[原创]MWG高级微观经济学00：数学附录及经济数学的有趣细节

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 通俗的讲，某个集合中的任意两点之间的连线，都在这一个集合之内，那么这一个集合就是凸集了

再严格点说：（对于欧氏空间）以该集合中任意两点为端点的线段全部在该集合中（包含于该集合）。

sungmoo 发表于 2009-10-27 22:45

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 有理数集也是凸集

凸集是连通的。有理数集在实数轴上是不连通的，不是凸集。

x与y都是有理数，若t∈[0, 1]，tx+(1-t)y未必是有理数。

sungmoo 发表于 2009-10-27 22:57

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 无理数集和复数集，应该也是凸集

无理数集在实数轴上也不是连通的。

x与y都是无理数，若t∈[0, 1]，tx+(1-t)y未必是无理数。

有理数在t为有理数的条件下，对四则运算来说，应该是封闭而稠密的集合吧。

不过，无理数确实不是封闭的，因为对称的无理数可以落到有理数的集合中，这样就形成了“空洞”。

所以应该说有理数为凸集，无理数为非凸集，总起来的实数集也是凸集。

猫爪 发表于 2009-10-27 23:25 有理数在t为有理数的条件下，对四则运算来说，应该是封闭而稠密的集合吧。不过，无理数确实不是封闭的，因为对称的无理数可以落到有理数的集合中，这样就形成了“空洞”。所以应该说有理数为凸集，无理数为非凸集，总起来的实数集也是凸集。

前面说了“在实数轴上”（当有理数集作为实数集的子集时）。

“两点间的线段”这种提法，应该默认了在实数集（实数轴）上讨论。

sungmoo 发表于 2009-10-27 23:31

猫爪 发表于 2009-10-27 23:25 有理数在t为有理数的条件下，对四则运算来说，应该是封闭而稠密的集合吧。不过，无理数确实不是封闭的，因为对称的无理数可以落到有理数的集合中，这样就形成了“空洞”。所以应该说有理数为凸集，无理数为非凸集，总起来的实数集也是凸集。

前面说了“在实数轴上”（当有理数集作为实数集的子集时）。

“两点间的线段”这种提法，应该默认了在实数集（实数轴）上讨论。

但无论如何计算，tx+（1-t）y，不会落到有理数这个子集以外的地方吧。

猫爪 发表于 2009-10-27 23:40 但无论如何计算，tx+（1-t）y，不会落到有理数这个子集以外的地方吧。

x=2, y=4, t=2^0.5

两个互异的有理数中间不可以有无理数吗？

（以两个互异的有理点为端点的线段上没有无理点吗？）

两个互异的有理数中间“绝大部分”是无理数——其中的有理数的集合的Lebesgue测度为0。

（考虑以两个互异的有理数构成的闭区间）

sungmoo 发表于 2009-10-27 23:45

猫爪 发表于 2009-10-27 23:40 但无论如何计算，tx+（1-t）y，不会落到有理数这个子集以外的地方吧。

x=2, y=4, t=2^0.5

两个互异的有理数中间不可以有无理数吗？

（以两个互异的有理点为端点的线段上没有无理点吗？）

t应该和x，y属于一个子集吧？

明白了，t属于[1,0]，而这个区间符号，就代表了“实数”，改正上文。

承认无知，是前进的必要条件，呵呵。

sungmoo 发表于 2009-10-27 23:05

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 根据凸集的定义，似乎凸集可以是无界开集，但是我想象不出这个直观的形态，大家自己找找感觉就行了

对于欧氏空间，有界闭集即紧集。

Rn中完全可能想像紧凸集。

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 R2（二维空间）上，例子就有趣多了，比如，圆饼是凸集，圆不是；每个正多边形（含内部）都是凸集，等等。。。

这些都是紧凸集的直观例子。

凸集的定义与开集或闭集无关。

我的意思是说，是否能够想象一个无界开集，但又是凸集，个人感觉实数集应该算是一个。

好东西啊 值得学习

谢谢楼主啊