数学分析习题练习五

2017模拟考试题(4)(韩)


解：先求直线$L$的法向量：
                                $(1,2,3)\times (2,-1,1)=\begin{vmatrix}
i& j &k \\
1 & 2 & 3\\
2 & -1 & 1
\end{vmatrix}=(5,5,-5)=(1,1,-1).$

               设所求切平面与圆的切点为$P（x_0,y_0,z_0)$.则，过$P$的切平面方程为：
                                     $x_0x+y_0y+z_0z=1.$

                 由题意可知，设(两个法向量平行)
                                     $x_0=k,y_0=k,z_0=-k,$

                     代入圆方程，得
                                      $k^2+k^2+(-k)^2=1$

                                       $k=\frac{1}{\sqrt{3}}.$

                       所以，所求切点$P$的轨迹方程为：
                                      $x+y-z=\sqrt{3}.$

2017模拟考试题(4)(韩)


解：
            因为是交错级数，且单调降，因此，级数收敛。令

                             $\displaystyle S(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1},$

                    则
                              $\displaystyle S'(x)=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^nx^{2n}=\frac{1}{1+x^2}.$

                              $\displaystyle \therefore S(x)=\arctan x,$

                    故
                             $\displaystyle S=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{2n+1}=S(1)=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$

2017模拟考试题(4)(韩)

2017模拟考试题(4)(韩)


证明：
                   设
                                 $\displaystyle g(x)=\frac{1}{12}(x-a)^2(x-b)^2,$
                    则
                                    $\displaystyle g^{(n)}(x)=2!.$

                 作辅助函数
                                     $\displaystyle F(t)=f(t)g(x)-f(x)g(t),$  

              先将$x$看作常量
                                   $\displaystyle \because F(a)=F(b)=0,$

                 由Rolle定理
                                   $\displaystyle \therefore \exists \eta_1\in(a,b),s.t.$

                                   $\displaystyle F'(\eta_1)=f'(\eta_1)g(x)-f(x)g'(\eta_1)=0,$
                         又
                                    $\displaystyle \because F'(a)=F'(\eta_1)=F'(b)=0,$

                    再次由Rolle定理
                                     $\displaystyle \therefore \exists \eta_2\in(a,\eta_1),\eta_3\in(\eta_1,b),s.t.$

                                     $\displaystyle F''(\eta_2)=f''(\eta_2)g(x)-f(x)g''(\eta_2)=0,$

                                     $\displaystyle F''(\eta_3)=f''(\eta_3)g(x)-f(x)g''(\eta_3)=0,$

                    再由Rolle定理
                                   $\displaystyle \therefore \exists \eta_4\in(\eta_2,\eta_3),s.t.$

                                    $\displaystyle F'''(\eta_4)=f'''(\eta_4)g(x)-f(x)g'''(\eta_4)=0,$

                     由于$\eta_i$的任意性，故有
                                     $\displaystyle \exists \xi=\eta_4=t\in(a,b),$

                                     $\displaystyle \Rightarrow F^{(4)}(\xi)=f^{(4)}(\xi)g(x)-f(x)g^{(4)}(\xi)=0.$

                                     $\displaystyle \therefore f(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{2!}(x-a)^2(x-b)^2.$

2017模拟考试题(4)(韩)


解：先图示意图，分划积分区域如下：

                            $x[x+y]=\begin{cases}
0,&D_1:0\leq x+y<1,x\geq 0,y\geq 0;\\
x,&D_2:1\leq x+y<2,x\geq 0,y\geq 0;\\
2x,&D_3:2\leq x+y<3,x\geq 0,y\geq 0;\\
3x,&D_4:3\leq x+y<4,x\geq 0,y\geq 0;
\end{cases}$

                            $\displaystyle I=\iint_Dx[x+y]dxdy=\iint_{D_1}x[x+y]dxdy+\iint_{D_2}x[x+y]dxdy+\iint_{D_3}x[x+y]dxdy+\iint_{D_4}x[x+y]dxdy.$

                             $\displaystyle \iint_{D_1}x[x+y]dxdy=0.$

                             $\displaystyle \iint_{D_2}x[x+y]dxdy=\int_{0}^{1}xdx\int_{1-x}^{2-x}dy+\int_{1}^{2}xdx\int_{0}^{2-x}dy=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{7}{6}.$

                              $\displaystyle \iint_{D_3}x[x+y]dxdy=\int_{0}^{1}2xdx\int_{2-x}^{2}dy+\int_{1}^{2}2xdx\int_{1}^{3-x}dy+\int_{1}^{2}2xdx\int_{2-x}^{1}dy=\frac{11}{3}.$

                              $\displaystyle \iint_{D_4}x[x+y]dxdy=\int_{1}^{2}3xdx\int_{3-x}^{2}dy=\frac{5}{2}.$

                              $\displaystyle \therefore I=0+\frac{7}{6}+{11}{3}+\frac{5}{2}=\frac{22}{3}.$
                        

2017模拟考试题(4)(韩)





                             此题解答由微信公众号：智慧e数学 提供。

2017模拟考试题(4)(韩)


证明：
                     设
                              $\displaystyle H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n},$
                      则
                              $\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{n(n+1)}&=\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{H_n}{n}-\frac{H_n}{n+1})\\\\&=\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{H_{n}}{n}-\frac{H_{n+1}-\frac{1}{n+1}}{n+1})\\\\&=\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{H_n}{n}-\frac{H_{n+1}}{n+1})+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)^2}\\\\&=\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{H_n}{n}-\frac{H_{n+1}}{n+1})+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}-1\\\\&=1-\lim_{n \to \infty }\frac{H_{n+1}}{n+1}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}-1\\\\&=\lim_{n \to \infty }\frac{H_{n+1}}{n+1}+\frac{\pi^2}{6}.\end{align*}$
                     又        
                              $\displaystyle \because \lim_{n \to \infty }\frac{H_{n+1}}{n+1}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{n+1}}{n+1-n}=0.$
                    故
                              $\displaystyle \therefore \sum_{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{n(n+1)}=\frac{\pi^2}{6}.$

        参见：“大学生数学竞赛辅导班讲义汇总（共150页带习题）”16/150，题3

2017模拟考试题(4)(韩)

一道积分题