生产投入要素之间的替代弹性为什么非负？？

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<P>请教版主和各位大侠一个问题：</P>
<P>当生产函数是拟凹的时候，为什么两种投入要素之间的替代弹性一定是非负的？？</P>
<P>谢谢．</P>

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关键词：替代弹性 各位大侠 生产函数

这里规定：要素X1对要素X2的替代弹性=[MRTS/(X2/X1)][d(X2/X1)/dMRTS]，其中MRTS不取绝对值。

这里须进一步辅以假设：技术有单调性，则MRTS总非正。

（定义域为凸集的）函数拟凹，等价于其任一函数值的上截集恒凸。

生产函数任一产量的上截集即该产量对应的要素需求集（能生产该产量的所有要素投入组合）。生产函数拟凹，等价于其任一产量的要素需求集恒凸，这种凸性对应的是“MRTS的绝对值递减”（还是根据凸集的性质）。要素需求集的边界（如果有边界的话）即等产量超曲面（二维空间时即等产量线）。

在任一对要素X1与X2空间内，由生产函数拟凹知其等产量线是突向原点的（因为要素需求集是恒凸），或者说，MRTS的绝对值递减。X2/X1即从原点出发的一条射线的斜率。考察该射线斜率变化与MRTS变化的规律即知。

关键在于生产函数拟凹对应了MRTS的绝对值递减。

谢谢版主.

可是我自己还是不知道怎样推导"任一产量的要素需求集是凸的"与“MRTS的绝对值递减”之间的等价性.

如果可以的话,版主是否能再指点我一下.

再次感谢.

严格讲，“递减”的含义是不递增。

同时须有技术的单调性。

因为考虑MRTS，所以只考虑二维情形。

对于要素X1-X2空间内的任一点X，设其对应的最大可能产量（即生产函数值）为y0。过点X分别做垂线与水平线，则这两条线将第一象限分成了四个区域。如果技术是单调的，则左下区域一定不存在能生产y>y0的点；而右上区域的点一定都能实现y<=y0的产量。设产量y0的等产量线上的任一另一点X'（也做类似的两条线分出四个区域），由凸性知，线段XX'上的所有点及其“右上方”（右上方由相应的水平线与垂线划定）的点都能实现产量y0（但y0未必是它们的最大可能产量）；由单调性知，直线XX'的斜率必非正。

由凸集分离的性质，我们可以知道，过点X总能做出一条直线x，使要素需求集V(y0)完全在x的一侧，且过点X'也总能做出一条直线x'，使V(y0)完全在x'的一侧。比较三条直线x、XX'、x'的斜率（它们都是负值），由凸集性质可知XX'的斜率总在另二条直线的斜率之间。如果点X与X'处存在MRTS，则直线x与x'即过相应点的等产量的切线（直线也有切线），它们的斜率即相应的MRTS，可知MRTS递减（不递增）。

我刚才翻了一下之前看过的迪克西特的书，第6章和第7章凹规划很好的解释这个问题，可以参考经济学中的最优化方法 P64

2# sungmoo 、

版主解释的真好，帮我又想明白一点凹规划的内容。
不过下面您回复的凸集分离定理我看的是一头雾水。
版主能否推荐一本凹规划和拟凹规划的书，我想学习一下，dixit的书有这部分内容，我感觉看了理解不透

你们算这个是干什么用的？ 怎么实际应用

scip 发表于 2011-1-14 02:42 你们算这个是干什么用的？ 怎么实际应用

正则的要素投入集若恒凸，则对于给定的产量与要素价格，总能实现成本最小化。

这个结论需要生产函数拟凹才行