数学分析习题练习三

几道级数题：（转帖）
(1)设$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$是正项收敛级数,试证明
\[ I=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{1-\frac{1}{n}}\]
收敛。
（2）设$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是正项收敛级数，试证明
\[ I=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{\frac{bn}{1+bn}}\qquad (b>0) \]
(3)设正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛。若正数列$\{b_n\}$满足$\displaystyle b_{n}=o\left(\frac{1}{\ln n}\right)(n\to\infty)$,则
\[ I=\sum_{n=2}^{\infty}a_{n}^{1-b_n}\]
收敛。
(4)设$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是收敛的正项级数，则
\[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cdot\frac{\ln\left(\frac{1}{a_n}\right)}{\ln(1+a_n)}\]
收敛。
(5)设$0<a_n<1$,$n\in \mathbf{N}$,若$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{\ln a_n}$收敛，则
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{\ln(n+1)}\]
收敛。
(6)设$\{a_n\}$是递增的正数列。若$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}$收敛，则对任意的自然数$k$,级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln a_n)^k}{a_n}$收敛的充分必要条件是级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln n)^k}{a_n}\displaystyle$收敛.

一道不错的证明题

关于“极值第二充分性条件的高阶导数”很实用的结论

北京大学2015-2016学年数学分析第一学期末试题
1、设曲线$\Gamma $为$x=\cos^3t,y=\sin^3t,(t\in[0,2\pi))$，求$\Gamma $在$t=\pi/4$处的切线方程。

解：
                  $t=\frac{\pi}{4},x=y=\frac{\sqrt{2}}{4},$

                  $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{t=\pi/4}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}=\frac{\sin ^2t\cos t}{-\cos^2t\sin t}=-1,$

                 $\therefore y=-(x-\frac{\sqrt{2}}{4})+\frac{\sqrt{2}}{4}=-x+\frac{\sqrt{2}}{2}.$

北京大学2015-2016学年数学分析第一学期末试题
2、函数$y=f(x)$由方程$y^2+\ln y=x^4$所确定，求$\frac{d^2y}{dx^2}.$


解：       先隐函数求导

                     $2yy'+\frac{y'}{y}=4x^3,$

                     $2(y')^2+2yy''+\frac{yy''-(y')^2}{y^2}=12x^2,$

             再解出$y'$代入第2式中。

北京大学2015-2016学年数学分析第一学期末试题
3、求极限
     （1）、$\displaystyle \lim_{x\to 1}(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{\sin(x-1)}).$

     （2）、$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x\sin x-x-x^2}{x^3}.$



解：
         （1）、
                          $\begin{align*}\lim_{x\to 1}(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{\sin(x-1)})&=\lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)-\ln x}{\sin(x-1)\ln x}\\\\&=\lim_{x\to 1}\frac{\ln\frac{e^{\sin(x-1)}}{x}}{(x-1)\ln x}\\\\&=\lim_{x\to 1}\frac{\ln\frac{x-1}{x}}{(x-1)\ln x}\\\\&=\lim_{x\to 1}\frac{-\frac{1}{x}}{(x-1)^2}\\\\&=-\infty .
\end{align*}$


         （2）、
                           $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x\sin x-x-x^2}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2}=\frac{1}{2}.$

北京大学2015-2016学年数学分析第一学期末试题
4、求不定积分
      （1）、$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}};$

      （2）、$\int \frac{xdx}{\sin^2x}.$


解：
        （1）、
                      $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\int \frac{dx}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=-\int \frac{d(\frac{1}{x})}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\arccos\frac{1}{x}+C. $

   
         （2）、
                       $\int \frac{xdx}{\sin^2x}=x\cot x+\int \cot xdx=x\cot x+\ln|\sin x|+C.$

北京大学2015-2016学年数学分析第一学期末试题
5、设$f(x)$在区间$[a,b]$连续且在$(a,b)$可导，再假设$\displaystyle \lim_{x\to a+0}f'(x)$存在，试问$f(x)$是否在$x=a$存在右导数？（说明理由）


解：
            不一定。因为由右导数的定义

                                     $\displaystyle f'_+(a)=\lim_{x\to a+0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

                         当
                                     $\displaystyle f'_+(a)=\lim_{x\to a+0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a+0}f'(x),$   

                         时，$x=a$右导数存在。而当

                                      $\displaystyle f'_+(a)=\lim_{x\to a+0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\neq \lim_{x\to a+0}f'(x),$

                          时，$x=a$右导数不存在.

北京大学2015-2016学年数学分析第一学期末试题
6、设$f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$，求$f(x)$的带Peano余项的Macraulin公式。

北京大学2015-2016学年数学分析第一学期末试题
7、设$P_n(x)=1-x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{(-1)^nx^n}{n},(n=1,2,\cdots )$.证明（1）当$n$为奇数时，$P_n(x)$有唯一的一个零点；（2）当$n$为偶数时，$P_n(x)$没有实零点。


证明：
           （1）、当$n$为奇数时
                          $\displaystyle \because \lim_{x\to -\infty }\frac{p_n(x)}{x^n}=1> 0,\lim_{x\to +\infty }\frac{p_n(x)}{x^n}=-1< 0.$

                 因此由Rolle定理知，在$(-\infty ,+\infty )$上，$\frac{p_n(x)}{x^n}$有一个零点，也即$P_n(x)$有一个零点。

                   又
                           $P_n(0)=1,P_n(x)\downarrow ,x\in(0,+\infty )$

                 所以，$P_n(x)$有一个零点，且只有一个零点。零点在$(0,+\infty )$上。


           （2）、当$n$为偶数时，因为$P_n(x)$的最小值为$1$，故无零点。