[原创]MWG高级微观经济学00：数学附录及经济数学的有趣细节

猫爪 发表于 2009-10-27 01:20 b 偏好的凸性是一个非常“苛刻”的假设：必须建立于众多假设的基础之上，例如连续性，非饱和性，且不能从经验中获得完全的支持。

凸性，不必要求连续性与局部非饱和性。

判断连续性的前提是给出关于消费集的拓扑。

若R+n上的所有点对消费者而言无差异，则消费者的偏好不是“局部非饱和的”，但该偏好是凸的。

凸偏好的前提是，消费集是凸集。

sungmoo 发表于 2009-10-27 18:59

猫爪 发表于 2009-10-27 01:20 b 偏好的凸性是一个非常“苛刻”的假设：必须建立于众多假设的基础之上，例如连续性，非饱和性，且不能从经验中获得完全的支持。

凸性，不必要求连续性与局部非饱和性。

判断连续性的前提是给出关于消费集的拓扑。

若R+n上的所有点对消费者而言无差异，则消费者的偏好不是“局部非饱和的”，但该偏好是凸的。

凸偏好的前提是，消费集是凸集。

恩，其实这两个书上确实没有，我是自己想的（也许想错了 ）：

1、如果没有连续性作为凸性的基础，上等值集不可能是凸集，所以..............

2、覆盖整个空间的无差异的偏好，确实是一个凸的“关系”，但这不就等于说，这个偏好没有上等值集了吗？

或者我可以改成“偏好的严格凸性是一个非常苛刻的......”

猫爪 发表于 2009-10-27 19:41 如果没有连续性作为凸性的基础，上等值集不可能是凸集

凸集是连通的，与偏好是连续的，是两回事（两种定义）。

猫爪 发表于 2009-10-27 19:41 覆盖整个空间的无差异的偏好，确实是一个凸的“关系”，但这不就等于说，这个偏好没有上等值集了吗？

通俗一些说，局部非饱和性的意义是无差异曲线（超曲面）没有“厚度”。

局部非饱和性是用“严格偏好”定义的。

（可以考虑）

字典式偏好一般被认为是非连续的，但它是凸的。

偏好的连续性对于效用函数存在性有意义，但教材一般似乎忽略了一个条件，即没有明确说明消费集上的拓扑是什么（当然许多教材也许天然默认了欧氏空间）。

保证偏好连续性的拓扑需要有可数基或是可分连通的。

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 有理数集也是凸集

凸集是连通的。有理数集在实数轴上是不连通的，不是凸集。

x与y都是有理数，若t∈[0, 1]，tx+(1-t)y未必是有理数。

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 无理数集和复数集，应该也是凸集

无理数集在实数轴上也不是连通的。

x与y都是无理数，若t∈[0, 1]，tx+(1-t)y未必是无理数。

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 根据凸集的定义，似乎凸集可以是无界开集，但是我想象不出这个直观的形态，大家自己找找感觉就行了

对于欧氏空间，有界闭集即紧集。

Rn中完全可能想像紧凸集。

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 R2（二维空间）上，例子就有趣多了，比如，圆饼是凸集，圆不是；每个正多边形（含内部）都是凸集，等等。。。

这些都是紧凸集的直观例子。

凸集的定义与开集或闭集无关。

猫爪 发表于 2009-10-27 01:20

c 函数的凸凹性只能是全局的（当然可以通过分割一个非凸非凹函数的定义域来做到“先凸后凹”，但那就是两个函数了），在经济学的结构这本书上的2.2，有函数在某点上“向下凹，简称凹”的说法，不过很怀疑翻译者在这里没有很好体会作者试图“用一个附录中有精确概念来分析一个直观形式”的思路，反而造成了一定的混淆。

d 拟凸拟凹同样是全局的，虽然一个函数可以是既拟凸又拟凹的，但不能说，它是“先拟凸后拟凹”。

可以在定义域内的某个凸子集上讨论（或定义）函数的（拟）凸凹性。

或者，可以说，某函数在其定义域的某个凸子集上是否是（拟）凸（凹）的。

当然，若泛谈“某函数是否是（拟）凸（凹）函数”，则是针对全定义域而言的（定义域若不是凸集，则没有讨论的前提）。