众所周知，对于篮球运动来说，身高更高意味着更好拿到篮板，臂展更长意味着更容易进行防守，身材更强壮意味着可以更快速的移动等等。从数据上来看，NBA联盟的平均身高为198.3厘米，现在的比赛绝对是“大个子比赛”。但是否篮球比赛真的更加偏袒个子较高的球员呢？今天我们就结合JMP软件来分析一下身高对于投篮结果的影响，是否个子高的球员在罚球投篮时比个子较低的球员更加有优势，并透过NBA球员真实数据来看看模型是否可靠。
构建模型
根据美国男子篮球场以及球的尺寸，这里我们先规定罚球的一些“硬性指标”：
- 篮框高度：距地面10英尺（垂直方向）
- 篮框中心：篮板前15英寸
为简化模型，引入假设与约束条件： - 不考虑从左边或者右边投篮，只考虑是否命中，把结果简化为二维问题。
- 忽略所有其他因素，如风的阻力、球旋转、球的状态等。
输入变量有三个： - 罚球高度，即根据球员的个子分为：6.5英尺（低个子的球员）以及8.5英尺（高个子球员）
输出变量为二分类变量：
球的运动方程在模型假定下是个简单的弹道学问题，运动方程可以在很多教科书以及网站上找到。
规定命中标准
在此模型中对球命中的要求是，篮球能够“嗖嗖”地过球网而完全不接触球框，直观来看如下图所示： 
图1
但如果考虑到球的轨迹是相对“平”的，下图展示了球穿网而过的过程：
图2
所以要考虑球是否命中的问题，我们还必须考虑球的最终角度以及由角度与篮框边缘所决定的W：
图3
根据以上讨论，可以认为命中的标准是当球的中心在篮框的高度并在向下运动时： - 球不能触碰到由最终角度以及球框直径决定的“狭窄通道”的任何一边。
模型的实现-生成数据
将弹道方程以及相关约束使用JMP脚本语言（JSL）编程，来构造投篮运动投篮的相关数字特征，对这段完整的JSL感兴趣的话，也可以去原帖里下载。
简单而言，这段代码主要包括：
- 创建一个新的数据表，其中包含将存储的每个变量的新列；
- 两个嵌套循环，一个用于循环罚球初始速度，另一个用于循环罚球初始角度：
- 在这些循环中，所有的弹道都为了计算球到达的最终位置
- 球的最终位置与角度用来决定球是否符合定义的命中标准
- 根据计算结果，将最终是否投中分为“Make”&“Miss”
- 初始速度以及初始轨迹（角度）的所有特定组合都被存储在数据表中，包括make/miss变量。
- 最后，一旦所有计算完成便将结果存储在新的数据表中，绘制速度与轨迹的操作窗，并向数据表添加一个脚本，以便重新创建该图表。
下表是代码的相关属性，在以下条件下运行代码：
这里生成了两个数据表，一个表表示初始高度，一个表展示初始速度与轨迹的组合，每个表包含近65万行。
生成罚球窗口
有了数据表后，在JMP的“图形生成器Graph Builder”中可以很容易地生成“罚球窗口”。这个窗口显示了初始速度与初始轨迹的散点图，并根据“Make”或“Miss”使用不同颜色的点进行编码。下面根据JMP绘出的图来看一下高个子球员的罚球命中情况，其中，X轴是角度，Y轴是速度：
图4
上图蓝色区域显示了一个高个子想要命中篮框所需要的初始速度和初始角度的组合，可以看到： - 在低速（22-24 fps）下，投篮角度可以相对比较低。这是有道理的，因为在高轨迹去投掷低速球是不会进入篮筐的。
- 在高角度（70°以上），初始投篮速度必须要大。事实上，当投篮角度接近90°时，初始速度需要趋于无穷大。
进而我们来看一下低速区域：
图5
可以更好地观察到： - 如果投篮者以相同的初始速度来投篮，想要命中所需要的初始投篮角度（以黄线为例）
- 如果投篮者以相同的初始投篮角度来投篮，其所需的初始速度的范围 （以绿线为例）
- 如果一个投篮者想要射中篮框，其所需要的速度与角度的组合（以红框为例）
比较测试结果
利用JMP软件手动将两个测试结果（高个子球员与低个子球员）合并到同一个图中：
图6
从这个图中可以看到二者的区别：
- 个子低的球员必须比个子高的球员更努力，角度需要更高（这一点毋庸置疑）；
- 随着罚球角度的增加，两条曲线会汇集在一起（如果球员的发罚球角度都很高时，起始高度就没那么重要了），意味着此时身高对于命中率的影响并不大；
- 一般来说，个子高的球员（蓝色区域）能够射中篮框所需要的角度与速度组合范围比个子低的球员（黄色区域）更大一些。
到目前为止，我们所得出的结论都很有现实意义。但基于图4“图形生成器”可以看出：当球员罚球时，随着角度的增加，初始速度自22.5fps （约为6.86米/秒）开始，先是略有下降然后再次增加。
接下来我们利用基于JMP“气泡图”平台的JSL分别绘制初始速度在22.3fps（约为6.79米/秒）和22.4fps（约为6.83米/秒）的情况下投篮轨迹的变化。这些炫酷的动态气泡图可以帮助我们更清晰观察到这些变化。
动画模拟-直观地查看投篮过程
这里我们选择观察一个高个子球员以恒定的初始速度发罚球，只改变投篮的角度。用同样的初始速度和8.5英尺的发射高度重复计算不同角度球的运动过程，利用JMP脚本语言（JSL）将上述理论过程做成动画，并将生成的数据储存在JMP数据表中。
第一个动画展示了高个子球员以固定22.3 fps的初始速度投篮。
上面的动画展示了以相同的初始速度罚球，随着罚球角度的改变的投篮结果。绿色投篮显示“Make（命中）”，红色投篮意味着“Miss（未命中）”。如果角度刚好合适，球就会无阻碍地穿过球框。
然而如果稍微提高初始速度（22.4 fps），得到以下动画。
从动图可以看到，如果角度太小或者太大，球会触及到球框的前面。然而我们也可以看到，实际上有两个初始角度的区域导致了“Make（命中）”，与那些篮球触及到球框后端的区域完全分开。这真是一个意想不到的发现！借助JMP的可视化分析和建模显然更容易帮助我们发现那些隐藏在背后的事实，也方便我们更轻松、直观地去解读分析结果。
基于以上的建模和分析，我们不难发现，低个子球员比高个子球员更难以在罚球时命中球框。然而事实是否如此呢？当然，我们需要有大量真实数据来验证这个结论是否正确。
现实情况也如此吗？
为此，我们下载了1950年后出生的NBA球员的身高和生涯罚球命中率，他们在职业生涯至少有1000次罚球机会。基于下载的数据，利用JMP软件中的“以X拟合Y”平台，绘制了球员身高与命中率的关系图，如下：
图9
从图中可以看到明显的趋势，在NBA球员中，低个子球员的罚球命中率比高个子球员高。很明显这与前面我们构建模型所得出的结论完全相反。显然，还有其他因素在影响着罚球结果。比如： - 动力（也许低个子球员在罚球练习方面更努力，以弥补身高上的不足）
本文通过模拟出来的数据，基于JMP的可视化分析来分别观察高个子球员与低个子球员罚球命中所需要的初始罚球角度与罚球速度的组合。
- 通过比较二者的命中率发现，由于高个子球员投中的速度与角度组合范围更多些，因此命中率较低个子球员高些。
- 同时，基于JMP的可视化又可以发现，对于高个子球员来说，随着投篮角度的增加，要想投中球框，其所需要速度先是略有下降，然后再次增加。
- 最后文章分析了真实历史数据来对上述结论进行了检验，却发现在NBA中，低个子球员的罚球命中率其实并不低。可以看到的是，模型和可视化的结果确实能够揭示一些潜在规律，但真实世界却并不与此结论趋同，原因很可能是在真实世界中影响罚篮命中的因素其实远不止这些。
正如George Box的名言“所有的模型都是错的，只不过其中一些有用罢了…”，即：模型可以揭示一些隐含的规律，但模型永远都不可能站在上帝的视角无偏差地审视这个世界，模型并无法揭示所提供数据信息以外的规律。在实际工作中，也不需要盲从任何模型，而是把模型作为一个参考，分析如何结合模型有效地开展实际分析工作才是最重要的。 | 
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