数学分析习题练习三

北京大学2007级数学分析期末考试试卷


证明：可将区间分为两个：
                                        $(0,1]\cup [1,+\infty ).$

                  在$[1,+\infty )$上，$f'(x)$有界，最大值为$1$，由此，函数$f(x)$在在$[1,+\infty )$上一致连续。

                  在$(0,1]$上，因为

                                           $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}x^\alpha \ln x=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{x^{-\alpha }}=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{-\alpha x^{-\alpha -1}\cdot x}=0.$（存在）

                   由函数一致连续的判定定理，函数$f(x)$在$(0,1]$上一致连续。

                    所以函数$f(x)$在$(0,+\infty )$ 上一致连续。


      

北京大学2007级数学分析期末考试试卷


证明：
            如果函数为凸函数，则

                                               $\forall x_0,x\in (a,b),s.t.$

                                                $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}< \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$

                          两边取极限，得
                                                $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)\leq \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$

                              由此
                                                 $\Rightarrow f(x)\geq f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$

                                 结论成立。

             反之，如果上式结论成立，则有

                                                  $f'(x_0)\leq \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$

                          此即凸函数的性质。故$f(x)$为凸函数。

                    综上，命题成立。

北京大学2007级数学分析期末考试试卷


证明：    由已知，
                            $\because f(a)=f(b),$

                  由Rolle中值定理
                             $\therefore \exists \eta \in (a,b),s.t.f'(\eta )=0.$

                   根据拉格朗日中值定理，有

                               $\exists \xi_1\in(a,\eta),\xi_2\in(\eta,b),s.t.$

                                $f(\eta)-f(a)=f'(\xi_1)a,$

                                $f(b)-f(\eta)=f'(\xi_2)b,$

                                $\Rightarrow f'(\xi_1)f'(\xi_2)=-\frac{f(a)}{a}\cdot \frac{f(b)}{b}< 0,$

                      再利用介值定理，

                                  $\therefore \exists \xi_3\in(\xi_1,\xi_2),s.t.f'(\xi_3)=0.$

                      于是，再利用Rplle中值定理，有

                                   $\exists \xi\in(\eta,\xi_3),s.t.$

                                    $f''(\xi)=0.$

                         因此，命题成立。上面假定了$\eta<\xi_3$，如果$\eta》\xi_3$，结果同样成立。

北京大学2007级数学分析期末考试试卷


证明：
              因自变量变化区间为无穷区间，根据实数理论，必能找到一个子列$\{x_n\}$,使得

                                                             $\displaystyle \lim_{n \to +\infty }x_n=+\infty ,$

                                而由已给条件，这个子列$\{x_n\}$，也必能满足，因此有

                                                             $\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{f(x_n)}{x_n}=\lim_{n \to +\infty }f'(x_n)=0,$

                                 上述两个结论同时成立。所以，命题得证。

北京大学2008级数学分析期末考试试卷



解：
           （1）、如果$f(x)$是定义在$[a,b]$上的函数，设$T$为该区间上的一个分划：

                               $T:a=x_0< x_1< \cdots < x_{n-1}< x_n=b.$

                        令
                               $\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\xi_i\in[x_{i-1},x_i],i=1,2,\cdots ,n$

                                $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,0< |\omega =\max \{|\Delta x_i|i=1,2,\cdots ,n|\}|< \delta ,s.t.$

                                $\displaystyle |I-\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i|< \epsilon .$

北京大学2008级数学分析期末考试试卷



证明：因为$f(x)$在$[0,T]$上连续，因此$f(x)$有界。又因为$g(x)$有连续的导函数，所以$g(x)$ 连续。因此有

                                   $\begin{align*}\lim_{\lambda \to 0}\int_{0}^{T}f(x)g'(\lambda x)dx&=f(c)\lim_{\lambda \to 0}\int_{0}^{T}g'(\lambda x)dx\\\\&=f(c)\lim_{\lambda \to 0}\frac{1}{\lambda }\int_{0}^{T}g'(\lambda x)d\lambda x\\\\&=f(c)\lim_{\lambda \to 0}\frac{1}{\lambda }(g(\lambda T)-g(0))\\\\&=f(c)\lim_{\lambda \to 0}\frac{1}{\lambda }(g(0)-g(0))\\\\&=0.
\end{align*}$

                  其中，$f(c)$为介于函数值最大和最小之间一个值，根据介值定理，这样的$c\in[0,T]$是存在的。

北京大学2008级数学分析期末考试试卷


解：   因为
                 $a_n=(\frac{2n^2-3}{2n^2+1})^{n^2}=(1-\frac{4}{2n^2+1})^{-\frac{2n^2}{4}\cdot \frac{-4n^2}{2n^2+1}}\rightarrow e^{-2}\neq 0,(n \to \infty )$

          所以，级数发散。

北京大学2008级数学分析期末考试试卷


证明：
            由已知，故有

                       $\frac{(1-\frac{x_n}{x_{n+1}})y_n}{(1-\frac{x_{n-1}}{x_{n}})y_{n-1}}=\frac{x_n}{x_{n+1}}\cdot \frac{x_{n+1}-x_n}{x_n-x_{n-1}}\cdot \frac{y_n}{y_{n-1}},$

                       $\because \exists N> 0,n> N,s.t.\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{x_{n+1}-x_n}{x_n-x_{n-1}},(Stolz)$

                        $\therefore \frac{x_n}{x_{n+1}}\cdot \frac{x_{n+1}-x_n}{x_n-x_{n-1}}=1,(n \to \infty )$

                    而
                        $\frac{y_n}{y_{n-1}}\geq 1,$

                         $\therefore \frac{(1-\frac{x_n}{x_{n+1}})y_n}{(1-\frac{x_{n-1}}{x_{n}})y_{n-1}}\geq 1,$

                    级数单调增。又

                         $|(1-\frac{x_n}{x_{n+1}})y_n|\leq y_n< M,(M> 0)$

                    级数有界。

              因此，级数单调有界，收敛。

北京大学2008级数学分析期末考试试卷


解：
                        $\because \sin x=x+o(x),\arctan x=x+o(x),$

                         $\therefore \frac{\sin x\arctan x}{x^\alpha }=\frac{1}{x^{\alpha -2}},$

               因此当
                                $\therefore 0\leq \alpha \leq 3,$

                时，积分发散。而当

                                $\alpha >3, $

                时，积分绝对收敛。


这题的解似有问题，待再想

北京大学2008级数学分析期末考试试卷


解：
                 $\because \frac{x^\alpha \ln x}{e^x-e^{-x}}=\frac{x^\alpha e^x\ln x}{e^{2x}-1}\sim \frac{x^\alpha \ln x}{2},$

                 $\int_{0}^{+\infty }\frac{x^\alpha \ln x}{2}=\int_{0}^{1}\frac{x^\alpha \ln x}{2}+\int_{1}^{+\infty }\frac{x^\alpha \ln x}{2},$

            而
                 $\because \int_{0}^{1}\frac{x^\alpha \ln x}{2}=\frac{1}{2(\alpha +1)}x^{\alpha +1}\ln x|_0^1+\frac{1}{2(\alpha +1)^2}x^{\alpha +1}|_0^1,$

            若此积分收敛，则必有

                        $\alpha+1> 0,\Rightarrow \alpha > -1.$

          同时，
                         $\because \int_{1}^{+\infty }\frac{x^\alpha \ln x}{2}=\frac{1}{2(\alpha +1)}x^{\alpha +1}\ln x|_1^{+\infty }+\frac{1}{2(\alpha +1)^2}x^{\alpha +1}|_1^{+\infty },$

            要使这个积分收敛，必须满足

                          $\alpha +1< 0,\alpha < -1.$

            综合上面两种情况，这样的条件不可能同时成立。所以原积分发散。