经济学数学化的历史与意义

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在学习西方经济学课程的过程中，我越来越多地发现：经济学教程中充斥着数学工具的身影。以高鸿业主编的《西方经济学（微观部分）第四版》为例，在说明边际效用时应用的极限和求导；在分析蛛网模型时应用的拉格朗日乘数法；在论证边际技术替代率时应用的多元函数微分法；在阐述寡头厂商之间的博弈策略时应用的博弈论与均衡的概念；以及无处不在的各种函数曲线的应用和函数表达式的推导。而这些只是经济学学习的入门课本上的一些例子。而在整个经济学领域里，边际分析、瓦尔拉斯一般均衡论、线性规划、投入产出分析、博弈论以及随机数学、模糊数学和非线性科学在经济中也有着广泛的应用。这些本来属于数学范畴的工具现在充满了经济学研究的方方面面。
　　而这些与一般人们脑海中认为的“经济学是文科”的概念未免大相径庭。大多数经济学专业学生进入专业学习之前也认为经济学不过是法学或政治学那样的社会科学 ——掌握一般专业概念然后开展文字阐述工作。事实与想象的差异不禁让我对经济学数学化的发展过程感到好奇。本文即试图对经济学的数学化的历史过程做一个简要的概述，然后阐释一下经济学数学化的意义。
　　一 经济学数学化的历史过程
　　什么叫数学化？所谓“数学化”，是指运用数学的思维方式、论证方式和语言形式对传统经济学进行一番改造，完成从旧的研究范式向新的研究范式的转变。而所谓范式，指的是在某一学科内被一批理论家和应用家所共同接受、使用并作为交流思想的共同工具的一套概念体系和分析方法。①。经济学研究的数学化，从有少数人倡导到大多数人普遍接受，其中知识结构、思维方式、治学方式的转变并不是一蹴而就的。可以说，经济学数学化的过程，就是经济学新老范式的转换过程。而这一转换过程，经历了三四百年漫长的历史过程。
　　1.算术方法
　　尽管经济思想的产生可以追溯到古希腊和古罗马时期，马克思也曾指出古希腊思想家关于商品经济的探讨，对近代政治经济学的发展有着科学的意义。②然而直到资本主义发展初期盛行的重商主义为止，由于其经济思想都是思辨的形式而出现，充其量也只能说是为经济学成为一门独立学科准备了条件。
　　经济研究率先使用数学方法的先驱，是英国的政治算术学派的创始人威廉·配第。威廉·配第在其代表作《政治算术》一书中，把算术方法当作认识财富实体的一个工具来运用。他排除思辨式的议论，“用数字、重量和尺度来表述自己想说的问题”。配第用统计分组法、图表法、综合指标法、推算法等统计分析方法，代替以往的文字论证方法，这在社会科学研究方法上是一个重要创新。马克思曾给予威廉·配第很高的评价，称他是“现代政治经济学的创始人”“英国政治经济学之父”。 ③可见，数学向经济学的渗透起源于配第的《政治算术》。
　　2．边际分析方法
　　公元17世纪，随着欧洲封建社会开始解体和资本主义工场手工业向机器大生产的过度，向数学提出了一系列必须从运动变化和发展的观点来研究事物的新问题。于是，从量上描述事物的运动和变化规律的数学部分——变量数学便应运而生。
　　随着17世纪到19世纪数学史上由常量数学转向变量数学的天翻地覆的时代的到来，微积分向各个学科领域全方位渗透。在这种学术氛围之中，经济学家被潜移默化，并用一种全新的方法去思考引起人们困顿的经济学难题，不禁使人进入豁然开朗的境地。
　　19世纪70年代初期，杰文斯、门格尔和瓦尔拉斯三位不同国籍的学者将他们的“欲望”概念或者“效用”概念和“微分”的基本概念结合起来，“边际效用”便出现了。经济学史上著名的“边际革命”也随着微积分思想向经济学渗透而爆发。
　　在边际革命鼎盛时期之后，边际分析方法本身朝着更深更广的方向发展。而边际分析这一脱胎于微积分思想的有力工具，也在经济学的各个研究领域——宏观经济学、线性规划分析、经济计量学、福利经济学等等中得到了普遍的应用。
　　3．一般均衡论
　　18世纪的欧洲，自由竞争的资本主义正处于上升的历史阶段。经济学家们注意到在一个社会里有众多的消费者和生产者，他们各自独立做出的决策不但没有引起混乱，反而在实际上产生了一种最优的经济状态。1776年，亚当·斯密就在他那本堪称“经济学的圣经”的《国民财富的性质和原因的研究》中提出，这是由于有一只“看不见的手”在起作用。
　　而在一百年后，法国经济学家瓦尔拉斯把斯密的这一思想提炼成一般均衡问题，把用文字表述的思想借助19世纪已经发展成熟的线性代数理论转化成了数学问题。按照线性代数的观点，商品空间可以看作一个线性空间，每一种商品的需求或供给可以看作是一种约束，这种约束用状态变量所满足的方程来表示。而找到一组确定的值满足所有方程，就找到了均衡体系。瓦尔拉斯在1874年出版的代表作《纯粹经济学要义》中，从交换均衡入手，分析了由交换均衡、生产均衡、资本积累均衡和货币均衡四个方面构成的体系，阐明了在纯粹竞争条件下整个经济处于完全均衡状态时各种经济变量的均衡值的决定条件与相互关系。
　　瓦尔拉斯借助于线性代数创造的这样一套全新的理论概念体系当时并没有被同时代的经济学家立刻适应和接受，反而对他诸多责难。但是，这一开拓性的工作却对后世产生了持久的深远影响。
　

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关键词：经济学数学 数学化 经济学 社会科学研究方法 拉格朗日乘数法 经济学 历史 数学

是个值得考虑的问题

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　4．线性规划
　　运用线性代数方法分析经济问题是从19世纪70年代瓦尔拉斯提出一般均衡理论开始的。瓦尔拉斯运用联立方程组的形式来描述完全竞争情况下的均衡价格体系，并试图证明其有解。后来发现这个证明是有漏洞的，于是许多经济学家为了从数学上进行修补做了不懈的努力。沃尔德于1935年证明了静态均衡模型存在解并有唯一解。诺依曼于1935年在沃尔德的模型基础上提出了著名的动态封闭模型，确认了通向动态竞争均衡的途径的存在。而直接促成线性规划诞生的要算列昂惕夫在1936年创始的投入产出分析，这是一般均衡理论在实用领域的一大发展。
　　在第二次世界大战期间，美国空军设立了一个运筹学研究小组，专门研究空军的资源配置问题。他们推广了列昂惕夫的投入产出模型。但是二者毕竟有着显著的差别。因为投入产出模型只存在一组单一的对应关系，而空军的资源分配却存在着任务与活动之间的多种关系。这就需要一个标准，以判别在这些关系中那个是完成任务的最优方案，从而导致寻找最优方案的方法。这个方法就是线性规划。美国数学家乔治·丹齐格当时是这个小组的成员。他根据经验总结，系统地阐明了一般线性规划问题，到大战结束不久后的1947年，他与豪尔维茨共同发明了单纯形法，从此为线性规划作为一门科学奠定了基础。
　　由此我们也可以看出，线性规划是数学与经济学相互渗透的产物。
　　5．博弈论
　　实际上，古代人们就已经具备了一些零散的博弈论思想，比如田忌赛马的故事就是一例，但是都没有系统化、理论化。
　　1944年冯·诺依曼和摩根斯坦相识于美国普林斯顿大学，合著了《博弈论与经济行为》一书，共同奠定了博弈论的基础。冯诺依曼与摩根斯坦把“社会性商品交易经济”视作“与策略博弈相当的经济”，用以解释竞争和垄断，“寻找数学上完整的原则来说明社会性商品经济的参加者的合理行为，并从中引出这种行为的一般特征”。
　　20世纪40年代末期，博弈论渐渐被经济学界所遗忘，而仅为那些博弈论专家们感兴趣，这些专家一般都是数学家，他们只关心定义和证明。在经过了纯数学领域的发展阶段之后，博弈论于20世纪70年代中期才在经济学领域再度辉煌。1994年诺贝尔经济学奖的获得者纳什的主要贡献就是在非合作博弈论方面。
　　普林斯顿大学的纳什长期以来主要在纯数学领域从事学术研究。1950年，这位年仅22岁的数学博士发表了两篇关于非合作博弈的重要文章，奠定了现代非合作博弈论的基石。他的贡献之一是提出了赫赫有名的“纳什均衡”这个在非合作博弈理论中起核心作用的概念。当代博弈论的许多讨论都是建立在纳什均衡这一概念之上的，或修正它，或完善它。
　　以上是经济学数学化的一些主要领域的发展过程。另外还有诸如随机数学、模糊数学、非线性科学等等数学分支在经济学数学化的过程中也起到了非常重要的作用。从这些经济学发展的历史过程中我们也可以看出，早期的经济学数学化是随着数学工具的发展而发展的。到了20世纪尤其是20世纪中后期，经济学和数学的发展有些领域已构成相伴相生、共同促进的局面了。
　　二 经济学数学化的意义
　　经济学为什么要数学化？马克思有一句我们耳熟能详的名言：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”④康德也曾说过：“有多少数学知识，就有多少严格的科学。”⑤这些都为经济学科学化严密化指明了道路。
　　然而，由于长期意识形态的对立，我们长久以来都是在从事马克思的政治经济学的研究，是很少使用到数学的，尤其是在20世纪新发展出来的数学更是看不到丝毫的影踪。这样我国的很多从事经济研究的工作人员对数学方法在经济学研究当中的应用就颇为鄙薄，认为只是资产阶级经济学家为庸俗经济学披上一层科学的外衣。然而这背后隐藏着的可能更多的是对经济学数学化的误读。由于数学向经济学不断渗透的过程中，许多数学方法在经济学中被当作工具来运用，这些脱离了经济思想的纯技术性应用使人们产生了了把“数学化”等同于“数学工具化”的肤浅理解。所以有必要对“数学化”的含义做出进一步的阐释。
　　“经济学数学化”的第一层含义是指将数学的思维方式能动地运用于经济学，促使经济学不断实现质的飞跃。从人类认识史的角度来看，数学是人类理性思维的最根本形式。１７世纪，法国哲学家、数学家、物理学家笛卡尔就说过：“我苦思冥想，终于悟出了万物都可归结为数学的道理。……这样一门科学应该包含人类理智的精华，它的范围应该包括每门学科可靠结论的取得。”“坦率地说，我坚信它（数学）是迄今为止人类智慧赋予我们的最有力的认识工具。”只有理性思维才能产生重大突破。爱因斯坦运用数学思维推演出许多人们在日常生活中完全体验不到的也不能理解的结论。他创立的相对论大大打开了人们的眼界，是人们对宇宙的认识前进了一大步。应该看到，数学思维方式的演变在推动经济理论的变革中同样起着决定性的作用。它不仅为经济学提供了一种强有力的分析工具，更为深刻的意义在于，从根本上改变了经济学家看问题和分析问题的角度和理念，是他们对经济问题的本质产生了全新的看法。比如使用概率统计中的分布、期望和方差来刻画风险和不确定性，大大加深了人们对未知事件的认识，现代保险理论和金融理论由此发展。可以说，数学对经济学的改造作用正像微积分被引入物理学，是物理学的整个概念体系发生了革命性的变化。诺贝尔经济学奖得主弗里德曼则说：“我相信经济学所具有的科学成分和物理学、化学或其它自然科学成分在性质上并没有什么不同。股票（期货）市场价格涨落的物理本质就是在某一区域的构成介质发生失稳，并伴随有应变能的加速释放。要有效地跟踪其市场价格波动，就要从非线性动力学这个角度，来观察分析股票（期货）市场的价格波动问题，并对这一失稳过程进行分析研究。”
　　“经济学数学化”的第二层含义是，经济学理论的存在方式应当向数学靠拢。在数学中，未经证明的命题是不能作为定理而存在的。在尚未经过统计检验之前，理论观点均是以“假说”形式出现的。可是，在传统经济学中，理论被看成是放之四海而皆准的。这样，就把真理绝对化了。恩格斯说过，只要自然科学在思维着，它的发展形势就是假说。⑥“假说”作为一种理论抽象，它是一系列命题的组合，其内容需要历史、现实和有关学科的证明。现代经济学研究有两个方面：一是理论研究，主要使用严格的数学方法证明一种假说；二是经验研究，主要是使用统计数据和经济计量模型检验一种假说。另外从论证方式来看，经济学理论也应当仿照数学理论，首先要建立理论模型。而构建一个理论模型需要有三个相应的子环节：前提假设、逻辑推导、导出假说。理论模型是对影响某一经济现象的若干变量之间相互关系进行系统表述的逻辑体系。影响经济现象的经济变量可能很多，理论模型就是对其中关键变量的相互关系的系统表达。理论模型的好坏主要看它能否抓住影响食物的关键变量，并且简单明确。
　　从这个意义上来说，虽然经济学越来越数学化，但在本质上经济学不应同数学相类比。经济学同物理相类比则更为恰当，因为物理是研究自然界中的物质世界的自然科学，而经济学是研究社会中的经济世界，两者都是科学，其理论都必须经过经验数据的检验。而数学理论是不需要用数据来检验的。当然经济学与物理学很不同的一点是，除极少数的情况外，经济学无法象物理学那样做可控实验。⑦不过这与大气活动、天体进化和地球演化有着类似，20世纪90年代后物理学家借用物理学的分析方法和手段，从大量经济数据中探寻各种经济现象背后的规律，催化了经济物理学的诞生。越来越多的物理学家也热衷于经济和金融问题的研究，他们引进了经济学家从未应用过的概念和方法，如：关联与自关联、标度律、自组织临界性、相变、自适应性、混沌、分形、渗流、神经网络、重整化群、自旋玻璃模型、量子场论方法等等。这些新概念和新方法给经济和金融这一类复杂系统的研究带来了新的生机。物理学影响了经济学，反之，经济学也影响了物理学。比如，有些人认为，物理学上的非线性理论思想主要来源于经济学。⑧

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　　“经济学数学化”的第三层含义是，在经济学的论述和交流中，从事用文字语言转变了使用数学语言。数学语言是最严格的逻辑形式，尤其是数学表达的逻辑简单明了、无歧义，并容易被证实或证伪。科学史上许多争论都源于未明确给定讨论的前提条件或者潜在假设模糊，用文字语言表述却难以发觉，造成“公说公有理婆说婆有理”的局面。解决这些争论的最好方法就是使用数学语言。这样就可以避免那些无意义的争论，这无疑将提高学术交流的效率。
　　综上所述，“经济学数学化”是指用数学的思维方式、论证方式和语言形式，对传统经济学进行一番脱胎换骨的改造，完成从旧的研究范式向新范式的转变。这是一个渐进的、非显化的历史过程。从目前来看，尤其是和自然科学数学化的典型代表物理学相比较，作为社会科学成熟度最高的经济学的数学化还远远没有真正实现。因为真正实现“数学化”需要具备两个方面的基本条件：一是数学自身的发展，特别是非构造性数学的发展足以适应经济学的复杂性要求；而是从经济学的成熟程度来看，不仅需要达到可以建立理论的水平，并且具有与作为形式化条件的数学语言高度通用性相适应的逻辑简明性。因此，一些数学方法在经济学中的应用充其量只能算作经济学“数学化”的一个方面，而和从本质上来理解的“数学化”不是同一个概念。
　　有些观点认为经济学使用数学方法会给经济学这门原来属于大众科学的学科加上一道门槛，从而使它脱离大众，变得更加高深莫测。然而一门学科的发展是不能以大众的接受程度为转移的。相对论刚刚研究出来的时候不是有人说“这个世界上只有12个人能够理解相对论”，然而这并不能否定相对论继续发展的重要意义。也有人认为数学在经济学当中的大规模使用是某些人在炫耀自己，而很多数学上的推理证明是没有什么实际意义的。这种现象可能是存在的，但也不能因为个别人在经济学中对数学的滥用而否定数学在经济学研究当中的重要意义。数学给经济学带来的可喜之处是经济学很多原理在给了一定的假设条件下是可以通过数学的方式来进行证明的，而数学证明相对其他直觉上的推理其最大的好处是一旦证明正确是不可能推翻的，由此引起的关于某些理论的徒劳的争论也就可以降到最低。如果有什么争论的话那只是局限在所做的前提假设当中，分别对应着的是现实当中的不同情况，因而这种争论也可以进一步化解了。
　　还有人认为经济学使用数学是使经济学变得更加自然科学化，而经济学研究的是人、是社会的行为，这样使得经济学的研究脱离了人的情感因素的考虑，会使经济学失去其原来的意义。⑨这里需要说明的是数学并不是一门自然科学，那么一门学科是否为自然科学与它是否使用数学并没有必然的联系。（自然科学研究的是现实当中存在的物质之间的关系的，而数学研究的都是一种抽象，既有对现实的抽象，也有人们为研究问题的方便而构想出来的抽象的概念。化学是很典型的一门自然科学，然而他们的本科生所需要掌握的数学知识甚至还不如经济学的，生物也一样。但我们不能不说他们是自然科学。因为它们研究的都是自然界事物的客观规律。我认为只要数学对一门学科的发展具有推动作用，那么使用数学无可置辩的。
　　最后我想用梁小民先生对中国经济学教育语重心长的一段话来结束我的论文，也正是他的一些话启发我写下了这篇论文：“有些学人雄心勃勃地预言下一世纪应该是中国经济学大放光芒，甚至诺贝尔经济学奖都非中国人莫属。但就目前中国经济学家（包括“跨世纪人才”）和学生的数学修养来看，这种雄心怕也是“牛皮”。要根本改变中国经济学现状必须加强下一代人的数学教育，否则培养出来的不是经济学家而是侃爷”。
　　“经济学数学化是世界的趋势，也应该是中国经济学在下个世纪的发展方向。”⑩
　　注释：
　　①樊纲《‘苏联范式’批判》
　　②魏埙主编《政治经济学（资本主义部分）》
　　③汪慧玲主编《新编统计学》
　　④保尔•拉法格《回忆马克思恩格斯》
　　⑤Ｍ•克莱因《数学与知识的探求》
　　⑥恩格斯《自然辩证法》
　　⑦钱颖一《论经济学与数学》
　　⑧沈开艳《经济学=数学+物理学?》
　　⑨《数学化不是经济学的出路》
　　⑩梁小民《经济学数学化：21世纪的主流》

很多东西单靠一般性的语言是无法说清楚的，数学作为一种工具为经济学创造一个简洁统一的交流平台，使得更多学者能够互相碰撞产生美丽的火花。

不错，谢谢。

没数学就没有经济学，基本上是公认的了

菜不放盐不好吃，盐放得太多不能吃。

经济学家应该明白，自然科学之所以成为科学并不是其大量使用数学，而是因为其以数学为工具研究出的结果能够很好地解释自然界现象。