罗素悖论

在我的一本书中讨论过悖论的问题，现摘录两段发在这里：


                  说谎者悖论
   
    当我们把社会问题进行抽象研究时，如果不能很好地区别不同类的问题，在不经意间就会推出一些无法解释实际问题的结论即谬误来。例如，黑格尔和罗素都曾深入研究过在古希腊就已存在的说谎者悖论，我们也来重新分析一下这个悖论，看看这到底与西方的思维方式有着什么直接的关系。
    这一说谎者悖论也叫克利特人艾皮米尼地斯悖论，意思是这样的：有一天，艾皮米尼地斯对希腊人说：“所有的克利特人都是说谎者。”
    这是一个结论，按照西方的思维方式它一定能够反推回到诸如因为所有的克利特人都在说谎这一基本的前提中。但是在反推的过程中我们自然会想到，艾皮米尼地斯也是一个克利特人，如果克利特人都在说谎，那么我们有什么理由相信艾皮米尼地斯没有说谎而说的是真的，即结论有可能不成立。如果结论成立，即艾皮米尼地斯说的就是实情（真话），因为艾皮米尼地斯也是一个克利特人，他没有说谎，那基本的前提就不成立。前提与结论总是矛盾着，我们真不知道到底应该相信那头是好。黑格尔觉得应该把这种情况当作一种特例来处理，这等于走上了非逻辑的道路。罗素认为应该对什么是“说谎”、“都是”等要重新叙述一下，给出一个更为广泛的定义，以便能够容纳下更多的意思；等于要在逻辑的道路上继续走下去。这虽然能解决一些问题，但总有到头的情况即不可能解决所有的问题。这里的关键在于，人们觉得说谎与说什么谎好像无关，始终在抽象的思维中推来推去，而这是不可能得出唯一的结果的。
    当我们具体分析说谎的内容时就会发现，艾皮米尼地斯对希腊人是否说谎与克利特人是否说谎完全是不同的两回事。我们可以假设某种情况也许是这样的：克利特人为了救一个迈锡尼的逃亡者而把他隐藏了起来，都声称没有见到过这个人，因而对迈锡尼的国王说了谎；这很可能也包括艾皮米尼地斯在内。但无论艾皮米尼地斯在藏人的问题上是否说谎都与他对希腊人是否说谎没有什么直接的联系：如果他说了谎，那么他的所有的克利特人在藏人的问题上都是说谎者这一结论就是正确的，这与同希腊人是否说谎无关（他说了他说过谎就等于在本件事上没有说谎）；如果他的结论是错误的，这正说明他在藏人的问题上没有说谎，可其他人在藏人的问题仍然都说了谎（他没有说谎不等于别人没有说谎）。
    要是把这两种说谎的情况分开来单独研究，我们总能得到各种一致的结论；但要是把两种原本就不是一回事的问题放在一起考虑，这就很有可能抽象出否定某一方面的结论。

芝诺悖论

    为了更透彻、更全面地认识这种在推理过程中出现的问题，我们可以通过分析有关古希腊哲学家芝诺提出的二分法悖论就能理解其普遍的错误所在。芝诺悖论的意思是这样的：一个物体永远也到不了终点，因为任何一个物体在到达终点前须先到达其路程的一半，由于有无限多个一半路程的中间点，因此在有限的时间内它无法到达终点。
    这一结论显然与事实不符，一个短跑运动员的百米速度要是10秒种的话，他一定会在10秒那一刻跑到终点。如果速度慢一点，一般人在几十秒之内怎么也能跑完一百米。
    一段路程确实可以分成无限多个一半的一半，但只有第一个一半对应的是完整的一半的时间，其余对应的依次是1/4、1/8、1/16 ……等等时间，后面的所谓“一半”对应的时间会小到可以忽略不计，即便是计算的话所有这些时间相加起来也正好是整段的时间而不可能是“无限多”的时间。所谓的“无限多”对应的仅仅是无限多的“一半”路程，只有这两者才是直接相关的。但问题在于，抽象的“一半”的路程与真实的一半路程并不都是相对应的，因此用抽象的“一半”代表一半的路程就并不都正确，即两者不同类。也就是说，在没有把“一半”的概念明确前，不能简单地用任何一个“一半”去表示一半路程，由此所谓的“一半” 路程就不能代表一半路程上的时间。其实路程中的“一半”与时间中的“一半”是两个概念，如果不加区别地随便用“一半”去代替另一“一半”自然就会混淆原本表示不同事物的一半的意思，这更不同类。之所以会出现谬误，正是由于把不同类型的事物或项强加在一起的结果；这就好比人的父亲与狗的父亲虽然都是“父亲”但却是两种不同类型的父亲，不加区分的推理当然会得到狗是人的兄弟的非一般的结论。
    当我们单看路程时，确实会被无限多的“一半”路程抽离得脱离了与时间的对应关系，误以为路程已无限多了，经过的时间也会无限多，所以在有限的时间内像是无法到达终点；而那只不过是无限多的所谓“一半”的分法而已，与事实上的整个跑道没有任何关系，怎么分100米的跑道总共就是100米长。一个短跑运动员的跑步与跑道怎么分段（还是抽象的）当然没有什么内在的联系，多分一次绝不会多出另外一个时间，只要跑道是标准的，百米速度又能达到10秒种的水平，他只要跑起来就必定会在其成绩内跑到终点。

　　芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉．数学史家F．卡约里(Cajori)说，“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史．”但遗憾的是，芝诺的著作没有能流传下来，我们是通过批评他的亚里士多德及其注释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的．直到19世纪中叶，人们对于亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是深信不疑的，普遍认为芝诺悖论只不过是一些有趣的谬见．英国数学家B．罗素(Russell)感慨地说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了．死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品莫过于埃利亚的芝诺了．他虽然发明了4个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩．遭到两千多年的连续驳斥之后，这些“诡辩”才得以正名，…．”19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺．他们推测芝诺的理论在古代就没有得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用作倡导怀疑主义和否定知识的工具，从而背离了芝诺的真正宗旨．而亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的．然而，迄今为止，学者们还找不出可靠的证据足以推翻亚里士多德和辛普里西奥斯关于芝诺悖论的记述．由于目前对希腊哲学史了解得还不够，对于芝诺提出这些悖论的目的何在尚不清楚．比较一致的意见是：芝诺关于运动的悖论并不是简单地否认运动，芝诺责难“多”也不是简单地把两只羊说成一只羊．在这些悖论后面有着更深层的内涵．亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，功不可没，但是他对于芝诺悖论的分析和批评并非十分成功，是值得重新研究的．
　　关于芝诺悖论对于古代希腊数学发展的重要性，在科学史学者中的意见是很不一致的．P．汤纳利首先提出，芝诺和巴门尼德哲学的关系并不如古代传说中所肯定的那样密切．相比之下，因毕达哥拉斯学派发现不可公度量而出现的一些问题，对于芝诺具有更加深刻的影响．基于同样的假设，H．赫斯(Hasse)和H．斯科尔斯(Scholz)想把芝诺说成是对古代数学的发展方向起决定影响的人物．他们试图证明，毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段(初等线段)，想以此来克服因发现不可公度量而引起的困难．芝诺所反对的正是这种处理无穷小的不准确的做法，从而迫使下一代的毕达哥拉斯学派的数学家去探求更好、更准确的基础．另有一些学者持有完全不同的意见．B．L．范德瓦尔登(van der Waerden)指出，我们已知的关于公元前五世纪下半叶的数学理论——不可公度量的发现无疑是那个时代作出的——并不支持芝诺曾经对那个时代的数学发展作过任何重大贡献的说法．
　　虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止．不论怎样，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上一笔勾销．正如美国数学史家E．T．贝尔(Bell)所说，芝诺毕竟曾“以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难．”芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察．虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然的巧合：柏拉图写作对话《巴门尼德》篇的时候，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来．当时欧多克索斯(Eudoxus)正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学．欧多克索斯在稍后的时间里创立了新的比例论(《几何原本》第五卷中的主要内容)，从而克服了因发现不可公度量而出现的数学危机；并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题．因此，在希腊数学发展的这个关键时刻，很难说芝诺没有对它的发展作出过有意义的贡献．
　　芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的发明人．黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出：“芝诺主要是客观地辩证地考察了运动”，并称芝诺是“辩证法的创始人”．

笛卡尔是一位知识渊博的伟大学者，但他愈学愈发现自己的无知。众人不解，问他：“大数学家，你学问那样广博，竟然感叹自己无知，岂不是大笑话？”
　　笛卡尔用手指在地上划了一个圆圈，说：“哲学家芝诺不是解释过吗？你看这个圆圈，圆圈内是已掌握的知识，圆圈外是浩瀚无边的未知世界。知识越多，圆圈越大，圆周自然也越长，这样它的边沿与外界空白的接触面也越大，因此未知部分当然显得就更多了。”
-----------偶最喜欢关于芝诺的这个故事，以前偶一直把这个故事错安在笛卡尔的头上了。
芝诺悖论在流传中被歪曲了，芝诺本人不是那么浅薄的~

一个物体永远也到不了终点，因为任何一个物体在到达终点前须先到达其路程的一半，
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关键 是这个必须先达到其路程一半的假设并不完备，从而暗藏着陷井。它既可以是落脚点的一半，也可以是必须经过这个一半。前者只有偶然性，后者却有必然性，所谓的芝诺悖论是以偶然性代替了必然性。这也就是说，阿基里斯追赶乌龟时每一次必须到达二者的现在距离的一半没问题，但是，最终有无数个一半却是被后者在空中达到并跨越过去的。

首先我没看过相对论，但我知道这个芝诺悖论在相对论里已经解决了。与之相类似的是，咱们古代的思想家话：一尺之槌，日取其半，万世不竭。

一个水杯过四年 发表于 2010-1-6 00:32
首先我没看过相对论，但我知道这个芝诺悖论在相对论里已经解决了。与之相类似的是，咱们古代的思想家话：一尺之槌，日取其半，万世不竭。

不知道这个相对论是如何解决的.如果要是仅仅限制于落脚点的一半的话,那么这将意味着后者速度的连续并周期性递减.二者距离越近,后者的速度将越慢,最后速度优势将消失.这也就是说,在无限短的距离内,后者的速度永远也不会超过前者.那么也就永远也追不上前者了.

精忠岳飞 发表于 2010-1-5 17:35
这个问题,很简单解决,假如能对集合理论建立起一个时间次序坐标就不会出这样的问题。

必须指出定义集合本身就是一个时间推进。

当这样做的时候，当推进到无限的时候，悖论就可能出现了，开始出现。

王志成2010 发表于 2010-1-5 19:25
    要是把这两种说谎的情况分开来单独研究，我们总能得到各种一致的结论；但要是把两种原本就不是一回事的问题放在一起考虑，这就很有可能抽象出否定某一方面的结论。

能够避免悖论，不等于解决了悖论问题。比方说，我是医生，大家问我如何解决流感？我就回答说：大家别出门，预防感染。那么，这不叫解决问题，虽然我说的也对。

如果能够否定“合并”，那么，可以认为解决了悖论问题。

如果要把两种情况分开，那么，这种分开是否有符合逻辑的道理？是否不分开也是有理由的有权利的？

一个水杯过四年 发表于 2010-1-6 00:32
首先我没看过相对论，但我知道这个芝诺悖论在相对论里已经解决了。与之相类似的是，咱们古代的思想家话：一尺之槌，日取其半，万世不竭。

芝诺悖论，并不是悖论，其实是芝诺问题，芝诺难题之类-----------这是有意义的，至少有历史上的意义。

芝诺问题，1、是有意义的，2、是可以解决的，3、不属于悖论问题。