数学分析习题练习五

中国人民大学2020年数学分析试题


解：
                    $\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{-\frac{1}{3}}-0}{x}=\infty .$



       注：此题应该是有笔误的吧？

中国人民大学2020年数学分析试题


证明：
                   设
                              $\displaystyle M=f_{\max }(x),m=f_{\min },$

              则有
                              $\displaystyle m\leq \frac{\displaystyle f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}\leq m,$

               由已知
                              $\displaystyle \because f(x)\in C,$

                由连续函数的性质，有
                              $\displaystyle \exists c\in (a,b),s.t.$

                              $\displaystyle f(c)=\frac{\displaystyle f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}.$

中国人民大学2020年数学分析试题


解：
                    $\displaystyle \because e^x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!},e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!}x^n,$

                     $\displaystyle \therefore f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}[1-(-1)^n]=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!},(-\infty< x< +\infty )$

中国人民大学2020年数学分析试题


解：
           这个函数的表达式应该有误，因为计算有$f'_x|_(-1,1)=f'_y|_(-1,1)=0.$这与第2个小题不符。

            此类题可参照“吉米3342"j题解法。

中国人民大学2020年数学分析试题


   (1)、解
                     对于
                              $\displaystyle x_2=\frac{\pi}{n},x_1=0,\forall \epsilon > 0,\delta > 0,|x_2-x_1|=\frac{\pi}{n}< \delta ,$

                     由于
                              $\displaystyle |f(x_2)-f(x_1)|=|(\sin \frac{\pi}{n})^{\frac{1}{n}}-0|=e^{\frac{1}{n}\ln\sin\frac{\pi}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln\frac{\pi}{n}}=1> \epsilon .$

                   故在$[0,\pi]$上，$f(x_n)$不一致收敛。

   （2）、证明
                   对于区间左端
                            $\displaystyle x_2=\frac{\pi}{n},x_1=\delta > 0,\forall \epsilon > 0,|x_2-x_1|=|\frac{\pi}{n}-\delta |< \delta ,$

                   有
                           $\begin{align*}|f(x_2)-f(x_1)|&=|(\sin \frac{\pi}{n})^{\frac{1}{n}}-(\sin \delta )^{\frac{1}{n}}|\\\\&<|(\sin \frac{\pi}{n})^{\frac{1}{n}}|<|(\frac{\pi}{n})^\frac{1}{n}|\\\\&< |\frac{\pi}{n}|\rightarrow 0,(n\rightarrow \infty )\end{align*}$
     
              同理，对于区间右端，也一致 收敛。

               综上，在$[\delta,\pi-\delta]$上，$f(x_n)$一致收敛。



           

中国人民大学2020年数学分析试题


解：
            交换积分次序，再计算
                             $\begin{align*}\int_{1}^{3}dx\int_{x-1}^{2}\sin y^2dy&=\int_{0}^{2}\sin y^2dy\int_{1}^{y+1}dx\\\\&=\int_{0}^{2}y\sin y^2dy\\\\&=\frac{1}{2}(-\cos y^2)|_0^2\\\\&=\frac{1}{2}(1-\cos4).\end{align*}$

中国人民大学2020年数学分析试题


解：
           （1）
                           $\displaystyle f'_x(x,y)=-ye^{-y^2}\sin xy,$

                            $\displaystyle \because |\cos xy|\leq 1,e^{-y^2}\rightarrow 0,(y\rightarrow +\infty )$

                     所以$F(x)$一致收敛。又
                                $\displaystyle \because |\sin xy|\leq 1,-ye^{-y^2}\rightarrow 0,$

                               $\displaystyle \therefore \int_{0}^{+\infty }f'_x(x,y)dy=\int_{0}^{+\infty }-ye^{-y^2}\sin xydy,$

                    也一致收敛。因此，$F(x)$可导，且
                              $\displaystyle F'(x)=\frac{\mathrm{d} F(x)}{\mathrm{d} x}=\int_{0}^{+\infty }f'_x(x,y)dy=\int_{0}^{+\infty }-ye^{-y^2}\sin xydy,$


            （2）、题目应该有误。正确的应为
                                $\begin{align*}xF(x)+2F'(x)&=x\int_{0}^{+\infty }e^{-y^2}\cos xydy-2\int_{0}^{+\infty }ye^{-y^2}\sin xydy\\\\&=(e^{-y^2}\sin xy)|_0^{+\infty }-\int_{0}^{+\infty }-2ye^{-y^2}\sin xydy-2\int_{0}^{+\infty }ye^{-y^2}\sin xydy\\\\&=0.\end{align*}$

        
             (3)、
                                $\displaystyle \because F(x)=\int_{0}^{+\infty }e^{-y^2}\cos xydy$

                                 $\begin{align*}\therefore F'(x)&=\int_{0}^{+\infty }f'_x(x,y)dy=\int_{0}^{+\infty }-ye^{-y^2}\sin xydy\\\\&=\frac{1}{2}(e^{-y^2}\sin xy)|_0^{+\infty }-\frac{x}{2}\int_{0}^{+\infty }e^{-y^2}\cos xydy\\\\&=-\frac{x}{2}F(x),\end{align*}$

                               $\displaystyle \Rightarrow \frac{F'(x)}{F(x)}=-\frac{x}{2},$

                                  $\displaystyle \therefore \ln F(x)=-\frac{1}{4}x^2+C,$

                                  $\displaystyle F(x)=Ce^{\displaystyle -\frac{1}{4}x^2},$

                      又
                                  $\displaystyle \because f(0)=\int_{0}^{+\infty }e^{\displaystyle -y^2}dy=\frac{\sqrt{\pi}}{2}=C.$

                                  $\displaystyle \therefore F(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{\displaystyle -\frac{1}{4}x^2}.$

中国人民大学2020年数学分析试题


解：
                   $\begin{align*}I&=\iint_S=\iiint_\Omega \left ( -\frac{y^2+z^2+x^2}{2500\pi} \right )dxdydz\\\\&=-\frac{1}{2500\pi}\iiint_\Omega(x^2+y^2+z^2)dxdydz\\\\&=-\frac{1}{2500\pi}\int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta \int_{0}^{5}r^2\cdot rdr\\\\&=\frac{2\pi}{2500\pi}\cdot \frac{1}{4}\cdot 5^4\cdot \cos\theta |_0^\pi\\\\&=-\frac{1}{4}.\end{align*}$

郑州大学2020年数学分析试题


解：
                     $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }e^{-x}(1+\frac{1}{x})^{x^2}=\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{-x}\cdot e^x=1.$

郑州大学2020年数学分析试题


解：
                    $\begin{align*}\int \frac{\sin2x}{\sin^2x+\cos x}dx&=\int \frac{2t\sqrt{1-t^2}}{1-t^2+t}\cdot \frac{-dt}{\sqrt{1-t^2}}\\\\&=\int \frac{2t}{t^2-t-1}dt\\\\&=\int \frac{2t-1+1}{t^2-t-1}dt\\\\&=\int (\frac{1}{t-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}+\frac{1}{t-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+\frac{1}{t^2-t-1})dt\\\\&=\ln(t^2-t-1)+\sqrt{5}\int(-\frac{1}{t-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}+\frac{1}{t-\frac{1+\sqrt{5}}{2}})dt\\\\&=\ln(t^2-t-1)+\sqrt{5}\ln\frac{t-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}{t-\frac{1-\sqrt{5}}{2}} +C\\\\&=\ln(\cos^2x-\cos x-1)+\sqrt{5}\ln|\frac{\cos x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}{\cos x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}| +C.\end{align*}$