利润最大化与成本最小化在什么情况下是等价的？

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这是一个比较基本的微观经济学问题。最近涉及到一个问题，我想用到成本函数（扩展的）的分析框架，但显然，它的要求比利润最大化要低，会造成信息或福利损失。请问，这两个问题在什么时候是等价的，需要什么假设前提，它的经济学意义何在？

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关键词：利润最大化 成本最小化 成本最小 最大化 微观经济学问题 等价 最大化 利润

说一些个人的看法：
1.用反证法证明“利润最大化一定意味着成本最小化”。。。这个很明确。。。
2.现在同样用反证法试验证“成本最小化一定意味着润最大化”的真假。。。
设minC=wz* 即z*使成本最小。
现在假设z*没有使利润最大化，即存在z'，s.t pf(z')-wz'≥pf(z*)-wz*
而根据z*使得成本最小得到，wz'≥ wz*，得-wz'≤-wz*...................................(1)
因为我们很容易找到一个z'>z*，让wz'＞wz*使得f(z')≥f(z*),即pf(z')≥pf(z*)......................(2)
由(1),(2)可得pf(z')-wz'和pf(z*)-wz*的大小关系是不确定的。。。“所以成本最小化一定意味着润最大化”这个命题不正确。。。
           （1）所以只有当z'>z*,f(z')≤f(z*）时，成本最小化一定意味着润最大化，但这不符合我们常用单 调性的假设。
          （2）pf(z)与wz之间的大小又很难确定。
所以“成本最小化一定意味着润最大化”这个命题一般情况下是不能保证成立的。。。所以两者一般没法等价。。。

谢谢，如果嵌入一些假设条件，且这些假设条件在现实经济中可以满足，或者至少在所关注的问题中该条件可以满足。是否可以得到等价的结果?