【求助】不动点定理

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我是菜鸟，想请问下，有没有哪个不动点定理讨论，概率空间到概率空间的映射问题。大概就是，一个概率密度函数映射成另外一个概率密度函数，存在一个概率密度f（x），使得f（x）=G（f（x）），G是映射法则。
因为我觉得似乎概率空间不是一个完备的度量空间（我猜的），所以好像常见的不动点定理前提不成立，很迷茫现在。
到底存不存在这种不动点啊？麻烦达人告诉我。
最好能给出证明的出处。谢谢大家了！！

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关键词：不动点定理 不动点 概率密度函数 概率密度 密度函数 空间 最好