Stata 15 的新模块（四）: 面板协整检验

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在当代的计量实践中，单位根检验已几乎是处理时间序列的必经之路；因为平稳序列与单位根过程（比如，随机游走）的性质很不同，需使用不同的计量方法。然而，单位根检验的功效（power）一般不高。通俗地说，单位根检验一般无法区分真实的自回归系数（autoregressive coefficient）究竟是 1（单位根过程）还是 0.98（平稳过程）。

提高单位根检验功效的一种有效方法是使用面板数据，即将不同个体（面板单位）的时间序列放在一起构成面板数据，进行面板单位根检验（panel unit root tests），这无疑可增大样本容量与功效。从 Stata 13 开始，就已提供面板单位根检验的命令，参见 help xtunitroot 或陈强（2014）。

如果发现面板数据中的每个时间序列都是单位根过程，则应进一步做面板协整检验（panel cointegration tests），考察变量之间是否存在长期均衡的协整关系。

为此，Stata 15 新推出了面板协整检验，可通过 Stata 命令 xtcointtest 来实现，包括 Kao 检验（Kao, 1999），Pedroni 检验 (Pedroni, 1999, 2004)与 Westerlund 检验 (Westerlund, 2005)，其基本句型分别为：

. xtcointtest kao y x1 x2

. xtcointtest pedroni y x1 x2

. xtcointtest westerlund y x1 x2

面板协整检验的原理

考虑以下面板模型：

其中，下标 i 表示面板单位（个体），而下标 t 表示时间。给定个体 i，假定

与 均为单位根过程。而且，协变量 内部不存在协整关系（如果 本身存在协整，则不可能再与单位根变量 构成协整关系）。

表示个体固定效应 (即 )，也称为 “panel-specific means”；如果加上选择项 “trend”，则 表示个体固定效应与线性时间趋势 (linear time trend)，即 ；对于 Pedroni 检验，还可通过选择项 “noconstant” 来去掉 这一项。

对于较早出现的 Kao 检验来说，它的假设最强，要求所有面板的协整向量（cointegrating vectors）都相等，即

；而 Pedroni 检验与 Westerlund 检验则无此限制。

另外，Kao 检验不允许在方程 (1) 中加入线性时间趋势项，而其他两种检验无此限制。

无论使用何种面板协整检验，其原假设都是 与 不存在协整关系。这意味着，方程 (1) 中的扰动项

为不平稳的单位根过程，故只要对估计所得的扰动项进行单位根检验即可。

对于 Kao 检验与 Pedroni 检验，其替代假设为所有面板单位都存在协整关系；而对于 Westerlund 检验，其默认替代假设为某些面板单位存在协整关系，但也可使用选择项 “allpanels” 将替代假设换为所有面板单位均存在协整关系。

这三种检验都可以处理非平衡面板，但要求面板中的所有时间序列都不存在空隙（gaps）。其大样本理论则要求无论横截面维度 N，还是时间维度 T 都比较大，即为 “ large N, large T ” 的面板，才能保证检验统计量收敛到标准正态分布。具体来说，Kao (1999) 建议 T = 100，N = 300；Pedroni (2004) 建议 T = 250，N = 60；而 Westerlund (2005) 则建议 T >150。

在进行面板协整检验时，首先使用 OLS 估计方程 (1)。在包含个体固定效应的情况下，这其实就是 LSDV 法 。由此可得方程 (1) 的残差，记为

。

对于此残差 ，可进行DF 检验，ADF 检验，PP 检验等，比如

根据方程 (2) 的估计结果，可设计不同的检验统计量。其中，Kao 检验要求所有个体的残差自回归系数均相等，即

；而 Pedroni 检验与 Westerlund 检验则无此限制。

另外，Westerlund 检验使用一种特别的方差比检验（Variance Ratio Test，简记 VR）。VR 检验利用了这样一个事实，是平稳序列的方差为常数，而单位根过程的方差则随时间不断增加（最终趋向无穷）。

Stata 案例

下面使用 Stata 提供的一个虚构数据集 xtcoint.dta 进行演示。该数据为 100 个国家，从 1973q3 到 2010q4 的平衡面板。它包括生产率对数 (记为 productivity)、国内 R&D 资本存量对数 (记为 rddomestic) 与国外 R&D 资本存在对数 (记为 rdforeign) 的季度数据。

Kao 检验

首先，进行最简单的 Kao 检验，该检验要求所有国家的协整向量均相同。

. webuse xtcoint

. xtcointtest kao productivity rddomestic rdforeign

上表上部的 “Cointegrating vector: Same” 与 “AR parameter: Same” 分别表示 Kao检验要求所有面板单位的协整向量均相同，而不同个体的残差自回归系数也相等。上表下方汇报了 5 种不同的检验统计量，其对应的 p 值均小于 0.01，故可在 1% 水平上强烈拒绝 “不存在协整关系” 的原假设，认为存在协整关系。

Pedroni 检验

下面进行更为灵活的 Pedroni 检验，允许不同面板单位有不同的协整向量与残差自回归系数，并加上时间趋势项（通过画图可知，这三个对数变量很可能有线性时间趋势，比如使用命令 xtline）。

. xtcointtest pedroni productivity rddomestic rdforeign, trend

上表上部的 “Cointegrating vector: Panel specific” 与 “AR parameter: Panel specific” 分别表示，Pedroni 检验允许不同面板单位有自己的协整向量与残差自回归系数。上表下方所汇报的三种检验统计量，其对应的 p 值均为 0.0000，故依然强烈拒绝 “不存在协整关系” 的原假设。

在命令 xtcointtest pedroni 中，还可使用选择项 “ar(same)”，限制所有面板单位的残差自回归系数都一样，在此从略。

Westerlund 检验

下面进行 Westerlund 检验，依然包括时间趋势项。

. xtcointtest westerlund productivity rddomestic rdforeign, trend

上表上部的 “Ha: Some panels are cointegrated” 表示，其替代假设为某些面板单位存在协整关系，这是默认选项。上表下方所汇报的 Variance ratio 统计量之 p 值为 0.0000，故仍强烈拒绝 “不存在协整关系” 的原假设。

在命令 xtcointtest westerlund 中，如果加上选择项 “allpanels”，则可将替代假设改为所有面板单位都存在协整关系，在此从略。

面板协整检验的非官方命令

Westerlund (2007) 提出了另外一种基于误差修正模型（Error Correction Model，简记 ECM）的面板协整检验，目前尚未纳入 Stata 官方命令，但可自行下载：

ssc install xtwest

安装后，可参考 help xtwest。

结束语

在进行面板协整检验之前，须首先进行面板单位根检验。只有所有变量均为单位根过程，才可进行面板协整检验。而且，如上文所述，面板协整检验要求，横截面维度 N 与 时间维度 T 都较大。

做完面板协整检验之后，如果发现不存在协整关系，则只能将单位根变量差分，变为平稳变量，然后再按平稳时间序列的方法进行相应处理。

反之，如果发现存在面板协整，则应进一步估计此面板协整关系，即面板协整估计（panel cointegration estimation），比如 Fully Modified OLS (FMOLS) 或 Dynamic OLS (DOLS) 估计量。但目前 Stata 15 还不提供，只能等待下一次升级了。Stata 总是让我们满怀期待啊……

备注：本公众号不提供 Stata 15。如需正版 Stata 15，可咨询 Stata 代理商友万科技（www.uone-tech.cn）。

参考文献

Kao, C. 1999. Spurious regression and residual-based tests for cointegration in panel data. Journal of Econometrics, 90, 1-44.

Pedroni, P. 1999. Critical values for cointegration tests in heterogeneous panels with multiple regressors. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 61, 653-670.

Pedroni, P. 2004. Panel cointegration: Asymptotic and finite sample properties of pooled time series tests with an application to the PPP hypothesis. Econometric Theory, 20, 597-625.

Westerlund, J. 2005. New simple tests for panel cointegration. Econometric Reviews, 24, 297-316.

Westerlund, J. 2007. Testing for Error Correction in Panel Data. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 69, 709-748.

陈强，《高级计量经济学及Stata应用》，第2版，高等教育出版社，2014年。

陈强，《计量经济学及Stata应用》，高等教育出版社，2015年。

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请问楼主如果单位根检验结果 只有一个或两个变量是I（1），一阶单整过程，其余均为平稳序列。还需要协整检验吗？可以直接对原序列回归吗。
样本量有限，T=10 样本量不是很大  变量个数有较多  协整检验显示数据量不足

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请问楼主，面板协整检验三个检验都做了，其中Gao检验的结果 Modified Dickey-Fuller t    在10%的显著性水平下不显著，其它都显著，能否说拒绝原假设，认为有协整关系？再扩展一些，Gao检验这么多结果，最主要看哪个结果来判断是否拒绝原假设。谢谢。
                                          Statistic         p-value
------------------------------------------------------------------------------
Modified Dickey-Fuller t                    -1.1660          0.1218
Dickey-Fuller t                             -1.3490          0.0887
Augmented Dickey-Fuller t                   -2.0266          0.0214
Unadjusted modified Dickey-Fuller t         -2.3223          0.0101
Unadjusted Dickey-Fuller t                  -1.9301          0.0268

amber_chang 发表于 2021-11-11 10:33
请问楼主，面板协整检验三个检验都做了，其中Gao检验的结果 Modified Dickey-Fuller t    在10%的显著性水 ...

请问后来解决了吗？是如何判断是否通过协整检验的？