斯回信说：“称赞他就等于称赞我自己。整篇文章的内容，您儿子所采取的思路和获得的结果，与我在30至35年前的思考不谋而合。”波约对高斯的答复深感失望，认为高斯想剽窃自己的成果。1840年，鸦片战争爆发时，俄国数学家罗巴切夫斯基（看看近代数学史上俄国数学家的名字宛如群星璀璨，这不是没有原由的，俄国过去是侵犯我国主权领土最多的最不友善国家，将来也必定是一个强大的对手，基础领域的研究的实力和资源的富庶加上侵略的传统值得引起重视）关于非欧几何的德文著作出版后，更使波约灰心丧气，从此便不再发表数学论文，而他的父亲倒很开通，安慰他说：“春天的紫罗兰在各处盛开。”这是一个多么伟大的父亲啊，为了儿子成人成才，他动用了自己的关系，在儿子遭遇挫折的时候苦口婆心的开导，还这么有诗意。在我国，功利主义盛行的风气让很多孩子背上了只能赢不能输的抱负从而过渡到想赢怕输的心理状态，最后实现决战的崩溃。真的要好好向波约的父亲和高斯的母亲学习。

还要继续欧高黎嘉陈。高斯之后的黎曼是现代数学史上最具创造性的数学家之一。他1826年出生在一个牧师家庭（注意，本文中不止一次出现牧师家庭的背景，倘若牧师和学术没有线性关系，那么可以想象的是教会的势力已经十分强大），由于家庭环境的影响，黎曼最初进入哥廷根大学时学习的是神学和哲学，但不久他就喜欢上了数学，在征得父亲同意后，黎曼将数学选定为自己的专业。然而经过一年后，他发现哥廷根大学开设的数学课程过于陈旧，甚至连高斯也在讲初等的课程，于是他决定去柏林随雅可比、狄利克雷（这些名字是不是在高等数学和线性代数等书中都见过，响当当的呵）等数学家学习。

1849年，黎曼重返哥廷根在高斯指导下做博士论文，题目为《单复变函数一般理论基础》。结果，这篇论文得到了高斯的赞赏，他以少有的激情给作者写了如下评语：“黎曼先生提交的博士论文提供了可信的证据，表明作者对他的论文所涉及的主题进行了全面、深入的研究，显示了一个具有创造力的、活跃的、真正的数学头脑以及了不起的富有成果的独创性。”后来，黎曼在狄利克雷之后继承了高斯在哥廷根的数学教授席位。不幸的是，黎曼正值他的创作高峰时因感染上肺结核而去世，死时还不到40岁。黎曼在他短暂的一生中，对于几何、分析和物理学的众多领域都作了开创性的贡献。有数学家曾经评论道：“黎曼是一个富有想象的天才，他的想法即使没有证明，也鼓舞了整整一个世纪的数学家。”
又是一个英年早逝的例子，让人叹惋。

高等数学的上册中提到了柯西中值定理和柯西不等式，这是我知道柯西这个名字的开始。实际上，柯西真正是我这样毛手毛脚不求甚解也比较偏好模糊事物的人的紧箍咒。为什么呢，因为柯西是19世纪分析严格化的先驱。柯西长期担任巴黎综合工科学校（该校是前面提及的伽罗瓦梦寐以求的高等学府，柯西也是让伽罗瓦的作品长期受抑制的‘元凶’之一，前已述及，另外两人是傅里叶和泊松）教授，他的著作多以严格化为目标，对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。柯西还对无穷级数进行了严格化处理，明确定义了级数的收敛性，并研究了判别级数收敛的条件。

柯西的研究成果一开始就引起了科学界很大的轰动。据说柯西在巴黎科学院宣读第一篇关于级数收敛性的论文时，使年高望重的拉普拉斯大感困惑，会后急忙赶回家去检查他那五大卷《天体力学》里的级数，结果发现他所用到的级数幸好都是收敛的。而如前所述，还是同一个拉普拉斯，当拿破仑问他为什么五大卷《天体力学》中没有一处提到上帝时，他曾傲然回答：“陛下，我不需要这样的假设！”有时候，穿过时光的隧道来重温这些典故，会让人感觉这些学者是如此的可爱。大概，没有不犯错误的人，所以，凡属把什么东西描绘成完美的行为，都带有浓厚的误导性质。读者诸君，当能明鉴。

提到柯西，便不可以不说德国的魏尔斯特拉斯。因为正是这哥们给我的高等数学学习带来了很大的困惑。记得正是大一的上学期，学习邻域的概念和极限的概念的时候，那些希腊字符便让我很不适应。现在才知道，魏尔斯特拉斯要负责任的。&shy;

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魏尔斯特拉斯出生于德国威斯特伐里亚地区一个海关官员家庭，中学毕业时成绩优秀，共获得七项奖，其中包括数学，但他的父亲却把他送到波恩大学去学习法律和商业。魏尔斯特拉斯对商业和法律都毫无兴趣。在波恩大学他把相当一部分时间花在自学他喜欢的数学上，攻读了包括拉普拉斯的《天体力学》在内的一些名著。他在波恩的另一部分时间则花在了击剑上。魏尔斯特拉斯身材魁伟，击剑时出手准确，加上旋风般的速度，很快就成为波恩人心目中的击剑明星。这样在波恩大学度过四年之后，魏尔斯特拉斯回到家里，没有得到他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得到。这使他父亲勃然大怒，怒斥他是一个“从躯壳到灵魂都患病的人”（这样的斥责是很普遍的，父母为子女计深远的意志被违背后，往往会很气急败坏，其实路还是要由孩子自己走的，难道不是么）。这时多亏他家的一位朋友建议，魏尔斯特拉斯被送到明斯特去准备教师资格考试。1841年，他正式通过了教师资格考试。在这期间，他的数学老师鞠德曼认识到他的数学才能。鞠德曼是一位椭圆函数论专家，他的椭圆函数论给了魏尔斯特拉斯很大的影响，魏尔斯特拉斯为通过教师资格考试而提交的一篇论文的主题就是求椭圆函数的幂级数展开（这应该是大于等于我国研究生入学考试数学科的难度，可见欧洲对于教师资格考核之谨慎）。鞠德曼在这篇论文的评语中写道：“论文显示了一位难得的数学人才，只要不被埋没荒废，一定会对科学的进步作出贡献。”&shy;

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然而，鞠德曼的评语并没有引起任何重视，魏尔斯特拉斯在获得中学教师资格（注意，懂得椭圆函数的幂级数展开居然只是获得中学教师资格的必要条件，让人不得不冒汗，最近，我国为了引导毕业生就业，招了很多找不到工作的毕业生去乡村中小学教书，鉴于农村孩子在高考录取中比例逐年下降，速度不是城市化所能冲抵，就业危机袭来的时候又如此病急乱投医，这么一来，农村教育水平的未来仍让人担忧）后开始了漫长的中学教师生活。他在两处偏僻的地方中学度过了包括30岁到40岁的这段数学家的黄金岁月。他在中学不光是教数学，还教物理、德文、地理甚至体育和书法课，而所得的薪金连进行科学通信的邮资都付不起（大家可以看到，魏尔斯特拉斯出身于海关官员的家庭，他居然如此潦倒，这又反映出中西观念的差别，我是说，如果他和父亲没有决裂的话）。但是魏尔斯特拉斯以惊人的毅力，过着一种双重生活。他白天教课，晚上攻读研究阿贝尔（只活了27岁的一生贫病交加的挪威青年数学家，除了方程论外，他还是椭圆函数论的创始人之一，但这些工作在他生前均未受到重视。阿贝尔大学毕业后长期找不到工作，1829年，柏林大学终于认识到阿贝尔的才华，决定任命他为教授，但当聘书寄达时，他已经由于肺结核不治在两天前离开了人世，又让人扼腕）等人的数学著作，并写了许多论文。其中有少数发表在当时德国中学发行的一种不定期刊物“教学简介”上，但正如魏尔斯特拉斯后来的学生、瑞典数学家米塔—列夫勒所说的那样：“没有人会到中学的教学简介中去寻找有划时代意义的数学论文。”不过魏尔斯特拉斯这一段时间的业余研究，却奠定了他一生数学创造的基础。&shy;

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一直到1853年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家克雷尔主办的《纯粹与应用数学杂志》（常常简称《数学杂志》），这才使他时来运转。克雷尔的杂志素以向有创造力的年轻数学家开放而著称。阿贝尔的论文在受到柯西（这厮，还丢失了伽罗瓦的论文哦，要记得哦）等名家冷落的情况下却被克雷尔杂志在1827年刊登出来；雅可比的椭圆函数论论文、格林的位势论论文等数学史上的重要文献，也都是在别处得不到发表而在克雷尔的帮助下用他的杂志发表的。这一次克雷尔又出场了。他接受了魏尔斯特拉斯的论文并在第二年就发表出来，随即引起了轰动（看到这里，心中一阵怪异的难受，因为在国内，目前的形势是，年轻人很难发表东西，至少论资排辈的气候很浓，而有些大牛只需要靠署名便能够在一流的期刊上发表论文，这样会扼杀掉年轻人的创新研究积极性，于我国的学术是大大的不利）。哥尼斯堡大学一位数学教授亲自到魏尔斯特拉斯当时任教的布伦斯堡中学向他颁发了哥尼斯堡大学博士学位证书（类似于前一阵子复旦大学招收了一个踩三轮为生的古文字博士）。普鲁士教育部宣布晋升魏尔斯特拉斯，并给了他一年假期带职从事研究。此后，他再也没有回到布伦斯堡。1856年，也就是他当了15年中学教师之后，魏尔斯特拉斯被任命为柏林工业大学数学教授，同年被选进柏林科学院。他后来又转到柏林大学任教授直到去世，晚年享有很高的声誉，几乎被看成是德意志的民族英雄。这样的人，让人肃然起敬。魏尔斯特拉斯很好的诠释了这样一句话：“如果你知道要去往哪里，全世界都会为你让路！”&shy;

在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析学之父”的称号。这种严格化的突出表现是创造了一套【epsilon—delta】的语言，用以重建分析体系。他批评柯西等前人采用的“无限的趋近”等说法具有明显的运动学含义，并采用之前提及的语言重新定义了极限、连续、导数等分析基本概念，特别是通过引进以往被忽视的一致收敛性而消除了微积分中不断出现的各种异议和混乱。可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上归功于魏尔斯特拉斯的工作。&shy;

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在概率论和数理统计中学到过的契比雪夫不等式、辛钦大数定理以及马尔科夫链等都来自俄国人的研究。在这里，我想摘录出一位杰出的俄国数学家——科尔莫戈罗夫。之所以要提及这位前辈，是觉得这位前辈也很纯粹。&shy;

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概率论无疑是他科学生涯中最重要的成就，但科尔莫戈罗夫的贡献却远不止此。他的研究还涉及函数论与调和分析、拓扑学、动力系统、微分方程、泛函分析、射影几何、流体力学、自动控制、信息论、数理统计及数理逻辑等。他关于这些领域的论文大都短小精悍，带有开创或奠基性质。科尔莫戈罗夫对数学史和数学哲学也表现出浓厚的兴趣并发表过许多脍炙人口的论述。作为出色的教育家，他培养的青年数学家仅仅成为苏联科学院院士或通信院士的就有6位。科尔莫戈罗夫还亲自给中学生讲课，并领导组织了全苏数学奥林匹克竞赛。他是英、美、法等12个国家的名誉院士，并多次获得国际大奖。但他本人很少关心名誉、头衔和金钱，1965年，他把得到的国际巴桑奖学金全数捐赠给学校图书馆；1980年他荣获沃尔夫奖，却没有前去领取奖金。大家知道，诺贝尔奖并没有设立数学这一科目，但是在数学界有两项大奖具备诺贝尔奖的级别，就是对于40岁之前的青年数学家颁发的菲尔茨奖和对一个数学家终身成就进行表彰的沃尔夫奖。这老头居然不去领取奖金，在杨振宁看来，恐怕不可思议。&shy;

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还想提及的是维纳。维纳是数学史上的一名神童，他14岁大学毕业，同时成为哈佛大学的研究生；18岁获得博士学位；1933年当选为美国国家科学院院士。维纳发展了广义调和分析；他对概率论布朗运动的研究使人们常常把这类运动称为“维纳过程”。维纳不仅是一位杰出的学者，他的正义感和国际精神也赢得了广泛的尊敬。第二次世界大战期间，他竭尽全力帮助遭希特勒迫害的犹太科学家到美国工作谋生；他也是美国新英伦地区中国救援委员会的积极成员，做了包括募捐在内的许多支援中国人民抗日战争的事情。他认识到像控制论这样的新科学的发展，“对于为善与作恶，都有无穷的可能性”，提出要“制止把这方面的发展交到那些最不负责任和最唯利是图的工程师手中去”，而把“个人努力限制在……远离战争和剥削的领域里”。因此，尽管他在二战期间用自己的科学知识与聪明才智解决了许多与战争有关的难题，但战后他却公开发表声明，不再接受美国政府下达的有军事目的的研究任务，这在当时引起了轰动。维纳先生，真的有种！&shy;

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接下来是数理经济学的一些摘录。粗略浏览过初等经济学的朋友应该知道古诺双寡头模型。1838年，作为拉普拉斯和泊松的数学学生，以概率论研究开始其学术生涯的古诺，忽然发表了一本题为《财富理论的数学原理研究》的经济学著作。这本书中充斥了数学符号。例如，记市场需求为d，市场价格为p，则需求作为价格的函数，就可记为d=f(p)。对于今天的经济系的大学生来说，这自然已是司空见惯的事。但是在古诺的时代，经济学家们则完全不能容忍这种“胡言乱语”。他们的反对迫使古诺对经济学沉默了25年。1863年古诺又用普通语言重写他的著作。书名中的“数学”和“研究”都回避了，而变成《财富理论的原理》。但数学家的严谨思维方式仍使这本书遭到了冷遇。古诺的历史地位直到他去世80年以后才被充分肯定。正如德布罗在他1983年的诺贝尔经济奖讲演中所说：“如果要对数理经济学的诞生选择一个象征性的日子，我们这一行会以罕见的一致意见选定1838年，……古诺是作为第一个建立阐明经济现象的数学模型的缔造者而著称于世的。”&shy;

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古诺能有今天的声誉，首先是与他的同年、同窗、几乎同名但不同姓的安东尼.奥古斯特.瓦尔拉斯的儿子勒翁.瓦尔拉斯是分不开的。老瓦尔拉斯也算是个有过著作的经济学家，但由于他总是言行不合时宜，终生都未获得经济学教席。他对经济学最大的贡献是培养了他的儿子。小瓦尔拉斯学过工程，写过小说，到了1858年才听从父教，决心献身于经济学。但他在法国同样未能获得教席。他当过记者，干过银行职员，都很不成功。最后在1870年到了瑞士的洛桑大学才成为经济学教授，并开创了一代“洛桑学派”。由于其父亲和古诺的影响，以及他曾受过的良好的工程教育，促使小瓦尔拉斯经常从数学和工程的观点来考虑经济学问题。在研究目前通称为“边际效用”、他称为“稀缺性”的理论时，他忽然感觉到自己的数学太差。于是努力向一位力学教授学习微积分。当他的有关边际效用研究的题为《交换的一种数学理论的原理》的论文发表时，他沮丧地发现杰文斯已先于他在1862年，发表了一篇题为《政治经济学的一般数学原理的注记》的论文，同样阐述了边际效用（杰文斯称为“最后效用”）的理论。不过沮丧之余，他又欣慰他毕竟在数学上下了功夫，使得他的表达形式比杰文斯要好，因为后者尽管后来大谈其“经济学如果是一种科学，它必须是一种数学”，实际上其数学比他更不高明。&shy;

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杰文斯和瓦尔拉斯两人都被认为是经济学的“边际效用学派”的奠基者。这个学派的先驱者是戈森，而另一个奠基者是门格尔。但这两位经济学家竟由于他们的数学程度不同而有完全不同的遭遇。前者由于他的数学太好，在他的著作中写下了大量数学符号、公式、图表，再加上他的出言不逊、目空一切，自比“经济学上的哥白尼”，结果使他的著作几乎无人理会（我们生活中这样的例子不少啊，自省一下，榨出自己皮包下面藏着的小，也是有好处的）。最后只是在他去世20年后的1878年，才被杰文斯和瓦尔拉斯尊为精神上的前辈。而门格尔则出于对数学的无知，居然完全无视牛顿和莱布尼兹以来数学家和物理学家已经用了200年的微分法，而与1871年重新发明了所谓“边际分析法”。这种方法包含了一种模糊的数学语言，但阐明着清晰的边际效用学派的经济学，因而使他在经济学界一举成名。到了后一代的经济学家才搞清楚，门格尔等所说的各种“边际”，原来就是数学家所说的“导数”或“偏导数”！从此，微分学以至其他高等数学，也就开始在经济学中登堂入室。&shy;

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然而，真正产生今日意义上的数理经济学的还不完全是边际效用学派的研究，而是（小）瓦尔拉斯另一项倍受称颂的经济学成就，那就是他在1874年前后提出的一般经济均衡理论。熊彼特曾经不止一次地说过，由于瓦尔拉斯提出一般经济均衡理论，使他成为所有经济学家中最伟大的一个。一般经济均衡的观念一直可以追溯到亚当.斯密，甚至更早。但被表达成瓦尔拉斯的联立方程组的形式，则应归功于瓦尔拉斯所受到的那些工程和数学教育。商品的供给和需求及其与价格的错综复杂关系，一旦被一些数学方程来刻画后，由这些方程的解所形成的理想经济状态也就随之产生，而它就是所谓“瓦尔拉斯一般均衡”。&shy;

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尽管如此，后人一方面要感谢瓦尔拉斯的数学修养，使他懂得了用联立方程组来表达一般经济均衡；不管有多少人对这一理论有多少责难，这一理论是人类智慧最高结晶之一大概是无法否认的（那张五常爷爷就不这么认为了：为了理论的处理需要简化，经济学者在有意或者无意间假设交易费用是零，再后来搞出笑话，以瓦尔拉斯为首的一般均衡理论分析，因为明确的假定拍卖[交易]费用是零，逻辑上不仅不可能有生产要素市场，产品有多少种类根本无从界定，而严格来说，这样的世界是不会有任何市场的。方程式子好看，内容空洞，半点解释力也没有，瓦尔拉斯与追随者搞的是艺术作品，科学怎么样也谈不上。方程式，方程式，同学们要用我当然不反对。但千万不要因为好看或者显得有学问而用之。好看，却比不上流畅的文字。学问吗？有就有，没有就是没有。方程式是不能把学问加上去的）；而在另一方面，后人或许同样要庆幸瓦尔拉斯数学知识有限，才使他毫不犹豫地提出了他的一般经济均衡理论。瓦尔拉斯虽然正确的提出了一般经济均衡理论的数学框架，但是他的数学论证则是错误的。80年以后，当1954年第一个一般经济均衡模型的严格数学证明由阿罗和德布罗提出时，人们才明白，幸而瓦尔拉斯对数学不求甚解。如果他是一个完全彻底的数学家，或许一般经济均衡理论就会夭折。&shy;

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想必翻看过初等经济学的朋友对于帕累托最优这个词并不陌生。洛桑学派的第二代是个出生在巴黎的意大利人。作为经济学家帕累托真的有点大器晚成的意味。他有过20年地地道道的铁路和采矿工程师的生涯，甚至还当过意大利钢铁公司的总经理。一个比他年轻的经济学家潘塔莱奥尼使他对经济学发生了兴趣，并使他用心研究了瓦尔拉斯的一般经济均衡理论。1891年他会见了瓦尔拉斯，使后者大为惊讶自己竟然有这样一个知音。瓦尔拉斯当即决定遴选帕累托作为他在洛桑的继承人（哈哈，有点江湖中各大门派钦定掌门一样，就像江蛤蟆钦定董特首一样）。1893年起帕累托就正式工程师变为洛桑大学的经济学教授（被邹恒甫先生称为金融王八的谢国忠在MIT读书时，去旁听了几次经济学课程，发觉很有意思，然后跨专业转了过去，不再从事土木工程了，后来去了大摩工作）。洛桑学派应该说是到了那时才正式形成的，并且在相当长的时间里，帕累托的影响远超过瓦尔拉斯。人们认为帕累托是对理论经济学引进科学思想和方法最多的一人。他在这方面的成就完全可以与庞加莱（从27岁起任巴黎大学教授，直到他去世。他是欧拉、柯西之后最多产的数学家，并且在研究领域的广泛方面很少有人能与他想比。每年他在巴黎大学讲授一种不同的科目，而在每一门科目中，他都留有他自己的创造印记。这哥们不是人啊！）在自然科学方面的成就媲美。这似乎耐人深思，其实只因为他是个在数学上训练有素的工程师。帕累托改进是福利经济学当中的重要术语，然而，张五常说：我认为解释现象是经济学的唯一用途，没有其他。福利经济学是废物。不是说不应该关注社会福利，而是任何人都可以是“专家”，不需要读过经济。&shy;

在微观经济学当中有一个结论：生产者为得到最大利润，应使他的边际成本与产出价格相等。它的意义在于对一个生产者来说，在规定了或了解了其产品的市场价格后，为了得到最大的利润，应使其边际成本（再增加一个产品时所增加的成本）与市场价格相等。如果我们在以产量为横轴，以商品价格为纵轴的笛卡尔坐标系当中，用图来表现平均成本AC和边际成本MC的关系时，通常会发现AC和MC曲线的交点恰好是AC的最低点。这并非巧合，粗懂微积分的人（就比如我本人）可以通过求导变形分析来得到平均成本最低点必然和边际成本曲线相交。&shy;

下面的描述才叫有趣。因为前面提及的结论实在重要，在初等的微观经济学当中都是必须要论述的。可是初等的微观经济学不能假定读者懂高等数学，于是那些教材编写者就得想出一套不用高等数学的论证方法。读读这样的论证真叫人大长见识。当已故的光华管理学院金融系教授史树中先生第一次读到这种论证时简直惊讶得目瞪口呆。这样不涉及数字的纯文字论证十分精彩，如果你不相信，可以看看这段摘录，它取自雷诺兹的《微观经济学》：&shy;

“MC与AC在其最低点上交叉，这不是偶然的，我们能够指出，它必然是这样。AC告诉我们的是，正在生产的所有产品单位的平均成本；MC告诉我们的是，对总数多增加一个单位的成本，只要MC低于AC，也就是说，只要增加的一个单位的成本比先前单位平均成本少，它总是使平均数下降，因为AC一定下降。但是，当MC上升到AC以上，增加的一个单位的成本高了，开始使平均数上升，因而AC一定上升。因此，MC一定与AC在其最低点上交叉。”&shy;

“如果这点令你迷惑不解，可以这样想一想：一支篮球队的队员，身高平均6英尺4英寸。新增加的一个人为6英尺，队员平均身高现在将比过去低些。但是，如果我们增加的人身高6英尺8英寸，平均数就上升了。正是这个道理，可以帮助对平均成本和增加成本的理解。”&shy;

不知您读了这段论述有何感想。反正史树中教授深信，如果作者事先没有学过高等数学，大概费尽九牛二虎之力后仍将是迷惑不解的。而史教授同样深信，能够写出这样一段论证的雷诺兹教授绝对不可能是不懂高等数学的，也不可能会真正如此来论证。实际上，这位加拿大的经济学教授是在做着一件简直不可想象的把高等数学翻译成普通语言的工作。他的辛勤劳动真的让我们感慨万分。但是正如知晓MC=AC这一结论的数学论证的朋友所看到的，大概三行即可完成的论证便产生了如此多的文字对等论证，倘若是一个有五行，十行，甚至几页的数学证明，那又该如何翻译呢？&shy;

史树中教授总结说：人们常说数学是抽象的、困难的，数学的语言是极难理解的。然而，这个例子却说明了，如果没有数学的抽象，人们关于数量关系的逻辑思维将变得更加困难，有时甚至变为不可能。数学的语言对于从未学过这种语言的人是不可理解的，但是对于已经熟悉了的人来说，它往往比普通的语言容易理解得多。&shy;

   艾伦在他的著作《数理经济学》（上册，吴易风，刘天芬译，商务印书馆，1988年，第9—10页）中谈到这样的问题。他说：“为什么要用少数人懂的数学，而不用大家都明白的逻辑？这只是一个效率问题，就像一个承包商决定用大型推土机而不用镐和铁锹时的情况一样。用镐和铁锹常常是很简单的，因而总以为它们什么活都可以干。然而蒸汽推土机平均来说往往是比较经济的。数学是逻辑推理的蒸汽推土机，用它可能有利，也有可能不利。问题在于，经济事实非常复杂，因而数学的蒸汽推土机可以被认为是研究经济事实的最有效的方式。”&shy;

阶段性的笔记完成了。手很酸，可是看到这些文字从不同的地方抽离出来，汇聚在一起，竟也有说不出的激动。如果您挺到了最后，向您表示感谢和慰问，您辛苦了。&shy;

在笔记的开端，我就提到，自己一直致力于跨入经济学的大门，可是虽然自己多番挣扎，仍然没有能够取得大的起色。不过丘成桐先生的一句话安慰了我：读书只要有兴趣，不一定要全懂，慢慢自然领会其中心思想。同时一定要做到：不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。&shy;

作为结尾，还有一句话挺好的：如果一个时代的人们都清醒地认识到自己无知的话，那么这个时代会是一个不平凡的时代，会是一个充满进取和革命精神的时代，如“文艺复兴”时代和启蒙运动时代的思想家们都认识到自己的无知和人类的无知而无比渴望知识的。如果我们放弃对某些事物疯狂的迷信抑或是野蛮的亵渎，则我们的前行将会更富成效，而并非吹嘘的成效。&shy;

和着莫扎特的allegro，我对着电脑屏幕说声：( ^_^ )/~~拜拜&shy; ~~

樓主還不如整成一個附件看著舒服~~