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分享数学对联: hylpy1 2016-8-28 12:29; 对联是我国传统文化艺术中的一项瑰宝。不少对联与数学结缘，成为佳联妙对。我们在欣赏这些对联时，既感受到数学的魅力，又提高了文学修养，别有一番情趣。元旦过了，春节也不远了，农村过春节，家家贴对联，我也准备收集一些数学对联迎春。上联：今日几何，明日代数，数海茫茫，问题道道，解不尽九章方程，证不完全等相似，智比罗庚，钻比景润，疑点难点空愁闷，忙什么？请君稍坐片刻，将思维拼发火花，有灵感处捉灵感，怎待问题到明日？下联：历年耕作，来年收成，成果累累，栋梁株株，造就他三千弟子，绘就那锦绣鹏程，志如鸿鹄，恒如春蚕，教坛讲坛展宏图，抓机遇，埋头实干一番，把伟业跨越世纪，能进取时须进取，笑看栋梁在来年。数学综合题思路分析对联一副上联破题逢难看结论, 执果溯因一路充分( 1) 下联中途遇障瞧已知, 据因寻果两头凑拢横批因果回应 ( 或“ 幽径” 亦可) ( 1) 注: 执果分析的每一步都是寻求前一步的充分条件. ( 四川省阆中东风中学侯开良提供) 理解了的知识方可掌握牢固, 体验了的问题才能印象深刻 ( 湖南省衡阳县职业中专彭国庆提供) 绝妙的数学式对联横批:201314 上联: 2+0+1+3+1+4=11（光棍）：说明做人不能用加法，只索取，结果就是孤家寡人；下联:2-0-1-3-1-4=-7（夫妻）：与人相处要用减法，讲奉献，人生就不会孤单。趣味数学对联以下转自 http://www.math168.com/sxxs/99.htm (一) 花甲重开，外加三七岁月；古稀双庆，内多一个春秋．　　这副对联是由清代乾隆皇帝出的上联，暗指一位老人的年龄，要纪晓岚对下联，联中也隐含这个数．即上述下联．　　上联的算式：2×60＋3×7=141，下联的算式：2×70＋1=141．　　(二) 三强韩赵魏．九章勾股弦．　　上联为数学家华罗庚1953年随中国科学院出国考察途中所作．团长为钱三强，团员有大气物理学家赵九章教授等十余人，途中闲暇，为增添旅行乐趣，华罗庚便出上联“三强韩赵魏”求对．片刻，人皆摇头，无以对出．他只好自对下联“九章勾股弦”．此联全用“双联”修辞格．”“三强”一指钱三强，二指战国时韩赵魏三大强国；“九章”，既指赵九章，又指我国古代数学名著《九章算术》．该书首次记载了我国数学家发现的勾股定理．全联数字相对，平仄相应，古今相连，总分结合．　　(三) 四川一座乡村中学，一对数学教师结合夫妇，在元旦结婚之日，工会赠一副贺联云：　　世事再纷繁，加减乘除算尽；宇宙虽广大，点线面体包完．　　(四) 某地一对新人，男的当会计，女的做医生，完婚之日，有人赠贺联一副：　　会计合数检验误差重合数；医生开方已知病根再开方．　　嵌入“合数”、“开方”等数学名词，天衣无缝．　　(五) 某市一对数学教师，几经波折，终于结为秦晋之好，同事撰一联相贺，联云：　　爱情如几何曲线；幸福似小数循环．　　 “几何曲线”形象地表述了这对数学教师爱情历经坎坷曲折；“小数循环”是一个无穷无尽的数值，借此祝贺新人的美满幸福，天长地久，实在是神来之笔．　　　　　　枯燥的数字经文人之手，嵌入对联之中，就会产生意想不到的效果，请欣赏．　　1．清代学者朱柏庐在其所著《治家格言》中有副对联言之谆谆：　　一粥一饭，当思来处不易；　　半丝半缕，恒念物力维艰．　　2．济南大明湖有一联：四面荷花三面柳，一城山色半城湖．　　3．青岛崂山钓鱼台有副奇特的数字联: 一蓑一笠一髯翁，一丈长杆一寸钩；　　一山一水一明月，一人独钓一海秋；　　4．湖北隆中三顾堂悬的一副楹联是：两表酬三顾；一对足千秋　　5．四川眉山县三苏祠有一联：一门父子三词客；千古文章四大家．　　6．清朝郑板桥有一联是：海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚．　　7．清人顾复初有一联：删繁就简三秋树；领意标新二月花．解括弧，加因子，求得结果过中点，作垂线，直达圆心。移项，通分，因式分解求零点；画轴，排序，穿针引线得结果。恋爱自由无三角，人生幸福有几何。小圆大圆天下圆，圆圆有心；直线曲线螺旋线，线线独特。平行线，相交线，线线共面；垂直面，斜交面，面面共线。指数函数，对数函数，三角函数，数数含辛茹苦平行直线，交叉直线，异面直线，线线意切情深。一支粉笔两袖清风，三尺讲台四季晴雨，加上五脏六腑七嘴八舌九思十霜，较必有方，滴滴汗水诚滋桃李芳天下；十卷诗赋九章勾股，八索文思七纬地理，连同六艺五经四书两雅一心，诲而不倦，点点心血勤育英才泽神州。加减乘除数论四算算得今日缘结连理，笔墨纸砚文房四宝绘就明天情深鸳鸯。点线面体构建今天幸福爱情花，诗词歌赋颂扬未来温馨恩爱图三角式方程式函数式式式推算新人极为般配，议论文记叙文说明文文文歌颂鸳鸯美满姻缘恩爱天长，加减乘除难算尽，好和地久，点线面体岂包完岁月有极限，当选准人生坐标，追求无最值，需解好生活方程莫恋昔日单求导，且看今朝重积分忧愁是可微的，快乐是可积的，在趋向于正无穷的日子里，幸福是连续的，对你祝福可导且大于零，祝你生命里快乐和幸福的复合函数总是最大值。椭圆乐奏恭禧曲直线长讴奋进诗有理函数涵百福无穷集合集千祥文明本是平行线幸福原为不尽根七桥岛上云追月四色图中蝶恋花数学对联 ( 婚联 ) 点线面描绘柱锥台球测量出鸳鸯情系几何，数式形演算加减乘除计量得佳偶缘结代数。实数虚数两数搭配已成对，内心外心双心结合正同心。正数负数指数对数数数都成对，实线虚线直线曲线线线均结偶。欧氏几何罗氏几何测算今生缘结几何 ? 指数方程对数方程解得一世缘定方程！恩爱天长，加减乘除难算尽，好合地久，点线面体岂包完。岁月有极限，当选准人生坐标，追求无最值，须解好生活方程。莫恋昔日单求导 , 且看今朝重积分 . 直尺圆规三角板绘出师生情意图 , 二胡短笛小提琴凑来夫妻恩爱曲 . 横竖撇捺点和钩书开人生爱情花，和差积商根与幂结出幸福快乐果 . 指数函数正负数难算情几何 , 篮球排球乒乓球可量意多深。理解了的知识方可掌握牢固，体验了的问题才能印象深刻。对联中的数学一、数字入联据传，吕蒙正曾作如下一幅对联：二三四五；六七八九。横批：南北。这幅对联全部由数字组成，初看平淡无奇，实则联语、横批含蓄深刻，对联运用了谐音手法，意为缺衣（一）少食（十），没有东西。这也成了条内涵丰富的谜语。另有一幅为窃国称帝的袁世凯撰写的对联，与之是异曲同工：一二三四五六七；孝悌忠信礼义廉。嘲讽其是王（忘）八无耻。有一秀才进京赶考，途中投宿一寺庙，方丈出联相考：“万瓦千砖，百匠造成十佛寺。”联中的“万”、“千”、“百”、“十”这些数字使秀才难以对出。第二日，秀才登舟赴京，路过四仙桥时，灵感勃发，对出下联：“一舟二橹，三人摇过四仙桥。” 清代，有一个人称潘官的山东人去江南任知县。初来乍到，当地几个秀才在宴会上想以对联将潘官一军：“千山千水千秀才。”潘官出语不凡：“一泰一岱一圣人。”下联以“一”对上联“千”，大有以少胜多之妙。再看一联：“独岭孤山，一神像单枪匹马；夹江两岸，二渔翁对钓双钩。”上联五个“一”，均为奇数；下联五个“二”均为偶数，而字面上只看到一个“一”和一个“二”，构思颇妙。有一幅赞赏教师的长联写道：“一支粉笔两袖清风，三尺讲台四季晴雨，加上五脏六腑七嘴八舌九思十想，教必有方滴滴汗水诚滋桃李芳天下；十卷诗赋九章勾股，八索文思七纬地理，连同六艺五经四书三字两雅一心，诲而不倦点点心血勤育英才泽神州。”此联是对教师生涯的真实写照，堪称绝妙。上联升序从一到十，下联降序从十到一，各用十个数目字排列，实在不易。它生动地写出了教师甘作蜡烛愿为春蚕的无私奉献精神。以数字入联的对联及对联故事随处可见，比比皆是，难以穷尽。二、术语入联 1953年，中国科学考察团出国考察。途中，数学家华罗庚出了上联“三强韩魏赵”，让同行的钱三强、张钰哲、赵九章、贝时璋等科学家对下联。上联“三强”是指韩国、魏国、赵国是春秋战国时期的三个强国，同时“三强”又暗指在座的科学家钱三强。众人一时难以对出。最后还是华罗庚自己对出了下联：“九章勾股玄”。“九章”既指我国古代最早提出勾股玄定理的数学名著《九章算术》，同时又暗指同行的赵九章。众人皆惊叹不已。有一位中学生在新年到来之际给老师送去了这样一幅对联：“指数函数对数函数三角函数，数数含辛茹苦；平行直线交叉直线异面直线，线线意切情深。”横批：“我行我数。”联中巧嵌数学名词，贴切自然，耐人寻味，表达了莘莘学子对老师的敬仰之情。在以教师为内容的楹联中，婚联是道独特的景观。某位数学老师恋爱时因遇十年浩劫，几经曲折方得成婚。同仁们撰联相贺：“移项，通分，因式分解求零点；画轴，排序，穿针引线得结果。”“爱情如几何曲线；幸福似小数循环。”“自由恋爱无三角；人生幸福有几何？”数学专业术语结联，读来妙趣横生。其中，“三角”、“几何”，语含双关。某乡村小学一对数学老师结为百年之好，工会赠予一对喜联：“恩爱天长，加减乘除难算尽；好合地久，点线面体岂包完。”上述几联语言朴实，浅显易懂，尤其是运用数学名词表达美好祝愿，自然别致。一位几何老师和一位物理老师新婚燕尔，调皮的学生书赠一联：“大圆小圆同心圆，心心相印；阴电阳电异性电，性性相吸。”横批：“公理定律。”显得风趣幽默。三、式题入联相传古时一对新婚夫妇花烛之夜吟成这样一幅对联：“六尺红绫，三尺系腰三尺吊；一幅锦被，半幅遮身半幅闲。”联语中运用了减法：上联六减三还剩三，下联一减半还剩半。再看一幅加法联：“绿鸭浮水，数数一双四只；赤蛇出洞，量量九寸十分。”“绿”与“赤”属颜色相对，同时谐音“六”与“尺”。上联讲鸭的只数：一双加四只是六只；下联讲蛇的长度：九寸加十分为一尺。清乾隆帝五十寿庆时，纪昀曾作一贺联：“二万里江山，伊古以来，未闻一朝一统二万里；五十年圣寿，自今以往，尚有九千九百五十年”。“二万里”、“五十年”上下联各自首尾呼应，下联“五十年”加“九千九百五十年”，恰好万年，合万岁万寿之意，妙极。清光绪年间，广东吴川人陈兰彬作为使者出使日本。日本首相伊腾博文出联为难他：“黄河绿水三三转。”陈兰彬立即以自家后花园内三十六转红湖假山应对：“紫海青山六六弯”。“三三见九”指黄河九曲，下联以六六应对，可谓巧矣。相传，有一秀才爱上邻女，秀才之父认为门户不对，便以对对为由，想推却婚事：“乾八卦，坤八卦，八八六十四卦，卦卦乾坤已定。”不料，姑娘瞬间就对出下联：“鸾九声，凤九声，九九八十一声，声声鸾凤和鸣。”这幅对联直接将乘法口诀引入联中，别开生面，妙趣横生。欣赏这些嵌有数字、术语的联作，感受到数字在联句中的作用十分重要，增加了联句的韵律感和节奏感，表现了逻辑性的自然美，增强了联句的趣味性和组词造句的技巧性，更加清晰明朗地表现和突出了联句的对仗特点。数学对联多情趣将数学演算引入对联之中，能启迪人们的思维智慧，激发读者的兴趣爱好，特别是那些构思奇巧的数学对联，令人叹为观止。 “北斗七星，水底连天十四点；南楼孤雁，月下带影一双飞”。采用倍数计算，由星空、水底、孤雁、月影，构成一幅月夜雁飞图，充满着诗情画意。“双镜悬台，一女梳妆三对面；孤灯挂壁，两人作揖四低头”。将镜中影和灯下影巧制成数学对联，费人猜度，读者自然会联想起李白的《月下读酌》诗：“花间一壶酒，独酌无相亲。举杯邀明月，对影成三人。”还有副对联也有同理之妙：“五百罗汉渡江，岸畔波心千佛子；一个美人映月，人间天上两婵娟。”不仅对仗工整，而且情境高雅感人。下面几副数学对联也有情趣。“七里山塘，行到半塘三里半；九溪蛮洞，经过中间五溪中。”取其半数，对仗十分工巧。“七鸭游湖，数数三双一只；尺蛇出洞，量量九寸十分。”看似数学游戏，其实也显示了撰联者的精妙构思，三双加一只正是“七”，九寸加十分正合“尺”。还有：“万砖千瓦百匠造成十佛寺；一帆二橹四人摇过八仙桥。”既有写实意味，又巧将数字排列对偶，组合得天衣无缝。清朝乾隆帝算得“风流天子”，爱吟诗作对，附庸风雅。他五十岁时，有人撰寿联：“二万里山河，伊古以来未闻一朝一统二万里；五十年圣寿，自今而后尚有九千九百五十年。”这诚然是歌功颂德，拍马吹牛，但后一句却含蕴颇深，50年再加上9950年岂不是“万岁”吗？相传乾隆帝在游山玩水时即兴出下联：“八方桥，桥八方，站在八方桥上观八方，八方，八方，八八方。”征上联，应对的难度很大，特别是反复使用数字。只见才子纪晓岚对道：“万岁爷，爷万岁，跪倒万岁爷前呼万岁，万岁，万岁，万万岁！”真是对绝了，歌颂了皇上，讨得了欢心，难怪纪晓岚曾名噪一时。乾隆五十年举行“千叟宴”，有3900多位老人参加，其中最老的一位多大年纪？有副数学对联请你运算：“花甲重逢，还加三七岁月；古稀双庆，更多一度春秋”。众所周知，60年为一“花甲”，杜甫诗句：“人生七十古来稀。”上联可列算式为：60*2+3*7=141；下联列算式为：70*2+1=141。这位老寿星竟有141岁！数学对联——故事篇以下转自 http://hi.baidu.com/chneghuang/item/76c3ad33f1242ac52e8ec293 民国初年，曾任国务院总理的熊希龄与第二任妻子毛彦文结婚时，熊66岁，毛33岁，有报人撰一贺联云：以近古稀之龄，奏凤求凰之曲，九九丹成，恰好三三行满；登朱庭棋之庭，睹毛彦文之彦，双双如愿，谁云六六无能。 '九九丹成’指两人年龄之和，合起来99岁.熊希龄字秉三，湖南凤凰人，光绪二十年进士。以数学名词作为庆贺对联的也不少，这里选录几则：解括弧，加因子，求得结果；过中点，作垂线，直达圆心。这是一幅庆贺新婚对联，既有联味，运用数学名词也堪称妙趣。夫婿情长，如几何直线；子孙繁衍，似小数循环。以‘小数循环’来形容‘子孙繁衍’更是别具创意的奇句！盖‘循环小数’乃是无穷无尽者也。恋爱自由成三角；人生幸福有几何？这联据说是三角恋爱中失败的一方写的，发牢骚的味道过多于庆贺了。苏东坡一次下乡，碰到村民们挑塘泥，一老妇挑了一担重泥档住了苏东坡的去路说：我出一联，你对上了就让你过去。联云“一担重泥挡子路”。当时确把苏东坡难住了，见到两旁挑泥的人正朝着他笑，马上应对曰：“两行伕子笑颜回”。真妙对啊！盖叫天原名张英杰，一生致力于武生表演艺术，尤以演武生戏著称。旧时有一知友曾书赠一联：英名盖世三岔口，杰作惊天十字坡。此联构思精巧，既联有盖叫天的名字，又隐含盖叫天的杰作，高度赞扬了盖派艺术的杰出成就。对铜锤花脸金少山有一赞联：嗓高何九，做精黄三；（嗓音比何桂三高昂，做表比黄润辅精细。）身修李七，武侪庆四。（身材比李寿山魁梧，武功比庆春圃漂亮。）有关数学的对联，确实有趣，再举几则；双手推开窗前月，一石击破井中天。（这副对联是苏小三难新郎秦少游，完成佳联）花甲重开，外加三七岁月；古稀双庆，内多一个春秋．（这副对联是由清代乾隆皇帝出的上联，暗指一位老人的年龄，要纪晓岚对下联，联中也隐含这个数．即上述下联．上联的算式：2×60＋3×7=141，下联的算式：2×70＋1=141．）三强韩赵魏．九章勾股弦．（上联为数学家华罗庚1953年随中国科学院出国考察途中所作．团长为钱三强，团员有大气物理学家赵九章教授等十余人，途中闲暇，为增添旅行乐趣，华罗庚便出上联“三强韩赵魏”求对．片刻，人皆摇头，无以对出．他只好自对下联“九章勾股弦”．此联全用“双联”修辞格．“三强”一指钱三强，二指战国时韩赵魏三大强国；“九章”，既指赵九章，又指我国古代数学名著《九章算术》．该书首次记载了我国数学家发现的勾股定理．全联数字相对，平仄相应，古今相连，总分结合．）世事再纷繁，加减乘除算尽；宇宙虽广大，点线面体包完．（四川一座乡村中学，一对数学教师结合夫妇，在元旦结婚之日，工会赠送的一副贺联）会计合数检验误差重合数；医生开方已知病根再开方．（一对新人，男的当会计，女的做医生，完婚之日，有人赠送的贺联，嵌入“合数”、“开方”等数学名词，天衣无缝．）爱情如几何曲线；幸福似小数循环．（一对数学教师，几经波折，终于结为秦晋之好，同事撰一联相贺， “几何曲线”形象地表述了这对数学教师爱情历经坎坷曲折；“小数循环”是一个无穷无尽的数值，借此祝贺新人的美满幸福，天长地久，实在是神来之笔．）二万里江山，伊古以来，未闻一朝一统二万里；五十年圣寿，自今以往，尚有九千九百五十年。（清乾隆帝五十寿庆时，纪昀作的一对贺联，“二万里”、“五十年”上下联各自首尾呼应，下联“五十年”加“九千九百五十年”，恰好万年，合万岁万寿之意，妙极。）万瓦千砖，百匠造成十佛寺。一舟二橹，三人摇过四仙桥。（有一秀才进京赶考，途中投宿一寺庙，方丈出联相考，联中的“万”、“千”、“百”、“这些数字使秀才难以对出。第二日，秀才登舟赴京，路过四仙桥时，灵感勃发，对出下联。）二三四五；六七八九横批：南北（这幅对联全部由数字组成，初看平淡无奇，实则联语、横批含蓄深刻，对联运用了谐音手法，意为缺衣（一）少食（十），没有东西。这也成了条内涵丰富的谜语。另有一副为窃国称帝的袁世凯撰写的对联，与之是异曲同工：一二三四五六七；孝悌忠信礼义廉。嘲讽其是王（王）八无耻。）大圆小圆同心圆，心心相印；阴电阳电异性电，性性相吸。横批：公理定律（一位几何老师和一位物理老师新婚燕尔，调皮的学生书赠送的对联显得风趣幽默。）独岭孤山，一神像单枪匹马；夹江两岸，二渔翁对钓双钩。（上联五个“一”，均为奇数；下联五个“二”均为偶数，而字面上只看到一个“一”和一个“二”，构思颇妙。）黄河绿水三三转紫海青山六六弯（清光绪年间，广东吴川人陈兰彬作为使者出使日本。日本首相伊腾博文出上联为难他，陈兰彬立即以自家后花园内三十六转红湖假山应对，“三三见九”指黄河九曲，下联以六六应对，可谓巧矣。）上面辑录的数学对联，虽然出于不同的手笔，但作者各有妙趣，别有风致，有的语言明快，气势雄健；有的用词简约，寓意丰富；有的文笔隽秀，情致深含；有的情辞典雅，诗意浓郁；一副对联，寥寥数语，竟能传神写意，美不胜收，不能不使人赞叹对联作者的创作技巧了！函数代数无理数数数拢天下四野菱形矩形正方形形形吞万象一新 ---------- 小圆大圆天下圆，圆圆有心；直线曲线螺旋线，线线独特。 ---------- 点线面描绘柱锥台球测量出鸳鸯情系几何，数式形演算加减乘除计量得佳偶缘结代数。经典数学对联以下转自 http://www.meblog.cn/user6/21560/archives/2012/95133.shtml 岁月有极限应选准人生坐标追求无最值须解好生活方程指数函数对数函数三角函数数数含辛茹苦平行直线相交直线异面直线线线情真意切线线角线面角面面角皆由交线角定义线线距线面距面面距总归两点距求解学无止境别外心防微杜渐握重心垂千炼百有垂心助人舍己树旁心开拓创新自内心 ----- 心心相印乐人生人似点，家似线，国家似平面人像元，家像集，国家像全集点与线，线与面，属于真包含你与我，国与家，有国才有家爱情如几何曲线，幸福似小数循环恋爱自由无三角，人生幸福有几何小园大圆天下园，圆圆有心直线曲线螺旋线，线线独特平行线相交线线线共面垂直面斜交面面面共线解括号，加因子，求的结果过切点，引半径，直达圆心体面线点，描绘出大千世界加减乘除，演算了无尽苍穹五百卷图书，散列桌上，宏编巨著，喜洋洋兴趣无穷。看高等代数，泛函分析，线性规划，随机过程，悉心研读，不妨请客探讨。趁年轻智敏，是应该博学勤专，正更长夜永，安排些美酒佳肴。莫辜负欧几里得，希尔伯特，马克劳林，拉格朗日。六千年往事，浮现天际，大江东去，叹滚滚先贤何在？想伏羲画卦，刘徽割园，冲之算率，罗庚定理，伟业丰功，费尽移山力气，任风吹雨打，却依然流光溢彩，与日夜同辉，经万古环球敬仰。须记取九章妙论，四元奇术，五家共井，百鸡齐鸣。链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-650571.html; 7 次阅读|0 个评论

分享数学专业本科生推荐读物: hylpy1 2016-8-28 12:24; 数学专业本科生推荐读物第一部分：数学大师的经典 Felix Klein 1849-1925（菲利克斯·克莱因） Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint 高观点下的初等数学(全3册) Famous Problems of Elementary Geometry 初等几何的著名问题 Development of Mathematics in the 19th Century 数学在19世纪的发展 David Hilbert 1862–1943 (大卫·希尔伯特) The Theory of Algebraic Number Fields 代数数域理论， The Foundations of Geometry 几何基础 Geometry and the imagination 直观几何与康福森(S.Cohnvossen)合著 Methods of Mathematical Physics 数学物理方法（共两卷）与柯朗（Richard Courant）合著 Hermann Weyl 1885 –1955 （赫尔曼·外尔） Classical Group 经典群 Symmetry 对称 Andre Weil 1906–1998 （安德烈·韦伊） Basic Number Theory 基础数论第二部分：数学各个领域的名著数学史的名著（包括优秀的传记） 1 Mathematical Thought from Ancient to Modern Times 古今数学思想（共四卷） - 莫里斯·克莱因　(Morris Kline) 2 Hilbert 希尔伯特 - 康斯坦西·瑞德 (Reid. Constance) 3 The Man Who Loved Only Numbers 数字情种:埃尔德什传 4 The Man Who Knew Infinity 知无涯者:拉马努金传 5 The Music of the Primes: Why an Unsolved Problem in Mathematics Matters 作者 Marcus du Sautoy 6 Fermat's Last Theorem 费马大定理 - 辛格（Simon Singh） 7 Autobiography 罗素自传 –伯特兰·罗素 (Bertrand Russell) 拓扑学的两本名著 1 Basic Topology 基础拓扑学 - 阿姆斯特朗(M.A.Armstrong) 2 Topology from the Differentiable Viewpoint 从微分观点看拓扑约翰·米尔诺(John W.Milnor) 代数学的名著 1 Algebra 代数学（共两卷） - 范德瓦尔登 (B.L.Van der waerden) 2 Basic Algebra 基础代数学（共两卷） - 雅各布森 (N.Jacobson) 3 Introduction to Commutative Algebra 交换代数导引- 迈克尔·阿蒂亚 (Michael Atiyah) 几何学的名著 1 Introduction to geometry 几何导论- （Coxeter） 2 Differential Geometry of Curves and Surfaces 曲线与曲面的微分几何- 杜卡莫 (P.do Carmo) 3 Differential geometry in the large 整体微分几何- H.霍普夫 (H.Hopf) 4 Regular Polytopes （Coxeter）分析学的名著 1 Complex Analysis 复分析- 阿尔福斯 (Lars V.Ahlfors) 2 Real and Complex Analysis 实分析与复分析- 鲁丁 (Walter Rudin) 3 Functional Analysis 泛函分析- 鲁丁 (Walter Rudin) 4 Real Analysis 实分析 –斯坦（M.Stein） 5 Complex Analysis 复分析 –斯坦（M.Stein） 6 Fourier Analysis 傅里叶分析 –斯坦（M.Stein）数论的名著 1 An Introduction to the Theory of Numbers 数论导引- 哈代与莱特 (G.H. Hardy and E.M. Wright) 2 Unsolved Problem in Number Theory 数论中未解决的问题 - 盖伊 (K. Guy) 3 A Classical Introduction to Modern Number Theory 现代数论的经典引论 - 爱尔兰与罗森（K. Ireland and M. Rosen） 4 A Course in Arithmetic 算术教程 –赛尔（J.P. Serre）第三部分：哲学,物理学与其它领域的名著 1 The Republic 理想国 - 柏拉图 (Plato) 2 The Metaphysics 形而上学 - 亚里士多德 (Aristotle) 3 A Treatise of Human Nature 人性论 -休谟（D. Hume） 4 Meditations on First Philosophy 第一哲学沉思录 -笛卡尔（Rene Descartes） 5 Critique of Pure Reason 纯粹理性批判-康德（Immanuel Kant） 6 Phenomenology of Spirit 精神现象学-黑格尔（Hegel） 7 The Logic of Hegel 小逻辑-黑格尔（Hegel） 8 The World as Will and Representation 作为意志和表象的世界-叔本华（Schopenhauer） 9 Feynman Lectures on Physics 费恩曼物理学讲义（共三卷）-费恩曼（Feynman） 10 Introductory Lectures on Psycho-Analysis 精神分析引论 -弗洛伊德（S.Freud）链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-668090.html; 23 次阅读|0 个评论

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分享『数学之神』Differential Geometry: hylpy1 2016-8-28 11:32; 数学的一个分支学科，它主要是以分析方法来研究空间（微分流形）的几何性质应用微分学来研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面等图形性质的数学分支。差不多与微积分学同时起源于17世纪。单变量函数的几何形象是一条曲线，函数的导数就是曲线切线的斜率。函数的积分在几何上则可理解为一曲线下的面积等等。这种把微积分应用于曲线、曲面的研究，实质上就是微分几何学的开端。L.欧拉、G.蒙日、J.L.拉格朗日以及A.-L.柯西等数学家都曾为微分几何学的发展作出过重要贡献。与此同时，曲面内蕴几何等崭新的思想也在不断地产生并积累着。在此基础上，C.F.高斯奠定了曲面论基础，并使微分几何学成为一门新的数学分支。按F.克莱因变换群几何的分类方法来看，微分几何学应属于运动群，所以也称为运动几何学或初等微分几何学。微分几何学的研究对数学其他分支以及力学、物理学、工程学等的影响是不可估量的。如：伪球面上的几何与非欧几何有密切关系；测地线和力学、变分学、拓扑学等有着深刻的联系，是内容丰富的研究课题。这方面有以J.阿达马、H.庞加莱等人为首的优异研究。极小曲面是和复变函数论、变分学、拓扑学关系极为深刻的研究领域，K.魏尔斯特拉斯、J.道格拉斯等人作出过卓越贡献。　　微分几何学的研究工具大部分是微积分学。力学、物理学、天文学以及技术和工业的日益增长的要求则是微分几何学发展的重要因素。尽管微分几何学主要研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面的局部性质，但它形成了现代微分几何学的基础则是毋庸置疑的。因为依赖于图形的直观性及由它进行类推的方法，即使在今天也未失其重要性。微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。　　十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素 1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。　　1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。　　随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。古典的局部微分几何是研究三维欧氏空间E3的曲线和曲面在一点邻近的性质，它的发展与分析学的发展有着不可分割的联系。微分几何起源于17世纪发现微积分之时，函数与函数的导数的概念实质上等同于曲线与曲线的切线的斜率，函数的积分在几何上则可解释为一曲线下的面积。当时，平面曲线、空间曲线及曲面的几何也可作为微积分的应用来了解。　　在这方面第一个作出贡献的是瑞士数学家L.欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。欧拉将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率。在曲面论方面,他有重要的贡献,例如引进了曲面上的法曲率、总曲率、关于法曲率的欧拉公式及球面映射等。测地线是平面上的直线在曲面上的推广,欧拉和约翰第一·伯努利及丹尼尔第一 ·伯努利一起最早地把测地线描述为某些微分方程的解。1736年，欧拉证明了在无外力作用之下，一个质点如约束在一曲面上运动，则它必定是沿测地线运动。另外，值得指出的是法国数学家G.蒙日及其学派，他们对曲面论的建立也很有贡献，蒙日在1807年出版的书《分析学在几何中的应用》是关于曲线和曲面理论的第一部独立的著作。他的工作中反映出他对微分方程的兴趣。在这些数学家的研究中，可以看到力学、物理学与天文学以及技术与工业的日益增长的要求是促使微分几何发展的因素。　　1847年弗雷内得出了曲线的基本微分方程，亦即通称的弗雷内公式。后来,（J.-）G.达布创造了空间曲线的活动标架概念，完整地建立起曲线理论。在三维欧氏空间E3中，与曲线相比,曲面有着重要得多的性质。设x1，x2，x3为E3的笛氏坐标，则曲面S的参数方程为 (1)曲面S的几何性质完全由被称为曲面的第一、第二基本形式（见曲面）的两个二次微分形式所决定。　　1827年德国数学家C.F.高斯的论文《弯曲曲面的一般研究》在微分几何学的历史上有重大的意义。微分几何发展经历了150年之后,高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带有根本性的内容，他在论文中建立了曲面的内在几何学，其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上一区域的面积、测地线、测地曲率和总曲率等等，称之为曲面的内在性质。　　高斯之前的几何学家，在研究曲面时总是把曲面与外围空间E3相联系，找出曲面上一点的主方向，再计算两曲率线的法曲率的乘积，这是欧拉的研究。高斯证明了由曲面的第一基本形式就确定了曲面的总曲率，这就是高斯方程，所以总曲率通常也称为高斯曲率，这是高斯的著名发现，被称为“极妙定理”。他说：“如果一个弯曲的曲面可展开到任何另外的曲面上去，则每点的曲率是保持不变的。”这里,“可展”表示了映射是1-1（一一）且保持距离的。高斯建立的内在几何学有着深远的影响，是在微分几何上的一关键而重大的突破，但当时并未被人们所认识。　　更重要的发展属于德国数学家（G.F.）B.黎曼。1854年他在格丁根大学发表了题为《论作为几何学基础的假设》的就职演讲，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧氏空间中的一个几何实体。他发展了空间的概念,首先提出了n维流形（当时称为多重广延量）的概念,其中的点用n个实数(x1,x2,…,xn)作为坐标来描述，他定义了流形上无限邻近两点(xi)与(xi+dxi)(i=1,2,…,n)的距离， (2)并以此作为几何学的出发点。后来称公式 (2)为黎曼度量,这里(gij)是正定对称阵。黎曼认识到度量(2)是加到流形上去的一个结构，因此，同一流形可以有众多的黎曼度量。黎曼以前的几何学家只知道外围空间E3的度量赋予曲面S以诱导度量， (3)即第一基本形式,而并未认识到曲面S还可以独立于E3而定义，可以独立地赋予度量结构。黎曼意识到这件事是非凡的重要，他把诱导度量与独立的黎曼度量两者分开来,从而开创了以(2)为出发点的黎曼几何。这种几何以种种非欧几何作为其特例。例如，这时可以把（α 是常数） (4)作为两个无限邻近点的距离，当α0时,就是球面几何或椭圆几何（又称为正常曲率空间的几何）,α=0时就是欧氏几何，α0时就是罗巴切夫斯基几何或双曲几何,又称负常曲率空间的几何。　　黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。在两个不同坐标系x1，x2，…，xn与x1'，x2'，…，xn' 中，给定两个二次微分形式与，求存在坐标变(i=1,2,…,n)将一个微分形式变到另一个的条件，这个问题1869年由E.B.克里斯托费尔与R.（O.S.）李普希茨解决。克里斯托费尔的解包含了以他的名字定名的记号，即第一类克里斯托费尔记号【jk,l】和第二类克里斯托费尔记号】：， (5)及协变微分(见黎曼几何学)的概念。在此基础上,1887～1896年间G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本的作用。里奇和他的学生T.列维－齐维塔在研究报告《绝对微分法及其应用》(1901)中对里奇计算法作了详细的综述。《埃尔朗根纲领》对微分几何的影响比克里斯托费尔、李普希茨解决二次微分形式的相互转换问题稍迟一些，1872年（C.）F.克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，这就是把几何学定义为研究变换群所作用的空间，例如欧氏空间具有刚体运动群，所研究的对象是在刚体运动群下不变的性质。射影空间具有射影变换群，仿射空间与共形空间分别具有仿射变换群与共形变换群等等。这样就用变换群对已有的几何学进行了分类。这些几何学中所研究的对象是在相应变换群下不变的性质。这种用群论统一几何学的思想把几何学与李群结合起来了。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起为E.J.威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起为以G.富比尼为首的意大利学派所发展。20世纪30年代起中国苏步青及其学生们以及苏联С.∏.菲尼科夫等进一步发展了射影微分几何。　　另一方面，克莱因的《埃尔朗根纲领》与狭义相对论完美地相配合，狭义相对论中的一个原理是洛伦茨群下场方程的不变性，这导致了克莱因成为狭义相对论的最早支持者之一。洛伦茨结构在相对论中起了基本的作用。　　当克莱因制定《埃尔朗根纲领》时，已观察到黎曼几何并不包括在内,因为一般的黎曼空间,除恒等变换外，并不含有其他等长变换。经过W.K.J.基灵,Eacute;.(-J.)嘉当的努力,使得李群成为微分几何的有力工具,而李群本身也成为微分几何的研究对象，它的推广就是齐性流形即容有可迁变换群的微分流形，这就给出了埃尔朗根纲领中所设想的几何空间的最一般形式。在齐性流形中，具有正定黎曼度量的齐性黎曼流形，特别是对称空间，显得特别重要. 黎曼几何的建立对近代物理学产生了巨大的影响。黎曼对引力论很有兴趣，曾对牛顿的引力论发生怀疑，牛顿的引力是一种超距作用，而黎曼认为引力作用应通过接触来传递，但他并没有把黎曼几何用于引力论。50年后，爱因斯坦创立了新的引力理论——广义相对论，黎曼几何（严格地说是洛伦茨几何，这时(2)中所定义的ds2是非正定的二次微分形式）及其运算方法（里奇计算法）成为广义相对论有效的数学工具。爱因斯坦引进了约定求和这一很有用的符号。广义相对论的产生对微分几何的影响是令人震动的。当时黎曼几何成为研究的中心课题，斯考顿、列维－齐维塔、Eacute;.嘉当及艾森哈特等人的关于黎曼几何的权威著作几乎都出现在1924～1926年期间。爱因斯坦在狭义相对论中，把时间与空间作为相关的量一起来考虑,构成了一个四重广延量,这显示了时空概念的一个根本性变化。这时，时空中两点(xi),(xi+dxi)(i=1,2,3,4)的距离由非正定的二次形式 (6)所描述,其中x4=сt，с是光速,t是时间。这种具体形式是闵科夫斯基空间，或称闵科夫斯基四维时空，简称四维时空，它是洛伦茨流形中的一个特例。广义相对论采用的是洛伦茨流形,这时ds2是非正定的，它的特点是在任何一点的小邻域中和闵科夫斯基时空性质相近似。引力论的基本问题是要说明质点在引力作用下的运动轨线问题，在广义相对论中运动轨线为流形上类时（即“弧长”平方为负）的测地线，类时意味着质点的速度低于光速，测地线是变分 (7)所得微分方程的解。　　爱因斯坦的引力场方程是一个关于gij的二阶偏微分方程 (8)式中Rij 称为里奇张量，是由gij的一、二阶导数构成的，其中所确定；Tij是描述物质分布的能量动量张量。特别，真空中的引力场方程由Rij=0所表述。如果弯曲空间化为平直空间，则表示引力场不存在，这时质点作匀速运动。　　爱因斯坦的广义相对论的思想来自物理学的研究，但值得注意的是从欧几里得几何学到黎曼几何学经历了二千多年时间，而从闵科夫斯基时空到洛伦茨流形只经过十年时间，这是因为黎曼几何学的张量分析已为此作了一切数学上的准备。爱因斯坦在建立广义相对论的过程中得益于数学家M.格罗斯曼，在发展广义相对论过程中他和Eacute;.嘉当进行了许多的讨论，D.希尔伯特也参加建立场方程的研究。　　把黎曼几何应用于广义相对论时,列维-齐维塔平行移动的概念具有相当的重要性。（C.H.）H.外尔在1***年的名著《时间，空间，物质》中引进了仿射联络的概念，它是黎曼流形中列维－齐维塔平行移动的推广。在流形上可以用仿射联络作为出发点来定义平行移动和协变微分等结构, 这样,仿射联络就不必从黎曼结构来得出。外尔所给出的联络是无挠率的（即对称的）。流形上定义了仿射联络，就得到仿射联络流形。　　嘉当在他的主要论文《仿射联络流形及广义相对论理论》（1923～1924）中给出仿射联络的权威性论述，并将仿射联络这一概念推广到有挠率的情况。文中主要说明为什么爱因斯坦引力论是牛顿引力论的推广，后来他更进一步建立了各种联络理论，例如射影联络、共形联络等。　　黎曼几何还有另外的推广,P.芬斯勒以一般出发建立了一种度量的几何学，F只是dxj的正齐二次函数而不必要求它为二次型，也就是说gij除依赖于x之外，还是dx的正齐0次函数。对这种空间也引进了联络、曲率等等概念，从而得到芬斯勒几何。随后，还有很多的推广，得到的空间通称为一般空间。在古典的曲线论和曲面论中,人们所研究的问题已可分为两种类型:局部问题与整体问题。曲线或曲面在一点充分小邻近成立的性质是局部性质。例如，曲线在一点的切线、法平面、曲率、挠率，曲面的切平面、法线以及各种曲率的概念都是局部性质。整体性质则是考虑整个曲线或曲面上的性质，它与局部性质所得出的定理时常是极不相同的。例如，平面凸闭曲线成立四顶点定理，即它的曲率至少有四个极值点。又如，对任何曲面，局部来说，两邻近点之间有且仅有惟一的测地线弧相连结，但从整体来说，这个问题就相当复杂。例如，欧氏空间的测地线是直线，任意两点之间有且只有一条直线段相连结，球面上的测地线是大圆弧，球面上任意两点A、B(如果不是对顶点)，可有两条测地线弧（优弧与劣弧）相连结，A、B是对顶点时，它们之间则有无限条测地线弧相连结。如果考虑闭测地线，则可看到欧氏空间没有闭测地线，而球面上任何测地线（即大圆）都是闭的。至于一般曲面有可能存在闭测地线，也有可能不存在闭测地线，可有许多情况，讨论闭测地线的存在性就是一个整体性质。　　又如，欧氏空间的曲面由第一、第二基本形式所决定。如果两个曲面小片S1，S2，它们的第一基本形式相同，第二基本形式不同，则称S1与S2是互为变形的。三维欧氏空间的一小曲面片总有无穷个曲面与它相变形，然而这个性质整体上是不成立的，例如球面以及一般的凸闭曲面不存在与之变形的曲面，这称为球面的刚性定理及凸闭曲面的刚性定理。讨论小曲面片的变形问题是局部性质，讨论曲面的变形问题则是整体性质。曲面上测地线弧的指标（它表示测地线弧的两端固定时，使其长度得到缩短的变形的维数）是一个整体的不变量。　　曲面的整体性质的一个重要结果是高斯-博内定理，它指明,在闭曲面S上，总曲率K的积除以2π就是曲面的欧拉等于1减去曲面上洞的个数，是个拓扑不变量，因而这个定理建立了曲面的微分几何量与曲面的拓扑量之间的重要联系。　　此外，希尔伯特还发现，双曲平面（二维的双曲几何）不能在三维欧氏空间中完整地实现，尽管它在三维欧氏空间中局部地实现对于双曲几何（即罗巴切夫斯基几何）的被承认起了重大的作用。　　曲面和曲线的整体性质的研究激起了人们对整体微分几何的巨大兴趣。微分流形　　现代微分几何学所研究的对象是微分流形,其上还配有附加的结构。例如,微分流形上引进黎曼度量、洛伦茨度量、辛尺度这些结构后，就分别成为黎曼流形、洛伦茨流形和辛流形，相应地也就丰富了几何内容。霍奇定理　　外微分形式、德·拉姆定理与霍奇定理微分流形上的外微分形式是一个微分几何量，对它可进行外微分运算，这在几何上十分重要（见外微分形式）。外微分形式实际上是多重积分的积分元。一个外微分形式的外微分如等于零，则称它为闭形式,微分流形上r次闭形式全体构成一个线性空间。一个r次外微分形式如果是另一个(r-1)次外微分形式的外微分,则称之为正合形式。正合形式是闭形式，它所构成的线性空间是闭形式所构成的线性空间的子空间。闭形式可以划分为一些类，称为上同调类,两个r次闭形式当且仅当它们之差是一个正合形式时属于同一个上同调类。这些上同调类全体构成一个线性空间——上同调空间 Hr。以瑞士数学家德·拉姆而命名的著名定理说明：对于紧致流形, 上同调类空间Hr必是有限维的,并且维数恰等于微分流形上第r个贝蒂数。贝蒂数是流形的拓扑不变量，它描述流形上有关连通的性质。在流形上引进了黎曼度量后，霍奇引进了调和形式的概念,并证明了著名的霍奇定理:在一个定向、紧致黎曼流形上，每一上同调类中有惟一的调和形式。这个定理是复变函数理论中紧致黎曼面的一些基本结果的一个重大的推广，它在代数几何中有重要作用。这两个定理提供了流形上局部性质与整体性质的联系，建立了流形上微分结构、拓扑结构及黎曼结构的深刻的制约关系，具有十分重要的意义。黎曼流形的完备性　　在黎曼流形的研究中，完备性是一个很重要的概念。在黎曼流形上，两点之间可以定义距离，因而可成为一个度量空间，这个度量空间在拓扑意义下的完备与任一测地线均可无限延伸（依弧长或仿射参数）这一性质相等价，从而形成了完备黎曼流形的概念。特别，紧致黎曼流形是完备的黎曼流形。霍普夫与里诺给出了下述结果：完备黎曼流形上每二点均可用一极小测地线相连结，其长度就等于二点的距离。　　引进了完备性这一概念后，也推进了对三维欧氏空间曲面论的整体性质的研究。例如：对于曲率为常数的曲面的完备性的研究有：1959年P.哈特曼与L.尼伦伯格证明了完备的可展曲面必为柱面，迈尔斯与李卜曼证明了正常数曲率定向的完备曲面必为球面。　　完备性概念对非紧致黎曼流形的整体几何研究是十分重要的。曲率与拓扑　　黎曼流形的曲率是微分几何中最重要的几何量之一，曲率和流形的拓扑结构之间的联系是一个十分重要的问题。美国数学家C.B.艾伦多弗和法国数学家A.韦伊与陈省身用不同的方法将紧致曲面上的高斯-博内公式扩充到高维曲面和紧致黎曼流形上去,这是微分几何上很重大的一项进展。另外，J.（-S.）阿达马和Eacute;.嘉当发现：单连通的、曲率非正的完备黎曼流形必同胚于欧氏空间Rn。这也是极富有启发性的成果。对于黎曼流形来说，有三种不同层次的曲率，一种是截面曲率，它相应于在每点某一平面方向所相应的曲率。另一种是里奇曲率，它是由截面曲率以适当的形式作和而成。第三种是数量曲率，它是里奇曲率的迹。这三种曲率和流形的拓扑性质之间有很强的相互制约作用，这方面的研究成果非常丰富，而且是微分几何主要研究方向之一。等距嵌入　　嵌入问题是指一个具有某种结构的流形是否可以作为高维欧氏空间的子流形的问题。当只涉及微分结构时,惠特尼在1936年证明了每一个n维的微分流形均可以嵌入到一个2n+1维的欧氏空间中，美国另一数学家C.B.莫利证明了对紧致的实解析流形这个结果也成立。等距嵌入是研究一黎曼流形是否能与高维欧氏空间的子流形成等距对应的问题。对于局部的等距嵌入，瑞士数学家L.施勒夫利很早就作了下述预测:n维的黎曼流形总可等距嵌入到维欧氏空间中去。1926年法国数学家H.约尼和Eacute;.嘉当在黎曼流形上添上解析这一条件时证明了这个预测。因此，作为特例，一个二维的解析黎曼度量总可局部地作为三维欧氏空间中某个曲面的第一基本形式。当流形非解析时，情况相当复杂，至今还是一个研究课题，当曲率K在曲面上变号时,任一个二维黎曼流形是否可局部地等距嵌入到三维欧氏空间，已经有若干结果。黎曼流形的整体等距嵌入定理于1954～1956年由J.纳许等所给出：n 维黎曼流形总可等距嵌入到欧氏空间E,如流形为紧致时，则可嵌入到E；如果只考虑C1等距嵌入，则n维黎曼流形可嵌入于；如果M紧致则可嵌入到。纳许的方法后来对非线性分析和非线性偏微分方程的求解产生了重要影响。纤维丛　　在整体微分几何发展中，纤维丛及其上的联络论的产生和发展，占有显著的地位。基本的纤维丛有向量丛和主丛，前者包括切丛、余切丛、张量丛及一般性的推广，后者是由标架丛抽象而成。在黎曼几何研究中所产生的列维－齐维塔联络被推广为仿射联络、射影联络、共形联络、……然后形成了一般向量丛或纤维丛上的联络论，它以优美的形式把几何学的群的结构和流形上的微分结构有机地结合起来,陈省身-外尔映射用代数的方法通过联络和曲率作出了底流形上的一些上同调类，这种上同调类称为示性类包括陈示性类，欧拉示性类，庞特里亚金示性类等，它们都能表示纤维丛的拓扑性质。　　纤维丛上的联络论成为理论物理学家的有力工具，杨振宁和米尔斯所提出的规范场理论是在物理学中形成的纤维丛上的联络论，不仅如此，他们对纤维丛上的联络提出了一个过去数学家没有想到过的偏微分方程（后称为杨-米尔斯方程），这个方程不仅对物理学,而且对纯粹数学发生了重大影响。此外，联络论中的一些示性类和示性数，也得到了物理学上的解释，成为物理学中的各种“粒子”数，如“磁单极”数、瞬子数等等。由于这些事实，微分几何和理论物理的关系就更其密切了，可以说是在爱因斯坦广义相对论后的一个新的高潮。微分几何的研究与发展离不开微分方程，达布的《曲面论》一书就包含了丰富的古典微分方程的内容。Eacute;.嘉当和凯勒所发展的外微分方程理论，对于解析函数领域的一大类局部微分几何问题，给出了一般的有效的方法。　　整体微分几何的发展，需要运用更深入的，现代化的分析工具，特别是偏微分方程理论以及与之有关的非线性分析。　　在线性理论中，一个突出的成果是阿蒂亚和辛格的指标定理，紧致微分流形上的一个线性椭圆算子的零空间的维数与象空间的维数都是有限数,其差称为指标,这个定理指出，这种指标可以表示为和流形（或纤维丛）及椭圆算子有关的拓扑不变量,而过去的黎曼-罗赫定理，希策布鲁赫的指标定理等都是它的特殊情形。这个定理对于确定杨-米尔斯方程的解的存在性和其自由度,起了重要作用。此外，流形上的拉普拉斯算子的特征值的研究也是一个重要方面。　　微分几何学所遇到的偏微分方程大多是非线性的，调和函数的概念被推广成黎曼流形间的调和映射，它联系于一个推广的狄利克雷积分的变分问题，其欧拉方程是非线性的椭圆型方程组，J.伊尔斯等人用了多种分析的技巧证明了各种存在性和不存在性定理,近年来,R.舍恩和K.K.乌伦贝克又对广义解的奇性作了深入的分析。极小曲面理论近年来得到更深入的发展，研究范围日趋广泛，而且对流形的拓扑以及广义相对论中的数学问题均有重要应用。在调和映射、极小曲面，以及其他许多微分几何问题上,大范围变分方法成了重要工具,非线性泛函的极小元素或临界元素的正则性和存在性起了很大作用。如果考虑洛伦茨流形到黎曼流形的调和映射，就归结为双曲型偏微分方程的整体解的存在性问题，这方面成果国际上较少，谷超豪证明了闵科夫斯基平面到完备黎曼流形的调和映射的柯西问题的整体存在性定理，某些调和映射在物理学中称为非线性σ模型,是物理学家独立地提出的。　　有些微分几何学问题还必须求解“真正”非线性偏微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想,证明了某种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复的蒙日-安培方程,它的非线性程度更高，需要有高度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的与非线性偏微分方程有关的几何问题。　　具有复结构的微分流形特别是凯勒流形在多元复变函数和代数几何中起着重要的作用链接地址： 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分享本科数学专业哪门课最难学？[抽象程度，计算量评分]: hylpy1 2016-8-28 10:56; 数学分析：抽象程度★，计算量★★★。数分是大一新生谈虎色变的一门课，但实际上是一只纸老虎。它的“难”更多的体现在高中到大学的思维转换上，只要别产生抵触情绪，绝大多数学生都能挺过去。高等代数：抽象程度★★，计算量★。高代是大一新生接触的第一门抽象课程，但计算量较小，实在不能理解靠死记硬背也能对付过去，所以不像数分那样“臭名昭著”。解析几何：抽象程度★，计算量★。这是大一最轻松的一门课，就是高中平面解析几何的立体版。常微分方程：抽象程度★，计算量★★。在残暴的偏微分方程面前，常微分方程就像一个温柔的小妹妹。数论：抽象程度★★，计算量★★。由于现代数论跟前沿代数、几何结合很紧密，本科基本没法讲，能讲的都是一些比较简单的初等内容，所以还算轻松。实变函数：抽象程度★★★★，计算量★★。俗话说“实变函数学十遍”，这应该是低年级本科生最头疼的一门课。复变函数：抽象程度★★，计算量★★。我记得本科时实变函数老师说，实变的难度是复变的2.5倍。所以，这也是比较温柔的一门课。复变也是是两遍，所以只要学2遍就懂了。概率论：抽象程度★，计算量★。在解几之后，给同学们找自信的任务就交给概率了。近世代数（抽象代数）：抽象程度★★★，计算量★★。这门课的具体难度跟讲到哪一部分和在哪个年级开课有关。例如给本科高年级学生讲群环域都问题不大，但如果给大一学生讲群、或者给大三学生讲模，那就会晕倒一片了。泛函分析：抽象程度★★，计算量★★★。本科的泛函一般被视作实变函数的后继课程，但抽象程度比实变要温柔一些。数理统计：抽象程度★★，计算量★★。是本科高年级课程里相对轻松的一门课，只是思维方式跟分析、代数、几何等主流课程不太一样。一般拓扑：抽象程度★★★，计算量★★。是比较抽象的一门课，难度跟近世代数相当。代数拓扑：抽象程度★★★★，计算量★★★。跟一般拓扑相比，虽然都是研究拓扑，但思维方式相差较大，抽象程度也更深。偏微分方程（数学物理方程）：抽象程度★★，计算量★★★★★。我本科时偏微分是一门每年挂科50%的杀手课，原因很简单，计算量太大。当时期末考试老师“仁慈”地出了一道书上课后习题，但这道题的解题过程要写满两整页A4作业纸。微分几何（局部）：抽象程度★★，计算量★★★★。是解析几何的后继课程，计算量有点大，但理解起来不难。微分几何（整体）：抽象程度★★★★，计算量★★★★★。在很多学校里这门课叫“ 微分流形 ”。由于很少有学校会把代数几何作为必修课，所以这应该是本科最难的一门课。这也是现代数学的主流热点——几何方向的入门课程。代数几何：抽象程度★★★★★，计算量★★★★★。我本科时这门课被坑爹地作为了大四上的必修课，学期过半之后还坚持听课的同学只剩个位数。转自知乎 http://www.zhihu.com/question/19931962; 14 次阅读|0 个评论

分享数学分析经典教材Dieudonne9卷,Giaquinta5卷,Godement4卷,Amann3卷,Garling3卷等等: hylpy1 2016-8-28 10:50; 推荐下面7套好书。一。 M. Giaquinta, G. Modica 数学分析五卷本, 把本科的数学分析,线性代数,泛函分析,实变函数, 复变函数, 微分几何, 微分方程的基本部分有机的揉合在一起, 循序渐进, 与中学的课程有良好衔接, 与后继课程有良好的呼应, 书中很多知识穿插了起历史渊源。实在是非常有特色的一套教材.这5 卷本是从 1998 年的意大利文开始，到英文版的对应版本出版，历时14 年，而且是由 Giaquinta 这种分析这方面的大家来写，突出代表了意大利数学分析教学的最高水平。 9781461200079.jpg (6.93 KB, 下载次数: 2) 下载附件保存到相册 2013-5-26 22:23 上传 Mathematical Analysis: Functions of One Variable,2003 Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes,2004 Mathematical Analysis: Linear and Metric Structures and Continuity,2007 Mathematical Analysis: An Introduction to Functions of Several Variables, 2009 Mathematical Analysis: Foundations and Advanced Techniques for Functions of Several Variables, 2012 电子版下载，回复可见游客，如果您要查看本帖隐藏内容请回复二。 Amann的这套三卷本《分析学》在欧洲很有名气。这套书同Zorich的书一样不适合初学者使用。从所含内容及深度来看，已大大超过国内传统意义上的数学分析。第1册就较细致地讲述了数系，介绍了群、环、域和多项式，细致地讲述了点集拓扑，另外，还引入了复分析的内容；第2册讲述单变量积分、多变量微积分以及线积分；第3册引入测度论、Lebesgue积分、Fubini定理、Fourier变换、流形和微分形式、流形上的积分。这是一部优秀的分析学，同Zorich、Rudin乃至于陈天权教授的书一样，属于从高观点看数学分析，适合高年级学生使用，或作为教学参考书。世界图书出版公司已经有影印版本。 Herbert Amann, Joachim Escher, Analysis I, Birkhauser, 2005; Analysis II, Birkhauser, 2009; Analysis III, Birkhauser, 2009. 电子版下载，回复可见游客，如果您要查看本帖隐藏内容请回复三。上世纪末出版的R．Godement的四卷本的“Analyse Mathematique，I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ”： Godement_R.-Analyse_mathematique_I___Convergence,_fonctions_elementaires(1998).djvu (5.22 MB, 下载次数: 25, 售价: 1 金钱) 2013-5-26 21:54 上传点击文件名下载附件阅读权限: 10 售价: 1 金钱 Godement_R.-Analyse_Mathematique_II__Calcul_differentiel_et_integral,_series_de_.djvu (5.29 MB, 下载次数: 18, 售价: 1 金钱) 2013-5-26 21:55 上传点击文件名下载附件阅读权限: 10 售价: 1 金钱 Godement_R.Analyse_mathematique III Fonctions_analytiques,_differentielles_et_va.djvu (2.99 MB, 下载次数: 21, 售价: 1 金钱) 2013-5-26 21:56 上传点击文件名下载附件阅读权限: 10 售价: 1 金钱 Godement_R.-Analyse_mathematique_IV__Integration_et_theorie_spectrale,_analyse_h.djvu (6.03 MB, 下载次数: 28, 售价: 1 金钱) 2013-5-26 22:07 上传点击文件名下载附件阅读权限: 10 售价: 1 金钱是非常有特色的数学分析教材．作者力图向读者介绍“数学分析是什么?它是怎样发展成这样的?”所以书中有许多有趣的历史故事．第一卷介绍集合，收敛等概念．第二卷介绍微积分时便涉及Schwartz广义函数和Lebesgue积分等概念，又介绍了渐近分析(主要是Euler—Maclaurin求和公式)，最后把调和分析与全纯函数结合起来介绍．第三和第四卷介绍微分流形和Riemann面，一般的积分理论，Hilbert空间及抽象调和分析．英文版本 Godement, Analysis I, Convergence, Elementary functions, Springer, pdf Godement,Analysis II Differential and Integral Calculus, Fourier Series, Holomorphic Functions pdfGodement,Anaysis III Analytic and Differential Functions, Manifolds and Riemann Surfaces (Universitext) pdf Godement,Analysis IV Integration and Spectral Theory, Harmonic Analysis, the Garden of Modular Delights (Universitext) pdf 电子版下载，回复可见游客，如果您要查看本帖隐藏内容请回复四。 J.Dieudonne是法国布尔巴基学派的重要级人物，在 1960 到 1982 出版的他的 Treatise on Analysis 多卷本，英译本由 I.G.Macdonald 翻译并由 Academic Press 出版，该书堪称分析方面史诗般的著作，是分析方面的百科全书。AP出的这套英文版共九卷。我国科学出版社分别于82年和86年翻译出版了两卷（即这里的第一 http://ishare.iask.sina.com.cn/f/21665602.html 、二卷 http://ishare.iask.sina.com.cn/f/21665604.html ），至于后续的为什么没有再接着出，我也不是很了解了。很多人在学数学分析的时候，从这本书里受益匪浅。套用克莱因的一个书名，可以叫它“高观点下的数学分析”。 Treatise on Analysis 涉及现代分析的几乎所有分支的基础性著作。J·迪厄多内著。戈尔伊埃一维拉尔出版社陆续出版。全书共9卷，卷l于1960年初版，1969年再版，卷9于1982年出版。麦克唐纳德译为英文，阿卡德米克出版社出版，卷l于1960年出版，卷6于1978年出版。中译本科学出版社出版，卷1郭瑞芝等译，1982年出皈，卷2沈永欢译，1986年出版。J，迪厄多内(J．Dieudonne，1906一1992)，法国数学家。在分析、代数、代数几何、群论、集合论等方面均有贡献，是法国当代著书最多的数学家之一。卷1：第1章集论初步。第2章实数。第3章距离空间。第4章实直线的补充性质。第5章赋范空间。第6章Hilbert空间。第7章连续函数空间。第8章微分学。第9章解析函数。第10章存在定理。第11章初等谱论。 Treatise on Analysis I.djvu (3.93 MB, 下载次数: 268) 2013-5-27 10:34 上传点击文件名下载附件卷2：第12章关于拓扑的补充与拓扑代数。第13章积分。第14章局部紧群上的积分。第15章赋范代数与谱论 Treatise on Analysis II.djvu (7.61 MB, 下载次数: 208) 2013-5-27 10:35 上传点击文件名下载附件卷3：第16章微分流形。第17章关于微分流形上的微分运算之I，微分算子和分布。 Treatise on Analysis III 游客，如果您要查看本帖隐藏内容请回复卷4：第18章微分流形上的微分运算之Ⅱ，一、二阶微分方程整体理论初步和微分系统局部理论初步。第19章李群和李代数。第20章主联络和黎曼几何。 Treatise on Analysis IV.djvu (3.22 MB, 下载次数: 198) 2013-5-27 10:35 上传点击文件名下载附件卷5：第21章紧李群和半单李群。 Treatise on Analysis V 游客，如果您要查看本帖隐藏内容请回复卷6：第22章调和分析。 Treatise on Analysis VI.djvu (3.55 MB, 下载次数: 239) 2013-5-27 10:35 上传点击文件名下载附件卷7：第23章线性函数方程之I，伪微分算子。 Treatise on Analysis VII(French).djvu (7.6 MB, 下载次数: 179) 2013-5-27 10:35 上传点击文件名下载附件卷8：第23章(续)线性函数方程之Ⅱ，边值问题。 Treatise on Analysis VIII.djvu (4.37 MB, 下载次数: 299) 2013-5-27 10:34 上传点击文件名下载附件卷9：第24章代数拓扑和微分拓扑初步。 Treatise on Analysis IX(French) 游客，如果您要查看本帖隐藏内容请回复本书注重广度，在尽可能少的基础知识上，深入浅出地介绍了现代分析的各个分支最基本、最中心的内容。是一奉有志于现代分析不同分支的研究者．为进入专题科研而奠定广泛基础的系统性读物。五。 Rolf Walter Einführung in die Analysis V1-V3 (De Gruyter Lehrbuch). This textbook covers basic themes such as sequences, convergence, metric spaces, complex numbers as well as differentiability and integral calculus of functions of one variable. It contains several exercises and graphic illustrations.Analysis 2 first covers the differentiability of functions of several variables and important applications for instance problems of minimization. Also the term of integration of functions with several variables based on the Lebesgue Integral is discussed in detail. It includes then supplementary chapters on Lebesgue spaces and the basics of topology as well as several exercises and graphic illustrations.This textbook for the basic lecture course of the same name deals with selected topics of multidimensional analysis. It is also an introduction to the theory of ordinary differential equations and the Fourier theory, of importance in the application of image processing and acoustics. 德文版本，下载链接 http://www.mathsccnu.com/forum.php?mod=viewthreadtid=362page=1extra=#pid863 六。本系列书一共有3卷,剑桥大学教龄50多年的教授 Garling 写的数学分析教材，囊括了高等微积分，拓扑学，复变函数，测度论等等分析内容，第2,3卷陆续出版。 A Course in Mathematical Analysis: Volume 1, Foundations and Elementary Real Analysis A Course in Mathematical Analysis. Volume 2, Metric and Topological Spaces, Functions of a Vector Variable. A Course in Mathematical Analysis. Volume 3: Complex Analysis, Measure and Integration 电子版，可见 http://www.mathsccnu.com/forum.php?mod=viewthreadtid=1476 七。此外，斯米尔诺夫的《高等数学教程》5卷11册（英文版为5卷6册）也是绝对经典。斯米尔诺夫是唯一一个因为写一套教材而得到斯大林奖（也就是后来的苏联国家科学奖）的数学家。八。类似上述7套书，华罗庚先生的《高等数学引论》也是这样模式的书。写这本书的原因是华罗庚要为中国科学技术大学应用数学系的学生授课，在他的弟子王元协助下所写成的一份讲义。由于华罗庚采取其独特“一条龙”的教学方式，原先高等数学引论这本书有相当多内容，从大一微积分（数学分析）至矩阵分析等，但在此书完成不久后的大动乱中，华罗庚遗失了许多该书书稿，因此最后仅出版了两卷。 •第一卷第一分册：数学分析导引（上），内容为微积分大一上内容。 •第一卷第二分册：数学分析导引（下），内容为微积分大一下内容。 •第二卷第一分册：复变量函数论。 •第二卷余篇：代数矩阵论，内容大致与现今线性代数教本内容差不多。游客，如果您要查看本帖隐藏内容请回复高等数学引论在两岸都有出版，在中国大陆是由科学出版社出版简体字版；而在台湾则是由凡异出版社出版繁体字版，但书名并不为高等数学引论，而是分四本：数学分析导引（上）、数学分析导引（下）、复变量函数论、高等数学分析。目前该书在中国大陆的使用（做教材）并不普遍，因为各大学大都有自己编的数学分析教本或采用名校所编的教本（如科大常庚哲史济怀的数学分析、徐森林的数学分析，北大张筑生的数学分析、陈天权的数学分析讲义，复旦大学欧阳光中的数学分析，华东师范大学数学系的数学分析）。至于在台湾，国立清华大学数学系大一微积分课程采用高等数学引论第一卷（繁体字版）做为课本，是该校各系微积分课程唯一采用的中文教本。而国立交通大学使用的数学分析教程是Rudin的数学分析原理，网上有教学是视频（国立交通大学开放课程 http://www.mathsccnu.com/forum.php?mod=viewthreadtid=566 ） 2009年为华罗庚华诞一百周年,高等教育出版社重新出版此四册书,并经由其高徒-中国科学院院士王元细密修订.; 13 次阅读|0 个评论

分享畅游一下分析数学（泛函分析,调和分析,复分析,随机分析,PDE,几何分析）by张凯军教授: hylpy1 2016-8-28 10:47; 据说最新高考改革方案中的数学考试占有重要份额，由此联想到为什么"社会这样喜爱数学"这个教育问题。既然数学被民众"重视"到了如此地步，索性就让大家看看高深数学王国中一些一线城市的风貌。只要大胆和坚持，保证会有点滴收获。面对数学的峦峰，其实所有的数学人都是数学努力进程中的无穷小量。对那些让我们崇拜与尊敬的伟大数学家们而言，当对比广博的数学同仁时，他们才是数学努力进程中的无穷大量。要想成为数学的无穷大量型人才，第一件事就是在心理上必须解除任何的“名人未解、自己无望”的悲观研究心理障碍，使得自身处于完全无约束的能量自由勃发状态，然后才可能真实地验证出自己的数学价值。非数学人士其实可以类似地打开自己数学心扉和挖掘数学潜能。在数学成才教育中，学生自身的潜能、兴趣、能力、志向、毅力、勤勉与自信等微观元素的宏观合成是至关重要的数学教育成才技术。在数学教育心理学洗礼之后, 广大数学爱好者非数学符号地进入现代核心分析数学的海洋中畅游, 不失之为一条快速提高数学素养的捷径。　　撰写本文的动力是教育成才理念的鼓舞，而非作者学识之因。泛函分析，调和分析，复分析，随机分析，偏微分方程和大范围分析等核心分析数学学科的知识宝库足以让代代数学人追求永远，因而个人之力就是个微重力而已。数学的雄峰虽难以撼动，但通过教育的望远镜却可以领略其几何的教育外貌，这也许正是本文的微小作为之处。 (一) 泛函分析　　泛函分析是现代分析数学的重要分支之一，其深远的理论体系和广泛的应用价值已经对现代分析数学，乃至现代科学技术领域都产生了重大影响。大学本科阶段的泛函分析课程主要以线性泛函分析中的赋范线性空间及其上的有界线性算子理论等一些最基本内容为主。研究生阶段的线性泛函分析主要介绍紧算子与Fredholm算子、Banach代数、无界线性算子、线性算子半群、广义函数、Hilbert-Schmidt算子与迹类算子等内容。研究生阶段的非线性泛函分析课程一般简要讲授Banach空间上的微积分学、隐函数定理与分歧问题、拓扑度、单调算子以及变分方法等基本内容。泛函分析的主要研究方向为: 线性算子谱理论、函数空间、Banach空间几何学、算子代数、非交换几何、应用泛函分析以及非线性泛函分析的相关研究方向等。　　泛函分析是经过数学分析、高等代数和空间解析几何的“升空式洗礼”，而从“地上”到“天上”的一个数学抽象推广过程。有限维空间的几何理论以及从有限维空间到有限维空间的映射理论是大学数学专业一二年级的主要学习内容。若只考虑线性映射的运算性质，那就是线性代数。若考虑非线性映射的连续性与光滑性，那就是微积分。若把有限维空间的距离概念推广到无限维空间，再考虑相应的线性映射与非线性映射的连续性以及光滑性，那么就自然而然地走到了泛函分析的疆界。数学分析，高等代数和解析几何的很多结论在泛函分析层面上都有相应的推广结论。注意到这一点之后，又可以从“天上”回到“地上”了。把有限维换成无限维，以及欧式度量换成抽象度量，想法还是一样的想法，但现象却是作为拓扑、代数、几何与分析的融合体的泛函分析了。分析、代数、几何与拓扑的数学思想方法的交融是泛函分析发展壮大的力量之源。泛函分析已经成为现代分析数学的必要工具之一。　　Fields 奖获得者J. Bourgain，A.Connes，W. Timothy Gowers，A. Grothendieck, L. Schwartz 及Wolf奖获得者I. M. Gelfand，M. G. Krein等著名数学家在泛函分析领域都做出了巨大成就。　　泛函分析的参考书目推荐如下：（1）M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, I – IV, 1970’s。（2）K. Yosida, Functional Analysis, 1980。（3）J. Barros-Neto, An Introduction to the Theory of Distributions,1981。（4）张恭庆，林源渠，泛函分析讲义，上册，1987。（5）张恭庆，郭懋正，泛函分析讲义，下册，1990。（6）W. Rudin，Functional Analysis，1991。（7）Alan Connes，Noncommutative geometry，1994。（8）P. Lax, Functional Analysis，2002。（9）Kung- Ching Chang，Methods in Nonlinear Analysis，2005。 (二) 调和分析　　调和分析是现代分析数学的核心领域之一，其辉煌的成就让一代代分析学家为之倾倒与奋斗。按照华罗庚先生的说法，把已知函数展开成Fourier级数的运算就叫做调和分析。事实上，调和分析也正是从Fourier级数和Fourier变换理论的研究开始发展壮大的。从物理的观点，调和分析就是要把信号表示为基本波“调和子”的超位置叠加。几个世纪以来，调和分析已经形成了庞大的学科体系，并在数学、信息处理和量子力学等领域有着重要和深刻的应用。　　从应用角度来说，有效确定Fourier级数问题的运算称为实用调和分析。有限调和分析是实用调和分析的主体框架，即从有限个数据所应计算的最恰当的项数的角度，从有限到有限的思想方法来解决实际问题的Fourier方法是有限调和分析的应用价值所在。再从物理的角度，人们可以发现量子力学中的测不准关系有着调和分析版的解释，即 Paley – Wiener 定理所描述的非零紧支集广义函数的Fourier变换没有紧支集。　　抽象调和分析是调和分析更深入的现代数学分支，即研究拓扑群上的调和分析理论，特别是Fourier变换理论。Abel紧群的Ponteyagin对偶理论是调和分析特征在现代数学处理中的合适写照。对一般的非Abel局部紧群来说，调和分析是与酉群的表示论密切相关的。经典卷积的Fourier变换是Fourier变换的乘积的性质可以通过对紧群的Peter-Weyl 定理有所升华体现。当群既非Abel又非紧群时，一般的抽象调和分析理论还不是很完善。例如，是否此时存在Plancherel定理的类似物还不知道。但是在许多特殊情况下，通过无穷维表示技术是可以分析一定的相关问题的。　　下面主要对上的调和分析内容进行简要的描述，以便对调和分析方向的研究与学习有一点点便利。　　覆盖技术、极大算子、Calderón–Zygmund分解、内插技术和奇异积分算子是现代调和分析的基本内容。覆盖技术不仅是测度论的重要工具，也是调和分析的主要方法之一。Hardy–Littlewood 极大算子理论的建立与覆盖技术息息相关。上的H.- L极大算子理论主要体现了一类非线性算子的-有界性理论，并且可以解决很多现代分析的重要问题。Calderón–Zygmund分解技术是研究奇异积分的实变量分析的关键方法，即把任意的可积函数拆分成“小部分”和“大部分”的和，然后用不同的技术分别处理各个部分是其思想精华所在。奇异积分算子是由带有奇异性的积分核所产生的。奇异积分算子的-有界性问题是重要的研究问题之一。奇异积分算子的理论目前已经很是丰富了。　　从Fourier级数和Fourier变换的经典Fourie分析到Hardy–Littlewood 极大算子和奇异积分算子等理论，可以认为是调和分析的一次飞跃。调和分析的另外一次重大飞跃应该是-空间（Hardy空间）、有界平均振荡函数的BMO空间和-权理论的建立与完善。笔者认为：调和分析的最后一次飞跃也许是调和分析方法在分析学科的世界级数学猜想的解决方面的有效实践问题。　　Hardy空间的研究起源于Fourier级数和单复变量分析，至今已经有丰富的内涵，特别是高维实方法的介入，使得-空间理论有了本质性的现代发展。有界平均振荡函数的BMO空间，也称为John- Nirenberg空间，是在分析大师F. John和L. Nirenberg首次研究了该空间的拓扑性质的基础上而给出精确定义的。-空间，BMO空间和-权理论是现代调和分析的三大发明。C. Fefferman获得Fields奖的主要工作就是，在L. Nirenberg工作的基础上，发现了BMO空间是-空间的对偶空间。BMO空间在分析数学的众多领域和概率秧论中都有重要的应用。在BMO空间基础上，L. Nirenberg与H. Brezis合作，还发现了作为BMO空间的子空间的VMO空间（消失平均振荡空间），特别是将拓扑度理论推广到属于VMO空间的映射结果使得拓扑学家为之惊叹。-权理论在奇异积分算子有界性研究中有着重要作用。R. R. Coifman 和 C. Fefferman 对-权理论的建立做出了重要贡献。　　我国世界级数学家华罗庚先生在经典调和分析领域取得了世界领先成果。他的名著《多复变函数论中典型域上的调和分析》曾获得首届国家自然科学奖一等奖。北京大学的调和分析学派为中国调和分析方向的人才培养做出了巨大贡献。　　获得过Wolf奖和 Fields奖的调和分析名家有A. P. Calderón，C. Fefferman，E. M. Stein，T. Tao等。　　关于调和分析的数学著作推荐如下：（1）E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, 1970。（2）E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, 1971。（3）E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, 1993。 (三) 复分析　　在代数与分析学科中，复数域都是重要的基本数学沃土。复变函数的微积分理论就是经典复分析的主要内容之一。在复数土壤上的微积分，除了继承传统，当然也必定会出现新的天地，例如，Cauchy积分理论，Weierstrass 级数理论和复Riemann几何理论等就是复数域上的特有理论。在大学的复变函数论课程中，作为双射解析映射的共形映射理论应该是课程的亮点部分之一。解析映射的无穷次可微性、非临界点处的局部保角性，以及非常值映射的开集映成开集的开映射性质等都是解析映射的本质性性质。解析映射的实部与虚部所对应的Cauchy-Riemann方程更是深入推广解析映射理论的偏微分方程出发点。大学本科的复变函数内容已经在除了数学之外的工程技术、电子工程和航天工程等领域产生了重要应用。　　复分析可以分成单个复变量函数论，多个复变量函数论，以及复流形上的分析理论等三个重要部分。自从19世纪左右单复变产生以来，单个复变量函数论的理论已经十分完善。随之发展的多个复变量函数论理论已经成为现代主流分析数学领域之一。研究生阶段的单复变复分析内容主要包括Riemann映射定理、共形映射的边界对应定理、单值性定理、广义Schwarz引理、共形不变量（共形模与极值长度）、拟共形映射、Riemann曲面、Riemann-Roch定理、单值化定理以及复变函数逼近论等重要内容。鉴于单复变理论的日臻完善，该领域的研究趋势正在向复动力系统方向纵深发展。研究生阶段的多复变课程主要是在经典多复变与现代多复变两个方面加以介绍。前者是单复变理论的高维复空间推广理论：高维复空间中的代数域及其上的多复变函数论，而后者是复流形上的相应函数论理论。多复变课程难度更大，因而学生队伍一般较小。多复变函数论作为单复变函数论的推广理论，也同样面对继承与发扬的根本性问题。多复变有别于单复变的两个基本定理是“不存在双全纯映射将高维复空间中的单位超球映为同一空间中的多圆柱体”的Poincaré定理，以及“高维复空间中存在如此的区域使得在此区域上的全纯函数一定可以全纯延拓到更大的区域之上”的Hartoge定理。Poincaré定理表明在维数大于或等于2时单复变的Riemann映射定理不再成立。Hartoge定理产生了高维复空间中函数论研究的合适区域判别问题。复流形上的函数论、上同调、微分形式、Cauvhy积分以及Dolbeault 和de Rham的基本定理等内容是现代多复变的核心内容之一。　　我国数学家在单复变与多复变领域都取得了世界先进水平的研究成果。例如，我国熊庆来学派的数学家在单复变亚纯函数的值分布论领域做出了世界级的研究成果。华罗庚学派的数学家在多复变函数论中典型域上的调和分析、典型域、典型流形、积分表示与边值问题、Schwarz引理、拟凸域等诸多方向都取得了世界领先成果。　　Fields 奖与Wolf奖获得者中的著名数学家L. V. Ahlfors，L. Carleon，H. Cartan，Kodaira Kunihiko，J. P. Serre，C. L. Siege，S. K. Smirnov等都在复分析领域取得了杰出成就。　　关于复分析的入门数学著作推荐如下：（1） W. Rudin, Real and Complex Analysis,1966。（2） H. Grauer, K. Fritzsche, Several Complex Variables,1976。（3） L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 1979。（4）龚昇, 简明复分析，1996。（5）李忠，复分析导引，2004。　　　　　 (四) 随机分析　　随机分析是概率论分析数学深入发展的现代数学分支。在随机过程理论基石的基础上，渗透拓扑、代数、几何、分析等核心数学的思想方法，交融于实际与应用问题的背景之下，随机分析已然成为当今世界主流数学分支俱乐部的重要成员。我国数学家的随机分析水平已经步入世界先进行列，在国际数学家大会上已经应邀做一小时报告和四十五分钟报告。我国的随机数学研究队伍也以中国科学院和一些著名大学的随机数学学派驰名于世界。　　随机数学的两个基本细胞应该是测度论与随机性。随机性是自然界中普遍存在的客观现象，测度论是分析数学的重要数学结构。用数学模型的观点看世界是数学家博大奉献胸怀的基本写照，如随机数学的应用内涵所在一样。仅从数学角度看随机数学，那么真的不必非要提及随机二字，只要研究测度论的发展就可以了。全有限测度空间上的微积分理论，或者分析理论，其实就是随机分析学者的日常工作。当然，以两种不同的观点来看待测度论意义下的可测函数族，在思想方法上会对两种不同的研究发展带来本质的区别。例如，把可测函数族视为随机变量族的随机过程的轨道空间思想，对随机数学的发展是至关重要的。　　常微分方程模型刻画的光滑向量场轨道与随机（常）微分方程模型刻画的随机次光滑轨道对实际问题的接近度往往是后者更佳。于是，随机微分和随机积分的概念就是最为关键的学科创建因素了。Wolf奖获得者K. Ito对布朗运动定义的随机积分概念，以及随之发现的Ito积分公式，使得随机分析成为分析数学文库中的美丽诗篇。布朗运动样本轨道函数的连续，但几乎处处非有界变差和处处不可微的性质使得通常的Riemann-Stieltjes积分和Lebesgue- Stieltjes积分按样本轨道函数无法定义，因为Riemann-Stieltjes积分定义中的Darboux和不以概率1收敛。但是，前述Darboux和可以在均方意义下收敛。也正是这一点激发了Ito积分的创建灵感和确立了Ito积分的独立地位。注意到随机过程的样本轨道的不光滑特点，后继的很多随机数学分支，如随机微分几何等都由此得到了数学的独立地位。本科阶段的随机分析课程多数是以随机微分方程课程的形式出现的，并且主要讲授Brown运动和白噪声的基本性质，随机积分与Ito公式，随机微分方程的可解性等基本内容。对不同类型的随机过程可以在适当意义下定义相应的随机积分的事实也常常加以简述。研究生阶段的随机分析课程是可以“天高任鸟飞，海阔凭鱼跃”的。倒向随机微分方程，狄氏型理论，大偏差理论，无穷维随机分析，拟似然分析，自由概率论，随机偏微分方程，随机动力系统，随机微分几何等等都是研究生随机分析课程的有益食材。当然，这一阶段的随机分析已经步入综合核心数学的家园，已经不是只了解与掌握测度论就行那样简单的事情了。数学的真正魅力所在，其实就是大一统的数学价值观，随机分析的高深境界也不例外。　　关于随机分析的数学著作推荐如下：（1）A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.1,1975。（2）A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.2,1976。（3）I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 1991。　（4）P. Malliavin, Stochastic Analysis, 1997。　（5）黄志远，随机分析学基础（第二版），科学出版社，2001。　 (五) 偏微分方程　　偏微分方程可以顾名思义地理解为含有未知函数及其若干偏导数的数量关系式。未知函数就是人类对神秘未知的自然界现象的目标数学模型函数。导数就是目标函数随着时间变化的变化快慢程度。偏导数就是自然界中影响因素的多元化而导致的对其中的部分因素的变化率刻画。从因果关系出发，偏微分方程可以被认为是自然界一切因果现象的数学模型，于是乎其数学之外的应用价值的巨大程度是可想而知的。　　偏微分方程在数学王国内的地位也是富贵有加的。美国麻州的Clay数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件轰动媒体的大事：对以下七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元寻求解答：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨- 米尔斯理论、Navier –Stokes 方程、BSD猜想。这七个世界级的数学难题中，至少有两个半问题是与偏微分方程有关的。此外，中国科学院数学物理学部的所有院士中，至少有四分之三的院士熟悉偏微分方程，而且所有数学院士中有近一半院士的数学研究工作与偏微分方程有关。偏微分方程的吸引力之所以如此之大，其中一个主要的原因就是偏微分方程的理论价值与应用价值皆为“无穷大”。如果把整个数学比喻为宇宙，地球被比喻为数学外的应用领域和数学内的分析数学，地球外（包括大气层）的宇宙部分被比喻为核心数学，那么偏微分方程就是可以自由往返于地球和外部空间的“空天航天器”。千年数学难题中的庞加莱猜想最近已经被解决，而这一看似与偏微分方程知识无关的拓扑问题却被借用偏微分方程的理论和思想方法所解决。从硬分析到软分析，再到现代分析，甚至是其它核心数学领域，偏微分方程的身影几乎处处存在。　　我国数学家的偏微分方程研究水平已经达到世界级水平，以中国科学院和一些著名大学的偏微分方程学派为主的科研成果早已在世界一流数学杂志上频频出现，并且中国偏微分方程团队与世界级的众多国际偏微分方程团队的学术交流与影响已经处于互利双赢的境界。　　偏微分方程可以分为线性与非线性的，也可以分为一阶方程，二阶方程和高阶方程，或者椭圆型、抛物型、双曲型等等。每一种情形都有庞大的理论体系和研究成果。与常微分方程不同，绝大多数的偏微分方程不能求出通解或解的解析表达式，甚至是线性方程也可以没有解。同时物理与工程技术的问题也需要把方程与定解条件（初值条件、边界条件等）来一起考虑。所以，定解问题是偏微分方程的主要研究对象，当然极少数的非线性偏微分方程也还是有精确解的表达式的。　　大学本科阶段的偏微分方程课程主要讲授线性的一阶方程和二阶方程，特别是相应方程定解问题的适定性：解的存在性、唯一性与稳定性，其中存在性部分多数限于具体的解法。研究生阶段的偏微分方程课程主要研究解的定性理论和不同意义下解的适定性问题。首选的讲授内容就是广义函数、Sobolev空间、泛函分析高级课程和偏微分方程的现代方法。偏微分方程领域有四大法宝：微局部分析理论、先验估计技术、调和分析方法与弱收敛方法。微局部分析理论起源于一般线性偏微分方程的研究，善用诸如广义函数的波前集，拟微分算子，Fourier积分算子，仿微分算子、超函数等一些现代分析数学工具。在非线性偏微分方程的最新研究中，也已经发现了微局部分析的应用。先验估计是假设解存在的前提下所建立的解的有效信息估计，其主要在解决解的存在性问题时至关重要，特别是对非线性偏微分方程的研究更加弥足珍贵。最为有名的先验估计当属二阶椭圆型与抛物型方程的Schauder估计、-估计，De Georgi-Nash估计，与Krylov-Safanov估计等。对于一般的非线性偏微分方程而言，对解本身及其各阶导数的可能范数模估计是非常本质性的可解性因素。调和分析方法与弱收敛方法在一些著名偏微分方程的研究中已经显示了勃勃生机。　　Fields 奖与Wolf奖获得者中的著名数学家J. Bourgain，De Giorgi，L.V. H?rmander，P. D. Lax，J. Leray，H. Lewy，P. L. Lions，T. Tao，C. Villani等对偏微分方程的研究都做出了杰出贡献。　　关于偏微分方程的数学著作推荐如下： (1) A. Friedman, Partial Differential Equations, 1969。 (2) J. Smoller, Shock Waves and Reaction –Diffusion Equations, 1983。 (3) L.C.Evans, Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations, 1990。 (4) M. Taylor, Partial Differential Equations, Vol. 1-3, 1996。 (5) L.C. Evans, Partial Differential Equations, 1998。 (6) 苗长兴、张波，偏微分方程的调和分析方法，2008。 (六) 大范围分析　　　　　　　　　数学分析、高等代数与空间解析几何被视为现代数学基础的“第一高”，而泛函分析、一般拓扑和抽象代数被认为是“第二高”。现代数学基础的“第三高”就是微分流形。作为现代核心数学大家园之一的大范围分析学（也称为流形上的分析）就是在这“第三高”的基础上，融合拓扑、代数与几何的思想方法而形成的高级分析数学领域。　　微分流形是一个具有“微积分结构”的Hausdorff 拓扑空间，其包含了“第一高”中通常的规范曲线、曲面和区域等几何对象为特殊例子。微分流形就是为了微积分而生的说法并不过分。在微分流形的舞台上，可以考虑拓扑问题（微分拓扑），几何问题（微分几何）和分析问题（大范围分析），并自由与充分地运用代数、几何、拓扑和分析的方法与理论来研究相应的深刻数学问题。假设武术“奥妙同构”于数学，并且武术的“第一高”，“第二高” 和“第三高”分别是“地上的腾、挪、跳、跃”，“ 梅花桩上的腾、挪、跳、跃”和“空中的腾、挪、跳、跃”，那么微分流形上的现代数学理论就相当于武术的“第三高”。由此可以看出，大范围分析学在现代核心数学中的基本重要性了。　　大范围分析学课程主要讲授流形与流形间的映射、流形的嵌入与浸入性质、临界值与横截性、Sard定理、切丛与向量丛、流形上的微积分、流形上的微分算子、无穷维流形、Morse理论及应用、Lie群、动力系统、奇点理论与几何分析等重要内容。应该说明的一点就是代数拓扑知识对学习大范围分析学的重要意义。　　北京大学非线性分析学派的数学家在无穷维Morse理论及应用方面取得了世界先进水平的重要研究成果。　　下面关于动力系统和几何分析两个方向进行简要介绍。　　动力系统起源于经典力学的数学模型。经过常微分方程和偏微分方程分别刻画的有限维与无限维系统的演化，再到抽象的拓扑动力系统和随机动力系统，动力系统已经在现代核心数学领域确定了应有的重要地位。非线性泛函分析中的非线性半群概念就是一个动力系统概念。代数运算的半群性质是刻画动力系统的主要数学结构。动力系统作为抽象系统的定性研究，其主要特征是包含拓扑式，或遍历式的整体性研究。哈密尔顿系统的微扰理论、Kolmogorov系统的遍历理论以及KAM定理等等都是动力系统理论中的亮点性结果。J. H. Poincaré开创的常微分方程定性理论，诸如稳定性、轨道周期性与回归性等研究方法是动力系统学科研究的思想方法基础。基于G. D.Birkhoff三体问题遍历性定理的研究，而最终发现的描述哈密尔顿系统解的稳定性的KAM理论是动力系统理论的里程碑式的工作之一。在无穷维的偏微分方程系统中，KAM理论也得到了深入研究。　　在通常的动力系统课程中，主要讲授以下一些基本内容：非线性微分方程系统的混沌吸引子、映射迭代与不变集、分形、拓扑动力系统，结构稳定性，Hartman定理，稳定流形定理，双曲集，Markov分割等。　　我国北京大学动力系统学派，以及其它一些著名大学与研究机构的数学家在动力系统领域取得了具有世界水平的开创性工作。Fields奖与Wolf奖获得者中的V. I. Arnold，A. N. Kolmogorov，Elon Lindenstrauss，C. T. Mcmullen，J. K. Moser， S.P. Novikov，Y. Sinai，J. C. Yoccoz等著名数学家在动力系统领域做出了巨大贡献。　　几何分析是大范围分析的重要分支，以几何问题的分析方法与分析问题的几何背景之交融研究而著称于数学界。特别是几何分析领域的一系列辉煌成就使得几何分析拥有了已经独立于大范围分析的特殊学术地位。世界著名华裔数学家、Fields奖及Wolf奖获得者丘成桐教授的研究工作奠定了几何分析的根基性学术地位，而且为偏微分方程方法应用于拓扑与几何的世界级猜想问题的解决开辟了先河。“千年数学难题”百万美元征解七大问题之一的庞加莱猜想的解决就归功于几何分析的无限力量。　　庞加莱猜想是法国数学家庞加莱于二十世纪初提出的著名拓扑学问题：如果一个封闭空间中所有的封闭曲线都可以收缩成一点，那么这个封闭空间一定是一个三维的圆球。鉴于俄罗斯数学家佩雷尔曼对解决庞加莱猜想的巨大贡献，2006年国际数学家大会把数学最高奖Fields奖授予了佩雷尔曼，但是却遭遇了拒绝接受的尴尬状况。在近百年的拓扑学方法无望于解决三维庞加莱猜想之际，Fields奖获得者瑟斯顿（Thurston）当时引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，使得庞加莱猜想的解决出现了希望的曙光。后来美国数学家理查德?汉密尔顿，受到丘成桐用非线性偏微分方程方法解决卡拉比猜想工作的启发，运用以意大利数学家里奇（Gregorio Ricci）命名的Ricci流方程，对三维流形进行构造几何结构的拓扑手术，使得解决三维庞加莱猜想的进程更加本质性地迈进。在接近解决庞加莱猜想的近距离时刻，Ricci流进行空间变换时出现的奇点这一解决庞加莱猜想的重大障碍出现了。在关键时刻，俄罗斯数学家佩雷尔曼凌空出世，以八年独门功力，用三篇非正式期刊论文的方式，一举撼动百年难题庞加莱猜想，随之世界一流的相关数学家“众人捧材”，以至于彻底宣布庞加莱猜想被正式解决。显而易见，解决百年难题庞加莱猜想的科学意义是无比重大的。几何分析方法也由此无比荣耀。　　中国几何分析数学家们的研究工作和研究队伍都在国际同行中产生了积极影响。关于大范围分析的数学著作推荐如下： (1) D. W. Kahn, Introduction to Global Analysis, 1980。 (2) 张锦炎、钱敏，微分动力系统导引，1991。 (3) R.Clark Robinson, An Introduction to Dynamical System:Continuous and Discrete, 2004。 (4) R.Schoen and S.-T. Yau, Lectures on Differential Geometry, 1994。 (5) D. W. Stroock, An Introduction to the Analysis of Paths on a Riemannian Manifold, 2000。本文引用地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-865263-787703.html; 6 次阅读|0 个评论

分享数学（数学分析、高等代数、高等几何）有什么用处？: hylpy1 2016-8-28 10:43; 高等数学有什么用？很多人问过我这个问题。其实大多数人在问这个问题的时候，心里已经预设了否定的答案。确实，对于大多数人来说，已经发展到了连数字都基本很少用了的一些高等数学分支，是过于虚无飘渺了。但是实际上，今天我们的生活已经完全离不开数学。甚至可以这么说，没有高等数学的发展，就不会有今天的现代社会。也许很多人会怀疑这点，那么我就来稍微介绍一下现在高等数学的各主要学科的“用处”。中学数学就不说了，这在数学家眼里都是算术。一些如概率统计、离散数学、运筹学、控制论等纯粹就是为了应用而发展起来的分支也不说了，重点介绍基础方面的。数学分析：主要包括微积分和级数理论。微积分是高等数学的基础，应用范围非常广，基本上涉及到函数的领域都需要微积分的知识。级数中，傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等，电子产品的制造离不开它。实变函数（实分析）：数学分析的加强版之一。主要应用于经济学等注重数据分析的领域。复变函数（复分析）：数学分析加强版之二。应用很广的一门学科，在航空力学、流体力学、固体力学、信息工程、电气工程等领域都有广泛的应用，所以工科学生都要学这门课的。高等代数，主要包括线形代数和多项式理论。线形代数可以说是目前应用很广泛的数学分支，数据结构、程序算法、机械设计、电子电路、电子信号、自动控制、经济分析、管理科学、医学、会计等都需要用到线形代数的知识，是目前经管、理工、计算机专业学生的必修课程。高等几何：包括空间解析几何、射影几何、球面几何等，主要应用在建筑设计、工程制图方面。分析学、高等代数、高等几何是近代数学的三大支柱。微分方程：包括常微分方程和偏微分方程，重要工具之一。流体力学、超导技术、量子力学、数理金融中的稳定性分析、材料科学、模式识别、信号(图像)处理、工业控制、输配电、遥感测控、传染病分析、天气预报等领域都需要它。泛函分析：主要研究无限维空间上的函数。因为比较抽象，在技术上的直接应用不多，一般应用于连续介质力学、量子物理、计算数学、无穷维商品空间、控制论、最优化理论等理论。近世代数（抽象代数）：主要研究各种公理化抽象代数系统的。技术上没有应用，物理、计算机上用得比较多，尤其是其中的群论、编码理论。拓扑学：研究集合在连续变换下的不变性。在自然科学中应用较多，如物理学的液晶结构缺陷的分类、化学的分子拓扑构形、生物学的DNA的环绕和拓扑异构酶等，此外在经济学中的博弈论也有很重要的应用。泛函分析、近世代数、拓扑学是现代数学三大热门分支。非欧几何：主要应用在物理上，最著名的是相对论。数论：曾经被认为是数学家的游戏、唯一不会有什么应用价值的分支。著名的哥德巴赫猜想就是数论里的。现在随着网络加密技术的发展，数论也找到了自己用武之地—— 密码学。前几年破解MD5码的王小云就是数论出身。到目前为止，数学的所有一级分支都已经找到了应用领域，从自然科学、社会科学、工程技术到信息技术，数学的影响无处不在。如果没有高等数学在二十世纪的发展，我们平时所玩的电脑、上的网络、听的mp3、用的手机都不可能存在。当然，一般的普通大众是没必要了结这些艰深抽象的东西，但是它们的存在和发展却是必需的，总要有一些人去研究这些。数学，就是算术，小学直接面对数字，计算，1+1=2之类的东东，初中有了代数和方程，实际上就是用一个字母来代表一个数，这个数的具体值可以是未知的。到了高中，主要研究未知数的对应变化关系，即函数。到了大学，更进一步，研究函数值的变化规律，比如导数就是函数的变化率。最后泛函就是研究不同函数之间的变化关系了。数学是从具体到抽象，再抽象的过程。从自然数到有理数，从有理数到实数，从实数到集合，从集合到群，从群到拓扑，从拓扑到流形。从点到线，从线到面积，从面积到积分，从积分到实变函数和泛函分析。肉长的人脑能想到的东西也就这点了。只要你有时间，努力去学，都能看懂，必竟数学家也是人，人脑是肉长的。数学家们拥有的天赋是他们的脑袋能快速深刻理解这些概念，并能够基于这些做出开创性的工作。最难的还是数论，一个哥德巴赫猜想，整了三百年，没人想出来怎么证。搞数论，人脑估计不够用了。不过，对于大多数数学家来说，研究数学的目的就是为了好玩。这种心情和宅男们对dota,galgame的感情在本质上是没有什么不同的。所谓数学的“用处”，或者说那些应用数学，例如概率统计，不过是一个副产品罢了。这些副产品在大数学家的眼里都算不上什么纯数学。转自 http://www.mathsccnu.com/forum.php?mod=viewthreadtid=245extra=page%3D1; 6 次阅读|0 个评论

分享大学数学新生入门学习数学方法导引: hylpy1 2016-8-28 10:39; 大学数学新生入门学习数学方法导引 by Ph.D.王小龙我想大家都有这样的体会：小学的时候你根本不知道初中数学是什么样，高中的时候你也根本想不到大学数学是什么样。而大学生，如果你不专注于数学，恐怕也不知道现代数学是什么模样。下面将分别从学数学的动机、数学不同学科的分类以及如何切实可行培养数学能力等几个方面阐述如何学习数学。进入正题，如何学好数学一、认清你的需要为什么需要学习数学，这是你首先需要想清楚的问题。数学学科子分类多、每一本数学书中都有许多定理和结论，需要花大量时间研究。而人的时间是宝贵的、有限的，所以你需要大体有一个目标和计划，合理安排时间。 1.1 你的目标是精通数学、钻研数学，以数学谋生，你可能立志掌握代数几何，或者想精通前沿物理。那么你需要打下坚实的现代代数、几何以及分析基础，你需要准备大量时间和精力，拥有坚定不移的决心。（要求：精通全部三级高等数学） 1.2 你的目标是能够熟练运用高等数学，解决问题，掌握探索新应用领域的武器，你可能立志进入计算机视觉领域、经济学领域或数据挖掘领域。那么，你需要打下坚实的矩阵论、微积分以及概率统计基础。（要求：精通第一级高等数学） 1.3 你的目标是想了解数学的乐趣，把学数学作为人生一大业余爱好。那么，你需要打下坚实的线性代数、数学分析、拓扑学以及概率统计基础，对你来说，体会学数学的乐趣是一个更重要的目标。（精通第一级高等数学，在第二级高等数学中畅游，尝试接触第三级高等数学）二、给自己足够的动力学数学需要智力，更需要时间和精力。下面的几个事实相大家都深有体会： 1 . 凡是没有用的东西，或者虽然有用，但是你用不到的东西，学得快忘得也快。不信你回忆一下你大一或者初一的基础课，你还记的清楚吗？ 2 . 凡是你不感兴趣（或者感觉不到乐趣）的东西，你很难坚持完成它。很多人都有这样的经历，一本书，前三章看的很仔细，后面就囫囵吞枣，越看越快，反正既没意思也没用。 3 . 小学数学是中学数学的基础，中学数学是高中数学的基础，高中数学是大学数学的基础（你可以以此类推）。因此，无论你的目标是什么，搞数学、用数学、还是体会数学的乐趣、满足自己从少年时就有的梦想。学有所乐、学有所用，永远是维持你动力不衰退的两个最主要的因素。三、高等数学学什么？好了，来看看标准大学数学的科技树：一级：线性代数（矩阵论），数学分析，近世代数（群环域），分别囊括了了几何、分析和代数的基础理论。别忘了还有概率论（建立在分析之上的一门基础学科）。二级：有了这些基础，接着是基础的基础、抽象和推广：测度论（积分的基础，当然也是概率论的基础），拓扑学（有关集合、空间、几何的一门极度重要的基础学科），泛函分析（线性代数的推广），复变函数（分析的推广），常微分方程与偏微分方程（分析的推广），数理统计和随机过程（概率论的推广），微分几何（分析和几何的结合）。然后是一些小清新和应用学科：数值分析（算法），密码学，图形学，信息论，时间序列，图论等等。三级：再往上是研究生课题，往往是代数、几何和分析要一起上：微分流形、代数几何、随机动力学等等。这个科技树的三级，和小学、初中、高中数学很相似，一层学不精通，下一层看天书。四、如何学习 4.1 适量做题千万千万千万不要狂做题。玩过战略对抗游戏的同学都知道，低级兵造几个就行了，要攒钱出高级兵才能在后期取胜，低级兵不仅攻击力低，还没有好玩的魔法，它们存在的意义在于让你有能力熬到后期。上面列举了那么多课程，你先花5年做完吉米诺维奇六本数学分析习题集，你就30岁了，后面的二级课程还没开始学呢。因此，做一些课后习题，帮助你复习、思考、维持大脑运转就行，要不断地向后学。如果完全学不懂了，返回来做习题帮自己理清头绪。 4.2 了解思想数学的精髓不是做题的数量，而是掌握思想。每一个数学分支都有自己的主线思想和方法论，不同分支也有相互可供对比和借鉴的思维方式。留意它，模仿它，琐碎的知识就串成了一条项链，你也就掌握了一门课。思想并不是读一本教材就能轻易了解的，你要读好几本书，了解一些应用才能体会。举两个例子：微积分的主线有这么几条：认识到微观和宏观是有联系的，微分用来刻画事物如何变化，它把细节放大给你看，而积分用来刻画事物的整体性质；微分和积分有时是描述一个现象的不同方式，这一点你在数学分析书中可能不容易发现，但是如果学点物理，就会发现麦克斯韦方程组同时有等价的微分形式和积分形式；积分变换能够建立不同空间之间的的联系，建立空间和空间边界的联系，这就是Stokes定理：这个公式最迟要在微分流形中你才能一窥全貌。矩阵是空间中线性变换的抽象，线性代数这门课的全部意义在于研究如何表达、化简、分类空间线性变换算子；SVD分解不仅在应用学科用有极为广泛的亮相，也是你理解矩阵的有力工具；矩阵是有限维空间上的线性算子，对"空间"的理解不仅能让你重新认识矩阵，更为泛函分析的学习开了个好头。 4.3 渐进式迂回式学习，对比学习很多时候，只读一本书，可能由于作者在某处思维跳跃了一下，以后你就再也跟不上了。学习数学的一个诀窍，就是你同时拿到好几本国际知名教材，相互对比着看，或者看完一本然后再看同一主题的另一本书，已经熟悉的内容跳过去，如果看不懂了，停下来思考或者做做习题，还是不懂则往后退一退，从能看懂的部分向前推进，当你看的多了，就会发现一个东西出现在很多地方，对它的理解就加深了。举两个例子：外微分这个东西，国内有的数学分析书里可能不介绍，我第一次遇到是在彭家贵的《微分几何》里，觉得这是个方便巧妙的工具；后来读卓里奇的《数学分析》和Rudin的《数学分析原理》，都讲了这个东西，可见在西方外微分是一个基础知识。你要读懂它，可能要首先理解矩阵，明白行列式恰好是空间体积在矩阵的变换下拉伸的倍数，它是一种线性形式。最后，当你读微分流形后，将发现外微分是获得流形上的Stokes定理的工具。点集拓扑学这个东西，搞应用用不到。但是但凡你想往深处学，这一门学科就必须要掌握，因为它提供对诸如开集、紧集、连续、完备等数学基本概念的精准刻画。往后学泛函分析、微分流形，没有这些概念你将寸步难行。首先你要读芒克里斯的旷世名著《拓扑学》，接着在读其他外国人写的书时，或多或少都会接触一些相关概念，你的理解就加深了，比如读Rudin的《泛函分析》，开始就是介绍线性拓扑空间，前面的知识你就能用上了。 4.4 建立不同学科的联系看到一个东西在很多地方用，你对它的理解就加深了，慢慢也就能体会到这个东西的精妙，最后你会发现所有的基础学科相互交织，又在后续应用中相互帮助，切实体会到它们真的很基础，很有用。这是一种体会数学乐趣的途径。 4.5 关注应用学科没有什么比应用更能激发你对新知识、新工具的渴望。找一些感兴趣的应用学科教材，读一读，开阔眼界，为自己的未来积累资源。以下结合自己的专业（计算机视觉）和爱好说说一些优秀的专业书籍：学了微积分，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第一卷》，了解力、热、光、时空的奥秘；学了偏微分方程，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第二卷》，了解电的奥秘；学了矩阵论，可以买一本《计算机视觉中的多视图几何》，了解成像的奥秘，编程进行图像序列的三维重建；学了概率论的同学应该会听说过贝叶斯学派和频率学派，这两个学派的人把战场拉到了机器学习领域，成就了两本经典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《TheElements of Statistical Learning》，读了它们，我被基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解深深折服；读了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己写了一个光线追踪器渲染真实场景，它的基础就是一点点微积分和矩阵...... 高等数学的应用实在是太多了，如果你喜欢编程，自动化、机器人、计算机视觉、模式识别、数据挖掘、图形图像、信息论和密码学......到处都有大量模型供你玩耍，而且只需要一点点高等数学。在这些领域，你可能能发现比数学书更有趣，也更容易找到工作的目标。 4.6 找有趣的书看数学家写的书有时是比较死板的，但是总有一些教材，它们的作者有强烈的欲望想向你展示"这个东西其实很有趣"，"这个东西完全不是你想的那个样子"等等，他们成功了；还有些作者，他们喜欢把一个东西在不同领域的应用，和不同东西在某一领域的应用集中展示给你看。这样的书会提供给你充足的乐趣读下去。典型代表就是国内出版的一套《图灵数学统计学丛书》，这一套书实在是太棒了，比如《线性代数应该这样学》《复分析：可视化方法》《微分方程、动力系统与混沌导论》，个人认为都是学数学必读的经典教材，非常非常有趣。五、多读书，读好书如果只有一句话概括如何培养数学能力，那么就是这一句：多读书，读好书。因此这一步我想单独拿出来多说两句。想必大家都十分精通并能熟练应用小学数学。想读懂代数几何，或者退一步，想读懂信息论基础，你就要挑几本好的基础教材，最好是外国人写的，像掌握小学数学那样掌握它。不要只看一本，找三本不同作者的书，对比着看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，记下来，说不定在另一本书的某个地方就从另一个角度说到了这个东西。如果你以后还要往后学，现在看到的每一个基础定理，以后还会用到。每一本基础书，你今天放弃，明天还要乖乖重头再来。要像读经文一样，交叉阅读对比不同教材内容的异同。 5.1. 推荐教材（其实就是我读过的觉得好的书）：第一级：《线性代数应该这样学》卓里奇《数学分析（两册）》（读英文版吧，不难。有网友说这个还是不太简单，那你可以先看个国内教材，然后回过头来再看这个）复旦大学《概率论》第二级：芒克里斯《拓扑学》图灵丛书的一些分册柯斯特利金《代数学引论》 Vapnik《统计学习理论的本质》 Rudin《数学分析原理》 Rudin《泛函分析》 Gamelin《复分析》彭家贵《微分几何》 Cover《信息论基础》第三级：《微分流行与黎曼几何》《现代几何学，方法与应用》三卷 5.2. 阅读一些科普教材《数学是什么》《高观点下的初等数学》《巴赫、埃舍尔、哥德尔》《e的故事》 5.3. 阅读各个领域最有趣、最活泼、最让你长知识、最重视应用、文笔最易懂的教材和书籍《费恩曼物理学讲义》三册《混沌与分形：科学的新疆界》《微分方程、动力系统与混沌导论》《复分析：可视化方法》最后想说，数学是一个无底洞，会消耗掉你宝贵的青春。一无所知的你可能励志搞懂现代数学，但是多会半途却步，同时剩下的时间又不够精通另一门科学。而且即使你精通纯数学，没有几篇好文章也并不容易找工作。我的建议是在阅读数学的过程中开拓眼界，纯数学和应用数学学科都看看，找到感兴趣、应用广泛、工作好找（来钱）的方向再一猛扎下去成为你的事业。比如数学扎实，编程能力也强的人就很有前途。另外推荐数学（数学分析、高等代数、高等几何）有什么用处？看完后恍然大悟！本科数学专业哪门课最难学？转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自王伟华科学网博客。链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-835061.html; 7 次阅读|0 个评论

分享数学网站集锦: hylpy1 2016-8-27 19:19; http://www.cocw.net/Mathematics/index.htm 麻省理工学院开放式课程网页，很多视频资料 http://webcast.berkeley.edu/courses/index.html http://www.aw.com/ide/index.html 美国Addison Wesley Longman出版公司属下的一个网站，提供了该公司出版的大量微分方程教材的实时模拟实验。对于一些常见的常微分方程，你可以在这个网站看到物理实验的网上模拟和相应动力系统的相图变化。类似这样的网上模拟在美国许多大学甚至中学已经成为多媒体教学的一部分进入课堂，深受学生欢迎。这里的实验包括各种振动模型(二次常微分方程)，生态方程组和混沌模型等。网站的程序是由Java语言编成的，虽然它也在市场上定价出售，但是你可以在网站上免费欣赏所有精彩的动态模拟。 http://math.vanderbilt.edu/mathserv/index.html 美国Vanderbilit大学数学系和商学院联合建立的一个网站。在这个网站上，你可以运行各种微积分和常微分方程的基本运算：你输入所有必要信息后几秒钟内，不管多复杂的运行结果和图象都会马上显示在计算机屏幕上。网站的数学运算功能是建立在著名数学软件Mathematica基础上的，可以说这是一个简单的网上Mathematica计算机器(它并不是一般意义下的计算器，它的功能比计算器强得多)，但是你不需要花天文数字的价钱购买Mathematica，甚至不用懂得 Mathematica的编程方式，所以对于数学或者各种理工科工作者来说，这是一个好极了的工具。它的功能包括定积分和不定积分，微分，极限，因式分解，牛顿法，二维和三维函数绘图，解各类基本常微分方程等等。 http://mathgenealogy.mnsu.edu/ 在一些国家，许多家谱的数据库已经上网，人们可以在网上查到他们的祖宗八代。而数学家常常也把自己的博士导师称为他们的“数学父亲”，这样自然也就有了数学家的家谱。一个可搜索的数学家家谱已经开始在美国明尼苏达州立大学建立起来了，一半以上的美国大学数学系为它的建立提供了它们的博士毕业生的历史资料，现在这一网站已经搜集了历史上48294位数学家的“出生身世”。例如我们如果查一下希尔伯特(David Hilbert)的数学家史，我们可以发现他本人有70个学生，而他的“孙子”，“重孙”等等全加起来到现在为止是5304个。而考究希尔伯特的祖先，我们可以发现很多显赫的名字：克来因(Felix Klein)，李普希兹(Rudorf Lipxxxxz)，迪里赫莱(Gustav Dirichlet)，泊松(Simeon Poisson)，傅里叶(Jean-Baptiste Fourier)，最后追溯到拉格朗日(Joseph Lagrange)。而拉格朗日看来是自学成才的了。目前这里还没有包括任何在中国大学毕业的数学博士资料，希望在不久的将来我们也可以在这里查到这些资料。 ArXiv 数学预印本网库 http://front.math.ucdavis.edu/ http://arxiv.org/ 网络和电子邮件的出现大大改变了人们用传统邮件交换信息的方法，数学论文和书籍的交流方式也因此出现了根本变化。由于今天大多数数学家都使用TEX等计算机排版软件写论文，使用网络和电子邮件传递论文甚至专著都不是困难的事情。同时数学家可以把自己还没正式发表的论文放在自己的网页上，使得同行之间的交流大大加快。一些有心人(在其他数学家准许下)把这些预印本搜集起来，就建立了一个预印本网库。目前这样的网库已经有不少，其中最大的就是这里介绍的设立在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室(Las Alamos National Lab)的ArXiv 数学预印本网库。上面第二个网址是网库总站(也包括物理，非线性科学，计算机科学等的论文预印本)，第一个网址是数学方面的一个界面。目前(截止2001年12月5日)这里收存的最新数学论文已有17180篇，在12月5日这一天就有近二十篇新论文进入了网库。预印本网库是论文电子出版的一种方式，在国际数学界许多人已经开始讨论什么时候所有论文出版发行完全在网上进行-----从互联网的迅猛发展来看，这一天也许已经不远了。数学搜索(澳大利亚悉尼大学数学学院) http://www.maths.usyd.edu.au:8000/MathSearch.html 在网络生活中最常用的工具恐怕就是搜索器了。如果我们想在网上查一查关于某个特定内容的资料，那么一般我们会使用搜索器，打入需要查的关键词，搜索器就会把它所能查到的网站列出来。国内常用的搜索器有网易(netease.com)，搜狐(sohu.com)等等，国际上常用的有Google(google.com)，雅虎(yahoo.com)等等。但是这些搜索器都是一般通用搜索器，而这个澳大利亚悉尼大学数学学院建立的搜索器是专门搜索数学方面材料的。比如说你如果想查某个数学家的信息，但是这个数学家的名字又太普通，那么用一般搜索器查出的结果很可能会有许多不相干的链结，这时你就不妨试试这个数学搜索器。例如你在这个搜索器打入“Hilbert”(著名数学家希尔伯特的英文名)，那么几分钟内你就能找到他的传记，他1900年数学家大会的著名演讲原文，甚至许多以他命名的定理和理论的内容。数学世界 http://mathworld.wolfram.com/ 从国际互联网诞生的那天起，许多人就想把世界上所有网络信息都编在一个目录下------全世界的网上信息尽在掌握之中，这是多么吸引人的想法啊！事实上在互联网的婴儿时代，这是可以做到的，因为当时全世界的网上信息就在有限的几个机器上。在今天网上信息超指数式增长的今天，这恐怕已经比登上火星更困难了，据统计，即使是世界上最全的目录Google(google.com)，雅虎(yahoo.com)等也不过最多列出了全世界不超过百分之二十的网站网页。作为数学工作者，我们也希望能有数学方面的网页目录大全。这个名为数学世界的网站(Eric Weisstein's World of Mathematics)也许是几十个这样网站中较好的一个，目前这个网站属于著名的数学软件公司Wolfram Research(他们的产品是Mathematica)。这个被称为“网络数学百科全书”的网站收录了10,141 条信息，88,200条参考文献(网址或图书杂志)，和几千幅彩色图片，实时动态模拟软件。在这样一个庞大的数学数据库中，可以说每个数学工作者都可以在浏览搜寻中学到新的知识，了解到新的动态吧。美国普林斯顿高等研究院 http://www.ias.edu/ 从二十世纪三十年代起就是数学的一大中心。从他们的网站可以了解研究院的近期活动，还能下载许多名家高手近期演讲的录像和讲稿。另外两个历史悠久的数学中心是瑞典的米塔戈莱夫勒数学研究所 ( http://www.ml.kva.se/ )和法国的高等科学研究院 ( http://www.ihes.fr/ )。从八十年代初期，欧美各国相继建立了一批新的数学中心。其中较早的是陈省身教授等创立的美国伯克利数学科学研究所 ( http://www.msri.org/ )。读者可以在这一网站上看到几乎所有近年来的数学演讲录像，还可以下载所有研究报告的预印本。稍后建立的有美国明尼苏达数学及其应用研究所( http://www.ima.umn.edu/ )，英国剑桥牛顿数学科学研究所( http://www.newton.cam.ac.uk/ )，德国普朗克数学研究所来比锡分院( http://www.mis.mpg.de/ )和波恩分院( http://www.mpim-bonn.mpg.de/ )，加拿大菲尔兹数学科学研究所( http://www.fields.utoronto.ca/ )，加拿大太平洋数学研究所( http://www.pims.math.ca/ )等等。 Kp+CH7I* WI]o cF 在北美地区最新的两个研究中心是美国洛杉玑加大纯粹和应用数学研究所( http://www.ipam.ucla.edu/ )和加拿大班夫国际数学变革和发现研究站( http://www.pims.math.ca/birs/ )。值得一提的是将于明年正式启用的后者，是一种新式的数学研究场所。这个研究站座落在风景优美的加拿大班夫地区，将专门用做举办短期集中的数学研讨和教育。亚洲各国的数学活动近年来也空前活跃。主要的数学中心有中国科学院数学与系统科学研究院( http://www.amss.ac.cn/ )，日本京都数学科学研究所( http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ )，中国台湾中央研究所数学研究所（ http://www.math.sinica.edu.tw/ )和印度孟买塔塔基础科学研究院( http://www.tifr.res.in/ ) 等等。在数学王国中最吸引人的莫过于百年难解的著名猜想了。一些著名的猜想，如黎曼猜想，费尔马大定理，庞加莱猜想等等，无论解决与否，都指引了新的数学发展方向。近年来最引人注目的数学猜想新闻来自美国的克雷数学研究所 ( http://www.claymath.org/ )。在新世纪开始的2000年，克雷研究所由一流数学家组成的学术委员会提出了七个他们认为最重要的数学问题，其中包括刚才提到的黎曼猜想，和庞加莱猜想。同时克雷研究所对这七个问题的解决每个都悬赏一百万美元，在数学界及公众媒体中都轰动一时。在克雷研究所的网页，大家可以下载这七个问题的准确描述，和由七位相应的数学家对问题的解释的录像。( http://www.claymath.org/Millennium_Prize_Problems/ ) 值得注意的是这七个问题并没有包括我国数学爱好者熟知的哥德巴赫猜想。我国数学家陈景润，王元，潘承洞曾经在这一问题上做出了世界领先的结果，但是猜想仍然没有被最后解决。事实上世界上对哥德巴赫猜想感兴趣的人还大有人在，与克雷问题几乎同时，英国法布出版社也悬赏一百万美元给在两年内解决哥德巴赫猜想的人。 ( http://www.apostolosdoxiadis.com/million.htm )这个出版社似乎有些炒作嫌疑，而现在问题解决期限已过，因为没有人提出领赏，奖金大概也就不了了之了。哥德巴赫猜想和相关的数论方面的猜想可以在这个网页( http://www.utm.edu/research/primes/notes/conjectures/ )找到。另一个数论网页大全是( http://www.math.uga.edu/~ntheory/web.html )克雷研究所的问题在某种意义下模仿了1900年数学大师希尔伯特提出的二十三个问题。这些问题至今仍然未被全部解决，问题们的现状和相关内容可以在以下网页找到：( http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/ ) ( http://www.mathematik.uni-bielef ... lbert/problems.html) 另外两本关于希尔伯特问题历史的专著也刚刚出版，详情请看出版社网页( http://www.akpeters.com/book.asp?BID=160 ) ( http://www.oup-usa.org/isbn/0198506511.html ) 在被解决的猜想中最著名的要算费尔马大定理了。在这个猜想最后被英国数学家Andrew Wiles解决后，这一定理的历史和最后证明已经在互联网上被总结了。请看( http://math.albany.edu:8010/g/Math/topics/fermat/ )。然而一个更一般的猜想现在又开始被悬赏了，这就是所谓比尔猜想，它包含了已解决的费尔马大定理。一位美国的企业家兼数学爱好者比尔(Andrew Beal) 捐资十万美元将要奖给解决这一猜想的数学家。( http://www.bealconjecture.com/ ) 未解决的数学问题大大小小,许多问题也并不知名。有不少数学爱好者还把这些问题搜集归纳成网页，有兴趣的读者可以在网络上搜索一下。其中比较有名的一个是( http://www.mathsoft.com/mathresources/problems/0 ,0,00.html) 最后我们应该提到的是一些数学家自己也喜欢象希尔伯特那样列出一个问题清单。在网上可以找到最有名的大概是美国数学家斯梅尔几年前提出的。他的问题集实际上是一篇论文( http://www.amath.washington.edu/courses/572-spring-2002/smale.pdf ) 华裔数学家丘成桐也多次提出过几何方面的未解决问题，但大部分都没有在网上出现，可以找到的是台湾一个网站上的十个问题( http://bbs.ee.ntu.edu.tw/boards/Physics/14/58.html )。 dMR3)CO 数学新动向 ( http://www.ams.org/new-in-math/ ) 这个由美国数学会编辑的网页介绍每个月在美国数学界乃至全世界数学界的最新动向。这个象杂志一样的网页包括每月一篇新专题介绍，当月数学在大众媒体中出现的新闻或文章，和新的数学科普文章文摘等等。例如在2003年五月的网页上介绍了著名的庞加莱猜想的最新进展，第一届阿贝尔数学奖等等。在最新数学文摘中，读者还可以看到四月十六日上华盛顿邮报关于非典型性肺炎数学模型的介绍。这一网页的创立是为了使广大普通数学爱好者也能了解数学高深理论的最新进展，以及使大众了解数学对社会进步的巨大作用。科学搜索 ( http://www.scirus.com/ ) 这是一个专门搜索互联网上和科学有关内容的搜索引擎。它与其他常用的搜索引擎不同之处是它的搜索结果会自动略去非科学内容，另外它还能找到相关内容的科学论文。这对于想搜索一个数学问题的数学工作者来说非常有用---你只要打入一个关键词，那就能既查到相关的网站网页，同时还查到了有关的学术论文。数学历史文献电子文库 ( http://historical.library.cornell.edu/math/ ) 这个座落在美国康耐尔大学图书馆网站中的电子文库收藏了许多珍贵的数学文献，大多是二十世纪以前数学专著和论文集。这个文库是免费供给所有数学工作者和数学历史学家使用的，只是大多数文献是法语和德语的。例如，对天体力学和动力系统感兴趣的读者可以在这里找到庞加莱的三大卷关于天体问题的名著原文。读者也可以找到希尔伯特，黎曼，克来因等大师的原著。女数学家传记 ( http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/women.htm ) 数学一向被认为是男人的领地，女数学家只占很少一部分。但是这种状况在世界各地都在逐渐改变。从这个网站大家可以读到有史以来几乎所有著名女数学家的传略。从最早的姬亚(毕达哥拉斯的妻子)到近代的柯瓦列夫斯卡娅，诺特，我们可以领略到女数学家非同凡响的风采。一些现在还活跃在数学界的女数学家，如乌伦贝克，麦克杜甫等还自己撰写了自己人生事业的文章，对于还在成长阶段的我国年轻女数学家可能会有启发。我国女数学家胡和生院士，华人女数学家张圣容，金芳蓉和 Lai-Sang Young的传记也被这一网站收入。数学会议是数学家们交流成果信息的最重要的方式. 参加合适的学术会议对于青年数学家的成长是非常重要的. 找到合适的会议主要靠各个数学分支的数学家之间的私人联系, 但是消息再灵通的数学家恐怕也比不上互联网知道的多. 美国数学会(AMS)是世界最大的国家数学会, 在它的网站上有一个比较好的会议信息时间表. http://www.ams.org/mathcal/ 这一网页不仅介绍了美国数学会本身组织的会议,也列出了在许多其他国家召开的会议的信息. 美国另外两个数学组织, 美国工业与应用数学协会(SIAM) 和美国数学协会(MAA) 也各有介绍它们自己组织的会议的网页: http://www.siam.org/meetings/calendar.htm 和 http://www.maa.org/meetings/meetings.html. 欧洲数学会网页 : http://www.emis.de/conf/announce.html. 当然在这里可以找到更多欧洲的数学会议. 世界最大的数学国际会议:国际数学家大会(ICM)的信息可以在国际数学联盟(IMU)的网站找到: http://www.mathunion.org/ICM/index.html 由各个国家数学会组织的会议的信息往往可以在那个国家的数学会网站找到, 这里就不一一列举, 各个国家数学会的网站联接可以在这里找到: http://www.ams.org/mathweb/mi-sao.html ) 除了各个数学会提供的数学信息, 一些独立机构现在也在网上提供数学会议信息. 比较著名的要算加拿大的Atlas数学会议提要(AMCA): http://at.yorku.ca/amca/conferen.htm 这个不仅列出各个会议的网上信息, 同时还提供网上上传会议报告摘要的服务. 许多会议现在使用他们的服务, 从而省去了自己编辑报告摘要的繁琐工作. 他们列的会议往往和美国,欧洲数学会列的各有千秋, 都值得搜寻一番. 另一个寻找会议的办法是从数学会议中心的网站来找. 德国的Oberwolfach数学研究所( http://www.mfo.de/ ) 是欧洲最重要的数学会议中心, 而北美洲今年也成立了加拿大班夫国际数学研究站 ( http://www.pims.math.ca/birs/ ).这两大会议中心每年都有连续不断的小型会议和讨论班. 世界各大数学研究所也定期举办各类会议和特别学术年. 数学研究所,研究中心的网站可在这里找到: http://www.ams.org/mathweb/mi-inst.html , 最后值得一提的是我国国内的会议信息可以在中国数学会网站( http://www.amss.ac.cn/cms/ )和中国科学院数学与系统科学研究院网站( http://www.amss.ac.cn/ )查到来源: http://www.sciencenet.cn/blog/ChinaAbel.htm; 7 次阅读|0 个评论

分享分享一下:博士数学论坛: 热度 1 hylpy1 2016-8-4 13:17; 近来看到一个比较高水平的数学论坛:博士数学论坛:http://www.math.org.cn/。列有以下几个分区:普及区、考研区、研究区、信息交流区。非常不错，有兴趣的朋友可以去看看哦! 不过此论坛注册方式与其它论坛不一样,需要资深会员的邀请码.也可以申请临时会员.; 4 次阅读|1 个评论

分享自学数学: belinda_ty 2016-1-2 01:52; 一直想自学一些数学类高级课程，发现自己真的是很难去挑战自己，突破自己。; 0 个评论

分享数学分析(郑英元毛羽辉): hylpy1 2015-11-12 21:36; 数学分析郑英元毛羽辉 “数学分析”是数学系一二年级的一门最重要课程。每周讲授4~6个学时，还有两学时的习题课。有人称它为 “超级大课”。在20世纪50年代之前，对于数学分析教学长期以来有两种体系。一是以欧洲大陆，特别是德国数学家为代表的观点。他们追求以严格的数学概念为基础，强调系统的逻辑性。或者说数学分析应该从ε-δ开始学习。在教材方面的代表作是：柯朗（Courant，1905-1972）的《微积分学》。其中译本是朱公谨先生翻译的《柯氏微积分》。另一是当时流行于欧美的从计算与应用入手的体系，其代表作是：奥斯古德（Osgood，1864-1943）的《奥氏初等微积分学》和《高等微积分》。在1952年我国高等院校调整以来，华东师范大学数学系的“数学分析”课程的大纲和教学均确立了以ε-δ为起点的教学体系。从而使她在我国高等师范系统内一直处于领先地位。她的成功主要由下面几个因素构成。一、华东师范大学数学系有一支强有力的数学分析团队（1）1952年院系调整，当时国内一批很有实力的教师来到了华东师范大学数学系。在分析学方面主要是从同济大学来的一批教师，他们构成华东师大数学系数学分析团队的最初的主要成员。他们是：程其襄（1910-2000） 1935年赴德国留学，1943年获德国柏林大学数学博士。1946年回国，即被同济大学聘为数学教授，任数学系主任。1951年，又兼任理学院代理院长。 1952年院系调整时来到华东师大担任数学分析教研室主任。并曾多次亲自讲授数学系一二年级“数学分析”课程。吴逸民（1910-2001） 1952年院系调整时来到华东师大数学系，在华东师大期间长期从事“数学分析”课程教学。1962年调往上海工学院。后来担任上海大学数学教授。吴逸民先生的老师是获得德国哥廷根大学数学博士的朱公谨教授（1902-1961）。陈昌平（1923-2003） 1948年毕业于同济大学数学系。1952年院系调整时来到华东师大数学系。华东师大数学系教授。在1966年以前多次担任华东师大数学系“数学分析”课程教学。除此之外，还有来自交通大学的周彭年（1925-1997）、林克伦（女，1927-2002）、圣约翰大学的魏宗舒（1912-1996）、陈美廉（女，1929-）等等。（2）1952年至1966年华东师范大学数学系的数学分析团队的继续壮大。这主要是从1953年举办的四届“数学分析研究生班”开始的，它不仅为国内高等师范系统培养了大批分析学方面的骨干人才，同时也带动本系分析学方向的青年教师学业水平。特别是有一大批由本校数学系培养的学生和从北师大、复旦输送来的青年教师。他（她）们都在不断地充实华东师大数学系数学分析团队，形成老中青相结合的强大队伍。其中先后进入数学分析团队的有：林忠民（1931- ）、郑英元（1932- ）、曹伟杰（女，1929- ）、张奠宙（1933- ），许明（女，1934-1995）、陶增乐（1937- ）、茆诗松（1936- ）、李惠玲（女，1936-2011）、毛羽辉（1939- ）、徐钧涛（1939- ）、杨庆中（1937- ）、华煜铣（1939- ）、胡启迪（1939- ）、宋国栋（1940- ）、吴良森（1941- ）等等。他（她）们在1977年后都取得教授或者副教授的职称。在20世纪90年代以后他（她）们陆续开始退休。但是从1982年开始这支团队补充了许多都是硕士、博士学位的新鲜血液，现在他们的职称均为教授或者副教授。数学系的数学分析教研室在1958年以后逐步解体，并先后孵化出函数论教研室、微分方程教研室、概率论教研室、计算数学教研室、控制论教研室和运筹学教研室。虽然数学分析团队分布在不同的教研室中，但依旧承担着“数学分析”课程的教学，并彼此保持着紧密的联系和优良的传统。二、制定《数学分析》大纲（1）1954年教育部委托我系程其襄教授起草高等师范院校数学系用的《数学分析》教学大纲。1955年暑期教育部在华东师范大学召开的全国高等师范院校教育大纲讨论会上获得通过。 1956年此大纲由人民教育出版社正式出版发行。从而奠定了中国高等师范系统“数学分析”教学的基本体系。（2）1980年5月教育部在上海召开“高等学校理科数学、力学、天文学教材编审委员会扩大会议”，我校委派华煜铣（时任数学系负责教学工作的副系主任）参加。会前教育部委托华东师范大学草拟高等师范院校《数学分析》大纲交大会审定。华东师大数学系委托郑英元起草大纲。郑英元在1956年大纲的基础上，根据当时的要求草拟了供高等师范院校使用的《数学分析》大纲供大会讨论修改。这份大纲经与会代表讨论修改以及编委会审定后，于1980年8月由人民教育出版社出版。三、编写《数学分析》教材（1）华东师范大学数学系编《数学分析》（第一版）的问世前后华东师范大学数学系从1953年开始举办以程其襄教授为主要导师的“数学分析研究生班”，程先生在研究生班的经典课程是《分析选论》。他在课程中特别强调基本理论的严格性和系统的逻辑性。正是这些概念确立了华东师范大学“数学分析”教材的基本理念。虽然我们曾多年采用苏联教材（主要是辛钦的《数学分析简明教程》），但同时力图编写符合中国国情的教材。如在1960年前后，编写“一条龙”教材， 1965-66年间由程其襄、林克伦、华煜铣等参加编写的《数学分析简明教程》等等。由于种种原因都未能成功或者出版。 “文化大革命”结束后的1977年，教育部在上海宝山召开高等学校理科教材大纲讨论会，我校在分析方向参加这次会议的有：程其襄、李锐夫、张奠宙等。在这次会议上确定四个学校编写《数学分析》教材，我校负责编写高等师范院校统一使用的《数学分析》教材，其他三个都是综合性大学（复旦大学、武汉大学和吉林大学）。 1978年5月我系正式启动编写工作。第一项任务是系领导委派郑英元和徐钧涛去武汉，参加武汉大学编写的《数学分析》教材审稿会。我校和四川大学是主审单位。同时组织我系的“数学分析教材编写组”，由程其襄教授担任主编，参加初稿各章编写的有：陈昌平、陈美廉、郑英元、徐钧涛、曹伟杰、杨庆中、黄丽萍、宋国栋等。初稿写出后，经程其襄、周彭年、郑英元修改定稿，由郑英元执笔整理。黄丽萍参加了本书下册部分初稿整理工作。本书审稿会于1978年10月在上海建国饭店举行，由北京师范大学和武汉大学担任主审。华东师范大学数学系编《数学分析》上册第一版（初稿）又根据1980年8月公布的大纲作了修订，并于1980年9月由“人民教育出版社”正式出版发行。《数学分析》下册第一版则于1981年6月同样由“人民教育出版社”出版发行。 1979级秋季新生开学时，由于我们的教材尚未正式出版，因此采用油印讲义方式开始试用。当时由郑英元主讲，参加教学小组的有：华煜铣、吴良森、俞鑫泰、吴伟良等。从1980学年开始，正式使用由我们编写、人民教育出版社出版的《数学分析》一书作为教材。由于我们编写的《数学分析》在取材、体系、可读性诸方面比较切合我国教学实际，从而使用范围几乎遍及全国各高等师范院校（含各地的师范专科学校和教育学院），某些高等院校的力学专业或计算机专业也采用本书作为教材。从1980年到1990年出版社几乎每年都重印2万册左右。从而在1987年国家教委第一次对全国高等院校出版的教材进行评选时。本书荣获最高等级的“全国优秀奖”（全国高等学校数学专业教材中获此殊荣的仅10本。我校除了本书之外，获得此项殊荣的还有冯契先生的哲学教材）。系主任曹锡华与第一版编写组成员合影（周彭年先生因事缺席）为配合《数学分析》教材的使用，郑英元于1982年为我校“分析进修班”教师开设“数学分析教材选讲”（一学年）。1988年毛羽辉、宋国栋为我校助教进修班教师开设“数学分析教学研究”讲座。我们不仅在校内讲授，我们也走出去赴各地讲学，如1983年郑英元受广东省教育厅邀请在肇庆为广东省师专和教育学院教师讲课；胡启迪和毛羽辉应邀在承德为河北“师专教师暑期讲习班”讲课；郑英元和杨庆中应“全国师专数学教学研究会”邀请在江苏盐城为与会师专数学分析教师讲课。这些讲课主要介绍我们编写的数学分析教材的使用要点，讲解难点。听课者普遍反映良好。我们经常被邀请参加数学分析教材与教学的会议，以介绍我们的观点和教材。如根据教育部（81）教社字005号文件，由吉林大学主办的“《数学分析》教材内容和教学经验交流会”于1981年7月25-30日在长春举办，我校郑英元、华煜铣应邀参加，并在会上作了教材编写的经验介绍。 1984年7月1日“教育部理科数学教材编委会函数论及泛函分析编审小组”在徐州师范学院召开“数学分析教材研究会”，我校郑英元被邀请参加并在会议上就我校编写的数学分析教材作专题发言。 1988年7月16-22日华东师范大学数学系和国家教委华东地区师资培训中心在华东师大举办“全国高等师范院校数学分析教材教法研讨会”。出席研讨会的有60所院校86名教师。华东师大校系领导华煜铣、邱森和程其襄教授等出席研讨会开幕式。程其襄教授在大会上作了“分析基础”的专题报告。数学系的郑英元、张奠宙等五位老师也分别就数学分析教材教法及微积分史作专题报告。这次研讨会收到论文18篇，12位与会老师也作了交流发言。此外，在20世纪80年代郑英元代表我校参加了在南京大学召开的全国高等院校的教材会议；郑英元、许明参加了在天津师范学院召开的数学分析教材教学研讨会等等。（2）华东师范大学数学系编《数学分析》（第二版）经过几年的使用，以及数学专业课程改革的需要，我们认为对第一版《数学分析》中的某些内容作出适当增删和调整是必要的。对此，得到高等教育出版社的支持。我们的工作从1987年开始，先是组织一个由程其襄教授为首的讨论班，研讨当时国内外数学分析教材的状况。参加讨论班的老师除了程其襄教授，还有毛羽辉、郑英元、宋国栋、许明、杨庆中、吴良森等。国外数学分析教材讨论班当时记录的报告目录程其襄教授在讨论班上作报告郑英元在讨论班上作报告根据编写第一版教材的情况，在数学系领导支持下，组织了更为精干的编写组开始编写第二版《数学分析》，编写组由程其襄（主编）、郑英元（负责全书统一整理工作）、毛羽辉、宋国栋等四人组成。在第二版中我们增加了一些前瞻性的内容，删去了一些相对次要的内容，以保持教材总体份量上的平衡。其中部分内容，程其襄先生还亲自撰写（见下图程先生手稿）。此外，还增加了一些用小字编排的内容（包括附录中由张奠宙编写的“微积分简史”）供有余力的师生选择使用。华东师范大学数学系编《数学分析》（第二版）上册于1987年12月完成初稿，提交审稿， 1990年2月完成修改稿，1990年3月正式出版发行。下册于1988年6月完成初稿，1990年6月完成修改稿，1991年10月正式出版发行。《数学分析》第二版编写组在讨论程其襄教授手稿（3）编写高等师范专科学校《数学分析》教材我们在编写第二版《数学分析》的同时。应高等教育出版社的要求，根据国家教育委员会师范司1988年审定的二年制高等师范专科学校《数学分析》教学大纲。郑英元、毛羽辉、宋国栋又合作编写了适应于高等师范专科学校使用的《数学分析》（上、下册）教材。该书是在华东师大数学系编《数学分析》（第二版）的基础上修改而成的。程其襄教授始终关心本书的编写工作。该书由高等教育出版社于1990年8月出版发行。（4）华东师范大学数学系编《数学分析》（第三版）在《数学分析》（第二版）出版发行十年后，应高等教育出版社提议，要求我们重新组织编写第三版《数学分析》，该书将列入高等教育出版社“面向21世纪课程教材/普通高等教育‘九五’国家教委重点教材”的出版计划。第三版的编写组由吴良森（主编）、毛羽辉、宋国栋、魏国强、庞学诚、胡善文等6人组成。在继承第二版总体结构和编写风格的基础上，我们在现行数学分析教学大纲的范围内对一些内容进行适当调整和增删；同时考虑到近代数学分析教材发展潮流，适度地反映这方面的进展情况，以适应对21世纪新教材的要求。程其襄教授、陈昌平教授、张奠宙教授阅读了第二十三章主要内容的初稿（*流形上微积分学初阶），并提出了宝贵的意见。郑英元教授对第三版的修订更是提出了许多积极的建议。华东师范大学数学系编《数学分析》（第三版）上、下册于2001年6月正式出版发行。（5）时光又过去了十年，华东师范大学数学系编《数学分析（第四版）》（上、下册）于2010年7月由高等教育出版社出版发行，此版的编写组成员是：庞学诚（主编）、柴俊、胡善文、吴畏、毛羽辉。相对于第三版，本版修改内容主要有：针对极限理论的内容过于集中、滞后的问题，这次通过提前得出“致密性定理”，使得闭区间上连续函数的全部性质能在第四章证明完毕；针对目前很多大学不再单独开设数学分析习题课的现状，本次改版适当增加了稍有难度的例题，以期对学生解题能力的培养有所帮助；根据对第三版的使用反响，本版对“选读”和“必读”的内容作出了适当调整。综上所述，从1980年《数学分析》（第一版）出版开始，每隔十年都根据当时的教学需要进行修订再版。至今已出版了四版。她引领了我国高师系统“数学分析”教学近四十年。四、编写《数学分析》辅助教材我们在编写《数学分析》第一版至第四版的同时，还编写了以下一系列的辅助教材。（1）为配合数学分析课程教学，由郑英元、毛羽辉、宋国栋合作编写《数学分析习题课教程》（上、下册）。它由高等教育出版社于1991年8月出版发行。国内习题课方面的书籍不多见，我们的初衷是给担任此项教学任务的青年教师提供素材，以保证课程的教学质量。时至今日，尚有一些学校的“数学分析精品课程”规划中，仍把本书作为参考书目位列其中。（2）为配合数学分析（第三版）的课程教学，由吴良森、毛羽辉、韩士安、吴畏合作编写了《数学分析学习指导书》（上、下册）。它由高等教育出版社于2004年8月出版发行。本书每节内容包括：内容提要、释疑解惑、范例解析、习题选解四部分；对每章末的总练习题给出提示或解答；在各章后增设测试题（A、B双卷），书末附有测试题的提示或解答。本书因与数学分析（第三版）教材紧密配合，深受学生和授课教师的欢迎。（3）由吴良森、毛羽辉、宋国栋、魏木生合作编写了《数学分析习题精解》。它由科学出版社于2002年2月和2003年9月分别出版发行了“单变量部分”和“多变量部分”两个分册。本书主要是通过典型例题来陈述数学分析中的典型解题方法和技巧。选题以中等难度为主；例题和习题中还选入了一部分理工科大学、师范院校的研究生入学试题。特别希望本书对准备报考数学专业硕士研究生的读者有所助益。（4）为配合数学分析（第四版）的课程教学，由毛羽辉、韩士安、吴畏合作编写了《数学分析（第四版）学习指导书》，其上册与下册由高等教育出版社于2011年6月与2012年1月分别出版发行。此书的章节结构与2004年版的《数学分析学习指导书》相同。其特点是，本书中的例题和习题的解题过程更趋完整，以利于学生的正确认知；教材中习题给出解答的数量比2004年版要更多一些（与其被别人盗版出“习题全解”，不如我们自己主动出手，也能保证题解的正确性）。（5）这段时期内另外一项任务是“数学分析”网络课程的建设。毛羽辉在20世纪末，为数学系写过一本函授“专升本”教材《数学分析选论》。开头几年用的是油印本，后来于2003年9月交由科学出版社正式出版发行。本书作为国家理科基地教材，属于教育部“世行贷款21世纪初高等教育教学改革项目”和“面向21世纪高等师范教学改革项目”。同一时期，华东师大网络学院成立，其中数学专业需要建设的第一门“专升本”网络课程，就是数学分析。毛羽辉（当时已退休）接受了数学系的委托，进行此课程的建设。首先，按照“专升本”的原意，取课程名为“数学分析续论”，并把《数学分析选论》一书作为现成的文字教材。接着要做的便是以此书为蓝本，择要地制作成链接式的阅读网页，以此作为学生的自学平台；同时还伴有多处有声指导和完整的视屏讲授。此项任务于2002年末完成，并通过专家评审合格，发给合格证书。 “数学分析续论”这门网络课程存活了8年（2002~2009），后因生源的数学基础实在太低（远远低于大专数学水平），无法完成“专升本”的初衷，只得无奈停开。（6）这里还要指出由张奠宙、宋国栋等翻译，李锐夫、程其襄等校的G. 波利亚和G舍贵的名着《数学分析中的问题和定理》（第一卷1981年，第二卷1985年均由上海科学技术出版社出版）是提高数学分析理论修养的重要着作。（五）获奖展台（学校一级的奖励不计入内）（1）前面已经提到的第一版《数学分析》荣获“全国优秀奖”。（2）1989年，在上海市普通高等学校优秀教学成果评审中，郑英元、毛羽辉、宋国栋的“数学分析教学与研究”被评为上海市一九八九年优秀教学成果特等奖。虽然由于历史原因， 1989年未能相继举办全国高等学校优秀教学成果的评奖活动；但毛羽辉和宋国栋仍然获得上海市优秀教学成果特等奖。 (3) 鉴于我们在编写数学分析基础教材和配套读物上的有效业绩，上海市教育委员会于2004年9月授予吴良森、毛羽辉荣获“2003年度上海市优秀教材评审一等奖”。（4）2005年11月，我们的参评项目“《数学分析》系列教材编着和网络课程建设”，荣获上海市教学成果奖（二等奖）。结束语六十多年来，跨越两个世纪，我们有幸参与了《数学分析》课程的各项建设，这包括各个教学环节、《数学分析》第一版至第四版的编写全过程，值得留作纪念。我系老少三代学人相继投身于这项浩繁的编写工程。有幸不辱使命，我系编写的《数学分析》教材每年发行数万册，在全国众多高校中有着良好的声誉和较高的采用率。在收获成果的同时，我们理应衷心感谢数学系历届领导的关心、本系同事和外校同行的支持，还有出版社有关部门的悉心策划和有效组织。 2014年5月; 5 次阅读|0 个评论

分享最美的数学定理: hylpy1 2015-10-23 14:08; 1988 年， Springer-Verlag 主持在 Mathematical Intelligencer 上评选 10 个最美数学定理，结果如下： 1. Euler’s identity, e i π = −1 2. Euler’s formula for a polyhedron, V+ F = E + 2 3. There are infinitely many prime numbers. 4. There are only 5 regular polyhedra 5. The sum of the reciprocals of the squares of the positive integers is π2/6. 6. A continuous mapping of a closed unit disk into itself has a fixed point. 7. The square root of 2 is irrational. 8. π is a transcendental number. 9. Every plane map can be colored with just 4 colors. 10. Every prime number of the form 4 n +1 is the sum of two square integers in only one way.; 4 次阅读|0 个评论

分享那些美到不行的数学公式: hylpy1 2015-10-15 20:52; 能把圆周率和e联系起来的初等公式在数学界是少之又少，是数学王国中的国宝级公式。除了大名鼎鼎的欧拉公式，恐怕就是这个式子比较出名了。这个公式的形式异常的漂亮，只可惜它只是个近似公式。所以排名第九。虽然是个近似公式，但是近似程度相当的高，有七位有效数字是相同的，也就是说二者的差别在千万分之一以内。您不妨用电脑上的计算器一试。这个公式就是著名的梅钦公式，熟悉圆周率计算方法的人应该对这个公式不陌生。这个公式的神奇之处在于它将圆周率表示为了两个分数的反正切之和。利用复数的指数表达式可以直接证明这个式子。它是历史上第一个用于快速计算圆周率的公式，因为上式中的反正切函数值可以被泰勒级数所逼近。真不知道如果祖冲之知道了这个计算圆周率的方法会埋头算到小数点后几百位…… 这个神奇的公式传说是约翰-伯努利发现的。式子的神奇之处就不用我说了吧，连续与离散的关系被表现的淋漓尽致。如果你自认为你的微积分水平还不错，可以挑战一下这个已经具有300多年历史的公式，看你能否证明它。话说世人皆知勾三股四弦五，而鲜有知道这个简单等式的。这个简单的式子可以在英国分析学大师G·H·哈代（就是拉马努金在英国的合作者）所著的《数论导引》中找到，它是一类三次不定方程最简单的特解。这个公式来自于印度数学奇才拉马努金。他曾经深入的研究了形如上式的无穷根式并得到了这个神奇的结果。传说拉马努金曾经把这个结果放在《印度数学会刊》上征集证明，结果数月内无人能应。各位看官有没有蠢蠢欲动的？这个结果来自于卡尔-高斯。不消说，这个余弦特殊值足以说明：正十七边形是可以尺规作图的。在发现此式之前人们找到的、能用根式表达余弦值的角度大部分还停留在欧几里得时期的水平。高斯也因为他在19岁就做出的这项了不起的成果而开始从事数学研究。古典文学从此永远的失去了高斯。在作出这项告慰古希腊先贤们的贡献之后，小高斯就建立了一个自己的科学笔记，专门介绍自己最新的数学发现。这个貌似神奇的式子来自50多年前的《Scientific American》。当时著名的趣味数学大师马丁·加德纳所主持的一个专栏上出现了这个公式，只可惜出版的当天日期是4月1号。这个式子或许可以蒙普通读者，但是绝对蒙不了数学家，因为根据著名的林德曼定理容易判定等式左边的e指数一定是一个超越数，绝对不可能是一个整数。然而如果你用mathematica去计算的话会惊奇的发现：这个超越数的值是：262537412640768743.9999999999992500725972…… ... 上面欧拉公式的漂亮之处就不用我解释了吧。人们经常把它与老爱同志的E=mc^2并列为数学和物理学公式中的双子星。历史上的欧拉是一位全才数学家，同时也是一名虔诚的教徒，笃信上帝的存在。据说有一次俄国的叶卡捷琳娜二世邀请狄德罗来访问她的宫廷，而狄德罗是一名不折不扣的无神论者。不久叶卡捷琳娜二世就厌倦了狄德罗那喋喋不休的无神论说教之词，让欧拉来好好教训他一顿。欧拉开门见山的质问道：“e^i*pi+1=0（就是欧拉公式），所以上帝存在，请回答！”结果不懂数学的狄德罗被弄得一头雾水，无言以对。拉马努金的著名连分数公式这个绝美的公式不仅像欧拉公式一样联系起了圆周率和e，同时它还将黄金分割数也包含在内！在1913年，来自南印度的小职员拉马努金，给当时32岁就已经执掌英国数学界牛耳的哈代去了一封长达9页的信，信中附带了120条拉马努金自己发现的公式，上面这个公式就是其中的一条。这条公式令哈代完全摸不到头脑，他这辈子都没见过这样的公式，连稍微接近点的都没有！但是哈代确信这个公式是对的，因为没有人能有这样的想象力去编造这样漂亮的公式。; 5 次阅读|0 个评论

分享数学与投资学: accumulation 2015-10-11 20:36; 1.计算极限 2.计算行列式 3.二维随机分布、平均值与方差 4.CAPM 5.期权定价与二叉树 6.利率及其期限结构 7.APT 8.股权估价模型; 个人分类: 金融工程|0 个评论

分享数学三: accumulation 2015-10-6 20:26; 数学三单选题： 8*4' 1-4 为高等数学； 5-6 为线性代数； 7-8 为概率统计；填空题： 6*4' 9-12 为高等数学； 13 为线性代数； 14 为概率统计；解答证明题： 94' 15 、 16 、 17 、 18 、 19 【极限与等价无穷小】【导数、微分方程相结合】【函数连续、极值、求导】【积分、求导】【中值定理】【二重积分】【三重积分】【曲线曲面积分】 20 、 21 【线性相关、线性无关】【方程组的解】【特征值特征向量】【二次型、相似】 22 、 23 【离散型概率分布、联合分布】【连续型分布】【期望、方差】【概率密度】【假设检验、似然估计】高等数学： 4 个选择 4 个填空 5 道大题 445 线性代数： 2 个选择 1 个填空 2 道大题 212 数理统计： 2 个选择 1 个填空 2 道大题 212; 个人分类: 金融工程|0 个评论

分享有趣的数学表达(转): hylpy1 2015-9-3 21:41; 一男生，生性腼腆。向女孩表白，用纸条写上：5201314（我爱你一生一世）。纸条回来后写着(520+1314)×10倍，此男生欣喜若狂。同桌冷冷地说道：“呆子，计算结果是18340（一巴扇死你）作为一名理科生，二十六个英文字母在我心中是：A是安培，B是磁感应强度，C是电容，D是直径，E是电动势，F是力，G是重力，H是高度，I是电流，J是焦耳，K是劲度系数，L是长度，M是质量，N是牛，O是坐标原点，P是功率，Q是热量，R是电阻，S是位移，T是周期，U是电压，V是速度，W是功，XYZ构成了空间直角坐标系！《沁园春.堵在高速路上》：千里车流，万里人潮。望双向车道，车行如龟，司机烦躁，一步不动，总是堵车憋出尿。高速如此多焦，引无数司机换省道。惜奥迪A8，慢如蜗牛。奔驰宝马，无处发飙。一代天骄，兰博基尼，边刷微博边牢骚。长假矣，数风流人物，在家睡觉…; 6 次阅读|0 个评论