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平值认购股票期权的价值算术估算
于德浩
2020.5.18
股票期权的价值公式，BS公式，是比较严谨和复杂的。我可以用简单的算术方法，去估算一下平值认购期权的价值。这个方法可以加深对期权的理解，在期权投资交易中有现实指导意义。
我们来分析一种非常简化的情形。已知，标的正股的价格在未来一个月是随机波动的，波动率是A，期望值是0。求，剩余期限是一个月的平值认购期权的价格占正股价格的百分比x。 具体的说，已知，上证50ETF的股价当前是3元，未来一个月会随机波动，月波动率是6%，月涨幅的期望值是0%。求，剩余期限30天的行权价是3.0元平值认购期权的价值。
首先，我们可以估计出期权价值x一定是在（0，1）之间。显然，如果期权价格是0，那么卖方就不存在，因为卖方没有任何收益。如果期权价格是昂贵的100%正股价格，也不行。若真这么贵，买方就没有任何的杠杆收益，买方就直接买正股就行了，何必还去买有清零风险的期权呢？
期权的买方和卖方是对手方，他们是对未来标的正股的价格变化博弈。买方之所以会买，是因为买方预期正股股价会上涨；同理，卖方之所以会卖，是因为卖方预期会下跌。市场预期，是综合了卖方和买方的观点，如果有成交价格存在，就说明当时的市场预期是中性的。
很多人，对市场中性预期假设，难以理解。因为，他事后看到，“明明就是价格上涨的牛市客观结果，怎么当时的市场预期会是不涨不跌呢？”这里，他混淆了两个概念，事例期望值与事例观测值。 比方说，我们预期未来4次掷硬币，应该是2正2反，这就是“市场预期”；而，这次的实际具体结果是4正0反。 观测值是可以与预期值，不相等甚至是相反的。这就是人们常说的“谋事在人，成事在天”。或者说，“不以成败论英雄”。
对于标的正股的价格变化，这很难被预测。但定性上，可以分为两类，价格上涨或者价格下跌。具体的股票收盘价有无数种连续的可能量子态。我们再进一步简化，股价末态只有两种可能，要么是+1X，要么是-1X。显然在，市场中性的假设下，这两种状态的概率是相等的，都是1/2。
以认购期权的卖方盈亏平衡来看。他先收到x的权利金，这是盈利；他有50%的概率会亏损A（当股价波动到右侧一个标准差）。盈亏平衡方程就是x=0.5*A。
以认购期权的买方盈亏来看。他有50%的概率能够盈利A-x，当股价波动到+1X处；他也有50%的概率亏损权利金x，当股价波动到-1X处。盈亏平衡方程就是，0.5*(A-x)=0.5*x。
这两种的估计是一致的，最后，都可以解得x=0.5A。具体的说，股价3.0元的平值认购期权，波动率月6%，剩余30天；价值大约就是波动率的一半，即x=0.5*6%=3%，即0.09元/份。
这里有个问题就是，为什么会选择正负1个标准差作为简化的末态量子态，而不是0.5个或其他0.82个标准差呢？ 这个就是误差的基本定义。认购期权的买方（多头），他是有上涨预期的，“股价应该能上涨到比当前多1个标准差（误差）的位置；即使中性预期，也有16%的概率能到右边+1X处。” 还有更重要的原因，就是期权在这30天内是可以自由交易的，具有充分的流动性。也就是说，如果期间的30天不能交易，只能最后一天交易或行权，那么期权的价值，肯定要比当前估算的0.5A低很多。具体的说，如果有交易流动性，那么人们愿意支付每月3%的权利金费用；而如果没有流动性，可能就是减半的价格。
与数学的标准差相比，测量误差有更实际的物理意义。只是后来人们发现，1倍的数学标准差，正好与传统的误差相等，或者说更严谨的定义。一般的传统测量，“测量3次求平均值”。比方说，有3根大约1米长的钢筋，其长度分别是0.99米，1.00米，1.01米。对于较短的0.99米的钢筋，我们就说，“这是1米长的，只不过误差是-0.01米。” 如果只是0.99米和1.01米这两根钢筋，我们数学的平均值就是1.00米，标准差是0.01米。这就是我们说的数学标准差与测量误差相等。但如果是3个数据统计，平均值是1米不变，但标准差就是(（0.01^2+0^2+0.01^2）/3)^0.5=0.008，这就与传统误差不相等了。
因此，我们应该选有物理意义的误差，大约是1倍标准差，而不是去随意的选0.5或0.8个标准差等等。数学上统计平均值和标准差，只要有数据，我们就照本宣科的去算。比方说，有两个数据0.5和1.5，我们就数学算出平均值是1.0，标准差是0.5。 但，如果物理上是一根0.5米长的钢筋和一根1.5米长的钢筋；我们说平均长1米，误差是0.5米，这就是非常错误的。因为，这个平均值没有实际物理参考意义。上面的案例中，0.99米长近似为1米，是合适的；但这个案例中，0.5米近似为1米，是明显不行的。
我们再回到期权的价值和价格上来。当前，50ETF的股价是2.841元，剩余37天的平值认购2.8500的价格是0.0516元，剩余9天的是0.0212元。行情软件显示历史波动率是23%（电脑端显示的应该是最近60日的历史波动率），隐含波动率是13%。 隐含波动率与期权价格，实际是一个循环论证。就是说，在BS期权定价模型里，如果当前价0.0516是合理的，那么股价的隐含波动率就是年化13%才行。
而在我这个简化的模型里x=0.5A，如果当前价0.0516元是合理的，这个模型的股价37天的标准差是0.0516/2.841*2=0.0363，合年化隐含波动率大约是10^0.5*0.0363=11%。
历史波动率，已实现波动率，这个是可以统计的。一般是最近20个交易日统计，然后再转为年化波动率。当前50ETF股价的20日历史波动率大约是11%，这与我的简化模型的隐波11%是基本一致的；当然，与BS期权定价模型的隐波13%，也差不多。
在数据实证中，我们可以根据当前的市场成交价格去验证模型是否合理。但在期权交易中，我们应该先去猜测波动率。若用最近20日的历史波动率去估计当前的隐含波动率是意义不大的，因为几乎总是相等。 我们应该与长年累月的平均波动率去比才有意义。 比方说，50ETF的波动率，最近10年或最近5年的，大约是年化20%。而当前的20日波动率或者隐波大约是11%，这就是期权价值的低估。 我们应该在这个相对很便宜的价格买入才对。
不过，对期权价格影响的因素有很多，最主要的就是跟随股价涨幅。所以，如果对未来股价涨跌方向没有把握，还是不要轻易买入。还有就是，在隐波低的时候，同时买入认购和认沽期权的策略，也不太好使。因为，期权都有期限。虽然，当前隐波11%，未来一定会上升到20%以上。可是，在30天期限内一直在11%附近徘徊也是有可能的。
对于期权的交易，最根本的还是对于标的正股股价涨跌方向的判断，这个不能舍本逐末，顺序颠倒。就是说，我们先判断股价将会大涨，我们就买入认购期权，博取杠杆收益。只是，如果当前的隐波很高，我们就适当减少投入；如果当前隐波很低（很便宜），我们就适当加大投入。
期权的时间价值耗损。至于未来股价涨跌，不一定；隐含波动率升降，也不一定；但，期权的时间价值耗损可是一定的。在上例中，剩余37天的平值认购期权0.05元，剩余9天，是0.02元。就是说，在市场中性假设下，认购期权前面30天耗损0.03元，后面10天将耗损剩下的0.02元。期限越短，耗损越快。这也就是，尽量不要买入15天以内的期权。因为，每天平均就是-15%的减值（这对期权卖方很有利）。在剩余期限15天以上，大约是平均每天-3%，这还是可以接受的；因为，短期期权平均每天涨跌幅20%。
从简化期权公式x=0.5A的推导过程来看，在一个短周期内，认购期权的买方（多方）实际是认为股价将会大概率震荡收盘到+1X处。就是说，从市场中性假设来看，股价到达+1X的概率是16%，而多方认为这个概率将会超过50%。同理，空方认为这个概率要低于50%。
也就是说，多方的止盈点应该是+1X处。即，如果估计短周期（大约一个月）的波动率是6%，那么当正股上涨+6%，就已经达到预期目标了，应该止盈了。这时候，认购期权的市值大约增加为A/0.5A=2倍。期间的峰值市值可能达到3倍多。
或者说，多方是认为，股价期望值会从0%右移至+6%处，从而愿意在月初支付3%的权利金费用，来博弈月末（短周期末）大约2倍的预期收益。
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