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一些中学不等式解法的思考_数学与应用数学论文范文

发布时间:2015-03-29 来源:人大经济论坛
数学与应用数学论文范文 字数:3282 一些中学不等式解法的思考 [摘要] 不等式是中学数学的重点、难点、也是中考、高考的热点之一,学生对这类题目常常难以驾驭。因此,有必要研究其思维的策略。 [关键词] 不等式 定义域 参数 不等式在中学数学中有着重要的地位,学生在解不等式的有关问题时,往往在理解知识、掌握技能和方法方面存在一些问题,下面就一些不等式的解法进行思考。 一、关于含参数不等式解法的思考。 1、先考虑定义域再变形 例1、已知a>0,a≠1,解不等式loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)> loga2 (1990年全国文科试题) 解:不等式的定义域是 原不等式可变形为loga(4+3x-x2) > loga2 (2x-1) 当a>1时,不等式等价于 解之得解集为{x/ <x<2} 当0<a<1时,不等式等价于 解之,得解集为{x/2<x<4} ∴当a>1时,原不等式的解集是{x/  <x<2} 当0<a<1时,原不等式的解集是{x/2<x<4} 此题如先变形成loga > loga2,再考虑定义域,则当a>1,0<a<1时,分别得等价组 (I) (II) 其中(I)的解集是{x/  <x<2或x<-3} (II)的解集是{x/2<x<4或-3<x<-1}, 这是错误的,原因是把未知数的取值范围扩大了,由 >0 不仅得出: 4+3x-x2>0 4+3x-x2<0 ; 还能得出: ,而后者是不适合的。 2x-1>0 2x-1<0 2、掌握依据、恰当分类 解参数不等式的关键是对参数进行分类讨论。掌握分类的依据,可使解题有章可循,有法可依。 例2、解不等式56x2+ax-a2<0 (初等数学研究的282页例题) 分析:△=a2-4×56×(-a2)=225a2≧0,方程56x2+ax-a2=0有两实根: -和,其两根大小不确定,故应分a>0,a<0,a=0三种情况分类讨论得解,即: (1)若a>0,则不等式的解集为{x/-<x<} (1)若a<0,则不等式的解集为{ x / <x<- } (1)若a=0,则不等式无解。 如果问题含有两个或两个以上参数时,须根据讨论标准逐层分类讨论。 例3、解关于x的不等式ax >k·3x (a>0,且a≠1) 分析:化不等式为( )x >k,显然有( )x >0,对应k,a的不同范围依次进行讨论。 (1)若k≤0时,解为一切实数。 (2)若k>0时,若a>3时,解为x>log k 若0<a<3时,解为x<log k,若a=3时,原式化为1x >k 当0<k<1时,解为一切实数。 当k≥1时,解为空集。 3、优化程序,减少讨论的层次。 优化解题程序或方法,常常可减少讨论层次,使解题化繁为简。 例4、解关于x的不等式:>3-logax 分析:如果先对无理不等式讨论得到logax的范围,再对a进行讨论,过程较繁琐,而改变操作方法,往往可减少讨论的层次,使解题简洁明快。 解:化原不等式为(     +2)(     -1),很明显 +2>0,由 -1>0得logax>2,故: (1)a>1时,解为x>a2 (2)0<a<1时,解为0<x<a2 例5、解关于x的不等式 >x+a 分析:本题若用纯代数方法分类讨论,头绪较多,难免挂一漏万,而以数形结合解之,则层次分明,直观易懂。 解:令y1=     ,知y1≥0,则y12 =4x-x2  y12+(x-2)2=4 因为y1≥0所以y12+(x-2)2=4表示的图象是以半径为2, 圆心在点(2,0)上的上半圆(如图所示),令y2=x+a,则y2 表示斜率为1的任一直线(如图),直线过原点时,知a=0,当 直线和上半圆相切时则有y1=y2且直线y2中的参数a>0, 即: =x+a,经整理变形为:2x2+(2a-4)x+a2=0 ∵直线和上半圆相切,故判别式△=0
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