数学分析习题练习三

浙江大学2013年数学分析试题
5、证明：
                （i）、
                              $\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\int_{0}^{\pi/2}\sin^nxdx=0;$

                 （ii）、
                             $\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\int_{0}^{\pi/2}\sin x^ndx=0.$

证明：
                （i）、
                             $\because \forall x\in (0,\pi/2),\sin x\in C(0,\pi/2),\sin x< x< 1,$

                            $\displaystyle \therefore 0\leq \lim_{n \to \infty }\int_{0}^{\pi/2}\sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}\lim_{n \to \infty }\sin^nxdx\leq \int_{0}^{\pi/2}\lim_{n \to \infty }x^ndx=0.$

                             $\displaystyle \Rightarrow \lim_{n \to \infty }\int_{0}^{\pi/2}\sin^nxdx=0.$


                 （ii）、
                             $\because \forall x\in (0,\pi/2),\sin x\in C(0,\pi/2),\sin x^n< x^n< 1,$

                             $\displaystyle \therefore 0\leq \lim_{n \to \infty }\int_{0}^{\pi/2}\sin x^ndx=\int_{0}^{\pi/2}\lim_{n \to \infty }\sin x^ndx\leq \int_{0}^{\pi/2}\lim_{n \to \infty }x^ndx=0.$

                              $\displaystyle \Rightarrow \lim_{n \to \infty }\int_{0}^{\pi/2}\sin x^ndx=0.$



上面的证法。正确与否，不能肯定。因为曾经看到过非常复杂的证法，（找出来附上）。我想应该不用那么复杂吧，第（i）小题仅5分。


引自“陈洪葛的博客”


--------------------------------------又看到一个有更好的证法，此方法好象更简单明了


参见“数学分析的基本理论与典型方法（刘立山 孙钦福）,2005”P50页。

北京大学2011-2012学年数学分析II期末试题


解：
           函数列$\{f_n(x)\}$一致有界：

                                          $\forall x\in (0,1),N> 0,n> N,\exists M> 0,s.t.$

                                           $|f_n(x)|< M.$

         函数列$\{f_n(x)\}$一致收敛到零：

                                          $\forall x\in (0,1),\forall \varepsilon > 0,\exists N> 0,n> N,s.t.$

                                           $|f_n(x)|< \varepsilon .$


                由已知条件，有
                                         $\forall x_1,x_2\in (0,1),\exists \varepsilon_0> 0,\exists N> 0,n> N,s.t.$

                                         $|f_n(x_1)-f_n(x_2)|> \varepsilon_0.$

                                          $\forall x\in(0,1),|f(x)|\geq A> 0.$

                     因此
                                        $\forall x_1,x_2\in (0,1),\exists \varepsilon_0> 0,\exists N> 0,n> N,s.t.$

                                        $|f_n(x_1)f(x_1)-f_n(x_2)f(x_2)|\geq A|f_n(x_1)-f_n(x_2)|>A \varepsilon_0> 0.$

                       由此可知，$\{f_n(x)f(x)\}$必不一致收敛。

北京大学2011-2012学年数学分析II期末试题


证明：
              由$f_n(x)$的一致连续性，可知，有

                                        $\forall x_1,x_2\in I,\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,0< |x_1-x_2|< \delta,s.t.$

                                         $|f_n(x_1)-f_n(x_2)|< \varepsilon .$

             由$f_n(x)$的一致收敛于$f(x)$，有

                                        $\forall x\in I,\forall \varepsilon > 0,\exists N> 0,n> N,s.t.$

                                        $|f_n(x)-f(x)|< \varepsilon .$

                 因此当上述条件均满足时，就有

                                        $|f(x_1)-f(x_2)|\leq |f_n(x_1)-f(x_1)|+|f_n(x_1)-f_n(x_2)|+|f_n(x_2)-f(x_2)|< 3\varepsilon .$

                即$f(x)$在$I$上一致收敛。

北京大学2011-2012学年数学分析II期末试题


证明：
                 因为
                         $\displaystyle \because |\frac{\sin nx}{n^2+1}|\leq \frac{1}{n^2+1}\rightarrow 0,(n \to +\infty )$

                 所以，函数$f(x)$一致收敛。从而有

                         $\displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty }(\frac{\sin nx}{n^2+1})'=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n\cos nx}{n^2+1}.$

                  又
                         $\displaystyle \because |\frac{n\cos nx}{n^2+1}|\leq \frac{n}{n^2+1}\rightarrow 0,(n \to +\infty )$

                  因此，导函数$f'(x)$一致收敛。从而由通项$a_n=\frac{n\cos nx}{n^2+1}$的连续性，可知，和函数$f'(x)$也连续。

                  

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证明：
                $\Rightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists N> 0,n> N,s.t.$

                             $|P_n(e^{-x})-f(x)|< \varepsilon ,$

                             $\therefore P_n(e^{-x})-\varepsilon < f(x)< P_n(e^{-x})+\varepsilon ,$
                 取极限
                             $\displaystyle \lim_{x \to +\infty }f(x)=p_n(0).$

                      存在。



                  $\displaystyle \Leftarrow \lim_{x \to +\infty }f(x)=A,$

                      由此可知，$f(x)$在$[0,+\infty )$上，有界。根据Weierstrass多项式逼近定理，有

                                      $\forall \varepsilon > 0,\exists N> 0,n> N,s.t.$

                                        $|P_n(e^{-x})-f(x)|< \varepsilon .$

北京大学2011-2012学年数学分析II期末试题


证明
                 设原级数$\sum_{n=1}^{\infty }u_n(x)$是正负项不按规律排序的任意级数。由原级数一致收敛，有

                                    $|u_{n+p}(x)-u_n(x)|< \varepsilon ,(p> 0,\varepsilon > 0,x\in I)$

                 现将原级数按下列方式加以重新排序：

                               不妨设首项为正，将连的正项加括号组成新级数第一项：$a_1(x)$。$｜a_1(x)｜$显然与所包含的原级数项绝对值相等;将首个负项与其后紧连的负项加括号，组成新级数的第二项：$-|a_2(x)|$。而$-|a_2(x)|$显示也与所包含原级数项的和相等；....依次将原级数$n+p$项组成新级数$k+t$项。此时有
              
                      $||a_{k+t}(x)|-|a_k(x)||\leq |u_{n+p}(x)-u_n(x)|< \varepsilon ,(t> 0)$

                 新级数绝对一致收敛。

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解：
                   $\because f(x)=\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2x,$

                        $f^{(n)}(x)=\frac{1}{2}\cos(2x+\frac{n\pi}{2}),$

                   $\therefore f(1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2,$

                        $f^{(n)}(1)=\frac{1}{2}\cos(2+\frac{n\pi}{2}),$

           而泰勒展开式为

                       $f(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2-\frac{1}{2}\sin2(x-1)-\frac{1}{2\cdot 2!}\cos2(x-1)^2+\cdots +\frac{1}{2\cdot n!}\cos(2+\frac{n\pi}{2})(x-1)^n+o((x-1)^n).$

北京大学2011-2012学年数学分析II期末试题

解：
         利用已知级数求和公式：
                      $\displaystyle \because \sum_{n=0}^{\infty }(n+1)x^n=\frac{1}{(1-x)^2},$

                          $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1)x^n=\frac{2}{(1-x)^3},$

             可以得到：
                       $\begin{align*}\sum_{n=0}^{\infty }(n+1)^2x^n&=\sum_{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1)x^n-\sum_{n=0}^{\infty }(n+1)x^n\\\\&=\frac{2}{(1-x)^3}-\frac{1}{(1-x)^2}\\\\&=\frac{1+x}{(1-x)^3}.
\end{align*}$

             令$x=\frac{1}{2},$代入上面求和式，得

                        $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(1+n)^2}{2^n}=\frac{1+\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^3}=12.$

----------------------------------------------几个级数求和公式

北京大学2011-2012学年数学分析II期末试题

北京大学2011-2012学年数学分析II期末试题

解：因为$f(x)$为偶函数，故可展开为余弦级数

                           $\displaystyle f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_n\cos nx,x\in[-\pi,\pi]$

                           $a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}xdx=\pi,$

                           $a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos nxdx=\frac{2}{n^2\pi}((-1)^n-1).$

              展开式为

                           $\displaystyle \pi+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2}{n^2\pi}((-1)^n-1)\cos nx=\begin{cases}
x &, -\pi< x< \pi \\
0 &, x= \pm \pi
\end{cases}$