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题目：从5双不同的鞋子中任取4只，求4只鞋中至少有良知鞋子配成一对的概率。
有个错误解法，请问错在哪：
首先从5双鞋子中任取1双，然后从剩下8只鞋中任取2只，于是总取法为C51*C22*C82(C51=5，C22=1，打不出符号抱歉)，这样至少可以保证有两只成一双，于是所求概率为P=C51*C22*C82/C104。请问错误在哪
正确答案是13/21

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关键词：概率论 正确答案

解：题目是求4只鞋中至少有良知鞋子配成一对的概率，所以总取法有两种情况（1）4只鞋只有一双鞋（2）4只鞋有两双鞋；
（1）C51×C41×C61，C51表示5双抽一双，C41表示剩下的4双鞋先抽取一双中的一只，C61表示在剩下的7只鞋中抽取6只中的一只（刚才C41抽取的那一双剩下的一只鞋不能抽）；（2）C52，表示5双抽两双；所以（C51×C41×C61+C52）÷C104 = 13/21。

三种方法：
    （1）5双鞋子一共10只，那么顺序取4只的取法有10*9*8*7=5040种。
    我们现在来看取出4只都配不成一双的取法：
    首先任取第一只，一共有10种取法；
    那么第二只不能取与第一只配对的，所以有8种取法；
    同理第三只有6种取法；
    第四只有4种取法。
    所以一共有10*8*6*4=1920种取法
所以从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率为
    1-（10*8*6*4）/（10*9*8*7）=1-1920/5040=13/21
    （2）从10只鞋中任取4只的取法有C（10,4）=210种；
    如果每一只鞋都配不成对，那么就相当于在五双鞋中任取4双，然后再从每一双鞋中任取一只的取法，一共有C（5,4）*C（2，1）*C（2,1）*C（2，1）*C（2,1）=80种
    所以4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率为
    1-80/210=13/21
（3）P=[C(5,1)C(4,2)C(2,1)C(2,1)+C(5,2)]/C(10,4)=13/21
（答案整理于网络）
你的做法错在有重复情况。如果取出的四只鞋恰好配成两双，设这两双鞋分别为1号和2号，有两种情况
(1)先抽出1号，后抽出二号（2）先抽出2号，后抽出一号
显然（1）和（2）是等价的，这两种情况应合二为一，不能分开所以你的那种想法应该像（3）那样做就对了

金哥123 发表于 2017-8-17 22:58
三种方法：
    （1）5双鞋子一共10只，那么顺序取4只的取法有10*9*8*7=5040种。
    我们现在来看取出4只 ...

懂了！多谢解答

littletit 发表于 2017-8-17 22:52
解：题目是求4只鞋中至少有良知鞋子配成一对的概率，所以总取法有两种情况（1）4只鞋只有一双鞋（2）4只鞋有 ...

多谢解答

谢谢大大们的分享

首先从5双鞋子中任取1双，然后从剩下8只鞋中任取2只。。。

[5C1*(8C2-4)+5C2]/10C4=13/21

剩下8只鞋中任取2只，会有B1B2, C1C2, D1D2 和 E1E2, 需要减去4个。

littletit 发表于 2017-8-17 22:52
解：题目是求4只鞋中至少有良知鞋子配成一对的概率，所以总取法有两种情况（1）4只鞋只有一双鞋（2）4只鞋有 ...

5C1表示5双抽1双，8C1表示剩下的8只鞋中抽取1只，6C1表示剩下的6只鞋中抽取1只。。。

[5C1*(8C1*6C1)/2!+5C2]/10C4=13/21

8C1的8只鞋中抽取1只，6C1的6只鞋中抽取1只，会有B1C1, C1B1, B1C2, C2B1 等等的“两位”重复，需要被除2！。

金哥123 发表于 2017-8-17 22:58
三种方法：
    （1）5双鞋子一共10只，那么顺序取4只的取法有10*9*8*7=5040种。
    我们现在来看取出4只 ...

（1）5双鞋子一共10只，那么顺序取4只的取法有10*9*8*7=5040

有两种情况（a）4只鞋有两双鞋（b）4只鞋只有一双鞋；

（a）4只鞋有两双鞋

（i）如 A1, A2, B1, B2 等等

第一位10个取法，拿A1, 第二位就只有1个取法，即A2, 第三位剩下8个取法，拿B1, 第四位就只有1个取法，即B2.

10*1*8*1=80（ai）

（ii）如 A1, B1, A2, B2 等等

第一位10个取法，拿A1, 第二位就剩下8个取法，拿B1, 第三位就只有2个取法（A2或B2），拿A2, 第四位就只有1个取法，即B2.

10*8*2*1=160（aii）

ai+aii=240


（b）4只鞋只有一双鞋

（i）如 A1, A2, B1, C1 等等

第一位10个取法，拿A1, 第二位就只有1个取法，即A2, 第三位剩下8个取法，拿B1, 第四位剩下6个取法，拿C1.

10*1*8*6=480（bi）

（ii）如 A1, B1, A2, C1 等等

第一位10个取法，拿A1, 第二位剩下8个取法，拿B1, 第三位只有2个取法（A2或B2），拿A2, 第四位剩下6个取法，拿C1.

10*8*2*6=960（bii）

（iii）如 A1, B1, C1, A2 等等

第一位10个取法，拿A1, 第二位剩下8个取法，拿B1, 第三位剩下6个取法，拿C1, 第四位只有3个取法（A2或B2或C2），拿A2.

10*8*6*3=1440（biii）

bi+bii+biii=2880

ai+aii+bi+bii+biii=240+2880=3120

P=3120/5040=13/21

金哥123 发表于 2017-8-17 22:58
三种方法：
    （1）5双鞋子一共10只，那么顺序取4只的取法有10*9*8*7=5040种。
    我们现在来看取出4只 ...

（2）从10只鞋中任取4只的取法有C（10, 4）=210种；

如果每一只鞋都配不成对，那么就相当于在五双鞋中任取4双，然后再从每一双鞋中任取一只的取法，一共有。。。

C（5, 4）*C（2, 1）*C（2, 1）*C（2, 1）*C（2, 1）=80

所以4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率为

1-80/210=13/21

这个方法是另辟蹊径！逆练九阴啊！


（3）P=[C(5,1)C(4,2)C(2,1)C(2,1)+C(5,2)]/C(10,4)=13/21

这个方法也行。


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如果每一只鞋都配不成对。。。

10只鞋中任取1只，8只鞋中任取1只，6只鞋中任取1只，4只鞋中任取1只。

会有A1B1C1D1, B1A1C1D1 等等的“四位”重复，需要被除4！。

(10C1*8C1*6C1*4C1)/4!=1920/24=80

P=1-80/210=13/21