如何求回归方程里的临界值（拐点值）？

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方程为一元三次，回归结果为：LOG(Y)=10+0.8LOG(H)-0.4[LOG(H)*LOG(H)]+0.5[LOG(H)*LOG(H)*LOG(H)]，其中log表示取对数，Y表示产出，H表示人力资本，LOG(H)*LOG(H)表示人力资本的平方项，LOG(H)*LOG(H)*LOG(H)表示三次项。因人力资本一次项系数为正、二次项系数为负、三次项系数为正，则意味着回归曲线为“～”型（或“N”型）结构，请问如何求两个临界值？能否直接用计量或数学软件直接求解临界值或转折点（即拐点）？谢谢

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关键词：回归方程 临界值 人力资本 回归结果 数学软件 方程 临界值 拐点

这个应该是不行的，你可以根据估计出来的模型求导数，应该手算求拐点

我也碰到类似的问题，而且如何对一元三次方程作图呢？比如Y=C+X-X的平方+X的三次方，如何绘制曲线图，应该有软件可以做吧，总不能用手工描点法作图吧？如果能绘制出曲线图则临界点也就一目了然了

查了一些相关资料，好像是先求一阶导数即dlog(gdp)/dlog(h)=0.8-0.8LOG(H)+1.5[LOG(H)*LOG(H)]，并令dlog(gdp)/dlog(h)=0并求解方程，一般可得两个解，然后再根据二阶条件判断（把两个解带入二阶导数式）是凸（二阶导数大于0）还是凹（二阶导数小于0），从而可判断是极大值还是极小值。但由于该方程无实解（因b^2-4ac=(-0.8)^2-4*0.8*1.5<0)，则意味着转折点出无实解，因此无法确定转折点的具体位置。

二阶导数等于0，求出的点，应该就是拐点吧。

这个其实就是1个三次方的方程,用求导的方法可以.

在您的问题中，您已经给出了一个以对数形式表达的一元三次方程。要找这个方程的拐点（临界值），我们需要找到曲线二次导数等于0的地方，因为这代表了曲率变化的点。

给定方程为：

\[ \log(Y) = 10 + 0.8\log(H) - 0.4[\log(H)]^2 + 0.5[\log(H)]^3 \]

首先我们找一次导数（即边际效应）:

\[ \frac{d(\log(Y))}{d\log(H)} = 0.8 - 2*0.4*\log(H) + 3*0.5*[\log(H)]^2 \]

然后求二次导数，找到拐点：

\[ \frac{d^2(\log(Y))}{d[\log(H)]^2} = -2*0.4 + 6*0.5\log(H) \]

令二次导数等于0以寻找临界值：

\[ -2*0.4 + 6*0.5*\log(H) = 0 \]

解得：

\[ \log(H) = \frac{2*0.4}{6*0.5} = \frac{0.8}{3} = \frac{4}{15} \]

为了找到具体的H值，需要逆变换对数函数。给定\(\log(H)\)，可以得到\(H\)为：

\[ H = e^{\frac{4}{15}} \approx 1.2976 \]

但是，由于这是一个三次方程，存在两个拐点（如果曲线确实是N形）。我们需要再次检查二次导数的解，确保它给出了实际存在的拐点。因为上述计算只给出了一个临界值，这可能是因为在特定参数配置下，该方程只有一个真实的拐点。

要找到所有拐点，您需要分析二次导数\(\frac{d^2(\log(Y))}{d[\log(H)]^2}\)的根，并检查这些根是否对应于实际存在的H值。如果方程允许有多个解（即可能有不止一个实数根），则每个根都应转换为H的真实值。

对于更复杂的计算或验证，可以使用数学软件如MATLAB、Python中的SciPy库、R语言或其他科学计算器和软件包来求解这些数值问题。这样可以直接得到方程的精确临界点，并且能够处理非线性系统和复杂函数的解算。

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