概率论问题

n 个球放入 n 个盒子内，要求每个盒子内放一个球，至少有一个球的编号和盒子的编号相同的概率为多少。希望给出详细解答过程，或者思路，急！！！

1-1/2!+1/3!-.........(-1)上标（n-1）/n!

2# 黑色忧郁 要解答过程，答案我知道

我也在学啊

求他的对立事件的概率 即没有一个球的编号和他所放的盒子的编号相同

5# 北极星子 请给出解答过程。

这是我的理解，不知道对不对。

n个球放入n个盒子中，第一个球有n种放法，第二个球有(n-1)种放法，第三个球有(n-2)种放法...，第n个球有1种放法，因此总共有：n*(n-1)*(n-2)..*2*1..=n! 种放法。
至少有一个球的编号与盒子的编号相同的概率=（全部放法 — 每个球的编号都与盒子的编号不同的放法）/全部放法

每个球的编号都与盒子的编号不同，即1号球不能放入1号盒子中，即有n-1种放法，2号球不能放入2号盒子同时还不能放入1号已经占据的盒子，即有n-2种放法...，则第n-1个球只有1种放法，第n个球也只有1种放法，因此总共有：(n-1)*(n-2)...*2*1*1=(n-1)!种放法。

则：
至少有一个球的编号与盒子的编号相同的概率=（全部放法 — 每个球的编号都与盒子的编号不同的放法）/全部放法
=[n!-(n-1)!]/n!=(n-1)/n=1-1/n

不过我感觉我理解的好像过于简单了。。。

7# alone1985 答案不对

7# alone1985

第一个球放在哪儿对后面的球有影响。比如，第一个球放在第二个盒子中，则第二个球有 n-1种方法，而如果第一个球放在第三个盒中时，此时第二个球只有 n-2中方法。         以此类推， 所以，前一个球放在哪儿对后面的球的放法会有很大的影响，分子上不是  (n-1)!

n个球放进n个盒子 是一个排列问题 分母上为总的排列个数是A n n[第一个n为上标，第二个为下标]即n!。分子上这样考虑，至少一个球与盒子的编号相同，也就是有1个，2个，3个。。。。。一直到n个这么多种情况。先假设从n个盒子中任取一个假设为第m个盒子 从n个球中取出第m个球，这样就满足了至少有一个球与盒子编号相同，把剩下的全排列，即为(C 1 n)[1为上标,n为下标]×(A n-1 n-1)[第一个n-1为上标，第二个为下标]。这样的话剩下的n-1个球全排列加上前面我们取出的第m个，其中有2球与盒子的编号相同的情况就会重复计算。要把它减去，用(C 1 n) ×(A n-1 n-1)-(C 2 n)×(A n-2 n-2)  把剩下的n-2个全排列就会多减了3个球与盒子号码相同的情况，在把它加回来，按上面的算法为(C 1 n) ×(A n-1 n-1)-(C 2 n)×(A n-2 n-2)+(C 3 n)×(A n-3 n-3)  加上后就会多加了4个球与盒子相同的情况，还要再减上，减去后会多减掉有5个相同的情况依次类推，最后分子上的式子为(C 1 n) ×(A n-1 n-1)-(C 2 n)×(A n-2 n-2)+(C 3 n)×(A n-3 n-3)-.........(-1)^(n-1)[这个式子为负一的n-1次方]×C( n n)。 即至少有一个球与盒子编号相同的情况就有这么多种。用这个式子比上分母所有盒子或者所有球的全排列(A n n)经过化简应该就是上面我说的那个式子～！！！ 注： A表示排列  C表示组合 第一个都为上标  第二个为下标。