[求助]请教版主和各位大侠:如何理解u(x)的连续性可充分保证支出函数被良好定义

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

<P>支出函数定义为:</P>
<P>e(<STRONG>p</STRONG>,u)=min <STRONG>p x</STRONG>  s.t. u(x)>=u</P>
<P>如何证明对于任意<STRONG>p</STRONG>>>0与任意u>=0,支出最小化问题一定有解,即存在一个e(<STRONG>p</STRONG>,u).是否要用到u(<STRONG>x</STRONG>)的连续性呢?</P>
<P>能力有限,希望得到帮助.谢谢!</P>

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏1 回帖

关键词：各位大侠 如何理解 支出函数 连续性 Min 如何 能力

e(p,u)=min p x s.t. u(x)>=u

请问楼主这个是什么意思？你自己的代号别人怎么知道讲清楚点

p是一个每个元素严格为正的n维价格向量:

p=(p1,p2,...,pn)．

u是任意的一个非负的效用水平．

u(x)是直接效用函数．

x是一个每一个元素都非负的n维消费束．

px是消费支出．

min px s.t. u(x)>=u是一个价格为p，效用水平为u的消费者支出最小化问题．

e(p,u)是这个支出最小化问题的最小值函数．

请各位高手帮帮我．谢谢！！

呵呵楼主的意思我明白。在此做一点愚见：

1、对于两种商品选择的问题我们可以用下图表示：

AB：预算线；U：无差异曲线（此曲线代表的效用为U0）

U曲线左下方所有的点的效用都小于U0，
具体分析楼主也很清楚，只有在E点才能够使得效用水平U0不变的情况下支出最少。

2、对于多种商品的选择问题

这个类似于证券投资组合的问题（在收益相同的情况下风险最低），楼主可参读金融投资学或者公司财务等书籍关于这方面的介绍。

对于3种商品我们可以将2种商品的组合看作一个元素，依次类推将N-1种商品的组合看作一个元素，这样总可以从两种因素的分析得到结果（详见证券投资组合的分析）。图例：

在同样的效用水平上（如U1、U2、）只有在曲线FG段上才能使得支出E最小（虽然图中有许多组合能够满足这种效用）。

具体的分析楼主也知道，我就不多说了。

非常感谢楼上朋友的帮助与指教！！

我赞同你的分析．对于只有两种物品的情形，我们用图形进行直观的理解是比较方便的．正如在你的第一个图形中，对于任何一条斜率为负的预算线而言（价格严格为正p>>0），在无差异曲线U0上必然会存在一个类似点E的点，这个点将成为支出最小化问题的解．只不过，从图形分析来看，我们要假设直接效用函数u(x)是严格单调并且拟凹的．因为只有这样，我们才能够保证无差异曲线是凸向原点的，正如你在图中画的那样．

我现在的问题是，想利用严谨的数学推导来得到这个结论．如果我们把前提条件加强：假设直接效用函数u(x)是连续的，严格递增的，拟凹的，可微的．那么，怎样才能证明：对于任意p>>0与任意u>=0，消费者支出最小化问题e(p,u)=min p x s.t. u(x)>=u一定有解呢？

对于效用最大化问题是否有解，我们是比较容易判断的，因为我们可以运用Weierstrass定理．可是对于支出最小化，我总是想不太明白．

真心希望版主和各位大侠来帮我看看．谢谢大家！

这道题关键是开好头，有点头绪漫漫的就做出来了，我做的也未必对，还请其他人过来共同讨论。
我就那两种商品的例子进行讲解：
这里前提为价格P1、P2既定,效用U0既定.

可以看到支出最小时的价格之比正好是边际替代率之比，而边际替代率正好是效用曲线的切线斜率，这样我们就有了两个方程（一个是等效用函数，另一个是支出最小时所需的效用函数的切线斜率）两个未知数，因为效用函数严格凸向原点且可导，各点的斜率不同，所以进行求解即可。
其他多种商品组合类似求解即可。

顺便问楼主一下，你是用的哪本微经？书上有介绍吗？我用的是高鸿业的，书上从来没有提起过啊。

是的,我们可以利用拉格朗日方法推导出消费者支出最小化问题解的一阶条件,也就是楼上朋友推导出的那两个方程.更确切地讲,两种物品情形下,一阶条件应该有三个未知数,三个方程,楼上朋友没有涉及拉格朗日乘数,所以也就少了一个方程.

现在,我们讨论的是解的存在性,因此我认为仅仅推导出一阶条件方程组是不够的:现在还面临两个问题:

(1)一阶条件方程组是否有解.如果要使用拉格朗日定理来证明解的存在性,那么首先就要假设支出最小化问题一定有内点解,而这正是我们要证明的！

(2)即使一阶条件方程组有解,那么这个解并不一定就是支出最小化问题的解.因为,一阶条件只是最小化问题解的必要条件,并不是充分条件.当然如果我们能证明条件的充分性就好了(就象证明消费者效用最大化一阶条件的充分性那样).

因此,我觉得还有进一步思考的必要,也希望大家都参与到讨论中来.

pretty-boy,我看的是上海财大出版社的那本高微,Jehle和Reny著的.

最后,还要请教你一个问题:怎样才可以将word文件转换成GIF图片,并张贴到论坛上呀?讨论时能把公式写出来,效果要好很多,就象你做的那样!

谢谢!

可以用WORD软件中的绘图工具。绘完图后按下PRINT硬拷贝键将图粘贴到附件中的画图软件里面，然后选取所需要的区域进行剪切或复制，新建一个画图窗口，将你复制的部分粘贴到里面（同时可以进行修饰）。然后保存，选择GIF格式保存就可以了。

接下来继续做这道题：

其他多种商品组合的问题同理证明。

晕!我在附件里没找到画板,windows里也没有找到画板的执行文件,难道被删了?pretty-boy,你知道怎么恢复吗?不用画板行不?用ACDSEE或PHOTOSHOP可以吗?哎...可是这两个软件我都不是很会用,有谁可以教教我吗?

不好意思,也许我没有把自己的意思表达得很清楚.你在楼上的分析的前提是我们可以获得方程(1).但这是支出最小化的一个必要条件.也就是说,只有在最优点处,我们才有两种物品之间的边际替代率等于它们价格的比率.你在6楼推导方程(1)时,使用的一阶条件是一个必要条件,即要先假定最小化问题有解,方程(1)才成立.