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分享 炒股必须熟知的19个数学常识，据说知道十个以上就是专业投资者！
HZZH 2017-6-19 14:49
我保证这些常识大部分人都不知道。 1. 收益率 如果你有 100 万，赚 100% 后达到 200 万，如果接下来亏 50% ，则资产回到 100 万。亏 50% 比赚 100% 要容易得多； 2. 涨跌停 假设你有 100 万，第一天涨停后资产 110 万，然后第二天跌停，则资产剩余 99 万；反之如果第一天跌停，第二天再涨停，资产还是 99 万。 3. 波动性 如果你有 100 万，第一年赚 40% ，第二年亏 20% ，第三年赚 40% ，第四年亏 20% ，第五年赚 40% ，第六年亏 20% ，资产 140.5 万元，六年年化收益率仅 5.83% ，甚至比五年期凭证式国债票面利率还低； 4. 每天 1% 如果你有 100 万，每天不用涨停板，只要挣 1% 就离场，那么以每年 250 个交易日计算，一年下来你的资产将是 1203 万，两年后你就有 1.45 亿。 5. 每年 200% 如果你有 100 万，连续 5 年每年 200% 收益率， 5 年后你将有 2.43 亿元，你能做到吗？ 6.10 年 10 倍 如果你有 100 万，希望十年后翻 10 倍到 1000 万，二十年到 1 亿元，三十年到 10 亿元，那么你只需要做到 25.89% 的 年化收益率 。 7. 补仓 如果你在某只股票 10 元的时候买入 10 万元，如今跌到 5 元再买 10 万元，持有成本可以降到 6.67 元，而不是你想象中的 7.50 元； 8. 持有成本 如果你有 100 万元，投资某股票盈利 10% ，当你做卖出决定的时候可以试着留下 10 万元市值的股票，你的持有成本将降为零，接下来你就可以毫无压力的长期持有了。 如果你极度看好公司的发展，也可以留下 20 万市值的股票，你会发现你的盈利从 10% 提升到了 100% ，不要得意，因为此时股票如果下跌超过了 50% ，你还是有可能亏损； 9. 关于资产组合 有无风险资产 A （每年 5% ）和风险资产 B （每年 -20% 至 40% ），如果你有 100 万，你可以投资 80 万无风险资产 A 和 20 万风险资产 B ，那么你全年最差的收益可能就是零，而最佳收益可能是 12% ，这就是应用于保本基金 CPPI 技术的雏形； 10. 关于做空 如果你有 100 万，融券做空某股票，那么你可能发生的最大收益率就是 100% ，前提是你做空的股票跌没了，而做多的收益率是没有上限的，因此不要永久的做空，如果你不相信人类社会会向前进步； 11. 赌场赢利 1000 个 澳门赌客的 数据，胜负的概率为 53% 与 47% ，其中赢钱离场的人平均赢利 34% ，而输钱离场的人平均亏损时 72% 。 赌场并不需要出钱来赢利，保证公平，依靠人性的弱点就可以持续赢利。股市亦如此。 12. 货币的未来 如果你给子孙存入银行 1 万元，年息 5% ，那么 200 年后将滚为 131.5 万，如果国家的货币发行增速保持在 10% 以上（现在中国广义货币 M2 余额 107 万亿，年增速 14% ）， 100 年后中国货币总量将突破 1,474,525 万 亿，以 20 亿人口计算，人均存款将突破 7.37 亿（不含房地产、证券、收藏品及各类资产）。 所以按此速度 发行 货币是不可能持续的。货币发行增速将逐步下移直至低于 2% ，到那时候中国人才会意识到现在 每年 20% 的收益率 真不容易啊。 13. 投资成功的概率 如果你投资成功的概率是 60% ，连续投资 100 次，其中 60 次盈利， 40 次亏损。如果你把止盈和止损都设置为 10% 和 -10% ，那么最终的收益率将是 350% （ 1.1^60*0.9^40=4.50 ） 是不是很简单！接下来你需要思考的是你怎么能保证你的胜率是 60% 呢，这个成功率对绝大多数人来说是几乎不可能达到的。 14. 关于止盈止损 索罗斯说过他不在乎胜负的概率，而期望盈利的时候比亏损时候能多赚一些。假设我们每次止盈是 10% ，每次止损是 -5% ，那么连续投资 100 次，假设胜负概率是 50% ，那么意味着你最终的收益率是 803% （ 1.1^50*0.95^50=9.0326 ） 但前提是你可以坚决的止损和止盈，其次你能保证 50% 的概率能到达更多的止盈机会吗？ 15. 关于正态分布 世界上很多事物都呈现正态分布。比如智商。天才和蠢蛋的比例都很少，多数是庸庸碌碌的大众。也比如社会财富的分配，极富和极穷的人都很少。人类的身高、体重等等太多的事物都呈现正态分布。 无论牛熊市，所有股票的涨跌幅和大盘相比也会呈现正态分布，能远远跑赢指数的股票只是极少数。当你想取得超额回报的时候，一定是你某项因素或是某项能力或者你的运气也同样达到了正太分布的那偏正的极小区域。 你是不是有这样的能力或者运气呢？ 16. 马太效应 有钱人账户 1 亿元本金，穷人账户 10 万元本金，有钱人一年收益 10% ，穷人一年收益率 100% 。年底时有钱人账户 1.1 亿元，而穷人账户 20 万元，双方差距又拉大了 990 万元。当你的本金和别人不是一个数量级时，你很可能并不知道对方是怎么想的。 17. 鸡和兔子数学题的思考方式 问鸡和兔子 18 只，一共 46 条腿，问鸡多少只？兔子多少只？ 常规的思考方式是鸡为 X ，然后兔子是 18-X ，在设一元方程求解。而超凡的思维是让所有鸡和兔子都抬起两条腿，这样一共抬起 18*2=36 条腿，还剩下 10 条腿都是兔子的，因此兔子是 5 只，鸡有 13 只。所以你要相信在同样的市场数据面前，有些人是和你思考方式完全不一样的。 18. 关于交易频率 按照佣金万三，印花税千一计算，一年 10 倍的换手率，意味着交易成本是（ 0.03%*2+0.1% ） *10=1.6% 。 当对于每周就要换一次仓的股民，一年的交易成本已经是 8% ，相当于付出了杠杆资金的资金成本。 除非你有强大的获利本领，否则降低你的交易频率，不然你就是在向券商和政府捐款。 19. 关于量化投资 量化投资就是用数据数据定量建模，控制风险，自动交易。更恰当的比喻是找对象这件事情，父母 往往是坚定不移的“量化投资者” ，我们自己做的多数是定性投资。 父母考虑教育、收入、家庭、性格诸多因素， 然后赋予不同的权重，当满足条件的时候便会积极的要求执行交易。年轻人则不会讲究那么多 ，因为这是个看脸和 Feel 的年代。哪 种方式更好？没有准确答案。
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hylpy1 2017-2-28 20:37
数学出版物集锦 Addison Wesley Longman (AWL)- Mathematics http://www.aw-bc.com/catalog/academic/disc... ,,70147,00.html Addison Wesley Longman (AWL) 出版公司的数学图书，有关于图书的内容及出版信息、章节目次及其他相关信息等。 BEAM: Be A Mathematician http://www.beam.co.uk/ 这是英国的一个数学教学网站，该网站的名字叫做“成为一个数学家”，包含有各种数学教学的资源，如图书、课程表、教学辅助工具等。 Calculus Resources On-Line (Mathematics Archives) http://archives.math.utk.edu/calculus/crol.html “数学档案——微积分资源在线”是由美国田纳西州立大学维护的，主要提供了微积分方面的课题、软件销售、出版者站点、论文与讨论以及其他一些微积分资源的链接。 Consortium for Mathematics and Its Applications (COMAP) http://www.comap.com/ 由几何技术公司维护的“数学及其应用联盟”的主页，该联盟是一个非赢利性的组织，主要提供数学教学与发展方面的各种资源，包括多媒体资源，如图书、期刊、课题、软件、新闻信息等。 CRC Press LLC http://www.crcpress.com/ CRC出版社是公认的科学、医学、环境科学、工程、商业、技术、数学和统计学方面的出版商，它的出版物包括图书、期刊、时事通讯和数据库，该出版社在美国及英国均有网站，这里是美国的网站，包括数学及统计学方面的电子期刊、图书和数据库的相关在线信息。 CSC Mathematical Topics http://www.csc.fi/math_topics/General.html - Center for Scientific Computing (CSC), Finland 芬兰科学计算中心的数学主题网站，提供数学方面的各种出版物和软件信息等。 Elsevier Science http://www.elsevier.com/wps/find/homepage.cws_home - 荷兰的Elsevier科学出版社号称在科学出版领域居世界领导地位，它除了提供多种数学方面在线电子期刊外，还有数学方面的书的出版信息，可在线查看新书介绍等。 ENC's Online Documents. http://www.enc.org/ ENC（艾森豪威尔国立票据交易所）在线文献，这是由ENC主持的数学和科学课程的一些相关读物的在线资源。 Harcourt Publishers International http://www.harcourt-international.com/science/ - Harcourt国际出版公司全称是美国学术出版社（Academic Press）Harcourt科学与技术公司，该网站提供了科学与技术领域5000余种图书的出版信息，包括题名、作者、出版社等，可联机订购，也可对其发表在线书评。 Harvard University Press http://www.hup.harvard.edu/ 哈佛大学出版社的主页，其“Book Menu”页面下有该出版社全部图书信息，包括数学图书。可浏览新书、可按作者及主题查看全部该社出版的图书，还有该社出版图书以其他语种出版的情况等。 Johns Hopkins University Press http://jhupress.jhu.edu/press/ - The Johns Hopkins University, Baltimore, MD 约翰.霍普金斯大学出版社的主页，提供了数学图书的相关信息。 Mathematica Publications http://www.telospub.com/ - TELOS （The Electronic Library of Science） 科学电子图书馆（属于纽约的Spinger Verlag）主页下的数学图书，包括图书的内容、作者及出版信息，图书目次浏览等。 Mathland Archives. http://www.maa.org/mathland/mathland_archives.html 科学新闻作者Ivars Peterson的数学园地主页的电子档案周刊，属于美国数学协会在线服务的一部分，收集一些数学方面的和人们每天感兴趣的一些热点链接。 The MIT Press http://mitpress.mit.edu/main/home/default.asp - 这是麻省理工大学出版社的主页，有关于数学的电子期刊及图书信息，包括数学图书的内容和作者介绍、其他语种的出版情况以及不同来源的述评等，还可在线免费浏览原书的部分章节。 National Academy Press http://www.nap.edu/ --Books on Science and Health - 国立学术出版社的1800种科学及健康学方面在线电子书，有详细的作者信息，相关书目、出版信息等，可联机订购，并可在线免费阅读全书。 Oxford University Press http://www.oup.co.uk/ 牛津大学出版社的主页，其数学页面下提供了数学及其各个分支学科的图书在线信息、电子期刊、词典、电子出版物等内容。 Praxis Publishing Ltd. http://www.praxis-publishing.co.uk/ - 英国的Praxis出版公司主页，该站精选科学技术领域的图书，提供其详细的摘要信息和引文。 Springer Science Online http://www.springeronline.com/sgw/cda/fron...inger-ny.com/ - Springer-Verlag New York Inc. 设在纽约的Spinger-Verlag出版社的10000多种图书的在线信息。 Springer WienNewYork http://www.springer.at/ - 这是德国的Springer出版公司澳大利亚的镜像站点，该站上数学方面的期刊和图书的在线资源，其中图书有详细的摘要信息、书评和作者介绍等。 World-Wide http://www.worms.ms.unimelb.edu.au/ -Web for Operations Research and Management Science (WORMS) - Moshe Sniedovich; Dept. of Mathematics Statistics, Univ. of Melbourne 墨尔本大学数学与统计学系的运筹学与管理科学网址。 数学档案史 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/ 包括1000多名数学家的传记。 http://blog.sina.com.cn/s/blog_59b35e200100rkpn.html
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分享 【好书推荐】20本经典数学书培养数学思维
hylpy1 2017-2-26 05:57
【好书推荐】20本经典数学书培养数学思维 http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA5OTQ1MzAwNg==mid=201329761idx=6sn=bd59ed25cad486827832c84f0066c75d#wechat_redirect
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hylpy1 2017-2-26 05:56
数学概念的艺术照：真酷！ http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA5OTQ1MzAwNg==mid=207496019idx=1sn=2050523faec5a035ffb1c6f5094ee49b#wechat_redirect
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hylpy1 2017-2-26 05:48
世界数学史（一） 1651-1700年 1654年，研究了概率论的基础(法国 巴斯噶、费尔玛)。 1655年，出版《无穷算术》一书，第一次把代数学扩展到分析学(英国 瓦里斯)。 1657年，发表关于概率论的早期论文《论机会游戏的演算》(荷兰 惠更斯)。 1658年，出版《摆线通论》，对"摆线"进行了充分的研究(法国 巴斯噶)。 1665─ 1676年，牛顿(1665─1666年)先于莱布尼茨(1673─1676年)制定了微积分，莱布尼茨(1684─1686年)早于牛顿(1704─1736年)发表微积分(英国 牛顿，德国 莱布尼茨)。 1669年，发明解非线性方程的牛顿－雷夫逊方法(英国 牛顿、雷夫逊)。 1670年，提出"费尔玛大定理",预测：若X,Y,Z,n都是整 数,则Ｘn＋Ｙn＝Ｚn 当n＞2时是不可能的(法国 费尔玛)。 1673年，发表 《摆动的时钟》，其中研究了平面曲线的渐屈线和渐伸线(荷兰 惠更斯)。 1684年，发表关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》(德国 莱布尼茨)。 1686年，发表了关于积分法的著作(德国 莱布尼茨)。 1691年，出版《微分学初步》，促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究 (瑞士 约·贝努利)。 1696年，发明求不定式极限的"洛比达法则"(法国洛比达)。 1697年，解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线(瑞士约·贝努利)。 1701-1750年 1704年，发表《三次曲线枚举》、《利用无穷级数求曲线的面积和长度》、 《流数法》(英国 牛顿)。 1711年，发表《使用级数、流数等等的分析》(英国 牛顿)。 1713年，出版概率论的第一本著作《猜度术》(瑞士 雅·贝努利)。 1715年，发表《增量方法及其他》(英国 布·泰勒)。 1731年，出版《关于双重曲率的曲线的研究》是研究空间解析几何和微分几何的最初尝 试(法国 克雷洛)。 1733年，发现正态概率曲线(英国 德·穆阿佛尔)。 1734年，贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二次数学危机(英国 贝克莱)。 1736年，发表《流数法和无穷级数》(英国 牛顿)。 1736年，出版《力学、或解析地叙述运动的理论》，是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作(瑞士 欧勒)。 1742年，引进了函数的幂级数展开法(英国 马克劳林)。 1744年，导出了变分法的欧勒方程，发现某些极小曲面(瑞士 欧勒)。 1747年，由弦振动的研究而开创偏微分方程论(法国 达兰贝尔等)。 1748年，出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，是欧勒的主要著作之一(瑞士 欧勒)。 1751-1800年 1755─1774年出版《微分学》和《积分学》三卷。书中包括分方程论和一些 特殊的函数(瑞士 欧勒)。 1760─1761年，系统地研究了变分法及其在力学上的应用(法国 拉格朗日)。 1767年，发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法(法国 拉格朗日)。 1770─1771年，把置换群用于代数方程式求解，这是群论的开始(法国 拉格朗日)。 1772年，给出三体问题最初的特解(法国 拉格朗日)。 1788年，出版《解析力学》，把新发展的解析法应用于质点、刚体力学(法国 拉格朗日)。 1794年，流传很广的初等几何学课本《几何学概要》(法国 勒让德尔)。 1794年，从测量误差，提出最小二乘法，于1809年发表(德国 高斯)。 1797年，发表《解析函数论》不用极限的概念而用代数方法建立微分学(法国 拉格朗日)。 1799年，创立画法几何学，在工程技术中应用颇多(法国 蒙日)。 1799年，证明了代数学的一个基本定理：实系数代数方程必有根(德国 高斯)。 1801-1850年 1801年, 出版《算术研究》，开创近代数论（德国 高斯）。 1809年，出版了微分几何学的第一本书《分析在几何学上的应用》（法国 蒙日）。 1812年，《分析概率论》一书出版，是近代概率论的先驱（法国 拉普拉斯）。 1816年，发现非欧几何，但未发表（德国 高斯）。 1821年，《分析教程》出版，用极限严格地定义了函数的连续、导数和积分，研究了无穷级数的收敛性等（法国 柯西）。 1822年,系统研究几何图形在投影变换下的不变性质，建立了射影几何学（法国 彭色列）。 1822年，研究热传导问题，发明用傅立叶级数求解偏微分方程的边值问题，在理论和应用上都有重大影响（法国 傅立叶）。 1824年，证明用根式求解五次方程的不可能性（挪威 阿贝尔）。 1825年，发明关于复变函数的柯西积分定理，并用来求物理数学上常用的一些定积分值（法国 柯西）。 1826年，发现连续函数级数之和并非连续函数（挪威 阿贝尔）。 1826年，改变欧几理得几何学中的平行公理，提出非欧几何学的理论（俄国 罗巴切夫斯基，匈牙利 波约）。 1827-1829年，确立了椭圆积分与椭圆函数的理论，在物理、力学中都有应用（德国 雅可比，挪威 阿贝尔，法国 勒让德尔）。 1827年，建立微分几何中关于曲面的系统理论（德国 高斯）。 1827年，出版《重心演算》，第一次引进齐次坐标（德国 梅比武斯）。 1830年，给出一个连续而没有导数的所谓"病态"函数的例子（捷克 波尔查诺）。 1830年，在代数方程可否用根式求解的研究中建立群论（法国 伽罗华）。 1831年，发现解析函数的幂级数收敛定理（法国 柯西）。 1831年，建立了复数的代数学，用平面上的点来表示复数，破除了复数的神秘性（德国 高斯）。 1835年，提出确定代数方程式实根位置的方法（法国 斯特姆）。 1836年，证明解析系数微分方程式解的存在性（法国 柯西）。 1836年，证明具有已知周长的一切封闭曲线中包围最大面积的图形必定是圆（瑞士 史坦纳）。 1837年，第一次给出了三角级数的一个收敛性定理（德国 狄利克莱）。 1840年，把解析函数用于数论，并且引入了"狄利克莱"级数（德国 狄利克莱）。 1841年，建立了行列式的系统理论（德国 雅可比）。 1844年，研究多个变元的代数系统，首次提出空间的概念（德国 格拉斯曼）。 1846年，提出求实对称矩阵特征值问题的雅可比方法（德国 雅可比）。 1847年，创立了布尔代数，对后来的电子计算机设计有重要应用（英国 布尔）。 1848年，研究各种数域中的因子分解问题，引进了理想数（德国 库莫尔）。 1848年，发现函数极限的一个重要概念--一致收敛，但未能严格表述（英国 斯托克斯）。 1850年，给出了"黎曼积分"的定义，提出函数可积的概念（德国 黎曼）。 1851-1900年 1851年，提出共形映照的原理，在力学、工程技术中应用颇多，但未给出证明（德国 黎曼）。 1854年，建立更广泛的一类非欧几何学--黎曼几何学，并提出拓扑流形的概念（德国 黎曼）。 开始建立函数逼近论，利用初等函数来逼近复杂的函数。二十世纪以来，由于电子计算机的应用，使函数逼近论有很大的发展（俄国 契比雪夫）。 1856年，建立极限理论中的ε-δ方法，确立了一致收敛性的概念（德国 外尔斯特拉斯）。 1857年，详细地讨论了黎曼面，把多值函数看成黎曼面上的单值函数（德国 黎曼）。 1868年，在解析几何中引进一些新的概念，提出可以用直线、平面等作为基本的空间元素（德国 普吕克）。 1870年，发现李群，并用以讨论微分方程的求积问题（挪威 李）。 给出了群论的公理结构，是后来研究抽象群的出发点（德国 克朗尼格）。 1872年，数学分析的"算术化"，即以有理数的集合来定义实数（德国 戴特金、康托尔、外耳斯特拉斯）。 发表了"爱尔朗根计划"，把每一种几何学都看成是一种特殊变换群的不变量论（德国 克莱茵）。 1873年，证明了π是超越数（法国 埃尔米特）。 1876年，《解析函数论》发行，把复变函数论建立在幂级数的基础上（德国 外尔斯特拉斯）。 1881-1884年，制定了向量分析（美国 吉布斯）。 1881-1886年，连续发表《微分方程所确定的积分曲线》的论文，开创微分方程定性理论（法国 彭加勒）。 1882年，证明了 是超越数（德国 林德曼）。 制定运算微积，是求解某些微分方程的一种简便方法，工程上常有应用（英国 亥维赛）。 1883年，建立集合论，发展了超穷基数的理论（德国 康托尔）。 1884年，《数论的基础》出版，是数理逻辑中量词理论的发端（德国 弗莱格）。 1887-1896年，出版了四卷《曲面的一般理论的讲义》，总结了一个世纪来关于曲线和曲面的微分几何学的成就（德德国 达尔布）。 1892年，建立运动稳定性理论，是微分方程定性理论的重要方面（俄国 李雅普诺夫）。 1892-1899年，创立自守函数论（法国 彭加勒）。 1895年，提出同调的概念，开创代数拓扑学（法国 彭加勒）。 1899年，《几何学基础》出版，提出欧几里得几何学的严格的公理系统，对数学的公理化思潮有很大影响（德国 希尔伯特）。 瑞利等人最早提出基于统计概念的计算方法--蒙太卡诺方法的思想。二十世纪二十年代柯朗（德）、冯.诺伊曼（美）等人发展了这个方法。后在电子计算机上获得应用。 提出数学上未解决的23个问题，引起了20世纪许多数学家的注意（德国 希尔伯脱）。 转引自： http://blog.sina.com.cn/s/blog_59b35e200100a5iy.html ------------------------ 世界数学史（二） 1901-1940年 1901年，严格证明狄利克雷原理，开创变分学的直接方法，在工程技术的计 算问题中有很多应用（德国 希尔伯特）。 首先提出群的表示理论。此后，各种群的表示理论得到大量研究（德国 舒尔、弗洛伯纽斯）。 基本上完成张量分析，又名绝对微分学。确立了研究黎曼几何和相对论的分析工具（意大利 里齐、勒维.齐维塔）。 提出勒贝格测度和勒贝格积分。推广了长度、面积积分的概念（法国 勒贝格）。 1903年，发现集合论中的罗素悖理，出现所谓第三次数学危机（英国 贝.罗素）。 建立线性积分方程的基本理论，是解决数学物理问题的数学工具，并为建立泛函分析作了准备（瑞典 弗列特荷姆）。 1906年，总结龄代数几何学的研究（意大利 赛维利等）。 把由函数组成的无限集合作为研究对象，引入函数空间的概念，并开始形成希尔伯特空间。这是泛函分析的发源（法国 弗勒锡，匈牙利 里斯）。 开始系统地研究多个自变量的复变函数理论（德国 哈尔托格斯）。初次提出"马尔可夫链"的数学模型（俄国 马尔可夫）。 1907年，证明复变函数论的一个基本原理---黎曼共形映照定理（德国 寇贝）。 反对在数学中使用排中律，提出直观主义数学（美籍荷兰人 路.布劳威尔）。 1908年，点集拓扑学形成（德国 忻弗里斯）。 提出集合论的公理化系统（德国 策麦罗）。 1909年，解决数论中著名的华林问题（德国 希尔伯特）。 1910年，总结了19世纪末20世纪初的各种代数系统如群、代数、域等的研究，开创了现代抽象代数（德国 施坦尼茨）。 发现不动点原理，后来又发 现了维数定理、单纯形逼近方法，使代数拓扑成为系统理论（美籍荷兰人路.布劳威尔）。 1910-1913年，出版《数学原理》三卷，企图把数学归结到形式逻辑中去，是现代逻辑主义的代表著作（英国 贝.素、怀特海）。 1913年，完成了半单纯李代数有限维表示理论，奠定了李群表示理论的基础。在量子力学和基本粒子理论中有重要应用（法国 厄.加当，德国 韦耳）。 研究黎曼面，初步产生了复流形的概念（德国 韦耳）。 1914年，提出拓扑空间的公理系统，为一般拓扑学建立了基础（德国 豪斯道夫）。 1915年，把黎曼几何用于广义相对论，成为它的主要数学工具。解出球对称的场方程，从而可以计算水星近日点的移动等问题（瑞士、美籍德国人 爱因斯坦，德国 卡.施瓦茨西德）。 1918年，应用复变函数论方法来研究数论，建立解析数论（英国 哈台、立笃武特）。 为改进自动电话交换台的设计，提出排队论的数学理论（丹麦 爱尔兰）。 希尔伯脱空间理论的形成（匈牙利 里斯）。 1919年，建立P-adic数论，在代数数论和代数几何中有重要应用（德国 亨赛尔）。 1922年 提出数学要彻底形式化的主张，创立数学基础中的形式主义体系和证明论（德国 希尔伯特）。 1923年 提出一般联络的微分几何学，将克莱因和黎曼的几何学观点统一起来，是纤维丛概念的发端（法国 厄·加当）。 提出偏微分方程适定性，解决二阶双曲型方程的柯西问题（法国 阿达玛）。 提出更广泛的一类函数空间——巴拿哈空间的理论（波兰 巴拿哈）。 提出无限维空间的一种测度——维纳测度，对概率论和泛函分析有一定作用（美国 诺·维纳）。 1925年 创立概周期函数（丹麦哈·波尔）。 以生物、医学试验为背景，开创了"试验设计"（数理统计的一个分支），也确立了统计推断的基本方法（英国 费希尔）。 1926年 大体上完成对近世代数有重大影响的理想理论（德国 纳脱）。 1927年 建立动力系统的系统理论，是微分方程定性理论的一个重要方面（美国 毕尔霍夫）。 1928年 提出解偏微分方程的差分方法（美籍德国人 理·柯朗）。首次提出通信中的信息量概念（美国 哈特莱）。 提出拟似共形映照理论，在工程技术上有一定应用（德国 格罗许，芬兰 阿尔福斯，苏联 拉甫连捷夫）。 1930年 建立格论，是代数学的重要分支，对摄影几何、点集论及泛函分析都有应用（美国 毕尔霍夫）。 提出自伴算子谱分析理论并应用于量子力学（美籍匈牙利人 冯·诺伊曼）。 1931年 发现流形上的微分型和流形的上同调性质的关系，给拓扑学以分析工具（瑞士 德拉姆）。 证明了公理化数学体系的不完备性（奥地利 哥德尔）。 发展马尔可夫过程理论（苏联 柯尔莫哥洛夫，美国 费勒）。 1932年 解决多元复变函数论的一些基本问题（法国 亨·嘉当）。 建立各态历经的数学理论（美国 毕尔霍夫，美籍匈牙利人 冯·诺伊曼）。 建立递归函数理论，是数理逻辑的一个分支，在自动机和算法语言中有重要应用（法国 赫尔勃兰特，奥地利 哥德尔，美国 克林）。 1933年 提出拓扑群的不变测度概念（匈牙利 奥·哈尔）。 提出概率论的公理化体系（苏联 柯尔莫哥洛夫）。 制订复平面上的傅立叶变式理论（美国 诺·维纳、丕莱）。 1934年 创建大范围变分学的理论，为微分几何和微分拓扑提供了有效工具（美国 莫尔斯）。 解决极小曲面的基本问题——普拉多问题，即求通过给定边界而面积为最小的曲面（美国 道格拉斯等）。 提出平稳过程理论（苏联 辛钦）。 1935年 在拓扑学中引入同伦群，成为代数拓扑和微分拓扑的重要工具（波兰 霍勒维奇等）。 开始研究产品使用寿命和可靠性的数学理论（法国 龚贝尔）。 1936年 寇尼克系统地提出与研究图的理论。50年代以后，由于在博弈论、规划论、信息论等方面的应用，贝尔治等对图的理论有很大的发展（德国 寇尼克，美国 贝尔治）。 现代的代数几何学开始形成（荷兰 范德凡尔登、法国 外耳，美国 查里斯基，意大利 培·塞格勒等）。 提出理想的通用计算机概念，同时建立了算法理论（英国 图灵，美国 邱吉、克林等）。 建立算子环论，可以表达量子场论数学理论中的一些概念（美籍匈牙利人 冯·诺伊曼）。 提出偏微分方程中的泛函分析方法（苏联 索波列夫）。 1937年 证明微分流形的嵌入定理，是微分拓扑学的创始（美国 怀特尼）。 提出偏微分方程组的分类法，得出某些基本性质（苏联 彼得洛夫斯基）。 开始系统研究随机过程的统计理论（瑞士 克拉默）。 1938年 布尔巴基丛书《数学原本》开始出版，企图从数学公理结构出发，以非常抽象的方式叙述全部现代数学（法国 布尔巴基学派）。 1940年 证明连续统假说在集合论公理系中的无矛盾性（美国 哥德尔）。提出求数值解的松弛方法（英国 绍司威尔）。 提出交换群调和分析的理论（苏联 盖尔方特）。 1941-1960年 1941年，定义流形上的调和积分，并用于代数流行，成为研究流形同调性质的分析工具（美国 霍奇）。 1941年，开始建立马尔可夫过程与随机微分方程的联系（苏联 谢 .伯恩斯坦，日本 伊藤清）。 1941年，创立赋范环理论，主要用于群上调和分析和算子环论（苏联 盖尔芳特）。 1942年，开始研究随机过程的预测，滤过理论及其在火炮自动控制上的应用，由此产生了"统计动力学"（美国 诺.维纳，苏联 柯尔莫哥洛夫）。 1943年，提出求代数方程数字解的林士谔方法（中国 林士谔）。 1944年，建立了对策论，即博弈论（美籍匈牙利人 冯.诺伊曼等)。 1945年，推广龄函数的概念，创立广义函数论，对微分方程理论和泛函分析有重要作用（法国 许瓦茨）。 1945年，建立代数拓扑和微分几何的联系，推进了整体几何学的发展（美籍中国人 陈省身）。 1945年，提出了噪声的统计理论（美国 斯.赖斯）。 1946年， 美国莫尔电子工程学校和宾夕法尼亚大学试制成功第一架电子计算机ENIAC（设计者为埃克特、莫希莱等人）。 1946年，建立现代代数几何学基础（法国 外耳）。 1946年，发展三角和法研究解析数论（中国 华罗庚）。 1946年，建立罗伦兹群的表示理论（苏联 盖尔芳特、诺伊玛克）。 1947年，创立统计的序贯分析法（美国 埃.瓦尔特）。 1948年，造成稳态机，能在各种变化的外界条件下自行组织，已达到稳定状态。鼓吹这是人造大脑的最初雏形、机器能超过人等观点（英国 阿希贝）。 1948年，出版《控制论》，首次使用控制论一词（美国 诺.维纳）。 1948年，提出通信的数学理论（美国 申农）。 1948年，总结了非线性微分方程在流体力学方面的应用，推进了这方面的研究（美籍德国人 弗里得里希斯、理 .柯朗)。 1948年，提出范畴论，是代数中一种抽象的理论，企图将数学统一于某些原理（波兰 爱伦伯克，美国 桑.麦克伦）。 1948年，将泛函分析用于计算数学（苏联 康脱洛维奇）。 1949年，开始确立电子管计算机体系，通称第一代计算机。英国剑桥大学制成第一台通用电子管计算机EDSAC。 1950年，发表《计算机和智力》一文，提出机器能思维的观点（英国 图灵）。 1950年，提出统计决策函数的理论（美国 埃.瓦尔特)。 1950年，提出解椭圆形方程的超松弛方法，是目前电子计算机上常用的方法（英国 大.杨）。 1950年，提出纤维丛的理论（美国 斯丁路特，美籍中国人 陈省身，法国 艾勒斯曼）。 1951年，五十年代以来，"组合数学"获得迅速发展，并应用于试验设计、规划理论、网络理论、信息编码等（美国 埃.霍夫曼、马.霍尔等）。 1952年，证明连续群的解析性定理（即希尔伯特第五问题）（美国 蒙哥马利等）。 1953年，提出优选法，并先后发展了多种求函数极值的方法（美国 基费等）。 1954年，发表《工程控制论》，系统总结自动控制理论的新发展（中国 钱学森）。 1955年，制定同调代数理论（法国 亨.加当、格洛辛狄克，波兰 爱伦伯克）。 1955年，提出求数值积分的隆姆贝方法，是目前电子计算机上常用的一种方法（美国 隆姆贝格）。 1955年，制定线性偏微分算子的一般理论（瑞典 荷尔蒙特等）。 1955年，提出解椭圆形或双线型偏微分方程的交替方向法（美国 拉斯福特等）。 1955年，解代数数的有理迫近问题（英国 罗思）。 1956年，提出统筹方法（又名计划评审法），是一种安排计划和组织生产的数学方法为美国杜邦公司首先采用。 1956年，提出线性规划的单纯形方法（英国 邓济希等）。 1956年，提出解双曲型和混合型方程的积分关系法（苏联 道洛尼钦）。 1957年，发现最优控制的变分原理（苏联 庞特里雅金）。 1957年，创立动态规划理论，它是研究使整个生产过程达到预期的最佳目的的一种数学方法（美国 贝尔曼）。 1957年，以美国康纳尔实验室的"感知器"的研究为代表，开始迅速发展图像识别理论（美国 罗森伯拉特等）。 1958年，创立算法语言ALGOL（58），后经改进又提出（ALGOL）（60），ALGOL（68）等算法语言，用于电子计算机程序自动化（欧洲GAMM小组，美国ACM小组）。 1958年，中国普遍地使用和改进"线性规划"法。 1958年，中国科学院计算机技术研究所试制成功中国第一架通用电子计算机。 1959年，美国国际商业机器公司制成第一台晶体管计算机"IBM7090"。第二代计算机——半导体晶体管计算机开始迅速发展。 1959—1960年，伽罗华域论在编码问题上的应用，发明BCH码（法国 霍昆亥姆，美国 儿.玻色，印度 雷.可都利）。 1960年，提出数字滤波理论，进一步发展了随机过程在制导系统中的应用（美国 卡尔门）。 1960年，建立非自共轭算子的系统理论（苏联 克雷因，美国 顿弗特）。 转引自： http://blog.sina.com.cn/s/blog_59b35e200100a5iz.html
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hylpy1 2017-2-23 14:57
级数求和——近似的无穷级数(苏剑林) https://spaces.ac.cn/archives/922/ 级数是数学的一门很具有实用性的分支，而级数求和则是级数研究中的核心内容之一。很多问题都可以表示成一个级数的和或积，也就是$\sum_{i=1}^n f(i)$或者是$\prod_{i=1}^n f(i)$类型的运算。其中，$ln(\prod_{i=1}^n f(i))=\sum_{i=1}^n ln(f(i))=k$，因此$\prod_{i=1}^n f(i)=e^k$，也就是说，级数求积也可以变为级数求和来计算，换言之我们可以把精力放到级数求和上去。 为了解决一般的级数求和问题，我们考虑以下方程的解： $f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)$————(1) 其中g(x)是已知的以x为变量的函数式，$\epsilon $是常数，初始条件是$f(k)=b$，要求f(x)的表达式。把$f(x+\epsilon )$用泰勒级数展开，得到 $f(x+\epsilon )=f(x)+f'(x)\epsilon +1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+...$ 代入原方程后得到 $f'(x)\epsilon +1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+...=g(x)$————(2) 逐项积分得 $f(x)\epsilon +1/2 f'(x)\epsilon^2+1/6 f''(x)\epsilon^3+1/24 f'''(x)\epsilon^4+...=\int g(x)dx$ 整理得到 $f(x)\epsilon =\int g(x)dx-(1/2 f'(x)\epsilon^2+1/6 f''(x)\epsilon^3+1/24 f'''(x)\epsilon^4+...)$————(3) 将(1)各项微分，得到 $f'(x+\epsilon)-f'(x)=g'(x)$————(4) 由公式(2)可以得到 $f'(x)\epsilon =\int g'(x)dx-(1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+1/24 f^{(4)}(x)\epsilon^4+...)$————(5) 将(5)代入(3)得到 $f(x)\epsilon = \int g(x)dx-{1/2 \epsilon^2$ $+1/6 f''(x)\epsilon^3+1/24 f'''(x)\epsilon^4+..}$ $= \int g(x)dx-1/2 g(x)+\sum_{i=2}^{\infty}(1/2*1/{i!}\epsilon^{i+2}-1/{(i+1)!}\epsilon^{i+1}) f^{(i)}(x)$————(6) 上面的推算会给我们一些启示：我们可以发现，方程 $f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)$ 的解可以表示为级数 $\epsilon f(x)=C+a_0\int g(x)dx+a_1 g(x)+a_2 g'(x)+a_3 g''(x)...$————(7) 其中C和a都是只和$\epsilon$有关的常数。将这个解代入(2)后得到 $a_0 g(x)+a_1 g'(x)+a_2 g''(x)+a_3 g'''(x)...+$ $1/2*(a_0 g'(x)+a_1 g''(x)+a_2 g'''(x)+a_3 g^{(4)}(x)...)\epsilon$ $+1/6*(a_0 g''(x)+a_1 g'''(x)+a_2 g^{(4)}(x)+a_3 g^{(5)}(x)...)\epsilon^2+...=g(x)$ 整理得 $a_0 g(x)+(a_1+1/2 a_0 \epsilon) g'(x)+(a_2+1/2 a_1 \epsilon+1/6 a_0 \epsilon^2) g''(x)+$ $(a_3+1/2 a_2 \epsilon+1/6 a_1 \epsilon^2+1/{24} a_0 \epsilon^2) g'''(x)+...=g(x)$ 根据级数相等的原则，必须要求 $a_0=1,\sum_{i=0}^n(a_i \epsilon^{n-i}*\frac{1}{(n+1-i)!})=0$ 或者写成 $a_0=1,a_n=-\sum_{i=0}^{n-1}(a_i \epsilon^{n-i}*\frac{1}{(n+1-i)!})$————(8) 到此，我们已经求出了方程$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)$的通解了。并且根据初始条件，我们可以得出唯一解。即 $\epsilon f(x)=b\epsilon + _k^x$ 上面讨论了一大片，也许有的读者会感到一片茫然：这和级数有什么关系呀？？有，当然有！请看———— 设$S(n)=\sum_{i=1}^n f(i)$，那么$S(n+1)-S(n)=f(n+1)$。 现在你明白了吧，如果已知通项公式，那么级数求和就等价于方程(1)中$\epsilon=1$的情况！为了应用方便，我们把(8)式中$\epsilon=1$的系数都列出来： blockquote$a_0=1$ $a_1=-1/2,a_2=1/12$ $a_3=0,a_4=-1/720$ $a_5=0,a_6=1/30240$ $a_7=0,a_8=-1/1209600$ $a_9=0,a_10=1/47900160$ $a_11=0,a_12=-691/1307674368000$ ....../blockquote 可见，收敛是迅速的。这种求和方法就是著名的“欧拉——马克劳林求和公式”。根据上面的结果，我们尝试为寻找一些求和公式，如$\sum_{x=1}^n x^3$，可以按照以下步骤： $s(n+1)-s(n)=(n+1)^3,S(1)=1$ $\int (n+1)^3=1/4 (n+1)^4$ $\frac{d(n+1)^3}{dn}=3(n+1)^2$ $\frac{d^2(n+1)^3}{dn^2}=6(n+1)$ $\frac{d^3(n+1)^3}{dn^3}=6$ 因此 $\sum_{x=1}^n x^3=S(n)=$ $1+ _1^n$ $={n^4}/4+{n^3}/2+{n^2}/4$ 另外，比如可以为n!寻找一条近似公式。$ln(n!)=\sum_{x=1}^n ln x$，即求解$s(x+1)-s(x)=ln(x+1)$。而$\int ln (x+1) dx=(x+1) ln(x+1) -(x+1)+Const$，于是很自然地，一级近似就是$n!\approx e^{(x+1) ln(x+1) -(x+1)+2(1-ln2)}$，并可以继续写出： $\sum_{x=1}^n ln x=C_0+ _k^n$ 其中$C_0=\sum_{x=1}^k ln x$，可见，这条公式是收敛的。
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hylpy1 2017-2-14 07:55
武汉大学2014数学分析考研真题解答 一、（1）求积分\ 解：不妨设$t=\ln x\Rightarrow x={{e}^{t}},-\infty t0$ 于是\ \ 而\ 于是\ 以此类推，既得\ （2）求极限$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{(1-x)}^{3}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{n}^{2}}{{x}^{n}}}$ 解：不妨设$S(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{n}^{2}}}{{x}^{n}}$ 考虑到$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{{{(n+1)}^{2}}}=1$，且$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{n}^{2}}}$和$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{(-1)}^{n}}}{{n}^{2}}$都发散 于是$S(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{n}^{2}}}{{x}^{n}},x\in (-1,1)$ 则$\frac{S(x)}{x}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{n}^{2}}}{{x}^{n-1}}\Rightarrow \int_{0}^{x}{\frac{S(t)}{t}}dt=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n}{{x}^{n}}$ 设$g(x)=\int_{0}^{x}{\frac{S(t)}{t}dt\Rightarrow \frac{g(x)}{x}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n{{x}^{n-1}}}}\Rightarrow \int_{0}^{x}{\frac{g(t)}{t}}dt=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{x}^{n}}}=\frac{x}{1-x}$ 于是$\frac{g(x)}{x}= '=\frac{1}{{{(1-x)}^{2}}}\Rightarrow g(x)=\frac{x}{{{(1-x)}^{2}}}\Rightarrow $ $\frac{S(x)}{x}= '=\frac{1+x}{{{(1-x)}^{3}}}\Rightarrow S(x)=\frac{x(1+x)}{{{(1-x)}^{3}}},x\in (-1,1)$ 于是$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{(1-x)}^{3}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{n}^{2}}{{x}^{n}}}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,x(1+x)=2$ （3）\ \] 解：先求\ \] 由于\ \overset{t=\frac{1}{x}}{\mathop{=}}\,\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(1+t)}^{\frac{1}{t}}}-e}{t}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\, '\] 设 \ 于是 \ 于是令$x=n$，于是\ =-\frac{e}{2}\] （4）求不定积分\ 解：由于\ 而\ 于是\ （其中$C$为常数） （5）计算曲面积分：$\int_{C}{xyds}$，其中$C$为球面${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9$和平面$x+y+z=0$的交线 解：由于平面$x+y+z=0$过原点$(0,0,0)$，从而交线的半径为$3$，且交线关于$x,y,z$轮换对称 从而$\int_{C}{xyds}=\int_{C}{yzds}=\int_{C}{xzds}=\frac{1}{6}\int_{C}{2(xy+yz+xz)ds}$ 而$2(xy+yz+xz)={{(x+y+z)}^{2}}-({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})$ 于是\ ds=}-\frac{3}{2}\int_{C}{ds}=-\frac{3}{2}\cdot 2\pi \cdot 3=-9\pi \] 二、已知$f(x)$在$ $内二阶可微，且$f(0)=0$，求证：存在$\xi \in $，使得$f''(\xi )=3\int_{-1}^{1}{f(x)dx}$ 证明：由于$f(x)$在$ $内二阶可微，于是 $f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi )}{2!}{{x}^{2}}=f'(0)x+\frac{1}{2}f''(\xi ){{x}^{2}},0\xi x$ 于是 \ 即存在$\xi \in (0,x)\subset $，使得$f''(\xi )=3\int_{-1}^{1}{f(x)dx}$ 三、已知${{x}_{n}}=f(\frac{1}{{{n}^{2}}})+f(\frac{2}{{{n}^{2}}})+\cdots +f(\frac{n}{{{n}^{2}}}),n=1,2,\cdots $，其中$f(x)$在$x=0$的附近可导，且$f(0)=0,f'(0)=1$，求证：$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}$存在，并求其值。 证明：由于$f(x)$在$x=0$附近可导，于是 $f(x)=f(0)+f'(0)x+\alpha (x)x=x+\alpha (x)x$ 其中$\alpha (x)$是关于$x$的函数，$\alpha (0)=0$且$\alpha (x)\to 0$，当$x\to 0$ 于是$f(\frac{i}{{{n}^{2}}})=\frac{i}{{{n}^{2}}}+\alpha (\frac{i}{{{n}^{2}}})\cdot \frac{i}{{{n}^{2}}}\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{n}{f(\frac{i}{{{n}^{2}}})=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{i}{{{n}^{2}}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\alpha (\frac{i}{{{n}^{2}}})}}}\cdot \frac{i}{{{n}^{2}}},i=1,2,\cdots ,n$ 由\ 对任意的$\varepsilon 0$，存在$N0$，当$nN$时，有$\left| \alpha (\frac{i}{{{n}^{2}}}) \right|\varepsilon $ 于是当$nN$时，$\left| \sum\limits_{i=1}^{n}{\alpha (\frac{i}{{{n}^{2}}})}\cdot \frac{i}{{{n}^{2}}} \right|\frac{\varepsilon }{2}(1+\frac{1}{n})$ 于是$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sup \sum\limits_{i=1}^{n}{\alpha (\frac{i}{{{n}^{2}}})}\cdot \frac{i}{{{n}^{2}}}\le \frac{\varepsilon }{2}$及$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\inf \sum\limits_{i=1}^{n}{\alpha (\frac{i}{{{n}^{2}}})}\cdot \frac{i}{{{n}^{2}}}\ge -\frac{\varepsilon }{2}$ 由的任意性知：$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=\frac{1}{2}$，从而$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}$存在 四、已知$\Omega $.是由方程$\left\{\begin{array}{ll} 3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\ z=0 \end{array} \right.$绕y轴旋转所生成的椭球面，$\Sigma $为$\Omega $的上半表面，$z\ge 0$， $(\lambda ,u,v)$为其方向余弦，求曲面积分$\iint_{\Sigma }{z(\lambda x+uy+vz)dS}$ 解：由题可知：椭球面$\Omega $的方程为：$3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}=1$ 由于$\iint_{\sum }{z(\lambda x+uy+vz)dS}=\iint_{\sum }{xzdydz+yzdzdx+{{z}^{2}}dxdy}$ 取平面${{\sum }_{1}}:3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}=1,z=0$ 于是$\iint_{{{\sum }_{1}}}{xzdydz+yzdzdx+{{z}^{2}}dxdy}=0$ 于是$\iint_{\sum }{z(\lambda x+uy+vz)dS}=\iint_{\sum +{{\sum }_{1}}}{xzdydz+yzdzdx+{{z}^{2}}dxdy}$ 令\ 由高斯公式可知： $\iint_{\sum }{z(\lambda x+uy+vz)dS}=\iint_{\sum +{{\sum }_{1}}}{xzdydz+yzdzdx+{{z}^{2}}dxdy}=4\iiint_{V}{zdxdydz}$ 于是令$x=\frac{1}{\sqrt{3}}R\sin \varphi \cos \theta ,y=R\sin \varphi \sin \theta ,z=\frac{1}{\sqrt{3}}R\cos \varphi $ 其中$0\le R\le 1,0\le \theta \le 2\pi ,0\le \varphi \le \frac{\pi }{2},\left| J \right|=\frac{1}{3}{{R}^{2}}\sin \varphi $ 于是 \ 五、已知$z=f(x,y)$在区域$D$存在二阶连续偏导数，已知$=\left\{\begin{array}{ll} u=x+2y \\ v=x+ay \end{array} \right.$变换，求$a$使得方程$2\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial x\partial y}-\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{y}^{2}}}=0$变为$\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial u\partial v}=0$ 解：由于$\left\{\begin{array}{ll} u=x+2y \\ v=x+ay \end{array} \right.$ $\Rightarrow {{u}_{x}}=1,{{u}_{y}}=2,{{v}_{x}}=1,{{v}_{z}}=a$ 于是$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}={{z}_{u}}+{{z}_{v}}$ $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}=2{{z}_{u}}+a{{z}_{v}}$ 于是$\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{x}^{2}}}= + ={{z}_{uu}}+2{{z}_{uv}}+{{z}_{vv}}$ $\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{y}^{2}}}=2 +a =4{{z}_{uu}}+4a{{z}_{uv}}+{{a}^{2}}{{z}_{vv}}$ $\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial x\partial y}= + =2{{z}_{uu}}+(a+2){{z}_{uv}}+a{{z}_{vv}}$ 由$2\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial x\partial y}-\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{y}^{2}}}=0\Rightarrow (6-3a){{z}_{uv}}+(2+a-{{a}^{2}}){{z}_{vv}}=0$ 于是令 $\left\{\begin{array}{ll} 6-3a=0 \\ 2+a-{{a}^{2}}=0 \end{array} \right.$ $\Rightarrow a=-1$ 即当$a=-1$时，$\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial u\partial v}=0$ 六、已知$\alpha -1$，求证$I=\int_{0}^{+\infty }{\frac{1-{{e}^{-\alpha x}}}{x{{e}^{x}}}}dx$收敛，并求$I$的值。 证明：由于$I=\int_{0}^{+\infty }{\frac{1-{{e}^{-\alpha x}}}{x{{e}^{x}}}}dx=\int_{0}^{1}{\frac{1-{{e}^{-\alpha x}}}{x{{e}^{x}}}}dx+\int_{1}^{+\infty }{\frac{1-{{e}^{-\alpha x}}}{x{{e}^{x}}}}dx={{I}_{1}}+{{I}_{2}}$ 其中${{I}_{1}}=\int_{0}^{1}{\frac{1-{{e}^{-\alpha x}}}{x{{e}^{x}}}}dx,{{I}_{2}}=\int_{1}^{+\infty }{\frac{1-{{e}^{-\alpha x}}}{x{{e}^{x}}}}dx$ 对于${{I}_{1}}$：考虑到$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{p}}\cdot \frac{1-{{e}^{-\alpha x}}}{x{{e}^{x}}}dx=0,0p1$ 于是${{I}_{1}}$在$\alpha -1$时收敛 对于${{I}_{2}}$：考虑到$\alpha -1$时，$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}\cdot \frac{1-{{e}^{-\alpha x}}}{x{{e}^{x}}}=0$ 于是${{I}_{2}}$在$\alpha -1$时收敛 从而$I$在$\alpha -1$时收敛 （2）不妨设$I(\alpha )=\int_{0}^{+\infty }{\frac{1-{{e}^{-\alpha x}}}{x{{e}^{x}}}}dx,\alpha -1$ 于是$I'(\alpha )=\int_{0}^{+\infty }{\frac{x{{e}^{-\alpha x}}}{x{{e}^{x}}}}dx=\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-(\alpha +1)x}}}dx=-\frac{1}{\alpha +1}{{e}^{-(\alpha +1)x}}|_{0}^{+\infty }=\frac{1}{\alpha +1},\alpha -1$ 且$I(0)=0$ 于是$I(\alpha )=\int_{0}^{\alpha }{\frac{1}{t+1}dt=\ln (1+\alpha ),\alpha -1}$ 七、已知级数$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{{{n}^{n+2}}}{{{(nx+1)}^{n}}}}$，求证 （1） 该级数在$(1,+\infty )$上收敛 （2） 该级数在$(1,+\infty )$上非一致收敛，但是$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{{{n}^{n+2}}}{{{(nx+1)}^{n}}}}$在$(1,+\infty )$上连续 证明：（1）用比较判别法考虑$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{n+4}}}{{{(nx+1)}^{n}}}$ 由于$nx+1nx\Rightarrow \frac{{{n}^{n+4}}}{{{(nx+1)}^{n}}}\frac{{{n}^{4}}}{{{x}^{n}}}$ 考虑到$x\in (1,+\infty )$时，$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{4}}}{{{x}^{n}}}=0\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{n+4}}}{{{(nx+1)}^{n}}}=0$ 从而由比较判别法知：该级数在$(1,+\infty )$上收敛； （2）由于取${{x}_{n}}=\frac{n+1}{n}$，此时\ 且$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n}}$发散 于是该级数在$(1,+\infty )$上非一致收敛 另一方面 ，由于对任意的$ \subset (1,+\infty )$ 此时$\frac{{{n}^{n+4}}}{{{(nx+1)}^{n}}}\frac{{{n}^{4}}}{{{a}^{n}}}$，$a1$ 而$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{4}}}{{{a}^{n}}}=0$，则当$n$充分大时，有$\frac{{{n}^{2}}}{{{a}^{n}}}\frac{1}{{{n}^{2}}}$ 而\ 收敛 由$M$判别法可知，该级数在$ $上一致收敛 由$ $的任意性及开区间覆盖定理知：该级数在$(1,+\infty )$上内闭一致收敛 从而$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{{{n}^{n+2}}}{{{(nx+1)}^{n}}}}$在$(1,+\infty )$上连续 http://blog.sciencenet.cn/blog-866753-824736.html
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hylpy1 2016-11-21 16:00
32.求证: (i)$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots=\ln 2$$ (ii)$$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\frac{\pi}{4}$$ 证明: $$\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}=\ln (1+x);\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}=\arctan x \,\,(|x|\leq 1)$$ 由Abel第二定理即命题 14知结论成立. 注意: 有理数对加法不是封闭的,如果考虑无穷多个进行运算. 由著名极限 $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$$ 知有理数对乘法也不是封闭的. 33. 试求级数$1-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\cdots$的和. 解答: 设 $$f(x)=x-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{7}x^{7}-\frac{1}{10}x^{10}+\cdot (|x|1)$$ 从而 $$f'(x)=1-x^{3}+x^{6}-x^{9}+\cdots=\frac{1}{1+x^{3}}\,\,(|x|1)$$ 利用有理函数积分理论求得 $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \left(\frac{-1+2x}{\sqrt{3}}\right)+\frac{1}{3}\ln (1+x)-\frac{1}{6}\ln (1-x+x^{2})+C$$ 由$f(0)=0$定出 $$C=\frac{\pi}{6\sqrt{3}}$$ 由Abel第二定理知 $$1-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\cdots=\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$$ 34. 求证$$\sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{n}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2$$ 证明: 设 $$f(x)=x-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{5}x^{5}-\frac{1}{6}x^{6}- \frac{1}{7}x^{7}+\cdots \,\,(|x|1)$$ 则 $$f'(x)=1-x-x^{2}+x^{3}+x^{4}-x^{5}-\cdots$$ 绝对收敛的级数可以调换求和次序,取上式奇数项相加,偶数项相加得 $$f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{x}{1+x^{2}}=\frac{1-x}{1+x^{2}}$$ 由于$f(0)=0$, $$f(x)=\int_{0}^{x}\frac{1-x}{1+x^{2}}dx=\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})$$ 由Abel第二定理知 $$\sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{n}=\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2$$ 注意: 在原级数基础上调换次序也可得结果.不绝对收敛的级数并非都不可调换次序. 35. 设$a-1,b-1,a\neq b$。求证 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+a)(n+b)}=\frac{1}{b-a}\int_{0}^{1^{-}}\frac{x^{a}-x^{b}}{1-x}dx$$ 证明: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+a)(n+b)}=\frac{1}{b-a}\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n+a}-\frac{1}{n+b}\right)$$ 左边级数的收敛性是显然的. 设 $$f(x)=\frac{1}{b-a}\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x^{n+a}}{n+a}-\frac{x^{n+b}}{n+b}\right)\,\,(|x|1)$$ 则 $$f'(x)=\frac{1}{b-a}\sum_{n=1}^{\infty} \left(x^{n+a-1}-x^{n+b-1}\right)\,\,(|x|1)=\frac{x^{a}-x^{b}}{1-x}$$ 由Abel第二定理 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+a)(n+b)}=\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\frac{1}{b-a}\int_{0}^{1^{-}}\frac{x^{a}-x^{b}}{1-x}dx$$ 36. 试证 $$1-\frac{1}{2}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6 }+\cdots=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ 证明: 由广义的二项式定理 $$(1-x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{k}(-1)^{k}x^{k}$$ 其中 $$\binom{-\frac{1}{2}}{k}=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-1\right)\cdots\left(-\frac{1}{2}-k+1\right)}{k!}$$ 由Abel第二定理知 $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{n}=\lim_{x\to -1^{+}}(1-x)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ 37. 试证 $$\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{2}{3\cdot 4}+\frac{3}{4\cdot 5}-\frac{4}{5\cdot 6}+\cdots=3\ln 2 -2$$ 证法一： \begin{align*} \sum_{1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{(n+1)(n+2)}=\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{n}{n+1}-\frac{n}{n+2}\right)\\ =2\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n+2}-\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n+1}\\ =3\ln 2 -2 \end{align*} 证法二: 设 $$f(x)=\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{(n+1)(n+2)}x^{n+1}$$ 则 \begin{align*} f'(x)=\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n+2}x^{n}\\ =\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{n}-\frac{2}{x^{2}}\sum_{1}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n+2}\\ =\frac{x}{1+x}-\frac{2}{x^{2}}\left(\ln (1+x)-x+\frac{1}{2}x^{2}\right)\\ =\frac{2}{x}-\frac{1}{1+x}-\frac{2}{x^{2}}\ln (1+x) \end{align*} 所以 $$f(x)=\ln(1+x)+\frac{2\ln(1+x)}{x}+C$$ 由$f(0)=0$定的$C=-2$.利用Abel第二定理即得结论. 38. 设当$n$增大时正值连续的函数列$v_{n}(x)$为单调下降($0x1)$, 又设 $$\lim_{x\to 1^{-}}v_{n}(x)=1\,\,(n=0,1,2,3\cdots)$$ 则当$\sum a_{n}$收敛时有 $$\lim_{x\to 1^{-}}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}v_{n}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$$ 证明: 此命题为推广的Abel第二定理即命题 14. 证明方法亦类似,关键在于证明一致收敛性. 由Cauchy收敛准则知,任意$\varepsilon0$,存在$N$,当$n,mN$时 $$\left|\sum_{k=n}^{m}a_{k}\right|\varepsilon$$ 利用$v_{n}(x)$的非负单调性和命题4, 和式估计 $$\left|\sum_{n}^{m}a_{k}v_{k}(x)\right|\leq v_{0}(x)\cdot \varepsilon\leq M\cdot \varepsilon$$ 其中$M=\max\{v_{0}(x),01-\delta\leq x\leq 1\}$.这个$M$是存在的.因为$\lim_{x\to 1^{-}}v_{0}(x)=1$. 故级数$\sum a_{n}v_{n}(x)$内闭一致收敛. $$\lim_{x\to 1^{-}}\sum_{0}^{\infty}a_{n}v_{n}(x)=\sum_{0}^{\infty}a_{n}\lim_{x\to 1^{-}}v_{n}(x)=\sum_{0}^{\infty}a_{n}$$ 39. (Stolz) 设级数$\sum na_{n}$为收敛.又设 $$f(x)=\sum a_{n}x^{n}\,\,(|x|1)$$ 则 $$\sum_{1}^{\infty}na_{n}=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(1)-f(x)}{1-x}$$ 证明:$\sum a_{n}=\sum na_{n}\frac{1}{n}$.若$\sum na_{n}$收敛则$\sum a_{n}$收敛. 设 $$v_{n}(x)=\frac{1-x^{n}}{n(1-x)}$$ 则对固定的$x$而言$v_{n}(x)$单调递减,且由L'Hospital法则知$\lim\limits_{x\to 1^{-}}v_{n}(x)=1$. 由广义的Abel第二定理即命题38知 $$\sum_{1}^{\infty}na_{n}=\lim_{x\to 1^{-}}\sum_{1}^{\infty}(na_{n})\frac{1-x^{n}}{n(1-x)}=\lim_{x\to 1^{-}}\sum_{1}^{\infty}a_{n}\frac{1-x^{n}}{1-x}=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(1)-f(x)}{1-x}$$ 40. 试证: $$\lim_{x\to 1^{-}}\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n(1+x^{n})}=\lim_{x\to 1^{-}}\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}(1-x)}{1-x^{2n}}=\frac{1}{2}\ln 2$$ 证明: $$\lim_{x\to 1^{-}}\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n(1+x^{n})}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 1^{-}}\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\frac{2x^{n}}{1+x^{n}}$$ 设$v_{n}=\frac{2x^{n}}{1+x^{n}}$.则$v_{n}\geq 0$且 $$\frac{v_{n}(x)}{v_{n-1}(x)}=\frac{x+x^{n}}{1+x^{n}}1\,\,(|x|1)$$ 由广义的Abel第二定理知 $$\lim_{x\to 1^{-}}\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n(1+x^{n})}=\frac{1}{2}\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\frac{1}{2}\ln 2$$ 从此题的做法中可以看到,$v_{n}$的非负递减性以及收敛性起决定性作用,收敛值不影响极限符号与求和符号的交换. 这一点从命题 38的证明中也可以看出来.类似地，第二个等式可证. 41. (Possion) 试证当$0\theta2\pi$时 $$\lim_{x\to 1^{-}}\left(\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}\cos n\theta\right)=0$$ $$\lim_{r\to 1^{-}}\sum_{n=1}^{\infty}r^n\sin n\theta=\frac{1}{2}\cot \frac{\theta}{2}$$ 证明: 级数$\sum r^{n}\cos n\theta$与$\sum r^{n}\sin n\theta \,\,(|r|1)$时收敛. $$\frac{1}{1-re^{i\theta}}=\sum_{0}^{\infty}(re^{i\theta})^{n}=\sum_{0}^{\infty}r^{n}\cos n\theta+i\sum_{0}^{\infty}r^{n}\sin n\theta$$ 而 $$\frac{1}{1-re^{i\theta}}=\frac{1-r\cos \theta}{1-2r\cos \theta+r^{2}}+i\frac{r\sin \theta}{1-2r\cos \theta+r^{2}}$$ 对应虚实部相等,求得 $$\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}\cos n\theta=\frac{1}{2}\frac{1-r^{2}}{1-2r\cos n\theta+r^{2}}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}=\frac{\sin \theta}{2(1-\cos \theta)}=\frac{1}{2}\cot \frac{\theta}{2}$$ 取极限 $$\lim_{x\to 1^{-}}\left(\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}\cos n\theta\right)=0$$ $$\lim_{r\to 1^{-}}\sum_{n=1}^{\infty}r^n\sin n\theta=\frac{1}{2}\cot \frac{\theta}{2}$$ 注意: 若$\sum a_{n}$收敛则 $$\lim_{x\to 1^{-}}a_{n}x^{n}=\sum a_{n}$$ $$\lim_{x\to 1^{-}}a_{n}v_{n}(x)=\sum a_{n}$$ 当$\sum a_{n}$在一般意义下求和发散时,左边的极限仍可能存在. 我们不妨叫它作级数的广义和(Abel-Possion和).同理根据 $$\frac{s_{1}+s_{2}+\cdots+s_{n}}{n}$$ 收敛性与$s_{n}$收敛性之间的关系可以定义一个广义和.当然还有其它定义广义和的方法. http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/5716872.html
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hylpy1 2016-11-21 15:58
14.(阿贝耳定理) 设$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}=s$. 则$\lim_{x\to 1-}\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=s$. 证明: 容易看出$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$在$0 \leq x \leq 1$上一致收敛. 由Cauchy收敛准则知,任意$\varepsilon0$,存在$n$任意$p0$有 $$\left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}\right|\varepsilon$$ 由Abel引理(命题4)知 $$\left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}x^{k}\right|x^{n}\left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}\right|\leq \varepsilon$$ 由Cauchy收敛准则知$f(x)$一致收敛. 一致收敛的级数和保持连续性故 $$\lim_{x\to 1-}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=s$$ 15. (Abel 级数乘法定理)令$c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots+a_{n}b_{0}$.又设$\sum a_{n},\sum b_{n}, \sum c_{n}$都收敛. 则 $$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\right)$$ 证明: 因为绝对收敛的级数可以相乘,因此 $$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}\right)=s_{1}(x)s_{2}(x)$$ 由阿贝尔第二定理(命题14)知 $$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}=\lim_{x\to 1-}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=\lim_{x\to 1-}s_{1}(x)s_{2}(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\right)$$ 16. 试证 $$\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots\right)^{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\cdots$$ 证明: 从左往右证是平凡的,从右式归为左式是非常考察眼力的. 取 $$a_{n}=b_{n}=(-1)^{n-1}\frac{1}{n},\, (n=0,1,2,\cdots),a_{0}=b_{0}=0$$ 则 $$c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=(-1)^{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(n-k)}=\frac{(-1)^{n}}{n}\sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{k}+\frac{1}{n-k}\right)=(-1)^{n}\frac{2}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$ 只需证明级数$\sum c_{n}$收敛, 那么由命题15自然得到命题16成立. 由Euler极限(或Stolz定理)知 $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)=0$$ 且 \begin{align*} \frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}\cdot \frac{n+1}{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n+1}}\\ =\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot \frac{1}{1+\frac{\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}}\\ \geq\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}\right)\\ \geq 1 \end{align*} 由交错级数的Leibniz判别法知 $\sum c_{n}$收敛. 命题证毕. 17. 试证级数 $$1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots$$ 的自乘级数为发散. 证明: 设 $$a_{k}=b_{k}=\frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k}},(k=1,2,3,\cdots),a_{0}=b_{0}=0$$ 则 $$c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=(-1)^{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k(n-k)}}$$ 利用基本不等式 $$\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}$$ 有 $$c_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{\sqrt{k(2n-k)}}\geq \sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{n}=2\nrightarrow 0$$ 因此级数$\sum c_{n}$必不收敛(这是因为收敛的必要性通项趋于零这一条件的不满足). 18. (Pringsheim) 设$u_{n}\downarrow 0,v_{n}\downarrow 0$.则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_{n}$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}v_{n}$的乘积级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\omega_{n}$收敛的充分必要条件是 $$\omega_{n}=u_{1}v_{n}+u_{2}v_{n-1}+\cdots+u_{n}v_{1}\to 0$$ 证明: 必要性是平凡的. 只证充分性即可.由Abel级数乘法定理只需要证明级数$\sum (-1)^{n}\omega_{n}$收敛即可(未必为交错级数). 考察部分和 $$\Omega_{n}=\omega_{1}-\omega_{2}+\cdots+(-1)^{n}\omega_{n}$$ $$U_{n}=u_{1}-u_{2}+\cdots+(-1)^{n}u_{n}$$ $$V_{n}=v_{1}-v_{2}+\cdots+(-1)^{n}v_{n}$$ 且 $$U_{n}\to u \,\, ;V_{n}\to v \,\, (n\to \infty)$$ 我们有 \begin{align*} \Omega_{n}=u_{1}V_{n}+u_{2}V_{n-1}+\cdots+u_{n}V_{1}\\ =u_{1}(V_{n}-V)+u_{2}(V_{n-1}-V)+\cdots+u_{n}(V_{1}-V)+U_{n}V \end{align*} 而 \begin{align*} |u_{1}(V_{n}-V)+u_{2}(V_{n-1}-V)+\cdots+u_{n}(V_{1}-V)|\\ \leq u_{1}|V_{n}-V|+u_{2}(V_{n-1}-V)+\cdots+u_{n}|V_{1}-V|\\ \leq u_{1}v_{n+1}+u_{2}v_{n}+\cdots+u_{n}v_{2} \,\,\,(since \, |V_{n}-V|\leq v_{n+1},\, Lebnizt\, series)\\ \leq u_{1}v_{n}+u_{2}v_{n-1}+\cdots+u_{n}v_{1} \to 0 \end{align*} 所以 $$\lim_{n\to\infty}\Omega_{n}=UV$$ 19. (Pringsheim) 设$u_{n}\downarrow 0,v_{n}\downarrow 0$.则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_{n}$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}v_{n}$的乘积级数收敛的充分必要条件是$U_{n}v_{n}\to 0$ 并且 $V_{n}u_{n}\to 0$,这里 $$U_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n};V_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}$$ 证明: 充分性.若$U_{n}v_{n}\to 0$ 并且 $V_{n}u_{n}\to 0$则 \begin{align*} \omega_{2n}=u_{1}v_{2n}+u_{2}v_{2n-1}+\cdots+u_{n}v_{n+1}+u_{n+1}v_{n}+u_{n+2}v_{n-1}+\cdots+u_{2n}v_{1}\\ \leq (u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n})v_{n+1}+u_{n+1}(v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n})\to 0 \end{align*} 对 $\omega_{2n+1}$ 类似处理可得 $\omega_{2n+1}\to 0$. 从而 $\omega_{n}\to 0$. 由命题18知乘积级数收敛. 必要性. 若乘积级数收敛,则$\omega_{n}\to 0$. 利用单调性知 $$U_{n}v_{n}\leq u_{1}v_{n}+u_{2}v_{n-1}+\cdots+u_{n}v_{1}\to 0$$ 20. 试讨论$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{\alpha}}$和$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{\beta}}$的乘积级数的收敛性,这里 $0\alpha1,0\beta1$. 解答: 利用命题19 以及Stolz定理 $$\left(\frac{1}{1^{\alpha}}+\frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots+\frac{1}{n^{\alpha}}\right)\cdot \frac{1}{n^{\beta}}\sim \frac{1}{(n+1)^{\alpha}}\cdot \frac{1}{(n+1)^{\beta}-n^{\beta}}\sim \frac{1}{\beta n^{\alpha+\beta-1}}, n\to \infty$$ 同理 $$\left(\frac{1}{1^{\beta}}+\frac{1}{2^{\beta}}+\cdots+\frac{1}{n^{\beta}}\right)\cdot \frac{1}{n^{\alpha}}\sim \frac{1}{\alpha n^{\alpha+\beta-1}}, n\to \infty$$ 故当$\alpha+\beta1$时乘积级数收敛. 21. (Mertens) 设级数$\sum a_{n}$与级数$\sum b_{n}$二收敛级数中至少有一个绝对收敛,又设 $$c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots+a_{n}b_{0}$$ 则$\sum c_{n}$必收敛,且 $$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}$$ 证明: 证明方法类似命题18, 设 $$A_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{n}\to A$$ $$B_{n}=\sum_{k=0}^{n}b_{n}\to B$$ 又设$\sum a_{n}$绝对收敛, 则对$\sum c_{n}$进行估计 \begin{align*} \sum_{k=0}^{n}c_{k}=a_{0}B_{n}+a_{1}B_{n-1}+\cdots+a_{n}B_{0}\\ =a_{0}(B_{n}-B)+a_{1}(B_{n-1}-B)+\cdots+a_{n}(B_{0}-B)+A_{n}B \end{align*} 由收敛级数的Cauchy准则有 $\forall \varepsilon0, \exists N,nN$ $$\sum_{N}^{n}|a_{n}|\varepsilon$$ 故 \begin{align*} |a_{0}(B_{n}-B)+a_{1}(B_{n-1}-B)+\cdots+a_{n}(B_{0}-B)|\\ \leq |a_{0}|\cdot|B_{n}-B|+|a_{1}|\cdot |B_{n-1}-B|+\cdots+|a_{N}|\cdot |B_{n-N}-B|+\cdots+|a_{n}|\cdot|B_{0}-B|\\ \leq |a_{0}|\cdot|B_{n}-B|+|a_{1}|\cdot |B_{n-1}-B|+\cdots+|a_{N}|\cdot |B_{n-N}-B|+M\cdot \varepsilon \end{align*} 其中$M$为$|B_{n}-B|$的一个上界, 两边令$n\to \infty$ $$\limsup_{n\to \infty}|a_{0}(B_{n}-B)+a_{1}(B_{n-1}-B)+\cdots+a_{n}(B_{0}-B)|=0$$ 所以 $$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}=AB=\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\right)$$ 22. (Abel判别法) 设级数$\sum a_{n}$收敛而$\sum (b_{n}-b_{n+1})$绝对收敛(其中$a_{n},b_{n}$可以是复数),则$\sum a_{n}b_{n}$必收敛. 证明: 利用分部求和公式 $$\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$$ 设$A_{n}\to A$,由于$\sum (b_{n}-b_{n+1})$绝对收敛,设$b_{n}\to b$. 只需要证明 $$\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$$ 收敛即可. $$\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})=\sum_{k=1}^{n-1}(A_{k}-A)(b_{k}-b_{k+1})+A\sum_{k=1}^{n-1}(b_{k}-b_{k+1})$$ 而 $$\sum_{k=1}^{n-1}|(A_{k}-A)(b_{k}-b_{k+1})|\leq M \sum_{k=1}^{n-1}|b_{k}-b_{k+1}|$$ 其中$M$为$|A_{n}-A|$的一个上界, 由Weirstrass判别法知$\sum (A_{k}-A)(b_{k}-b_{k+1})$绝对收敛.运用收敛级数的四则运算法则知级数$\sum a_{n}b_{n}$收敛. 23. (Dirichlet判别法) 设$\sum\limits_{k=1}^{n}a_{n}$为有界而$\sum (b_{n}-b_{n+1})$为绝对收敛且$b_{n} \to 0$(其中$a_{n},b_{n}$可以是复数).则$\sum a_{n}b_{n}$收敛. 证明: 由分部求和公式 $$\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{k}+\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$$ 由于$|A_{n}|$有界$M$,$b_{n}\to 0$, 故$A_{n}b_{n}\to 0$. 且 $$\sum_{k=1}^{n-1}|A_{k}(b_{k}-b_{k+1})|\leq M \sum_{k=1}^{n-1}|b_{k}-b_{k+1}|$$ 由Weistrass判别法知$\sum\limits_{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$收敛. 从而 $\sum a_{n}b_{n}$收敛. 24. (Abel)设$\{b_{n}\}_{1}^{\infty}$为一有界单调实数列而级数$\sum a_{n}$收敛. 则级数$\sum a_{n}b_{n}$必收敛. 证明: 不妨设$b_{n}$单调递减, 由单调有界收敛准则知$b_{n}\to b$,且级数 $$\sum_{k=1}^{\infty}(b_{k}-b_{k+1})=b_{1}-b$$ 由命题 22 知$\sum a_{n}b_{n}$收敛. 25. (Dirichlet) 设$b_{n}\downarrow 0 (n\to \infty)$而$\sum\limits_{1}^{n}a_{k}$有界. 则级数$\sum a_{n}b_{n}$必收敛. 证明: 由$b_{n}\downarrow 0 (n\to \infty)$知$\sum (b_{n}-b_{n+1})$为绝对收敛且$b_{n} \to 0$, 利用命题 23 变得结论. 26. 令$t=\cos \theta+i\sin \theta=e^{i\theta}$. 则当$0\theta2\pi$且$a_{n}\downarrow 0$时级数$\sum a_{n}t^{n}$收敛,同时 $$\textcolor{red}{\left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}t^{k}\right|\leq \frac{4\, a_{n}}{|1-t|}}$$ 证明: 设 $b_{n}=t^{n}$. $$\left|\sum_{k=0}^{n}t^{k}\right|=\left|\frac{1-t^{n+1}}{1-t}\right|\leq \frac{2}{|1-t|}$$ 又$a_{n}\downarrow 0$由Dirichlet收敛原理知级数$\sum a_{n}t^{n}$收敛. 同理 $$\left|\sum_{k=n}^{n+p}t^{k}\right|=\left|\frac{t^{n}(1-t^{p+1})}{1-t}\right|\leq \frac{2}{|1-t|}$$ 利用分布求和法估计和式 $\sum\limits_{k=n}^{n+p}a_{k}t^{k}$ \begin{align*} \left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}t^{k}\right|=\left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}(T_{k}-T_{k-1})\right|\\ =\left|a_{n+p}T_{n+p}+\sum_{k=n}^{n+p-1}(a_{k}-a_{k+1})T_{k}-a_{n}T_{n-1}\right|\\ \leq \frac{2}{|1-t|}a_{n+p}+\frac{2}{|1-t|}\sum_{k=n}^{n+p-1}(a_{k}-a_{k+1})+\frac{2}{|1-t|}a_{n}\\ =\frac{4\, a_{n}}{|1-t|} \end{align*} 27. 设$a_{n}\downarrow 0$. 则当$0\theta2\pi$时级数$\sum a_{n}\cos n\theta$以及$\sum a_{n}\sin n\theta$ 为收敛且有 $$\textcolor{red}{\left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}\cos k\theta\right|\leq \frac{2\, a_{n}}{\sin \frac{\theta}{2}};\,\,\left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}\sin k\theta\right|\leq \frac{2\, a_{n}}{\sin \frac{\theta}{2}}}$$ 证明: 收敛性可由Dirichlet判别法得知.由命题 26 有 $$\left|\sum_{k=n}^{n+p}\cos k\theta+i\sum_{k=n}^{n+p}\sin k\theta\right|\leq \frac{2}{|1-t|}=\frac{1}{\sin\frac{\theta}{2}}$$ $$\left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}\cos k\theta+i\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}\sin k\theta\right|\leq \frac{4\, a_{n}}{|1-t|}=\frac{2\,a_{n}}{\sin\frac{\theta}{2}}$$ 复数的实部与虚部均小于其模长 $$\textcolor{red}{\left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}\cos k\theta\right|\leq \frac{2\, a_{n}}{\sin \frac{\theta}{2}};\,\,\left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}\sin k\theta\right|\leq \frac{2\, a_{n}}{\sin \frac{\theta}{2}}}$$ 28. (Hardy) 试应用命题 25 来讨论级数$\sum a_{n}u_{n},\sum a_{n}v_{n}$的收敛性问题, 其中 $$\sum_{1}^{n}u_{k}=\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}\theta,\,\, \sum_{1}^{n}v_{k}=\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}\theta$$ 并从而推断$\sum a_{n}\sin n\theta\cdot \cos n^{2}\theta,\,\, \sum a_{n}\sin n\theta\cdot \sin n^{2}\theta$ 二级数当$a_{n}\downarrow 0$时收敛. 证明: 关键点在于三角函数的积化和差公式以及二倍角公式 \begin{align*} \sum_{1}^{n}\sin k\theta\cdot \cos k^{2}\theta=\frac{1}{2}\sum_{1}^{n}\left \\ =\frac{1}{2}\sum_{1}^{n}\left\{\sin\left \theta-\sin\left \theta\right\}\\ =\frac{1}{2}\cos\frac{\theta}{4}\sum_{1}^{n}\left \\ +\frac{1}{2}\sin\frac{\theta}{4}\sum_{1}^{n}\left \\ =\frac{1}{2}\left \\ =\frac{1}{2}\sin (n+n^{2})\theta \end{align*} 类似地, \begin{align*} \sum_{1}^{n}\sin k\theta\cdot \sin k^{2}\theta=\frac{1}{2}\sum_{1}^{n}\left \\ =\frac{1}{2}\sum_{1}^{n}\left\{\cos\left \theta-\cos\left \theta\right\}\\ =\frac{1}{2}\cos\frac{\theta}{4}\sum_{1}^{n}\left \\ +\frac{1}{2}\sin\frac{\theta}{4}\sum_{1}^{n}\left \\ =\frac{1}{2}\cos\frac{\theta}{4}\left \\ +\frac{1}{2}\sin\frac{\theta}{4}\left \\ =\frac{1}{2} \\ =\sin \frac{(n+n^{2})\theta}{2} \end{align*} 从而 $$\left|\sum_{1}^{n}\sin k\theta\cdot \cos k^{2}\theta\right|\leq \frac{1}{2},\,\left|\sum_{1}^{n}\sin k\theta\cdot \sin k^{2}\theta \right|\leq 1 $$ 由Dirichlet判别法知$\sum a_{n}\sin n\theta\cdot \cos n^{2}\theta,\,\, \sum a_{n}\sin n\theta\cdot \sin n^{2}\theta$二级数当$a_{n}\downarrow 0$时收敛. 29. 设$a_{n}\downarrow 0(n\to\infty)$且 $$\frac{1}{2}(a_{n}+a_{n+2})\geq a_{n+1}$$ 则当$0\theta2\pi$时级数 $$\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos n\theta$$ 收敛于一个非负函数. 证明:核函数 $$D_{n}(\theta)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}=\frac{1}{2}\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}$$ $$K_{n}(\theta)=\sum_{k=0}^{n}D_{k}(\theta)=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\right)^{2}$$ 利用两次和差变换可得 \begin{align*} \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cos k\theta=\sum_{k=0}^{n-1}D_{k}(\theta)(a_{k}-a_{k+1})+a_{n}D_{n}(\theta)\\ =a_{n}D_{n}(\theta)+(a_{n-1}-a_{n})K_{n-1}(\theta)+\sum_{k=0}^{n-2}(a_{k}-2a_{k+1}+a_{k+2})K_{k}(\theta)\\ \geq 0 \end{align*} 由极限的保号性知收敛于一个非负函数. http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/5712950.html
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hylpy1 2016-11-8 19:35
数的概念 康明昌 1.前言 本文的目的是针对“高中数学实验教材”第一册修订本的第三章数的概念作个补充。希望能够帮助读者更容易的掌握这一章的主要内容。 本文写作的对象是一般高中学生与高中数学教师。附有“*”符号者表示内容稍微艰深的部分，一般学生可以省略不看，不过作者非常鼓励对数学有兴趣的学生不要省略这些部分。 本文内容分成两个主要成分:第二节的数学归纳法，与第三、四、五、六节的数系介绍。数学归纳法其实只是自然数系的一个性质，不过由于它的应用范围相当广泛，因此我们花费了很多篇辐来介绍这个概念。实数与复数是人类处理量的问题的基本工具，是数学的基础与根源所在。实数系的某些较艰深的性质，如“完备性”，将留待日后讨论，本文暂不涉及。 请容许作者再强调一次：本文的目的不在取代实验本第一册第三章。作者的目的只在提供一种补充教材，因此如果本文与该书第三章有许多雷同之处，读者也不必过分感到意外。 2.数学归纳法 2.1 什么是数学归纳法？（一） 考虑以下的例题与“证明”。 例题1 求证 ，其中 n是任意正整数。 证明： 若n=1，左式=13= =右式 若n=2，左式=13+23=9= =右式 若n=3，左式=13+23+33=36= =右式 若n=4，左式= 13+23+33+43=100= =右式 若n=5，左式= 13+23+33+43+53=25= =右式 以此类推，可知对于任意正整数 n，原式都成立。 以上的“证明”有什么错误呢? 我们想一想，以上的“证明”其实只证明 n=1,2,3,4,5 时，原式成立。那么 时，有没有证明呢？ 在 ，以上的“证明”只用“以此类推”就一笔带过。 什么是以此类推呢？以此类推是表示 的证明几乎和 n=1,2,3,4,5 的证明完全一样。可是我们想一想，即便我们知道 13 + 23 + … +53 的数值，我们是否能够很容易的推出 13 + 23 + … +1003 的数值呢？如果不能，n=100 的证明显然就不能够用以此类推蒙混过去。 有些同学可能会说：你既然不相信我能够证明 n=100，我就证明给你看。你只要给我一小时的时间，我就可以求出 13, 23, 33, …, 1003，再求其和，然后证明这个式子。 问题就在这里：你要用一小时的时间证明 n=100 的情形，你究竟要用多少时间才能证明 n=103 的情形？此外，在 103 之后，还有无穷无尽的正整数等着你一个一个去验证呢！ 愚公想用几代子孙的力量把一座山搬走，因为一座山的范围是有限的。我们现在问题的核心，正整数，是无限的。愚公移山式的方法，显然不能解决我们的问题。 想个新的方法吧。 假设我们能够证明“若 k 是任意正整数，并且 n=k 时原式成立，则 n=k+1 时原式亦成立”，那么我们就可以轻而易举的证明这个恒等式了。为什么呢？ 例如，你想证明 n=100 时原式成立，依照上面的假设，你只要证明 n=99 时原式成立就够了。 那么 n=99 时原式会不会成立呢？再用一次我们的假设，我们只要证明 n=98 时原式成立就够了。 那么 n=98 时原式会不会成立呢？再用一次我们的假设，我们只要证明 n=97 时原式成立就够了。 以此类推，我们只要 n=1 时原式成立就够了。 更一般的说，我们不要把 n 限制为100，现在让 n 是任意正整数。假定我们能够证明我们最先的假设是成立的，那么只要我们能够证明 n=1 时原式成立，我们就可以推出 n 是任意正整数时原式亦成立。 这就是数学归纳法。 数学归纳法的要点是： 一、证明 n=1 时原式成立。二、若 k 是任意正整数，证明“若 n=k 时原式成立，则 n=k+1 时原式亦成立”。 现在我们把例题1.的正确的证明写在下面。 证明：(1) 若n=1时，左式=13=1= =右式(2) 设k是任意正整数。证明:若n=k时原式成立，则n=k+1时原式亦成立。 假设n=k时，原式成立，即13+23+…+k3= 。 考虑n=k+1的情形。 (3) 综合(1)与(2)，可知：对于任意正整数n，原式皆成立。 注意:一般学生在运用数学归纳法时，常会犯下如下的错误，如 一、在第(1)步骤时，许多学生可能以为 n=1 时太简单了，不好意思写这么简单的证明，因此他在这个步骤写 n=4 或 n=5 时的证明。 请注意，你如果这样写的话，你只证明原式在 或 时成立，你并没有证明原式对于任意正整数 n 都成立。（为什么？） 还有些同学比较客气，他们也不好意思只写 n=1 时的证明，他们大概觉得写得太少不太好，所以他们在这个步骤写上 n=1,2,3 时的证明。这是过分小心的。大胆一点，只要写上 n=1 的证明就够了。 二、最常见的，也是最严重的错误是以下的类型：(1) n=1时原式成立。(2) n=k时原式成立， 即 n=k+1 时，左式= (3) 以上的错误的写法是在第(2)步骤。 错误的地方是，没有明白的指出“n=k时原式成立”这件事究竟是你已经证明出来的，还是你的假设。 例题2 若 p-1，且 ，证明 (1+p)100 1+100p。 想法： 如果p0，由二项式定理 可得 (1+p)100 1+100p。问题在，如果 -1p0 时，怎么办？ 我们不妨作个大胆的猜测：“ (1+p)n 1+np”是否恒成立？ 要想用“数学归纳法”证明“ (1+p)n 1+np”，我们想证明“若 n=k 时原式成立，则 n=k+1 时原式亦成立。”很幸运的，这个步骤并不困难。 但是 n=1 时，“1+p1+p”并不成立！ 幸好 n=2 时， (1+p)2 =1+ 2p + p2 1 + 2p。 所以我们的猜测应该修正为：“若 ，且 n 是正整数，则 (1+p)n 1+np，其中 p-1， 。” 证明： 我们要证明，(1+p)n1+np，其中 ，n 是正整数。 用“数学归纳法”证明。 (1) n=2时，左式=(1+p)2 =1+2p+p2 1+2p =右式 (2) 证明：若 n=k 时，原式成立，则 n=k+1 时原式亦成立。 由 n=k 时原式成立，得 (1+p)k 1+kp。 考虑 n=k+1 的情形， 左式 =(1+p)k+1=(1+pk)(1+p) (1+kp)(1+p)=1+(k+1)p+kp2 1+(k+1)p = 右式 (3) 综合(1)与(2)，可知原式对于 的整数都成立。 因此 (1+p)1001+100p，得证。 例题3若 n 是任意正整数，试证 是正整数，并且可被2n+1整除。 想法：检查“若 n=k 时成立；则 n=k+1 时成立”是否办得到。 由 n=k 成立得 ， 其中 a 是某个正整数。考虑 n=k+1 的情形。 现在如果我们知道“ 是一个可被 2k 整除的正整数”，那么 n=k+1 时就成立了！ 但是“ …”正好是 n=k-1 的情况。 所以在第(2)步骤，我们改作“若n=k，k+1时皆成立，则n=k+2时亦成立”。为了顺应第(2)步骤的修正，第(1)步骤要改成“n=1时原叙述成立，n=2时原叙述亦成立。” 证明：我们用“数学归纳法”证明。(1) n=1时， 可被 22 整除。 n=2 时， 可被 23 整除。 (2) 证明：若 n=k，k+1 时成立，则 n=k+2 时亦成立。 由 n=k 时成立，得 由n=k+1时成立，得 其中 a 与 b 都是正整数。 考虑 n=k+2 的情形， (3) 综合(1)与(2)，可知 是一个可被 2n+1整除的正整数。 “数学归纳法”是人类很早就非常熟悉的工具。早在古希腊时代，Euclid（欧基里德，约300B.C.）在证明“质数是无穷多的”时，已经掌握了“数学归纳法”的基本精神（见下一小节的例题1）。以后许多数学家都不自觉的利用“数学归纳法”证明各种问题。第一个明确的指出“数学归纳法”的形成与原理， 是法国数学家 Blaise Pascal（巴斯噶 1623-1662） 1 。 习题1 证明 试用“数学归纳法”证明等差级数公式与等比级数公式。 证明 证明 520 320+420。 证明 3nn3 其中 。 （提示：你能否证明 img src="http://9yls.net/wp-content/uploads/2013/01/wpid-d882334fa95c5bf6ae6efcac0854c40e_img302.gif?46e737" width="82" height="38" 若="" ？） 证明“二项式定理”： 其中 x 是任意数，n 是任意正整数， 。 证明 其中 x 是任意数，n 是任意正整数。 设 -1xi0，i=1,2,…,n，证明 （讨论：若 ，你能否不用“数学归纳法”，证明 ？） 若 ，i=1,2,…,n。 令 。证明 证明 xn-nx+(n-1)可被(x-1)2整除，其中 。 证明 是一个可被 2n 整除的正整数，其中 n 是任意正整数。 令 x0=1， ，n=1,2,…。证明 xn=2n-1。 令 。其中 n 是任意整数，xn,yn,zn,un 是整数。求证 zn = un = 0。 （提示：你要作两种“数学归纳法”，一种从 n=1 开始，推到 n=2,3,4,…，另一种从 n=-1 开始，推到 n= -2, -3, -4,…。） 令 , ，n=2,3,…。求证 证明 6n5 + 15n4 + 10n3 -n 是30的倍数。 *2.2 更多的例子 本小节的证明，我们常常省略“数学归纳法”的第三步骤，只写出证明的要点。 例题1证明质数是无穷多的。 证明：我们只要证明“对于任意正整数 n，我们都可找到 n 个相异的正质数”就够了。现在用“数学归纳法”证明。(1) 若n=1，2就是一个正质数。(2) 假设n=k时，我们可以找到k个相异的正质数p1，p2 …，pk。 设 ，则 。设p是L的某一个正的质因数。因为p整除 ，所以 （否则 p 会整除 1，矛盾）。因此 p1,p2,…,pk,pk+1 =p 是 (k+1) 个相异的正质数。 (3) 综合(1)与(2)，可知我们永远能找到 n 个相异的正质数。讨论：以上例题是 Euclid 在《几何原本》（Elements）里面提出的一个定理。 Euclid 的证明与以上证明在表面上稍有不同，请参看本系列文章“整数的因子分解”。例题2设 n 是任意正整数，求证必可找正整数k，使得 = 。 想法： 必可写成 的形式，其中 un,vn 都是整数。又因 ，故 un 与 vn 不可能同时是正整数。如果 xn,yn 是正整数，那么 的充分条件是 xn2 - 2yn2 =1。同理如果 xn,yn是正整数， 那么 的充分条件是 2xn2 - yn2 =l。 证明：第一部份，证明 ，其中 x2n，y2n 都是正整数。并且 x2n2-2y2n2=1。(1) n=1， =3 ，且32- =1。(2) 设 =x2k ，其中x2k，y2k都是正整数， 且x2k2 -2y2k2=1。现在 其中 3x2k + 4y2k， 2x2k + 3y2k 都是正整数，且 (3x2k +4y2k)2 -2(2x2k+3y2k)2 =x2k2 -2y2k2=1。 第二部分，证明 = -y2n-1，其中x2n-1，y2n-1都是正整数，并且2x2n-12-y2n-12=1。 请同学自己做做看吧。 讨论：我们已经证明了 ， 但是 k 究竟是多少呢？ 假设 则 故 (1)+(2)： 所以，高三同学不妨用以下的提示来证明本题： 证明 是正整数，且 例题3 已知 x1,x2,…,xn,… 都是正数，并且 ， xn+12 = xn + 2。求证 xn 2，且 。证明：欲证xn2，xnxn+1。(1) n=1， ， 。 (2) 设xk2，且xkxk+1。 xk+12=xk+22+2=4，故xk+12。 xk+22-xk+12=xk+1+2-xk+12=-(xk+1+1)(xk+1-2)0，故 xk+1 xk+2。 例题4 已知一组数列 ， ， ，…， ， ，…，其中pn+1=pn+2qn，qn+1=pn+qn。证明pn与qn互质。 证明：(1) n=1时，p1=1与q1=1互质。(2) 假设pk与qk互质。 若r是一个整除pk+1与qk+1的正整数，则r整除pk+1-qk+1=(pk+2qk)-(pk+qk)=qk。故r也整除qk+1-qk=pk。 故r是pk与qk的公因数。但是已知pk与qk互质。故r=1，即pk+1与qk+1互质。 讨论：请同学自己证明 例题5已知 ，证明 其中 n 是不被 3 整除的正整数。（高一同学不必做这个题目。） 证明：令 由 de Moivre 定理，可得 其中 n 是任意整数。 由已知条件知， Z1 + Z2 + Z3 =0，且 ，故 可见 Z1, Z2, Z3 是三次方程式 X3-A=0 的三个根，其中 A = Z1Z2Z3。 现在我们要用“数学归纳法”证明所给恒等式。 (1) n=1，这是已给条件。 n=2， Z12 + Z22 + Z32 = (Z1+Z2+Z3)2 - 2(Z1Z2 +Z2Z3+Z3Z1)=0，故 (2) 假设 n=3k-2，3k-1 时皆成立，得 Z13k-2+Z23k-2+Z33k-2=Z13k-1+Z23k-1+Z33k-1=0 因为Z13=A，故Z13k+1=AZ13k-2;同理Z23k+1=AZ23k-2，Z33k+1=AZ33k-2。 所以 Z13k+1+Z23k+1+Z33k+1=A(Z13k-2+Z23k-2+Z33k-2)=0 得 同理 Z13k+2+Z23k+2+Z33k+2=A(Z13k-1+Z23k-1+Z33k-1)=0 故 讨论：若 请同学自己证明 其中 n 是不被101整除的整数。 例题6证明平面上 n 条直线将这平面至多分割成 个区域。 证明：令 n 条直线(1) n=1，平面被分割成2=1+ 个区域(2) 假设k条直线至多分割成1+ 个区域。 考虑k+1条直线L1，L2，…，Lk+1 如果不考虑Lk+1，则L1，L2，…，Lk至多分割出1+ 个区域。 Lk+1与L1，L2，…，Lk的交点至多有k个。由于Lk+1与这些新的交点至多增加了k+1个区域。（为什么?） 因此k+1条直线至多分割出1+ +k+1=1+ 个平面区域。 习题2 1.若a与b都是整数， 可以写成an+ 的形式，其中an与bn都是整数，n是正整数。证明:如果a是最靠近 的整数，则对于每一个正整数n，an是最靠近 的整数。 2.3 什么是“数学归纳法”?（二） 回到本节的第2.1小节的例题1。我们要证明13+23+…+n3= 。那时候我们发现一种方法:只要能够证明“若n=k时成立，则n=k+1时也成立”，问题几乎就迎刃而解了。 同学可能会说:“我不能够想到这种方法。这种方法好像是从天上掉下来的。平常的人是想不到这种方法的。” 那么就让我们再想个新方法吧。同学应该不会反对使用“归谬证法”吧。 假设这个叙述是错的。例如，在n=199时，13+23+…+1993 。很可能，不只在n=199时是错的，还有很多正整数使这个叙述不成立。我们取出“这个叙述不成立”的最小正整数，令其为k。也就是说， 请注意， ，因为n=1时这个叙述显然成立。 我们现在要导出一个矛盾。 因为 由 (1)-(2)， 但是 (3)式显然是个矛盾。证明完毕。 以上的方法可以总结如下: 一、 假设这个叙述不正确，我们就可以找到一些反例（counterexamples，也就是这个叙述错误的情况）。二、 在这些反例中，我们可以找到一个最小反例（minimal counterexample），也就是，找到一个正整数k，使得n=k时这个叙述不成立,nk时这个叙述一定成立。三、 设法导出矛盾。例如，证明“若 n=k-1 成立，则 n=k 亦成立”（若 ）， 或是证明“若 n=k-2，k-1 成立，则 n=k 成立”（若 ），或是证明“若 n=1,2,…，k-1 成立，则 n=k 成立”（若 ）。 我如果说，这种“最小反例”的方法和第2.1小节所用的“数学归纳法”其实是同样的精神，同学应该会同意了吧。 同学不妨再进一步想想这种“最小反例”的方法。这种方法其实是利用了自然数一个很显明（不过也很重要）的性质，即：自然数的任意子集合，如果非空，一定有一个最小的元素。 这个性质表示自然数的大小关系是良序的（well-ordered）。一般来说，一个集合如果具有大小关系，例如整数、有理数或实数，这种大小关系必是良序的，如果任何一个非空的子集合一定都有一个最小的元素。整数、有理数、实数都不是良序的。同学能不能在 N x N 上面定义出一种良序的大小关系?其中 N 代表自然数形成的集合。 有人可能会猜测，一个集合如果是良序的，我们大概就可以利用“最小反例”的方法或“数学归纳法”？答案：完全正确。这种例子在比较高等的数学常常出现，不过我们不准备在此继续追究下去。 例题：证明任何大于 1 的整数都可写成有限个质因数的乘积。 证明：假设以上叙述不正确。设 n 是最小的不能写成有限个质因数的乘积的整数。 n不是质数，否则与假设违反。 故 n=mk，其中m， 。因此m，kn。 所以m与k分别都可写成有限个质因数的乘积。因此n也可以写成有限个质因数的乘积。矛盾。 2.4 数学归纳法的误用 运用数学归纳法时，要注意应该检查:(1)n=1时是否成立，(2)若n=k时成立，n=k+1是否成立。二者缺一不可。同时在第(2)步骤的k，是任意一个自然数，而不是某些特定的数。 例题1证明 n2-n+41 是质数。 “证明”令 f(n)=n2-n+41。 n=1，f(1)=41。 n=2，f(2)=43。 n=3，f(3)=47。 n=4，f(4)=53。 n=5，f(5)=61。 n=6，f(6)=71。 以下类推，f(n)恒为质数。 但是请看 ， ，都不是质数。 错在那里？错在没有验证第(2)步骤。 例题2求证一平面上的任意n点，皆在一直线上。 “证明”现在让我们用归纳法来“证明”一下上面的叙述，在 n=1时，这叙述当然成立。 n=2时，这叙述也当然成立， 在n=k时，这叙述说：平面上任何k点皆在一直线上，假如这是对的，我们想证明平面上任何k+1个点，皆在一直线上。 设 p1,…,pk+1 为这 k+1 个点，因 p1,… pk 为 k 个点，故它们必在同一直线上；又因 p2,p3,…,pk+1 是 k 个点，所以它们也在同一直线上。但是任意二点便决定一直线，所以 p1,p2,…,pk+1 必须在同一直线上，因此利用归纳法，我们证明了平面上任意 n 点，皆在一直线上。 但是：我们知到任取三点，便可能不在一直线上，那么，上面的“证明”错在那里？ 在k=2时，我们的“证明”发生问题。在k=2转到k=3时，p1，p2固然决定一直线，p2，p3也决定一直线，但它们不一定为同一直线。因此p1，p2，p3不一定在一直线上！ 我们应该把题目改成：若任意三点皆在一直线上，则任意n点必在一直线上。 习题3 1.有人用下法证明全世界的人性别都一样，设一集合Mn包含n个人，则想证明Mn中的人性别都一样。当n=1时，Mn中只有一个人，当然其性别是唯一的。现在假定命题当n=k时成立，在假定Mk+1是包含k+1个人的集合。在Mk+1中选定两个人x和y则 和 都是只包含k个人的集合，所以其中的人性别都一样，因而x，y和 中任何人的性别都相同，故Mk+1中诸位的性别必全相同。请指正这证明错在那里？2.有人用下法证明任何两个自然数都相等。令 表示a与b之中较大者。对 做数学归纳法，我们想证明a=b。若 则1 a，b 1，故a=b。假设 =k，则a=b。考虑 =k+1的情形。今 = -1=k，故a-1=b-1，得a=b。请指出错在那里？ 2.5 如何寻找答案？ 同学可能会问：“现在我们已经学会数学归纳法。可是你如果不告诉我们13+23+…+n3的和是 ，我们根本就求不出13+23+…+n3。你能不能告诉我们如何寻找答案？” 如何寻找答案？首先，你要先试验几个特殊例子；在这些特例寻找它们共同之处，试试看能不能归纳出一般的结论出来。同学可以参考 G. Polya，《How to solve it?》这是一本很值得看的课外读物，有张忆寿的中文课本，长桥出版社出版。 我们在这一节，要介绍有系统的求和方法。 例题1求 。 解法1由 (k+1)3-k3=3k2+3k+1，得 解法2由“差和分理论”可知 Sn = an3 + bn2 + cn + d，其中 a,b,c,d 是有理数。 现在只要求出 a,b,c,d 就可以。 得 ， ， ，d=0。 讨论：1.在解法1中，也可以由公式 (k+1)3 -(k-1)3 = 6 k+2 求得。 2.解法2是所谓“未定系数法”，我们只要求出那些未知的系数 a,b,c,d 即可。 例题2求 。 解法：由 (k+1)4-(k-1)4=8k3+8k，得 讨论：请用 Sn = an4 + bn3 + cn2 + dn + e，求 a,b,c,d,e。例题3求 。 解法： 故 Sn=2n-1。 讨论：Sn-2Sn=1-2n，同学能不能说明原因？ 习题4 1.将循环小数0.317317317…化成分数。2.求2+ + + +…+ 之和。3.求 + + +…+(n-1)n2之和。（提示：一般项(k-1)k2=k3-k2。）4.求 + +…+n(n+1)(n+2)之和。5.求 + +…+ 之和。6.求 之值。（提示：考虑 。） 2.6 不必用数学归纳法的例子 同学们做完了以上五节的例题与习题，会不会“归纳”出如下的口诀：“看到含有n的恒等式或不等式证明题，用数学归纳法”？ 如果你这么迷信数学归纳法，那么请看以下的例子。你用数学归纳法证明，我用别的方法证明，我们比赛一下，比比看谁做的快，做的巧。 例题1证明 。 证明：用逆推法证明。 + + +…+ + 1。 但是 ， ， ，…， 故 + +…+ + =1。得证 例题2试证 ，其中 。 证明：因为 故得 img src="http://9yls.net/wp-content/uploads/2013/01/wpid-d882334fa95c5bf6ae6efcac0854c40e_img1611.gif?46e737" width="124" height="33" 另一方面，因为 得 故得 例题3试证 证明： 故得 得 另一方面， 故得 得 例题4试证 证明： 过份迷信数学归纳法的同学无论如何都应该用数学归纳法来解解这个题目。同学可以利用这个题目，证明 ，其中 Gauss 符号 表示正实数 x 的整数部分。 3.有理数系 正整数是从古代以来人类计数（counting）的工具。可以说，从“一头牛，两头牛”或是“五个人，六个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。事实上，我们有时候把正整数叫做自然数（the natural numbers）。 从现代的观点来看，“负数”（the negative numbers）的概念是很简单的。 但是负数的诞生以至人类广泛的接受负数的概念却是一段遥远漫长的路程。 负数和零的概念是印度人创造的，这些概念在文艺复兴时代才传入欧洲。经过四、五百年的考验，直到十九世纪，欧洲人才安心的使用负数与零。 正整数、零，和负整数合称整数（the integers）。整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。十九世纪德国伟大数学家 Kronecker因此说：“只有整数是上帝创造的，其他的都是人类自己制造的。” 2 有理数（the rational numbers）是可以表示成 的型式的数，其中p，q是整数， 。有理数就是同学所熟知的分数。 用Kronecker的话来说，有理数虽然不是上帝创造的，上帝并不禁止人类使用有理数。当我们想要解方程式 我们就不得不求助于有理数。 在有理数系里面，我们可以做加、减、乘、除。不过要注意，0不能做除数。两个有理数可以比较大小。 如果我们取一条直线（如下图），任选一点当作0，取一个单位向量，在0的右边一个单位向量的地方标上1，在0的左边一个单位向量的地方标上-1。我们由平面几何的作图方法，可以得到任意长度 的线段，因此我们可以把任意有理数 标在这条直线上。我们恒把正有理数标在0的右边，负有理数标在0的左边。这样得到的直线叫做数轴（the number axis）。 有理数在数轴上的分布简直是浓浓密密，拥挤得不得了。任何两个相异的有理数a与b之间，一定可以找到一个有理数，理由很简单：可以假设ab，那么 就是一个介于a与b之间的有理数。同理，如果你认为只找出一个有理数未免太少了，你要找更多个，例如，找出99个介于a与b之间的有理数，那么 ， ， ，…， 就是一组答案。 问题：有理数能不能把数轴填得满满的，毫不遗漏？ 这个问题是我们在下一节所要讨论的主题。这个问题相当于，是不是任意有限线段长度都是有理数？ 习题5 1.证明两个相异的有理数之间有无穷多个有理数。2.若a，b是任意两个有理数，且a0。 证明：存在一个正整数n，满足nab。 3.证明任意有理数都可以表示成循环小数。 4.实数系 是不是任意有限线段的长度都是有理数？ 边长为1的正方形的对角线的长度是 。 是不是有理数？ 例题：试证 不是有理数。 证明：用归谬法证明。 假设 是有理数。因此 ，其中p与q是正整数。我们可以把p与q的公因数约掉，所以不妨假设p与q的最大公因数是1。 因为 ，故得2= 。因此q2是偶数。如果q是奇数，则q2也是奇数（理由：若q=2n+1 ，n是整数，则q2=(2n+1)2=2(2n2+2n)+1 是奇数）。因此q是偶数，q=2n，n是正整数。 (2n)2=q2=2p2。因此，p2=2n2 ，得p2是偶数，故p是偶数。 p与q都是偶数，则其最大公因数不可能是1。与最先的假设违反。得证 不是有理数。 从以上的讨论，可以发现：虽然有理数稠密的分布在数轴上，但是并不是数轴上的每一个点都可以用有理数表示。 显然，在实际应用上的有理数系是不够用的。我们要加进一些新的数，如 ， ， ， ， ，把有理数扩充成实数（the real numbers）。不是有理数的实数就叫做无理数（the irrational numbers）。 同学可能会提出一些问题： 问题1.实数系是怎样建造出来的？问题2.无理数是不是都可以用开方得到的，像 ， ， ？问题3.为什么要把实数区分成有理数和无理数？证明 不是有理数究竟有什么用处？问题4.是不是数轴上所有的点都可以用实数表示？ 以上四个问题其实都不是很容易回答的。我们解释如下。 第一个问题。严格的建造实数系是十九世纪七十年代才完成的，这要归功于 C. Meary（1835 - 1911）， G. Cantor（1845 - 1918）， H. E. Heine， R. Dedekind（1831 - 1916）， K. Weierstrass（1815 - 1897）。同学可能会说：“我们只要规定实数系是数轴上所有的点，这样就造出实数系了。”用这方法定义出来的实数系理论至少有两个缺点：一、不严格，表面上我们似乎很熟悉数轴上的点，其实不然。例如，数轴上这个点和那个点究竟有什么共同的地方和不同的地方，如1， ， π，我们并不清楚。又如，数轴上某些点集合，如 、（ ， ）、（ ， ） （ ， ）、 …，有什么几何性质并不是一目了然的。二、我们不容易由此得到实数系的基本的性质， 如完备性（completeness）。因此十九世纪建造实数系的方法， 是用整数和有理数做基础，运用某些相当精妙的手法建立的。有兴趣的同学可以参考本文的附录， “如何建造实数系？” 第二个问题的答案是否定的。并不是所有的无理数都是用开方得到的。实数可以分成两种， 一种是代数数（the algebraic numbers）， 一种是超越数（the transcendental numbers）。 一个实数 α 是代数数，如果 其中 ai 是整数且 。 一个实数 α 是超越数，如果 其中ai是整数，则必定是a0=a1=…=an=0。 圆周率π是超越数，这是一个相当困难的定理，这个定理其实是古希腊几何作图的三大难题之一 3 。 , ，或是任意有理数都是代数数。 但是并不是所有的代数数都可以用开方得到。例如，x5-4x+2=0 的根都是代数数，但是却不能用开方的方法得到。要证明这件事， 必须借助 Galois 理论。Galois 理论是一门高深的数学理论，是十九世纪法国天才数学家Evariste Galois（1811-1832）创造的 4 。 用开方得到的无理数，在无理数里面（甚至代数数里面）所占的比例实在非常小。 第三个问题，为什么要把实数区分成有理数和无理数？这其实是西方数学发展的过程所产生的问题。 希腊人非常强调整数的重要性。所以有理数也自然的变成最基本的数学概念。因此， 当希腊人找到一个无理数时，他们的思想界产生了一次非常剧烈的混乱。反过来看中国数学的发展，对中国人而言，数就是整数再附上小数，小数点后面的数可以无穷无尽的点下去。所以对于古代的中国数学家， 是不是有理数，并不是一个不得了的问题。他们想都没想过这问题。 第四个问题的答案没有人知道。因此 Georg Cantor（1845-1918）在1872年提出一个解决的方法，把它当作是对的，不必去证明，这就是以下的 Cantor 公设：所有的实数和数轴上的点成一对一的对应。 像有理数一样，实数之间可以作加、减、乘、除（不过0不能作除数）。任意两个实数可以比较大小。 我们介绍一个新的概念：绝对值。在以下实数轴中，P 点代表 3，Q 点代表 -3。 OP与OQ有什么不同呢？OP的方向是向右的，而OQ的方向是向左的。 OP与OQ有什么共同点呢？他们的长度都是3。我们规定3的绝对值是3，-3 的绝对值也是3，记做 一般的说，如果a是任意实数，定义 |a|叫做a的绝对值。 |a|恒为正数或零。若R点是数轴上代表a的点，则|a|是OR线段的长度。 绝对值有下列重要性质： 1. ；若 ， = 。2. 。3.若a0，则|x|a -axa， 或 。4.（三角不等式） 5.若a为任意实数，则 。证明：1. 。 若a，b有一为0，则左=右=0。其次依a0或a0，以及b0或b0，共四种情形，分别验证。 同理可证 = ，若 。 2.证明亦分a0，a=0，a0为之。3.设|x|a，则因 ，以及 |x|a，-a-|x|，得 -a x a。 反之，若 -axa，则若 ，ax=|x|，若 x0，由 -ax 得a-x=|x|，故得 |x|a。 4.因 两式相加， 由性质3， 把b用-b代入(1)式得 在(1)式中，用(a-b)及b代替a及b，得 即 同理可得， ，合并上两式，由性质3 5.按规定，若x0， 表正的平方根，故若 ， 的正平方根为|a|。故若a为实数恒有 习题6 1.对于任意n个实数 a1,a2,…,an，试证 2.试求|x2-2x+3|，|(x-1)(2-x)|，|-1-x2|。3.若x是任意实数，试证 4.试证 不是有理数。5.试证 ，不是有理数，其中 。 （这个数其实是超越数，其证明已经超出高中范围。）6.试证 是代数数。7.若 α 满足 ，其中 ai 是有理数，且 。试证 α 是代数数。8.如果我们把正有理数排成以下次序 试证 是在第 (p+q-1)(p+q-2)+q 项出现。 9.(1)若有理数 (p，q是互质整数， )是方程式anxn+ an-1xn-1+ …+a0=0的根，其中ai是整数， 。试证p可整除an，q可整除a0。 (2)试证 与 都不是有理数。 10.(1)试证任何两个相异的有理数之间至少有一个无理数。（提示：若r是正有理数，则0 r，且 是无理数。） (2)试证任何两个相异的有理数之间有无穷多个无理数。 11.(1)试证任意的有理数与无理数之间有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数。（提示：设rs，r是有理数，s是无理数，我们只要在r与s之间找个有理数就够了。由Cantor公设， 是某个有限线段的长度，故 n其中n是某个正整数。因此 s-r，r s。） (2)试证任一两个相异的无理数之间有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数。（提示：设rs，r与s都是无理数。先找一个正整数n使得 s-r。因此ns-nr1，所以ns与nr之间必有一个整数m。故nrmns，得r s。） 12.（Archimedes性质）若x，y是任意两个实数，且x0试证：必可找到一个正整数n使得nxy。 5.什么是数系？ 数最先只是人类计数（counting）的工具。因此人类最先所能想到的数只是正整数而已。 把数的概念应用到日常生活碰到的长度、面积、重量的问题，我们可以用数来表示线段的长度或铅球的重量。因此数变成了量度（measure）的工具。 把数变成量度的工具，我们立刻发现正整数不够用。我们既然能够把三尺长的布裁成两半，我们就应该能够把3分成两半。因此有理数的出现并不令人感到突然。 把数当作量度的工具，令人惊奇的是，有些线段的长度并不是有理数。因此人类不得不造出实数。 有理数和实数是两种基本的数系，他们的共同性质如下。 对于任意数 r,s,t，恒有 对于任何r存在一个唯一的-r, 使得 r+(-r)=0 对于任何 ，存在一个唯一的 （称为r的倒数），使得 对于任意两个数r，s，下列三种情形只有一种成立：rs，r=s，rs。若rs，st，则rt。若r0，则-r0。若rs，则r+ts+t。若rs，t0，则 以上的各种性质是最理想的数系所能够具备的性质。同学不妨自己检查，自然数系或整数系具备那些性质，不具备那些性质。 但是并不是具备以上性质的才能叫做数系。像复数系具备以上大部分性质，但是我们不能在复数系里面定义具备以上所有性质的大小次序关系。 （理由：假设可以。（1）先证明 -1 0：若 -1 0，则 1 = -(-1) 0；另一方面 1=(-1)(-1) 是两个正数乘积，故 10，矛盾。（2）导出一个矛盾现象：若i0，则 -1 = (i)(i) 0，矛盾；若 i0， -1 =(-i)(-i)0，矛盾。） 去追究“什么叫做数系”实在不是一件要紧的是，要紧的是：只有在实际上有需要时，我们才会从一个数系推广到另一个数系。从一个数系推广到另一个数系，我们可能得到一些新的性质，同时也可能失去一些旧数系所具有的性质。 数学的目的是帮助人类解决各种问题，而不是设下几条金科玉律要学生去遵守奉行，永不逾越。能够协助解决人类文明发展过程所遭遇的问题的数学，才是我们所需要的数学。数学的精神是自由 5 。 *附录：如何建造实数系 本节的目的是要满足某些好奇心特别强烈的同学。我们将在本节描述建造实数系的手法。同学要注意的是建造实数系的精神，而不是枝枝节节的证明。 事实上我们早就了解什么是实数！远在十七世纪Rene Descartes（笛卡尔，1596 - 1650）早就大胆的把实数和数轴上的点作一对一的对应。2这个数，把数轴上的点分成两类，一种是{x：x2，x是实数} ，另一种是{ x：x2，x是实数} 。假使有一个人的右眼瞎了，他永远只向左边看（南北朝时代的确有这么一个皇帝，所以他有一个妃子只化妆半边脸）。那么2这个数就决定了一个实数的子集合{x：x2，x是实数} 。反过来说，子集合{x：x2，x是实数} 也决定一个实数，那就是2，因为2刚好是“第一个”比这个子集合里面任何数都大的数。 所以，我们不妨把2看成{ x：x2，x是实数} ，把 看成{x： ，x是实数} 。令人惊奇的不是这件事，而是：我们还可以把2看成{x：x2，x是有理数} ，把 看成{x： ，x是有理数} ! 当然2这个数决定了有理数（！）的一个子集合{x：x2，x是有理数} 。 反过来说，另“第一个”比{x：x2，x是有理数} 里面任意数都大的实数（ 可能是也可能不是有理数）为α，我们要证明 。显然， 。 如果 ，由习题6第11题，必可找到一个有理数a使得αa2因此 ， 因此α不可能比{x：x2，x是有理数} 里面的任意数都大。矛盾。 同学自己试试证明：“第一个”比{x： ，x是有理数} 里面的任意数都大的实数就是 。 这个事实说明：我们可以用有理数去捕捉每一个实数，也就是把实数α做{x： ，x是有理数} 。 现在我们假装我们只认得有理数，不认得无理数，因此集合{x： ，x是有理数} 对我们不一定有意义，因为如果α不是有理数，以上的集合实在令人难以了解。所以，我们要重新来了解这个集合。这个集合有什么性质呢？ 1.这个集合不是空集合，也不是全部有理数。2.如果a在这个集合，ba，b是有理数，则b也在这个集合。3.这个集合没有最大的元素。 如果把以上三种性质在数轴上表现出来，我们得到类似以下的图形： 其中每一个点都是有理数。 幸运的是，以上三种性质刚好决定出一个有理数的子集合{x： ，x是有理数} ，其中α是某个实数。（证明？）因此我们可以做以下的定义。 定义：一个Dedekind 切割 A（Dedekind cut） 6 或简称切割，是一个有理数的子集合，具备以下性质，1. ， 有理数全部。2.若 ，ba，b是有理数，则 。3.若 ，则必存在一个数α，α A，aα。定义：所谓的实数就是某一个切割。 为什么要把实数讲得这么古古怪怪的？因为我们假装我们不认得无理数，只认得有理数， 我们只好驱使有理数利用我们暗地里早已熟知的实数的性质去捕捉实数。 有了切割的定义，我们就可以定义加法和乘法，并规定其中的大小关系。分述如下： (1) 若A与B都是切割，则 ，A=B，或 。(2) 定义AB，如果 。(3) 若A与B是两个切割，定义A+B={a+b：a A，b B} 。很容易检查A+B是一个切割。(4) 定义0*={x：x0，x是有理数} 。可以证明： 对于切割A，必存在一个切割-A，使得 ={x：x是有理数，且xrs对于某个r A，s B} 。 定义 (6) 定义了两个切割的乘法之后，又定义1*={x：x1，x是有理数} 。可以验证： 对于任意切割A， ，必存在一个切割 ，使得 (7) 对于任意有理数r定义r*={x：xr，x是有理数} 。可以验证：不同的有理数r与s，对应到不同的切割r*与s*。 因此我们可以把所有的切割（也就是所有的实数）看成有理数的扩张。这就是我们的实数系。这样得到的实数系的确比有理数多，例如同学可以证明以下两个切割都不能写成r*的型式，r是有理数： 实数系比起有理数究竟有什么优点？我们要慢慢说起。 若 S 是一个实数的子集合，α 是一个实数，α 叫做 S 的最大元素（the maximal element），如果 ，并且 ，对于任意 。 若S是一个实数的子集合，α 是一个实数，α 叫做 S 的上界（an upper bound），如果 ，对于任意 。 若S是一个实数的子集合，β是一个实数，β叫做S的最小上界（the least upper bound，或the superemum），如果β是S的上界，并且 ，对于S的任意上界α。 举个例子 S={x 2:x是实数} 的最大元素是2。2,3, ,40,100,… 都是 S 的上界，2是S 的最小上界。T={x2:x是实数} 没有最大元素，2,3, ,40,100,… 仍然是T 的上界，2是 T 的最小上界。结论是要特别小心去区分最大元素与最小上界。 同学可能想起来了，在本节的第一段，我们使用一个非常笨拙同时也不精确的名称：“第一个”比 {x:x2，x是有理数} 里面任意数都大的实数，其实大就是这个集合的最小上界。 实数和有理数的区别是：在有理数里面，一个集合可能有上界，而没有最小上界；在实数里面，一个集合如果有上界，一定有最小上界。请看下面例子。 例题：令S={x:x0，x22，x是有理数} 。试证 (1)S的最小上界为 。 (2)如果有理数 r 是 S 的上界，则必可找到一个有理数 s，使得 sr。 (3)如果 ，则必可找到 ，使得 tu。 证明：(1)从略。 (2)令 。或是利用(1)得 ，然后在 与 r 之间取一个有理数s。 (3)令 。或是利用(1)得 ，然后在 t 与 之间取一个有理数u。 讨论：可知在有理数里面，我们不可能找到S的最小上界，因为它是躲在无理数里边。 我们把实数系的这个性质写在下面，这个性质和实数系的完备性（the completeness）完全是同一回事： 最小上界定理：实数的任何一个不是空集合的子集合，如果有一个上界，则必有最小上界。（证明从略） 以上的讨论应该足够帮助同学了解建造实数系的大致过程。要知道更详细的情形。同学可以参考以下两本书： 杨维哲，《何谓实数？》“商务印书馆”出版E.Landau，《Foundation of Analysis》 后记：本文初稿完成后，曾经张国男先生提供不少修正补充意见， 特别是第2.2节例题2的讨论与第2.6节是他建议增添的。谨此致谢。 第九阅览室 http://9yls.net/5122.html
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hylpy1 2016-11-8 19:32
人怎样求得面积？ 黄武雄 很多人望文生义，说是积分求得了面积，其实积分的概念人类老早就有了，而求面积求体积的一般方法却迟至十七世纪才出现，明白“微积分基本定理”的人会说：是微分求得了面积。 一、早期的贡献 人类很早就碰到了求面积求体积的问题（以下通称求积问题），由于求积问题是来自实际生活的需要，地球上各民族，都不约而同，对它做过一定程度的贡献。这些贡献广泛散见于各地留存的古籍。记载显示，各民族都知道利用较简单的图形，例如多边形或小长方形的联集等，来逼近（或称穷尽）一块较复杂的面积。如果说这一想法便是积分的概念 注1 ，那么我们大可以放心地说，人类老早就从概念上认识了积分。 在中国 ，三国时魏人刘徽为求圆周率的近似值（西元263年），已经利用过三千零七十二边的内接正多边形来逼近圆的面积 注2 。 九章算术经载震再校订的版本中，仍存有刘徽的弧田图。（见图一）刘徽改编过《九章算术》 注3 ，并着有《海岛算经》。当时他计算出来的圆周率精确到 3.14159，概念上虽亦建立在积分上面，但所需的方法则远为复杂。可以想见中国人在三国以前，对于积分这个表面十分摩登的概念，一定已经知道一段时侯了。 图一、戴震的《九章算术》校定版中插图之一。它说刘徽用以计算π的穷尽法（西元264年）。 对于积分概念的运用，刘徽的成就当然不是一项孤立的事实，在他之前有东汉张衡（约公元130年左右）。同时代有三国吴人王蕃，其后更有晋祖冲之（公元430～501），赵友钦（公元1300年左右）。宋人沈括所著《梦溪笔谈》（公元1086）中亦曾提过“割会之术”、“再割”、“造微之术”、“隙积”等语。而明周述学（公元1558）所著《神道大编历宗算会》一书中，也录有三角锥内堆积十层弹丸的附图。 在日本 十七世纪的数学家对积分概念也有进一步的贡献，村松茂清（公元1683年殁）将球体切成许多平行的薄片，每片都近似于一段扁圆柱，藉此求得球体体积的近似值，其后野泽（约在1664年）再行切薄，而泽口一元（约1670年）在其所著《古今算法纪》一书中，亦用同样想法求出圆面积。（见图二） 图二、Smith Mikami（三上义夫）,《A Histoty of Japanese Mathematics》(1914)，第130页所附的1687年《改算记纲目》插图） 在西方 ，由于希腊文明（不专指雅典文化）保存较为完妥，积分概念的起源，可以远溯到公元前三世纪 Eudoxus（408～355 B.C.）在穷尽法 (Method of Exhaustion) 上面的启蒙工作。Eudoxus 是柏拉图的弟子，曾认识到，给定两数，自第一数扣除其本身之半（或大于其半的部份），再自所余扣除所余之半，将此重复进行，经有限次扣除之后，所余可小于第二数。这个性质后人称它为 Archimedes 性质 (Archimedes Principle) 是因穷尽法来到 Archimedes（公元前287～212）才有了较有意思的体现。Archimedes是西西里岛Syracuse人，他先用多角形逼近一个圆，而后以圆的某一取定的直径为轴，将整个图形回转，来求得球面面积。说明了直径为 R 的球面面积正好就是半径为 R 的圆的面积。（例如半径为单位长的球面面积等于 。）事实上，早些时侯，Euclid（约公元前300年左右）也用过穷尽法证得圆的面积与半径平方成正比。 如果用心比较早期中西数学发展的差异，可以看清中国人的数学侧重“量的数学”，希腊人的数学（假设用它来代表早期西方数学的话）则偏于“质的数学”。同样都基于所谓“积分”的概念（或说“穷尽法”），中国人花费心力在找些实际的数值（如圆周率），希腊人则日夕在追求各种量与量间相等或大小的关系。 但不论其间差异如何，人类早在两千多年前，便从概念上认识了“积分”。这是一个不争的事实。 二、微分与积分 可是只从概念上知道一块面积，可用多角形或小长方形的联集来逼近并没有解决求积问题。穷尽法只能用来计算少数特定的图形，如直线、圆、抛物线或 等类曲线所围成的区域及空间中球面、圆锥等的面积体积。至于一般的求积问题，对于十七世纪以前的人类，仍没有一套普遍的方法。如果硬将概念与计算拆成两个层次， 积分该说是易懂而难算 。 反过来， 微分是难懂而易算 ，直到十七世纪人类才在某种特定的社会条件下认识了微分。更值玩味的是从牛顿（1642～1727）完成《De Analysis》（约在1696年）及莱布尼兹（Gottfried von Leibniz, 1646～1716）在《Acta Eruditorum》发表他微积分的第一篇文章以后两百年间，微分的计算虽已广泛应用到数学与其他相关科学，但微分的概念仍找不到相对严格的定义。 可喜微分的概念虽然艰涩 ，但它的计算与积分正好相反，非常简单明白。基于这个特点，在微分发明之后数学的发展进入了一个新的纪元。迄今数学的主要部门，连续数学 (continuous mathematics) 一直脱不开它的应用，甚至形式上较为简易的离散数学 (discrete mathematics) 中很多分支也因借用微分计算的类推而得以发展 注4 。 同样求积问题因借助微分的计算得以全面发展，这里我们要说明的正是这一个过程。固然，所谓的微积分基本定理是介于微分与积分间的桥梁，它将求积的问题化成微分的问题，但是这条桥梁，毕竟是自然易明。 真正难产的还是微分本身 。 三、求积问题发展中的前两个时期 论者常将积分的发展分成三个时期： (i) 穷尽法时期：主要是希腊文明与十四世纪以前的中国数学文明。以多角形逼近较复杂的一块面积，在空隙之间填塞新的小三角形或小长方形，增加多角形的边数。人物以刘徽、祖冲之、Eudoxus、Euclid及 Archimedes 为代表。 (ii)无限求和法时期：主要是文艺复兴以后，牛顿流数论出现以前，所作的一些努力，本质上仍然是穷尽法的延续，用长方条的联集去逼近原来图形，但不再一味填塞空隙，长方条本身的长度宽度都继续在变动，以使误差趋于 0，无限求和的概念立足于 Cavalieri 原则（1635年），人物自Cavalieri、村松茂清开始，尚有野泽、泽口一之、John Wallis、Fermat。 (iii)微分法时期：自牛顿、莱布尼兹正式总结当时的微分学起，处理求积问题跨入了新的阶段。 我们认为：从第一时期到第二时期，概念上是有了若干程度的进步。事实上，无限求和法背后已蕴藏了微分的概念，但在方法上求积问题还停留在个案处理的阶段，因此就方法论的观点来看，第一、第二两个时期仍可合并为一个阶段，我们举了求抛物线面域的例子，分别说明两个时期的代表人物 Archimedes 与 Fermat 怎样计算其面积。 例1.（西元前两三百年 Archimedes 的求法） 设 A 为抛物线 ，与两直线 x=b ， y=0 所围成的面域，其面积仍用 A 代表，考虑一系列的面积（如图3）： 四角形 OBRP1 ， 六角形 OBRP2P1P2' ，……。这里 P1M1 ，平行于水平轴， M1 是 OR 中点，同样 P2M2 ， P2' M2' ，平行于水平轴， M2 ， M2' 分别为 P1R ， OP1 中点……。我们看到这一系列的面积逐渐逼近所求的抛物线面域 A ，其间空隙一步步由小小的三角形填塞。 图三 图三之一 现在我们来算算小三角形的面积，比如说取 ，Archimedes 在他的《Quadrature of the Parabola》一书中观察到抛物线过 p2 点的切线恰好平行于 P1 R ，易知 ，这个关系在逐步逼近时仍然保持，因此 A 的计算变成了求等比级数的问题，得 虽然限于当时条件，Archimedes 对上述无限级数求和的过程不太严格，但他的估计是对的。 例 2.（十七世纪初 Fermat 的求法） 注5 与例 1 同样， A 是由抛物线 与 x=b, y=0 围成的面域。（如图4） 图四 可以看出 在逼近于 A ，这里 e 是一个接近于 1 但小于 1 的数，当 e 越接近 1 时，空隙的阴影部份会越来越小（读者不妨取 e=0.9 ，再取 e=0.99 ，画图比较看看）。现在先固定取好 e 值，得 然后让 e 趋于 1，这时 E 也就趋于 1，故 此即 现在我们将这两个时期的求积方法做个一般的说明：对于一块面域 A ，如果边界曲线是连续的话， 那么取一些包含于 A 的小长方形或小三角形 R1, R2 , cdots 等，让它们不相重叠而逐次填满整块面域 A 的内部： 图五 然后设法适当调整 R1, R2, R3 , cdots 等，或直接填加新的小长方形或三角形，目的在使空隙（阴影部份）逐渐缩小而趋于乌有，而计算 的极限值，作为所求的面积 A 。特殊的情形如该面域恰为一条函数曲线 与 x=a ， x=b 及 y=0 所界定的范围时，上述式子正好给出了所谓的 Riemann 积分的定义，即 此间 为 f(x) 在区间 上的最小值，而 ，且极限 lim 是指在 趋于 0 时，长条和 的极限值。 虽然这是一个良好的积分定义，但要实际求出 之值，通常非常困难，只当面域 A 相当特别时，才可望设计一个可行的算法。上述例子 Archimedes 与 Fermat 的求法所以成功，是因为在抛物线的情形下，长条和可以化成等比级数来求。若边界是其他曲线时，长条和就不见得这般容易计算。 四、动态处理的基础 求积问题是改用动态的处理方式才得到普遍方法的。换句话说，力学刺激了“微分”概念的产生，而求积问题便依赖微分而得以解决。 设有一变量 s ，因时间 t 而变，（牛顿原来称 s 为 fluent）。那么 s 对于时间的变化率 ，便称为 s 对 t 的“微分”（derivative, 牛顿流数论中称它为流数 fluxion）。比如说某质点在一条座标直线上运动， s=s(t) 表示 t 时刻这质点 P 的座标，（如图6）通常称这种意义下的 s 为位移 (displacement)，那么 s 的变化率 便是所谓的速度。 图六 但速度与位移有什么关系？如果质点是等速在运动时，每一时刻 t 的速度都一样是 其中 h 是任意截取的时间区段。也就是从 P 走到 P' 的距离（往右为正，往左为负）除以所花的时间 h 。 但运动不一定等速时，(1)式右端 这个量，与所取的 h 的长短有关，这个量称为牛顿商 (Newton quotient)，事实上这个商代表的是自 t 时刻起在 h 时间内的平均速度。这段时间内速度仍然有快有慢，若要考虑 t 时刻的瞬间速度，所取的时间 h 应该越短越好，但短到什么程度呢？1 秒吗？0.1秒吗？0.01秒吗？即使是取0.01秒，在这短暂的0.01秒间，如果碰上精密的质点运动，仍可能快慢交迭了许多次，因此还不好就取它来代表 t 时刻的 瞬间 速度，最后牛顿、莱布尼兹及其同时期的人，引入了无限短时间的概念，而指说速度便是在那无限短时间内的变化率。 可是这个无限短（或无限小 infinitesimal）的概念事实上有很多争议（莱布尼兹用 monad 这个字来描述它），反对派的抨击相当强烈而持续了几近一个半世纪，主要来自教会（以哲学家 Berkeley 主教为代表）。不管怎样，等到实数的严格基础建立，极限有了清楚的定义以后，一般人已经接受了用牛顿商的极限作为速度的说法；或说： t 时刻的瞬间速度 便是 这个数列的极限 注6 ，严格地写下来 对于一般的函数 y=f(x) ，考虑 y 对 x 的变化率时，我们也下这样的定义： 当 y=f(x) 是一些基本函数，如多项式、三角函数、指数函数及它们的反函数拼在一起的函数时，(2)式是容易计算的。例如用二项定理，人很快算出来当 f(x)=x2 时 当 f(x)=xm 时 我们导出了三个微分的基本运算法则，知道 (i) (ii) (iii) 从而算得微分表如下 将这个表又配上三个基本运算法则，我们可以计算所有基础函数的微分。微分竟是这样容易计算的东西。 现在我们回到主题。看看微分法又怎样把我们的求积问题化成动态的处理。 五、用微分法求积 设有一块面域 A ，边界为连续曲线。我们跨过了穷尽法与无限求和法两段时期，进入用微分法时期。我们开始要说明微分法发明以后，求积问题怎样获得解决。 图七 假想 A 上覆有布幔，开始时将布幔等速往右拉开，就像舞台幕启一样，渐次露出面域内的部份，直到整块面域 A 完全呈现出来为止。假设往右拉幕的速度是单位速度，即每秒固定拉开 1 个单位长。而拉幕时间是自 t=a 到 t=b ，将 t 时刻已呈露的面积记为 A(t) 。 此时布幔相应的高度记为 f(t) 。（见图7）一个有趣的事情是 “ f(t) 便是 A(t) 对时间 t 的变化率（或称微分）！” 这个看来简易的事情是解决整个问题的节眼，后人尊称它叫“微积分基本定理”(fundamental theorem of calculus)，用式子写下来便是 牛顿的名著《De Analysis》（成书于1669，迟至1711才发表）开头第一句话便写这事的特例： （意即设 ，则可写……）。现在我们来解释(1)式，微积分基本定理成立的理由： (i) A(t+h)-A(t) 表示 t 时刻起 h 时间内所露出的面积，易知道这块面积夹在下图（图8）中内外两长条面积之间，即 图八 其中 M 与 m 分别为布幔高度 f(t+k) 在 中的最大值与最小值。依图8 所绘， M 恰巧是 f(t+h) ， m 恰巧是 f(t) ，这只是巧合，一般时候还是将面域用水平与铅垂直线分割成三五个面域，如图9 中： 图九 分成四块，逐个去讨论比较清楚。因为这样一来， A(t+h)=A(t) 的上缘或下缘，必有其一为水平，故(3)式显然成立。 (ii) 当 h 趋于 0，因边界曲线连续，故 f(t) 为 t 的连续函数，可得 M 与 m 皆分别趋于 f(t) ，今将(3)式三项都分别除以 h ，得 但因 m 与 M 皆趋于 f(t) ，故所夹牛顿商也趋于 f(t) ，此即微积分基本定理 这个结果为悬决千年的求积问题提出了一条有力的线索。当我们对面积函数 A(t) 一筹莫展时，我们却知道了 A(t) 对 t 的变化率就是那幕高 f(t) ，于是问题开始明朗，设想先量得 f(t) ，于是从微分表中去找个 F(t) ，使 再将它与 比较，由微分是线性操作一事，考虑相差函数 A(t)-F(t) ，知 故 A(t)-F(t) 的变化率常为零，那么 A(t)-F(t) 只好是个常数。（想想速度恒为 0 的质点是不动的，故其位移函数是常数！）此即 A(t)=F(t)+C 其间 C 为常数。最后再由始初情形来决定 C ，亦即由 得 C=-F(a) ，而总结得到，所求面积 我们仍以抛物线所界面积的问题为例，来看看这个在微分发明以后的求积方法： 例3.（Newton, 1669年） 求抛物线 与 y=0 , x=0 , x=b 所界定区域的面积 A 。 考虑上述面积函数 A(t) ，由于布幔拉开速度是单位速度，故 x=t ，而高度函数 图十 由微分表中查知： 的微分是 故 的微分是 因此 A(t) 的微分与 的微分都一样是 ，故 当 t=0 时， A(0)=0 ，故 ，得 细心比较一下，从 Archimedes、Fermat 到 Newton 三个时期的做法，一个时期比一个时期进步，用 Archimedes 的方法虽能处理抛物线界下的面积， 但对 （ p,q 为任意整数）所界下的面积，就有困难。若用 Fermat 的方法，固然可以顺利处理这个 所界下的面积，但要处理 （α 为无理数）或任意有理函数曲线 或一般正弦函数、指数函数等基本函数曲线所界下的面积，则又无能为力。 这就是方法论进化的意义。人类处理问题的能力，常常这般由个案到一般，逐步提升，逐步发展 ，微分法的发明使我们能够一并处理很多求积问题。 求积问题到此已经知道可以化简为：给定函数 f(x) 想找函数 F(x) ，使得 F(x) 的微分恰好等于 f(x) 的问题。要找这样的 F(x) ，以后便说是要积分 f(x) ，或说要找 f(x) 的积分 F(x) 。我们用 来表示 F(x) 与 f(x) 存在着 的关系。若要改用这套定积分（见第三节 Riemann 积分的定义）、不定积分与微分的语言，前面已经说明过，求积问题的关键便可以写成 (i) (ii)设 （意即 ），则 这便是通常教科书上所写的微积分基本定理的式样。 如果 y=f(x) 是太复杂的组合，想从微分表中直接看 f(x) 的不定积分 F(x) 便不太容易，这时我们根据了微分的三个基本操作法则，得到积分的三个基本操作法则： 微分线性法则 积分的线性法则 微分的 Leibniz 乘积法则 积分的部份积分法 微分的连锁合成法则 积分的变数变换 因此积分的计算操作完全是微分计算的附庸 。对于大部份的基本函数，我们都可通由上节所列的微分表及这三个基本操作法则，来求它们的积分。有趣的是，一个函数若不能依此途径求取积分的话，那么求它的积分，方法上就突然变成极端困难。例如 这也就说明了求积问题极端依赖微分计算的本质 。 六、求积问题的历史意义 看到前面求积问题这样绵延两千年的进展过程，有人或许要想到三等分角的问题。三等分角的问题（代表柏拉图三大几何难题）固然也悬决两千年而在十八世纪才被解决，证明它不可能有解。但两个问题，在人类文明史上的意义有若天地云泥之别，截然不同。 求积问题来自社会发展的实际需要，各民族都不约而同长时间在为它献出心力。但三等分角则来自希腊雅典时期柏拉图一干人的智力游戏，柏拉图不曾正视社会需要，自己限制作图的工具来束缚自己，中国人、印度人、日本人在同程度文明的时间里，并没有出现这类问题。没有任何一个好的数学家，任何一个明白数学功用的数学工作者，对这一类问题发生过兴趣。 求积问题在两千年求解的过程中，不断提供了一系列的方法与概念，刺激数学往高处发展；穷尽法产生了人类对极限概念的初期认识，对于实数论的产生有一定的作用，无限求和法更引起人类去探求无限级数的求和，这些都成为今日数学分析的主题。另一方面，求积问题也大大推展了几何学的发展。 可是三等分角问题，自柏拉图提出以来，两千年间看不出对于数学进展有何贡献，若有，那便只是基础的平面几何上圆与直线的关系罢了。甚至当它得到解决时，也不是因要解决它而得解决。作为代数学主流的方程式论，发展到一定阶段，有了拓广体的概念后，三等分角的问题只成了一个轻松的习题，便被证明为不可解了。 比较求积问题与三等分角问题的历史发展，对于数学的社会功用这项长年受到争议的论题，会帮助我们得到若干有力的启示。 对数学史有兴趣的人，也可以从这段求积问题的进展中窥知人类文明史中一些重要的概念与方法如何得来。这个问题，网罗了十七世纪以前两千年来所谓“最优秀”的头脑，但它的成长从今天看来，竟是这般迟缓！假如牛顿生在 Archimedes 的时代，不可能就比 Archimedes 突出多少，更不可能在那时的背景下发明微分。微分的概念来自力学，来自哥白尼 (Copernicus)，刻卜勒 (Kepler) 以前长年累积下来的天文资料。天文观察需要工技方面的配合，工技的成熟需要像文艺复兴时期背后种种社会与经济的条件， 没有这些条件，便没有牛顿的流数论 。反过来，如果这些条件已经成熟，就是牛顿不出生，也有莱布尼兹，没有莱布尼兹也有其他人会发明微积分。 同样，设使这些条件出现在中国，微积分便会孕育在中国，刘徽、祖冲之、秦九韶、沈括都可能变成牛顿，变成莱布尼兹。 数学的发展与社会发展的需要及当时已具备的条件息息相关，如果没有这些成熟的背景，世界上不论哪个天才，哪个民族，都不可能为人类文明带来像微积分这般重大的进展。 主要参考资料 1. 李约瑟(Joseph Needham)：《中国之科学与文明》第四册（傅溥译），台湾商务印书馆。 2. Dubbey, J. M.《Dvelopment of modern Mathematics》, Butterworths (1970), London. 3. Kline, M. 《Mathematics Thought from Ancient to Modern Times》, Oxford(1972), New York. 4. Libbrecht, U. 《Chinese Mathematics in the 13 Centery》, MIT Press(1973), Cambridge and London. 5. Smith, D.E. Mikami, Y. 《A History of Japanese Mathematics》, Chicago (1914). 第九阅览室 http://9yls.net/5917.html
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hylpy1 2016-11-8 19:27
谈 Stirling 公式 蔡聪明 甲、一个机率问题 什么是一个事件 (event) 的机率？这是机率论最基本也是争论最多的一个问题。 举最简单的例子来说明：丢一个公正铜板 (fair coin)，出现正面 (head) 的机率为 这是什么意思呢？常识性的解释大致是，将此铜板独立地丢“很多”次，那么正面出现的次数“大约”占一半，这是在随机的说不准中很确定的事情。所谓的“平均律”(the law of averages) 或“大数法则”(the law of large numbers) 隐隐约约就是指着这个解释。不过，常识往往是含煳的或自相矛盾的，需要加以精炼。事实上，“数学是精炼的常识”(Mathematics is refined common sense)。常识是我们作观念探险之旅的出发点。 问1：丢 2n 次铜板，正面恰好出现 n 次的机率有多大？ 根据组合学，丢 2n 次铜板，共有 22n 种可能结果，假设每一种结果发生的机会均等，那么 2n 次中有 n 次为正面的结果共有 2nCn 种，故得机率为 ( 1 ) 我们更有兴趣的问题是，当 n 趋近 时， p2n 会趋近于多少？ 上述常识性的解释似乎是说， ， 这成立吗？这需要对(1)式作精确的估算，于是引出了下面的 问 2：当 n 很大时，如何估算？更明确地说：当 n 趋近 时， n! 的渐近相等式 (Asymptotically equal formula) 是什么？即要找一个“好用” (an) 使得 我们希望找到这样的 (an) ，然后代入(1)式中计算出极限值 ，就可以检验上述常识性的机率解释是否正确。 n! 的渐近相等式存在吗？如何找？这就来到了 Stirling 公式的大门口。在文献上，有许多文章论述 Stirling 公式的简化证明或机率式的证明（参见 至 ），不过都只是在已经知道公式后，给出证明而已，并没有说出如何“看出”或“猜出”公式的追寻、探险过程。因此令人有“美中不足”或“未尽妙理”的感觉。本文我们就试着来补上这个缺憾，展示一种推测式的猜想过程。我们不排斥还有其它猜想过程因为登一座山可以有各种不同的路径，路径越多越美妙。 乙、 n! 的驯服 首先观察 ，欲估计它，最简单的是采高估策略：每个因数都用 n 来取代，亦即取 ( 2 ) 显然 ，故 nn 高估 n! ，不过也不错，“万事起头难”，有个开头，就可以逐步修改进，从错误中学习，而达真理的殿堂。 如何改进(2)式？ 我们改采中庸策略：每个因数都用“中位数” （差不多就是算术平均 ）来取代，亦即取 ( 3 ) 这样应该会比(2)式更好才对吧！ 我们必须对(3)式作分析与检验的工作。令 如果 ，那么“芝麻就开门”了， 就是我们所要的渐近公式。然而我们的内心不禁会响起如下的怀疑：真理不会藏得这么浅显让我们一猜即中吧？ 我们来比较 n! 与 的大小。由算术平均大于等于几何平均定理知 事实上可以用数学归纳法证明： 因此当 n 很大时，用“相差”的观点来看， 高估了 n! 但是此地我们应该另采“相比”的观点更适当，因为我们要找的是 n! 的渐近相等式。例如， n2+n 与 n2 ，从“相差”观点来看，当 时，两者之差 ；但是从“相比”观点来看， ，即两者渐近地相等。换言之，“相差”观点的高估，还是有可能是“相比”观点的渐近相等。 考虑 n! 与 之比的数列 (bn) ，我们的目标是探求极限 。首先注意到 (bn) 是一个递减的正项数列，由实数系的完备性知 ( 4 ) 但是 α 等于多少，并不容易看出。我们采用旁敲侧击的战术，我们观察到下面简单的 补题1：设 (Sn) 为一个正项数列。如果 且 ，则 这没有告诉我们一个数列何时会收敛，不过有“消极中的积极”作用。如果 不成立，则可能有三种情形： 或 或 不存在。此时根本不必梦想会有 。 另一方面，如果 ，则 (Sn) 可能收敛，也可能发散；此时也不能保证 。 现在就来计算极限 = = ( 5 ) 因此 不成立，故下列三者之一成立： 或 或 不存在。配合(4)式，立知 ，所以 还是高估了 n! 。只好继续追寻。 问4：如何改进(3)式？ 我们的目标是寻找比 还小一点的估计式。我们从两个角度来观察： (i) 由微积分知道，对差分而言，2 是自然指数的底数 ，但是对需取极限的微分而言，比 2 大的 才是自然指数的底数 (Dex = ex) 。 e 似乎是比 2 更佳的选择； (ii) 在(5)式中，若将 2 改为 e ，则极限值变成 1，这似乎是不错的念头。 这两点观察给我们启示，何不将(3)式中的 2 改为神奇的数 e 呢？换言之，将 改成小一点的 似乎是个好主意。让我们投石问路，试试看，亦即重新取 ( 6 ) 接着是检验工作。令 n! 与 的相比为 容易求得极限 ，但是还是无法得到我们梦想的结果 。 继续做苦工 (dirty works) 吧！ 首先我们来比较 与 n! 的大小。由 可得到 再由数学归纳法可证得下面结果 补题2： 注1 不是我们所要的答案，改为 ，会不会矫枉过正？让我们来求算极限值 。由补题2知 并且容易验知 (cn) 为一个递增数列，故 为了探求 β 的真确值，我们想到了也许可以请著名的 Wallis 公式来帮忙，因为公式中涉及了 n! 。这是 Wallis 在1656年研究圆的求积问题而得到的，公式的发现过程也非常富有方法论上的启发与意涵。 补题3：（Wallis公式，1656年） 或 或 由 得 n! = cne-n 从而 (2n)! = c2n(2n)2ne-2n 代入Wallis公式得 亦即 ( 7 ) 如果 是有限数， 则由(7)式得 ，这定一个矛盾。 结论是 换言之， 低估了 (n!) 。 我们继续追问低估了多少？ 最容易猜想到的增估是取 令 ，易验知 (dn) 为一个递减的正项数列，故 存在，且 。今若 ，仿上述程序由 Wallis 公式可得 之矛盾。因此 。换言之， 又高估了 n! 。 只好再减估一点比 n 更低阶趋近于 的式子是什么呢？我们自然想到 ， ，配合着对(7)式的观察，我们自然想到了 ，于是我们猜想 ( 8 ) 这也许是个不错的折衷办法。 我们也可以从另一个角度来观察：由微积分知 令 k=1,2 , …, n-1 得到一组不等式，将它们乘起来得 此式只是 n! 的粗估，不过也启示我们用折衷的 来估计 n! 让我们来检验看看这个猜想好不好。令 ( 9 ) 问5： 极限 存在吗？是多少？ 补题5： (un) 什么是一个递减的正项数列。证明： 考虑相比 我们观察到下面两个式子是等价的： e ( 10 ) = = ( 11 ) 由于 为一个凸函数，且下图梯形面积恰好为 图一 因此(11)式成立，从而(10)式成立。于是 ，亦即 (un) 为一个递减正项数列，证毕。 因此极限 存在，且 。如果 L=0 ，我们就必须继续再追寻下去。幸运的是，我们已经可以用 Wallis 公式证明 ，这真是一个美妙的结果。 n! 终于被驯服！ 丙、Stirling 公式的证明 定理1：（Stirling 公式，1730年） 记成 ，当 。 证明： 得 代入 Wallis 公式并且化简得 再由 得 ，从而 ，证毕。 Stirling 公式涉及两个神奇的常数 π 与 e 这是其美妙的所在。物理学家 R. Feynman 每当遇到一个含有 π 的公式时，总是要问：“圆在哪里？”(Where is the circle?) 此地我们很容易回答 π 来自 Wallis 对圆的求积公式。 利用同样的方法我们可以证明下面深刻的结果： 定理2： 设 ，且 ， 则(i) 当 时， (xn) 为递减数列 且 。 (ii) 当 时， (xn) 终究递增 且 。 换言之，当 时， 高估了 n! ；当 时， 低估了 n! 。 恰是分水岭的 Stirling 公式。 证明： 考虑相比 我们来比较 与 e 之大小，我们改比较它们的对数： 由级数展开公式 令 ，则 当 时，于是 ( 12 ) (i)当 时， ，故由(12)式易知 亦即 因此 (xn) 递减，于是 存在且 。如果 ，由 Wallis 公式会得到一个矛盾。只好 a=0 ，亦即 。 (ii)当 时， 。将(12)式中的5, 7, 9, ……皆改为 3，得到估计式 分母 =24n3+36n2+12n ，分子 ，分母－分子 。 今因 ，故 。从而只要 n 够大，则分母大于分子。换言之，只要 n 够大， 亦即 于是 (xn) 终究会递增，故 存在且 ，同样由 Wallis 公式会得到一个矛盾。只好 ，即 。 推论： (i) (ii) 将上述追寻 n! 的历程图解如下： n! nn (3) (7) (5) (6) (4) (2) (1) 低估 高估 经过这么辛苦的试误、计算过程，终于得到美丽的 Stirling 公式，这是令人欣喜的事。唯有经过这样的辛苦，我们对这个公式才真正有感觉 (feeling)，甚至有感情。数学公式不再是冰冷的，而是可亲的。 如果将做数学比喻为登一座高山，那么现代人大多是利用现代化的交通工具直接登到山顶（相当于直接给出公式、定理），然后就指看刚才的登山路径（即给出逻辑证明），接着是欣赏风景（应用公式来解一些问题）。但是我们要指明， 如果没有经历一步一步登山的流汗，没有亲自感受花草的芳香与泥土的味道， 甚至尝到偶尔的迷路，即使到了山顶也不容易领会美景的。 丁、初步否定常识性的机率概念 现在我们要利用 Stirling 公式来探讨机率之谜 (the enigma of probability)。 首先观察到一个显然的 补题6：设 (an) ， (bn) ， (cn) 及 (dn) 皆为正项数列且 。若 且 则 。 接着计算“丢 2n 次铜板恰好出现 n 次正面的机率 p2n 在 的极限” 定理3： 。 因此，当 时， p2n 不但不如原先料想的趋近于 1（即铁定发生），反而是趋近于 0（即不可能发生）。 这警告我们，机率的解释要很小心。 常识性的说法：“丢很多次铜板正面大约占一半。”如果将“大约占一半”， 解释为“恰好是一半”的点式推估说法，显然是不对的。如何修正呢？ 自然想到的是改用区间式推估的说法（用手海底捞针不成，就改用网子来捞）。 为了叙述方便起见，我们引入随机变数 (random variable) 的概念。 对于 k=1, 2, 3 …，令随机变数 再令 这也是一个随机变数，定义在某个机率空间 (Ω, F , P ) 上，代表丢 n 次铜板中，正面出现次数之随机变数，它具有二项分布。 于是“ S2n=n ”就表示丢 2n 次铜板正面恰好出现 n 次的事件， 其机率记为 P(S2n=n) 。因此定理3是说 。 进一步我们猜想： S2n 落在 n 的近旁之机率应该会大起来吧？ 也许这是“正面大约占一半”更贴切的解释。精确的计算是探求隐晦奥秘的不二法门， 让我们就来算算看。令 a 0 唯一个固定数，那么 因此我们又得到一个不出所料的结果： 定理4： 对任意固定数 a 0 ， 换言之，以 n 为中心，左右之长皆为 a 之区间，还是没有网住任何机率！ 另外，将偶数 2n 改成奇数 2n+1 ，定理4仍然成立。因为当 时，相应项的比值为 所以 所以得到 定理5： 对任意有限正数 a ，恒有 将上述定理4与定理5归结起来就得到： 定理6： 对任意有限正数 a ，恒有 这是一个令人惊异的结果，但也令人失望！逻辑的闷棍把常识的观点打得眼冒金星。用任何有限区间 来网罗住 所散布之机率，当 时，根本没有往到任何机率，机率全部流失掉！换言之，丢 n 次铜板，出现正面的次数，落在包含 的任何有限区间的机会，当 n 很大时，微乎其微。 什么是机率？它仍然是“云深不知处”！ James Bernoulli（1654～1705）积20年的辛苦工作终于得到突破性的发现： 定理7：（Bernoulli 的弱大法则，1713）对任意 。 注记 1. 从外形看起来，Stirling 公式并不漂亮，但却很多用途，它是揭开许多深刻奥秘的钥匙。在研究二项分布的性质时，De Moivre 最先得到这个公式（1718年）；后来 James Stirling 在1730年又重新得到它。在数学中有许多定理所挂的名字往往不是第一个发现者，此地是一个例子。 2. 从前杨维哲教授上机率论课，曾要求学生独立地去追寻 Stirling 公式，本文算是一个回应。 3. n! 的连续变化就是 Gamma 函数，内容精彩丰富，这是 Euler 的贡献。 参考文献 1. M. I. Aissen, Some remarks on Stirling formula, A. M. M. 61 (1954) , 687-691.2. H. Robbins, A remark on Stirling's formula, A. M. M. 62 (1955), 26-293. W. Feller, A direct proof of stirling's formula, A. M. M 74 (1967), 1223-1225.4. R. A. Khan, A probabilistic proof of Stirling's formula, A. M. M. 81 (1974), 366-369.5. C. S. Wong, A note on the central limit theorem, A. M. M. 84 (1997), 472.6. C. R. Blyth and P. K. Pathak, A note on eazy proofs of Stirling's formula, A. M. M. 93 (1986), 376-379.7. P. Diaconis and D. Freedman, An elementary proof of Stirling's formula, A. M. M. 93(1986), 123-125.8. J. M. Patin, A very short proof of Stirling's formula, A. M. M. 96 (1989), 41-42.9. G. Marsaglia and J. C. W. Marsaglia, A new derivation of Stirling Approximation to n! , A. M. M. 97 (1990), 826-829. 第九阅览室 http://9yls.net/4217.html
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hylpy1 2016-11-8 19:24
美国如何变成数学超级强国 曹亮吉 1976年，美国立国两百年之际，美国数学会在年会上邀请多位学者专家， 畅谈美国的数学发展史，事后将讲稿集成《美国数学两百年纪念》 （The Bicentennial Tribute to American Mathematics）一书。 我们想根据这本书，谈谈美国如何从数学的蛮荒地，演变成今日数学的超级强国。 从十七世纪开始，欧洲有大批的移民来到美洲。虽然同时期的欧洲开始了科学革命， 数学急速发展起来，美洲的移民却胼手胝足，为其生活奋斗，科学及数学的园地自然就像其土地一样，还是一片蛮荒。这种情形一直到十八世纪完了几乎都没有什么改变 ，1803年哈佛大学的入学考试只考最基本的算术就是一个明证。 十九世纪的前半，在美国流行着两种想法，自然神学 (Natural Theology) 及培根哲学 (Bacanian Philosophy)，使得科学，虽然不一定是数学，有所进展。自然神学认为人可经由发现自然的规律而沐浴于神的荣耀，确认神的存在。这种想法是清教徒世界观的一部分，当然大大影响了十七、八世纪新大陆的学校， 也鼓励了十九世纪的美国从事科学工作。 培根哲学则强调三件事：收集资料；不可能有一以贯之的大道理；科学以改善人类福祇为目标。在一片开疆拓土声中，这两种想法使他们发展了天文学、动植物学及地质学，以标定并了解日益扩张的新大陆。 虽然牛顿的传统使得英国在科学革命的初期占有非凡的地位，然而由于英国坚持牛顿笨拙的微积分符号，自外于欧洲大陆的科学发展，十八世纪的数学重心就移往欧洲大陆。虽然自然神学与培根哲学这两种想法都鼓励科学的研究，也不排斥数学，但其想法及大部分移民的来源地英国，却无法提供数学教育的典范。 在这样的情况下，唯一对数学发展有所刺激的是测量及天文。美国是新的地方，需要测量来标定海岸线及内陆各地，需要航海图及航海知识使船舰方便来往。这些工作的科学基础在于天文学及相关的数学。 美国独立之后的第一位数学家 Bowditch（1773～1838年），自己学会了一些数学，写了一本《美洲实用航海》(American Practical Navigator)。 后来他将法国数学家 Laplace（1749～1827年）的巨作《天体力学》(Mecanique Celeste) 译成英文并做评注。 从航海到天文学，许多人就是这样由数学的应用朝理论的方向前进了一步。 “美国海岸测量处”(United States Coast Survey)，这个政府机关也在需求的情况下成立。 第三任总统 Jefferson（1801～1809年在任）请了瑞士的 Hassler 来做处长。Hassler 强调测量需要有深厚的科学与数学的训练， 其后的继任者都能保持这个传统。因此这个机构非但精确地测量了美国的大西洋海岸、墨西哥湾、湾内的水流、海岸的深度等等，而且也让有数学能力的人能从事与数学有关的工作。 另一重要机构是1849年成立的“航海历书处”(Nautical Almanac)；它需要更多的天文知识，更多的数学计算，也培育了更多的数学人才。此外，十九世纪的美国逐渐走向工业化，具有数学能力的工业人才逐渐受到重视，其需求量也逐渐增加。工业界与政府也都转而关注高等学校中的数学教育。 十七、八世纪的美国教育是深受英国影响的。英国人办教育的目的是要培养绅士与教士。他们当然需要数学，但那是为了心智及逻辑的训练，所以层次不高。1820年以前，在大学所教的数学只有算术、简单的代数、没有证明的欧氏几何学，还有一点点的测量、三角及锥线。而且纵使是较高等的数学，其教法不外就是要学生强记，1830年时，耶鲁大学学生还因不满数学的教法而发生暴动──称为“锥线暴动”。在南北战争之前，很少有学校教微积分，几乎没有学校要求该科为必修。大学的数学只是通识教育的一部分，学生根本没有专攻的可能。 1812年英美发生战争，双方交恶。美国的教育逐渐摆脱英国的模式，各大学各自寻求更富变化的课程，以符合美国立国的民主精神。他们转而引进法国的数学课程与课本，因为大革命（1789年）之后，法国人在高等教育上做了重大的改革，数学教育尤其受到重视。在诸大学中哈佛及耶鲁不用说，西点军校之提倡数学教育及模仿法国军事学校与工艺大学 (Ecole polytechnique) 的课程也非常成功，使得它的毕业生有的成为出色的测量人员、工程人员，有的则到各处新成立的大学推广新的数学课程。这时期的教育改革虽然没有产生一流的数学家，但产生了一些能培养更下一代数学家的数学教师。 到了十九世纪中叶，工业界及政府有了足够的财力，也认识到科学教育的重要，纷纷资助各大学充实科学课程与设备，或成立新的、以农工为主的大学，为美国的科学与数学的发展奠下良好的基础。 Peirce（Benjamin, 1809～1880年）是此转型期的代表人物。他年轻时帮助 Bowditch 校正《天体力学》英译中的评注，使他得以学到法国的数学与物理。1833年升任哈佛大学教授，成为该校数学教育改革的推动者之一。 1847年纺织业钜子 A. Lawrence 捐款给哈佛大学，成立 Lawrence 科学家，由 Peirce 担任物理学数学的教授。 Peirce 曾是“美国海岸测量处”的处长，也参与“航海历书处”的研究。他还教出一批未来的学者：数学家、天文学家、两位哈佛及一位麻省理工学院的校长，更培育了两位出名的儿子：一位是哈佛大学数学教授 (James Mills)，另一位是著名的哲学家及逻辑学家 (Charles Sanders)。1870年，Peirce 还出版了《线性结合代数》(Linear Associative Algebra)；这是第一部美国产有水准的纯数学著作，它在1881年开始受到欧洲数学家的重视。 Peirce 受到的是本土教育，学到的是法国的数学与物理，从事过应用数学的工作，着手过数学教育的改革，培养出优秀的学生，最后使自己进入了世界数学的舞台。他的一生正代表十九世纪美国的数学发展。 从纯数学的观点来看，Peirce 还不是世界级的人物。比 Peirce 稍后，十九世纪美国所产生的世界级数学家是 Gibbs（1839～1903年）。 他的父亲是耶鲁大学的哲学教授，他本身也从耶鲁得到工程学位，然后前往德国转习数学与物理，回美国后在耶鲁大学教书与研究。1881年他在耶鲁开始讲授向量分析，是公认的向量分析的开山祖师。 1880年代美国之开始进入高水准的数学研究，还可以从下面几件事看出来。1876年，铁路大亨 Johns Hopkins 创立了以其名为校名，以研究为主导的大学，并从英国请来了世界级的数学家 Sylvester（1814～1897年）。在1877到1883年的停留期间，Sylvester 不但教出许多好学生，而且伙同美国的数学界，共同创办了登载原创性论文的《美国数学杂志》(American Journal of Mathematics)。 以前也有人试过发行研究性质的数学刊物，但都因素质不良，稿件不全而熬不下去。这份新的刊物，一方面由于 Sylvester 的魅力，一方面也因美国数学界已经有此需要，逐渐成长茁壮，一直到现在都还举足轻重。另一份刊物《数学年报》(Annals of Mathematics)也在1884年由维吉尼亚大学出版。 这份刊物几经演变，现由普林斯顿大学出版，是世界数学界顶尖的杂志。 1888年以哥伦比亚大学为中心的纽约数学会成立，扩展迅速，到1894年就变成美国数学会 (AMS) 这一个全国性的组织。 学会发行会刊 Bulletin（1894年）、学术杂志 Transactions（1900年），举办各种学术活动，出版数学书籍，为美国数学研究的提升注入了组织的力量。学会成立之初的几任会长，不是应用数学家就是学术行政人员。进入了二十世纪后，绝大多数的会长都是学有专精的数学家。这也证明美国在进入二十世纪时，其数学研究环境的树立已大致完成。 1892年，石油大王洛克斐勒捐助的芝加哥大学成立，也是美国数学史上的一件大事。 第一任数学系主任 R.H. Moore（1862～1932年）是耶鲁大学的毕业生，他和那一代的许多美国数学家一样， 游学过德国，深受当时数学界中心哥丁根大学的世纪级数学家Klein（1849～1925年）的影响。 1893年芝加哥举行世界博览会，芝加哥大学趁机发起国际数学会，从欧洲六国请来数学家与会。 Klein 也应邀参加，并在会后假西北大学做了一连串的学术演讲。国际数学会与 Klein 的演讲轰动整个美国数学界， 芝加哥大学很快就变成美国的数学重镇。Moore 本身的研究非常出色，但更重要的是他教出了评多更出色的学生， 其中最有名的是 Dickson（1874～1954年，研究数论与群论）、Veblen（1880～1960年，研究几何学）及 G.D. Birkhoff（1884～1944年，研究分析学）。 日后他们分别在芝加哥大学、普林斯顿大学及哈佛大学带动研究，使这三个地方成为二十世纪上半叶美国的数学重镇 1 ，而他们本身的研究也是世界级的。美国的数学水准就在他们这一代与欧洲先进国家并驾齐驱，他们的学生也不必再到欧洲游学了。 1930年一个全新构想的研究机构成立了，这是由纽泽西州 Newark 地区百货公司钜子 Bamberger 捐赠成立的，位于普林斯顿大学附近的高级研究所 (The Institute for Advanced Study)。最先设立的是数学院， 既没有大学部也没有研究所的学生，教授聘请的是世界级的学者，另外每年从世界各地招讲学者来共同讨论与研究。 最早的数学院教授有 Veblen、Morse（1892～1977年）、爱因斯坦（1879～1955年）、von Neumann（1903～1957年）及 Weyl（1885～1955年）。除 Veblen 及G.D. Birkhoff 的学生 Morse 外，其他三人都是从欧洲来的，也都是世纪级的学者， 都是为了躲避纳粹而来的。纳粹更使许多著名的欧洲数学家纷纷跑到美国的各大小大学寻求庇护所。 本身的数学研究已成气候，再加上这一批生力军，美国就在二次世界大战前后，一跃而成为世界数学的超级强国。 第九阅览室 http://9yls.net/6488.html
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分享 《数学传播》- 无限集合的一些特殊性质 - N.Ya. Vilenkin
hylpy1 2016-11-8 19:23
所有数学导源于无限的观念，这说法并不夸大。一般情形，在数学上我们对个别的个体（数，几何图）没有兴趣，但对这些个体所组成的集体倒有兴趣：例如所有的自然数，所有的三角形等等。但这样的组合是由无穷多个个体所组成的。 译者注 为了这个理由，数学家与哲学家常对无限的观念感到兴味盎然。当人们知道任何自然数都有它的后继者时（也就是说由自然数所排成的数列是无限的），就对无限的观念激起了兴趣。然而为了了解无限，即使是最初的设想都导致很多的矛盾。 举个例说，希腊哲学家齐诺(Zeno) 用无限的观念证明运动是不可能的！他说一只箭要射到一个目标，它必需先飞过前一半的距离，但要飞完前一半又需先飞过前四分之一的距离，前八分之一等等。但这种一半又一半的过程是永无止境的（在这儿无限观念产生了），于是他说这只箭就永远无法离弓了。他证明的方式与证明“善跑的阿纪利(Achilles) 永远无法追过慢步的乌龟”完全一样。 由于这些矛盾与诡辩，古希腊数学家拒绝做任何与无限有关的研究，并把它摒弃于数学论述之外。他们假设所有的几何图形由有限个极小，看不见的小部分（原子）所组成。在这假定之下，要把一个圆分成相等的两半是不可能的，因为圆心必需属于其中一半，但这就与两半相等的条件相违背。 在中世纪无限这问题所以引起兴趣，主要是与争论“能坐上同一针尖的天使是有限个或无限个”有关。比较广泛的使用无限观念，还是开始于十七世纪“数学解析”创始时。诸如无穷大量与无穷小量在数学申论的每一步骤都被用上。然而无限集合（即含有无穷多个元素的集合）在当时并未研究。所研究的都是些可变量，它可变得大于任何所给的数。这些量被称为“倾向于无穷的大”，意思是说它可随意大。 一直到十七世纪中叶，无限集合的研究才开始出现在解析上。无限集合数学理论的创始者是一位博学的捷克数学家波查诺(Bolzano) 和德国数学家堪托(Cantor)（不幸的是波查诺主要的工作在他死后数年才发表）。奇怪的是两位创始者都精通中世纪的经院哲学。两位终能改进经院哲学，进而促使集合论成为数学重要的一门。 波查诺与堪托的重要成就在于探讨无限集合的性质；有限集合的性质早为他们的前辈所熟知。波、堪两位发现有限集合与无限集合的性质完全不同：许多运算在有限集合上是不可能，但在无限集合却易如反掌。举例说吧，假定每个房间不能多于一个房客，想要再一个已客满的旅馆再安顿一个房客，办得到吗？当然办不到，因为旅馆的房间数量有限！但若房间的数量无限是否就办得到？这种旅馆出现在一本书上，书名叫做《星际送奶者，沉默者伊翁》。这是波兰幻想家史坦尼斯罗．兰所著。书中描写星际旅行家沉默者伊翁的英雄事迹。现在让我们听听作者说些什么吧。 特殊的旅馆，（或沉默者伊翁的一千零一次旅行） 我回家很迟，是安德罗米达星云俱乐部的聚会拖到深更半夜之故。这一整夜我被恶梦所困扰。我梦见吞下一只庞大的怪物，然后又梦见再度到行星度尔第托夫，在那些可怕的机器当中，我不知道如何躲开那个会将人变成六角形的机器；然后……。突然一个电话使我惊回现实，那是我的老朋友兼星际旅行伙伴大兰脱教授打来的。 他说：“亲爱的伊翁，有一个紧急的问题发生了，天文学家发现宇宙中出现一个奇怪的物体──一条神秘的黑线由一个银河系延伸到另一银河系。没有人知道到底是怎么回事，即使在火箭上装上最好的望远镜和无线电望远镜也无法探知这个谜。你是我们最后的希望了。快朝着星云ACD-1587 的方向起飞吧”。 次日我从修理厂取回我的旧光子火箭，同时装上时间加速器和电子机器人。这机器人懂得宇宙中所有语言和所有有关星际旅行的故事（在旅途中保证能使我消遣至少五年之久）。于是我就起飞执行我的任务了。 正当机器人讲完它所有的故事而开始重复叙述的时候（再没有比听一个电子机器人重复老故事十次更难受的事了），我旅程的目标就显现在不远的地方了。那些附有神秘缓缓的银河系已落在我身后，呈现在眼前的是……宇宙大饭店。前些时我造了一个小行星，供那些星际间漫游的流亡者住宿。但他们把它给拆掉了，再度流离失所。后来他们决定不再遨游陌生的银河系，于是盖起了一栋豪华宏伟的建筑物──给宇宙中所有旅游者的旅馆，叫做宇宙大饭店。这饭店横跨几乎所有的银河系。我说“几乎所有”是因为流亡者已经把少数荒芜的银河系解体成零零落落的星群。 大饭店装璜得很神奇。每间房装有冷热电浆水龙头。夜里休息时，假如你愿意的话还可以把自己分解成电子，早上则有侍者来把你的原子组合成原来的你。 但饭店最重要的特色是有无穷多个房间。流亡者希望从此以后不会再听到那令人烦恼的一句话“没有空房间”，这话从一开始漫游就困扰着他们。 即使这饭店有这特色，我的运气还是不佳。一走进饭店前厅，就看到指示牌上写着：宇宙动物学会的代表在一百二十七层楼登记。 由于宇宙动物学者来自所有银河系，而银河系又有无穷多个，于是所有的房间都被学会出席者所占满，因此没有空房给我。管理员试着说服某些代表让我与他们住在一起。但当我发现愿意的人中，一个呼吸的是氟气，另一个则喜欢把室温调到860℉ 的环境时，我只好婉谢他们的雅意。 幸好董事长也是个流亡者，他还记得我给他和他的同胞的恩惠。他要想办法安插我一个位置，因为在星际太空中过夜是会得肺炎的。沉思片刻之后，他转向管理员： “把他安置在一号房”。 “一号房的房客又安置到那里呢？” “把他迁到二号房。二号房的房客迁到三号房，三号房的到四号房，依此类推。” 就在此时我才开始领会这旅馆的不寻常特性。假设这旅馆仅有有限个房间，则最后房间的房客务必被迫搬出而住到星际太空去。但就因为旅馆有无限多个房间，所以我能搬进去而不剥夺任何宇宙动物学家住旅馆的机会。 第二天早晨当我发现我必需迁到第一百万号房时，我也不感到惊讶了。很显然的，那是因为又有999,999 位客人要住进旅馆。这些迟到者是从银河系VSK-3472 来的宇宙动物学者。第三天当我付旅馆费时，很惊讶地发现那里排了一条长龙，从管理员的窗口直排到马吉芝的云层边消失。当时我听到一个声音说： “我愿意用两枚安德罗米达星云的邮票换一枚西利尔丝的邮票。” “谁有宇宙时代第五十七年的鄂尔卑安邮票？” 我迷惑的问管理员： “这些人是谁？” “他们是星际集邮家。” “他们人很多吗？” “无穷多──每一银河系一个代表。” “但是你如何替他们找到房间？再说，宇宙动物学家要到明天才离开呢！” “我不知道；我正要为这事去请教董事长几分钟。” 然而这次的问题更加难了。几分钟的讨论延长到一小时。最后管理员终于离开董事长办公室着手安排房间。首先他请一号房客搬到二号房。我感到很奇怪。因为根据我自己的经验，这样的调动只能空出一个房间而已，然而他却必需空出无限多房间给这些多至无穷的集邮家。正疑惑中只听到管理员继续下令： “把二号房客安置到四号房，三号房客到六号；照这原则， n 号房客迁到 2 n 号房。” 现在我了解他的计划了：这计策是把无穷多的奇数房空了出来，就可以安顿集邮家于奇号房。 于是所有偶数房都住着宇宙动物学家，奇数房则由集邮家所住。（我没提到自己。是这样的；经过三天的认识，我与宇宙动物学家处得非常友好，他们就选我为他们学会的荣誉代表；因此我也必需与他们同时迁移。我由一百万号移到两百万号房）。我有一位集邮的朋友排在队伍的第五百七十四位，他被编入一千一百四十七号房。一般说来，第 n 位集邮家会被编到 2 n -1 号房住。 次日房荒情况缓和──宇宙动物学学会结束。动物学者都起程回家，我也搬到董事长公寓的空房住。但是对旅客有益的事不见得会使管理者高兴，几天之后我那慷慨的主人变得很忧郁。 “有什么困难吗？”我问他。 “有半数房间都空着。我们将无法完成经济计划。” 事实上我并不太了解他所谓的经济计划；终究他也收到无穷多房间的收费。尽管如此，我还是给他一些建议： “嘿，为什么不把旅客移动一下，使他们紧挨着住，以便把所有房间都住满。” 这倒是比较容易办了。集邮家只住在奇数号房：一、三、五、七、九等等。让一号房客不动，把三号房客迁到二号，五号迁到三号，七号迁到四号等等。最后即使没有新旅客到来，所有的房间又重新被住满。 但这并不能消除董事长的忧愁：据说是为了下面的事发愁；流亡者盖了宇宙大饭店还不满足，永不疲乏的建筑商又盖了无穷多的旅馆，每一旅馆又有无穷多房间。为了造这些旅馆，他们把好多的银河系解体，以至于银河际的平衡受到干扰，这可能导致严重的后果。于是他们受命除了我们的大饭店外，其他旅馆全部拆掉，并把所用的材料归还原处。但当所有的旅馆（包括我们的）都客满时，要执行这道命令是很难的。董事长受命把无穷多旅馆的旅客安置到我们这个早已客满的饭店，而每一旅馆又有无穷多旅客！ “我已够受了！”董事长叫喊着。 “首先我在早已客满的饭店安插了一个旅客，然后是999,999，之后甚至于是无穷多个旅客；现在他们又要我设法让无穷多个无穷多旅客在这儿住。不，这饭店不是橡皮做的；让他们去安排吧！” 但是命令就是命令。他们必须在五天内准备就绪，以便容纳新旅客。在这五天中饭店里没人工作着──每一个人都在绞尽脑汁想办法解决这问题。于是饭店里公布了一个悬赏──若有人提供解决方法，可免费得到一个银河系旅行。但所有提出的方法都因不可行而不被采纳。例如一个正在受训中的厨师曾作如下的建议：让第一号房的房客原地不动。把第二号迁到一千零一号房，第三号迁到第二千零一号等等，然后把第二旅馆的房客搬入二号，一千零二号，二千零二号等等。第三旅馆的搬入三号。一千零三号，二千零三号等等。但这方法不受采纳，因为照这方法，则第一千零一个旅馆的旅客就不知要迁到那儿去；其实前一千个旅馆的旅客就占据了所有的房间。这个办法让我们联想起一伴事：罗马参议员曾提议将九月的名称改为梯比留斯(Tiberius)，以示对皇帝的敬意（前两个月已采用Julius 与Augustus 两位皇帝的名字），皇帝一听这提议，随口就问参议员说：“那么你们拿什么来表示对第十三位凯撒的敬意呢？” 饭店的簿记员有一个较好的变通办法。他建议我们利用几何级数，重新安排旅客如下：第一旅馆（即我们这饭店）的旅客安排在二号、四号、八号、十六号、三十二号房间等等（这些号码形成公比为二的几何级数）。第二旅馆的旅客则安置在三号、九号、二十七号、八十一号房间等等（这些成公比为三的几何级数）。他建议我们把某地旅馆的旅客依此法安排。于是指导员就问他： “我们是否把第三旅馆的旅客安置在那些房间。使其号码形成以四为公比的几何级数？” “当然，”簿记员回答。 “这方法也解决不了问题；因为我们已把四号房分给第一旅馆的一个旅客，我们又将把第三旅馆的第一位旅客分到那里呢？” 轮到我讲话了；他们让我在太空学术机构学习五年的数学终于没有白费。 “用质数。把第一旅馆的旅客安排在二号、四号、八号、十六号，……，第二旅馆的在三号、九、二十七号、八十一号，…… ，第三旅馆的在五号、二十五号、一百二十五号、六百二十五号，……，第四旅馆的在七号、四十九号。三百四十三号，……，” “这样就不会再发生两个旅客被安排在同一个房间的事了吗？”指导员问。 “不会的，因为两个质数的任何乘方都不相等；也就是说，假如 p , q 为两个相异的质数，而 m , n 为两个自然数，则 。” 指导员同意我的说法。但很快的他改进了我所提的方法而只用2, 3两个质数。他建议把第 m 个旅馆的第 n 个旅客安排在 2 m 3 n 号房间。这个方法行得通，因为假如 或 ，6则 。于是就不会有两个旅客被安排在同一房间了。 每个人都满意这个建议。大家都以为无法办到的问题终于得到了解答。但出乎意料的，指导员与我都没得到奖赏。因为假如根据我们的办法，则有太多的房间将是空的（根据我的办法，则六号、十号、十二号以及所有不是某一质数的乘方的房间都没人往，而指导员的方法则使所有号码不是 2 m 3 n 形式的房间空着）。有一位集邮家提议一个最好的办法。这位集邮家是天鹅银河系数学研究院院长。 他建议我们列表。把旅馆的号数依次排在列上，而房客的号数则排在行上。例如第四列第六行上所排的是第四旅馆的第六房客号数。下面就是这个表（其实只列了左上角的部分，因为若要全部列表，则需用无限多的行和列）： “然后把旅客依正方形安排，”集邮数学家说。 “如何安排？”指导员并不了解他说的方法。 “用正方形。例如把一号房安排给 (1,1) 旅客，也就是第一旅馆的第一旅客；二号房给 (1,2) 旅客，就是第一旅馆的第二旅客；三号房给 (2,2) 旅客，即第二旅馆的第二旅客，而四号房则给 (2,1) 旅客，即第二旅馆的第一旅客。于是左上角边长为二的正方形上的旅客都安排妥当。然后才把 (1,3) 的排在五号房， (2,3) 的排在六号房， (3,3) 的排在七号房， (3,2) 的排在八号房， (3,1) 则排在九号房（这些房间排满了边长为 3 的正方形上的旅客。）也就是依下面的箭头方向安排： “真有足够的房间给所有的旅客吗？”指导员很怀疑的问。“当然啰。根据这个设计，则前 n 个旅馆的前 n 个房间。于是每一旅客早晚会分到一个房间。举例说，第一百三十六旅馆的第二百十七号房客会在第二百十七次的分发中分到房间。我们甚至可以很容易的算出他所得到的房间号码。那是第 216 2 + 136 号房。一般情形，第 m 个旅馆的第 n 个旅客，若 时则分到第 ( n -1) 2 + m 号房，若 n m 则分到第 m 2 - n +1 号房。” 这个设计被公认为最好的──所有旅馆的旅客在我们的饭店都会有房间住，同时这饭店也不会有空房。于是这位集邮数学家得到了奖赏。他决定到LCR-287 银河系去旅行。指导员设宴庆祝这个成功的解决方法。所有旅客都被邀参加宴会。主人安排每个人一个坐位。但偶数号的房客因迟到半小时而找不到位置坐，于是他们得等大家把坐位调整后才能入座（当然不另加椅子）。后来当冰淇淋上桌时，却发现每人有两份冰淇淋。事实上厨子只准备每人一份；我希望读者现在该会了解这到底是怎么一回事了。 宴会完后，我坐上我的光子火箭，起程回地球。我必须告诉地球上的天文学家，宇宙中新存在的天体。除此之外，我还要请教一些有名望的数学家和我的朋友大兰脱教授，有关无限集合的性质。 第九阅览室 http://9yls.net/3056.html
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hylpy1 2016-11-8 19:20
微积分史话 曹亮吉 增订版序 这次再版，除了将原文的错误之处改正过来外，特别从科学月刊的“益智益囊集”专栏中选出四篇与微积分有关系的文章做为本书的附录。 在古时能求得球体的体积是被视为了不起的成就。它的求法和积分学的发展有密切的关系，附录一〈 优雅美丽的球体 〉所谈的就是祖冲之与阿基米德在这方面的成就。 无穷是微积分最需要澄清的观念，为了它微积分发展了计算的技巧。事实上，数学只用数学的方法解释无穷，而时空中的无穷则是千百年来哲学家、科学家谈论不休的焦点。附录二〈 Achillies的脚跟 〉提供这方面谈论的一些资料。 微积分的基础在于实数系统的建构；人类认识实数有一段漫长而曲折的历史，附录三〈 无法理解的数 〉及附录四〈 实在而具体的数 〉是这方面的参考资料。 曹亮吉于台大数学系73年11月 原序 要学好一门学科，总希望弄清楚它的来龙去脉。微积分是人类文化史上的一大成就。其历史更是每个现代人该具有的基本常识。可惜一般微积分课本言不及此，或浮光掠影而不能深入。专论微积分历史的书本又往往深入而不浅出。使读者迷失于细节发展而昧于主流变化。 这本小册子适合大一学生之所需，可做为学习微积分的前瞻与回顾，希望借此而对微积分有更深刻的认识。为此，我们只以解析几何的知识为本，鸟瞰微积分历史。并附以习题。以收深浅适宜，反覆咀嚼之效。 曹亮吉于台大数学系69年夏天 写作主要参考资料 C. Boyer,《The history of the calculus and its conceptual development》, Dover. A. Rosenthal,《The history of calculus》，Monthly 58, 1951. （杨维哲、蔡聪明编著的《普通数学教程》，文仁事业有限公司，附有其中译文。） M. Kline,《Mathematical thought from ancient to modern times》，凡异出版社或九章出版社。 黄武雄等校订〈 人怎样求得面积 〉，人间文化事业公司或《数学传播》二卷二期，14～26。 前言 近几世纪以来，科学技术非常发达，究其原因，数学要居首功。举凡物理、天文、化学、工程、地质、生物等等，甚至社会科学所产生的许多问题，往往要依靠数学工具来解决，而数学工具之中尤以微积分学最为犀利、最具功效。 微积分是微分和积分的合称。微分是用来研究变化率，而积分是用来求积的（即算曲线长、面积、体积）。但就像乘法和除法一样，微分和积分两者之间却有互为反运算的密切关系，所以必须合起来一起研究，因而合称为微积分。 本文的主要目的是想从历史的眼光来探讨微分、积分观念的由来，技巧的演进，微、积分的合流，微积分的用途，其发展中所遭遇到的困难及解决的途径。 历史上，积分的观念比微分的要发展得早，所以我们先从积分谈起 1. 圆面积的求法 人类进入了农业社会后，因为丈量土地、建谷仓、筑宫室等等的需要，求积的方法就日形重要起来。 首先，人类可能用一日的行程、一头牛一天可耕过的土地等方法来量长度、算面积。但随着精确度的要求，长度及面积都必须要有固定的单位。 通常面积都是以某种正方形为单位的（譬如一平方公尺）。由此出发逐步可得一般正方形的面积为一边的平方，矩形的面积为长乘宽，平行四边形的面积为底乘高，而三角形的面积则为底乘高之半。因多边形可分划成三角形之和，所以其面积也可求得。除了这些图形之外，最简单、最吸引人也最实用的可算是圆形了。那么圆形的面积怎么求得？在此我们触到了积分学的源头了。 “圆形的面积是多少？”“圆周率乘半径的平方。”“圆周率是什么？”“圆周与直径之比。”“比值是多少？”“3.14”“再精确点！”“3.1416”“再精确点!!”“3.1416……”“……是什么？”“？” 圆周率通常以希腊字母π 来表。大家都知道求圆面积就等于求圆周率。那么圆周率到底是多少？怎样求得它的近似值呢？ 据史籍所载，四千年前的巴比伦人用 做圆周率，同时期的埃及人则用 ，而三千年前的中国人则用3。其后有用 、 、 、3.14等等来代表圆周率。这些都是近似值，有的纯由经验求得，有的则佐以一些理论。此外，最值得称道的是西元前三世纪的希腊科学家阿基米德（Archimedes, 287～212 BC）算得圆周率介于 及 之间，而三国（大约西元260年）时的刘徽，则得其近似值为3.14159。他们的特色是提供一套能够计算圆周率值精确到任何位数的方法──至少理论上可行 穷尽法 阿基米德的方法是由圆内接正六边形出发，先计算其周长，做为圆周长的一个近似值，然后再由此周长计算内接正十二边形的周长，做为圆周长更正确的近似值。如此边数逐次倍增。则所得周长虽仍然小于圆周长，但却愈接近圆周长。一般而言，单位圆内接正 n 边形和正 2 n 边形两者周长 S n 和 S 2 n 之间，有一代数关系 ，如果前者已知，则后者亦可求。同时阿基米德又用外切正多边形的周长从外方逼近圆周长。当内接及外切正多边形的边数为96时，阿基米德就得到他的圆周率估计值。阿基米德的方法源自所谓的“穷尽法”(method of exhaustion)。古希腊数学家尤多绪斯（Eudoxus，约408～355 BC）就有用已知的面积（或体积）逐渐穷尽某一面积（或体积）的想法，再辅以一些技巧而证明了“两圆面积之比等于其半径平方之比”，“两球体积之比等于其半径立方之比”，“圆锥的体积为同底等高圆柱体积的三分之一”等定理。 刘徽则用正多边形的面积来逼近圆面积，当边数增加到3072时就得到他的近似值。这种逼近方法原理虽然简单，但计算时要不断开平方，过程非常繁复。南北朝的祖冲之（429～500）居然算到16384边，而得知圆周率介于3.1415926与3.1415927之间。 这种圆面积的算法虽然繁复，但其逼近的原理却发展成了积分学。（关于圆周率，可参考《科学月刊》第十卷第八、九、十期(1979)的“益智益囊集”或Petr Beckmann 原着，姜家齐、朱建正、林聪源合译的《π的故事》，凡异出版社。） 2. 抛物线的弓形面积 穷尽法虽然创自尤多绪斯。但大大发扬光大的就要数阿基米德了。阿基米德除了求圆周率的近似值外，还巧用穷尽法求得许多面积和体积。现在我们来看他如何求得抛物线的弓形面积。 图一 如图一， AB 为抛物线的一割线，自其中点 M 作直径（平行于抛物线轴的直线叫做抛物线的直径）交抛物线于 C ，则阿基米德证明了弓形 ACB 的面积要等于 的 倍。 穷尽 首先，他证明了弓形 ACB 可以被一连串的三角形所“穷尽”。这一连串三角形的作法如下：从 AC 、 BC 的中点 K 、 L 各作直径，分别交抛物线于 P 、 Q ，得三角形 、 填充于弓形与 之间的空隙处。依同法，从 AP 、 CP 、 CQ 、 BQ 的各中点作直径交抛物线于四点，而又可得四个三角形填充于所剩下的空隙。如此反覆进行，就可以得到一连串的三角形。那么这一连串的三角形能“穷尽”弓形面积吗？也就是问，能把空隙填满吗？用眼睛看显然不成问题，但阿基米德还是给了一个证明：如图二，过 C 点作切线，则此切线平行于 AB ；过 A 、 B 作直线平行于 CM ，分别交切线于 D 、 E ，则得平行四边形 ADEB 。因此 弓形 ACB 。同理可证 弓形 APC ， 弓形 BQC 。一般而言，每一新阶段所作的三角形都能把剩下的空隙填掉一半以上，所以这一连串的三角形终究能把弓形穷尽。 图二 求和 第二步要证明这些小三角形的面积和 有着简单的关系。阿基米德证明了 = 、 。如果 的面积为 A 0 ，则第一次填空隙的两个三角形其面积和为 。同理，第二次填空隙的四个三角形每个面积都等于第一次填空隙所用三角形（如 ）的 ，所以总面积和 。如此类推，第 n 次填空隙的三角形面积和 A n 等于 。所以 间接证法 这不就得证了？但慢着，上面的计算用了无穷等比级数的和公式 而阿基米德时代的人们只会求有限项等比级数的和。所以为了证明弓形的面积确实等于 ，他用穷尽法中典型的间接证法做了第三步的讨论： 由等比级数的和公式知 = = = = ( 1 ) 假如弓形的面积 A 大于 ，则因诸 A n 可以穷尽 A ，所以当 n 够大时， 会落在 及 A 之间，即 ；但由先前的(1)式知 应小于 ，故得矛盾。反之，如果 A 小于 ，则可以选很大的 n ，使得 ( 2 ) 但由(1)式，得 ( 3 ) 比较(2)、(3)两式，得 ，这又是个矛盾。既然 或 的假设都不对， A 当然就得等于 了。 当然，实际上阿基米德是求得了无穷等比级数的和，但因为他没有明确的极限观念，不能由 的等比级数和公式，一下子跳到 的结论。（即愈加愈多时， 变得愈来愈小，终致消失。）事实上，在那时代，大家还不会处理负号，所以上面的说明及计算中，凡有负号的都要移到等号的另一边，这更使我们了解阿基米德论证之不易。 致命伤 除了抛​​物线的弓形面积外，阿基米德还用穷尽法求得很多面积和体积（譬如球面的面积和球体的体积等）。因为情况的不同，阿基米德用的穷尽办法也不一样，譬如在穷尽抛物线弓形面积时，他就利用了不少抛物线所特有的性质。所以在求各种面积（体积）时，穷尽的原理虽然相同，其方法却未能统一，这是穷尽法的致命伤。阿基米德之后，后继无人，将近两千年之间，求积的方法居然没有什么进步。 方法 其实，阿基米德另有方法来补穷尽法之不足。为了知道某一面积该是多少，他把该面积想成是由无穷线条所组成（见图三 AB ），然后技巧地应用杠杆原理求得了面积。但他认为这种方法不够严密，所以知道了面积之后，再用传统的穷尽法加以证明。 图三 用现在积分学的眼光来看，他用杠杆原理求面积的方法并没有什么不严密之处；只是当时对“无穷”及“线条”没有明确的观念罢了。 阿基米德把如何用杠杆原理求积的方法写在一部叫做《方法》（The Method）的书上。可惜这本书消失了两千一百年之久，直到1906年才重新出现。但求积历史发展的结果，却与阿基米德把面积看成由无穷个线条所组成的看法吻合。一旦大家弄清楚了“无穷”个“线条”（宽为“无穷小”的矩形）之“和”，也就是积分学成熟的时候。 杠杆原理和求积扯得上关系？这是杠杆原理开山祖师阿基米德的一项杰作，详情请参考 附录一 。（或参阅康明昌先生的《微积分入门》，七十一年故乡出版社，第二章第一节。） 网站编辑按：亦可参阅康明昌的〈 Archimedes论面积 〉，或李宗元、古学理的〈 亚基米德的秘密 〉。 3. 无穷小与求积 阿基米德之后，后继无人，直到文艺复兴时代，古希腊之学逐渐受西方重视，科学渐兴，求积问题才引起很多人的探讨。 为了求得更多的面（体）积，大家放松对严谨的要求，几乎舍弃了阿基米德步步为营的精神。这之中经得起考验而日后成为积分学主要思潮的有两种方法，其一就是把面（体）积看成由无穷线条（薄片）所组成的无穷小方法；另外一个是经过改良的穷尽法──动态穷尽法。第一种方法诉诸直观，虽然论证欠缺严谨，却予积分学的发展很大的动力；第二种则论证较严谨，终于使求积方法有了深厚的数学基础。 在这一节里，我们光看无穷小与求积的关系。 无穷小 无穷小的观念起源很早，到文艺复兴以后，用它求积的人很多，且看法、求法各有千秋，我们只能举几位代表性人物，如刻卜勒（J. Kep​​ler, 1571～1630）、伽利略（Galileo Galilei, 1564～1642）及卡法里约利（B. Cavalieri, 1598～1647）等人。 刻卜勒认为圆是个无穷边正多边形，所以圆面积等于无穷个无穷小三角形的面积和。每一三角形的高为圆的半径，而其无穷小的底边则在圆周上。因为每一三角形的面积为 ×半径×底，所以这些三角形的面积和为 ×半径×圆周。同理，他认为圆球是由无穷小的圆锥体所组成，每一圆锥体的顶点就是圆球的球心，高就是半径，而底面积（无穷小）则在球面上，由此可推得圆球体积为 ×半径×球面面积。除此之外，他还求得一些面积和旋转体的体积。 距离与面积 伽利略在讨论等加速运动时，用无穷小的论证法证明时─速曲线下的面积就是距离，这是求积的应用跨出纯粹求积范围的一大步。他的想法如下：设一物的运行速度 v 和时间 t 的关系为 v = 32 t ，则在 t - v 坐标中，该关系由一直线 OB 所表（见图五）。在任一时刻 A ' 的速度等于 A ' B ' 长，所以在此时刻所走的距离为 A ' B ' 长乘以“无穷小”的时刻，即“线条 A ' B ' 的面积”。当时间由 O 变到 A 时，线条 A ' B' 也逐次由 O 变到 AB ，所以总距离为诸线条 A ' B ' “面积”之和，也就是 的面积。设 A 点的坐标为 t ，则距离= 的面积= 。 图五 速度是距离的变化率，而将速度函数“求积”则回到距离函数，这种求积与变化率的互逆关系，就是所谓的微积分基本定理。当然，那时候时机还未成熟，伽利略没办法有这么深刻的认识。 以严谨的眼光看无穷小方法，会发现它有种种的困难，譬如，什么是无穷小？无穷个无穷小的和又是什么意思？虽然很多人想办法要把这些几何观念严密化，但一直没有成功。直到最近经罗宾生（A. Robinson, 1918～1974）等人的努力，无穷小的观念才有了数学基础。但要深入了解无穷小的数学，却需要有些逻辑学的训练，一般人是否能经由此途径学得微积分，还有待时间的考验。 无穷小方法虽然身分一直不明，但若谨慎使用，用处也很大，所以深受数学家的欢迎，譬如，卡法里约利就用无穷小的方法推算出很多面积。但是许多人对其不严密性深感不安，而另谋发展途径，其中最有成就的是下一节要谈的动态穷尽法。 卡氏原理 无穷小方法除了提供直观看法外，还留下一条非常有用的卡氏原理(Cavalieri Principle)。卡氏原理不但是直观的产物，而且是可用现代微积分学证明的一个定理。我们先用一个例子来说明卡氏原理的大意。如图六，设 、 等底等高，我们可用无穷小方法证明其面积相等：设 B ' C ' 、 E ' F ' 为分别平行于 BC 、 EF 的直线，且距底边等高，则由比例可知 B ' C '= E ' F ' 。既然 、 分别由相等的线条 B ' C ' 、 E ' F ' 所组成，所以两三角形应该有同样的面积。 图六 卡法里约利所提的原理可由下面两段文字来表示。 一、如果两立体具有同样的高度，而且与底等高且平行于底面的截面积两两成固定的比值，则这两个立体的体积比等于该固定的比值。 二、如果两面积具有同样的高度，而且与底等高且平行于底线的截线长两两成固定的比值，则这两个面积的比等于该固定的比值。 可注意者，卡氏原理虽由直观而得，但其内容却不含任何暧昧字眼（如无穷小等）；用现代的眼光来看，它是个定理。反覆利用这个原理。卡氏证明了圆锥体的体积为同底等高圆柱体体积的三分之一。 不但西方有卡氏原理，中国也有，而且要早千年之久。南北朝时的祖冲之，就一再巧用这个原理，不用现代微积分技巧，就求得球体体积的公式（请参考 附录一 ）。卡氏原理也应该叫做祖氏原理！ 我们现在用这个原理来求椭圆的面积。 例：若椭圆的方程式为 ，则其面积为 。 图七 证：如图七，以椭圆的短轴为半径做圆，我们要用卡氏（祖氏）原理来比较椭圆和圆的面积。作任一直线平行于长轴而得椭圆的截线 LL ' 及圆的截线 MM' 。由坐标的计算知 ，为固定比值。所以由卡氏（祖氏）原理知 即椭圆面积= 圆面积= 。 4. 动态穷尽法 为了了解动态穷尽法。我们再举抛物线的例子。 例：求抛物线 y = x 2 及两直线 y =0 、 x = b 之间的面积。 由§2抛物线弓形面积可推得我们现在要求的面积等于 。但我们现在要用动态穷尽法做这个题目。 图八 设 B 点的坐标为 ( b ,0) 。将 OB 等分成 n 段，每段长 ，分段点的横坐标各为 、 、…、 。如图八，在这些线段上、抛物线下作矩形。这些矩形的面积和为 S n 可以做为欲求面积 ​​S 的一个近似值。如果 n 愈变愈大，则由直观可知 S n 愈来愈近于 S 。所以我们让 n 趋向于无穷大，看 S n 能否趋近于一个定数。如果能，则此定数应该就是我们所要求的面积 S 。 我们可以用数学归纳法证明 所以 如果 n 愈变愈大，则 、 这两项愈变愈小，而 S n 就愈来愈趋近于 ，所以 S 应该等于 。用现代的符号来表示，则 表示 n 愈变愈大的情况下， 表在此情况下取极限值(limit) 动态穷尽 很明显地，上面这种计算面积的方法也是一种穷尽法，但它和§2中所谈的穷尽法却有些不同。§2的方法，在作第 n +1 阶段逼近时，把第 n 阶段所得的面积固定不动，再在空隙中填进一些小面积，合起来作为第 n +1 阶段的逼近。现在的方法并不把第 n 阶段的近似面积固定，而是重新用比较瘦小的矩形和作 n +1 阶段的逼近。因为用作逼近的矩形随时在变动，所以称为动态穷尽法。这种方法有很多特色： 一、随着 n 的增加，每个矩形愈变愈瘦，渐渐趋近于线条，而终于能把面积穷尽，直观上和无穷小方法的看法相当接近。 二、每一阶段的逼近有一定的规则可寻，不像传统的穷尽法要利用所给曲线的特殊性质。 三、每一阶段的逼近只用有限个矩形，其面积和理论上可以算得，不像无穷小方法不知道如何严格处理无穷个无穷小的和。 潜在的无穷法 穷尽法和无穷小方法最大的不同处，是前者每一阶段都是我们能够处理的有限项和，但我们又让项数趋向于无穷大而取得极限值，所以它又能担任无穷的角色，因此这种用极限的穷尽法是潜在的无穷法，而不是真正的无穷法。有了这些特色，动态穷尽法应用的范围较广，所得的结果也较令人信服。譬如 y = x m （ m 为正整数）、 、 等曲线下的面积就可以用这种方法求得。 困难与发展 动态穷尽法也有它的困难处： 一、每一阶段的逼近面积不一定可以用简单的式子表得出来。 二、纵使表得出来，当 n 趋向于无穷大时，其极限值为何有时候也不容易求得，尤其当时对极限的观念、求法都还在摸索阶段。 三、“随着 n 的增加，所得的逼近面积是否愈来愈接近所要求的面积？”也就是问“逼近面积能否穷尽原面积？”这个问题也没办法用严密的方法证明（指当时而言）。 动态穷尽法可以说开始于史蒂芬（S. Stevin, 1546～1620）的工作。（一说阿基米德就用过，待考。）他在算一物体的重心时，就曾经用许多瘦长的平行四边形来逼近三角形。（重心的计算也可以用积分的方法！） 其后瓦略里奥（L. Valerio, 1552～1618）曾经提出：一面积如果由内逼近和由外逼近（譬如圆由内接正多边形和外切正多边形来逼近）的两种逼近面积之差可以变得任意小（内外夹击！），则内逼近或外逼​​近的面积都会穷尽原面积。这种看法在观念上算是解决了动态穷尽法的第三项困难，其技巧上的困难连同第二项困难则有待极限观念、技巧的澄清。（即，何谓穷尽？）这个工作直到十九世纪，经柯西（A. Cauchy, 1789～1857）、维尔思垂斯（K. Weierstrass, 1815～1897）等人的努力，才获得完全的解决。 为解决第一项困难，大家试着用更具弹性的逼近法，即每一阶段的逼近并不要求把横轴等分，而且第 n 阶段也不一定要分为 n 线段，只要每一分段长随着 n 变大而变小，终于趋近于0就可以了；此外线段上矩形的高度不一定要在曲线下（内逼近）或在曲线上（外逼近），只要在两者之间就可以了。主要的目的，就是利用所给曲线的特性而作适当的横轴分段，作适当高度的矩形，使所得的逼近面积容易计算。这就更显得“动态”两字的意义！现在我们习用的积分就是由动态穷尽法演变而来的。 图九 现在再回到抛物线下的面积，看它由内、外两方逼近的情形。如图九，由外逼近诸矩形的面积和为 因外逼近 T n 与内逼近 S n 的差 T n - S n （ ）可以变得任意小，所以根据瓦略里奥的原则，我们可以确定 S n ( T n ) 的极限值 确实是 S 的面积。 若把等分横轴的方法用到曲线 y = x 3 下的面积时，则第 n 阶段的内逼近面积和为 要把 的公式求出来可要花很大的工夫。纵使想办法把它解决了，当遇到 y = x 4 时又得算 ； y = x 5 时，则要算……。 这样逐题解决绝不是办法。那么有没有“通吃”的办法把曲线 y = x m （ m 为正整数）下的面积问题一举解决呢？有的，至少有两种办法，一种是不算 而直接算 的极限值，另外一种就是费玛（Fermat, 1601～1665）所巧用的横轴分割法，他一举就求得逼近面积的公式。 例：求曲线 y = x m （ m 为正整数）下的面积。 图十 解：固定0与1之间的一个数 c （见图十），费玛把 OB 分成无穷段，其分段点的横座标从 B 点往 O 点算各为 bc , bc 2 , bc 3 , …, bc k ,…。所以每一分段长并不相等，但成等比数列，愈接近原点线段长愈短。在这些分段上做内逼近矩形，得其面积和为 这个逼近面积当然和 c 值有关，所以我们用 A ( c ) 来表。为了使每一分段的长度 bc k- bc k +1 （ = bc k (1- c ) ）趋近于0，我们就让 c 趋近于1，这样 A ( c ) 就应该趋近于所要求的面积。因为 所以当 c 趋近于1时， A ( c ) 的分子 b m +1 c m 趋近于 b m +1 ，而分母 共有 m +1 项，所以趋近于 m +1 ，因此曲线 y = x m 下的面积为 。用现代的符号来表示，则 等式的第一项表曲线 y = x m 下及在横座标0与 b 之间的面积，读做 函数 x m 在0与 b 之间的定积分 。 值得注意的一点是，在 A ( c ) 化成 之前， ，如果这时候让 c 趋近于1，则分子、分母同时趋近于0。而 A ( c ) 趋近于何值就不知道了。这种情形在做极限及求变化率时常常发生，如果学会如何处理这种情形，则极限及微分的技巧就学到大半了。 费玛的方法没有所谓的第 n 阶段逼近，因为对0与1之间的任何数 c 我们都可以做一次逼近，要点是最后让 c 逐渐趋近于1。如果勉强要分阶段，则第 n 阶段时令 就可以了。 用同样的方法，若 m 为任何大于-1的有理数，费玛也求得 m = -1 时的面积，则和对数函数有关，在此不做进一步讨论。另外有一个和费玛的方法类似，但只用有限个分段而能求得 （ 0 a b ， m 为不等于-1的任何有理数）的办法，请见本节的习题9 5. 微分学的酝酿 十七世纪的前三分之二，可以说是微积分学的酝酿时期。那时候因为科学的进步，除了求积的问题外，数学家还考虑种种其他的问题，其中最重要的有： 一、由距离求速度及加速度；反之，由加速度求速度、求距离。 二、作曲线的切线。 三、求函数的极大值、极小值。 四、求曲线长、面积、体积、重心。 第四类问题起源较早，我们大致已经谈过。值得补充的是，到十七世纪大家已经知道求曲线长或重心的问题，都可​​化约成为求面积、体积的问题。 关于第一类问题的第二部分，我们已经谈过伽利略的看法。他是对的：由速度函数求积就得到距离函数。 剩下求速度、切线及极大、极小的问题，就是我们这一节所要谈的主题──微分学。 由于文明的推进，静态事物的研究已经不能满足人类的需要，动态的世界逼着科学家研究起速度来；从纯几何的观点来看，数学家对任何曲线都要想办法求其切线，而光学上的需要更促使科学家急着寻找作切线的方法；人总是想用最经济的办法做最高度的发挥，而描述自然界现象的函数，往往在其极值时有特殊的物理意义，这种种都使人关心起求极值的问题。 瞬间 平均速度的观念很容易使人接受，但（瞬间）速度的观念则使人类奋斗良久，才弄得清楚。刻卜勒的行星运动定律、伽利略的落体运动定律、钟摆、抛射体的运动等等，当时大家有兴趣的问题都显示运动常常不是等速的，所以（瞬间）速度的研究有其必要。最早的想法，瞬间速度就是“瞬间”的平均速度。但“瞬间”到底是多短呢？如果这一“瞬间”没有长度，则在这一“瞬间”内距离没有什么变化，所以 不是个数，自然不能表速度，所以此路不通。好了，“瞬间”一定要有长度。但所谓的长度如果是通常观念中的长度，那么它的一半不也是长度吗？那么“瞬间”怎么还能称做“瞬间”呢？此路又不通！那么“瞬间”到底是什么？于是有人想出绝招说：“瞬间”的长度为无穷小，它不为0，但比任何的长度都要小。又遇到了“无穷小”！ 同样地，当时作切线、求极值时都要诉诸无穷小方法。我们谈积分的时候，说到无穷小的观念虽然诉诸直观，但其运算却没有严格的基础，当时只能用一些巧妙的方法求得零星的结果。直到后来才知道用极限的观念及技巧来代替无穷小，而做严格且有系统的处理。求速度、切线、极值这些微分学方面的历史发展也是一样，有无穷小的观念，有巧妙的方法，有极限的方法。 大概说来，积分的观念容易懂但计算难，而微分正好相反，难懂而易算。为了不使大家像前人一样，陷入微分观念的泥沼里，我们先用极限的方法弄清楚了微分的观念后，再回过头来看前人如何在泥沼中用巧妙的方法挣扎着。 例：设距离 y 与时间 x 的关系为 y = x 2 ，求在时间 x =2 时的（瞬间）速度。 解：用极限方法的要点就是先看 x =2 附近的区间内的平均速度，然后让区间逐渐缩小到2这一点，看平均速度是否趋近于某定值；如果是，则该定值就被定义为这时刻的（瞬间）速度。 通常区间的选择方法是从小于2的某时刻 x 到2；同时也考虑从2到大于2的某时刻 x 。不论 x 大于2或小于2，在这区间内的平均速度应该是 因为这个平均速度和 x 的取法有关，所以表成函数 下一步就是要让 x 趋近于2，来看看 D ( x ) 的变化情形。当 x 趋近于2时， D ( x) 的分子和分母同时都趋近于0。又是 的情形！在§4中讲费玛的方法时，不是也遇到这种情形吗？所以我们知道该怎么做：先把分子、分母约分，得 D (x ) = x +2 。现在让 x 趋近于2，则知 D ( x ) 要趋近于4。用符号及式子写下来，则有 不但在 x =2 可以求得速度，在任一时刻 x = x 0 ，求速度的方法也是一样： 这种求速度的方法不限于 y 和 x 间要有如 y = x 2 的特殊关系，只要 y 和 x 有任何关系 y= f ( x ) ，我们都可以考虑在 x 0 附近的平均速度 ，然后考虑 ，即当 x 趋近于 x 0 时 D ( x ) 的极限值。如果极限值存在，我们就说该极限值就是在 x 0 的速度。 例：设有曲线 y = x 2 ，求经过曲线上一点 P (2, 4) 的切线。 解：切线是一条直线，现在我们有了其上的一点 (2, 4) ，如果用点斜式表此切线，则需要求其斜率。设在曲线上任取一点 Q ，做割线 PQ （见图十一）。当 Q 点向 P 点趋近时，割线 PQ 的方向应该趋近于切线的方向，也就是说割线 PQ 的斜率要趋近于切线的斜率。（回想一下“斜”率的意义！） 图十一 割线的斜率为 。这不就是上例中的 D ( x ) 吗？让 Q 点趋近于 P 点，也就是让 x 趋近于2，也就是求 ，正是上例中的速度。因为 ，所以切线的方程式为 y -4 = 4( x -2) 。同理，求过曲线上任一点 ( x 0 , y 0 ) 的切线斜率也就是求 。不但如此，求过一曲线 y = f ( x ) 上任一点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线斜率，其方法和求速度完全一样：任取曲线上一点 Q ( x , y ) ，得割线 PQ 的斜率为 ，而切线的斜率则为 微分 既然求斜率及求速度的方法完全一样，为了综合也为了推广，对任何函数 y = f ( x) ，都可以考虑平均变率 及其极限值（瞬间变率） 。如果极限值存在，则称此极限值为函数 f ( x ) 在 x 0 的导数(derivative)，记做 f '( x) 。若 X 0 在某范围内， f '( x 0 ) 都有定义，则 X 0 到 f '( x 0 ) 的对应是一种函数，称做原函数 f ( x ) 的导函数，记做 f ' ( x ) 。求导数的过程叫做微分(differentiation)，研究变化率及其应用的这门学问叫做微分学(differential calculus)。用微分的观点来说，求速度和求斜率是一码事（即求导数），可以一起考虑。不只如此。凡是想知道一函数 f ( x ) 在 x 0 点因变数 x 而变化的情形，我们就要求其变化率，也就是 f ( x) 在 x 0 点的导数 f '( x 0 ) 。所以从现代的眼光看来，微分是求变化率，而速度与切线斜率只是其中的两种特例。 导数的一大应用就是决定函数的极大、极小值。把函数 y = f ( x ) 用曲线表出（见图十二），则过其极大值或极小值点的切线要平行于 x 轴。所以切线斜率要为0。因此满足 f '( x )=0 的 x 0 ，可能（但不一定）就是函数 f ( x ) 取得极大或极小值的地方。 图十二 现在来对照一下，在没极限观念之前，大家是怎么求速度、切线及极大、极小值 啤酒桶 刻卜勒最先注意到极值与变化率之间的关系。他在计算啤酒桶的体积时，想到了种种的极值问题。譬如，他曾证明内接于一定球内的圆柱体体积，要以直径与高度之比为 者为最大。他列了一连串圆柱体直径与高度及其相对应体积的数据，从其中取体积最大者而得其“证明”。在检视数据时，他发现一项有趣的事实，即，将近极大值时，体积的（随直径或高度而变的）变化率变得愈来愈小。根据这种观察费玛用无穷小方法解决了一些极值问题。下面是一个例子。 例：设一线段长为 a ，将它分成两段，以之作矩形的两边。问如何分法，使所得的矩形面积最大。 解一：（微分的方法）设两段长各为 x 及 a - x ，则面积为 f ( x )= ax - x 2 。若 x = x0 时有极大值。则求导数 f '( x 0 )= a -2 x 0 ，令其为0而得 a =2 x 0 ，即将原线段等分可得最大面积。（等周的诸矩形中以正方形的面积为最大。 解二：（费玛的方法）设两段为 x 0 及 a - x 0 时面积最大，则矩形面积为 ax 0 - x 02 。设 E 为无穷小量，以 x 0 + E 代替面积公式中的 x 0 ，而令之与原式相等： a ( x 0+ E ) - ( x 0 + E ) 2 = ax 0 - x 0 2 ，化简得 a 0 E = 2 x 0 E + E 2 ，除以 E 后得 a=2 x 0 + E ，丢掉无穷小量 E ，得 a =2 x 0 。 根据刻卜勒的观察，当 f ( x ) 近于极大值时，其变化率愈来愈小，所以费玛认为在 x0 及其无穷小近邻 x 0 + E 的 f 值应该相等，这是费玛方法的关键处（妙着！）。得 a=2 x 0 + E 后，因 E 为无穷小，起不了作用，所以过河拆桥就把它丢了（又是一妙着！）。但在求得 a =2 x 0 + E 前要先以 E 去除，否则一下子把 E 丢掉（ E =0 ）则什么都没有了──还没过河不能拆桥！ 仔细比较两种解法，会发现解二其实就是解一：令 x = x 0 + E ，则 a ( x 0 + E )-(x 0 + E ) 2 = ax 0 - x 0 2 就是 f ( x )= f ​​( x 0 ) ；化简除以 E (= x - x 0 ) 后就得 ；丢掉无穷小 E 其实就是令 x 趋近于 x 0 ，而得 f '( x 0 )=0 。 狡滑的无穷小 费玛的方法巧则巧矣，但就像积分中的无穷小方法一样，有许多地方不能令人信服：把 f ( x 0 + E ) 和 f ( x 0 ) 相等及丢掉 E 时，就是认为 E =0 ；但用 E 除等式时，则认为 ，这是无穷小神秘狡滑的两面性。但是也像积分中的无穷小方法一样，微分的无穷小方法颇受数学家的激赏，直到两个世纪后，导数有了严格的定义，才能完全取而代之 切线 最早的切线观念，大概是研究圆而有的。早期的数学家认为切线就是只交曲线于一点的直线，而其求法则依曲线而有不同。有了解析几​​何，笛卡儿（R. Descartes, 1596～1650）想到用求重根的方法来求切线的方程式。但如果遇到复杂一点的曲线，则求重根的方法非常不好用，而且切线也不一定只交曲线于一点。另外有一种方法，就是把曲线看成一物体在水平及垂直两方向有了速度而描出的轨迹，所以切线应该是水平及垂直两速度向量的合向量。罗伯瓦（GP Roberval, 1602～1675）、托里拆利（E. Torricelli, 1608～1647）等人就用这种看法求得不少曲线的切线。但曲线怎么一定和运动有关呢？况且求速度的问题也和求切线的问题一样，大家还在摸索之中。可是这种看法却大受欢迎，日后且演变成牛顿的流数法──一种微分法。 图十三 费玛求切线的方法如下：设 PT 为过 P 点的切线，交横轴于 T （见图十三）。 TQ 称为次切线(subtangent)。费玛的方法就是想办法求得 TQ 长，以之决定 T 点，由 T 点就可作切线了。设 QQ 1 (= E ) 为 TQ 方向的无穷小增加量。因 与 相似，故 。但 T 1 R 几乎和 P 1 R 相等（因 E 为无穷小），所以用后者代替前者可得 在费玛所考虑的曲线，上式右边的分母都很容易提出 E 而与分子的 E 约掉，然后丢掉 E （ E =0 ），求得 TQ 的值。 仔细研究一下，就知道费玛的方法和现在的极限求导数的方法相近：以 P 1 R 代替 T1 R 就是先以割线代替切线；丢掉 E 就是极限的方法。只是当时动态的极限观念还待萌芽，只能以具有两面性的无穷小量来代替了。 这时代求速度或求变化率时所遭遇到的困难和求极值、切线时所遭遇的一样，大家都没有明确的极限观念来处理“瞬间”的问题，只能诉诸神秘的无穷小方法。其典型的技巧及改进的方向将在下一节谈到 6. 微积分学的诞生 一般简略的说法说：“微积分是牛顿（1642～1727）及莱布尼兹（G. Leibniz, 1646～1716）两个人发明的。”这句话怎么讲呢？在他们之前不是有许多人做了很多积分及微分的工作吗？不错。但是牛顿、莱布尼兹承继了前人零碎的知识， 一、有系统地发展了微分的技巧， 二、将微分和积分经由微积分基本定理联在一块而合流成微积分， 三、使微分、积分的运算系统化， 四、又将微积分成功地应用到物理科学上。 如果把微积分看做一整体性的学问，则无疑地，牛顿与莱布尼兹是这门学问的催生者。我们固然不能否认前人的贡献，但也得承认牛顿与莱布尼兹是促进微积分发展的第一大功臣 基本定理 动态穷尽法虽然使求积进了一大步，可是繁复的步骤以及求和、求极限的困难，都限制了它的应用范圈。而微积分基本定理的发现，不但使看起来毫不相关的求积与求变化率紧密相连，而且使求积的方法有了革命性的突破。基本定理的要义之一，就是说求积是求变化率的反运算，所以会求变化率就能解决许多求积的问题，而微分学经有系统的发展后。求变化率的计算变成远较求积简单的一种运算。 在牛顿、莱布尼兹以前，对微分、积分最有贡献的大概要算费玛了，可惜他未能体会两者之间的密切关系。而牛顿的老师巴娄（I. Barrow, 1630～1677）虽然知道两者之间有互逆的关系，但他不能体会此种关系的意义，其原因之一就是求导数还没有一套有系统的计算方法。古希腊平面几何的成功，予西方数学非常深远的影响，一般认为，唯有几何的论证方法才是严格的，才是真正的数学，代数也不过是辅助的工具而已。直到笛卡儿及费玛倡导以代数的方法研究几何的问题。这种态度才渐有转变。可是一方面几何思维方式深植人心，而另一方面代数方法仍然未臻成熟，实数系统迟迟未能建立，所以许多数学家仍然固守几何阵营而不能有有效的计算方法，如巴娄就是。牛顿虽然背叛了他老师的纯几何观点，发展了有效的微分方法，可是他的方法迟迟未敢发展。虽然他用了微积分的技巧，由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系，但为了害怕时人的批评，在他1687年的巨著《Principia》中，却把微积分的痕迹抹去，而仍以古典的几何论证方式论述。 论分析 把微分学从求速度及作切线，转变成求一般变化率的要首推牛顿。他的微分方法的演变，可分为三个阶段，以他的三本有关微积分的书为代表。第一本《论分析》（De Analysi)，于1669年在其朋友间开始流传，但直到1711年才出版。在《论分析》中，他用的方法和费玛的类似，属于无穷小方法。他假设某曲线 y = f ( x ) 下的面积 z 和 x 的关系为 z = ax m （ m 为分数）（见图十四）。如果 x 增加了无穷小量 o （这是牛顿用的符号，不是零），则面积增加了 oy ，所以 z + oy = a ( x + o )m 。右边以二项级数展开得 z + oy = ，消去 z = axm ，再去掉 o ，则得 ，再去掉 o ，得 y = amx m -1 。 图十四 在这个过程中，牛顿不但给了有系统的微分方法，而且证明了求积可以从变化率着手──微积分基本定理。譬如令 ，则面积为 （ ）的曲线是 y = xm -1 ；反过来说，即曲线 y = x m -1 下的面积为 。牛顿利用微积分基本定理以及无穷级数，求得许多面积及许多求和（可以化为求面积 ​​）的问题 流数法 牛顿的第二本书《流数法与无穷级数》(Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum)，成书于1671年，但直到1736年才出版。他认为“变数”（现代的用语）是随时间而变动的，而不是由无穷小量所组成的。这种变数 x , y ,……称为“流”(fluent)，而其变化率 , ,……则称为“流数”(fluxion)。如果 o 是时间的无穷小变化量，则 、 是 x 、 y 的无穷小变化量。如果 x 和 y 有 y = ax m 的关系，则 。以下的做法和第一种方法一样，而得 。若要求 y 对 x 而言的变化率，则以 除以 可得变化率= amx m -1 。流数法和第一种方法形式上并没有什么差别，而观念基本上仍然持无穷小看法，但“流”比静态的无穷小量较具有动态的意义。 极限方法 牛顿的第三本书《曲线求积法》(Tractatus de Quadratura Curvarum)，成书于1676年，但直到1704年才出版。在这本书中他的做法就是现代的极限方法，但他的极限观念并不成熟，譬如他不以为极限值是个数，而认为是个“最后”的比值。 虽然牛顿引进了极限方法求变化率，但他并不是极限方法的热心倡导者。做为自然科学家，他只要能有效地求得变化率，并不在乎求法的逻辑严谨。所以有时他用极限方法，有时又回到流数法；有时甚至忘了把流数 、 乘以时间的无穷小变化量 o ，来表 x 与 y 的无穷小变化量。而仍以变化率 、 表示变化量。他的从者更是搞不清，甚至认为流数就是无穷小变量，而把它和莱布尼兹的无穷小量“微分式”(differential)搞混在一起。 微分式 莱布尼兹的微分法是以微分式起家的。在他之前，许多人都利用类似§5图十二中“三角形” PRP 1 ； P 1 和 T 1 （或三角形 PRT 1 ； P 1 和 T 1 在无穷小微分法中总是被看成一点）的特有性质。莱布尼兹注意到求斜率实际上就是求“三角形” PRP 1 的两边 P 1 R 及 PR 之比。这两边分别是 y 轴方向及 x 轴方向的无穷小变量，分别以 dy 及 dx 表之，而有斜率 。既然斜率是两量之比，为了舍弃无穷小量的神秘性，可把 dx 定义做 x 轴方向的任何变量（不是无穷小），而 dy 就随着 y 与 x 之间的关系而定义成为（斜率） × dx 。这样 dx 、 dy 都是平常的量，而且 还是等于斜率。事实上、莱布尼兹就是这样定义 dx 和 dy 的，而现代的微积分也是这样定义的。可是斜率要先有明确的定义后，这样定义 dx 和 dy 的方法才有意义。但莱布尼兹刚好相反，没明确地定义斜率就有了 dx 及 dy ，然后为了要得到斜率，他还是得把 dy 、 dx 看成无穷小量，而以其比值为斜率。 因此，在莱布尼兹的著作中， dx 、 dy 实际上还是脱离不了无穷小量的神秘色彩，这和现代先有斜率（导数）后有普通变量 dx 、 dy 的看法完全不同。无论是怎样的看法， dx 、 dy 都称为微分式。 莱布尼兹怎样处理 dx 和 dy ，而得到微分式的公式呢？首先，他考虑两个变数 x 1 、 x2 ，而求其乘积的微分式 d ( x 1 x 2 ) 与 dx 1 、 dx 2 之间的关系。他猜了一阵子，最后给他猜对了： d ( x 1 x 2 ) = x 2 dx 1 + x 1 dx 2 。（用现代的微分式观点，这个式子是对的。）上式中，如果令 x = x 1 = x 2 ， y = x 2 ，则 dy = d ( xx ) = xdx +xdx = 2 xdx ，所以斜率= ，这是对的。一般假设 dx m -1 = ( m -1) x m -2 dx 是对的（ m -1 为正整数），则当 y = x m 时， dy = dx m = d ( xx m -1 ) = x m-1 dx + xdx m -1 = x m -1 dx + x ( m -1) x m -2 dx = mx m -1 dx 。所以由归纳法可得：若 m 为正整数， y = x m ，则 dy = mx m -1 dx ，而斜率= 。 同样地，他先猜出 与 dx 1 、 dx 2 之间的关系是 ，然后导出当 m 为负整数时， y = x m 的微分式也是 dy = mx m -1 dx 。更进一步他没经证明就大胆地说：不论 m 为任何分数，上式总是对的。 关键 莱布尼兹微分式的关键之一，在 d ( x 1 x 2 ) = x 2 dx 1 + x 2 dx 2 。这是怎么得到的呢？ d ( x 1 x 2 ) 表量 x 1 x 2 的变量，这个变量是因 x 1 变成 x 1 + dx 1 ， x 2 变成 x2 + dx 2 而产生的，所以 d ( x 1 x 2 ) 应该等于 ( x 1 + dx 1 ) ( x 2 + dx 2 ) - x 1 x 2 = x 2 dx 1 + x 1 dx 2 + dx 1 dx 2 。现在非得假定 dx 1 , dx 2 为无穷小变量了。在此假定下， dx 1 dx 2 比 dx 1 或 dx 2 都要小得多，所以可以略去不计，而得 d ( x 1 x2 ) = x 2 dx 1 + x 1 dx 2 。 莱布尼兹用无穷小的方法求得很多公式，譬如指数函数。对数函数的微分式等。他把积分看成无穷小的和，也知道微积分基本定理，而且更将微分及积分的运算性质和公式做个总整理。而使微积分学变成一套有系统的学问。他的微积分符号非常方便，不久就取代了牛顿的符号，直到现在还是独他一家，别无分号。 虽然莱布尼兹的论证不严格，但他的观察非常敏锐，知道怎样的公式才是对的，​​又设计一套非常方便的符号及运算方法，所以他对微积分的贡献非常大。其不严格处，则有待极限方法的引入后，先定义导数再定义微分式这种方法来补足。 微积分学在牛顿及莱布尼兹手中以崭新的姿态出现，也在他们的手中发挥了解释自然现象的最大功效。这方面的贡献，毫无疑问地。要把牛顿放在第一把交椅上。有了微积分这种犀利的工具，牛顿用他的万有引力定律及三大运动定律，解释星球的运行、物体在媒介（如空气、水等）中的运动；决定星球的密度、地球的偏扁率、行星的日长；解释并决定地轴旋转的周期、潮汐的成因与高度等等。 牛顿的后人继续操着微积分这把牛刀，披荆斩棘，把人类的科技文明带向空前未有的高度。 7. 微积分学的成长与成熟 粗略地说，微积分学经过两千多年的酝酿，在牛顿、莱布尼兹手中诞生，在十八世纪成长，而在十九世纪有了严格的基础后变得成熟了。牛顿、莱布尼兹虽然把微积分系统化，但它还是不严格的。可是微积分被成功地用来解决许多问题，却使十八世纪的数学家偏向其应用性，而少致力于其严格性。当时，微积分学的发展幸而掌握在几个非常优越的数学家，如欧拉（L. Euler, 1707～1783）、拉格朗日（JU Lagrange, 1736～1813）、拉普拉斯（PS de Laplace, 1749～1827）、达兰伯（J.​​de R. d'Alembert, 1717～1783）及伯努利(Bernoulli) 世家等人的手里。他们有敏锐的直观感，知道什么样的公式是对的；而且研究的问题由自然现象而来，所以能以自然现象的数据来验合微积分的许多推论。使微积分学不因基础不稳而走向歧途。在他们的手中，微积分学的范围很快地超过现在大一所授的微积分课程，而迈向更高深的解析学。 微积分的应用非常广泛。我们知道积分原来是要求积的，但逐渐地，大家发现许多问题都可以化成求积的问题，如重心、重量、压力、矩、功等等。下面来谈谈微分学的功用。 变化率，微分方程 我们要研究动态的事物，就要研究各种变数的变化率，这是微分学最重要的课题。如果两变数之间有某种关系，则其（对某变数而言的）变化率之间也会有关系的。如果知道其中的一个变化率，则其他的一个也随之而决定了。反之，若两变化率之间有某种关系。则我们可用积分的方法，求得原来两变数之间的关系。自然界的许多现象，其变化率和变数间常有某种关系，若用数学式子表示出来就是微分方程了。研究微分方程当然要用微积分。 逼近 除了 ​​研究变化率及解微分方程式外，微分学还有一个非常重要的用途，那就是逼近。这要由切线谈起。切线是条直线，比曲线好研究太多。而且在切点附近，以切线代替曲线（即，在图十二中，以微分式 dy （ = T 1 R ）代替 y 轴方向的变量 P 1R ），其误差很小。当然，在有些情况下，用切线代替曲线所得结果不很理想。但是简单曲线不只是直线而已，譬如二次维线我们也相当熟悉，也可以用来代替曲线。譬如图十五中用圆代替曲线，就比用切线代替曲线要好得多（在切点附近）。作切线要求导数，而作适当逼近的圆（叫做吻切圆）则要求导函数的导数。后者虽然较精确，但方法较繁，有得必有失，不能两全，取舍之间就要注意到实际的需要。研究了曲线的切线及吻切圆之后，曲线的性质就知道大半了。同样地，我们可以用微分的方法研究空间的曲线和曲面，这都属于微分几何学的范围。 图十五 近似​​值 如果把曲线看做量与量之间的函数，则上面的做法就等于求函数的近似值。当然，近似值就是有误差的意思。在数学上有误差不是不好吗？不尽然。首先，误差并不是错误；其次，就实际应用而言，在把研究对象加以量化时就已经产生误差，纵使我们在用数学工具时要求绝对准确，所得的结果仍然和实际的有差别。所以如果用切线代替曲线的误差，比量化时所产生的误差要小得多，我们何不轻轻松松作切线来代替曲线呢？如果精密度不够，则可以求导函数的导数或更高阶的导数。许多数值表，如三角函数表、对数函数表就是这样得到的。就实用而言，我们不怕误差的存在；就数学而言，我们要研究误差有多少，要把误差控制在许可范围之内。 级数 其实，微积分的发展和函数的研究是相互的。牛顿求 y = ax m 的导函数时，就利用到函数 ( x + o ) m 的二项展式。如果 m 是分数或负数，这个展式是个无穷幂级数。牛顿先用其他的方法推得这种幂级数，然后用来求 y = ax m 的导函数。反之，后人学会用别的方法求 y = ax m 的导函数，则可用来求 ( x + o ) m 的幂级数表示法。一个函数用幂级数来表示，至少有下面种种的好处： 一、若 f ( x )= a 0 + a 1 ( x - c ) + a 2 ( x - c ) 2 + ，则用牛顿的方法可得 f'( c ) 为 a 1 。 二、将幂级数的每项分别积分（微分），然后加起来得到的幂级数就是 f ( x ) 的积分（导函数）。 三、如果只取幂级数的前几项，则所得的多项式为原函数的逼近多项式，譬如只取两项，则 y = a 0 + a 1 ( x - c ) 表过点 ( c , a 0 ) 的切线，这是所谓的线性逼近(linear approximation)。通常项数愈多则愈逼近。 用幂级数表函数固然方便，但有种种的问题发生。譬如，是不是所有的函数都能表成幂级数？如果不是，则那些函数能？能表成幂级数的才叫函数吗？函数是什么？如果某函数能表成幂级数，则其表法如何求得？幂级数是否收敛？用多项式逼近其误差如何决定？…… 基础 十八世纪的微积分利用函数的幂级数表示法迅速地成长了。反之，微积分变成研究函数的有力工具。连带地，函数的范围日渐广泛，而其观念也日益成熟。而级数的收敛问题，也逼使数学家再次面对整个微积分的基础问题：极限。 十八世纪的数学家知道微积分没有严格的基础，有些人也努力想办法补救，但都失败了。当时的大数学家欧拉和拉格朗日认为微积分虽然没有严格的基础，但其推论往往正确，其原因是在论证过程中，我们犯了一些错误，而这些错误互相抵消了（错错得对）！达兰伯甚至叫学生不要气馁，说持之有恒地用微积分，自然对微积分就会有信心。（就像老学究要学生背古书，不必求甚解，日积月累，终会把文义弄通一样！） 我们谈过无论是积分或是微分，想要把静态的无穷小法严格化，我们最后只能放弃无穷小观点，而代之以动态的极限观点，但极限的观点很不容易被当时的人接受。譬如，微分中的极限是两量比的极限，由于几何观点根深蒂固，人们总认为两量比的极限也应该是某两量之此，而不是纯粹的一个数。所以他们总是在探求这种“最后”比值的几何意义为何？而且不期而然地会认为是两无穷小量之比，或是两个零之比。这也就说明了虽然牛顿曾提过极限的方法，但他的流数法及莱布尼兹的微分式法还是大行其道。此外，遇到复杂一点的函数时，由定义直接求导数很难，这也使人裹足不前。同时极限的观念还牵涉到实数的观点，在后者没弄清楚以前，前者也很难发展得完美，这一点容稍后再谈。 代数方法 有些人注意到，纯几何的方法没办法使微积分有严格的基础，所以转而求代数的方法，而错以为微积分是一种新的代数学。微分式法就是典型的代数方法。（回想一下， y = x m 时， dy = mx m -1 dx 是怎么得到的。）同样看法，级数间的运算也被认为是多项式间运算的一种延伸（幂级数就是无穷项多项式！ ），而不必探讨这些运算的合法性。拉格期日为了避免微积分基础问题的苦境，也转用代数观点，他说任意函数都可表成幂级数，而其一次项系数就是导数。他的说法曾盛行一时，但也失败了。用现代的观点来看很清楚：不是任何函数都可表成幂级数，而纵使可表，其各项系数还是得用极限微分的方法求得。 十八世纪的积分学则因过分强调微积分基本定理而变成微分学的附庸。有的人干脆就把积分看做反微分，而不深究其定义。 解析学 微积分基本观念的混乱直到十九世纪初柯西力倡极限方法才得大部分的解决。他用现代的极限观念定义了导数、积分，重新证明了许多基本公式，证明了微积分基本定理，又探讨了级数的收敛问题。这是现代解析学的诞生，微积分不但不是一种几何学而且也不再是一种代数学。 十八世纪微积分学发展的结果，使函数的范围增广，包括了一些不完全连续的函数。对不完全连续的函数而言，微积分基本定理要做相当的修正，也就是说积分不完全是微分的反运算。积分被平反了，不再被看成完全是反微分。这件事自有其历史上及观念上的意义。 实数 柯西的极限方法并没有把问题完全解决。有两个大难题： 一、譬如，直观上，若一数列 S 1 , S 2 , … S n , …递增（即 ）且有界（即 |S n | 恒小于某定数），则 应该存在。但 到底是什么样一个数呢？我们会问什么样的数可以是极限值。举个例说，若 ，则 S n 是递增且有界的。但 是什么？这个问题就是所谓的实数系统的问题。除了 ​​我们熟悉的分数，带根号的无理数外，还有那些数是实数？整个实数系统有那些特性？能够回答这些问题，才能知道在那种情形下会有极限值。很巧地，在1872年，维尔思垂斯等人不约而同地提出各种（实质上相同的）描述实数系统的方法。有了严格定义的实数系统做基础，这个问题就迎刃而解了。 二、如果猜到极限值为某值，如何严格地证明这就是我们要的极限值？譬如 ， ，则我们猜到 ，但怎么证明呢？为了回答这个问题，维尔思垂斯引进了所谓的 （念做epsilon delta）方法。 如此，微积分经过两世纪之久，才从诞生经成长而迈向成熟的阶段。 第九阅览室 http://9yls.net/3386.html
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hylpy1 2016-11-8 14:17
凸函数、Jensen 不等式与Legendre 变换 林琦焜 一、前言 凸函数的出现绝非偶然，在古典力学中的动能 ，就是最自然直接的凸函数，其他如熵(entropy)……等皆是，当然从几何的角度而言就是抛物线。近代分析由于受凸分析研究所得之进展的影响，使得在非线性分析，非线性微分方程皆有长足之进展与突破，其中较重要的就是逐渐将非线性(nonlinearity)视为一个体，而非只是线性化(linearization)而已。凸函数是如此地美丽且重要，而一般教科书只是提个定义然后定理之后便是习题。对于这样的数学，我们实在不满足地无法忍受，毕竟数学要教导我们聪明并学习如何去思考。因此本文秉持此原则，将着重于几何与物理直观，并与一些相关联的领域作一些对应，以思索在我们前面的那些数学巨人是如何思考问题。 二、凸函数 我们从凸函数之定义开始 定义：f为一定义在区间 上之一实值函数(real-valued function) 若对任意的 , ，f满足下式 则称f为一凸函数(convex function)。 图一 其几何意义为连接(a,f(a)),(b,f(b))两点的弦，永远在弧y=f(x)之上（图一）。 利用分点公式我们可将(1)式表为下列之形式： 由(2)式可得 即 图二 其几何意义从图形上之斜率可知。 我们的主要目的在于如何将(1)式推广至一般情形。首先同时也是自然而然地（在数学上2与n是没有差别的）将(1)式推广至n个点x1,…,xn。（可用归纳法） 其中 , , , 。有时候我们（有目的地）令 则(4)式可改写为 这就是Jensen不等式之一形式。若取特殊的pi，例如： 则(6)式可表为 典型的凸函数有底下的类型： 在尚未做进一步推广前，Jensen 不等式最直接的应用就是几何平均与算数平均之关系；读者可自行练习 例题1：（几何-算数平均） 试证(a) (b) 三、Jensen 不等式的意义 我们感兴趣的问题是关于Jensen不等式(6)式或(7)式之几何意义与物理意义，首先介绍质量中心： 假设平面上有n个点且它们皆有相同之质量，其位置向量为 ， ，则质量中心之位置向量为 或 这意思是从 点到各点之向量彼此互相抵消。 图三 我们可以这么想像：在每一点 为一钉有木桩而后用一条橡皮筋连接各点 。则如此可形成一多边形H（阴影区域）而这就是 的“凸包”(convex hull)。 图四 质量中心(9)式告诉我们的就是 这点可由图形直观而得。通过任意一点P，P在该集合之外部，我们可划一直线L使得H及其所围区域完全落在L之一边。当然这些向量不可能互相抵消，因为它们在法向量 上均有正的分量。 注：上面所谈的这个概念其实就是泛函分析中Banach Separation 定理之一雏形。 有了这个预备工作之后，我们回到原来的点： 图五 令K= {(x,f(x))}为函数f之图形(graph)，同时我们也连接两端点(x1,f(x1)),(xn,f(xn))，则由质量中心为 必定落在阴影区域H之内部，即 这就是(7)式，其意义为：质量中心 必定在图形K之上方。而通过(x1,f(x1)),(xn,f(xn))两点之弦方程式为 由图形亦知 而且对所有 下式成立 这个不等式我们可视为比较定理（Comparison定理）最简单的形式，而这在微分方程理论中扮演着举足轻重的角色。比较(7)与(12)式，各等式要成立其充分必要条件为质量中心 落在图形K上，即 这相当于 如果将 视为xi之机率分配（一致分配），则Jensen不等式(7)，也可以用机率的角度来看 E为期望值。 对于较一般的(6)式其意义仍是一样的，即视x1,…,xn为n个点但其质量分别为pi而 为其总质量，故有 若视 为点xi之机率分配，则上式可以期望值之形式表达出来，其形式与(15)式同。 若仔细推敲，可知我们前面这些推导的过程中对维数(dimension)之依赖并不深，因此我们可自然地推广至n维空间。例如设z=f(x,y)为一向上凹之曲面，则(7)式可推广为 或用向量之形式 另一个方向的推广则是想像粒子数目增加至无穷多个 ，如此我们便可以从离散型过渡到连续型，表记如下： 这就是我们在数学上，尤其是分析学思想的过程而需要克服的问题──“收敛性”，即无穷级数或积分是否有意义（即是否收敛）。 在区间 我们可以取分割点 由(6)式知 将上式表为Riemann 和之形式 再取极限 ，我们就有积分形式的Jensen不等式。 定理（Jensen 不等式一）若p满足 更一般情形则将区间 代换为任意可测集合A( ) 定理（Jensen 不等式二） 读者若有机率或测度(measure)之概念，则可将p视为一密度函数，故有 定理（Jensen 不等式三） 作个简单的习题，其实就是例题1 之推广 例题2： ，试证 四、Legendre 变换 关于Jensen不等式之证明，最简单直接的方法就是用支撑线(supporting line)之概念，而这方法在F. Riesz写给Hardy的信中（1930年）就曾提过关于几何－算术平均不等式的证明，就是利用底下之不等式 这就是支撑线(supportingline) 之概念。 图六 若f为区间(0,1)上的一个正的且可积函数，则由(24)式知（ ） 其中 为f之算数平均，将上式积分一次得 由对数函数之性质知 或者表为 仿此精神我们证明Jensen 不等式 图七 由图形知y=f(r)+m(x-r),m=f'(r)为凸函数f(x)之支撑线(supporting line)，即 现在取r为质量中心 而x则取为 ，则(26)式成为 两边同时乘p并积分得 但由r之选法知 故得 这就是Jensen 不等式。 在尚未作进一步论述之前，我们不禁要对F. Riesz的想法献上我们的敬意。所谓的“好数学”便是以简单的方法来解决困难的问题，而不是学了很深的数学然后再说"Trivial"简单、容易。这基本土是对数学的无知。另外一门好的数学就是其本身有“将来性”，而非解完一个问题便寿终正寝。我们要特别强调的是Riesz所提支撑线的概念，实际上就是Legendre变换之化身。不失一般性可设函数上通过原点，f(0)=0因此通过(r,f(r))之切线方程式（即支撑线）为 这式子告诉我们(f'(r),f(r)-rf'(r))唯一决定点(r,f(r))即这两者之间可定义某种变换关系，而这就是我们要谈的Legendre变换。在还没有正式谈Legendre变换之前，我们先看看(28)式之几何意义。 图八 首先将切线平移为通过原点斜率为f'(r)之直线 因此 为直线y=f'(r)x之y截距，由图形可知其实 即直线y=f'(r)x与曲线y=f(x)相割后垂直距离最宽者，而这就是Legendre变换。记为 直接由(31)式，即Legendre 变换之定义可得的就是Young's 不等式 一般我们所熟知的形式为（利用Jensen 不等式） 有时候我们可略作变化 则(33)式可改写为 这个技巧在分析尤其是偏微分方程中是常用的。上面这些探讨主要是告诉读者Legendre 变换之本质是支撑线(supporting line) 而实际上就是Young's 不等式的另一形式。除此之外，支撑线的概念也提供我们重新定义凸函数之方法： 定义：f为一定义在区间 之一连续函数，若对任意的点 皆存在一相应之值 ，满足下式 则称f为一凸函数。 这个定义可由Taylor展开式来看。f在ξ点之Taylor展开式为 若f为一凸函数，则f''0故有 因此通常(35)式中之λ是取 。 五、Jensen 不等式之应用 应用一 任给两个正数a,b，其p阶平均为 现在考虑函数 ,pq，因为img width="44" height="31" style="margin: 0px; padding: 5px 0px; border: currentColor; border-image: none; vertical-align: middle; display: inline-block;" src="http://9yls.net/wp-content/uploads/2013/01/wpid-c4f10dad0152c3254768bf06a5e02b5d_img912.gif?46e737" p="" function)。因此由jensen不等式知 即 故 即如果将Np视为p之函数，则Np为p之增函数。同理可得积分形式的p阶平均： 则 其中 表示Ω之面积或体积。读者若有实变函数论的观念，则(39)式所表示的函数空间之关系为 其中函数空间 表示p次方后可积分之函数所形成之集合 要特别叮咛的是(40)式之关系，只有在 之条件下才成立，因为此时质量中心才有定义。 应用二 凸函数在二维或更高维数的空间，例如复变函数，所对应的便是次调合函数(subharmonic function) 对于此类函数具有非常重要地位的平均值不等式(mean-value inequality)为 BR(y)表示以y为圆心，半径为R之n维球， 则表示其球面， 为n维单位球之体积。(43)式实际上就是Jensen不等式之一特例，但要特别叮咛的是(41)式之积分区域务必要取均匀的球BR(y)或球面 ，因为此时y是BR(y)或 的质量中心。由(43)式可推得最大值原理(maximum principle)。 定理最大值原理（maximum principle）：,，则 这定理告诉我们一个定义在有界区域Ω之次调合函数，其最大值必定发生在边界 上。关于这件事实，我们亦可以凸函数之性质来想像。读者可参考底下之图形 图九 另外在偏微分方程中的Laplace方程 ，解之存在性证明方法中的Perron方法，也可由此角度来思考。 图十 D. Gilbarg and NS Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2nd ed., Springer-Verlag (1983). GH Hardy, JE Littlewood and G. Polya, Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge (1952). Fritz John, Partial Differential Equations, 4th ed., Appl. Math. Sci., 1, Springer-Verlag (1982). T. Needham, A Visual Explanation of Jensen's Inequality, American Math. Monthly 100, 768-771 (1993) http://9yls.net/3708.html
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hylpy1 2016-10-28 19:03
数学全文电子期刊介绍（二） H Historia Mathematica《数学史》美国 ISSN:0315-0860，1974年创刊，全年4期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、SSCI收录期刊，SCI、SSCI 2003年影响因子0.250。主要研究数学科学各个方面的历史，发表论文、评论、札记、文摘。兼载人物传记、历史随笔、机构研究等文章。 I Instructional Science 《教学科学》荷兰 ISSN:0020-4277，1972年创刊，全年6期，Kluwer Acdemic出版社出版，SSCI收录期刊，SSCI 2003年影响因子0.366。发表有关教学过程的理论和实践问题的研究论述。 International Journal of Computers for Mathematical Learning 《国际数学教学用计算机杂志》荷兰 ISSN:1382-3892，1996年创刊，全年3期，Kluwer Acdemic出版社出版，EI收录期刊，2003年EI收录13篇。探讨随着创新的计算环境的发展而出现的有关数学教学的新观念、新方法、新设备以及所需的相应的社会与文化变革等问题。 International Journal of Science and Mathematics Education《国际科学与数学教育杂志》荷兰 ISSN:1571-0068，2003年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版， Inventiones Mathematicae《数学新进展》德国 ISSN:0020-9910，1966年创刊，全年3期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子1.616。刊载高等数学领域的研究论文。稿件大都用英文发表，少量用法或德文出版。 Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics《无限因次分析、量子概率与相关论题》新加坡 ISSN:0219-0257，全年4期，World Scientific出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.836。 International Journal of Algebra and Computation《国际代数与计算杂志》新加坡 ISSN:0218-1967，1991年创刊，全年6期，World Scientific出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.589。以刊载原始论文为主，研究范围涉及无限群和独异点，科学计算理论，组合学、代数与泛代数，自动机、语言与机器，代数系的字问题，计算理论以及自动群。 International Journal of Computational Geometry and Applications《国际计算几何学与应用杂志》新加坡 ISSN:0218-1959，全年6期，World Scientific出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.349。 International Journal of Mathematics《国际数学杂志》新加坡 ISSN:0129-167X，1990年创刊，全年9期，World Scientific出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.514。发表数学领域的原始论文。 J Journal de Mathématiques Pures et Appliquées《纯数学与应用数学杂志》法国 ISSN:0021-7824，1836年创刊，全年10期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子1.122。历史悠久的著名数学专业性学术期刊，刊载数学理论和应用领域的研究论文。稿件来自各国。 Journal of Algebra《代数杂志》美国 ISSN:0021-8693，1964年创刊，全年24期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.492。刊载代数学以及相关领域的原始研究论文。 Journal of Algorithms《算法杂志》美国 ISSN:0196-6774，1980年创刊，全年8期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.974。刊载算法领域的研究论文。 Journal of Applied Mathematics and Mechanics《应用数学与力学杂志》英国 ISSN:0021-8928，1958年创刊，全年6期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.224。 Journal of Computational and Applied Mathematics《计算与应用数学杂志》荷兰ISSN:0377-0427，1975年创刊，全年24期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.567，2003年EI收录367篇。刊载应用数学，特别是解决科学问题的新计算技术，以及经过认真验证的算法等方面的研究论文、评论及快报。 Journal of Differential Equations《微分方程杂志》美国 ISSN:0022-0396，1965年创刊，全年18期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.862。刊载微分方程理论及应用的研究论文。 Journal of Geometry and Physics《几何学与物理学杂志》荷兰 ISSN:0393-0440，1984年创刊，全年16期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子1.105。刊载研究论文和评论。研究几何与物理相互作用，包括李群与李代数、量子组、代数几何、实几何与微分几何、动态系统与偏微分方程的几何解法、整体分析等在经典力学、量子力学、经典与量子场论、量子引力、弦与超弦等领域的应用。 Journal of Mathematical Analysis and Applications《数学分析与应用杂志》美国 ISSN:0022-247X，1960年创刊，全年24期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.473。刊载数学分析及其应用方面的研究论文，侧重于运用数学解决物理学、化学、生物学和工程学等领域出现的问题。 The Journal of Mathematical Behavior《数学行为杂志》美国 ISSN:0732-3123，1984年创刊，全年4期，Elsevier Science 出版社出版，刊载数学教学的理论与实践研究论文。 Journal of Mathematical Economics《数学经济学杂志》瑞士 ISSN:0304-4068，1974年创刊，全年8期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、SSCI收录期刊，SCI、SSCI 2003年影响因子0.367。刊载数学方法在经济学理论和经济问题表述中的应用实例。经济学方面包括普通平衡论、信息与不定性、对策论、选择论等；数学方面包括优化与凸性论、微分拓扑与动态系统、概率分析等。 Journal of Mathematical Psychology《数学心理学杂志》美国 ISSN:0022-2496，1964年创刊，全年6期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、SSCI收录期刊，SCI、SSCI 2003年影响因子0.740。刊载数学心理学各个方面的理论和经验研究论文,包括基础测量、心理过程的电脑模拟、神经网络与神经模型、决策理论、解决问题的能力等。 Journal of Algebraic Combinatorics 《代数组合学杂志》荷兰 ISSN:0925-9899，1992年创刊，全年6期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.424，2003年EI收录33篇。刊载组合学与代数相互作用，包括运用代数方法研究组合结构和组合学方法在代数问题上的应用等方面的论文。 Journal of Dynamics and Differential Equations《动力学和微分方程杂志》荷兰 ISSN:1040-7294，1989年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，刊载微分方程及其离散模拟的动力学理论研究论文，内容包括吸引子、分歧理论、联络理论、遍历理论、有限维和无限维系统等。 Journal of Engineering Mathematics《工程数学杂志》荷兰 ISSN:0022-0833，1967年创刊，全年12期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.642，2003年EI收录66篇。发表数学在工程问题中的应用方面的研究论文。 Journal of Mathematical Chemistry《数学化学杂志》荷兰 ISSN:0259-9791，1987年创刊，全年8期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.789。国际数学化学会机关刊。刊载数学在化学、生物化学及化学物理学中应用方面的研究论文、评论与札记，涉及化学结的拓扑学、化学簇理论、手性研究、化学动力学、聚合物结构的数学分析等，侧重新数学模型和方法。 Journal of Mathematical Imaging and Vision 《数学成像与显示杂志》荷兰 ISSN:0924-9907，1991年创刊，全年6期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.617，2003年EI收录33篇。刊载成像与显示问题中应用的数学方法，包括数学模型与理论方面的研究论文和解释性文章。稿件来自各国。用英文出版。 Journal of Mathematical Modelling and Algorithms《数学模型和运算法则杂志》荷兰 ISSN:1570-1166，2002年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版， Journal of Mathematical Sciences《数学杂志》荷兰 ISSN:1072-3374，1973年创刊，全年30期，选译俄罗斯期刊和会议录等发表的数学研究文献。 Journal of Mathematics Teacher Education《数学教师进修杂志》荷兰 ISSN:1386-4416，1998年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，刊载各种专业水平的数学教师进修教育方面的研究文章，涉及环境、水平、测试、教具等各个方面。 Journal of Theoretical Probability 《理论概率杂志》荷兰 ISSN:0894-9840，1988年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.326。刊载理论概率研究论文，涉及半群、群、向量空间以及其他抽象结构和随机矩阵等。 Journal of Geometry《几何学杂志》瑞士 ISSN:0047-2468，1971年创刊，全年6期，Springer-Verlag出版社。发表几何学领域的最新研究成果，侧重几何代数、有限几何、组合几何和特殊几何等方面，用英文或德文出版。 Journal of Mathematical Biology《数学生物学杂志》德国 ISSN:0303-6812，1974年创刊，全年6期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.980。刊载用数学解释生物现象、生物学研究中的数学问题、以及数学模型实验三方面的论文。 Journal of Mathematical Fluid Mechanics《数学流体力学杂志》瑞士 ISSN:1422-6928，全年4期。Springer-Verlag出版社。 Journal of Nonlinear Science《非线性科学杂志》德国 ISSN:0938-8974，1991年创刊，全年6期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 1.167。刊载分析、描述及预测非线性问题基本方法的研究与评论文章。 Journal of Mathematical Logic《数理逻辑杂志》新加坡 ISSN:0219-0613，2000年创刊，全年4期，World Scientific出版社出版，为数理逻辑研究提供一个重要的论坛，发表高水平的研究论文。 L Linear Algebra and its Applications《线性代数及其应用》美国 ISSN:0024-3795，1968年创刊，全年54期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.656。刊载线性代数与矩阵理论的分析、代数方法、组合和数值方面的研究论文。 Letters in Mathematical Physics 《数理物理学快报》荷兰 ISSN:0377-9017，1975年创刊，全年12期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.709。刊登报道数理物理学新进展的短文，涉及群论及其在物理学中的应用；量子场理论；高能、核、等离子体及固体物理学中的数学模型；经典、量子及统计力学；相对论及万有引力；现代数学分支领域如泛函分析、微分几何、代数、拓扑学等。 M Mathematical and Computer Modelling《数学与计算机模型建立》英国 ISSN:0895-7177，1980年创刊，全年26期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.425。刊载数学模型理论及数学模型在工程、生物、医学、社会科学、环境科学等领域的应用方面的研究论文、评论、讲座以及书评与消息报道。 Mathematical Biosciences《数理生物科学》美国 ISSN:0025-5564，1967年创刊，全年12期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子1.446。刊载生物科学领域数学模型的公式和分解法的研究论文。 Mathematical Social Sciences《数学社会科学》荷兰 ISSN:0165-4896，1981年创刊，全年6期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、SSCI收录期刊，SCI、SSCI 2003年影响因子0.541。刊载人类生态系分析、生活质量分析、社会福利理论、信息与系统理论等数学社会科学领域的研究论文、综述和短评。 Mathematics and Computers in Simulation《系统模拟中的数学与计算机》荷兰 ISSN:0378-4754，1959年创刊，全年18期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.558。刊载系统的计算机模拟方面的研究论文与简报，涉及系统模拟用数学手段、系统模拟在科学与工程中的应用、数值分析及模拟用算法、模拟用硬件、专用软件与编译程序、系统模拟一般原理等。 Mathematical Logic Quarterly《数理逻辑季刊》德国 ISSN:0942-5616，1955年创刊，全年6期，John Wiley出版社，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.371。刊载数理逻辑研究论文，涉及集论、模型论、证明论、递归论以及理论计算机学之逻辑等方面。 Mathematical Methods in the Applied Sciences《应用科学中的数学方法》英国 ISSN:0170-4214，1978年创刊，全年18期，John Wiley出版社，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.713，2003年EI收录73篇。发表在应用科学中运用数学方法探究和解决问题的文章，反映应用数学在科学领域的进展。 Mathematische Nachrichten《数学通讯》德国 ISSN:0025-584X，1948年创刊，全年15期，John Wiley出版社，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.414。发表理论和应用数学领域内具有实质性进展的最新研究成果和研究方法。 Mathematical Geology《数学地质学》荷兰 ISSN:0882-8121，1969年创刊，全年8期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.667。研究数学、统计学和计算机在地质学领域的应用论文。 Mathematical Notes《俄罗斯科学院数学札记》荷兰 ISSN:0001-4346，1967年创刊，全年12期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.168。俄罗斯同名期刊Математичесκие заметκи的英文翻译版。 Mathematical Physics, Analysis and Geometry《数理物理学、解析与几何》荷兰 ISSN:1385-0172，1997年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，刊载数理物理学的研究论文，用解析与几何的方法研究物理学问题，涉及统计物理学与流体物理学中的数学问题、复合作用理论、作用空间计算、常规与特殊微分方程、微分与代数几何学等。 Methodology And Computing In Applied Probability 《应用概率论的方法与计算》荷兰 ISSN:1387-5841，1999年创刊，全年1期，Kluwer Acdemic出版社出版，刊载侧重应用概率论在方法和计算方面的研究论文，涉及算法、渐进、极值理论、蒙特卡罗法、排队论、可靠性理论、随机过程、顺序统计量等。广泛用于人类学、社会学、生物学、心理学、通信理论、金融、经济、质量控制、统计学等。 manuscripta mathematica《数学论集》德国 ISSN:0025-2611，1969年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 0.335。报道数学研究领域的新进展。 Mathematical Programming《数学规划》德国 ISSN:0025-5610，1971年创刊，全年9期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 1.197。刊载数学规划理论、计算与应用方面的研究论文、简讯和成果简报。涉及线性、非线性、整数及随机规划、计算检验、数学规划模型的建立与应用技术、无约束优化、凸性与多面体理论、控制论与对策论等。稿件来自各国。 Mathematics of Control, Signals, and Systems (MCSS) 《控制、信号和系统的数学问题》德国 ISSN:0932-4194，1988年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。SCI、EI收录期刊。刊载工程系统的数学问题、信息处理和控制论的研究论文，涉及线性与非线性控制系统的代数与几何、随机控制、稳定性、识别与估计、数值与计算技术、大型系统、分散与分级控制等内容。 Mathematische Annalen《数学纪事》德国 ISSN:0025-5831，1868年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.755。世界知名数学刊物之一。刊载普通高等数学各领域的研究文章。内容涉及数学、复数分析、代数几何、代数数理、模数形式、微分几何、函数分析等。 Mathematische Semesterberichte《数学半年刊》德国 ISSN:0720-728X，1932年创刊，全年2期，Springer-Verlag出版社。刊载数学和数理教学方面的研究论文。 Mathematische Zeitschrift《数学杂志》德国 ISSN:0025-5874，1918年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.597。世界知名数学期刊之一。刊载现代数学精选论文。 Monatshefte für Mathematik《数学月刊》奥地利 ISSN:0026-9255，1890年创刊，全年12期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，刊载数学研究论文和书评，主要涉及代数、实解析与复解析、生物数学、动力系统、泛函分析、几何学、局部紧群、数论等。 N Nonlinear Analysis《非线性分析》 ISSN: 0362-546X，Elsevier Science 出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.354，2003年EI收录323篇。 Nonlinear Analysis: Real World Applications《非线性分析：真实世界的应用》美国ISSN:1468-1218，2000年创刊，全年5期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.257。 New Directions for Teaching and Learning《教与学最新指南》美国 ISSN:0271-0633，1980年创刊，全年4期，John Wiley出版社，发表由丰富实践经验的教师、教育与心理研究人员撰写的有关教学新理念、新方法、最新研究成果方面的文章，旨在改进高等院校的教学。 Numerical Linear Algebra with Applications《数值线性代数及其应用》英国 ISSN:1070-5325，1994年创刊，全年8期，John Wiley出版社，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子1.042。侧重对数值线性代数的新方法及其应用进行严密的数理分析，同时也分析数值线性代数在计算机与通信应用中所产生的规则系统复杂性。 Numerical Methods for Partial Differential Equations《偏微分方程数值方法》美国 ISSN:0749-159X，1984年创刊，全年6期，John Wiley出版社，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.624，2003年EI收录43篇。刊载数值分析、计算方法和偏微分方程方面的研究论文。读者对象为从事数值分析研究的科技人员和致力于用数值方法解决科学与工程问题的数学家。 NoDEA : Nonlinear Differential Equations and Applications《非线性微分方程与应用》瑞士 ISSN:1021-9722，1994年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，刊载非线性微分方程理论与应用研究论文。涉及普通力学、统计力学和量子力学，电磁学、人口动态学、化学动力学和燃烧理论中的问题。 Numerische Mathematik《数值数学》德国 ISSN:0029-599X，1959年创刊，全年12期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 1.239。刊载数值分析新概念和重要进展的研究论文，涉及微分方程的数值解法、数值线性代数、近似值与控制理论，以及非线性问题的数值解法方面的研究论文。 O Operations Research Letters《运筹学快报》荷兰 ISSN:0167-6377，1981年创刊，全年6期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.449，2003年EI收录73篇。刊载运筹学、管理学、决策科学的理论与应用方面最新成果的快报。 OR Spectrum《运筹学概览》德国 ISSN: 0171-6468，1979年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 0.608。刊载数学运筹学及相关学科的研究论文、概述、理论与应用论述及报告，兼载运筹学软件信息。读者对象为从事运筹学研究的大学、经济和管理部门的专业人员。 P Periodica Mathematica Hungarica 《匈牙利数学学报》荷兰 ISSN:0031-5303，1971年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，匈牙利鲍利数学会编辑。刊载理论和应用数学研究文章，用英文、法文、德文发表，有英文摘要。 Probability Theory and Related Fields《概率论及相关领域杂志》德国 ISSN:0178-8051，1962年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子1.036。刊载概率论、优化理论、统计力学、遍历理论，以及相关的测度论或解析数论、数理统计等方面的论文和通讯。 Publications Mathématiques de L'IHEacute;S 《数学丛刊》德国 ISSN: 0073-8301，1958年创刊，全年2期，Springer-Verlag出版社。法国高等科学研究院出版的刊物。专载数学领域的研究论文。 R Reports on Mathematical Physics《数学物理学报告》英国 ISSN:0034-4877，1975年创刊，全年6期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.489。波兰哥白尼大学物理研究所、波兰物理学会合编。发表理论物理学论文。涉及对量子力学、正统力学及场论等的数学研究,相对论和引力,统计物理学,以及物理理论的数学基础等。 Reviews in Mathematical Physics 《数學物理学评论》新加坡 ISSN:0129-055X，1989年创刊，全年12期，World Scientific出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子1.130。刊载有关规范场、量子场论、统计力学、动态系统、泛函分析等数理物理学领域的研究论文，以及理论物理学与纯粹数学的相互作用和影响等方面的论述。 S Studia Logica 《逻辑学研究》荷兰 ISSN:0039-3215，1943年创刊，全年9期，Kluwer Acdemic出版社出版，刊载普通逻辑学及其在诸如哲学、科学方法学、语言学等其他学科的应用方面的研究论文、书评及简讯。用英文出版。原为波兰刊Studia Logica, 1994年起转编为荷兰刊。 Selecta Mathematica, New Series《数学选辑，新辑》瑞士 ISSN:1022-1824，1995年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。译载前苏联发表的数学领域的研究论文。 Southeast Asian Bulletin of Mathematics《东南亚数学公报》德国 ISSN:0129-2021，1977年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。 Statistical Papers《统计学文集》德国 ISSN:0932-5026，1960年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 0.136。刊载统计方法及其应用的研究论文、简讯、评论和书评。着重于统计方法在经济和社会科学各领域应用的文章。也报道统计方法软件。 Stochastic Environmental Research and Risk Assessment (SERRA) 《随机环境研究与风险评估》德国， ISSN:1436-3240，1987年创刊，全年6期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 0.519。刊载水文学与水力学中的随机过程理论及其应用方面的研究论文、评论和简讯，涉及水文学和水利学中的随机微分方程、参数估计和识别法、实时水文预测、随机控制和规划、随机环境下污染迁移、波动问题、随机扰动模型、随机边界层问题等。 T Teaching and Teacher Education《教学与师范教育》英国 ISSN:0742-051X，1985年创刊，全年8期，Elsevier Science 出版社出版，SSCI收录期刊，SSCI 2003年影响因子0.565。刊载研究教学与教师进修教育的文章，涉及教育政策、教学方法与实践，以及课程设置等问题。 U Ukrainian Mathematical Journal《乌克兰数学杂志》荷兰 ISSN:0041-5995，1967年创刊，全年12期，Kluwer Acdemic出版社出版，乌克兰同名期刊Уκраинсκий математичесκий журнал的英文翻译版。 Z Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP)《应用数学与物理学杂志》瑞士 ISSN:0044-2275，1950年创刊，全年6期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，内容包括原始论文、简短报告与一般报道三部分，分别介绍应用数学与物理学方面的研究成果和有关的新进展，报道学术会议和新书。 欢迎提供更多更好的数学专业期刊以及交叉学科期刊！～ http://blog.sina.com.cn/s/blog_59b35e200100a7iu.html
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hylpy1 2016-10-28 19:01
数学全文电子期刊介绍（一） 数学全文电子期刊介绍 数学全文电子期刊导航 以刊物名首词字母排序 A Advances in Applied Mathematics 《应用数学进展》美国 ISSN:0196-8858，1980年创刊，全年8期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.558。发表原始论文和评述文章，反映应用数学（包括实验数学、统计学、数学生物学和理论计算机科学等）的最新研究进展。 Advances in Mathematics《数学进展》美国 ISSN:0001-8708，1965年创刊，全年16期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.930。侧重发表纯数学研究论述与评论，反映该学科各个方面的重要进展。 Applied Mathematical Modelling《应用数学模型》美国 ISSN:0307-904X，1976年创刊，全年12期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.500。数学模型及相关数字技术和软件在工程和环境系统设计和分析中起到越来越重要的作用。本刊为这一领域开辟论坛，发表论文、评论、札记、会议报告和书评等。 Annales de l'Institut Henri Poincare (B) Probability and Statistics《亨利·彭加莱研究所纪事：概率计算与统计学》法国 ISSN:0246-0203，1964年创刊，全年6期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.789。刊载概率计算和统计学包括经济计算和运筹学等方面的研究论文和评论。 Annales de l'Institut Henri Poincare Non Linear Analysis《亨利·彭加莱研究所纪事：非线性分析》法国 ISSN:0294-1449，1984年创刊，全年6期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.881。介绍物理学家、化学家、生物学家和经济学家在非线性分析方面的研究成果。 Applied Mathematics and Computation《应用数学和计算》美国 ISSN:0096-3003，1975年创刊，全年33期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.436。侧重于系统科学理论与应用研究。刊载利用计算机技术解决应用问题的研究论文和评论。 Applied Mathematics Letters《应用数学快报》英国 ISSN:0893-9659，1988年创刊，全年8期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.430。刊载应用数学领域研究成果的快报。 Annals of Pure and Applied Logic《理论与应用逻辑纪事》荷兰 ISSN:0168-0072 ，1969年创刊，全年18期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.553。刊载理论与应用逻辑和基础数学，以及与数理逻辑有关的理论计算机科学等方面的研究论文。稿件来自各国。 Applied Numerical Mathematics《应用数值数学》荷兰 ISSN:0168-9274，1985年创刊，全年16期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.504。刊载计算数学和数值分析及其在物理学、流体动力学、工程学及其它应用科学中应用方面的研究论文、评论及札记。 Annales Scientifiques de l'Eacute;cole Normale Supérieure《高等师范学校科学纪事》法国 ISSN:0012-9593，1864年创刊，全年6期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.907。历史悠久的专业性学术期刊，刊载数学、物理、化学与自然科学方面的研究论文。文章用英、法或德文发表。 Applied and Computational Harmonic Analysis《应用和计算谐波分析》美国 ISSN:1063-5203，1993年创刊，全年6期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子1.586。刊载谐波分析的应用与计算方面的研究论文，侧重子波分析和信号处理。 Applied Stochastic Models in Business and Industry《商业与工业应用随机模型》英国ISSN:1524-1904，1985年创刊，全年4期，John Wiley出版社，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.370，2003年EI收录25篇。发表应用概率与数据分析的理论研究和实际运用的文章，比较解决实际问题的各种可行方法，通过分析有关数据探求新的解决方法。 Acta Applicandae Mathematicae 《应用数学学报》荷兰 ISSN:0167-8019，1983年创刊，全年15期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.626，2003年EI收录91篇。刊载应用数学的理论与实践，包括数学手段的应用技术与方法，以及有应用价值的新数学理论的开拓等方面的研究论文和述评。高价刊。 Advances in Computational Mathematics《计算数学进展》荷兰 ISSN:1019-7168，1993年创刊，全年8期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.926。刊载研究论文，涉及代数、微积分方程、统计、优化、逼近、样条函数、子波分析等，侧重并行处理、符号计算、神经网络及几何模型建立等。 Algebra and Logic《代数与逻辑》荷兰 ISSN:0002-5232，1962年创刊，全年6期，Kluwer Acdemic出版社出版，俄罗斯期刊的英文翻译版。 Algebras and Representation Theory 《代数学与表示理论》荷兰 ISSN:1386-923X，1998年创刊，全年5期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.773。刊载环域、代数学及其表示理论以及与其他领域相互关系的高水平研究论文。 Analysis Mathematica《分析数学》荷兰 ISSN:0133-3852，1975年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，EI收录期刊，2003年EI收录21篇。刊载研究文章、书评，主要用英、俄文，间或用法文、德文发表。 Approximation Theory and Its Applications《逼近理论及其应用》荷兰 ISSN:1000-9221，1984年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，中国南京大学编辑的国际性英文刊物。 Annals of Global Analysis and Geometry 《全局分析与几何学纪事》荷兰 ISSN:0232-704X，1983年创刊，全年8期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.338。论述几何与解析中的全局问题以及它们之间的相互作用与在理论物理问题中的应用。涉及全局分析、微分几何、复流形与相关的复分析和代数几何成果、李群、李变换群与调合分析、微分几何与全局分析在理论物理问题中的应用等。 Annals of Mathematics and Artificial Intelligence《数学与人工智能纪事》荷兰 ISSN:1012-2443，1989年创刊，全年12期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.837。刊载反映人工智能学科发展的数学与计算方法相互作用方面的研究论文和报告，兼及会议消息等。 Annals of Operations Research《运筹学纪事》荷兰 ISSN:0254-5330，1984年创刊，全年8期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.331。论述运筹学理论与应用及其主要发展趋向。 Annals of the Institute of Statistical Mathematics《统计数理研究所纪事》日本 ISSN:0020-3157，1949年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.468，2003年EI收录56篇。刊载统计数理领域的研究论文。 Applications of Mathematics《数学应用》捷克 ISSN:0862-7940，1956年创刊，全年6期，Kluwer Acdemic出版社出版，EI收录期刊，2003年EI收录53篇。刊载数学在工程技术和自然科学领域的应用方面的研究论文。用捷、英、法、德、俄及斯洛伐克文出版。 Applied Categorical Structures《应用范畴结构》荷兰 ISSN:0927-2582，1993年创刊，全年6期，Kluwer Acdemic出版社出版，论述范畴方法在代数、解析、序、拓扑及计算机科学中的应用。涉及特定的拓扑、代数及代数－拓扑结构研究，泛函分析、连续有序理论、代数与逻辑型理论、自动机理论、数据库及语言中的范畴研究等。 Acta Mathematica Hungarica《匈牙利数学学报》荷兰 ISSN:0236-5294，1950年创刊，全年12期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.330。 Applied Mathematics and Mechanics《应用数学和力学》荷兰 ISSN:0253-4827，1980年创刊，全年12期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.251，2003年EI收录114篇。 Applied Mathematics and Optimization《应用数学和优化》德国 ISSN:0095-4616，1974年创刊，全年6期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子1.045。刊载数学优化理论与应用的研究论文、评论和札记，包括数学在物理系统、化学与生化系统、环境系统、优化设计、生物医学系统、航空与航天系统、公共服务系统、社会经济系统方面的应用研究。 Archiv der Mathematik《数学文献》瑞士 ISSN:0003-889X，1948年创刊，全年12期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 0.326。主要刊载数学及其应用方面的研究论文。 Annals of Combinatorics《组合学杂志》瑞士 ISSN:0218-0006，1997年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。刊载组合数学与计算理论研究领域的论文、评论。 Archive for Mathematical Logic《数理逻辑文献》德国 ISSN:0933-5846，1951年创刊，全年8期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 0.532。发表数理逻辑、理论计算机科学及数理哲学等方面的研究论文。 Acta Mathematica Sinica《数学学报》中国 ISSN: 1439-8516，全年4期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.407。 Acta Mathematicae Applicatae Sinica (English Series)《应用数学学报》 ISSN: 0168-9673，Springer-Verlag出版社。 Aequationes Mathematicae《数学方程》瑞士 ISSN:0001-9054，1968年创刊，全年6期，Springer-Verlag出版社，发表纯粹和应用数学领域，特别是函数方程、组合分析与数值分析方面的研究论文、述评、简报及文摘等，兼载学术会议报道。 Algorithmica《算法》美国 ISSN:0178-4617，1986年创刊，全年12期，Springer-Verlag出版社。SCI、EI收录期刊，SCI 2002年影响因子 0.785，2003年EI收录54篇。国际计算机科学杂志，刊载算法技术、方法和应用方面的研究论文。 Algebra Colloquium《代数集刊》中国 ISSN:1005-3867，1994年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.150。 Algebra Universalis《泛代数杂志》瑞士 ISSN:0002-5240，1971年创刊，全年8期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.324。主要刊载泛代数与格论方面的研究论文。 Annali di Matematica Pura ed Applicata《纯粹与应用数学纪事》德国 ISSN:0373-3114，1850年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社，历史悠久的数学专业性学术期刊，刊载研究论文，稿件来自各国。 B Bulletin of Mathematical Biology《数理生物学通报》英国 ISSN:0092-8240，1939年创刊，全年6期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子1.408。刊载生物学理论与实验研究方面的论文、生物学家和数学家之间的学术交流简讯，以及教学辅导性文章。 Bulletin des Sciences Mathématiques《数学通报》法国 ISSN:0007-4497，1870年创刊，全年10期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.492。历史悠久的数学专业性学术期刊，刊载纯数学研究论文。论文用法、英两种文字发表。 Bit Numerical Mathematics《BIT数值数学》荷兰 ISSN:0006-3835，1961年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.565。 Bulletin of the Brazilian Mathematical Society《巴西数学会通报》德国 ISSN:0100-3569，1970年创刊，全年3期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.140。发表高等数学各领域的高质量论文。 C Computational Geometry《计算几何学》荷兰 ISSN: 0925-7721, 1991年创刊，全年9期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2002年影响因子1.000，2003年EI收录60篇。刊载计算几何学理论与应用，包括几何算法设计与分析，计算机图形学基本问题、模式识别、机器人学、图像处理、CAD-CAM、超大规模集成电路设计、地理信息系统中应用方面的论文和简报。 Chaos, Solitons Fractals《浑沌，孤立子与分形》英国 ISSN: 0960-0779, 1991年创刊，全年18期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.872，2003年EI收录388篇。刊载分歧理论、奇异理论、决定性浑沌和分形、稳定性理论、孤立子和相关现象、图样形成、展开和复杂性理论等方面的基础与应用，特别是在物理、生物医学与生命科学，以及工程应用方面的研究论文、评论和简报。 Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation《非线性科学和数值模拟快报》荷兰ISSN: 1007-5704, 1979年创刊，全年4期，Elsevier Science 出版社出版，EI收录期刊，2003年EI收录53篇。 Computational Statistics Data Analysis《计算统计学与数据分析》荷兰 ISSN: 0167-9473, 1983年创刊，全年12期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.458，2003年EI收录120篇。刊载计算统计学和数据分析方面的论文，涉及数值方法、分类、模拟中的统计方法、计算算法、无模型数据探测与模式识别、统计软件、数据分析的特殊问题（如健壮程序、漏测值）等多方面。分方法学、应用与比较研究、札记和评论等三部分。 Computers Mathematics with Applications《计算机与数学及其应用》英国 ISSN: 0898-1221, 1974年创刊，全年24期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.413，2003年EI收录300篇。刊载计算机在数值分析、概率论、数论、计算机的数学模型，以及在环境科学、生态学、生物学和城市系统领域的应用等方面的研究论文和札记。 Comptes Rendus Mathematique《法国科学院报告：数学》法国 ISSN: 0764-4442, 1835年创刊，全年24期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.364。历史悠久的专业性学术期刊，刊载理论数学、代数、复分析、变分法、拓扑学、数学分析等数学领域的研究论文。 Communications on Pure and Applied Mathematics《纯数学与应用数学通讯》美国 ISSN:0010-3640，1948年创刊，全年12期，John Wiley出版社，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子2.250。刊载应用数学、数学物理学与数学分析方面的研究论文。 Communications in Numerical Methods in Engineering《工程数值法快报》英国 ISSN:1069-8299，1985年创刊，全年12期，John Wiley出版社，SCI、 EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.450，2003年EI收录81篇。发表简讯，通报应用数值方法的重要进展以及数值技术在解决工程技术问题方面的应用。 Complexity《复杂性》美国 ISSN:1076-2787，1995年创刊，全年6期，John Wiley出版社，刊载复杂系统及适应性系统研究，包括复杂性理论、非线性现象中的多重平衡、基因对数、对策模拟、模式识别以及复杂系统及适应性系统在物理学、生物学和社会科学等领域的应用等方面的论文。 Compositio Mathematica《数学论文集》荷兰 ISSN:0010-437X，1934年创刊，全年15期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.662。发表数学领域的研究论文，偏重于理论数学方面的研究。稿件来自各国，多用英文发表。 Computational Mathematical Organization Theory《计算与数学的组织理论》荷兰 ISSN:1381-298X，1995年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，刊载有关运用计算和数学手段研究组织理论和分析方法的论文。 Czechoslovak Mathematical Journal《捷克数学杂志》捷克 ISSN:0011-4642，1872年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.210。刊载理论与应用数学领域的研究论文和书评，用英、法、德或俄文发表。 Computational Mathematics and Modeling《计算数学和模型建立》荷兰 ISSN:1046-283X，1991年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，选译俄罗斯近期数学期刊的离散数学、数值分析和计算数论方面的文献。 Computational Optimization and Applications 《计算优化及其应用》荷兰 ISSN:0926-6003，1992年创刊，全年9期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.650，2003年EI收录43篇。刊载优化用计算算法的分析、开发及应用方面的研究论文和辅导资料。 Czechoslovak Mathematical Journal《捷克数学杂志》捷克 ISSN:0011-4642，1872年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.210。刊载理论与应用数学领域的研究论文和书评，用英、法、德或俄文发表。 Calculus of Variations and Partial Differential Equations《变分法和偏微分方程》德国 ISSN:0944-2669，1993年创刊，全年8期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.676。 Commentarii Mathematici Helvetici《瑞士数学通讯》瑞士 ISSN:0010-2571，1929年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 0.484。瑞士数学会编辑。刊载数学领域的研究论文，用英、德或法文发表。 Communications in Mathematical Physics《数理物理通讯》德国 ISSN:0010-3616，1965年创刊，全年27期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 1.851。刊载数理物理学，包括数理分析、传统物理、统计物理及量子物理学等方面的研究论文。 Computational Complexity《计算复杂性》瑞士 ISSN:1016-3328，1991年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 0.455。刊载数学问题用计算机解算方面的研究论文，研究领域包括计算几何学、机器人、运动规则、学习理论、数论、逻辑、组合优化、模糊方案、分布计算等，侧重数学模型、复杂性限制与类型等常见问题和相关的特殊问题。 Computing《计算》奥地利 ISSN:0010-485X，全年8期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 0.614。刊载数值计算领域的研究论文，涉及离散算法、符号计算、性能与复杂性评定、操作系统、调度、软件工程、图象处理、并行计算、古典数值分析、数值软件、数值统计、优化、计算机运算、区间分析和绘图等。 Calcolo《计算》意大利 ISSN:0008-0624，1964年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子 0.375。刊载计算理论与数值分析、计算复杂性、算法分析等计算数学领域的研究论文，多用英文发表，间用意大利文。 Constructive Approximation《构造性逼近》德国 ISSN:0176-4276，1985年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.845。著名数学权威专业性学术期刊，逼近与展开国际期刊，刊载数学研究论文，涉及逼近与展开的研究，侧重于数值计算或数学分析中最有用益的逼近理论与方法。 Combinatorica《组合学》德国 ISSN:0209-9683，1981年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.831。有关组合数学与计算理论的国际性杂志。刊载组合数学与计算理论研究领域包括组合结构、组合优化、几何与数论的组合、组合算法等的论文、评论。 Communications in Contemporary Mathematics 《现代数学通讯》新加坡 ISSN:0219-1997，1999年创刊，全年4期，World Scientific出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.380。发表数学领域的原始论文。 D Differential Geometry and its Applications《微分几何学及其应用》荷兰 ISSN:0926-2245，1991年创刊，全年6期，Elsevier Science 出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.389。刊载微分几何学及在数学中应用微分几何方法和研究几何结构的各学科领域的研究论文和综论，涉及流形上的微分方程、全局分析、李群、局部和整体微分几何、流形上的变分法、流形拓扑学及数学物理等。 Digital Signal Processing《数字信号处理评论杂志》美国 ISSN:1051-2004，1991年创刊，全年4期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.712，2003年EI收录36篇。评论数字信号处理方面的新技术、新计划和重要进展。 Discrete Applied Mathematics《离散应用数学》荷兰 ISSN:0166-218X，1979年创刊，全年27期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.503，2003年EI收录239篇。发表离散优化、网络理论、开关理论与自动机理论、应用理论与优选结构、对策论、调度论，以及算法与复杂性研究等方面的研究论文、综述和书评。稿件来自各国，多用英文发表。 Discrete Mathematics《离散数学》荷兰 ISSN:0012-365X，1978年创刊，全年41期，Elsevier Science 出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.303，2003年EI收录406篇。刊载离散数学领域的理论和应用研究论文、研究简报、研究课题及会议录等。稿件来自各国，多用英文发表。 Data Mining and Knowledge Discovery 《数据开发与认知杂志》荷兰 ISSN:1384-5810，1997年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子2.714。旨在开发新一代的数据库自动数据开发与认知技术，涉及机器学习、机器认知、不确定模拟、统计、数据库、数据显象、高性能计算、管理信息系统、知识库系统等。 Differential Equations《微分方程》荷兰 ISSN:0012-2661，1965年创刊，全年12期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.243。白俄罗斯同名期刊Дифференциальные уравнения的英文翻译版。 Designs, Codes and Cryptography 《设计、编码与密码学》荷兰 ISSN:0925-1022，1991年创刊，全年9期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI、EI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.623，2003年EI收录59篇。刊载设计理论、编码理论、密码学及其相互作用方面的研究论文和综论，侧重相关的代数学和几何学问题。 Discrete and Computational Geometry《离散与计算几何学》美国 ISSN:0179-5376，1986年创刊，全年8期，Springer-Verlag出版社，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.553。数学与计算机科学国际期刊，覆盖了与几何学基础应用的广泛研究领域，刊载组合几何学、几何算法设计与分析的研究论文，涉及凸多胞形、极值几何问题、计算拓扑学、数的几何学以及图论、数学规划、组合优化、图像处理、模式识别、结晶学、超大规模集成电路设计、机器人和计算机图学等。 E Educational Studies in Mathematics《数学教育研究》荷兰 ISSN:0013-1954，1968年创刊，全年9期，Kluwer Acdemic出版社出版，刊载中、小学及师范级数学理论、方法、实践方面的论文和报告，以及国际数学竞赛会简讯、竞赛题、书评等。 Elemente der Mathematik《数学基础》瑞士 ISSN:0013-6018，1946年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。 F Functional Analysis and Its Applications《函数分析及其应用》荷兰 ISSN:0016-2663，1967年创刊，全年4期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.291。俄罗斯同名期刊Фунκциональный анализ и его приложения的英文翻译版。 Foundations of Computational Mathematics《计算数学基础》美国 ISSN:1615-3375，2001年创刊，全年4期，Springer-Verlag出版社。SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子1.067。发表研究论文，内容涉及数学与计算的关系、纯粹与应用数学、数字分析等。 Fractals《分数》新加坡 ISSN:0218-348X，1993年创刊，全年4期，World Scientific出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2002年影响因子0.682。综合性学术刊物。刊载研究论文和评论，内容涉及物理、数学、生物、化学、经济学与技术。 G GAMM-Mitteilungen《应用数学及力学协会通报》德国ISSN:0936-7195，1978年创刊，全年2期，John Wiley出版社，发表应用数学和力学等多领域的研究论文。 Geometriae Dedicata《几何学报》荷兰 ISSN:0046-5755，1972年创刊，全年12期，Kluwer Acdemic出版社出版，SCI收录期刊，SCI 2003年影响因子0.313。刊载研究几何学经典问题以及数学语言几何化、几何学在解析与代数学领域的应用等方面的研究论文，稿件来自各国，用英或德文发表。 http://blog.sina.com.cn/s/blog_59b35e200100a7ir.html
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hylpy1 2016-10-23 11:16
1.1《数学分析》：复旦，陈纪修，214集，151小时 http://www.youku.com/playlist_sh ... ode_pic_page_1.html http://www.youku.com/playlist_show/id_3657450.html 　　1.2《数学分析》：中科大，史济怀，203集，149小时 http://www.youku.com/playlist_sh ... ode_pic_page_1.html 　　1.3《微积分》：清华，58集，47小时 http://www.youku.com/playlist_sh ... ode_pic_page_3.html 　　2.1《高等代数》：清华，18集，14小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_1602163.html 　　2.2《高等代数》：厦大，杜妮，133集，93小时 http://www.youku.com/playlist_sh ... ode_pic_page_1.html 　　2.3《线性代数》：中科大，李尚志，25集，35小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_3979326.html 　　3.1《高等代数与解析几何》：南开，100集，67小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_5281512.html 　　4.1《概率论与数理统计》：中科大，缪柏其，33集，35小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_5270389.html 　　4.2《统计学》：加州伯克利分电视棒校，43集，35小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_3769636.html 　　5.1《微分方程》：麻省理工，33集，网易公开课 http://v.163.com/special/opencourse/equations.html 　　5.2《微分方程》：麻省理工，30集，24小时 http://www.youku.com/playlist_sh ... ode_pic_page_1.html 　　5.3《常微分方程》：北师大，袁荣，61集，47小时 http://www.youku.com/playlist_sh ... ode_pic_page_1.html 　　5.4《偏微分方程》：台湾国立交大，39集，48小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_3764702.html 　　6.1《实变函数》：台湾国立交大，吴培元，35集，40小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_5609383.html 　　7.1《复变函数》：台湾国立交大，吴培元，29集，33小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_4088706.html 7.2《复变函数》钟玉泉三版：北师大，袁荣，61集，47小时 http://www.youku.com/playlist_sh ... ode_pic_page_1.html 　　8.1《泛函分析》：台湾国立交大，吴培元，30集，30小时 http://www.youku.com/playlist_sh ... ode_pic_page_1.html 　　9.1《抽象代数》：北大，石生明，61集，41小时 http://www.youku.com/playlist_sh ... ode_pic_page_1.html 　　9.2《近世代数》张禾瑞：北师大，袁荣，60集，44小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_4102229.html 　　10.1《点集拓扑》：河北师大，王彦英，28集，22小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_3250377.html 　　11.1《微分几何与广义相对论教程》：北师大，梁灿彬，118集，107小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_3250546.html 　　12.1《初等数论》：北师大，袁荣，51集 http://v.ku6.com/playlist/index_1958524.html 　　13.1《数值分析》：中科大，36集，37小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_3250322.html 　　14.1《数理逻辑》：中科院，陆钟万，29集，28小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_2901699.html 　　15.1《图论》：北师大，袁荣，60集，42小时 http://www.youku.com/playlist_sh ... ode_pic_page_1.html 　　16.1《离散数学》：吉大，69集，50小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_2026088.html 　　16.2《离散数学》：中南，24集，17小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_2741559.html 　　16.3《离散数学》：上交，35集，38小时 http://www.youku.com/playlist_sh ... ode_pic_page_1.html 　　17.1《MATLAB基础视频》：14集，6小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_4993577.html 　　17.2《MATLAB论坛视频》：67集，26小时 http://www.youku.com/playlist_sh ... ode_pic_page_1.html 　　18.1《小波分析》：28集，29小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_5475022.html 　　19.1《最优化-凸分析》：斯坦福大学，38集，47小时 http://www.youku.com/playlist_show/id_5434039.html http://bbs.sciencenet.cn/thread-1359041-1-1.html
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