数学分析习题练习三

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

中国科技大学2018-2019数分A1期中测验试卷-----1#
北京大学2005年保送生数学分析试题--------------2#
北京大学2017级数学分析1期中试题---------------2#~3#
北京大学2015-2016学年数学分析1期中试题------3#~4#
西南大学2002年数学分析试题---------------------4#~5#
北京大学2007级数学分析期末考试试卷------------5#~6#
北京大学2008级数学分析期末考试试卷------------6#~7#
北京大学2011-2012学年数学分析I期中试题-------7#~8#
北京大学2011-2012学年数学分析I期末试题-------8#
北京大学2011-2012学年数学分析II期末试题------9#
北京大学2015-2016学年数学分析第一学期末试题---10#~11#
2018年中科大数学夏令营试题---------------------11#
2016年四校联合数学竞赛题--------------------12#~13#
复旦大学2019年数学分析1期中考试------------14#~15#
四川大学数学分析---------------------------------17#
安徽大学2020年数学分析试题-------------------19#
武汉大学2019年数学分析试题-------------------20#














数学分析考研真题练习一
https://bbs.pinggu.org/thread-7048372-1-1.html

数学分析考研真题练习二
https://bbs.pinggu.org/thread-7210706-1-1.html
数学分析习题练习四
https://bbs.pinggu.org/thread-7967903-1-1.html
数学分析习题练习五
https://bbs.pinggu.org/forum-61-1.html
数学分析习题题练习六
https://bbs.pinggu.org/thread-10261330-1-1.html
数学分析习题题练习七:https://bbs.pinggu.org/thread-10684099-1-1.html

如有不同，敬请指正。谢绝灌水。

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏2 回帖

关键词：数学分析 中国科技大学 中国科技

中国科技大学2018-2019数分A1期中测验试卷


解：
                  $\begin{align*}\lim_{n \to \infty }\sin^4(\pi\sqrt{n^2-n})&=\lim_{n \to \infty }\sin^4(\pi n-\pi\sqrt{n^2-n})\\\\&=\lim_{n \to \infty }\sin^4(\frac{\pi n}{n+\sqrt{n^2-n}})\\\\&=\lim_{n \to \infty }\sin^4(\frac{\pi}{1+\sqrt{1-\frac{1}{n}}})\\\\&=1.
\end{align*}$

中国科技大学2018-2019数分A1期中测验试卷


解：黎曼函数的定义：
                                     $R(x)=\begin{cases}
\frac{1}{q} ,& x=\frac{p}{q} \\\\
0,& x\in \mathbb{Q}
\end{cases}$
                    
                    因为
                                $\displaystyle \lim_{x\to x_0}R(x)=0.$

                     所以
                                 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}R(R(x))=1.$

补充:

中国科技大学2018-2019数分A1期中测验试卷


证明：

          由已知条件，可将两式分别变为（$n$充分大时）：
                                      $(a_n+b_n+c_n)^2=3,3(a^2_n+b^2_n+c^2_n)=3.$

         然后，将后一式减前一式，整理后得
                                        $(a_n-b_n)^2+(b_n-c_n)^2+(c_n-a_n)^2=0,$   

                                         $\therefore a_n=b_n=c_n.$      

                             代入已知条件等式，得
                                          $\displaystyle \lim_{n \to +\infty }a_n=\lim_{n \to +\infty }b_n=\lim_{n \to +\infty }c_n=\frac{\sqrt{3}}{3}.$  

                           故$\{a_n\}$ 收敛，有极限。


  
         

中国科技大学2018-2019数分A1期中测验试卷


证明：     因为$g(x)$非负，所以$f(x)$也非负。
                         $\displaystyle \because \lim_{x\to +\infty }\frac{g(f(x))}{1+f^2(x)}=\lim_{x\to +\infty }f(f(x))=+\infty ,$

                         $\displaystyle \therefore \lim_{x\to +\infty }f(x)=+\infty ,$

             因此有
                           $\displaystyle \lim_{x\to +\infty }\frac{g(x)}{x^2}=\lim_{x\to +\infty }\frac{g(x)}{1+x^2}\cdot \frac{1+x^2}{x^2}=\lim_{x\to +\infty }f(x)=+\infty .$



注：由$\displaystyle\lim_{x\to +\infty }f(f(x))=+\infty $推出$\displaystyle \lim_{x\to +\infty }f(x)=+\infty $,可以用反证法。Heine 定理的推广形式。

中国科技大学2018-2019数分A1期中测验试卷


证明：用介值定理

                 设     
                                  $F(x)=f(x+\pi)-f(x),$

                                 $\because F(\pi)=f(2\pi)-f(\pi)=f(0)-f(\pi),$

                                       $F(0)=f(\pi)-f(0),$

                                 $\therefore F(\pi)F(0)< 0,$

                     因此
                                   $\exists \xi \in (0,\pi)\subset (0,2\pi),s.t.$

                                    $F(\xi)=f(\xi+\pi)-f(\xi)=0,$

                                   $\Rightarrow f(\xi+\pi)=f(\xi).$

中国科技大学2018-2019数分A1期中测验试卷

证明：

                          $\because a_n=\left ( a_n-\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \right )+\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n},$

             令
                           $b_1=a_1,b_2=a_2-a_1,\cdots ,b_n=a_n-a_{n-1},$

            于是
                            $\begin{align*}\lim_{n \to \infty }(a_n-\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n})&=\lim_{n \to \infty }\left (b_1+b_2+\cdots +b_n-\frac{b_1+(b_1+b_2)+\cdots +(b_1+b_2+\cdots +b_n)}{n} \right )\\\\&=\lim_{n \to \infty }(\frac{b_2+2b_3+\cdots +(n-1)b_n}{n})\\\\&=\lim_{n \to \infty }\frac{(n-1)b_n}{n-(n-1)}\\\\&=\lim_{n \to \infty }\frac{n-1}{n}\cdot n(a_n-a_{n-1})\\\\&=0.
\end{align*}$

                           $\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty }a_n=\lim_{n \to \infty }\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=l.$

中国科技大学2018-2019数分A1期中测验试卷


证明
              由函数一致收敛性质，可知
                                $\forall \varepsilon > 0，\exists M> 0,\delta =\frac{\varepsilon }{M},|x-y|< \delta ,s.t.$

                                $|f(x)-f(y)|< 2\varepsilon =M|x-y|+\varepsilon .$

中国科技大学2018-2019数分A1期中测验试卷


证明：设函数$f,g$的周期分别为$T_1,T_2$.

                       $x\in \mathbb{R},\forall \varepsilon > 0,\exists M> 0,x> M,s.t.$

                        $|f(x+nT_1)-g(x+nT_1)|=|f(x)-g(x+nT_1)|< \varepsilon ,$

                         $\displaystyle \therefore \lim_{n\to \infty }g(x+nT_1)=f(x),$
            
                         $\displaystyle f(x+T_2)=\lim_{n\to \infty }g(x+nT_1+T_2)=\lim_{n\to \infty }g(x+nT_1)=f(x),$

              所以$T_2$也是$f$的周期。同理，$T_1$也是$g$的周期。
                        $\displaystyle \therefore f(x)-g(x)=\lim_{n\to \infty }(f(x+nT_2)-g(x+nT_2))=\lim_{n\to \infty }(f(x)-g(x))=0.$

                      $\displaystyle f(x)-g(x)=\lim_{n\to \infty }(f(x+nT_1)-g(x+nT_1))=\lim_{n\to \infty }(f(x)-g(x))=0.$

             命题成立。

中国科技大学2018-2019数分A1期中测验试卷


证明：
                      $\because f(x)\uparrow ,\therefore f'(x)> 0.$

                       $f(a+x)-f(a-x)=f(a+x)-f(a)+f(a)-f(a-x),$

                        $f(a+x)-f(a)=f'(\xi_1)x> 0,$

                        $\exists K_1,f'(x)> K_1> 0,s.t.$

                        $f(a+x)-f(a)=f'(\xi_1)x> K_1x,$

                        $f(a)-f(a-x)=f'(\xi_2)x> 0,$

                        $\exists K_2,f'(x)> K_2> 0,s.t.$

                        $f(a)-f(a-x)=f'(\xi_2)x> K_2x,$

                        $K'=\min (K_1,K_2),K=2K'$

                        $\Rightarrow f(a+x)-f(a-x)=f'(\xi_1)x+f'(\xi_2)x\geq (K_1+K_2)x\geq 2K'x=Kx>0.$