数学分析习题练习三

西南大学2002年数学分析试题


解：（1）、
                          $\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}(a_n+a_{n+2})&=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^nx(1+\tan^2x)dx\\\\&=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\tan^nxd\tan x\\\\&=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}\tan^{n+1}x|_0^{\frac{\pi}{4}}\\\\&=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}\\\\&=\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})\\\\&=\lim_{n \to \infty }(1-\frac{1}{n+1})\\\\&=1.
\end{align*}$


       （2）、
                         $\displaystyle \because \frac{a_n}{n^\lambda }=\frac{1}{n^\lambda }\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^nxdx\leq \frac{1}{n^\lambda }\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n-2}xd\tan x=\frac{1}{n^\lambda (n-1)}< \frac{1}{n^{\lambda +1}}.$

                         $\displaystyle \therefore \lambda > 0,\sum_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n^\lambda }< \infty .$

西南大学2002年数学分析试题



解：
         由已知
                            $\displaystyle \because \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=A,$

                            $\displaystyle \therefore \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0)=A.$

        由于$f(x)$连续，因此在常规积分下，积分与求极限可交换次序，故有

                            $\begin{align*}\because \varphi'(x)&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\int_{0}^{1}f((x+\Delta x)t)dt-\int_{0}^{1}f(xt)dt}{\Delta x}\\\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\int_{0}^{1}t\cdot \frac{f((x+\Delta x)t)-f(xt)}{t\Delta x}dt\\\\&=\int_{0}^{1}t\cdot \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f((x+\Delta x)t)-f(xt)}{t\Delta x}dt\\\\&=\int_{0}^{1}tf'(xt)dt.
\end{align*}$

                             $\displaystyle \therefore \varphi'(0)=f'(0)\int_{0}^{1}tdt=\frac{1}{2}A,$

                 而
                              $\displaystyle \lim_{x\to 0}\varphi'(x)=\lim_{x\to 0}\int_{0}^{1}tf'(xt)dt=\int_{0}^{1}t\lim_{x\to 0}f'(xt)dt=\frac{1}{2}A.$

                 因此有
                              $\displaystyle \Rightarrow \lim_{x\to 0}\varphi'(x)=\varphi'(0).$

                   即函数$\varphi'(x)$在$x=0$处连续。

西南大学2002年数学分析试题


证明：
              令
                   $f(x)=1-x-(1+x)e^{-2x},$

                   $f(0)=0,$
              又
                   $\begin{align*}\because f'(x)&=-1-e^{-2x}+2(1+x)e^{-2x}\\\\&=-1+(1+2x)e^{-2x}\\\\&=-1+(1+2x)(1-2x)+o(x)\\\\&=-4x^2+o(x)\\\\&< 0. (0< x< 1)\end{align*}$

                   $\therefore f(x)\downarrow ,$

                   $f(x)< f(0)=0.$

              由此可知
               
                   $1-x<(1+x)e^{-2x},$

                   $\displaystyle \Rightarrow \frac{1-x}{1+x}< e^{-2x}.$

西南大学2002年数学分析试题



解:复合函数的链式求导，略。

西南大学2002年数学分析试题


解：     由已知
                     $\because a_n\leq a_{n-1},\sum (-1)^na_n=\infty .$

          根据交错级数莱卜尼兹定理，必有，（否则，所给级数收敛）

                     $\therefore a_n\nrightarrow 0,(n \to \infty ),$

               而
                     $\frac{1}{(1+a_n)^n}\sim 1-na_n\nrightarrow 0,(n \to \infty )$

               所以
                      $\displaystyle \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(1+a_n)^n}=\infty .$

其实西南大学的这张试卷，题量大，难度也足够。

北京大学2007级数学分析期末考试试卷




解：
              $\begin{align*}\lim_{n \to \infty }\frac{f(\sin\frac{1}{n})-f(\sin(-\frac{1}{n^2}))}{\frac{1}{n}}&=\lim_{n \to \infty }(\frac{f(\sin\frac{1}{n})-f(0)}{\frac{1}{n\sin\frac{1}{n}}\cdot\sin\frac{1}{n}}-\frac{f(\sin(-\frac{1}{n^2}))-f(0)}{\frac{1}{n\sin(-\frac{1}{n^2})}\cdot\sin(-\frac{1}{n^2})})\\\\&=\lim_{n \to \infty }(n\cdot \frac{1}{n}f'(0)-n\cdot (-\frac{1}{n^2})f'(0))\\\\&=f'(0).
\end{align*}$

北京大学2007级数学分析期末考试试卷


解：（1）、
                      $\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2x\cos^2x}=\int\frac{dx}{\sin^2x}+\int\frac{dx}{\cos^2x}=-\cot x+tan x+C.$


        （2）、
                       $\displaystyle \int \sqrt{x}\ln xdx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\ln x+\frac{2}{3}\int x^{\frac{3}{2}}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\ln x+\frac{4}{9}x^{\frac{3}{2}}+C.$


         （3）、
                       $\displaystyle \int \frac{dx}{1+e^x}=-\int \frac{de^{-x}}{e^{-x}+1}=-\ln(e^{-x}+1)+C.$


          （4）、
                       $\displaystyle \int \cos\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x^3}dx=-\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}-\int \sin\frac{1}{x}d(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}+\cos\frac{1}{x}+C.$

北京大学2007级数学分析期末考试试卷


解：
       （1）、
                    $\displaystyle \lim_{x\to 0}(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{\sin x^3})=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^3-x^3}{x^3\sin x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{3}x^9}{x^6}=0.$


       （2）、
                     $\displaystyle \lim_{n \to +\infty }(\frac{(1+\frac{1}{n})^n}{e})^n=\lim_{n \to +\infty }\exp (n\ln(1+\frac{1}{n})^n-n)=e.$

北京大学2007级数学分析期末考试试卷


解：1）、令
                                     $u=x^2+2x,$

                         则
                                     $x=-1,u=-1,u'=2x+2=0,u''=2,u'''=\cdots =u^{n}=0.$
                     
                       求出各阶导数

                                     $f(-1)=e^u=e^{-1},$

                                      $f'(-1)=u'e^u=0,$

                                      $f''(-1)=(u''+(u')^2)e^u=2e^{-1},$

                                      $f'''(-1)=(u'''+2u'u''+u'(u''+(u')^2))e^u=(u'''+3u'u''+(u')^3)e^u=0,$

                          以下显然有

                                      $f^{(4)}(-1)=f^{(5)}(-1)=\cdots =0,$

                             故函数$f(x)$在$x=-1$处的Peano余项为

                                          $R_n=o((x+1)^n)=R_2=o((x+1)^2),$


           2)、各阶导数值已在上面求出。