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雷达卡
| 标签：需求函数 微分 pq 最大值 教育 |
经济学很重要的一个概念是价格需求函数，如下图：
此图指价格的增长会使需求量减少，需求量的增长会使价格增加。
假设上图价格需求函数直线交P轴于1，交Q轴于2，则可得出价格需求函数为Q=2-2P。可得出此商品的销售额S=PQ=P(2-2P)=2P-2P2。P和Q是线性关系，我们可以看出要求PQ的最大值，就是在价格需求函数上找一点，过这点做垂线使之与P轴、Q轴围成的面积最大。如果要算此商品的最大销售额，就必须确定一个P的值使S最大。
我们可以借助微分来求，我们已知S=2P-2P2，则S'=2-4p, S''=-4，当P=1/2时，有S'=0，此时S''<0,所以可知此时S取极值，也就是最大值。此时在函数直线上所取的点恰好是价格需求函数与P轴、Q轴围成的三角形斜边的中点，由此我们可知在直角三角形中，若要裁减一个矩形使之面积最大，则应选取各边中点连线。
经济学另一个很重要的一个概念是需求弹性，讲的是需求的变化量与初始需求之比
除以价格的变化量与初始价格之比
，我们用符号E表示。它表示价格的变化对需求变化的影响，如果价格增长1%，需求便同时下降1%，那么此商品的需求弹性为1。又因为S'=(PQ)'=P'Q+PQ'=Q+PQ'=Q（1+
）=Q(1-E),可看出当弹性系数E=1时，也就是价格与需求同比例反向变动时，S’=0，此时S可取得最大值。我们可以看出，无论用用微分还是用几何，都可求得销售额函数的最大值，我们可看出弹性系数取值与销售额取最大值之间的联系。这也间接证明了直角三角形怎样剪裁可得最大矩形面积。
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