一般而言,在計量經濟中,低的 $R^2$ 通常不是件太好的事情;然而在財務金融裡,小的 $R^2$ 可能是一件好事!也就是说,计量人眼中的草,刚好就是财务人眼中的宝!
- 《老子》第五十八章:``禍兮福之所倚,福兮禍之所伏。''
\begin{equation}
r_{it}=\alpha_i+\beta_i r_{mt}+e_{it}
\end{equation}
其中, $r_{it}$ 代表公司 $i$ 於第 $t$ 期 (實務上,通常是日或週) 的股價報酬,而 $r_{mt}$ 為市場指數之報酬。
對兩邊取變異數 ($Var$),由於 $\alpha_i$ 為一固定常數 (所以變異數為 0),且解釋變數 $r_{mt}$ 與 $e_{it}$ 無關 (迴歸基本之外生性假設,因此其共變異數為 0),所以可得:
\begin{equation}
\underbrace{\overbrace{Var(r_{it})}^{\mbox{被解釋變數的變異}}}_{\mbox{股票報酬的變異}}=
\underbrace{\overbrace{Var(\beta_i r_{mt})}^{\mbox{迴歸可解釋的變異}}}_{\mbox{市場層面的變異}}+
\underbrace{\overbrace{Var(e_{it})}^{\mbox{無法解釋(殘差)的變異}}}_{\mbox{個別廠商的變異}}
\end{equation}
Roll (1988) 指出上式的 $i$ 廠商之 $R_i^2$ 為:
\begin{eqnarray}
R_i^2 &=& \frac{\mbox{迴歸可解釋的變異}}{\mbox{迴歸可解釋的變異 + 無法解釋(殘差)的變異}} \\
&=& \frac{\mbox{市場層面的變異}}{\mbox{市場層面的變異} + \mbox{個別廠商的變異}}
\end{eqnarray}
所以此時之 $R_i^2$ 一方面衡量 $i$ 公司市場模型之配適度,另一方面又衡量 $i$ 公司股價報酬變異來自於市場層面變異的比例。從計量經濟角度來看,低的 $R^2$ 意謂著較差之模型;然而,從財務金融的角度來看,低的 $R^2$ 只是意謂著個別廠商變異所佔之比例較高(個別股價報酬與市場報酬較不俱同步性),而且此情況是好的,因為個別廠商的變異風險是可以藉由形成投資組合而分散 (消除) 掉!




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