[股票] 高斯分布相关知识的推导及应用 [推广有奖]

                 高斯分布相关知识的推导及应用

                           于德浩

                         2019.5.23

高斯分布是随机分布中最常见的一种，又称为正态分布。正态分布，我认为应该是源于误差分布。人们发现，测量误差总是在真值附近分布，于是就想找到这么一个数学函数来描述。一般特征，就是距离真值越远，观测事例就越稀少；而观测值大体是关于真值对称。于是，就成了正态分布概率密度函数的首选。我们归一化就得到了标准正态分布的概率密度函数，更通用的情形，人们实际是关注观测值距离真值的相对距离大小，即，所以，概率密度函数的最终形式就是。

概率归一化，即，我们令，则，从而，，所以，。在定积分变量代换时，有积分上下限的变化，x从负无穷到正无穷；t是x的线性变换，也是从负无穷到正无穷的积分范围。

从数学技巧来看，归一化是这么计算的。 则这个积分的平方，就转化为二维积分， 然后直角坐标系再转为极坐标系就是， 显然对r积分是1，对角度theta积分是2pi。所以，概率密度函数的全空间积分是1。

    数学一阶原点矩的计算。

最后的第一项，用变量代换u=t^2/2，原函数就是简单的负指数函数。不过，在定积分的上下限中，由于不是线性变换，替换就不是显然一一对应的。即t从负无穷到正无穷；而u则是从正无穷到0，再到正无穷。最好还是换回原来t的表达式，原函数用t的上下限来相减，就不易混淆。最后的第二项，是常数mu乘以归一化的1，是显然的。

其实，第一项的计算中，由于是奇函数在对称空间的积分，所以从图形来看，这个积分是0，也是显然的。一阶原点矩就是期望值，是物理真值，是多个观测值的平均值。

数学二阶原点矩的计算。

最后的第一项要用到分部积分和罗必塔法则求极限。

这里的第一项是无穷*0=0，是因为指数函数的衰减到0更快；第二项是显然的归一化的1。

第一项的求极限，

我们说的方差，就是误差的平方，定义为二阶原点矩减去一阶原点矩的平方，

   所以

方差开根号，就是标准差，也就是物理上的误差。

  标准正态分布的概率密度在期望值处最大，是0.4；在+1X处，是0.24。标准正态分布函数的累积分布函数可以查表计算。几个关键的值正态分布密度函数是偶函数，所以

    观测事例在正负一个标准差，即误差范围内，的概率是；在两个标准差内的概率是95%，在三个标准差内的概率高达99.8%。也就是说，很少有事例会在3倍标准差以外观测到。这比一般的随机分布限制更严格。根据切比雪夫不等式，随机事例出现在3倍以外的概率是小于1/9。

   估量事物，我们一般选用误差之外不考虑，因为这时我们已经有84%的把握了。当没有充分100%把握时，冒险次数不能太多。小概率事件发生的充分次数是3/p，所以当有3/0.16=19次时，就必然出现一个误差之外的事例，这会给你带来大麻烦。

   当我们估价一件商品时，如果志在必得，那么我们会支付+3X的价格。我们一般把误差估计为商品价值的1/3。就是说，我估计这件宝贝古董大约价值100万，如果对方报价200万以内，我都要拿下。这就是，行事不拘小节。

但对于买卖投资来言，我们要耐心等机会。如果我估计股票价值30元，那么我应该在15元左右买入，然后在50元左右卖出。只要时间足够长，也就是交易事例数足够多，必然会有在-1X以外的事例出现；同理，只要耐心等待，也必然会有+2X以外的事例出现。

长期看，股票市场的年均收益率大约是+10%，但标准差高达30%。所以，对于风险厌恶者来言，他们是不可能买股票的。这与我们的物理测量很不一样。比方说，这根竿子长100厘米，误差是3厘米；我们很信誓旦旦的说，这根竿子就是1米长，因为误差与真值相比仅3%，可忽略不计。而股票就不行了，误差是真值的3倍！

不过根据大数定律，误差不论多大，只要方差有限，那么最后的累加结果就是期望值之和，与误差无关。就是说，长远看，你持有股票10年，就有1.1^10=2.6倍总收益。而如果只是银行存款年2%利息，10年后才是1.02^10=1.22倍，比股票差远了。

所以，表面看、短期看，股票有亏损的风险；但长期来看，只要你大智若愚的持有股票资产，一定会远远超过银行定期存款的收益。