简单的诉述下罗素悖论

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　浓缩fanfan的标准记录，简扼叙述一下罗素悖论：

定义：

M：所有包含集合自身的集合；
N：所有不包含集合自身的集合；

问：N∈M还是∈N。

　　如果N ∈M ，说明N 具备M 的特征，根据M 的定义，N 包含集合自身，但这和N 的定义矛盾；如果N ∈N ，说明N 具备包含自己的特征，这与N 的定义矛盾；但M ＋N 遍历所有集合域，所以N 也不是空集。
　　于是，悖论产生。

分析：

　　罗素在处理这个问题时，提出分层方法，就是说：“集合的集合”与“集合”不能在一个层次上考虑，也就是说，上面说的M ，属于非法构造，或者说，M 不能进入定义中。
　　这样，悖论就解决了。

　　但是，有逻辑学家提出，这么做并没有解决问题，因为“集合的集合”具备“集合”的所有特征，没道理硬把它们分开。如果你硬要进行分层，那等于人为的在假设上多加了一条规则。

　　其他解决方法包括公理集合论，就是在起初的公理预设上就把规则定死，这样，悖论也能消失。

　　但人们依旧更感兴趣的是：如果悖论的前提不改变，就让悖论这么出现着，那么，有没有什么办法，让它自圆其说？就如同人们引进无理数解决了毕达哥拉斯悖论，引进了极限概念解决了贝克莱悖论。

　　为了讨论方便，我们把前面说到的那两个定义再抽象一把，智力上已经跟不上的同学们可以先放学回家了：

定义：
M：所有包含集合自身的集合；
N：所有不包含集合自身的集合；

　　很明显，这里的集合自身就是指定义里的M 和N 本身，也就是说在自我指涉。我们用“⊙”表示具备自我指涉关系的集合，其中M 是具备自我指涉关系的，N 不具备，则有：

M（⊙）
N（！⊙）
其中，⊙关系的定义是：a∈a

　　先考察N ∈M ，有：N （！⊙）∈M （⊙），显然，如果这个关系式成立的话，M 里就会即有⊙关系的集合，也会有！⊙关系的集合，但这是和M定义相反的，所以这不可能。

　　再考察N ∈N ，有N （！⊙）∈N （！⊙），问题就在这里出现了：当我们在这里说有悖论时，我们其实是把算符∈给⊙关系化了，也就是说，算符∈是外延区的，它并不属于定义时用的内涵区，但这时，算符∈渗透进了内涵区，于是发生以下运算：根据⊙关系的定义：a ∈a ，有：N （！⊙）∈N （！⊙）＝《N （⊙），而N （！⊙）与N （⊙）是矛盾的。

　　罗素提出分层法，就是想把⊙关系给去掉，这样，上述矛盾就不会发生，但是，在实际运用中，⊙关系是到处存在的，比如，当计算机指针自指到自己所在的地址上时，蛇咬尾巴直到最后一口咬到蛇头自己头上时，上帝自身是其自身的原因时，全部都是体现为⊙关系。

　　因此，罗素悖论其实是构造了一个当⊙关系在n 阶（n>1 ）算术关系中渗透时发生的矛盾，而这个，我认为应该可以通过内涵算法来解决的。

　　最简单的方法就是设立栅关系▽，并对⊙关系所在阶进行标记，拿上例来看，就是a ∈a 被标记为▽1 （a ∈a ），而N （！⊙）∈N （！⊙）则被标记为▽2 （N （！⊙）∈N （！⊙）），将其中的内涵全部抽象化为形式本身，分别有：▽1 （⊙）和▽2（⊙），并且，▽1 ↙▽2 ，其中，↙表示在……的阶之下，这样，原来的悖论就被表述成：

　　所有不包含集合自身的集合，都包含在所有不包含集合自身的集合的阶之下。

　　我相信在蒙塔古语法那里，有比我所构造的更精致的说法，另外，据我所知，亚相容逻辑和辩证数理逻辑里也有对此问题的不同解法，希望所有看完我的帖子还没睡着的同学们，能够百尺竿头再锯一段，争取把挂竹竿顶上的那条悖论裤衩给我取下来。

　　又：纤纤你构想的那头咬尾小说结构，我在迷宫里已经做过了，只是估计文科有能耐的理科不行，理科有能耐的文科不行，所以到现在那结构还空吊在那儿，但愿你去能看出来。

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关键词：罗素悖论 解决方法 数理逻辑 实际运用 自圆其说 罗素悖论