请教：环圆形湖而居，三个小贩，且购买量与离小贩的距离有关......

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<P>某地居民均匀的环绕一个圆形湖而居，来了三个小贩推销商品。如果假设圆形湖的周长是1千米，而居民的购买量是他们离小贩距离的函数Q=1-D，其中Q是购买量，D是居民与小贩的距离，请问三个小贩选择推销地点的纳什均衡是什么？</P>

<P>我知道他们的纳什均衡是平分圆周，但是不知道如何证明，谁能够帮忙严格证明一下，太谢谢了！</P>

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关键词：纳什均衡 不知道 请教 距离 小贩 圆形

自己顶一下，请大家不吝赐教！

<P 0cm 0cm 0pt">这个题目有一点没有说清楚，距离当三个人相同距离时，该点的需求是否平分？当一点距离三个人远近不同时，该点需求是否是距离最近的人的且其他两人需求为零？</P><P 0cm 0cm 0pt"><FONT face="Times New Roman"> <p></p></FONT></P><P 0cm 0cm 0pt">假设上面都是肯定回答，</P><P 0cm 0cm 0pt">结果似乎是：三个人随机选择一点都是纳什均衡，不一定平分圆周。</P><P 0cm 0cm 0pt"><FONT face="Times New Roman"> <p></p></FONT></P><P 0cm 0cm 0pt">不考虑价格因素――考虑价格就是霍特林模型了。</P><P 0cm 0cm 0pt">三个人的行动都是角度θ<SUB>i</SUB>，θ<SUB>j</SUB>，θ<SUB>k</SUB>，0≦θ≦2π<p></p></P><P 0cm 0cm 0pt">于是u<SUB>i</SUB>＝常数*（π－∣θ<SUB>j</SUB>－θ<SUB>k</SUB>∣/2）。参与人的得益和自己行动无关，于是可以随便选择。<p></p></P><P 0cm 0cm 0pt"> <p></p></P>你可以试试，给定两个人选择好了，第三个参与人的得益就决定了。

<P>补充说明：首先这个问题的地点只是一个圆圈而不是一个圆盘，另外居民会到离他最近的小贩处去购买</P>

<P>当居民的购买量与到小贩的距离无关时的纳什均衡是有无数个纯策略纳什均衡，即凡是被三个小贩推销地点分割成的三段弧长小于半圆时都是纳什均衡。</P><P>但是如果购买量与到小贩的距离有关时，就应该不再是任意的了吧</P>

这个问题类似于Tirole的书上第七章中的circle模型，不过书上也只讲了如果有N个商家在一个圆环上选择地点的话，他们会自动选择相隔1/N的点已便利润最大化，这点的证明书上却没有给出。反而去讨论价格的问题了。我们能不能这样想:小贩之间相隔的越远他们单人之间对需求的影响也就越小，设两个小贩间的距离为L，在不考虑价格而只有需求量的情况下，如果小贩是identical的，也就是买的商品相同、品质相同、生产能力相同的话，他们的需求量必然平分L。产量的竞争用Cornot模型，结论必然是三个小贩有相同的利润，为了达到这个目的，他们必然平分圆周。

谢谢楼上的解答，我再想想。同时希望能有更多的高手不吝赐教！

<P>我在3楼的考虑有缺陷，少考虑了一种情况。</P><P>现在我确信纳什均衡是π/2≦|θ<SUB>j</SUB>－θ<SUB>k</SUB>|≦π，三个角度的夹角为钝角的行动组合都是纳什均衡。</P><P>给定两个人选择一个角度，另一个人最好选择前两者夹角中最大的弧线上，任取一点都无差别。</P><P>给定三人夹角是钝角，任何一个人都无意愿改变行动。</P>

<P>夹角和弧长成正比，所以圆周和圆盘无所谓。</P><P>三人平分圆周只是特殊的纳什均衡。</P>

<P>我来写写自己的认识:</P><P>虽然LZ写了Q=1-D的函数,不过LZ又补充"居民会到离他最近的小贩处去购买"(这个条件的给出大大简化了问题的复杂度),那么就是说,假设三个小贩的地点各为A,B,C,则,居民选择到某个小贩处的分界点就是其到某两相邻小贩的距离相等.----1条件</P><P>由此,因为LZ给出条件,地点是一个圆,------2条件</P><P>那么我们可以知道,该分界点D,E,F就在AB,BC,CA的各垂直平分线上,该三垂直平分线分别记为:L1,L2,L3</P><P>做ABC共圆即我们说的地点圆,此时,如果BD=BF,AD=AE,CE=CF,那么居民购买点满足就近原则,此时,有平分;如果BD&lt;BF,则小贩B为了增大需求，肯定希望占据DF的中间位置，即向F点移动，直到BD=BF;其他类似，最终达到平分结果。</P><P>如果能画图也许好理解一点,这样真是有点不太好讲.</P>