[原创]MWG高级微观经济学00：数学附录及经济数学的有趣细节

sungmoo 发表于 2009-10-27 19:48

猫爪 发表于 2009-10-27 19:41 如果没有连续性作为凸性的基础，上等值集不可能是凸集

凸集是连通的，与偏好是连续的，是两回事（两种定义）。

sungmoo 发表于 2009-10-27 19:52
（可以考虑）

字典式偏好一般被认为是非连续的，但它是凸的。

您能否证明一下这个凸性，我的疑惑在于，由于字典式偏好在极限处的“反转”，按照凸偏好的定义，它的上等值集是没有封闭下界的，如何证明这个集合的凸性，就有了问题，因为边界上存在反转偏好的点。

sungmoo 发表于 2009-10-27 19:51

猫爪 发表于 2009-10-27 19:41 覆盖整个空间的无差异的偏好，确实是一个凸的“关系”，但这不就等于说，这个偏好没有上等值集了吗？

通俗一些说，局部非饱和性的意义是无差异曲线（超曲面）没有“厚度”。

局部非饱和性是用“严格偏好”定义的。

明白了，存在一个有厚度的无差异曲线的偏好可以是凸集，那只能使用严格凸偏好了。

（好像我看过某个帖子有这个内容，只是忘了怎么说到这事的了。）

谢谢楼主！！！！！

哎 要学好太难了

猫爪 发表于 2009-10-28 00:58 您能否证明一下这个凸性，我的疑惑在于，由于字典式偏好在极限处的“反转”，按照凸偏好的定义，它的上等值集是没有封闭下界的，如何证明这个集合的凸性，就有了问题，因为边界上存在反转偏好的点。

定义在C=[0, +∞)×[0, +∞)上的字典式偏好D的意义是：∀x,y∈C：xDy <=>x1>y1，或，x1=y1且x2≥y2。

可知，∀x,y∈C：x与y无差异（即xDy且yDx）的充要条件是x=y。

你可以考察D是否满足，∀x,y,z∈C，xDz，yDz， t∈[0, 1]：tx+(1-t)yDz。

猫爪 发表于 2009-10-28 00:07 我的意思是说，是否能够想象一个无界开集，但又是凸集，个人感觉实数集应该算是一个。

∀a∈R：(a, +∞)与(-∞, a)就是无界的、凸的开集。

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 偏好的凸性，是由上等值集的凸性来决定的。（见MWG定义3.B.4）

个人理解，由于偏好并不天然具有效用函数表示，偏好的凸性用“上等值集”来定义似乎有些不妥。

版主现身

捧场

呵呵

去CCER蹭了两节龚强的数理经济学，决定不去了~~~不打算搞微观的一般均衡，貌似也用不到。那个东西牵扯的数学根本的东西太多，思维跟不上，还停留在工科数学的水平上~~~汗颜啊

高微学的有什么用啊？