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hylpy1 2016-10-23 10:29
本科数学专业哪门课最难学？[抽象程度，计算量评分]
数学分析 ：抽象程度★，计算量★★★。数分是大一新生谈虎色变的一门课，但实际上是一只纸老虎。它的“难”更多的体现在高中到大学的思维转换上，只要别产生抵触情绪，绝大多数学生都能挺过去。 高等代数 ：抽象程度★★，计算量★。高代是大一新生接触的第一门抽象课程，但计算量较小，实在不能理解靠死记硬背也能对付过去，所以不像数分那样“臭名昭著”。 解析几何 ：抽象程度★，计算量★。这是大一最轻松的一门课，就是高中平面解析几何的立体版。 常微分方程 ：抽象程度★，计算量★★。在残暴的偏微分方程面前，常微分方程就像一个温柔的小妹妹。 数论 ：抽象程度★★，计算量★★。由于现代数论跟前沿代数、几何结合很紧密，本科基本没法讲，能讲的都是一些比较简单的初等内容，所以还算轻松。 实变函数 ：抽象程度★★★★，计算量★★。俗话说“实变函数学十遍”，这应该是低年级本科生最头疼的一门课。 复变函数 ：抽象程度★★，计算量★★。我记得本科时实变函数老师说，实变的难度是复变的2.5倍。所以，这也是比较温柔的一门课。复变也是是两遍，所以只要学2遍就懂了。 概率论 ：抽象程度★，计算量★。在解几之后，给同学们找自信的任务就交给概率了。 近世代数（抽象代数） ：抽象程度★★★，计算量★★。这门课的具体难度跟讲到哪一部分和在哪个年级开课有关。例如给本科高年级学生讲群环域都问题不大，但如果给大一学生讲群、或者给大三学生讲模，那就会晕倒一片了。 泛函分析 ：抽象程度★★，计算量★★★。本科的泛函一般被视作实变函数的后继课程，但抽象程度比实变要温柔一些。 数理统计 ：抽象程度★★，计算量★★。是本科高年级课程里相对轻松的一门课，只是思维方式跟分析、代数、几何等主流课程不太一样。 一般拓扑 ：抽象程度★★★，计算量★★。是比较抽象的一门课，难度跟近世代数相当。 代数拓扑 ：抽象程度★★★★，计算量★★★。跟一般拓扑相比，虽然都是研究拓扑，但思维方式相差较大，抽象程度也更深。 偏微分方程（数学物理方程） ：抽象程度★★，计算量★★★★★。我本科时偏微分是一门每年挂科50%的杀手课，原因很简单，计算量太大。当时期末考试老师“仁慈”地出了一道书上课后习题，但这道题的解题过程要写满两整页A4作业纸。 微分几何（局部 ） ：抽象程度★★，计算量★★★★。是解析几何的后继课程，计算量有点大，但理解起来不难。 微分几何（整体 ） ：抽象程度★★★★，计算量★★★★★。在很多学校里这门课叫“ 微分流形 ”。由于很少有学校会把代数几何作为必修课，所以这应该是本科最难的一门课。这也是现代数学的主流热点——几何方向的入门课程。 代数几何 ：抽象程度★★★★★，计算量★★★★★。我本科时这门课被坑爹地作为了大四上的必修课，学期过半之后还坚持听课的同学只剩个位数。 转自知乎 http://www.zhihu.com/question/19931962
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hylpy1 2016-10-20 23:18
走向分析数学 2016-10-05 imath 作者：张凯军 来源：科学网 据说最新高考改革方案中的数学考试占有重要份额，由此联想到为什么"社会这样喜爱数学"这个教育问题。既然数学被民众"重视"到了如此地步，索性就让大家看看高深数学王国中一些一线城市的风貌。只要大胆和坚持，保证会有点滴收获。 面对数学的峦峰，其实 所有的数学人都是数学努力进程中的无穷小量 。对那些让我们崇拜与尊敬的伟大数学家们而言，当对比广博的数学同仁时，他们才是数学努力进程中的无穷大量。要想成为数学的无穷大量型人才， 第一件事就是在心理上必须解除任何的"名人未解、自己无望"的悲观研究心理障碍 ，使得自身处于完全无约束的能量自由勃发状态，然后才可能真实地验证出自己的数学价值。非数学人士其实可以类似地打开自己数学心扉和挖掘数学潜能。 在数学成才教育中，学生自身的潜能、兴趣、能力、志向、毅力、勤勉与自信等微观元素的宏观合成是至关重要的数学教育成才技术。在数学教育心理学洗礼之后, 广大数学爱好者非数学符号地进入现代核心分析数学的海洋中畅游, 不失之为一条快速提高数学素养的捷径。 撰写本文的动力是教育成才理念的鼓舞，而非作者学识之因。泛函分析，调和分析，复分析，随机分析，偏微分方程和大范围分析等核心分析数学学科的知识宝库足以让代代数学人追求永远，因而个人之力就是个微重力而已。数学的雄峰虽难以撼动，但通过教育的望远镜却可以领略其几何的教育外貌，这也许正是本文的微小作为之处。 ( 一) 泛函分析 泛函分析是现代分析数学的重要分支之一，其深远的理论体系和广泛的应用价值已经对现代分析数学，乃至现代科学技术领域都产生了重大影响。大学本科阶段的泛函分析课程主要以线性泛函分析中的赋范线性空间及其上的有界线性算子理论等一些最基本内容为主。研究生阶段的线性泛函分析主要介绍紧算子与 Fredholm 算子、 Banach 代数、无界线性算子、线性算子半群、广义函数、 Hilbert-Schmidt 算子与迹类算子等内容。研究生阶段的非线性泛函分析课程一般简要讲授 Banach 空间上的微积分学、隐函数定理与分歧问题、拓扑度、单调算子以及变分方法等基本内容。泛函分析的主要研究方向为 : 线性算子谱理论、函数空间、 Banach 空间几何学、算子代数、非交换几何、应用泛函分析以及非线性泛函分析的相关研究方向等。 泛函分析是经过数学分析、高等代数和空间解析几何的 " 升空式洗礼 " ，而从 " 地上 " 到 " 天上 " 的一个数学抽象推广过程 。有限维空间的几何理论以及从有限维空间到有限维空间的映射理论是大学数学专业一二年级的主要学习内容。若只考虑线性映射的运算性质，那就是线性代数。若考虑非线性映射的连续性与光滑性，那就是微积分。若把有限维空间的距离概念推广到无限维空间，再考虑相应的线性映射与非线性映射的连续性以及光滑性，那么就自然而然地走到了泛函分析的疆界。 数学分析，高等代数和解析几何的很多结论在泛函分析层面上都有相应的推广结论。注意到这一点之后，又可以从 " 天上 " 回到 " 地上 " 了。把有限维换成无限维，以及欧氏度量换成抽象度量，想法还是一样的想法，但现象却是作为拓扑、代数、几何与分析的融合体的泛函分析了。 分析、代数、几何与拓扑的数学思想方法的交融是泛函分析发展壮大的力量之源 。泛函分析已经成为现代分析数学的必要工具之一。 Fields 奖获得者 J.Bourgain ， A.Connes ， W. TimothyGowers ， A.Grothendieck, L. Schwartz 及 Wolf 奖获得者 I. M.Gelfand ， M.G. Krein 等著名数学家在泛函分析领域都做出了巨大成就。 泛函分析的参考书目推荐如下： （ 1 ） M. Reed, B. Simon, Methods ofModern Mathematical Physics, I – IV, 1970’s 。 （ 2 ） K. Yosida,Functional Analysis, 1980 。 （ 3 ） J.Barros-Neto, An Introduction to the Theory of Distributions,1981 。 （ 4 ）张恭庆，林源渠，泛函分析讲义，上册， 1987 。 （ 5 ）张恭庆，郭懋正，泛函分析讲义，下册， 1990 。 （ 6 ） W. Rudin ， FunctionalAnalysis ， 1991 。 （ 7 ） AlanConnes ， Noncommutativegeometry ， 1994 。 （ 8 ） P. Lax,Functional Analysis ， 2002 。 （ 9 ） Kung-Ching Chang ， Methodsin Nonlinear Analysis ， 2005 。 (二) 调和分析 调和分析是现代分析数学的核心领域之一 ，其辉煌的成就让一代代分析学家为之倾倒与奋斗。按照华罗庚先生的说法，把已知函数展开成 Fourier 级数的运算就叫做调和分析。事实上，调和分析也正是从 Fourier 级数和 Fourier 变换理论的研究开始发展壮大的。 从物理的观点，调和分析就是要把信号表示为基本波 " 调和子 " 的超位置叠加。 几个世纪以来，调和分析已经形成了庞大的学科体系，并在数学、信息处理和量子力学等领域有着重要和深刻的应用。 从应用角度来说，有效确定 Fourier 级数问题的运算称为实用调和分析。有限调和分析是实用调和分析的主体框架，即从有限个数据所应计算的最恰当的项数的角度，从有限到有限的思想方法来解决实际问题的 Fourier 方法是有限调和分析的应用价值所在。再从物理的角度，人们可以发现量子力学中的测不准关系有着调和分析版的解释，即 Paley – Wiener 定理所描述的非零紧支集广义函数的 Fourier 变换没有紧支集。 抽象调和分析是调和分析更深入的现代数学分支，即研究拓扑群上的调和分析理论，特别是 Fourier 变换理论。 Abel 紧群的 Ponteyagin 对偶理论是调和分析特征在现代数学处理中的合适写照。对一般的非 Abel 局部紧群来说，调和分析是与酉群的表示论密切相关的。经典卷积的 Fourier 变换是 Fourier 变换的乘积的性质可以通过对紧群的 Peter-Weyl 定理有所升华体现。当群既非 Abel 又非紧群时，一般的抽象调和分析理论还不是很完善。例如，是否此时存在 Plancherel 定理的类似物还不知道。但是在许多特殊情况下，通过无穷维表示技术是可以分析一定的相关问题的。 下面主要对上的调和分析内容进行简要的描述，以便对调和分析方向的研究与学习有一点点便利。 覆盖技术、极大算子、 Calderón–Zygmund 分解、内插技术和奇异积分算子是 现代调和分析的基本内容 。覆盖技术不仅是测度论的重要工具，也是调和分析的主要方法之一。 Hardy–Littlewood 极大算子理论的建立与覆盖技术息息相关。上的 H.-L 极大算子理论主要体现了一类非线性算子的 - 有界性理论，并且可以解决很多现代分析的重要问题。 Calderón–Zygmund 分解技术是研究奇异积分的实变量分析的关键方法，即把任意的可积函数拆分成 " 小部分 " 和 " 大部分 " 的和，然后用不同的技术分别处理各个部分是其思想精华所在。奇异积分算子是由带有奇异性的积分核所产生的。奇异积分算子的 - 有界性问题是重要的研究问题之一。奇异积分算子的理论目前已经很是丰富了。 从 Fourier 级数和 Fourier 变换的经典 Fourie 分析到 Hardy–Littlewood 极大算子和奇异积分算子等理论，可以认为 是调和分析的一次飞跃。 调和分析的 另外一次重大飞跃 应该是H^p-空间（Hardy空间）、有界平均振荡函数的BMO空间和A_p-权理论的建立与完善。 笔者认为：调和分析的最后一次飞跃也许是调和分析方法在分析学科的世界级数学猜想的解决方面的有效实践问题。 Hardy 空间的研究起源于 Fourier 级数和单复变量分析，至今已经有丰富的内涵，特别是高维实方法的介入，使得 - 空间理论有了本质性的现代发展。有界平均振荡函数的 BMO 空间，也称为 John-Nirenberg 空间，是在分析大师 F.John 和 L.Nirenberg 首次研究了该空间的拓扑性质的基础上而给出精确定义的。 H^p - 空间， BMO 空间和A_p - 权理论是现代调和分析的三大发明 。 C.Fefferman 获得 Fields 奖的主要工作就是，在 L.Nirenberg 工作的基础上，发现了 BMO 空间是 - 空间的对偶空间。 BMO 空间在分析数学的众多领域和概率秧论中都有重要的应用。在 BMO 空间基础上， L.Nirenberg 与 H.Brezis 合作，还发现了作为 BMO 空间的子空间的 VMO 空间（消失平均振荡空间），特别是将拓扑度理论推广到属于 VMO 空间的映射结果使得拓扑学家为之惊叹。A_p - 权理论在奇异积分算子有界性研究中有着重要作用。 R.R. Coifman 和 C. Fefferman 对A_p - 权理论的建立做出了重要贡献。 我国世界级数学家华罗庚先生在经典调和分析领域取得了世界领先成果。他的名著《多复变函数论中典型域上的调和分析》曾获得首届国家自然科学奖一等奖。北京大学的调和分析学派为中国调和分析方向的人才培养做出了巨大贡献。 获得过 Wolf 奖和 Fields 奖的调和分析名家有 A.P. Calderón ， C.Fefferman ， E.M. Stein ， T.Tao 等。 关于调和分析的数学著作推荐如下： （ 1 ） E. M. Stein, Singular Integralsand Differentiability Properties of Functions, 1970 。 （ 2 ） E. M.Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, 1971 。 （ 3 ） E. M.Stein, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality, and OscillatoryIntegrals, 1993 。 (三) 复分析 在代数与分析学科中， 复数域都是重要的基本数学沃土 。复变函数的微积分理论就是经典复分析的主要内容之一。在复数土壤上的微积分，除了继承传统，当然也必定会出现新的天地，例如， Cauchy 积分理论， Weierstrass 级数理论和复 Riemann 几何理论等就是复数域上的特有理论。在大学的复变函数论课程中，作为双射解析映射的共形映射理论应该是课程的亮点部分之一。解析映射的无穷次可微性、非临界点处的局部保角性，以及非常值映射的开集映成开集的开映射性质等都是解析映射的本质性性质。解析映射的实部与虚部所对应的 Cauchy-Riemann 方程更是深入推广解析映射理论的偏微分方程出发点。大学本科的复变函数内容已经在除了数学之外的工程技术、电子工程和航天工程等领域产生了重要应用。 复分析可以分成单个复变量函数论，多个复变量函数论，以及复流形上的分析理论等三个重要部分。 自从 19 世纪左右单复变产生以来，单个复变量函数论的理论已经十分完善。随之发展的多个复变量函数论理论已经成为现代主流分析数学领域之一。 研究生阶段的单复变复分析内容主要包括 Riemann 映射定理、共形映射的边界对应定理、单值性定理、广义 Schwarz 引理、共形不变量（共形模与极值长度）、拟共形映射、 Riemann 曲面、 Riemann-Roch 定理、单值化定理以及复变函数逼近论等重要内容。鉴于单复变理论的日臻完善，该领域的研究趋势正在向复动力系统方向纵深发展。 研究生阶段的多复变课程主要是在经典多复变与现代多复变两个方面加以介绍。前者是单复变理论的高维复空间推广理论：高维复空间中的代数域及其上的多复变函数论，而后者是复流形上的相应函数论理论。多复变课程难度更大，因而学生队伍一般较小。多复变函数论作为单复变函数论的推广理论，也同样面对继承与发扬的根本性问题。 多复变有别于单复变的两个基本定理是 " 不存在双全纯映射将高维复空间中的单位超球映为同一空间中的多圆柱体 " 的 Poincaré 定理 ，以及 " 高维复空间中存在如此的区域使得在此区域上的全纯函数一定可以全纯延拓到更大的区域之上 " 的 Hartoge 定理 。 Poincaré 定理表明在维数大于或等于 2 时单复变的 Riemann 映射定理不再成立。 Hartoge 定理产生了高维复空间中函数论研究的合适区域判别问题。 复流形上的函数论、上同调、微分形式、 Cauvhy 积分以及 Dolbeault 和 de Rham 的基本定理等内容是现代多复变的核心内容之一。 我国数学家在单复变与多复变领域都取得了世界先进水平的研究成果。例如，我国熊庆来学派的数学家在单复变亚纯函数的值分布论领域做出了世界级的研究成果。华罗庚学派的数学家在多复变函数论中典型域上的调和分析、典型域、典型流形、积分表示与边值问题、 Schwarz 引理、拟凸域等诸多方向都取得了世界领先成果。 Fields 奖与 Wolf 奖获得者中的著名数学家 L.V. Ahlfors ， L.Carleon ， H.Cartan ， KodairaKunihiko ， J.P. Serre ， C.L. Siege ， S.K. Smirnov 等都在复分析领域取得了杰出成就。 关于复分析的入门数学著作推荐如下： （ 1 ） W. Rudin, Real and ComplexAnalysis,1966 。 （ 2 ） H.Grauer, K. Fritzsche, Several Complex Variables,1976 。 （ 3 ） L. V.Ahlfors, Complex Analysis, 1979 。 （ 4 ）龚 昇 , 简明复分析， 1996 。 （ 5 ）李 忠，复分析导引， 2004 。 (四) 随机分析 随机分析是概率论分析数学深入发展的现代数学分支。在随机过程理 论基石的基础上，渗透拓扑、代数、几何、分析等核心数学的思想方法，交融于实际与应用问题的背景之下， 随机分析已然成为当今世界主流数学分支俱乐部的重要成员。 我国数学家的随机分析水平已经步入世界先进行列，在国际数学家大会上已经应邀做一小时报告和四十五分钟报告。我国的随机数学研究队伍也以中国科学院和一些著名大学的随机数学学派驰名于世界。 随机数学的两个基本细胞应该是测度论与随机性。 随机性是自然界中普遍存在的客观现象，测度论是分析数学的重要数学结构。用数学模型的观点看世界是数学家博大奉献胸怀的基本写照，如随机数学的应用内涵所在一样。仅从数学角度看随机数学，那么真的不必非要提及随机二字，只要研究测度论的发展就可以了。全有限测度空间上的微积分理论，或者分析理论，其实就是随机分析学者的日常工作。当然，以两种不同的观点来看待测度论意义下的可测函数族，在思想方法上会对两种不同的研究发展带来本质的区别。例如，把可测函数族视为随机变量族的随机过程的轨道空间思想，对随机数学的发展是至关重要的。 常微分方程模型刻画的光滑向量场轨道与随机（常）微分方程模型刻画的随机次光滑轨道对实际问题的接近度往往是后者更佳。于是， 随机微分和随机积分的概念就是最为关键的学科创建因素了 。 Wolf 奖获得者 K. Ito 对布朗运动定义的随机积分概念，以及随之发现的 Ito 积分公式，使得随机分析成为分析数学文库中的美丽诗篇。布朗运动样本轨道函数的连续，但几乎处处非有界变差和处处不可微的性质使得通常的 Riemann-Stieltjes 积分和 Lebesgue-Stieltjes 积分按样本轨道函数无法定义，因为 Riemann-Stieltjes 积分定义中的 Darboux 和不以概率 1 收敛。但是，前述 Darboux 和可以在均方意义下收敛。也正是这一点激发了 Ito 积分的创建灵感和确立了 Ito 积分的独立地位。注意到随机过程的样本轨道的不光滑特点，后继的很多随机数学分支，如随机微分几何等都由此得到了数学的独立地位。 本科阶段的随机分析课程多数是以随机微分方程课程的形式出现的，并且主要讲授 Brown 运动和白噪声的基本性质，随机积分与 Ito 公式，随机微分方程的可解性等基本内容。对不同类型的随机过程可以在适当意义下定义相应的随机积分的事实也常常加以简述。 研究生阶段的随机分析课程是可以 " 天高任鸟飞，海阔凭鱼跃 " 的。倒向随机微分方程，狄氏型理论，大偏差理论，无穷维随机分析，拟似然分析，自由概率论，随机偏微分方程，随机动力系统，随机微分几何等等都是研究生随机分析课程的有益食材。当然，这一阶段的随机分析已经步入综合核心数学的家园，已经不是只了解与掌握测度论就行那样简单的事情了。 数学的真正魅力所在，其实就是大一统的数学价值观，随机分析的高深境界也不例外。 关于随机分析的数学著作推荐如下： （1）A. Friedman, Stochastic DifferentialEquations and Applications, Vol.1,1975。 （2）A. Friedman, Stochastic DifferentialEquations and Applications, Vol.2,1976。 （3）I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian Motionand Stochastic Calculus, 1991。 （ 4 ） P.Malliavin, Stochastic Analysis, 1997 。 （ 5 ）黄志远，随机分析学基础（第二版），科学出版社， 2001 。 (五) 偏微分方程 偏微分方程可以顾名思义地理解为含有未知函数及其若干偏导数的数量关系式。未知函数就是人类对神秘未知的自然界现象的目标数学模型函数。导数就是目标函数随着时间变化的变化快慢程度。偏导数就是自然界中影响因素的多元化而导致的对其中的部分因素的变化率刻画。从因果关系出发，偏微分方程可以被认为是自然界一切因果现象的数学模型，于是乎其数学之外的应用价值的巨大程度是可想而知的。 偏微分方程在数学王国内的地位也是富贵有加的。美国麻州的 Clay 数学研究所于 2000 年 5 月 24 日在巴黎法兰西学院宣布了一件轰动媒体的大事：对以下七个 " 千年数学难题 " 的每一个悬赏一百万美元寻求解答： NP 完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨 - 米尔斯理论、 Navier–Stokes 方程、 BSD 猜想。 这七个世界级的数学难题中，至少有两个半问题是与偏微分方程有关的。 此外，中国科学院数学物理学部的所有院士中，至少有四分之三的院士熟悉偏微分方程，而且所有数学院士中有近一半院士的数学研究工作与偏微分方程有关。 偏微分方程的吸引力之所以如此之大，其中一个主要的原因就是 偏微分方程的理论价值与应用价值皆为 " 无穷大 " 。 如果把整个数学比喻为宇宙，地球被比喻为数学外的应用领域和数学内的分析数学，地球外（包括大气层）的宇宙部分被比喻为核心数学，那么偏微分方程就是可以自由往返于地球和外部空间的 " 空天航天器 " 。千年数学难题中的庞加莱猜想最近已经被解决，而这一看似与偏微分方程知识无关的拓扑问题却被借用偏微分方程的理论和思想方法所解决。从硬分析到软分析，再到现代分析，甚至是其它核心数学领域，偏微分方程的身影几乎处处存在。 我国数学家的偏微分方程研究水平已经达到世界级水平，以中国科学院和一些著名大学的偏微分方程学派为主的科研成果早已在世界一流数学杂志上频频出现，并且中国偏微分方程团队与世界级的众多国际偏微分方程团队的学术交流与影响已经处于互利双赢的境界。 偏微分方程可以分为线性与非线性的，也可以分为一阶方程，二阶方程和高阶方程，或者椭圆型、抛物型、双曲型等等。每一种情形都有庞大的理论体系和研究成果。与常微分方程不同，绝大多数的偏微分方程不能求出通解或解的解析表达式，甚至是线性方程也可以没有解。同时物理与工程技术的问题也需要把方程与定解条件（初值条件、边界条件等）来一起考虑。所以， 定解问题是偏微分方程的主要研究对象， 当然极少数的非线性偏微分方程也还是有精确解的表达式的。 大学本科阶段的偏微分方程课程主要讲授线性的一阶方程和二阶方程，特别是相应方程定解问题的适定性：解的存在性、唯一性与稳定性，其中存在性部分多数限于具体的解法。研究生阶段的偏微分方程课程主要研究解的定性理论和不同意义下解的适定性问题。首选的讲授内容就是广义函数、 Sobolev 空间、泛函分析高级课程和偏微分方程的现代方法。 偏微分方程领域有四大法宝：微局部分析理论、先验估计技术、调和分析方法与弱收敛方法。 微局部分析理论起源于一般线性偏微分方程的研究，善用诸如广义函数的波前集，拟微分算子， Fourier 积分算子，仿微分算子、超函数等一些现代分析数学工具。在非线性偏微分方程的最新研究中，也已经发现了微局部分析的应用。先验估计是假设解存在的前提下所建立的解的有效信息估计，其主要在解决解的存在性问题时至关重要，特别是对非线性偏微分方程的研究更加弥足珍贵。最为有名的先验估计当属二阶椭圆型与抛物型方程的 Schauder 估计、 - 估计， DeGeorgi-Nash 估计，与 Krylov-Safanov 估计等。对于一般的非线性偏微分方程而言，对解本身及其各阶导数的可能范数模估计是非常本质性的可解性因素。调和分析方法与弱收敛方法在一些著名偏微分方程的研究中已经显示了勃勃生机。 Fields 奖与 Wolf 奖获得者中的著名数学家 J.Bourgain ， DeGiorgi ， L.V.H?rmander ， P.D. Lax ， J.Leray ， H.Lewy ， P.L. Lions ， T.Tao ， C.Villani 等对偏微分方程的研究都做出了杰出贡献。 关于偏微分方程的数学著作推荐如下： (1) A. Friedman, PartialDifferential Equations, 1969。 (2) J. Smoller, Shock Waves andReaction –Diffusion Equations, 1983。 (3) L.C.Evans, Weak ConvergenceMethods for Nonlinear Partial Differential Equations, 1990。 (4) M. Taylor, PartialDifferential Equations, Vol. 1-3, 1996。 (5) L.C. Evans, PartialDifferential Equations, 1998。 (6) 苗长兴、张 波，偏微分方程的调和分析方法，2008。 (六) 大范围分析 数学分析、高等代数与空间解析几何被视为现代数学基础的 " 第一高 " ，而泛函分析、一般拓扑和抽象代数被认为是 "第二高" 。现代数学基础的 "第三高" 就是微分流形。作为现代核心数学大家园之一的 大范围分析学 （也称为流形上的分析）就是在这"第三高"的基础上，融合拓扑、代数与几何的思想方法而形成的高级分析数学领域。 微分流形是一个具有 " 微积分结构 " 的 Hausdorff 拓扑空间，其包含了 " 第一高 " 中通常的规范曲线、曲面和区域等几何对象为特殊例子。微分流形就是为了微积分而生的说法并不过分。在微分流形的舞台上，可以考虑拓扑问题（微分拓扑），几何问题（微分几何）和分析问题（大范围分析），并自由与充分地运用代数、几何、拓扑和分析的方法与理论来研究相应的深刻数学问题。假设武术 " 奥妙同构 " 于数学，并且武术的 " 第一高 " ， " 第二高 " 和 " 第三高 " 分别是 " 地上的腾、挪、跳、跃 " ， " 梅花桩上的腾、挪、跳、跃 " 和 " 空中的腾、挪、跳、跃 " ，那么微分流形上的现代数学理论就相当于武术的 " 第三高 " 。由此可以看出，大范围分析学在现代核心数学中的基本重要性了。 大范围分析学课程主要讲授流形与流形间的映射、流形的嵌入与浸入性质、临界值与横截性、 Sard 定理、切丛与向量丛、流形上的微积分、流形上的微分算子、无穷维流形、 Morse 理论及应用、 Lie 群、动力系统、奇点理论与几何分析等重要内容。应该说明的一点就是代数拓扑知识对学习大范围分析学的重要意义。 北京大学非线性分析学派的数学家在无穷维 Morse 理论及应用方面取得了世界先进水平的重要研究成果。 下面关于动力系统和几何分析两个方向进行简要介绍。 动力系统起源于经典力学的数学模型。经过常微分方程和偏微分方程分别刻画的有限维与无限维系统的演化，再到抽象的拓扑动力系统和随机动力系统，动力系统已经在现代核心数学领域确定了应有的重要地位。非线性泛函分析中的非线性半群概念就是一个动力系统概念。代数运算的半群性质是刻画动力系统的主要数学结构。 动力系统作为抽象系统的定性研究，其主要特征是包含拓扑式，或遍历式的整体性研究。 哈密尔顿系统的微扰理论、 Kolmogorov 系统的遍历理论以及 KAM 定理等等都是动力系统理论中的亮点性结果。 J.H. Poincaré 开创的常微分方程定性理论，诸如稳定性、轨道周期性与回归性等研究方法是动力系统学科研究的思想方法基础。基于 G.D.Birkhoff 三体问题遍历性定理的研究，而最终发现的描述哈密尔顿系统解的稳定性的 KAM 理论是动力系统理论的里程碑式的工作之一。在无穷维的偏微分方程系统中， KAM 理论也得到了深入研究。 在通常的动力系统课程中，主要讲授以下一些基本内容：非线性微分方程系统的混沌吸引子、映射迭代与不变集、分形、拓扑动力系统，结构稳定性， Hartman 定理，稳定流形定理，双曲集， Markov 分割等。 我国北京大学动力系统学派，以及其它一些著名大学与研究机构的数学家在动力系统领域取得了具有世界水平的开创性工作。 Fields 奖与 Wolf 奖获得者中的 V. I.Arnold ， A.N. Kolmogorov ， ElonLindenstrauss ， C.T. Mcmullen ， J.K. Moser ， S.P. Novikov ， Y.Sinai ， J.C. Yoccoz 等著名数学家在动力系统领域做出了巨大贡献。 几何分析是大范围分析的重要分支 ，以几何问题的分析方法与分析问题的几何背景之交融研究而著称于数学界。特别是几何分析领域的一系列辉煌成就使得几何分析拥有了已经独立于大范围分析的特殊学术地位。世界著名华裔数学家、 Fields 奖及 Wolf 奖获得者丘成桐教授的研究工作奠定了几何分析的根基性学术地位，而且为偏微分方程方法应用于拓扑与几何的世界级猜想问题的解决开辟了先河。 " 千年数学难题 " 百万美元征解七大问题之一的 庞加莱猜想的解决就归功于几何分析的无限力量。 庞加莱猜想是法国数学家庞加莱于二十世纪初提出的著名拓扑学问题：如果一个封闭空间中所有的封闭曲线都可以收缩成一点，那么这个封闭空间一定是一个三维的圆球。鉴于俄罗斯数学家佩雷尔曼对解决庞加莱猜想的巨大贡献， 2006 年国际数学家大会把数学最高奖 Fields 奖授予了佩雷尔曼，但是却遭遇了拒绝接受的尴尬状况。 在近百年的拓扑学方法无望于解决三维庞加莱猜想之际，Fields奖获得者瑟斯顿（Thurston）当时引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，使得庞加莱猜想的解决出现了希望的曙光。后来美国数学家理查德•汉密尔顿，受到丘成桐用非线性偏微分方程方法解决卡拉比猜想工作的启发，运用以意大利数学家里奇（Gregorio Ricci）命名的Ricci流方程，对三维流形进行构造几何结构的拓扑手术，使得解决三维庞加莱猜想的进程更加本质性地迈进。 在接近解决庞加莱猜想的近距离时刻，Ricci流进行空间变换时出现的奇点这一解决庞加莱猜想的重大障碍出现了。在关键时刻，俄罗斯数学家佩雷尔曼凌空出世，以八年独门功力，用三篇非正式期刊论文的方式，一举撼动百年难题庞加莱猜想，随之世界一流的相关数学家"众人捧材"，以至于彻底宣布庞加莱猜想被正式解决。显而易见，解决百年难题庞加莱猜想的科学意义是无比重大的。几何分析方法也由此无比荣耀。 中国几何分析数学家们的研究工作和研究队伍都在国际同行中产生了积极影响。 关于大范围分析的数学著作推荐如下： (1) D. W. Kahn, Introduction toGlobal Analysis, 1980。 (2) 张锦炎、钱 敏，微分动力系统导引，1991。 (3) R.Clark Robinson, AnIntroduction to Dynamical System:Continuous and Discrete, 2004。 (4) R.Schoen and S.-T. Yau,Lectures on Differential Geometry, 1994。 (5) D. W. Stroock, AnIntroduction to the Analysis of Paths on a Riemannian Manifo - END - ld, 2000。
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hylpy1 2016-10-20 23:11
Avner Friedman ，美国 Ohio State University 讲座教授、美国科学院院士、国家艺术与科学学院院士。曾任美国明尼苏达大学数学及其应用研究所所长（ 1987- 1999 年），明尼苏达州工业数学中心主任（ 1994- 2001 年），数学生物科学研究所主任（ 2002 年– 2008 年），数学科学委员会主席（ 1994-1997 年）和工业与应用数学学会主席（ 1993-1994 年）。曾获 Sloan Fellowship, GuggenheimFellowship, Stampacchia Prize 奖（ 1982 年）、美国国科学基金会特别创意奖 Avner Friedman，美国Ohio State University 讲座教授、美国科学院院士、国家艺术与科学学院院士。曾任美国明尼苏达大学数学及其应用研究所所长（1987- 1999年），明尼苏达州工业数学中心主任（1994- 2001年），数学生物科学研究所主任（2002年–2008年），数学科学委员会主席（1994-1997年）和工业与应用数学学会主席（1993-1994年）。曾获Sloan Fellowship, Guggenheim Fellowship, Stampacchia Prize 奖（1982年）、美国国科学基金会特别创意奖等 对数学未来的思考 -AvnerFriedman 我们依然站在不断扩展的地平线的门口 让我们想象一下：Archimedes(公元前287-前212年)这位在所有时代都是最卓越数学家之一的他正在提问：对于数学的未来，你们看到了什么？ 这位古代数学家刚刚计算了球的表面积与体积，或者一段抛物弓形的面积，伸了伸懒腰，坐在位于西西里东海岸他家乡叙古拉的沙滩上，凝视着天边。 他感到困惑：在数学上，他或者其他任何人还能再做点别的什么？他的最大雄心之一是要计算任意几何体的体积和表面积；然而他还不知道该怎么下手。他使用的工具是纯粹几何的，基于希腊数学家们的数百年的研究并在他出身的数十年前由Euclid编写在他的名著《原本》中的那些知识。 鉴于数学工具的十分缺乏，局限了Archimedes的视野。他得不出分数相加、相乘的快捷方法。为此，人们得花上千年时间等待十进制由印度和阿拉伯传到欧洲并使其发展。十进制的引进所带来的符号简化在其力所能及的范围是革命性的。将Archimedes留在叙拉古的沙滩上，让他去思考数学的未来还有些什么吧，现在我们去造访IssacNewton爵士（1642-1727）。 23 岁时，当时刚取得剑桥大学学士学位， Newton 便被迫回家度过了 18 个月光阴，因为那时正值大瘟疫，使大学关了门。在这短短的时间里， Newton 有了许多基本的发现，数学上他发现了二项式定理及微积分的初期形式，在物理上则发现了白光的组成及万有引力定律，现在我们去会一会年事已高的 Newton 并问一问他那个同样对 Archimedes 提出的问题 ：什么是数学的未来？ 他可能会很快回应道，简单的回答是，继续建造微积分，借助于微积分， Newton 可以把任何几何形状的体积和表面积用积分来表示，并能计算到任意精确度，这 Archimedes 是所不能想象的 ,Newton 思考着这样的事实，即用万有引力定律和他自己的力学三基本定律（他会说 ' 我的定律 ' ），他能够以解微分方程的办法来算出运动物体的轨迹，而这些方程表现了力的平衡，那么，他自问道 ' 我们能用微分方程去描述其他的自然法则，从而能以发展解出这些方程的工具的方法来预言自然的进程吗？ ' 但即便是 Newton 的视野也不可避免地有所局限。从这时起到 Gauss （ 1777-1885 ）在数论中的基本发展花去了一百年，而到发展微几何的复杂性和 Riemann 流形则又多花了五十年。当我们离现代越近则未来便越容易预测了， DavidHilbert （ 1862-1943 ）是一位对数学的几乎每一个领域都有本质性的贡献的人。他在巴黎召开的国际数学家大会（ 1900 ）上列出一系列著名的数学问题，在这整个 20 世纪对各个数学领域有着极大的影响，比如在数论、集合论、几何、拓扑论及偏微分方程中。在最近的五十年中，我们亲自体察了在数学的许多领域中的巨大进展。 在我所从事的偏微分方程（ PED ）这一领域中，我们现在有了一个巨大的知识主体，使我们能够去理解，预测并计算许多重要的物理和技术过程。例如，当我们测量一个固体的表面温度，我们就可通过解称之为 ' 热传导方程 ' 的偏微方程去推导出物体内部的温度，如果从外部加热一个冰块，它开始融化，我们在微分方程方面的知识使我们可以断定融化了的体积是怎样变化的，以及在融化了的体积中的水温。 ' 梁杆方程 ' 同样能预言当承受压缩力时一个弹性梁是如何变化。当加在梁上的压力超过一个临界值时，它就会突然翘曲，形变为许多状态中的一种。这种情形解释了微分方程解的多重性。 不管我们在微分方程方面的知识有多么丰富，仍然有许多东西我们不知道。举例来说，我们不知道气体动力方程是否有一个数学解，这个方程是用来确定飞机周围和发动机内的气流的。我们没有合适的知识来处理预测水的运动方程的解，从而我们对海洋的涡流缺乏了解，这些及其他许多的基本问题仍然期待得到数学的解答，在未来十年中它们仍是深入研究的主题。数学的其他领域无疑也处在同样的不确定状态：虽然取得巨大进展，依然有许多基本问题没有解决。相对于早先的世纪而言我们处在一个充满冒险和刺激的地位：我们已经发展了许多重要的研究领域，已经有了许多强有力的计算和理论的工具。 数学家们在未来许多年里可以继续忙于用现在的工具去寻找新方法，用来解决在数学和非数学（即科学和工程）领域中出现的问题。然而数学史表明，由现在去预言长远未来的发现是多么徒劳。的确如此，在今天难以想象的数学的新领域，会完全料想不出地冒出来。因此我不去预测下个世纪数学的未来而在这里举出科技中三个关键领域的例子，在那里数学是以诚相待非常重要的成份出现的。这三个领域是材料科学，生命科学和数码技术。 材料科学中的数学 材料科学所关心的是性质和使用。目的是合成及制造新材料，了解并预言材料的性质以及在一定时间段内控制和改进这些性质。 不久以前，材料科学还主要是在冶金，制陶和塑料业中的经验性研讨，今天却是个大大增长的知识主体，它基于物理科学，工程及数学。所有材料的性质最终取决于它们的原子及其组合成的分子结构。 例如，聚合体是由简单分子组合成的物质，而这些分子是些重复的结构单元，称之为单体。单个的聚合体分子可以由数百至百万个单体构成并具有一个线性的，分枝或者网络的结构。聚合体的材料可以是液态也可以是固态，其性质取决于加工它的方式（譬如，先加热，逐渐冷却，高压）。 聚合体的交错缠绕的排列提出了一个 困难 的建模问题。 但是，在一些领域中数学模型已经表现得相当可靠，这些模型非常复杂，故而迄今只取得很少几个结果，它们对聚合体加工可能有用，聚合体的较简单但却更表象的模型是基于连续介质力学，但附加了要记忆的一些条件。对材料科学家来说，解的稳定性与奇点是重要的结果，但甚至对于这些较简单的模型仍缺少数学。 复合材料的研究 是另一个运用数学研究的领域，如果我们在一种材料颗粒中搀入另一种材料，得到一种复合材料而其显示的性质可能根本不同于组成它的那些材料，例如汽车公司将铝与硅碳粒子相混合以得到重量轻的钢的替代物。带有磁性粒子充电粒子的气流能提高汽车的制动气流和防撞装置的效果。 最近十年来，数学家们在泛函分析， PDE 及数值分析中发展了 新的工具 ，使他们 能够 估计 或计算混合物的有效性质 。但是新复合物的数目不断增长，同时新的材料也不断被开发出来，迄今所取得的数学成就只能看作一个相当不错的开始。甚至对已经研究了好些年的标准材料仍面临着大量的数学挑战。例如，当一个均匀的弹性体在承受高压时会破裂。破裂是从何处又是怎样开始的，它们是怎样扩展的，何时它们分裂成许多裂片，这些都是有待研究的问题。 生物学中的数学 在生物学和医药科学中也出现了数学模型。炒得很热的 基因方案 的一些重要方面需要 统计，模型识别以及大范围优化法。 虽不太热却是长期挑战的是生物学其他领域中的进展，比如在生理学方面，拿肾脏作个例子吧，肾的功能是以保持危险物质 ( 如盐 ) 浓度的理想水平来规范血液的组成。如果一个人摄入了过多的盐，肾就必须排出盐浓度高于血液中所含浓度的尿液。在肾的四周上有上百万个小管，称作肾单位，负有从血液中吸收盐份转入肾中的职责，他们是通过与血管接触的一种传输过程来完成的，在这个过程中渗透压力过滤起了作用。 生物学家已把这过程涉及到的物质与人体组织视为一体了，但过程的精确过程却还只是勉强弄明白了。肾脏的运作过程的一个 初级数学模型 ，虽然简单，却已经帮助说明了尿的形成以及肾脏做出的抉择，比如是排出一大泡稀释的尿还是一小泡浓缩的尿。然而我们仅仅是在了解这种机理的非常初级的阶段。 一个更加完全的模型可能会包含 PDE 、随机方程、流体力学、弹性力学、滤波论及控制论 ，或许还有一些我们尚不具备的工具。心脏力学、钙（骨）力学、听觉过程、细胞的附着与游离（对生物过程是非常重要的，如发炎与伤口愈合）以及生物流体（ biofluids ）是生理学中其他一些学科，在那里现代数学研究已经取得了一些成就；更多的成就会随后而至。 数学将要取得重要进展的其他领域 ，包括有一般性的生长过程和特殊的胚胎学、细胞染色、免疫学、反复出现的传染病，还有环保项目如植物中的大范围现象及动物群体性的建模。当然我们决不能忘记还有人类的大脑，自然界最棒的计算机，还有它所具有的感觉神经元、动作神经元以及感情和梦想！ 多媒体中的数学 大约五十年前建成了第一台计算机，从而开始了一场可从表面上看 1760 年到 1840 年发生在英国的产业革命相匹比的计算机革命。我们现在亲自证实了这场计算机革命的完全冲击：在商业、制造业、保健机构及工程业，与计算和通讯技术的进步相配的是数字信息的萌芽状态，它已为多媒体铺出了一条路，其产品包括了文字图像、电影、录像、音乐、照像、绘画、卡通、数据、游戏及多媒体软件，所有这些都由一个单独站址发送。 多媒体的数学包括了一个大范围的研究领域，它包含有计算机可视化，图像处理，语音识别及语言理解、计算机辅助设计和新型网络。 这些会有广泛的应用，应用于 制造业、商业、银行业、医疗诊断、信息及可视化，还有娱乐业 ， 这 只点出了几个而已。 多媒体中的数学工具 可能包括随机过程、 Marko 场、统计模型、决策论、 PDE 、数值分析、图论、图表算法、图象分析及小波等。还有其他一些领域中的一些，目前似乎还处在某种程度的监护下，如人造生命和虚拟世界。 计算机辅助设计 正在成为许多工业部门的强大工具：完全在计算机上设计，在键盘上一敲后产品便在远处的工厂里实现了。这种技术能成为数学家进行研究的工具吗？ 万维网已经成为多媒体最强劲的动力。它未来的辉煌取决于许多新的数学思想和算法的发展，目前仍处在孩提时期。随着多媒体技术的扩展，对于保护私人数据的通讯文本的需要也与日俱增。发展一个更加 安全的密码系统 就是数学家们的任务了。为此，他们必定要借助于在数论、离散数学、代数几何及动力系统方面的新进展，当然还有其他一些领域。在物质的与生命的科学和在技术的发展中，数学继续起着与日俱增的重要作用。 正如 Archimedes 站在叙拉古的海滩上一样，这里我们正站在一个新世纪和一个新千年的门槛上。我们只能推测，新的理论最终会解决一切向数学挑战的问题，无论它是来自我们生活的世界还是来自数学本身。在过去的几个世纪里我们获得了惊人的大量知识，但正如 Archimedes 和 Newton 一样， 我们依然在不断扩展的数学地平线的门口。 转自 http://mp.aiweibang.com/m/u/13242/a?cid=0 链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-952393.html
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hylpy1 2016-10-20 23:07
欲高门第须为善，要好儿孙必读书 1《数学女孩》 书名： 《数学女孩》 作者： 结城浩 译者： 朱一飞 内容简介： 本书以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探寻数学中的美。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的初等数学科普书”。内容涉及数列和数学模型、斐波那契数列、卷积、调和数、泰勒展开、巴塞尔问题、分拆数等，非常适合对数学感兴趣的初高中生以及成人阅读。 编辑推荐： 日本数学会权威推荐 绝赞的数学科普书 原版全系列累计销量突破27万册！ 日本数学会出版奖得主结城浩畅销力作 在动人的故事中走近数学，在青春的浪漫中理解数学 作者简介： 结城浩，日本资深技术作家和程序员。二十年来笔耕不辍，在编程语言、设计模式、数学、密码技术等领域，编写著作三十余本。代表作有《数学女孩》系列、《程序员的数学》等。作者主页： http://www.hyuki.com/ 2《数学女孩2：费马大定理》 书名： 《数学女孩2：费马大定理》 作者： 结城浩 译者： 丁灵 内容简介： 《数学女孩》系列以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探寻数学中的美。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的数学科普书”。《数学女孩2：费马大定理》有许多巧思。每一章针对不同议题进行解说，再于最后一章切入正题——费马大定理。作者巧妙地以每一章的概念作为拼图，拼出被称为“世纪谜题”的费马大定理的大概证明。整本书一气呵成，非常适合对数学感兴趣的初高中生以及成人阅读。 编辑推荐： 数学女孩系列第二弹！日本数学会权威推荐 绝赞的数学科普书原版全系列累计销量突破27万册！日本数学会出版奖得主结城浩畅销力作在动人的故事中走近数学，在青春的浪漫中理解数学 作者简介： 结城浩，日本资深技术作家和程序员。二十年来笔耕不辍，在编程语言、设计模式、数学、密码技术等领域，编写著作三十余本。代表作有《数学女孩》系列、《程序员的数学》等。 作者主页： http://www.hyuki.com/ 3《度量：一首献给数学的情歌》 书名： 《度量 : 一首献给数学的情歌》 作者： 保罗·洛克哈特 译者： 王凌云 内容简介： 在2002年一篇曾引发数学界巨大反响的文章《一个数学家的叹息》中，保罗·洛克哈特猛烈抨击了美国中小学数学教育的现状：学生只是被要求记住公式，并在练习题中反复套用，而这一创造性过程应有的兴奋、喜悦乃至痛苦和挫败都不见了。在洛克哈特看来，数学是一门艺术，而老师教授数学的方法应该是，向学生诚实地传递自己对于这门学科的热爱，激发和激励他们与生俱来的好奇心，并帮助和引导他们实际投身到这段迷人的旅途中去。 编辑推荐： 这是一首献给数学的情歌，让你看一看过一种数学生活会是什么样子，也就是一个人将大部分的精力都用在思考想象的数学现实上。 这是一本关于数学的坦诚的、个人化的书，字里行间充满了作者思考的真正的书，向你展示数学家都在做什么，以及他们为什么要这么做。 这也是一个很好的几何学和微积分的替代教程，让数学不再令人望而却步，让你也重新爱上数学。 作者简介： 保罗·洛克哈特（Paul Lockhart），在大概十四岁时对数学产生兴趣（他特别指出，不是由于学校的数学课程），并开始大量的阅读。大学上了一个学期，他就退学，以专心研究数学，同时靠编程和当小学老师维生。后来他与加州大学洛杉矶分校的数学家恩斯特·施特劳斯（Ernst Strauss）合作，一同发表了多篇论文，并成为该校的研究生。1990年在哥伦比亚大学获得博士学位后，他先后在加州大学伯克利分校的数学科学研究中心（MSRI）和布朗大学任职，并在加州大学圣克鲁斯分校任教。他当时的主要研究方向是自守形式和丢番图几何。在高校教授数学多年后，他开始厌倦，决定回去教小孩子。他在2000年加入纽约的独立学校圣安妮学校（Saint Ann's School），并任教至今。 4《玩不够的数学 : 算术与几何的妙趣》 书名： 《玩不够的数学 : 算术与几何的妙趣》 作者： 让-保罗·德拉耶 译者： 路遥 内容简介： 本书揭开趣味游戏、艺术设计和日常生活中的数学密码，通过新颖话题和精美图示展现算术与几何中隐藏的妙趣，从最简单的数学原理走入算法的精彩世界，展现算法破解数学谜题的无穷威力。本书适合所有数学爱好者阅读。 编辑推荐： 看数学探索的新成果，诠释令数学家如痴如醉的精彩游戏。 看数学家如何一步步寻找答案、破解疑团，拓展数学思路，体验形象思维、逻辑思维的妙趣。 看算法如何破解百年谜题，突破人类计算与思维的疆界，展现人力所不能及的力量。 看数学在生活和艺术中的美妙之处。 作者简介： 让-保罗•德拉耶（Jean-Paul Delahaye），法国数学家和计算机科学家，数学科普作家，现任法国里尔科技大学计算机技术教授，法国国家科学研究院计算机基础科学实验室研究员，主要研究逻辑编程、偶然性和游戏的算法原理。 5《一个定理的诞生：我与菲尔茨奖的一千个日夜》 书名： 《一个定理的诞生：我与菲尔茨奖的一千个日夜》 作者： 赛德里克·维拉尼 绘画： 克劳德·龚达尔 译者： 马跃， 杨苑艺 内容简介： 2010年，法国青年数学家塞德里克·维拉尼凭借对非线性朗道阻尼的证明以及对玻尔兹曼方程收敛至平衡态的研究，一举摘得菲尔茨奖章。维拉尼将以日记形式再现这段研究生涯，揭示一个数学定理的诞生历程，描绘数学家和科研工作者的真实人生。 编辑推荐： 畅销世界的当代数学家传记 知名数学家塞德里克·维拉尼荣膺菲尔茨奖的精彩历程 真切感受数学研究生涯的艰辛与乐趣，了解数学家的日常工作与思维方式 讲述当今顶级数学和物理学界的逸闻趣事 作者简介： 塞德里克•维拉尼（Cédric Villani），法国数学家，现任法国庞加莱研究所所长，法兰西科学院院士，在数理物理学（朗道阻尼和玻尔兹曼方程）、最优输运理论和黎曼几何领域做出了重大贡献。2009年获得费马奖，2010年获得菲尔茨奖章。 6 《庞加莱猜想：追寻宇宙的形状》 书名： 《庞加莱猜想：追寻宇宙的形状》 作者： 春日真人 译者： 孙庆媛 内容简介： 1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了关于探寻宇宙形状的“庞加莱猜想”，自此后的100年间，不断有数学家向这个千禧难题发起挑战，最终庞加莱猜想被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼以令人惊叹的绝妙方法证明。然而这位神秘的天才数学家却拒绝了2006年菲尔兹奖…… 庞加莱猜想究竟是什么？宇宙的形状又如何？佩雷尔曼是如何证明庞加莱猜想的？ 本书为日本NHK特别节目制作组关于“庞加莱猜想”的专题纪录，将带领读者一起追寻宇宙的形状与神秘数学家的线索、谜题与真相。 编辑推荐： 第35届“日本赏”最优秀奖 PARISCIENCE 2008优秀奖获奖作品 日本NHK电视台特别纪录 全景再现世纪难题“庞加莱猜想”的“百年魔咒” 揭秘庞加莱猜想百年挑战历程记录追寻宇宙的形状与神秘数学家体验数学“妖物”般的魅力与神秘 作者简介： 春日真人， 生于1968年，日本东京大学力学系研究科理化学毕业。1993年加入日本NHK电视台，曾任职于长野放送局、节目制作部教养节目组、节目开发部等，现担任经济、社会情报节目导演、制作人。作品有《生命再临：生命科学家柳泽桂子》《认识父母》《流产婴儿去向的冲击》《论文捏造：梦幻医疗为何崩溃》等，主要制作前沿医疗与生命伦理类节目。 7《数学思维导论：学会像数学家一样思考》 书名： 《数学思维导论：学会像数学家一样思考》 作者： 基思·德夫林 译者： 林恩 内容简介： 许多大学新生都曾在从中学数学到大学数学的过渡过程中遇到过困难。他们突然发现自己要面对的似乎是一种全新的数学，被要求学会用一种不同于往的方式思考。同时，各行各业的从业者也越来越深刻地意识到，现如今，优秀的分析思维能力比以往任何时候都更加重要，而具备“数学思维技能”的人会在竞争中占据巨大优势。本书正是这样一本写给高中生、大学生以及所有希望提高分析思维能力者的数学思维入门书。它将教你学会像数学家一样思考，顺利完成从中学数学到大学数学的过渡，或者让你掌握在各行各业获得成功必备的关键性思维能力。阅读本书只需高中程度的数学。同时，本书也是Coursera热门课程《数学思维导论》的配套教科书，结合线上课程，必能获得更好的学习效果。 编辑推荐： 写给高中生、大学生以及所有希望提高分析思维能力者的数学思维入门书 大师教你学会像数学家一样思考，顺利完成从中学数学到大学数学的过渡，或者让你掌握在各行各业获得成功必备的关键性思维能力 Coursera热门课程《数学思维导论》配套教科书，结合线上课程，必能获得更好的学习效果 作者简介： 基思·德夫林（Keith Devlin）1947年出生于英国赫尔市，1972年在布里斯托尔大学获得数学博士学位，1987年移居美国，拥有英国和美国双重国籍。他现为斯坦福大学人类–科学与技术高等研究院（H-STAR）联合创始人和执行主任、斯坦福大学Media X研究网络联合创始人和执行委员会委员、斯坦福大学语言与信息研究中心（CSLI）高级研究员。目前的研究主要关注于，运用不同的媒介向各种受众传授和传播数学。为此，他还创办了一家制作数学学习视频游戏的公司BrainQuake。除了大量论文、专著和教科书，他还写作了十多部普及性读物，包括《数学：新的黄金时代》《笛卡儿，拜拜！》《数字缉凶》《数学犹聊天》《数学的语言》《千年难题》《数学天赋》《数字人：斐波那契的兔子》等。他还长期为美国数学学会撰写专栏“德夫林的视角”（Devlin's Angle），并在Coursera上开辟了热门课程《数学思维导论》。 8《数学与生活： 修订版》 书名： 《数学与生活： 修订版》 作者： [日］ 远山启 译者： 吕砚山，李诵雪，马杰，莫德举 内容简介： 数学是高等智慧生物的共有思维，是对真理的探索，对矛盾的怀疑，但它绝非一门晦涩难懂的学问，非应试目的的数学是纯粹而朴实的智慧。《数学与生活》为日本数学教育改革之作，旨在还原被考试扭曲的数学，为读者呈现数学的真正容颜，消除应试教学模式带来的数学恐惧感。 本书既包含了初等数学的基础内容，又包含了微分、积分、微分方程、费马定理、欧拉公式等高等数学的内容。作者运用了多个学科的知识。结合日常生活和东西方各国脍炙人口的故事，用通俗易懂的语言，将数学知识和原理一一呈现，犹如一本有趣的故事集。读者从中不但了解了数学的风貌，而且也能懂得数学与日常生活的密切联系，及其与物理学、化学、天文地理乃至音乐、美术等学科的关联。愿读者凭借此书发现数学的本原之美，发现美的本原源于数学。 编辑推荐： 日本数学教育议会创立者 远山启 理念实践之作 跨越学科边界 突破文理之限 以平衡视角探寻人类最质朴的智慧 通俗讲解 还原数学纯粹容颜 生活故事 诠释小学至大学数学原理与精髓 人性思维 消解“应试数学”带来的数学恐惧感 作者简介： 远山启（1909－1979） ，1938年日本东北大学理学部代数学专业毕业。日本当代著名数学教育家，日本数学教育议会创办人、初代委员长，倡导改革传统的应试数学教育方式，创立“水管式教学法”“磁砖指导法”等新式的数学教学方法。他在学术方面造诣很深，著述颇丰。如《无限与连续》《现代数学对话》《函数论》等。 链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-952565.html
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hylpy1 2016-10-3 20:07
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Mathematics of Computation http://www.ams.org/mcom 发表计算数学、解析数学、数字分析、数学理论以及代数等方面的文章. 含文章目录及摘要. Proceedings http://www.ams.org/proc 发表纯理论和应用数学方面的文章.含文章目录及摘要. Representation Theory http://www.ams.org/ert 对进行数学理研究很有帮助，含文章摘要. Transaction http://www.ams.org/tran/ 纯理论方面的长文章. 含文章摘要. Notices http://www.ams.org/notices 主要发表数学方面的短评.含文章全文. 美国数学联合会杂志 http://www.maa.org/pubs/journals.html 1、Monthly 月刊 http://www.maa.org/pubs/monthly.html 2、Mathematics Magazine 数学杂志 http://www.maa.org/pubs/mathmag.html 3、The College Mathematics Journal 数学校刊 http://www.maa.org/pubs/cmj.html 4、Communications in Visual Mathematics 可视数学杂志 http://www.maa.org/news/cvm.html 纽约数学杂志 (美国) http://nyjm.albany.edu:8000/nyjm.html 非线性科学的今天 (美国) http://www.springer-ny.com/nst The Electronic Journal of Combinatorics 组合学杂志 (美国) http://www.combinatorics.org 刊登有关组合学、图论、离散算法等论文。给出了所有文章的摘要及全文. 微分方程杂志 (美国) http://ejde.math.swt.edu 微分和积分方程最新的和高质量的研究成果。 数值学报 (英国) http://www.cup.cam.ac.uk/journals/jnlscat/anu/anu.html 92年至97年所有期刊的目录及文章摘要. 爱丁堡数学学会会报 (英国) http://www.oup.co.uk/edmath 数学杂志 (德国) http://www.emis.de/journals/BAG 刊登代数、几何、代 数几何学以及相关领域中的研究论文，提供在线阅读文章的摘要及全文. Picard 大学的数学杂志索引 http://picard.tnstate.edu/~library/journal...al/onjnmath.htm ----------------------------------------------------------------------------- 网站: sas http://text88.myrice.com/downloads/stata/ 联数工作室主页: http://unidata.51.net/ MATLAB大观园 - 首页: http://www.matlab-world.com/index.htm 统 计 软 件: http://text88.myrice.com/downloads/stata/ 中国化学软件网 http://www.echemsoft.com 国防科大数模资源 http://www.shumo.com/resource.asp ＳＡＳ软件爱好者天地 http://www.sasor.com/ http://gene.tmmu.com.cn/biosoft/content.html http://218.242.54.178 论坛: http://www.statforum.com/ http://zkong.luojia.net/CAE/forum/forumdis...62404d1d5af6d43 富有特色的数学网站大观 送交者: mathpp 2004年5月14日11:48:05 于 http://www.bbsland.com http://www.aw.com/ide/index.html http://math.vanderbilt.edu/mathserv/index.html 这是美国Vanderbilit大学数学系和商学院联合建立的一个网站。 http://mathgenealogy.mnsu.edu/ ArXiv 数学预印本网库 http://front.math.ucdavis.edu/ http://arxiv.org/ 数学搜索(澳大利亚悉尼大学数学学院) http://www.maths.usyd.edu.au:8000/MathSearch.html 数学世界 http://mathworld.wolfram.com/ http://www.ml.kva.se/ 和法国的高等科学研究?../www.ihes.fr/。 美国伯克利数学科学研究所( http://www.msri.org/ 。读者可以在这一网站上看到几乎所有近年来的数学演讲录像，还可以下载所有研究报告的预印本。 美国明尼苏达数学及其应用研究所( http://www.ima.umn.edu/ ，英国剑桥牛 顿数学科学研究所( http://www.newton.cam.ac.uk/ ，德国普朗克数学研究所来比锡分院 http://www.mis.mpg.de/ 科学研究所( http://www.fields.utoronto.ca/ ，加拿大太平洋数学研究所 http://www.p ims.math.ca/等等。 在北美地区最新的两个研究中心是美国洛杉玑加大纯粹和应用数学研究所( http://www.ip am.ucla.edu/和加拿大班夫国际数学变革和发现研究站( http://www.pims.math.ca/birs/ 。值得一提的是将于明年正式启 用的后者， 是一种新式的数学研究场所。这个研究站座落在风景 优美的加拿大班夫地区，将专门用做举办短期集中的数学研讨和教育。 亚洲各国的数学活动近年来也空前活跃。主要的数学中心有中国 科学院数学与系统科学研究院( http://www.amss.ac.cn/ ，JP京都数学科学 研究所( http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ ，中国台湾中央研究所数学研究所 ( http://www.math.sinica.edu.tw/ 和印度孟买塔塔基础科学研究院 ( http://www.tifr.res.in/ 等等。 http://www.claymath.org/ 。 ( http://www.claymath.org/Millennium_Prize_Problems/ 值得注意的是这七个问题并没有包括我国数学爱好者熟知的哥德巴赫猜想。我国数学家陈 景润，王元，潘承洞曾经在这一问题上做出了世界领先的结果，但是猜想仍然没有被最后 解决。事实上世界上对哥德巴赫猜想感兴趣的人还大有人在，与克雷问题几乎同时，英国 法布出版社也悬赏一百万美元给在两年内解决哥德巴赫猜想的人。 ( http://www.apostol osdoxiadis.com/million.htm 这个出版社似乎有些炒作嫌疑，而现在问题解决期限已过，因为没有人提出领赏，奖金大 概也就不了了之了。哥德巴赫猜想和相关的数论方面的猜想可以在这个网页 ( http://www.utm.edu/research/primes/notes/conjectures/ 找到。另一个 数论网页大全是 ( http://www.math.uga.edu/~ntheory/web.html 克雷研究所的问题在某种意义下模仿了1900年数学大师希尔伯特提出的二十三个问题。这 些问题至今仍然未被全部解决，问题们的现状和相关内容可以在以下网页找到： ( http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/ ( http://www.mathematik.uni-bielef ... lbert/problems.html 另外两本关于希尔伯特问题历史的专著也刚刚出版，详情请看出版社网页 ( http://www.akpeters.com/book.asp?BID=160 ( http://www.oup-usa.org/isbn/0198506511.html 科学搜索 ( http://www.scirus.com/ 美国数学会(AMS)是世界最大的国家数学会, 在它的网站上有一个比较好的会议信息时间表 . http://www.ams.org/mathcal/ 美国另外两个数学组织, 美国工业与应用数学协会 (SIAM) 和美国数学协会(MAA) 也各有介绍它们自己组织的会议的网页: http://www.siam.org/meetings/calendar.htm 和 http://www.maa.org/meetings/meetings.html. 欧洲数学会也有相应的网页: http://www.emis.de/conf/announce.html. 当然在这里可以找到更多欧洲的数学会议. 世界最大的数学国际会议:国际数学家大会(ICM)的信息可以在国际数学联盟(IMU)的网站找到: http://www.mathunion.org/ICM/index.html 由各个国家数学会组织的会议的信息往往可以在那个国家的数学会网站找到, 这里就不一一列举, 各个国家数学会的网站联接可以在这里找到: http://www.ams.org/mathweb/mi-sao.html 除了各个数学会提供的数学信息, 一些独立机构现在也在网上提供数学会议信息. 比较著名的要算加拿大的Atlas数学会议提要(AMCA): http://at.yorku.ca/amca/conferen.htm 德国的Oberwolfach数学研究所 ( http://www.mfo.de/ 是欧洲最重要的数学会议中心, 而北美洲今年也成立了加拿大班夫国际数学研究站 ( http://www.pims.math.ca/birs/. 这两大会议中心每年都有连续不断的小型会议和讨论班. 世界各大数学研究所也定期举办各类会议和特别学术年. 数学研究所,研究中心的网站可在这里找到: http://www.ams.org/mathweb/mi-inst.html 另外也可以参看本专栏2002年第二期的介绍. 最后值得一提的是我国国内的会议信息可以在中国数学会网站( http://www.amss.ac.cn/cms/
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分享 不确定性原理的前世今生 · 数学篇（一）~( 四 )
hylpy1 2016-9-18 09:42
http://songshuhui.net/archives/50111 http://songshuhui.net/archives/50165 http://songshuhui.net/archives/50364 http://songshuhui.net/archives/50550
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分享 [转载]数学中“几何”的译名是怎么来的？
hylpy1 2016-9-6 04:27
数学中“几何”的译名是怎么来的？ * 摘自《古算诗题探源（修订版）》，徐品方，徐伟著，科学出版社出版。 说起几何学，喜欢者对它丰满的内容魂牵梦绕。 几何学起源很早，据记载，约公元前320年，希腊科学史家欧德莫斯（Eudemus，约公元前4世纪）最早的著作《算术史》、《几何学史》等中说：几何学由埃及人开创，产生于土地测量，由于尼罗河泛滥冲毁地界，所以重新测量，划分土地的需要促进了几何学的产生。据说，更早时候，古希腊历史学家西罗多德（Herodotus，前482~前424）也有此说法。因此，“几何”一词来自希腊文“土地”和“测量”二字合成词，直接源于农业生产需要。 古代中国、埃及、古巴比伦、古希腊等地都是几何学重要发源地。 从埃及金字塔的建造来看，古埃及在四五千年前就已懂得不少几何知识。如圆面积计算法等。 古巴比伦人的泥板书中已有矩形、直角三角形以及柱体等的计算方法，并且最早发现勾股定理。 古印度人在公元前5世纪已知圆与一个特殊矩形面积相等。 欧几里得的《几何原本》是集希腊几何于大成者，建立了演绎科学，创立了严密的逻辑体系。此外，阿基米德《圆的度量》等，阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》等，成为几何学发展精品。 中国几何学起源也很早，如在黄河流域发掘出来的陶器上有各种几何图形。公元前4~前3世纪成书的《墨经》给出了一些几何名词定义和几何命题，《周髀算经》叙述了勾股定理和测量方法。东汉初年《九章算术》给出许多面积和体积的计算方法。据说古代把平面图形称为“田”，如正方形称为方田，矩形称为广田或直田，圆称为圆田等。 中国古代几何学称为“形学”。明朝科学家 徐光启 （1562~1633）与意大利传教士、科学家 利玛窦 共同翻译欧几里得《原本》一书时，当时译文不像今天这样，前有数学译名参考，时有现成译名借鉴，译者精通专业与外文。可是此书由利玛窦口授（他懂中文），徐光启笔录（他懂数学，不懂外文）。在译完付印前，徐、利二人共商书名译文。 徐光启（1562~1633） 我们知道，当时译本是根据生于意大利的德国数学家克拉维克（C.Clavins,1537~1612）的书译的，其书名是Euclid Elementorum Libri XV,1574(《欧几里得几何原本15卷本》)，其中“Elementorum”一词的意思是要素或元素。书名中没有“Geometriae”（几何）这个词，因此不是用这个词译出的，更不是"Geo"（几何）的译音。 那么，他们是怎样想出来在《原本》前加上“几何”二字呢？主要原因有二： 第一，徐、利的书名《几何原本》中的“几何”不是狭义的指“多少”的意思，而是泛指度量以及包括度量有关的内容。例如，卷一前面的译文说“凡历绘、地理、乐律、算章。技艺、工事，诸事，有度有数，皆依赖十府中几何府属。” “十府 ”是西方哲学家对自然界和人类社会所划的十个归属。显然，把“几何”划归为度量有关的数学。 又如：《原本》卷五第三界说：两几何相比谓之比例（今称为“比”）。又如第7题“两几何等，则与彼几何各为比例必等。”显然，这里的“几何”也不能用“多少”来解释，那么他们所谓的“几何”是什么呢？第三节明白地解释说：“两几何者，或两数，或两线，或两面，或两体。各以同类大小相比，谓之比例。”这里的“数”，仅限于当时的有理数（有公度比），而线、面、体等就是量，而不是数。显然，这里的“几何”就是量或度量（同类大小相比）。 所以，徐、利二人为了把量与数区分开来，在译文利用“几何”原来具有量的多少的含义，而取作量的译名。白尚恕认为译自Magnitudo（原意为量），当然用“量”作为书名不合适，他们恰当地先用了“几何”二字。 此外，徐、利在译本中已经在多处使用了“几何”一词，如卷五第三节等处。而“几何”译名也符合中国古算传统用语，如《九章算术》、《孙子算经》（5世纪）以及《数书九章》等古算书中的题问最末都是“……几何”，表示多少、大小、若干的意思。 第二，徐、利的“几何”译名，也源自对《原本》内容的正确认识。如徐光启的译本序中说：“《几何原本》者，度数之宗，所以穷方圆平直之情，尽规矩准绳之用也。”这就是说，几何原来是计算数量之本，推究几何图形的性质，全用工具作图与测量的一门科学。因此，原本是当时数学的基础、根本。正如他们所说：“原本者明几何之所以然，凡为其说者无不由此出也。”（大意说，原来是几何学的根本，学习几何须先从此开始），这就是说《几何原本》是几何学的原本之书。 综上所述， 徐、利的“几何”译名主要来源于对《原本》内容的正确认识和古算传统用语。 故将书名译为《几何原本》是正确的、合理的，白尚恕认为“几何原本”应理解为“量的原理”或“计量之学”。 但是，现代人思想活跃，总要去探索徐、利二人用“几何”一词的初衷，出现了几种猜测，其中一种还编造了一人美丽的传说，如说： 有一天傍晚，徐光启漫步在庭院。秋高气爽，晴朗的天空，窈窕的秋星闪闪发光，月亮左边银河高悬，斜贯长空。徐光启仰望天空，一下触景生情，储存记忆源的大脑“软件”突然跳出了一首古诗“迢迢牵牛星”（这是东汉末年（220年前后）《古诗二九首》中的一首，已收录在《初中语文》第六册，1988年，307页），其中有“河汉清且浅，相去复几许”两句。 迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤攫素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨。 河汉清且浅，相去复几许。 盈盈一水间，脉脉不得语。 他由“几许”想到“几何”，这与“Geo”音近意切。于是，一个流芳千古的译名诞生了。我们暂不考证这个美丽传说的真伪，但至少可以证明一个事实：徐光启译书，前无先例，别无依傍，筚路蓝缕，以启山林，工作之艰难，可想而知，谁又知晓徐光启译书，为了一个名词，一个内容的精心考虑，多方揣摩，煞费苦心的辛劳呢？更不用说译《几何原本》前六卷的斟酌、推敲与多次修改、润色之艰苦劳动了，这正是“梅花香自苦寒来”。 链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-266190-993044.html
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分享 现代数学基础丛书 目录 第1-154卷 中国的GTM黄皮书
hylpy1 2016-9-3 23:29
《现代数学基础丛书》的宗旨是面向大学数学、统计学专业的高年级学生、研究生以及青年学者,针对一些重要的数学领域与研究方向,作较系统的介绍.既注意该领域的基础知识,又反映其新发展,力求深入浅出,简明扼要,注重创新.该套丛书自1981年出版以来,得到了广大数学家的长期支持,当前已经出版了153个品种,作者均为我国一流的专家学者，其质量甚高,影响颇大,对我国数学研究、交流与人才培养发挥了极其重要的作用. 　 《现代数学基础丛书》自出版以来，已列入出版了苏步青、陈希孺、柯召等一大批我国著名数学家的优秀著作，涉及数学基础领域代数、几何、拓扑等研究方向，该套丛书的出版深受广大读者好评，为我国数学专业的广大学生、老师及科研人员的学习、探讨、交流作出了极其重要的贡献。 1数理逻辑基础(上册) 1981．1 胡世华 陆钟万 著 2紧黎曼曲面引论 1981．3 伍鸿熙 吕以辇陈志华著 3组合论(上册) 1981．10 柯 召 魏万迪 著 4数理统汁引论 1981．11 陈希孺著 5多元统汁分析引论 1982．6 张尧庭方开泰 著 6概率论基础1982．8 严士健、王隽骧刘秀芳著 7数理逻辑基础(下册) 1982．8 胡世华陆钟万 著 8有限群构造(上册) 1982．11 张远达 著 9有限群构造(下册) 1982．12张远达著 10环与代数 1983．3 刘绍学著 11测度论基础1983．9 朱成熹著 12分析概率论 1984．4 胡迪鹤著 13巴拿赫空间引论 1984．8 定光桂著 14微分方程定性理论 1985．5 张芷芬 丁同仁 黄文灶 董镇喜 著 15傅立叶积分算子理论及其应用 1985．9 仇庆久等编 16辛几何引论 1986．3 J．柯歇尔 邹异明 著 17概率论基础和随机过程1986．6王寿仁著 18算子代数1986．6李炳仁著 19线性偏微分算子引论(上册) 1986．8齐民友著 20实用微分几何引论1986．11苏步青等著 21微分动力系统原理1987．2张筑生著 22线性代数群表示导论(上册) 1987．2曹锡华等著 23模型论基础1987．8王世强著 24递归论1987．11莫绍揆著 25有限群导引(上册) 1987．12徐明曜著 26组合论(下册) 1987．12柯召魏万迪著 27拟共形映射及其在黎曼曲面论中的应用 1988．1李忠著 28代数体函数与常微分方程1988．2何育赞著 29同调代数1988．2周伯壕著 30近代调和分析方法及其应用 1988．6韩永生著 31带有时滞的动力系统的稳定性 1989．10秦元勋等编著 32代数拓扑与示性类1989．11 马德森著吴英青段海鲍译 33非线性发展方程1989．12李大潜陈韵梅著 34反应扩散方程引论 1990．2叶其孝等著 35仿微分算子引论1990．2陈恕行等编 36公理集合论导引 1991．1张锦文著 37解析数论基础1991．2潘承洞等著 38拓扑群引论1991．3黎景辉冯绪宁著 39二阶椭圆型方程与椭圆型方程组1991．4陈亚浙吴兰成著 40黎曼曲面1991．4吕以辇张学莲著 41线性偏微分算子引论(下册) 1992．1齐民友著 42复变函数逼近论1992．3沈燮昌 著 43Banach代数1992．11李炳仁著 44随机点过程及其应用 1992．12邓永录等著 45丢番图逼近引论1993．4朱尧辰等著 46线性微分方程的非线性扰动1994．2徐登洲马如云著 47广义哈密顿系统理论及其应用 1994．12李继彬赵晓华刘正荣著 48线性整数规划的数学基础 1995．2马仲蓍著 49单复变函数论中的几个论题1995．8庄圻泰著 50复解析动力系统1995．10 吕以辇著 51-100 组合矩阵论1996．3柳柏濂著 Banach空间中的非线性逼近理论 1997．5 徐士英李冲杨文善著 有限典型群子空间轨道生成的格1997．6 万哲先霍元极著 实分析导论1998．2丁传松等著 对称性分岔理论基础1998．3唐云著 Gel’fond-Baker方法在丢番图方程中的应用 1998．10乐茂华著 半群的S一系理论1999．2刘仲奎著 有限群导引(下册) 1999．5徐明曜等著 随机模型的密度演化方法1999．6史定华 非线性偏微分复方程1999．6闻国椿著 复合算子理论1999．8徐宪民著 离散鞅及其应用 1999．9史及民编著 调和分析及其在偏微分方程中的应用 1999．10苗长兴著 惯性流形与近似惯性流形2000．1戴正德郭柏灵著 数学规划导论2000．6徐增垫著 拓扑空间中的反例2000．6汪林杨富春编著 拓扑空间论2000．7高国士著 非经典数理逻辑与近似推理2000．9王国俊著 序半群引论2001．1谢祥云著 动力系统的定性与分支理论2001．2罗定军 张祥董梅芳编著 随机分析学基础(第二版) 2001．3黄志远著 非线性动力系统分析引论2001．9盛昭瀚马军海著 高斯过程的样本轨道性质2001．11林正炎陆传荣张立新著 数组合地图论2001．11刘彦佩著 光滑映射的奇点理论2002．1李养成著 动力系统的周期解与分支理论2002．4韩茂安著 神经动力学模型方法和应用 2002．4阮炯顾凡及蔡志杰编著 同调论——代数拓扑之一2002．7沈信耀著 金兹堡一朗道方程2002．8郭柏灵等著 排队论基础2002．10孙荣恒李建平著 算子代数上线性映射引论2002．12侯晋川崔建莲著 微分方法中的变分方法2003．2 陆文端 著 周期小波及其应用 2003．3彭思龙李登峰谌秋辉著 集值分析2003．8李雷吴从圻著 数理逻辑引论与归结原理2003．8王国俊著 强偏差定理与分析方法2003．8刘文著 椭圆与抛物型方程引论2003．9 伍卓群尹景学王春朋 著 有限典型群子空间轨道生成的格(第二版) 2003．10万哲先霍元极著 调和分析及其在偏微分方程中的应用(第二版) 2004．3苗长兴 著 稳定性和单纯性理论2004．6史念东著 发展方程数值计算方法2004．6黄明游编著 传染病动力学的数学建模与研究2004．8马知恩周义仓王稳地靳祯著 模李超代数2004．9张永正刘文德著 巴拿赫空间中算子广义逆理论及其应用2005．1王玉文著 巴拿赫空间结构和算子理想2005．3钟怀杰著 脉冲微分系统引论2005．3傅希林 闰宝强刘衍胜著 代数学中的Frobenius结构2005．7汪明义著 生存数据统计分析2005．12王启华著 数理逻辑引论与归结原理(第二版) 2006．3王国俊著 数据包络分析2006．3魏权龄著 100-150 代数群引论2006．9黎景辉陈志杰赵春来著 矩阵结合方案2006．9王仰贤霍元极麻常利著 椭圆曲线公钥密码导引 2006．10祝跃飞 张亚娟 著 椭圆与超椭圆曲线公钥密码的理论与实现2006．12王学理裴定一 散乱数据拟合的模型方法和理论2007．1吴宗敏著 非线性演化方程的稳定性与分歧2007．4马天汪宁宏著 正规族理论及其应用2007．4顾永兴庞学诚方明亮 著 组合网络理论2007．5徐俊明著 矩阵的半张量积：理论与应用 2007．5程代展齐洪胜著 鞅与Banach空间几何学2007．5刘培德著 非线性常微分方程边值问题2007．6葛渭高著 戴维一斯特瓦尔松方程2007．5戴正德蒋慕蓉李栋龙著 广义哈密顿系统理论及其应用2007．7李继彬赵晓华刘正荣著 Adams谱序列和球面稳定同伦群2007．7林金坤 著 矩阵理论及其应用2007．8陈公宁著 集值随机过程引论2007．8张文修李寿梅汪振鹏高勇 著 偏微分方程的调和分析方法2008．1苗长兴张波著 拓扑动力系统概论2008．1叶向东黄文邵松著 线性微分方程的非线性扰动(第二版) 2008．3徐登洲 马如云著数组合地图论(第二版) 2008．3刘彦佩著 半群的S-系理论(第二版) 2008．3刘仲奎乔虎生 巴拿赫空间引论(第二版) 2008．4定光桂著 拓扑空间论(第二版) 2008．4高国士著 非经典数理逻辑与近似推理(第二版) 2008．5王国俊 著 非参数蒙特卡罗检验及其应用 2008．8朱力行许王莉 著 Camassa-Holm方程2008．8郭柏灵 田立新杨灵娥殷朝阳 著 环与代数(第二版) 2009．1刘绍学郭晋云朱彬韩 泛函微分方程的相空间理论及应用 2009．4王 克 范 概率论基础(第二版) 2009．8严士健王隽骧刘秀芳 自相似集的结构2010．1周作领瞿成勤朱智伟著 现代统计研究基础2010．3王启华史宁中 耿直主编 图的可嵌入性理论(第二版) 2010．3刘彦佩著 非线性波动方程的现代方法(第二版) 2010．4苗长兴著 算子代数与非交换幻空间引论2010．5许全华、吐尔德别克、陈泽乾著 非线性椭圆型方程2010．7王明新著 流形拓扑学2010．8马天著 局部域上的调和分析与分形分析及其应用 201 1．6苏维宜著 Zakharov方程及其孤立波解201 1．6郭柏灵甘在会张景军 著 反应扩散方程引论(第二版) 2011．9叶其孝李正元王明新吴雅萍著 代数模型论引论 2011．10史念东著 拓扑动力系统——从拓扑方法到遍历理论方法201 1．12周作领尹建东许绍元著 Littlewood．Palcy理论及其在流体动力学方程中的应用 2012．3苗长兴吴家宏章志飞著 有约束条件的统计推断及其应用2012．3王金德著 混沌、Mel'nikov方法及新发展2012．6李继彬陈凤娟著 现代统计模型2012．6薛留根著 金融数学引论2012．7严加安著 零过多数据的统计分析及其应用 2013．1解锋昌 韦博成林金官编著 分形分析引论2013．6 胡家信 著 索伯列夫空间导论2013．8陈国旺编著 广义估汁方程估计h’程2013．8 周 勇 著 151-153 统汁质量控制陶理论与方法2013．8王兆军邹长亮李忠华著 有限群初步2014．1 徐明曜 著 拓扑群引论(第2版) 2014.03 黎景辉、 冯绪宁
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hylpy1 2016-9-2 19:40
发信站: 瀚海星云 (2009年04月21日12:48:04 星期二), 站内信件 WWWPOST 1. http://www.sciencemag.org/ 《科学》杂志 2. http://adswww.harvard.edu/ The NASA Astrophysics Data System -- 世界最大免费全文网站，超过300,000篇全文. 主要学科：天体 物理学 3. http://arXiv.org 美国洛斯阿拉莫斯核物理实验室的 论文 预印本服务器，全世界物理学研究者最重要的交 流 工具，覆盖几乎全部的物理学，大部分计算机科学和一部分数学。 4. http://mathnet.preprints.org/ 数学论文预印本服务器搜索系统，可以查阅大部分数学分支的预印本资源 5. http://scholar.lib.vt.edu/theses/ 学位论文库，大部分文章可以看全文 6. http://www.ncstrl.org 计算机科学研究报告和论文 7. http://www.sciam.com/ 《科学美国人》杂志 8. http://intl.highwire.org/ HighWire Press,生物学/医学方面的免费全文网站，超过235，812篇全文 9. http://www.math-net.org/links/show?collection=math.pub.jour.elec 提供各种免费和非免费的数学期刊列表，覆盖所有的免费数学期刊 10. http://www.citeseer.org 计算机方面的全文搜索工具 11. http://www-slac.slac.stanford.edu/spires/ 斯坦福的加速器中心数据库 想看故事的可以去看 http://www.ams.org/notices/200308/comm-jackson.pdf International Association for Cryptologic Research http://www.iacr.org/ MathWorld(百科全书) http://mathworld.wolfram.com/ 数学期刊连接（from lib.pku) http://162.105.138.23/reference/sortclass....?classname=数学 ②以下来自导航来自： 中国 科学院数学与系统科学研究院 http://www.amss.ac.cn 数学期刊 http://lib.math.ac.cn/chinese/mathsource/journals.htm 主题公园 http://lib.math.ac.cn/chinese/mathsource/subject.htm 国外数学系 http://lib.math.ac.cn/chinese/mathsource/M...MathDeptWeb.htm 研究机构 http://lib.math.ac.cn/chinese/mathsource/i.../institutes.htm 学会与协会 http://lib.math.ac.cn/chinese/mathsource/societies.htm 图书馆站点导航 http://lib.math.ac.cn/chinese/mathsource/library.htm 在线出版商(国外) http://lib.math.ac.cn/chinese/mathsource/p.../publishers.htm 数学 软件 http://lib.math.ac.cn/chinese/mathsource/s of tware.htm ③以下导航来自 教育部数学及其应用网上合作研究中心(有一些视频) http://mcme.pku.edu.cn/phoenix723cn/html/ 数学文库 http://mcme.pku.edu.cn/lib/default.htm 网上数学资源 http://mcme.pku.edu.cn/resource/default.htm 分形艺术 http://www.fractal.net.cn/index.htm 网上对谈式数学服务站 http://wims.math.ecnu.edu.cn/ 国外大学数学系连接 http://mcme.pku.edu.cn/college/default.htm 金融在线 http://fol.math.sdu.edu.cn/ 美国数学会镜象点(AMS) http://mcme.pku.edu.cn/amsmirror/default.htm 欧洲数学会镜象点(EMS) http://mcme.pku.edu.cn/mirror/default.htm MathSciNet http://www.ams.org/mathscinet 项武义《基础数学讲义》 http://cn.math.pku.edu.cn/xwy/ 数学学会: 中国科学院数学和系统科学研究院： http://www.amss.ac.cn 中国工业和应用数学会： http://www.csiam.edu.cn 美国工业和应用数学会： http://www.siam.org 美国数学会： http://www.ams.org 美国数学联合会： http://www.maa.org 欧洲数学协会： http://www.emis.de/（new！！） 数学网站: 联数工作室主页 a target="_blank" href="http://unidata.51.net/"http://unidata.51.net/ _fcksavedurl=""http://unidata.51.net/"http://unidata.51.net/" 国防科大数模资源： http://www.shumo.com/resource.asp ＳＡＳ软件爱好者天地： http://www.sasor.com/ 哈尔滨工程大学理学院： http://218.7.43.12/12xi/more_down.htm 高等数学 http://www1.gdei.edu.cn/hxx/gaodsx/（new！！） 大连 理工 大学数学建模中心 http://202.118.74.124/dlutmcm/（new！！） http://gene.tmmu.com.cn/biosoft/content.html http://archives.math.utk.edu/ http://218.242.54.178 出版社： Elsevier Science http://www.elsevier.com Springer 出版社 http://link.springer-ny.com World Scientific 出版社 http://www.wspc.com.sg 杂志: 美国数学会的web 杂志 http://www.ams.org/mathweb/mi-journals.html#ejrnls 美国数学学会期刊 http://www.ams.org/jams 美国数学学会杂志 http://www.ams.org/journals Bulletin http://www.ams.org/bull 有关文章评述、书评及研究报告，含文章目录及摘要 。 Conformal Geometry and Dynamics http://www.ams.org/ecgd 几何学和力学方面的文章，含文章目录及摘要 。 Electronic Research Announcement http://www.ams.org/era 高质量的研究报告，含文章全文. Mathematics of Computation http://www.ams.org/mcom 发表计算数学、解析数学、数字分析、数学理论以及代数等方面的文章. 含文章目录及 摘要. Proceedings http://www.ams.org/proc 发表纯理论和应用数学方面的文章.含文章目录及摘要. Representation Theory http://www.ams.org/ert 对进行数学理研究很有帮助，含文章摘要. Transaction http://www.ams.org/tran/ 纯理论方面的长文章. 含文章摘要. Notices http://www.ams.org/notices 主要发表数学方面的短评.含文章全文. 美国数学联合会杂志 http://www.maa.org/pubs/journals.html 1、Monthly 月刊 http://www.maa.org/pubs/monthly.html 2、Mathematics Magazine 数学杂志 http://www.maa.org/pubs/mathmag.html 3、The College Mathematics Journal 数学校刊 http://www.maa.org/pubs/cmj.html 4、Communications in Visual Mathematics 可视数学杂志 http://www.maa.org/news/cvm.html 纽约数学杂志 (美国) 000/nyjm.html"http://nyjm.albany.edu 000/nyjm.html 非线性科学的今天 (美国) http://www.springer-ny.com/nst The Electronic Journal of Combinatorics 组合学杂志 (美国) http://www.combinatorics.org 刊登有关组合学、图论、离散算法等论文。给出了所有文章的摘要及全文. 微分方程杂志 (美国) http://ejde.math.swt.edu 微分和积分方程最新的和高质量的研究成果。 数值学报 (英国) http://www.cup.cam.ac.uk/journals/jnlscat/anu/anu.html 92年至97年所有期刊的目录及文章摘要. 爱丁堡数学学会会报 (英国) http://www.oup.co.uk/edmath 数学杂志 (德国) http://www.emis.de/journals/BAG 刊登代数、几何、代 数几何学以及相关领域中的研究论文，提供在线阅读文章的摘要及 全文. Picard 大学的数学杂志索引 http://picard.tnstate.edu/~library/journal...al/onjnmath.htm ----------------------------------------------------------------------------- 网站: sas http://text88.myrice.com/downloads/stata/ 联数工作室主页 a target="_blank" href="http://unidata.51.net/"http://unidata.51.net/ _fcksavedurl=""http://unidata.51.net/"http://unidata.51.net/" MATLAB大观园 - 首页 a target="_blank" href="http://www.matlab-world.com/index.htm"http://www.matlab-world.com/index.htm 统 计 软 件 a target="_blank" href="http://text88.myrice.com/downloads/stata/"http://text88.myrice.com/downloads/stata/ 中国 化学 软件网 http://www.echemsoft.com 国防科大数模资源 http://www.shumo.com/resource.asp ＳＡＳ软件爱好者天地 http://www.sasor.com/ http://gene.tmmu.com.cn/biosoft/content.html http://218.242.54.178 论坛: http://www.statforum.com/ http://zkong.luojia.net/CAE/forum/forumdis...62404d1d5af6d43 富有特色的数学网站大观 送交者: mathpp 2004年5月14曰11:48:05 于 http://www.bbsland.com http://www.aw.com/ide/index.html http://math.vanderbilt.edu/mathserv/index.html 这是美国Vanderbilit大学数学系和商学院联合建立的一个网站。 http://mathgenealogy.mnsu.edu/ ArXiv 数学预印本网库 http://front.math.ucdavis.edu/ http://arxiv.org/ 数学搜索(澳大利亚悉尼大学数学学院) 000/MathSearch.html"http://www.maths.usyd.edu.au000/MathSearch.html 数学世界 http://mathworld.wolfram.com/ http://www.ml.kva.se/和法国的高等科学研究?../www.ihes.fr/。 美国伯克利数学科学研究所( http://www.msri.org/。读者可以在这一网站上看到几乎所 有近年来的数学演讲录像，还可以 下载 所有研究报告的预印本。 美国明尼苏达数学及其应用研究所( http://www.ima.umn.edu/，英国剑桥牛 顿数学科学研究所( http://www.newton.cam.ac.uk/，德国普朗克数学研究所来比锡分 院 http://www.mis.mpg.de/ 科学研究所( http://www.fields.utoronto.ca/，加拿大太平洋数学研究所 http://www.p ims.math.ca/等等。 在北美地区最新的两个研究中心是美国洛杉玑加大纯粹和应用数学研究所 ( http://www.ip am.ucla.edu/和加拿大班夫国际数学变革和发现研究站 ( http://www.pims.math.ca/birs/ 。值得一提的是将于明年正式启 用的后者， 是一种新式的数学研究场所。这个研究站座落在风景 优美的加拿大班夫地区，将专门用做举办短期集中的数学研讨和教育。 亚洲各国的数学活动近年来也空前活跃。主要的数学中心有中国 科学院数学与系统科学研究院( http://www.amss.ac.cn/，曰本京都数学科学 研究所( http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/，中国台湾中央研究所数学研究所 ( http://www.math.sinica.edu.tw/和印度孟买塔塔基础科学研究院 ( http://www.tifr.res.in/ 等等。 http://www.claymath.org/。 ( http://www.claymath.org/Millennium_Prize_Problems/ 值得注意的是这七个问题并没有包括我国数学爱好者熟知的哥德巴赫猜想。我国数学家 陈 景润，王元，潘承洞曾经在这一问题上做出了世界领先的结果，但是猜想仍然没有被最 后 解决。事实上世界上对哥德巴赫猜想感兴趣的人还大有人在，与克雷问题几乎同时，英 国 法布出版社也 悬赏 一百万美元给在两年内解决哥德巴赫猜想的人。 ( http://www.apostol osdoxiadis.com/million.htm 这个出版社似乎有些炒作嫌疑，而现在问题解决期限已过，因为没有人提出领赏，奖金 大 概也就不了了之了。哥德巴赫猜想和相关的数论方面的猜想可以在这个网页 ( http://www.utm.edu/research/primes/notes/conjectures/找到。另一个 数论网页大全是 ( http://www.math.uga.edu/~ntheory/web.html 克雷研究所的问题在某种意义下模仿了1900年数学大师希尔伯特提出的二十三个问题。 这 些问题至今仍然未被全部解决，问题们的现状和相关内容可以在以下网页找到： ( http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/ ( http://www.mathematik.uni-bielef ... lbert/problems.html 另外两本关于希尔伯特问题历史的专著也刚刚出版，详情请看出版社网页 ( http://www.akpeters.com/book.asp?BID=160 ( http://www.oup-usa.org/iPFPFn/0198506511.html 科学搜索 ( http://www.scirus.com/ 美国数学会(AMS)是世界最大的国家数学会, 在它的网站上有一个比较好的会议信息时间 表 . http://www.ams.org/mathcal/ 美国另外两个数学组织, 美国工业与应用数学协会 (SIAM) 和美国数学协会(MAA) 也各有介绍它们自己组织的会议的网页: http://www.siam.org/meetings/calendar.htm和 http://www.maa.org/meetings/meetings.html. 欧洲数学会也有相应的网页: http://www.emis.de/conf/announce.html.当然在这里可 以找到更多欧洲的数学会议. 世界最大的数学国际会议:国际数学家大会(ICM)的信息可 以在国际数学联盟(IMU)的网站找到: http://www.mathunion.org/ICM/index.html 由各个国家数学会组织的会议的信息往往可以在那个国家的数学会网站找到, 这里就不 一一列举, 各个国家数学会的网站联接可以在这里找到: http://www.ams.org/mathweb/mi-sao.html 除了各个数学会提供的数学信息, 一些独立机构现在也在网上提供数学会议信息. 比较 著名的要算加拿大的Atlas数学会议提要(AMCA): http://at.yorku.ca/amca/conferen.htm 德国的Oberwolfach数学研究所 ( http://www.mfo.de/是欧洲最重要的数学会议中心 而北美洲今年也成立了加拿大班 夫国际数学研究站 ( http://www.pims.math.ca/birs/.这两大会议中心每年都有连续不 断的小型会议和讨论班. 世界各大数学研究所也定期举办各类会议和特别学术年. 数学 研究所,研究中心的网站可在这里找到: http://www.ams.org/mathweb/mi-inst.html另 外也可以参看本专栏2002年第二期的介绍. 最后值得一提的是我国国内的会议信息可以在中国数学会网站( http://www.amss.ac.cn/cms/ 代数及几何拓扑 AGT is a fully refereed journal covering all of topology, understood broadly. AGT is published in free electronic format by Geometry and Topology Publications, with papers appearing a few days after a... http://www.emis.de/journals/UW/agt/index.html 详细资料 理论和模拟 Center for Nanoscale Materials experiments will be coordinated with theory and multiscale computer simulations to provide the interpretive and predictive framework for understanding fundamental studie... http://nano.anl.gov/research/virtual_fab_lab.html 详细资料 数理逻辑、数学基础： http://www.disi.unige.it/aila/eindex.html 意大利逻辑及其应用协会的主页，包括意大利数理逻辑领域的相关内容。 http://www.plenum.com/title.cgi?2110 《代数与逻辑》，《西伯利亚代数与逻辑期刊》的翻译版，荷兰的Kluwer学术出版社提 供其在线服务。 http://forum.swarthmore.edu/epigone/alt.math.undergrad Msth Forum上的大学生和研究生数学论坛,提供档案文件、论题等信息。 http://theory.lcs.mit.edu/~dmjones/hbp/apal/ 《纯逻辑与应用逻辑学年鉴》， 麻省 理工大学计算理论小组主页提供其过刊的浏览，荷 兰的Elservier出版社提供其电子刊的在线服务。 http://link.springer.de/link/service/journ...00153/index.htm 《数学逻辑档案》，属于德国Springer出版公司在线电子期刊的一种。 http://www.homestead.com/nilog/files/arist...adoxes_of_l.htm 亚里士多德及其逻辑理论研究。 http://www.cs.bham.ac.uk/~exr/blc/ 不列颠逻辑研讨会的主页，包括数学逻辑的相关研究，如相关网站及电子期刊。 http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/brows...3600008-7001844 浏览亚马逊网上专业和技术店中的数学畅销书，提供应用范畴，混沌与系统化；几何与 拓扑；数学分析； 数学物理学；数字规律；纯数学；数学变换等领域，包括数理逻辑方 面的畅销书的在线预览。 http://www.math.ucla.edu/~asl/ 加利福尼亚大学洛杉矶分校数理逻辑协会的《数理逻辑通讯》。 http://www.torget.se/users/m/mauritz/math/ 瑞典的逻辑、数学和推理主页，提供抽象代数学、数字、矢量代数分析学，矢量场分 析，逻辑形式系统等的定义和描述。 http://www.math.toronto.edu/mathnet/falseP.../fallacies.html 多伦多大学数学网主页，提供数学的各种论题。 http://www.cs.nmsu.edu/~complog/ 美国逻辑规划组织 http://www.nd.edu/~cholak/computability/co...putability.html 可计算性理论主页，提供数理逻辑协会主页的链接，主要内容包括可计算性理论领域的 各类活跃人员及其研究领域等。 http://www.cs.brown.edu/courses/cs022/ 布郎大学的离散数学主页，重点介绍离散数学：证据、逻辑、归纳、处理机的密码和网 络系统：课程、家庭作业、资料 http://www.kingsu.ab.ca/~glen/cshpm/home.htm 加拿大社会关于数学的哲学和历史 http://theory.lcs.mit.edu/~dmjones/hbp/jlogc/ 《逻辑与计算杂志》，麻省理工大学计算理论小组主页提供其过刊的浏览。 http://www.worldscientific.com/journals/jml/jml.html 世界科学公司的数学逻辑期刊。 http://archives.math.utk.edu/topics/logic.html 数学主题 田纳西州立大学数学系数学档案主页的数学主题：逻辑学与集合论，包括各种相关的网 上资源。 http://www.cs.technion.ac.il/~admlogic/ 以色列逻辑主页，包括以色列多所大学的逻辑研究资源，也包括数学领域的逻辑研究。 http://www.uni-bonn.de/logic/world.html 德国的世界数学逻辑主页，由波恩大学数学逻辑小组和维也纳大学逻辑研究所提供服 务。 http://www.wiley-vch.de/berlin/journals/mlq/index.html 德国的数学逻辑季刊，包括期刊目次、作者信息、编辑公告等内容。 http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/...ndex/03-XX.html 北伊利诺伊大学数学科学系的数学逻辑及基金主页，提供相关的会议、参考资源、软件 等信息。 http://www.ed.ac.uk/~pmilne/ml/home.html 现代逻辑》，关于数学逻辑的历史、集合论和数学基础的国际期刊，提供在线的目次、 文摘和作者索引等内容。 http://www.uni.torun.pl/StudiaLogica/ 《逻辑研究》，波兰科学院哲学与社会学研究所的国际数理逻辑期刊。 计算数学,数值分析 http://forum.swarthmore.edu/epigone/alt.math.undergrad 数学论坛。一个关于大学本科数学问题和难题的论坛。数学论坛包括了读者可以发表文 章参与讨论的文档，以及可以查看或检索文档化的信息。 http://www.maa.org/pubs/monthly.html 美国数学月刊（MMA联机版）——美国数学协会（MAA）Roger A.Horn，编辑。 本月刊刊登数学方面的论文，评论以及其它相关的文章。 http://www.math.arizona.edu/software/uasft.html Arizona数学软件。超过60个教育程序的集合，可被教师和学生在课堂上、实验室和家庭 环境中使用。 http://cdeagle.cnchost.com/ BNALib，一个运行于个人pc上的数值分析软件库。 以源代码形式提供的BNALib软件包，是一个子例程，函数和演示程序组成的工具箱，它 可进行数值分析计算。 http://www.math.psu.edu/ccma/ 计算数学和应用中心------Penn州立大学数学系。 Penn州数值分析和应用数学的教学与 科研工作中心之一。应用与计算数学研究班课程系列，PDEs与数值方法研究班课程系 列，教职人员与研究生的情况等。 http://www.math.gatech.edu/cdsns/ 动力系统和非线性研究中心———Georgia Tech数学学院。 始建于1988年9月，以加强 数学学院已经开展了的研究活动，研究重点包括动力系统，微分方程，非线性分析和应 用。 http://www.maplesoft.com/CyberMath/ Water loo Maple公司。你可以订购本软件来 管理 ，共享和出版因特网上的数学资源。本 软件可以提供交互式的媒体来探索和交换关于数学的思想，并且包括了高中，大学本科 以及研究生层次的各种数学主题。 http://home.miningco.com/education/ 教育：数学----Mining公司。 网络 站点资源列表。 000/mathjours.html"http://nyjm.albany.edu:8000/mathjours.html 数学科学电子期刊----Albany大学数学系。链接到数学学科的电子期刊，以及那些同时 出版电子本和印刷本的期刊。 http://etna.mcs.kent.edu/cgi-bin/getfiles.pl 数值分析学报电子版索引----Kent州立大学。 可供检索ENTA刊登的全部文章的索引。为 检索论文，可向Glimpse检索引擎输入检索词。 http://etna.mcs.kent.edu/ 数值分析学报电子版（ETNA）----Kent州立大学，Reichel，Varga，Eds.。 报道数值分析与科学计算领域最新动态和重大进展的电子期刊。 http://www.elsevier.nl/ Elsevier 科学。作为面向全世界的信息提供商，Elsevier的目标是在一个适当利润的基 础上，通过实现国际学术界的交流需要，来促进科学，技术以及医% http://mathworld.wolfram.com/ Eric Weissteind的数学世界----Eric W.Weisstein与Wolfram研究公司。 一个按字顺排列可检索全文的综合性数学百科全书，包括数学术语，方程和导数等，并 附有注解，例子与参考 文献 等。 http://www.ingenieur.de/ernst/SOFTWARE.htm FEM-Strukturanalysen： 有限元 软件----von Ernst Partner。 一个广泛的指向FEM软 件资源的链接列表，分为如下目录：产品与生产者，免费软件与共享软件，其他软件列 表与链接集合，图书，有限元论文等。 http://www.math.psu.edu/dna/fecircus.html 有限元论坛----Penn州州立大学数学系，Douglas N. Arnold。一个有限元方法理论与应用的定期会议，还包括数值分析与偏微分方程等相 关领 http://mathworld.wolfram.com/ Eric Weissteind的数学世界----Eric W.Weisstein与Wolfram研究公司。 一个按字顺排列可检索全文的综合性数学百科全书，包括数学术语，方程和导数等，并 附有注解，例子与参考文献等。 http://www.ingenieur.de/ernst/SOFTWARE.htm FEM-Strukturanalysen：有限元软件----von Ernst Partner。 一个广泛的指向FEM软 件资源的链接列表，分为如下目录：产品与生产者，免费软件与共享软件，其他软件列 表与链接集合，图书，有限元论文等。 http://www.math.psu.edu/dna/fecircus.html 有限元论坛----Penn州州立大学数学系，Douglas N. Arnold。一个有限元方法理论与应用的定期会议，还包括数值分析与偏微分方程等相 关领域。 http://www-users.informatik.rwth-aachen.de...generation.html 有限元网状生成——Robert Schneiders。 Mesh generation是一个数值分析学科内的跨 学科的领域，它包括数学家，计算机科学家以及来自诸多领域的工程师。本主页致力于 促进理论与应用之间的关系。 http://www.cs.utah.edu/~zachary/isp/applets/FP/FP.html 浮点数指南。 可帮助你理解尾数值和指数域的意义，以及下溢，上溢和舍入错误的含义。包括一个在 单独的窗口中的Java 程序。 http://www-sccm.stanford.edu/FoCM/ 计算数学基础。 FoCM的主要目标在于促进数学分析，拓扑，集合与计算过程之间深层关 系的理解，它们随着现代计算机的发展而得到发展。 http://mrb.niddk.nih.gov//sherman/gallery/ 数学建模导引。已经出版的模型的标准版。 http://www.e-notebooks.com/products/global/ 全局优化。 一个数学软件包，可提供一组解决非线性优化问题的工具，还有许多别的应用，如查找 根或非解析函数的零。 http://www.elsevier.nl/homepage/saj/501439/Menu.shtml 数值分析 手册 。 数值分析手册的背景信息，包括内容列表，图书评论，总序和数值分析时事通讯手册。 http://www.natinst.com/hiq HIQ 分析，可视化和报告生成---一个交互式的问题解决环境，可用来对现实世界的科学 和工程问题进行分析、可视化、编写文档。 http://archives.math.utk.edu/images.html 图象和数学（数学文档）。 基于或相关于数学原理的图象的集合，许多纯数学抽象。 http://www.icase.edu/ 科学与工程计算机应用协会。 应用数学，数值分析，流体动力学和计算机科学的研究中心，由大学空间研究协会 （USRA）运作，可为NASA的科学家和工程师的相互作用提供一种自然机制。 http://jean-luc.ncsa.uiuc.edu/ NCSA/LCA-Potsdam-WashU 国际数值相对论组织。 超级计算应用国家中心，使用超级计算机来研究黑洞，引力波，以及别的由爱因斯坦的 广义相对论预言的现象。 http://www.brookscole.com/math/ Brooks/Cole出版数学课程全部领域的教科书和技术产品，从算术， 微积分 学和微分方程 到数值分析，包括先前被PWS出?E Brooks/Cole出版数学课程全部领域的教科书和技术产 品，从算术，微积分学和微分方程到数值分析，包括先前被PWS出版的文本。 http://www.maths.usyd.edu.au:8000/MathSearch.html 超过9万条位于数学和统计学服务器上的可检索的文档，主要为研究层次和大学本科级的 文档。 http://www.mathware.com/ 代数，几何和微积分的软件和书籍。 http://www.mathworks.com/ MathWorks公司。MathWorks是推出MATLAB的公司，这是一个高性能数值计算环境，一个 交互式的建模、分析和模拟大量动态系统的环境。 http://www.math.fsu.edu/Science/Biblo.html 链接到大学本科级数学图书的书目。 http://www.math.fsu.edu/Science/Journals.html 大学本科级数学电子期刊的字顺表。 http://www.math.fsu.edu/Science/Software.html 用于大学本科级数学教学的软件站点的链接。 http://www.math.fsu.edu/Science/Specialized.html 链接到大学本科级数学特定领域资源的站点。 http://www.inria.fr/Equipes/MODULEF-eng.html Modulef：科学计算方法与工具。 Modulef项目终结于1995年12月31曰。这个项目的成员后来又开展了GAMMA项目以及 MOSTRA预研项目。本主页包括此项目的重要事件报告（1995年，法文，并有 英文 文 摘），成果报告等。 http://www.netlib.org/ Netlib repository包括可以免费得到的数学和统计软件，文档以及数值，科学计算等方 面的数据库。本知识库由bell实验室进行维护。 http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/...ndex/65-XX.html 数值分析----Dave Rusin，数学文集。 本页为短篇论文的集合，用来提供一个对数值分析的介绍。 http://www.math.fsu.edu/Science/num.html 数值分析----Florida州立大学数学系。链接到一些新闻组（sci.math.num-analysis 和comp.soft-sys.matlab等）以及别的大学本科级数值分析资源。 http://forum.swarthmore.edu/advanced/numerical.html 数值分析----数学论坛。 链接到一些最好的因特网数值分析资源：网络站点，软件，因特网项目，出版物和公共 论坛。 http://www.netlib.org/na-digest/html/search_form.html 数值分析文摘检索界面。 数学分析文摘集中了数值分析理论与应用方面的文章。所有的论文使用Glimpse标引过。 需要在检索窗体中键入短语或词，并为查询选择适当的设置，即可进行检索。 http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/ L N Trefethen教授，数值分析----牛津大学Balliol学院。链接到牛津大学数值分析研 究团体出版的图书与近期发表的论文。图书包括Matlab中的谱方法，有穷微分和谱的方 法，数值线性代数等。 http://www.cs.utah.edu/~zachary/isp/applet...l/Rational.html 有理数指南。 本指南探索了有理数的性质，自然数系统中最小和最大整数的意义，以及溢出的含义。 信息论、控制论 http://www.umcs.maine.edu/~chaitin/nv.html 缅因州大学计算机科学系G.J.Chaitin个人主页上的算法信息论著作在线浏览，提供著作 的内容介绍及参考文献等信息。 http://www.math.washington.edu/~hillman/entropy.html 华盛顿大学数学系的“熵”研究主页，涉及领域包括信息论与编码论、动力系统、逻辑 及其运算理论、统计推断与预演等，还提供了一些相关的期刊、会议、研究小组和软件 的链接等。 http://it.ucsd.edu/ 信息协会网，提供相关的图书、词典、会议、软件等信息。 http://www-lmmb.ncifcrf.gov/~toms/itresources.html 信息论资源主页，提供关于信息论的书以及相关链接等。 http://ogham.ucc.ie/ 爱尔兰国立Cork大学数学、应用数学与统计学院主页，提供关于信息论、编码和解码理 论的相关信息介绍。 http://pespmc1.vub.ac.be/ 比利时的基础控制论主页,由PCP(Principia Cybernetica Project)组织提供,该组织的 目标在于利用新近的控制理论和技术来解决古老的哲学问题。 运筹学 http://www.ma.hw.ac.uk/~chris/MR/MR.html 这是一个关于数学方面的按主题分类的超文本列表(1991年版)，这个分类的主要目的是 帮助读者迅速的发现他们所感兴趣的关于数学方面的主题列表，现最新的版本还可以用 关键词进行检索。 http://www.maa.org/pubs/monthly.html 这是美国数学月刊杂志的在线版本，可以在线阅读其杂志内容，包括数学方面的论文和 一些简单精悍的评论，其读者主要是数学方面的专业人员。 http://ubmail.ubalt.edu/~harsham/opre640/opre640.htm 关于运筹学研究和管理科学的一个MBA课程，提供了理解运筹学问题的 分析工具和逻辑结构，以及如何作出好的决策分析技巧。 http://ubmail.ubalt.edu/~harsham/opre640/opre640.htm 这是一个关于运筹学和管理学的课程大纲，其包括课程信息（主要提供给参加该班的学 生），如何克服管理中决策恐惧 ，以及决策模型和概率模型。 http://mat.gsia.cmu.edu/group.html 该站点收集整理了sci.op-research新闻组上的关于运筹学话题，可以按照线索、作者、 主题或曰期等检索，也列出了 Brian Borchers整理的从1997年1月到1994年4月的相关的文章。 http://www-personal.umich.edu/~jrbirge/aco...cord/acord.html 一个运筹学和管理学研究协会办的论坛,其目的是提高大家对这个领域的兴趣以及促进该 学科研究人员之间的交流. http://www.ulb.ac.be/euro/ International Federation of Operational Research Societies (IFORS)欧洲运筹学 协会,是一个非赢利性的组织,座落于瑞士,它的目的是促进运筹学的发展. http://calmaeth.maths.uwa.edu.au/ CalMaeth是一个教与学交流的系统,它由Univ. of Western Australia大学的学生设计, 客人也可以进行注册进入. http://dsi.gsu.edu/ The Decision Sciences Institute是一个跨学科的国际性组织，致力于商业管理方面的 研究和提高工作。 http://plato.la.asu.edu/guide.html - 这个站点主要是帮助读者用优化软件解决问题。 http://www.emis.de/MSC2000/ 关于数学主题分类列表(2000年草案),它由Mathematical Reviews和Zentralblatt für Mathematik杂志审核. http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/...ndex/90-XX.html 提供一些简短的文章，介绍运筹学方面的文章，其用象征性的语言描述优化资源方面的 研究。 http://mathworld.wolfram.com/ 这是一个数学大百科全书的站点,按照代数学、几何学、应用数学、概率和统计等进行分 类说明。 http://129.2.115.68/stats/faqsinms.htm 该站点是对运筹学和管理学的常见问题解答，如为什么要学习运筹学和管理学？为什么 商业决策者要学习决策理论？等等 http://www.stanford.edu/dept/eesor/people/...aculty/dantzig/ -这是 George B. Dantzig的主页， George B. Dantzig是单纯形算法的发明者，并被尊 称为运筹学领域的奠基人。 http://www.fi.uib.no/~antonych/glob.html 这个站点链接了全球的很多关于优化的站点 http://www.ifors.org/tutorial/ 这个站点是国际运筹学联盟（IFORS）赞助的一个项目，该项目的目的是通过三年的时间 建立一个对运筹学和管理学的基于WEB的在线指导系统， http://www.informs-cs.org/ 该站点是运筹学和管理学的一个分支，主要是讨论关于模拟信息方面的一些问题。 http://www.math.clemson.edu/INFORMS/CSTS/ 这是一个研究计算机科学和人工智能的站点以及与它相关的运筹学和管理学，它的目的 是帮助运筹学和管理学研究协会的成员同时提高计算机技术和人工智能技术。 http://www.fuqua.duke.edu/faculty/daweb/ -运筹学和管理学的决策分析社团：该社团促进企业在制定决策时使用逻辑方法去提高效 率，该方法中的模型包括：在多条件下和不确定条件下制定决策，技术风险分析，风险 投资等 http://www.informs.org/ 运筹学和管理学研究协会的站点，在线提供关于运筹学和管理学方面的信息，为运筹学 和管理学的专家，教育人员、学生、管理者等提供服务。 http://www.cudenver.edu/~hgreenbe/imps/imp...ib/impPFPFib.html -这个网站的目的是提供关于数学智能化建模和分析的参考书目 http://www.ifors.org/ 国际运筹学联盟（IFORS）的站点，国际运筹学联盟于1959年建立，它的目的是发展运筹 学的研究。 http://www.cris.com/~kthill/sites.htm 该站点列出了一系列相关站点，并对每一个进行了简单说明 http://orcs.bus.okstate.edu/itorms/ 这是运筹学和管理学研究协会（INFORMS）办的一个电子期刊。 http://fims-www.massey.ac.nz/maths/jamds/ 这是应用数学和决策学的一个电子期刊，主要出版关于数学、运筹学和统计学的文章。 http://archives.math.utk.edu/tutorials.html 该站点给数学系的教师和学生提供该课程的一些材料，其材料是按照字母顺序排列的， 该站点包括数学领域的各个主题，而且适用于各个层次的人员使用。 http://lionhrtpub.com/ 这是Lionheart出版公司的在线版本，出版发行的领域为：加工和资源管理领域，运筹学 领域，智能系统领域等。 http://el.www.media.mit.edu/groups/logo-foundation/ 这是一个非赢利性的教育组织，主要是给大家提供关于LOGO方面的信息，以及使用基于 LOGO开发的软件的使用。 http://logisticsworld.com/logistics 该站点是一个关于后勤学的虚拟图书馆，给后勤人员提供一个在Interner上查找和共享 后勤资源的入口。 http://forum.swarthmore.edu/library/resour...pes/simulations 该站点是数学论坛的网上数学图书馆，是关于数学研究的一个全面的网上站点和网上页 面的分类，这个页面主要包含关于仿真方面的站点。 http://www.math.fsu.edu/Science/Specialized.html 这是网上的一个关于数学的虚拟图书馆，按主题对数学学科进行分类，适用于大学水平 以上的人员使用。 http://www.caam.rice.edu/~mathprog/ The Mathematical Programming Society是一个国际性的组织，致力于计算数学，应用 学，数学规划的理论研究。 http://www.math.tu-bs.de/mo/welcome.html 这是Technical University of Brauschweig大学的优化数学系，站点上有该系的信息， 目前研究的内容，最近出版的文章，进行的项目等，页面上有关于优化和运筹学的一些 链接。 http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~si...e/problems.html 该站点列出了关于数学方面的一些问题，大部分是英语，少量是德语，其按照主题进行 分类，包括图形理论，数字理论，组合学，几何学，代数学，分析学等。 http://www.cudenver.edu/~hgreenbe/glossary...y/glossary.html 该站点是一个数学术语大全站点。是按字母排列的。 http://www.math-net.de/links/show?collection=math.pub 该站点是一个关于数学的电子出版物，有电子期刊，总的期刊分类，按主题分类等。 http://www-fp.mcs.anl.gov/division/welcome/default.asp 数学和计算机科学部（MCS）：这是美国最大的能源研究中心的部门之一，研究范围广 泛，包括数字法，软件发展，系统软件，应用数学，逻辑系统等，该站点主要是促进数 学和计算机学科的共同发展，在这里可以找到很多有用的资源。 http://archives.math.utk.edu/ 一个Internet上关于数学的综合站点，推荐了一些教育软件并链接了一些数学家感兴趣 的站点，这些站点有电子期刊和其它一些服务。 http://www.ams.org/mathweb/mi-journals.html 这是美国数学会（American Mathematical Society)站点下的一个页面，该页面列出了 一些数学杂志的电子版站点，还列出了印刷版杂志的站点，印刷版杂志的站点包括目录 摘要等。 http://www.math.psu.edu/MathLists/Journals.html 这是一个页面，链接了许多关于数学的电子期刊和印刷版期刊的站点。 http://www.utexas.edu/world/lecture/math/ 该页面链接了一些关于数学方面的演讲稿，这些演讲是对数学有一些研究人员通过网络 传送的的一些材料。 http://www.maths.usyd.edu.au:8000/MathSearch.html Jim Richardson; School of Mathematics and Statistics, Univ. of Sydney, Australia 这是澳大利亚悉尼大学主页数学和统计学院下的一个页面，收集了200，000多个关于数 学和统计学的文章，这些文章适用于大学水平和研究学者水平的人使用，可以通过主题 词进行检索查找文章。 http://mat.gsia.cmu.edu/ 这个页面链接了运筹学的所有方面，它按公司、期刊、引文等进行分类链接。 http://www.mors.org/ 军事运筹学研究社团：该组织的目的是提高对军事运筹学的理解和应用能力，给专业人 员提供交流的机会。 http://www.orsoc.org.uk/ 运筹学研究社团(Operational Research Society)：该社团的前身是运筹学研究俱乐 部，于1948年建立，现有53个国家3000多个成员参加，主要是促进运筹学的发展。 http://opsresearch.com/index.html 该站点收集了500个Java类研究运筹学、科学和工程应用，它包括数据结构以及古典代数 的应用。 http://www.personal.psu.edu/faculty/t/m/tm...7/tmclinks.html 该页面链接了许多站点，这些站点包括了优化方面的信息，交互学习的站点，优化软件 问题等等。 http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/ 该站点收集了包括优化指南的资源以及向Internet提交解决问题的服务。 http://ubmail.ubalt.edu/~harsham/refop/Refop.htm 这个页面提供了大量的链接：灵敏度分析的资源，主要收集了关于它的优化 行为 方面。 http://www.ms.ic.ac.uk/info.html 图书馆收集了大量的运筹学研究的测试数据。 http://ubmail.ubalt.edu/~harsham/opre640/ORMPFPFOOKS.HTM 该站点收集了大量的运筹学资料 PS:南开的数学资源站网址 http://202.38.126.65/mathdoc/ 链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-282925.html
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hylpy1 2016-9-2 18:44
美中不足的是尚缺常微分方程及动力系统，随机分析及随机微分方程（SDE，SPDE）,非线性分析以及金融数学，图像处理，图论，组合优化等方面的教材评选，期待科学网的专业人士能补全。 复旦大学的国外优秀数学教材选评 本书内容为原作者版权所有，未经协议授权，禁止下载使用 主 编 杨劲根 副主编 楼红卫 李振钱 郝群 编写人员（按汉语拼音为序） 陈超群 陈猛 东瑜昕 高威 郝群 刘东弟 吕志 童裕孙 王巨平 王泽军 徐晓津 杨劲根 应坚刚 张锦豪 张永前 周子翔 朱胜林 　　 1. 序言 　　 2. 非数学专业的数学教材 　　 3.数学分析和泛函分析 　　 4.单复变函数 　　 5.多复变函数 　　 6.代数 　　 7.数论 　　 8.代数几何 　　 9.拓扑与微分几何 　　 10.偏微分方程 　　 11.概率论 　　 12.计算数学 　　 13.其他 　　 14.附录　　 序言 1.1 数学与数学教材 　　数学是科学的一个重要工具，这已经是老生常谈的一个常识了。从中小学、大学直到研究生，数学课程始终占据显著的位置。数学学科是庞大的，包含的分支很多，而且随着时间的推移，人类对数学的认识越来越深刻，数学的内容也越来越丰富，新的数学分支也时常产生。然而，尽管数学学科在不断的发展，它的基本原理是相对稳定的。如果把现在的大学数学和 50年前的大学数学作比较，就会发现基础性的内容是差不多的，那时的很多优秀数学书籍现在仍然奉为经典。这是数学和一些新兴学科的一个显著区别。 　　数学大致分作两类：基础数学和应用数学。基础数学也叫做纯数学或理论数学，它是根据数学本身的需要而发展的。应用数学是在纯数学的基础上产生的各种具有不同程度的应用性的各种学科，这是数学和其他学科如物理、化学、计算机科学、经济学等的桥梁。 　　大学数学课程按学生的专业可以分成两大类：数学专业的和非数学专业的。按程度又分本科生课程和研究生课程两大类。数学专业本科生有低年级的基础课程和高年级的专业课程选修课程。低年级的基础课程主要包括数学分析、线性代数、复分析、微分方程、抽象代数、复变函数、实变函数、泛函分析等。非数学专业的本科生数学基础课程通常称‘高等数学’，内容以微积分、线性代数和微分方程为主，只是比数学专业学生学习的内容要浅些。非数学专业的学生在数学课程中接受的训练主要是计算和应用的能力，而数学专业的学生主要接受数学推理的能力训练。 　　学习数学的最主要的途径是看书。数学书籍大凡可以分教科书、学术专著和通俗读物三种。差不多所有数学分支都有一些不同深度的教科书。 1.2 如何选择合适的教材 　　对于在读的大学生或研究生，不需要化太多心思选择教材，只要用老师指定的教材就可以了。特别是如果在所修的课程中你感觉学到比较扎实，习题基本会做，那也不一定去看太多其他同类的教材。对于学生来说，参考书是双刃剑，一方面它可以开拓视野，加深对所学知识认识的深度，另一方面，由于不同的作者写书的构思不同，内容安排的次序也可能不同，甚至所用的术语也有区别，同时看几本同类的书会造成混乱。所以建议在下面两种情形下去寻找合适的参考书：1）觉得课堂上用的教材太难，大部分习题不会做，这时可找一本浅一点的或者对基本概念解释得更仔细一点的书。2）能轻松对付课堂内容，又对该课程有浓厚兴趣，这时可请老师推荐更深一些的教材。 　　前面我们提到过数学教材分数学专业和非数学专业教材两大类。它们的差异是巨大的，例如同样书名是 Linear Algebra的教材，工科的学生觉得数学系的教材的叙述太简洁，例子太少，图形少，计算题少，证明太多，习题太难。而数学系的学生觉得工科线性代数教材不严格，解释性的话太多，应用性的例子太简单。所以非数学专业的读者选择数学专业的数学教材要格外慎重，首先要判断其内容和深度是否是你确实需要或你感兴趣的，然后再估量一下你的数学基础够不够，千万不可勉强。 　　对于自学数学的同志，选择合适的教材是十分关键的，千万不要随便抓起一本书就念。选错书是会走很多弯路的。对于初学者，光看书名、目录和序言是很难准确地判断这本书是不是适合于你，需要仔细看看里面的内容。可以到书店去浏览，有些书店有很多品种的数学书，但是有很多最好的书籍在书架上是没有的，因此图书馆是一个更好的选择。也可以在互联网上搜索，当然身边有高手指点就再好不过了。 1.3 外国数学教材 　　中国国内有不少好的数学教材，为什么还需要外国的教材呢？从中学数学教材到大学低年级的教材来看，光用国内的教材已经够了，但是越到高的层次，对国外教材的倚靠就越明显了。不仅要使用翻译的教材，还要使用原版的。从语种来看，英语最为重要。世界上的数学大国是美国、俄罗斯、德国、法国、英国，这五个国家堪称数学超级大国。意大利、日本、印度和东欧诸国的数学也很强。中国虽然出些数学人才，但是和数学五大强国比差距仍不小，我们得摆正位置，老老实实学习人家先进的东西。日本和印度的数学家历来用英文写作。前苏联的数学教科书在 60年代对我国起很大影响，当时会俄文对学数学很有利。几十年前，非英语国家的数学教科书都用本国文字写。在当今的信息时代，英语几乎成了世界语，在数学中也不例外，连法国德国的数学家也经常用英文写作，在加上美国的数学界化了相当大的人力物力翻译数学名著。对于数学工作者来说，只懂英语一种外语也够了。 　　国外有几家著名的出版商如德国的 Springer Verlag, 美国的 Academic Press, 美国数学会(AMS) 和一些名校如英国的牛津、剑桥，美国的 Princeton大学的出版社都是数学教材大户。非数学专业用的数学书的出版商不象基础数学那样集中，多数由一些综合性的出版社如 John Wiley, Prentice Hall, McGraw-Hill 等出版。 　　数学类书籍的领头羊当数 Springer Verlag，它有很多系列丛书，主要给数学专业使用，最有名的几种是 　　1）GTM, 即 Graduate Texts in Mathematics, 至今以出版了 200 多种，覆盖面很广，但多数是基础数学方面研究生教材。 　　2） UTM, 即 Undergraduate Texts in Mathematics, 该系列比上面系列出现得晚一些，也没有列序号，因此品种也略少一些，似乎只有几十中，大部分是本科生数学教材。 　　3） Universitext, 这是 Springer Verlag 另一套无序列号的数学丛书，以数学系高年级的教材为主，里面不乏好书。 　　4） LNM, 即 Lecture Notes in Mathematics, 这是规模最大的丛书，以专著和研究生课程的讲义为主，现已有几千种。 　　Springer 还有几个系列非常专门，这里就不介绍了。 Springer 的数学书差不多都是醒目的黄色封皮，印刷和装订都很考究。书的数学质量也很高，很受读者欢迎。但是大部分书都适合于有较好数学训练的人阅读，建议我国数学系研究生和高年级本科生使用。 　　供大学生阅读的数学课外读物历来比较少。美国数学会在几年前推出的简装的系列丛书 Student Mathematical Library 倒是针对大学生的。 大部分书不到 200 页，选材比较有趣，非常有特色。美国数学会仿效 Springer Verlag, 也出版一套黄封面的研究生数学丛书，里面不乏好书。此外，美国数学会有一个翻译书系列，以俄罗斯和日本的数学译著为主，多数是研究性的专著，但也有一些高质量的教材。另一套值得推荐的系列丛书是伦敦数学会的 Student texts, 对象以数学专业高年级大学生和研究生为主，每本的篇幅为 200 页上下，内容覆盖的范围很广，基础数学方面的更多一些。 　　美国数学协会（Mathematical Association of America）的刊物 American Mathematical Monthly 是大学生（甚至低年级的大学生）可以看懂的数学刊物，和我国的“数学通报”相仿，但它的知名度和文章质量远高于“数学通报”，里面大量的文章可以作为大学数学系学生的课外读物。它每期都有一些竞赛性质的趣题。 　　下面谈谈供非数学专业使用的外国数学教材，其中最重要的是 Calculus. 美国的微积分教材品种很多，根据对象不同深浅也不一样，正象我国的高等数学课程分理工类、医学类、经济类等等一样。美国的微积分 教材篇幅很大，一本书一般都在 600 页上下，而且是大开本的。由于这是出版量最大的数学教材，印刷非常考究，校对也仔细，所以错误极少。我国的高等数学教材大部分比较简洁，其优点是信息量大，缺点是不利于自学。美国的微积分教材一般浓度不大，非常注意由浅入深，描述和解释性的话比较多，特别注意讲解实例，习题也很丰富，一般的读者只要没有英语方面的问题读起来是很快的。其他大学低年级的公共数学课程的教程也有这样的特点。这些教材之所以篇幅越来越大有商业上的原因，它们有更多的选学章节和附录供使用者选择，这样的书销路会好一些。它带来的负面作用是容易使自学者抓不住重点，所以我国读者使用这些教材需要注意，先在序言中看清作者写书的构思和意图，有的作者还给出导读表。有重点地阅读能更有效地掌握该课程的精髓。 1.4 外国数学教材的来源 　　自改革开放以来，我国在引进外国教材方面作出了巨大的努力。教委和科学院每年都花费大量外汇购买各种原版科技书籍。然而这些原版书价格非常昂贵，一般的读者很难承受，多数由图书馆采购，按我国现在的条件，一般大专院校的原版书的数量是非常有限的。 　　近十几年来，我国的一些出版单位如世界图书出版公司、高等教育出版社、机械工业出版社等购买了国外一些大的出版公司的部分书刊的版权后在中国影印出版，其价格只及原版书的五分之一到十分之一，种类也越来越多，这是喜欢外国教材的读者的一个重要书源。 　　随着信息时代的到来，电子书籍成了一个最诱人的书源。虽然数学电子书不象文科书籍那样容易在互联网上找到，但是它们的数量也是以惊人的速度增加。例如 Springer 在网上提供了它的全部电子出版物的收费网上资源，供集团订购。我国若干高校的图书馆（如清华、复旦）已经订购，那些学校的师生可以在所在校园自由下载。象它的系列丛书 GTM, UTM 自 1997年来的教材几乎全部可以下载。 　　近年来出现的网上维基百科全书（Wikipedia）已成为炙手可热的工具。从它的数学内容来看，覆盖面相当广，搜索非常容易，在 Google 主页上键入一个学术名词一般第一条就是 Wikipedia 的条目，可见其点击率之高。虽然作者是匿名的，但从绝大部分条目来看可以发现这些作者相当专业，准确性非常高，文章短小精悍，引用的参考资料对读者非常有用，不由得对这些作者的敬业精神表示敬意。 　　在外国数学书籍的学习过程中，难免会碰到一些在你所读到书中没有解释或没有解释清楚的术语，这时最好的办法就是去请教 Wikipedia。当然， Wikipedia 只是工具，绝不能替代教科书。 1.5 美国的大学数学教学 　　美国的大学数学课程的内容和世界上其它国家没有太大的区别。由于学生基础差异比较大在课程的设置和学时安排方面有它的特点。由于美国在科技方面仍是超级强国，对于它的大学数学教学作一定的了解是有好处的。 1.5.1 微积分(calculus) 　　毫无疑问，最重要的数学课程是微积分，这相当于我国的高等数学。大部分微积分课程都包含了空间解析几何甚至简单的线性代数和微分方程。多数学校（包括一些一流的名校）的数学系学生在大一修和理科其他专业同样的微积分课程，而在后续课程中再学数学分析，这一点和我国有很大的区别。看上去有重复，实际上花的学时差不多，学起来也轻松一点，这也符合循序渐进的原则，值得我们借鉴。对于非数学专业，其后续课程按需要而设置，例如理工类的很可能开“advanced calculus”课程，内容包括数理方程、Fourier分析等，生物医学类的专业可能学概率统计。 　　在近代的美国数学教学中有过两次重大的改革。第一次是 50年代末和六十年代初的“新数学运动”，此前法国的 Bourbaki学派对数学发起强烈的冲击，把公理化数学推向顶峰，产生一系列以前不可想象的重大成果。而历来美国的数学教育落后于欧洲先进国家。部分有声望的美国数学家发起了新数学运动，把一些抽象数学概念灌输给中小学生。当时也产生一些写得很通俗的中小学教材，使学生很早就学集合和映射，培养他们数学的理性思维。然而结果却差强人意，简直可以用“大失败”来形容。这不能怪那些发起改革的数学家，更不能怪 Bourbaki，只能说在美国当时不具有这样的条件。有人怀疑能教这些中小学新教材的中小学教师是否合格就是一个大问题。就像大革命失败后有一个反动的白色恐怖期一样，新数学运动后中小学的数学教学便变本加厉地复旧，使初等数学课本变的超级简单，甚至把平面几何的证明题从中学教材中全部砍掉。美国入大学比中国容易的多，只要肯付学费好赖能进个大学，这些中学生进入大学后大多数人见数学要头疼的。 　　80 年代的统计显示每年 30万修工科微积分课程的大学生中只有 14 万及格。美国的科技和教育界深刻认识到这个重大问题并痛下决心解决，于是在 80 年代末美国国家自然科学基金会出资一千一百万美元设立一个微积分改革的项目，这是美国近代的第二次数学教学改革。该项目是一个成员众多的集体项目，由哈佛大学牵头，除了一些大学数学教授外也吸收一批各应用领域（如物理、计算机科学、各类工程学、经济学、生物学、各类人文科学）的专家参与，参与此项目的最显赫的人士可数费尔兹奖得主 David Mumford 。第一个引人注目的就是一套教材，俗称哈佛教材，即我们书评中微积分的第一本教材。和新数学运动相反，哈佛教材所教的仍是传统微积分的内容，只是在强调的重点上不同。它突出对微积分在概念方面上的自然理解以及在各学科中的应用，在相当大的程度上放弃数学的严格性。全国有很多大学投入这项改革，包括哈佛、杜克、密歇根等一些名校，据 1999 年代统计在美国有五百多所大学和大专投入微积分改革运动，每年修改革微积分的人数达 30万，占修微积分课程学生总数的百分之三十二。那些院校除了使用哈佛教材外还新建专门的计算实验室。不少大学同时开改革的微积分和传统微积分两门课程供学生选修，经比较后调查的结果显示占一半的院校修改革微积分的学生比传统微积分好，另百分之四十说差不多，百分之十说不好。 　　在美国数学界对微积分改革和哈佛教材也有各种不同看法，甚至有人把它贬得一钱不值，特别一些理工类名校不屑使用这套教材。有个别原先参与改革的院校如加州大学洛杉矶分校后来退出了改革。 1.5.2 线性代数(linear algebra) 　　 近五十年来，线性代数也成了大学低年级的热门课程。和微积分一样，美国的线性代数也分两步走，先学线性代数第一教程，再学它的后续课程。第一教程是面向各专业的学生的，很多大学数学系的学生也学第一教程。 　　 1990 年十多个美国大学教授在美国国家自然科学基金会资助下开了五天会专门讨论线性代数第一教程的改革，会后向数学教育界提出五条建议（见five）。我们选一些要点概述如下：作为公共基础课程的线性代数的大纲应优先考虑授课对象的需求。需要学线性代数的学科主要有：计算机科学、电子工程、航天工程、系统工程、物理学、经济学、统计学、运筹学等。同时也得考虑少数修此课的数学专业学生的需求。由于相当数量的一部分学生不再修它的后续课程，本课程必须有一定的完整性。线性代数的应用的讲解是必要的，但要简明，使个不能专业的学生都能听懂。课程的深度按学生的数学基础来定。建议此课程以矩阵为主，而不是以抽象的线性空间和线性变换为主，这有利于培养学生的线性代数计算和应用能力，这和培养数学系的学生并无冲突。课程的核心内容如下： 　　 1）（3 个教学日） 矩阵的加法和乘法，转置，各种运算的性质，分块矩阵的运算法则。特别要详细讲解矩阵乘法 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-1-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='AB' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" A B AB 的如下解释： 　　 i) span style="position: relative;" id="MathJax-Element-2-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='Ax' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" A x Ax 是 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-3-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='A' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" A A 的列的一个线性组合， span style="position: relative;" id="MathJax-Element-4-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='AB' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" A B AB 中每一列是 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-5-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='A' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" A A 的列的线性组合。如果 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-6-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='D' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" D D 是对角阵，则 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-7-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='AD' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" A D AD 中的每一列是原来列的放大或缩小。如果 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-8-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='P' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" P P 是一个置换矩阵，则 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-9-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='AP' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" A P AP 的列是 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-10-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='A' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" A A 的列的一个置换。 　　 ii) span style="position: relative;" id="MathJax-Element-11-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='AB' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" A B AB 的每一行是 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-12-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='B' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" B B 的行的线性组合，... 　　 2）（4 个教学日）线性方程组，包括高斯消去法、初等矩阵、阶梯形矩阵、解答存在性和唯一性、逆矩阵、 LU-分解。 　　 3）（2-3 个教学日）行列式，余子式，按行或列展开， span style="position: relative;" id="MathJax-Element-13-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='|AB|=|A||B|,' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" | A B | = | A | | B | , |AB|=|A||B|, Cramer 法则 。从二阶和三阶引入行列式的计算和性质，尽量避免 冗长的证明。 　　 4）（7-8 个教学日） span style="position: relative;" id="MathJax-Element-14-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='n' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" n n 维实空间 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-15-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='Rn.' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" R n . Rn. 线性组合、线性相关、线性无关、基、子空间、生成元、子空间的基、矩阵的行空间、列空间、零空间、矩阵所定义的线性变换、矩阵的秩=行秩=列秩、重新解释线性方程组、秩+零空间维数=列数、内积、向量的长度、正交性、标准正交基、正交阵。不必证明所有定理。 　　 5）（6 个教学日）特征值、特征向量、特征子空间、方阵的对角化、对称阵和它的正交对角化、二次型。 　　 6）（4 个教学日）正交投影、Gram-Schmidt 正交化，QR-分解，最小二乘法。 　　 总共 26-28 个教学日，余下时间可以讲授选学内容。这里的教学日只有 50 分钟的课堂时间，比我国的课时少。 　　 参加讨论会的代表强烈推荐数学系必须设立相应的后续课程，例如抽象线性代数、矩阵分析、数值线性代数，使数学系学生有一个学年的线性代数训练。 　　 美国大学的公共线性代数课程大致上都按上面的精神设计的，这也可以在他们使用的教材中反映出来。对此有所了解有助于我们对外国教材的选用。 　　 目前我国大学的数学教学数学专业和非数学专业的界线过于明显。笔者认为数学分析和线性代数这两门数学系的主课可以借鉴美国的方式，每一门都分两个阶段，第一阶段学一个学期的公共课程，第二阶段学有严格证明的后续课程，不失为一种合理的安排。 1.6 本书的目标 　　2007年复旦大学数学学院和校图书馆外国教材中心组织一批力量对国外大学的的数学教材进行调查研究。选择一部分优秀的教材向国内同行和学生进行介绍，旨在帮助国内大专院校师生和自学数学的同志选择合适的外国教材，对于最常用的一些教材，我们对它们在国外的使用情况作了统计和调查。所有的书都由熟悉该书内容的教师书写介绍，其中有不少书在教学中使用过，对于书的特色和难易程度都有较明确的评论。我们相信我们的选书标准是高的，所以数量相对来说不大，所覆盖的范围也并不是太广。对于我们选中的书籍，大部分都作了简评，结合中国高校的情况列出一些使用要点。为了使读者更加全面地了解所选的教材，我们还选载了一些国外读者的比较中肯的评论，不光是讲优点的评论，也有很多讲书中的不足之处的，评论者多数是使用过该书的教师和学生。 　　在互联网上可以查到不少热心数学人士的网页上的一些读书指导，提供一些数学好书的清单，大部分都比较简略，由于是个人行为，收集的面也有一定限制。我们尝试组织一批精通业务的专家合作也提供一些对国内师生更有用的调查资料，起个抛砖引玉的作用。由于时间和人力物力的关系，这一次选的书的数量和范围有限，我们希望这只是这个工作的一个开头，以后根据条件是可以大大扩充本书的内容的。 　　本书分两个部分，第一部分是非数学专业（即公共基础课）的数学教材，第二部分是数学系的教材，它们又按不同的数学分支进行编排。本科生和研究生教材就不分了，因为它们间也没有非常明确的界线。对于大部分书除了一些基本资料外都有以下几项参考指标： 　　适用范围，预备知识，习题数量，习题难度，推荐强度（最高是 10）。 　　希望这些指标对读者选书提供帮助。 参考文献： 　　David Carlson, Charles R. Johnson, David C. Lay, A. Duane Porter, The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra, The College Mathematics Journal, Vol. 24, No. 1 (1993), pp. 41-46. 　　J. Hurley, U. Koehn, S. Ganter, Effects of Calculus Reform: Local and National, American Mathematical Monthly, vol.106, no.9 (1999),pp.800-811 　　Kerry Johnson, Harvard Calculus at Oklahoma State University, American Mathematical Monthly, Vol.102, no.9 (1995), pp. 794-798. 　　David Klein and Jerry Rosen, Calculus for the $ millions, Notice of AMS, no.7 (1997), pp. 1324-1325. 　　David Mumford, Calculus for the millions, Notice of AMS, no.5 (1997). 2 非数学专业的数学教材 　　在国内外高校中，高等数学是占课时最多的课程之一，因为几乎每个系每个专业都多少要学微积分，或许还要学线性代数、概率统计、微分方程等。这些数学和数学专业所学的数学有很大的不同，它们所强调的是计算和应用，而数学专业的学生需要学系统的理论并且训练证明定理的能力，所以数学专业的数学书籍有一定深度，不适合于工程类、医学和文科各专业的学生使用。理科有些专业（如物理、力学等）对数学的某些分支要求比较高，也可以使用数学系的教材。 　　我国高校的高等数学按深浅一般分几类，有的学校分 3类，有的分 4类，最低的一般是文科数学，最高的是对物理系和力学系开设的数学，国外大致上也是如此。 　　我们对美国的微积分教材和线性代数教材分别进行了调查研究，各自精选了十本左右有影响力或使用院校比较多的教材向读者介绍。我们列举的使用院校是根据非完全的统计，仅供读者选书时参考。 2.1 微积分 　　微积分是大学数学最基本也是最重要的课程，可以毫不夸张地说高中的数学教育的目标就是为微积分打基础。从历史上看，牛顿发明微积分是为了解决当时物理学不能解决的问题，这形成了数学的一个飞跃，随着数学的发展，为微积分建立严格的理论基础成为一个迫切的任务，经过数学家们不懈的努力，在 19 世纪就形成非常严格的微积分理论，被称为数学分析。现在国内大学数学系学的“微积分”大部分就叫“数学分析”。而非数学系大学生学的“微积分”则含在一门叫高等数学的课程中。 　　在英语国家中是没有 Advanced mathematics 这门课的，他们的 Calculus 课程对应我们的高等数学，他们的 Mathematical analysis 或 Advanced calculus 对应我们数学系学的数学分析。还有些书名含 Real analysis 这词组，这就要看书的内容了，有可能是数学分析，也可能是比数学分析更深的实变函数论。如果一本书名是 Vector analysis, 则它就是讲多变量的微积分，相当与我们高等数学后半部分的内容。 1) Calculus, third edition 作者：Hughes-Hallet,Gleason,McCallum et al. 出版商：John Wiley Sons, Inc. (2002) ISBN 0-471-40826-3 页数：623 适用范围：理工类大学本科生微积分教材 预备知识：高中数学 习题数量：大 习题难度：低 推荐强度： 9.3 使用学校： Duke University, University of California at San Diego, Northern Michigan University, University of Cincinnati, University of California at Merced, Virginia Polytechnic Institute and State University, University of Massachusetts at Amherst, Florida State University, Georgia Institute of Technology, Harvard University, Oklahoma State University, Sonoma State University, St. Louis University, Winona State University, University of Rhode Island, Berea College, The University of Arizona Jacksonville State University, Willamette University, Arizona State University, Western Oregon University, University of South Carolina, Marquette University, Western Washington University 　　书评：在美国非数学专业的微积分教材中 Thomas 的 Calculus 统治了很多年， 80 年代我在美国任教时这是指定的标准教材。虽然该教材不断修改和再版，但这么多年由一本教材垄断并非正常。Hughes-Hallet,Gleason,McCallum 等一批有志于微积分教材改革的人士合力推出这本全新的微积分教材，简称为哈佛微积分，这是一套受美国国家自然科学基金会重金支持的教材。 　　本书的内容和传统的微积分没有任何不同，但是更突出重点。象交响乐的一个乐章里有陈述部、展开部和再现部一样，本书对每一个最重要的概念从不同的角度反复讲解，这种一唱三叹的方法很容易让初学者抓住重点。这正是作者提到的“三步法则”(Rule of three): 图像、数值和解析式。另一个特点是降低微积分计算部分的要求而重视对基本概念和方法的正确理解，作者认为用大白话 (plain English)来理解数学比记住一些公式更重要。所以，象极限、导数、积分这些概念的第一次出现都用大量精心设计的文字、生动的图象来解释，然后再用一系列实例来展示其威力，最后在选学内容中写出精确的定义。 　　本书的另一特色是习题的多样性，应用题的数学很简单，但涉及各科学，特别在生物、医学、经济和人文科学中的应用的习题数量很多，这是以前的微积分教材所没有的，在学习和做题过程中学生可以在早期就建立数学建模的思想。 　　本人在 2003 年在美国使用此教材教过一学期，学生程度参差不齐，即使基础较差，凡用功的学生都能达到本教材的基本要求。经过实际使用，本人体会到作者在此教材上倾注的心血。错误极少，虽然是多人合作，但章节间的衔接非常自然。本书还配有习题详解 Instructor's solutions manual, 760 页和概念测验 Concept tests 306 页。目前已被包括哈佛大学、杜克大学在内的一批大学定为大一微积分教材。 　　本书还有后续本：多变量微积分，仍保持原来的风格，主编的次序改变了，编委名单也有一些改动，菲尔兹奖得主 David Mumford 的名字出现在编委名单中。（杨劲根） 　　国外评论摘选 　　i) This is not the classic calculations approach to the subject. It is a totally new way of thinking and mastering the subject with out having to do page upon page of number crunching. Use this book along with a graphing calculator and you too can learn to literally see what happens when equations are manipulated. A begining student conceptually gains an understanding of the subject with out getting bogged down in plugging and chugging and derivations. It's written in plain English. 　　ii) The authors of this text dislike the "plug and chug" methods of other texts, possibly necessitating an instructor more strongly than other books. The book stresses graphs and "real life" applications, making it more realistic and less abstract than other Calc books may seem. Contains useful formulas and rules on inside covers and selected answers section at the back. Overall a great book to use in class. 2)书名:Calculus 系列书 作者:James Stewart 出版商:Thomson/Brooks/Cole 适用范围:非数学专业大学一年级 预备知识:高中数学 习题数量:大 习题难度:从容易到中等都有 推荐强度: 9 　　书评: 　　Stewart 的教材以前我不了解，这次调研外国高等数学教材的过程中发现了他的书的使用率是在各同类教材中名列前茅的。仔细查查，他一个人大约写了八本不同的微积分教材，应该是针对不同对象的，或者说分 A,B,C,...类的。我翻阅的一本是 Calculus 第五版，一千一百多页，包含多重积分和二阶常系数线性微分方程。我的印象是：这是一本朴实无华的相当标准的教材，包含了理工科一年级大学生应该学习的所有内容，在很多关键章节的写法是很细致的。应用题很多，但以物理中的应用为主，多少算是还微积分的本来面目，很多章节后还有一些供学生培养独立研究能力的课题，如彩虹的原理，电影院里座位的视角分析等。在单变量微积分和多变量微积分之间插了几章关于空间解析几何，其数量比较恰当。 　　下面列举这个系列中的五本书的使用院校情况。 （杨劲根） 　　i) Calculus : early transcendentals （2003 第五版） 　　使用学校(30多所)： 　　University of California at Berkeley, Columbia University, Saint Joseph's University, Louisiana University, Salisbury University, University of Minnesota, Rensselaer Polytechnic Institute, California State University at Channel Islands, University of Massachusetts at Amherst, San Joze State University, Michigan State University, Tufts University, University of Michigan at Ann Arbor, University of Virginia's College at Wise, University of California at San Diego, Loyola University at Chicago, Tennessee Technological University, College of Charleston, Asheville Buncombe Technical Community College, University of West Georgia, Georgia University at South Bend, Purdue University, University of Washington, Florida State University, California State University, Indiana University, Southeast Grinnell College, Carnegie Mellon University, Vanderbilt University, Dartmouth College, California State University at Dominguze Hills, Idaho State University, Athabasca University in Canada, The University of Texas At Austin, University of Southern California, University of Pennsylvania, California Polytechnic State University 　　ii) Single variable calculus （2003 第五版） 　　使用学校(20多所)： 　　Hunter College of CUNY, Louisiana State University, Florida Atlantic University, University of Illinois at Urbana-Champaign, College of Charleston, Johns Hopkins University, Wake Forest University, Emory University, Florida State University, California State University at Stanislaus, Boise State University, University of Washington, The University of Western Ontario, Stony Brook State University of New York, College of the Holy Cross, San Diego State University, Oberlin College, University at Albany, State University of New York, Loyola College in Maryland, University of Missouri-Columbia, Saginaw Valley State University, Duquesne University, Rivier College 　　iii) Multivariable calculus （2003 第五版） 　　使用学校(20多所)： 　　Harvard University, Hobart and William Smith college, California state University at Dominguez Hills, University of Minnesota, University of Michigan, University of Connecticut, Rustgers the State University of New Jersey, University at Buffalo, Temple University, University of Minnesota at Duluth, Brown University, Kennesaw State University, Klarkson University, Binghamton University, Boise State University, University of Colorado at Colorado, Springs University of Minnesota, Morris University of Rhode Island, Stony Brook University, Oberlin College, University of California at Irvine 　　iv) Calculus : concepts and contexts （2003 第三版） 　　使用学校(近20所)： 　　Mount Saint Mary College, Whittier College, University of Richmond, The University of Kansas, Kalamazoo College, Howard University, North Carolina State University, Northeastern University, Graceland University, Washington University in St. Louis, Wright State University, Stanford University, University of Minnesota, University of Tennessee, Northwestern University, University of Cincinnati, Utah State University, Oklahoma State University, University of Wyoming 3)书名：Applied Calculus 作者：Deborah, Hughes-Hallet et al. 出版商：John Wiley Sons, Inc. (2006) ISBN 0-471-68121-0 适用范围：生命科学、管理和文科各类大学本科生微积分教材 预备知识：高中数学 习题数量：大 习题难度：低 推荐强度：9.2 使用学校： Macalester College, Temple University, Indiana University,Purdue University, University of Rhode Island, Idaho State University, University of Sioux Falls,Loyola University Chicago 国外评论摘选 i) APPLIED CALCULUS, 3/E brings together the best of both new and traditional curricula to meet the needs of today’s students. The author team’s extensive teaching experience and proven ability to write innovative and relevant problems has made this text a true bestseller. Exciting new real-world applications make this new edition even more meaningful to students in management, life and social sciences. This book will work well for those departments seeking a middle ground for their instructors. APPLIED CALCULUS, 3/E exhibits the same strengths from earlier editions including the “Rule of Four”, an emphasis on concepts and modeling, exposition that students can read and understand and a flexible approach to technology. The conceptual and modeling problems, praised for their creativity and variety, continue to motivate and challenge students. ii) This is a magnificent calculus book. It is aimed at students in business, the social sciences, and the life sciences. This is done by first the examples and problems. But perhaps even more important the wording of the text is such that these students will understand what they are trying to convey and to clearly show them how calculus can be used to solve problems in their particular field. 　　At the beginning of the book, three pages of the Preface, the applications discussed in the text are listed by: Business and Economics, Life Sciences and Ecology, Social Sciences, Physical Sciences. Under these headings are subjects like: Value of a Car, AIDS, Cancer Rates, Abortion Rate and so on. These are subjects that will have some interest and applicability to students rather than the old traditional problems like water flowing into and out of a bucket that used to be the mainstream of teaching calculus. 4)书名：Advanced Calculus, 2nd Edition 作者： Patrick M. Fitzpatrick 出版商： Brooks/Cole (2005),机械工业出版社影印 页数：590 适用范围：数学系与理工科其他专业的本科生 预备知识：高中数学 习题数量：较大 习题难度： 具有一定难度 推荐强度：9.3 使用学校： University of Northern Iowa, University of Alberta, University of Colorado at Denver, University of Central Florida, Virginia State University, San Diego State University, University of Rhode Island, University of California, University of Colorado, University of Central Arkansas, Fayeiteville State University, Brigham Young University, University of Calgary, Oregon State University, University of Illinois at Urbana-Champaign, University of Wisconsin at Whitewater Patrick M. Fitzpatrick拥有格兰特大学博士学位，是纽约大学科朗研究所和芝加哥大学的博士后，1975年进入马里兰大学College Park分校任教，现在是数学系教授和系主任，同时它还是巴黎大学和佛罗伦萨大学的客座教授。他的研究方向是非线性泛函分析，在该方向著有50多篇论文。 书评: 本书以清晰、简洁的方式介绍了数学分析的基本概念：第一部分讲述单变量函数的微积分，包括实数理论、数列的收敛、函数的连续姓和极限、函数的导数和积分、多项式逼近等；第二部分把微积分的概念推广到多维欧几里得空间，讨论多变量函数的偏导数、反函数、隐函数及其应用、曲线积分和曲面积分等。数学分析已经根植于自然科学和社会科学的各个学科分支之中，微积分作为数学分析的基础，不仅要为全部数学方法和算法工具提供方法论，同时还要为人们灌输逻辑思维的方法，本书在实现这一目标中取得了引人注目的成果。本书一方面按传统的和严格的演绎形式介绍微积分的所有主题，另一方面强调主题的相关性和统一性，使读者受到数学科学思维的系统训练。 本书的一大特点是除了包含必不可少的论题，如实数、收敛序列、连续函数与极限、初等函数、微分、积分、多元函数微积分等以外，还包含其他一些重要的论题，如求积分的逼近方法、Weierstrass逼近定理、度量空间等。例如本书专门用一章讨论度量空间，从而把在欧几里得空间讨论微积分时使用的许多概念和导出的结果扩展到更抽象的空间中，引导读者作广泛深入的思考。 另外，与第一版相比，第二版增加了200多道难易不等的习题。全书贯穿了许多具有启发性的例题，并且本版还为教学考虑进行了许多实质性的改动，例如将选学材料与前后内容的关联度降到最低，单独放置，既不影响教学和读者自学的进度，又能让读者集中攻破一些难点，这样使得全书的叙述更简洁、更自然。本书曾于2003-2004年作为马里兰大学教材。 （高威） 国外评论摘选 i) A great book. Starts with two very good chapters on linear algebra, adapted to the needs of calculus, and then proceeds to introduce you to the contemporary way to do multivariate calculus, including existence theorems connected to completeness. Very thorough treatment of integration, including integration of forms on manifolds, up to the Stokes theorem, built upon a fine chapter on differential manifolds, exterior differential forms, riemannian metrics, etc. Good illustrations and beautiful typesetting add to the joy of reading it. Plenty of exercises and chapters on applications to physics and differential geometry. ii) This is the best book on mathematics I've ever come across. The superbly written text succeeds in guiding the reader in an easy, clear-cut, graceful way through the realm of what he modestly calls "Advanced Calculus". Some minor misprints are to regret, but they don't even come close to blurring the fact that this is - no doubt about that - an unsurpassable masterpiece. iii) As Spivak's "Calculus on Manifolds", this book is labeled with a very modest title. It should be something as "All you wanted to know about analysis on manifolds but were afraid to ask". This book is a must-reading for the analyst. It covers everything from the most basic vector space concepts up to the fundamental theorems of classical mechanics, running through multivariate calculus, exterior calculus, integration of forms, and many topics more, always keeping a very modern and rigorous style. The undergraduate may find it a little difficult, but the effort is worth it. For the graduate student and the working mathematician it is an almost-daily reference. iv) This book is out of print, but is available from Sternberg's website. Search on his full name at Google. 5) 书名：Calculus: early transcendental functions, 4th ed. 作者： Ron Larson, Robert P Hostetler, Bruce H Edwards 出版商： Houghton Mifflin, Boston (2007) ISBN 0-618-60624-6 适用范围：对数学要求不高的专业的本科生微积分教材 预备知识：高中数学 习题数量：大 习题难度：低 推荐强度：9.2 使用学校 ： Houghton Mifflin College, Chandler-Gilbert Community College, South Carolina Technical College, Penn State University, The Behrend College, University of Colorado at Denver, Alamo Community Colleges, Johnson County Community College, The Community College of Baltimore County, Emory University, Jackson Community College, Michigan State University, Tri-country Technical College, Rivier College, Rutgers: the State University of New Jersey, Trident Technical College, Mississippi College, Jacksonville State University, Collin County Community College, District Hobart And William Smith Colleges, Oakland Community College 国外评论摘选 i) I have taught calculus for over 20 years, from about half a dozen books: Thomas, Swokowski, Anton, Stewart, and others. Two years ago our university adopted the 6th Edition of Larson. As a pedagodical tool, this text is head and shoulders about all the others. The text uses abundand graphics, a clear design, concise writing, thoughtful examples, and carefully crafted exercises to make calculus accessible to students. I have never had so many students volunteer compliments about a text. This text is simply the "best of the best." ii) This textbook is much better than the one that is currently a bestseller (Stewart). It explains concepts and examples clearly, showing every step so that we don't have to wonder how did something happened. It is best suited for someone who doesn't have a lot of time to spend on reading long discussions of theorems... and for someone who doesn't want to go too deep into material and wants to quickly get the concepts. But don't think it is some Dummies or Made Easy guide, it is still a textbook that takes time to read. What I like most about this book is that the authors' style of writing is very clear and friendly: Not many big words or abstract phrases. 6) 书名：Calculus, 9th ed. 作者： Saturnino L Salas, Einar Hille, Garret J Etgen 出版商： John Wiley Sons (2003) ISBN 0-471-23119-3 适用范围：数学系、物理系或力学系本科生微积分教材 预备知识：高中数学 习题数量：中等 习题难度：中等 推荐强度：9.2 使用学校： Clark University, University of Houston, James Madison University, Johns Hopkins University, University of South Florida, Georgia Institute of Technology, Athabasca University in Canada, University of Washington, 台湾国立成功大学, New York University, The University of Texas at Austin, Georgia State University, University of Chicago, University of Illinois at Urbana-Champaign, New York University, National University of Ireland at Galway 国外评论摘选 i) This is a superb textbook and it's easy to see why the book is in its ninth edition. What I really enjoyed (yes, I know this may sound a little incongruous in relation to calculus) was the step-by-step build-up of knowledge with good, clear examples. Also, for the problems at the end of each section, all the odd problems have solutions, so one can get some practice (something that is unfortunately rare for many textbooks). Before going through this book, I had minimal exposure to calculus and what I had seen wasn't very favorable. This book was a key reason why I now really enjoy the subject and feel very comfortable in this area. ii) I used this book in my first engineering calculus course. The professor was incredibly theoretical and did not teach from the book which made matters somewhat difficult. However, he was showing us the meaning of math which I found refreshing. This book serves its purpose as one which teaches the mechanics of solving problems but very little in developing an intuitive feeling for mathematics. I must admit that the multitude of exercises were very helpful in getting comfortable with difficult mechanical problems. For single variable calculus it is a standard book with good examples, excellent diagrams, and some applications. Getting into multivariables, the ideas are not connected well and seem segragated from the rest of material. I guess as a brief overview, it makes its point but should not be used as a text for multivariable calculus. If you are interested in theory I recommend Apostol's Calculus which covers a great range of material with rigorous foundation. As far as exercises go, Michael Spivak's Calculus is quite challenging and will keep you occupied for months. All-in-all, a great book for brush up and single variable material but not to be used for higher dimensional analysis. 7) 书名：Calculus, 3rd ed. 作者： Monty J Strauss, Gerald L Bradley, Karl J Smith 出版商： Prentice-Hall (2002) ISBN 0-130-95005-X 适用范围：对数学要求较高的专业的本科生微积分教材 预备知识：高中数学 习题数量：中等 习题难度：中等 推荐强度：9.2 使用学校： The University of Texas at Arlington, Texas Tech University, Devry University, Northwestern University, Utica College, Rutgers: the State University of New Jersey, Whatcom Community College, University of Wisconsin at Green Bay, King's College, University of London, Dartmouth College 国外评论摘选 i) I learned calculus from this book, and i think that as a text it is excellent. I learned very little from my lecturer, and almost 90 percent of my three good grades in calc 1,2 and 3 can be attributed to the pages of this book. On the other hand, by the end of the year my book had nearly fallen apart. ii) Many people say that this book is bad. On the other hand, I think is very challenging. The exercises are not as simple as in other calculus textbooks. The book explains everything well and provides you with many examples. I am a math major and this book has been really helpful. 8) 书名：Calculus, 9th ed. 作者： Dale E Varberg, Edwin J Purcell, Steven E Rigdon 出版商：Prentice-Hall (2007) ISBN 0-131-42924-8 适用范围：理工类本科生微积分教材 预备知识：高中数学 习题数量：中等 习题难度：中等 推荐强度：9.2 使用学校： University of Wisconsin at Madison, The University of Chicago, Iowa State University, University of South Carolina, California State University at Northridge, Syracuse University, Worcester Polytechnic Institute, Oregon State University, Saint Louis University, The Ohio State University, Southern Oklahoma Technology Center, Southern Illinois University at Edwardsville, Saint Louis University, Denison University, York University, The University of North Carolina at Chapel Hill, Virginia State University, 台湾国防管理学院 国外评论摘选 i) When I was 15, this was the book that I taught myself Calculus from. Now that I'm a professor, this is the book that I use to teach Calculus. In this review I will give the pros and cons of using this book from both a student's and teacher's perspective. A Student's Perspective When learning Calculus, I read every page of this book and did every problem. Students will complain that examples and discussion in each chapter seem inadequate to do all of the problems at the end of the section. I feel that this is part of the design of this book. The problems are intended to be instructional. Indeed this book has a corresponding student solutions manual that helps students to check their work and see if they are "getting it". The problems in the book range from extremely elementary up to moderately challenging. If, instead of instructional problems, this book had given enough examples and text to explain all of the ideas, it would have to be over 2000 pages long. Students should think of the problems in each section as being part of the instruction instead of problems to test previously acquired skills. When teaching myself from this book, I was able to do all but a few of the problems. Granted I had to spend a considerable amount of time struggling with some of them, but for a talented and dedicated student, every problem in the book is accessible and most are extremely instructive. I should also mention that the book is very well written. Having never actually read a math text book from cover to cover back then, I didn't have too much problem tackling this one. It's very rare that a math text be thorough, informative, and easy to read. This one manages to be all three. The main drawback of the book is that the students solutions manual is absolutely essential and will be an additional cost. Even if money is tight, as it often is for students, make certain that you buy this manual. A Teacher's Perspective As I said above, the problems in this book are intended to be instructional. For this reason it is imperative that a teacher not just lecture from the text and examples, but dig into the problems and carefully choose the most instructive ones for in-class presentations or homework assignments. If you only lecture from the text and examples, you'll only be teaching your class a small fraction of what this book has to offer. If you use this for a course, do as many examples as you have time for. I dedicate one lecture per week to doing nothing but working problems. It might be best to work though the even numbered problems for your class, as the odd numbered ones all appear in the student solutions manual. The layout of the book is a little bit flawed. This book is aimed at three semester Calculus sequences in state universities and liberal arts colleges. It is not a meant to challenge exceptionally bright students. For this reason parts of chapter 2 seem inappropriate- specifically the sections on the rigorous definition of limits and continuity. If you're teaching a calculus course to non-math majors at modest universities, why would you force students to wade through the muck of mathematical proofs of continuity and existence of limits? In my experience the students absolutely hate this part of the course and gain nothing from it. If you have a few bright kids in your class, you can work with them on an independent study of the more theoretical areas such as this. Also, there are few chapters in the book that are out of place. For example, the chapter on integrating to find the volumes and surface areas of solids of revolution comes way too early while the chapters on transcendental functions, inverse functions, and L'Hopital's Rule come way to late. Overall the presentation of new ideas is very good in this book, with one notable exception. The book introduces the natural logarithm (ln x) through it's definition in terms of the antiderivative of 1/x. From there it uses the inverse function theorem to derive the exponential function and it's properties. I, and my students, find it more natural to define the Euler number, e, in terms of continuously compounded interest, and then derive the natural logarithm and its properties from the exponential function. It's a matter of taste, but the later approach seemed more lucid to my students. You may want to supplement your lectures in this way. One of my favorite features of this book is that not only does it cover all the material from a traditional three semester Calculus sequence, but it also has chapters on analytical and numerical solutions to ordinary differential equations as well as an appendix containing more theoretical material for brighter students. If you find yourself teaching an unusually talented bunch of kids, the appendix on mathematical induction as well as the aforementioned sections on ODEs and proofs of continuity and existence of limits can make great supplements to challenge those eager to dive into mathematics. ii) Ok, let me start by stating that because this is "the shortest mainstream calculus" text out there, it does not mean this has less value. It would seem to be so, but this is the exception to the rule where shorter texts means dumber texts. Explaining mathematics is a bit of an art: you have to choose in what sequence things are to be layed out to the reader, so this means you have to choose how you will relate the explanations to one another. The Purcell I read (the 1st edition - it was my dad's) is quite masterfull at that. Often, when my college standard text got the explanations too verbose and confused, I looked for my Purcell copy and there it was, crystal clear: short, mathematically rigorous, to the point. 2.2 线性代数 选的8本广泛使用的线性代数中，Hoffman-Kunze 的教材最深，适合于对线性代数要求高的专业使用，其次是 Strang 的 Linear Algebra and its Applications. 其它教材一般都比较浅。 1) 书名：Linear Algebra and its Applications 作者： Gilbert Strang 出版商： Thompson Learning, Inc. (1988) ISBN 0-15-551005-3 页数：505 适用范围：理工科大学本科基础数学二学年的教材 预备知识：微积分 习题数量：大 习题难度：容易到中等 推荐强度：9 使用此书的部分院校 Massachusetts Institute of Technology , University of California，University of Delaware，Indian Institute of Technology, Bombay，University of Maryland，State University of New Jersey，Tulane University，State University of New York Institute of Technology，SUNY Institute of Technology，Rivier College，New York University，Duke University，University of Colorado at Denver，Yale University，University of Houston，Loyola University，Drexel University，Tufts University，Stanford University，University of Regina，North Carolina State University，Brown University，Dartmouth College，University of Washington，Georgia Institute of Technology，Pennsylvania State University 书评： 本课程是麻省理工学院数学系为全校设置的王牌课程之一，至少已有30年的历史。 作者亲授的全套课程录象已经在 MIT 的官方 网站上免费下载。本书从实用的角度包含了线性代数的全部内容，对基本概念的理解方面作者不惜用较多的文字 作解释，并且几乎手把手地教读者学会使用一些常规的线性代数方法。然而，本书决不是一本“傻瓜书”，它对 读者的预备知识虽然不高，对智商还是有一定的要求，比较适合我国重点大专院校使用。 我观看过该课程的部分录象，视频和音频质量不很高，有一定的英语听力的人可以听请每句话。 看录象比看书更有启发性。顺便提一下，Strang 教授在 MIT 开设的另外两门应用数学课程 18.085,18.086 也有录象，可在 http:\\ocw.mit.edu\ 上找到。 在Amazon 网站上此书有67 篇读者评论，五颗星的31篇，一颗星的19篇（如下面所摘录的第5篇），中间的很少， 这在一定程度上说明了这本书的特点， 同时也提醒读者这本书是不是适合于你。 （杨劲根） 国外评论摘选 1) 就Linear Algebra 而言,我还没看到比 Gilbert Strang 的书更好的书。他的 Linear Algebra and Its Application 虽然旧，但经典，就像 Rudin 的书一样，难以被替代。他有一本比较新的书，Introduction to Linear Algebra，1993 年的。如果想深入，那么他的另一本巨著 Introduction to Applied Mathematics 则最适合不过了，这本书把 linear algebra 跟其他数学分支结合在一起，配上他启发性很强的描述，感觉好像在看小说，新奇，激动，期待。 现在 Gilbert Strang 的两门课 linear algebra 和 applied mathematics 都被 MIT 放到网上了，有全部的上课现场录像，还有很多相关的学习资料，上课的录像可以在线看或是下载下来看。 Gilbert Strang的讲课风格跟他的写作风格一样，充满睿智和启发性，还带点情节， 比起大部份的数学教育者沉闷的讲课模式和呆板的板书，Gilbert Strang 的课很难让人睡着，当然前提是英语听力水平不能太差。建议去看看，感受一下大师的风采， 同时也感受一下 MIT 的气氛。 2) The Mathematics Department used linear algebra books by Howard Anton, Bernie Kolman, and David Lay for many years. I took a chance two years ago and adopted Gilbert Strang's linear algebra book for a large engineering course. We used the second edition of Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press. Several colleagues said it couldn't be done, but students and the instructor survived nicely to see another day. Many students said they enjoyed the book. Gilbert Strang's enthusiasm for the subject matter comes through in the text and students find it a refreshing change. Another strong point is an extensive set of problems. Many problems probe the subject in a way that requires students to think about linear algebra. Routine problems are not forgotten. This is good. Students can work on problems that help them put the subject in their own voice. A third strength is the layout of topics. Matrix multiplication and elementary row operations from a matrix viewpoint are developed first, and this provides an opportunity to discuss row reduction, matrix inverse, and the decomposition with little extra effort. Other standard subjects follow in order and orthogonality arrives early. Computation is not ignored and the text is organized so that computation is optional. LU I worked to adapt my notes and style to the text. After a while, I discarded my old notes and discovered freshness in the subject that I had not known for some time. Enrollment in the course for engineers has increased dramatically in the last two years. More than 250 students studied linear algebra and matrix theory at Drexel University in the spring of 2005. All day students taking linear algebra at Drexel used Gilbert Strang's book. I plan to use it again. Herman Gollwitzer,Mathematics Department,Drexel University 3) I had the opportunity to learn linear algebra from Prof. Strang's online video lectures at MIT. This book will be a good comapanion to those lectures. All of you who hate Linear Algebra should take it from me : Watch the lectures along with the book, you will do no wrong. Strang's insights as he lectures, will make you fall in love with Linear Algebra. Rajesh Kumar Venugopal, Syracuse, New York 4) 這是本非常適合自修的書，書中的用字都是很基本的單字，讓英文不是很好的我也能輕鬆地閱讀； 内容由浅而深，观念清析，圖示更是一絕，封底有一個解釋 linear transformation 的圖，完全表達出 linear transformation 的精髓，令我嘆為觀止，解釋 SVD 的圖也同樣令我印象深刻。另外，這本書在 2003 年出版了第三版 也已經在我必買的書單之中了。 5) Strang tells us in the preface that linear algebra is a beautiful subject, and he is correct. Yet he seems intent on strangling its theoretical beauty with a matrix based approach to vector spaces, and an ugly preoccupation with span style="position: relative;" id="MathJax-Element-16-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='{\mathbb#xA0;R^n.' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" {\mathbb R^n. {\mathbb R^n. It's clear that this book was not written to be either a lucid explanation of how to use linear algebra, nor was it intended to be an aesthetically pleasing exposition of theoretical linear algebra. It was written somewhere in between, and it is an unhappy medium. If you are interested in a theoretical treatment of linear algebra, there are sorrowfully few good texts available. The title of Axler's "Linear Algebra Done Right" is a result of this fact, and if you are seeking a mathematically pure treatment of the subject, that book is a much better choice. If you're not interested in the theory, but only the applications, you should still be able to find a much better text than Strang's. 2) 书名：Introduction to Linear Algebra, 3rd edition 作者：Gilbert Strang 出版商： Wellesley Cambridge Press (2003) 页数： 适用范围：理工科大学本科二学年 预备知识：微积分 习题数量：大 习题难度：容易 推荐强度：8.3 使用学校： Case Western Reserve University， College of the Redwoods，University of Houston，University of Miami，University of Minnesota，University of Colorado at Denver，Cornell University，Massachusetts Institute of Technology，Loyola University，Drexel University，University of Maryland，Columbia University，Brown University，Rutgers, The State University of New Jersey，Michigan Interdisciplinary and Professional Engineering (InterPro)，University of Nevada, Reno，University of Alabama at Birmingham，College of the Redwoods，Wellesley College，Mount Holyoke College，University of Wyoming 国外评论选摘： i) People say that mathematical truths never change, and that's true enough. New concepts, applications, and techniques keep emerging, though, so math teaching needs to keep up with the times. Strang has done an outstanding job of keeping this book current and relevant. It's not a mathematician's math book - this is aimed at people who need results and needs computational techniques more than they need crystalline theorems. That's why it's so helpful to see applications like Markov models, Kirchoff's laws, and Google's analyses of the web. It's also helpful to see examples worked in Mathematica and MATLAB, the tools of choice for desktop exploration of numerical systems. It's startlingly easy to come up with a 100x100 system of equations, and just nuts to try to solve it by hand. Strang assumes some amount of calculus in this book, something that other books on linear algebra sometimes skip. That raises the bar for the readership, but also opens up topics like change-of-basis in function space, including Fourier analysis. It also allows differential equations to be addressed as linear systems. Even without calculus, though, a reader is exposed to the singular value decompostion, QR and other matrix decompositions, and considerations in performing the computations. I found a few oddities, such as the description of a matrix's condition number. That has great physical meaning when it's taken as the ratio of the matrix's highest and lowest eigenvalues, but Strang gives a definition that I found less intuitive. Such oddities are rare, though. Even though this book covers many topics, its emphasis is on clear and applicable presentation. I recommend this to anyone studying linear algebra or who, like me, has to brush up on basics not used in many years. ii) Gilbert Strang is a very experienced teacher of Linear Algebra, and this book is written as a text based on his MIT linear algebra class. Math majors will not find the 'definition-proposition-lemma-theorem-proof-corollary' treatment here. Instead Strang, aware of the need to teach non-math majors the subject, explains linear algebra in a simple but effective way --examples, diagrams, motivations. This book is one of those with which you can skip class the whole semester and get good grades (but don't do it! get your education in the classroom). 3) 书名：Linear Algebra and its Applications, 3rd ed. 作者：David C. Lay 出版商：Addison-Wesley 页数：445 适用范围：工科经济农医类本科二学级数学教材 预备知识：微积分 习题数量：大 习题难度：容易 推荐强度：9 使用学校： Ohio Northern University，University of Kentucky，University of North Carolina at Charlotte，University of South Carolina, University of Memphis, Agnes Scott College，Alamo Community Colleges，Bates College，Boston University，Florida State University，Michigan Technological University，Salisbury University，Stony Brook University，University of Maryland，University of Connecticut，University of Massachusetts Amherst，University of Missouri-Rolla，University of Oregon，University of Texas At Austin，Boise State University，Brigham Young University，New Mexico State University，New York University，San Jose State University，Yale University，Westmont College，Rivier College，University of Delaware，University of London, University of Richmond, University of Rochester, Eastern Mennonite University, Princeton University, University of Colorado at Denver, City University, Cornell University， University of Nebraska at Omaha 书评： 作者是在序言中提到过的 1990 年美国线性代数第一教程研讨会的主要与会者之一，所以本书可以代表这个课程的主流。 这是一本标准的非数学专业的中等程度的线性代数教材，虽然有 445 页，但是浓度不大，可以在一个学期学完。 本教材的特点在于其应用性。每一章都已一个实际问题开始，该章结束时给出用本章的数学解决 那个实际问题的方法。这些问题及所在的章节罗列如下： 第一章 线性方程组 -----------经济学中的线性模型 第二章 向量和矩阵 -----------营养学中的问题 第三章 矩阵代数 -------------计算机图形和自动设计 第四章 行列式 ---------------平行六面体的体积 第五章 向量空间 -------------宇航和控制系统 第六章 特征值和特征向量 -----生态保护中的动力系统问题 第七章 正交性和最小二乘法----北美洲的统计数据之调整 第八章 对称矩阵和二次型 -----多通道图象处理 本书的另一个特色是图例丰富多样，有助于初学者比较直观地理解线性映射等抽象的概念。为了便于使用者学后查阅，书后还附有书中主要术语的小词典。（杨劲根） 国外评论选摘 i) This text is a dream to read compared to many other mathematics texts. Lay's writing style is clear, and he rightly stays away from using wording that distracts the reader from the theory he presents. Mathematical notation is introduced before it is used, and proofs are placed in an appendix. Overall, this is a very good book for undergraduate study. It won't carry you through graduate classes, but it might be useful as a support book if you have a weak background in the topic. Math majors who love concise formalism and extended proofs should stay away from this book. Engineers, business, physical science, and social science majors will find the text very helpful. ii) Math texts are notoriously poorly written and difficult to follow for the typical undergrad without the guidance of a professor. This book is an exception to the norm. Not everything, but most things, are presented in a way that most students will be able to absorb on their own. 4) 书名： Elementary Linear Algebra, 9th edition 作者：Howard Anton 出版商： John Wiley Sons 页数： 适用范围：工科经济农医类本科二学级数学教材 预备知识：微积分 习题数量：大 习题难度：容易 推荐强度：8.5 使用学校： The City College of New York，University of Texas at Dallas，Hartnell College，Rivier College，UC Santa Cruz，University of Colorado at Denver，McGill University，Athabasca University Canada's Open University，Victoria University of Wellington, New Zealand，Brandon University，Louisiana State University，Indiana University-Purdue University，State University of New York College at Brockport SUNY Brockport，University of Manitoba，The Richard Stockton College of New Jersey，Florida Atlantic University，Saint Vincent Colllege，University of East Anglia，Norwich University，University college Dublin，Cardiff University，University of Essex，University of Calgary，Durham University，Queens College，wellesley College，Lehman College，Cayuga Community College 国外评论选摘 i) I used Anton in my linear algebra class a few years back and I have referred to it often since. Anton's approach is to introduce the notation and basic tools, i.e. vector and matrix arithmetic, within the intuitive geometric settings of the Euclidean plane and space. Once the basic concepts of Euclidean vector spaces have been mastered, Anton moves into abstract vector spaces, linear transformations, and eigenvectors. One chapter is spent on complex matrices, and another chapter deals with numerical issues and least-squares applications. The only topic which is noticably missing is the singular value decomposition, but other than that, Anton is a remarkably complete text. The definitions and theorems are clearly presented, along with the motivating intuitions. The exercises at the end of the chapter sections are a nice balance between computational and theoretical problems. Overall I highly recommend Anton as a first linear algebra text. ii) The Anton book appears to be the standard in teaching undergrad LA, but I personally didn't like it very much. Part of the problem is due to several misprints in the early chapters. Some of the definitions of basic concepts are confusing at best, wrong at the worst. I found myself relying on the Hubbard-Hubbard "Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms" to get through the course. The explanations were more concise and easier to understand. If you'r eteaching yourself, Hubbard-Hubbard is the way to go. 5) 书名：Elementary Linear Algebra (application version), 9th edition 作者：Howard Anton 出版商：John Wiley Sons 页数： 适用范围：农医人文科学类本科二学级数学教材 预备知识：微积分 习题数量；大 习题难度：容易 推荐强度：9.0 使用学校： Murray State University，Stetson University，Athabasca University，The University of Tennessee at Martin，University of Toronto，City College of San Francisco，Drexel University，Eastern Michigan University，Towson University，University of Wales，University of Iowa，Stony Brook University，McMaster University，York University，University of Southern Indiana，Binghamton University，University of Melbourne，University of Stirling，College of the Canyons，Middlebury College，Elon University，Kennesaw State University，University of Manitoba，University of Colorado at Colorado Springs，University of Guelph，University of West Georgia，University of Victoria，Chaffey College，Wayne State University，Rowan University 书评： 这是我用过的内容完整的最浅的线性代数教材，以计算和应用为主，但决不是一本“傻瓜书”。虽然绝大部分定理没有证明，但是诸如矩阵的列空间、秩、齐次线性方程组的解空间一类概念还是会让一部分学生头疼的。 不象很多教材在写完向量空间后就马上写线性变换，本书作者把线性变换放到最后，在它之前安排了内积空间和特征值，原因大概是线性变换这部分的内容比较抽象，放在后面较合适。由于深度的限制，通过这本教材不太可能在几何上对线性代数有深入的认识。对于时间宽余的学生，可以把这本书当作入门读物，学完后再念一本更深的教材。（杨劲根） 国外评论选摘 i) 這本書比較簡單，比較適合線性代數基礎比較差的學生，可當成入門的書籍，這本書的另一個重點在於它有三分之一的篇幅在談線性代數在各個領域的應用，可讓你看到線性代數抽象的數學背後廣大的應用。 ii) The book starts by describing matrix manipulations and determinants. These are very tangible things to most maths students. Accordingly, explaining how to take determinants or to invert a matrix lets you build confidence in your knowledge. Also, these topics lends themselves readily to many problems for you to do. After this, the book heads into more abstract territory. Null and range spaces and the rank nullity theorem, for example. You are exposed to the concept of an abstract vector space. Which invariably some students always trip over. So the grounding in the early chapters can mitigate this awkwardness. The last chapter touches lightly on the interesting applications, like chaos and fractals. But mostly to pique your interest in proceeding further in the field. iii) This is the text I used this previous semester for my Linear Algebra class. I had no linear algebra background before taking this class. That being said, this was one of the roughest classes I've ever got through only because the book kept going against the grain in every way possible. I didn't even begin to understand the entire point of linear algebra until about chapter 7 and 8 when the chapters started going into the general cases, and even now, I know how to "solve" all the problems without even knowing their meaning, which seems totally pointless to me. The selected answers to the problems in the book are in no particular pattern. It's not "all odds" or "all evens"; it's just scattered and it made doing homework a nightmare. I felt like I was back in elementary school while reading this book, because back then all I did was learn "methods" of solving problems without understanding "why". The book almost never discussed the purpose or main idea of the subjects it discussed. The "explanations" it gave would be based off of other vague topics. For example "What is the Eigenvector Problem? Well, the eigenvector problem asks if there is a basis for span style="position: relative;" id="MathJax-Element-17-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='Rn' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" R n Rn in a span style="position: relative;" id="MathJax-Element-18-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='n#x00D7;n' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" n × n n×n matrix consisting of eigenvectors of said matrix", OK so What's a basis? "A basis a set of vectors for a vector space S is linearly independant and/or set that spans the space S" and the cycle kept hitting me with one definition after another without giving me a big picture or anything. A bit of the book is about "applications" of linear algebra, but doesn't help until you've understood the meat of the book that came beforehand. Also, there were no teachers' solutions manuals available when I took this class, because the distributers have been extremely lax about getting them out (why? who knows). I'm not just saying this book is bad because I was lazy and didn't do well. I worked extremely hard to do "well" in this class. I must have read this book twice through and like I said before, I can solve all the problems but please don't ask me to explain their significance or validate their existence, because I can't. STAY AWAY! 6) 书名：Linear Algebra with Applications, 3rd edition 作者：Otto Bretscher 出版商： Prentice-Hall 使用学校： San Francisco State University，University of Utah，Pennsylvania State University，Agnes Scott College，Harvard University，Johns Hopkins University，University of Minnesota，McGill University，Colby College，Santa Clara University，University of California，State University College at Buffalo, Queen's University, Georgia Institute of Technology, Northeastern University, Purdue University, Loyola University, Iowa State University 国外评论选摘 i) The explanations and examples are generally very clear, and there isn't a lot of distracting nonsense. In many textbooks they try too hard to teach through "Real World" examples. i find such examples confusing because they obscure the math behind the example. I also felt this book had a nice mix of easy, medium and challenging problems. And it feels like the author really understands and strives to clarify many of the hurdles faced by Linear Algebra students. Make no mistake about it, Linear Algebra is a tough class that requires a lot of dilligence and abstract thinking. This book isn't going to guarantee you an A. But if you work through it, and if you have a helpful teacher, you'll be on the right track. By the way, I am a Computer Science major, and while I consider myself decent at math, I'm by no means a math genius. ii) This text was developed by the author during his time on the mathematics faculty at Harvard for specific use in the second semester of a two semester, undergraduate sequence on multivariable calculus and linear algebra. It is intended for physics, chemistry and strongly quantitative economics majors. As such, in terms of complexity it is more par with a collegiate abstract algebra text, with a clear focus however on linear algebra. The "applications" portion of the title is a bit of a misnomer, as examples only occur in the problems and almost never in the examples (which are designed instead to show the theoretical precepts and continuity underlying the field). In general, this text is above the intellectual capabilities of but the most dedicated users of applied mathematics, and those especially is the fields of economics and finance as generally taught at the undergraduate level would best look elsewhere. Most prominently, the text has almost no redundant examples, which makes it a enjoyably lucid read for those who grasp concepts quickly on the first go, but a dead end for those who come up short. I would not as professor think of assigning this book to non-Ivy caliber students outside of pure math; even Harvard students seemed to struggle with it at times. iii) I was required to purchase this book for a course called Linear Algebra with applications. This book seems to just cut out important theorems, proofs and other pieces of explanation commonly found in other text books I have looked through, and rather than making up for it with a decent explanation or summary for what it omits, it leaves gaping holes in many topics. It gives partial proofs and explanations at times and leaves other pieces "for you to solve as exercises." It's like the who made this book only wrote half a math book, and left the other half for you to figure out in problems at the end of the chapter. 7) 书名：Linear Algebra with Applications, 5th edition 作者：Steven J．Leon 出版商：Prentice-Hall 页数：491 适用范围：理工科本科二学级数学教材 预备知识：微积分 习题数量：大 习题难度：中等 推荐强度：8.5 使用学校： Rowan University, Arizona State University, Florida International University, Northern State University, University of Illinois at Chicargo, University of Puerto Rico, Colorado State University, State University of New York Institute of Technology, SUNY Institute of Technology, University of Hawaii, Ohio State University, University of Minnesota, Texas A\M University, University of Massachusetts Dartmouth, University of Texas at Dallas, University of New Mexico, Boise State University, Baruch College, University of Oslo, University of Missouri-Columbia, University of Mississippi, Utah State University, Kansas State University, University of California, Irvine, Brigham Young University, Cornell University 书评： 本书目前已出版到第7版了，我这里只找到第5版。这本书的前六章的编排十分传统，内容也比较规范，从 Gauss 消元法、矩阵和行列式到向量空间和线性变换，再将正交性和特征值，没有讲线性变换的标准型。最后一章（第七章）讲数值线性代数，即线性代数的近似计算方法，一般的线性代数教材不含这方面内容。 本书几乎所有的定理都有证明，证明比较简洁，对读者理解有一定要求。如果用一个学期学本书的前一半还是比较轻松的，后半本显然要难一些。（杨劲根） 国外评论选摘 i) First of all, I would like to say this book is not for beginers. If you have no idea what a matrix is, don't use this book. However if you have taken an introductory course in linear algebra or you already have a reasonably well foundation in this subject, then you should have no problem in understanding following the text. Although the explaination in this book is not particularly outstanding, it does treat some advanced topics like eigenvalues, numerical linear algebra elegantly. I would like to recommend this book to persons who would like to seek a more advanced linear algebra book for reference or self studying. ii) Leon's text on linear algebra isn't bad, but there is room for improvement. Chapters 1, 2, and 3 do a good job of introducing the basic concepts of linear algebra, including matrix row operations, determinants, and linear independence. The book seems to lose clarity beginning in Chapter 4. The concepts become more abstract and Leon's notation interferes with the ability to clearly understand what he is talking about when it comes to linear transformations and issues regarding span style="position: relative;" id="MathJax-Element-19-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='R(A)' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" R ( A ) R(A) and orthogonality. Very important results are frequently understated as well. In a few cases, there aren't enough examples to go around - especially in Chapters 4 and 5. It is ironic compared to the relative overexplanation found in Chapter 1, for example. 8) 书名：Linear Algebra Done Right, 2nd edition 作者：S. Axler 出版商：Springer (UTM) 1997 页数：491 适用范围：理工科本科二学级线性代数教材 预备知识：高等数学 习题数量：中等 习题难度：一般 推荐强度：9 书评： 本教材比较适合已经学过一些基本的线性代数（如大学一年级的“高等数学”中的线性代数部分）的学生，内容和篇幅适合一个学期。 除了标准线性代数教材所需具备的条件外，本书最大的特点是线性变换的特征值的存在性的证明避开了行列式。按照常规的教程，先把线性变换的特征多项式定义为行列式 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-20-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='|xI#x2212;A|,' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" | x I − A | , |xI−A|, 其零点是特征值。利用复数域上的代数基本定理，特征值总是存在的。本书中的证明是这样的：对任意线性变换 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-21-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='A,' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" A , A, 任取非零向量 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-22-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='u.' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" u . u. 则 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-23-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='u,Au,A2u,#x2026;,Anu' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" u , A u , A 2 u , … , A n u u,Au,A2u,…,Anu 线性相关，于是存在多项式 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-24-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='f(x)' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" f ( x ) f(x) 使 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-25-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='f(A)u=0.' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" f ( A ) u = 0. f(A)u=0. 将 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-26-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='f(x)' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" f ( x ) f(x) 分解成 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-27-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='f(x)=c(a1#x2212;x)#x22EF;(an#x2212;x).' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" f ( x ) = c ( a 1 − x ) ⋯ ( a n − x ) . f(x)=c(a1−x)⋯(an−x). 则 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-28-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='(a1I#x2212;A)#x22EF;(anI#x2212;A)u=0.' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" ( a 1 I − A ) ⋯ ( a n I − A ) u = 0. (a1I−A)⋯(anI−A)u=0. 因此某个 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-29-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='aiI#x2212;A' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" a i I − A aiI−A 是不可逆的，这意味着 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-30-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='ai' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" a i ai 是一个特征值。 作者认为行列式是一个非常不直观的概念，在线性代数教程中过早地使用行列式是违反学习规律的，这也成为本书起名的主要原因之一，虽然多少有点“狂妄”，但是线性代数似乎应该这样来学。 这本教材自出版来很快受到很热烈的欢迎，值得国内大学从事线性代数教学和改革的人员关注。由于本书的严密逻辑和行文的严谨，自学这本书也是比较容易的。（杨劲根） 国外评论选摘： 1) I have used this text for a beginning graduate course in linear algebra, mostly because I prefer its treatment of eigenvalues and eigenvectors over Hoffman and Kunze, and it sticks to the basics: complex scalars. It also has a good treatment of inner product spaces. The basic concepts and theorems are indeed presented cleanly and elegantly. Its use of linearly independent sequences (rather than sets) is a little nonstandard (what if the set of vectors is infinite?) but the adjustment is minor. Two things though I found treated in a less than desirable fashion: He pretends that we don't know about matrices, doesn't want to develop the machinery, and the treatment of coordinate vectors and matrix representations suffers. Students also get no sense of how to compute the solution of concrete vector space problems, which is easily done once the theory is established, and which is an essential skill to have after a second course in linear algebra. I have to give them supplementary notes. Second, the treatment of determinants suffers, apparently for ideological/political reasons. I think students deserve a straightforward development of determinants simply because that theory is widely used in applications, in engineering, and in discrete mathematics, and it has its own beauty. It is not hard to do, and I do it myself from notes, adapted from the treatment of Hoffman and Kunze. Now that undergraduate linear algebra courses have in many places dropped any substantial theorem-proving component, students need a serious course in linear algebra which can take them, e.g. all the way into Jordan form. There are not many good books for this, and this text does a good job with the basics without overkill on the abstraction, so I use it despite the drawbacks mentioned above. 2) I have no doubt that this is one of the most thought provoking math books that I have come across. I used this book for a linear algebra course last fall '08 and I learned a ton. Specifically about the structure of vector spaces and linear operators. However, the most important function that this book serves is to move students towards the methodology of mathematics, which means proof construction and counter examples. It also trains students to let go of their intuitions. But you can not self-study this book, there are no answers and more importantly the structure of the course begs for instruction. I would recommend before taking this course doing what i didn't do and have had to do since, make sure you have your first course of linear algebra solidly under your belt, and that doesn't mean having gotten an A in the prior class is sufficient. Go through the most difficult proof driven exercises in your first text, that should serve as practice for easiest homework problems in this book. All that said, there are serious limitations to this book. It would be nice if the author worked out 1 comprehensive semi-difficult exercise in each chapter of the text. While struggling to solve the problems can be enlightening, there is only so many times I can read the same sections over and over again, looking for some insight from the kiddie exercises provided by the author. It would also help if some of the kiddie exercises were accompanied with graphs, especially when describing the sums of vector spaces. Sometimes a picture is worth a thousand words - sometimes! Last but not least, the author has a copyright on the solutions to the book. Where he does not allow professors to post homework solutions to exercises. This had a devastating effect on the class I was in, because there were many students who were lost in the first couple of homework sets and basically were never given a chance to figure out what was going on. Pedagogically, this is unacceptable. Furthermore it sets a dangerous trend, math problems simply stated should not be copyrighted. For this reason I suggest that people not purchase this book, but I still strongly recommend that they get a hold of it. 2.3 其它 书名：Differential equations, 2nd ed. 作者：P. Blanchard; R. Devaney; G. Hall 出版商： Brooks/Cole Thomson Learning (2002) 页数：697 适用范围：理工科大学非数学专业数学教材 预备知识：初等微积分和线性代数 习题数量：大 习题难度：容易 推荐强度：9.4 使用院校： Harvard University, Saint Joseph's University, Florida Atlantic University, Agnes Scott College, HaverFord College, Indiana University, University of Connecitut, University of Georgia, Boston University, Portland State University 书评： 这是一本应用性的常微分方程教材，在复旦大学外国教材中心将它列为哈佛教材的一种。它对学生的数学预备知识的要求不高，只要最基本的微积分和线性代数就够了。本书的内容 覆盖了常微分方程方面的所有重要内容。 这本教材最大的特点是在定性理论方面比同样深度的教材多而详细，作者并不把它集中在一章讲述，而是把它贯穿在全书中，用这样的方法由浅入深地把一些比较难说清楚的概念讲的非常清晰。 本书的英文非常通俗易懂，虽然理论性的证明很少，但是对主要定理的解说十分具有说服力。我曾经使用此教材教过一个学期，对象是相当于我国非重点工科大学的学生，学生反映此教材难度比较合适，他们基本上能掌握其中的重要内容。 第一章是一阶常微分方程，在介绍了一些必要的基本概念和应用模型后作者立刻非常明确地用典型实例详细解释了三种方法：1. 解析方法-分离变量法 2. 定性理论 - 向量场方法3. 数值方法 - 欧拉折线法。每种方法都占十几页。接下来叙述并详细解释了解的存在性和唯一性定理。接下来讲述相直线和平衡解，又化整整一节讨论分歧理论。 这样的处理方式的一个显著的优点是用最短的时间是学生了解了常微分方程的概貌。 第二章是一阶常微分方程方程组，但以两个函数的方程组为主。其主题不变，继续讲述处理同一类问题的三种不同方法。由于维数的增高，向量场更有意思，书中举了各种形形色色的例子使读者知道各种变化。 第三章是一阶线性常微分方程方程组，这是任何一本常微分方程教科书必须包含的内容，本书也不例外，写的非常清楚，没有可挑剔之处。 第四章的标题是受迫振动和共鸣，其实就是二阶常系数线性方程。这也是标准内容，和第三章一起，这两章是以解析方法为主的。 第五章是非线性方程组，重点自然放在定性分析上，先详细讲述二维情形，在化较少的笔墨写三维情形。 第六、七、八章分别是 Laplace 变换，数值方法（特别是 Runge-Kutta 方法），离散动力系统。 前四章的内容是必学的，后四章的内容相对独立，可以根据不同的专业选将若干章。一般说来，一个学期讲完五章是绰绰有余的。（杨劲根） 国外评论摘选 i) As a differential equations instructor I used Boyce and DiPrima for many years. Its a good, solid presentation of differential equations and a great reference. However, I was always disappointed that my students ended up with no "feel" for differential equations. Also I became convinced that more methods were needed for nonlinear differential equations. After using a couple of other books which seemed to be slanted toward more qualitative approaches I came across Blanchard's book. I used it as a textbook for my class for several years now and I have found it to be a near perfect match to my goals. Some consider it wordy but I appreciate the motivation and insight the authors try to bring to the concepts. As a result it is not a good reference but as a textbook it is great. There are plenty of graphical tools. Quite surprising to me is how much the book illuminates DE's by simply analyzing the components of the DE, even before any solution is attempted. These features, along with some integrated applications, gives students much more of the "feel" for differential equations I have been looking for. ii) This book is unique. Most differential equations textbooks simply provide formulae for different types of problems, but you don't really see the big picture. This book lets you see the big picture, but omits many of the most useful formulae that you may need in your career. This for that. It would be nice to see a book with the best of both worlds, but if you simply want to learn and understand the topic, this book is the way to go. Also, there is a good emphasis on qualitative and numerical techniques. Students often feel like they get less out of a mathematics class when qualitative and numerical techniques are emphasized over more analytic approaches. However, those of us who have worked in the "real world" know that the qualitative and numerical techniques are probably even more important. I have worked as a research statistician and my research areas emphasize computing. When I'm presented with real problems and real data (which, in my career, usually comes in large, unmanageable quantities), do I usually pull out my notebook and tackle the problem in a very precise manner, working out an exact solution? No, quite often I cannot realistically do that. Now I'll admit that I don't use much from this particular field on the job, but it still applies. Moving on, I must also mention that the book does a very good job at explaining these qualitative and numerical techniques in addition to things that are more analytic, although it sometimes a little too verbose. Regarding applications, the book covers a lot of fields and does put a big emphasis on applications. Physics, biology (especially population growth models), and electrical/computer engineering receive the most treatment. Overall, I would say that the book does an excellent job at including plenty of applications and choosing meaningful ones. I don't have much to say about the exercises. Most aren't too contrived and they mixed up the difficulty fairly well. However, I would have liked to see more "hard" problems. In summary, I'd recommend that you pick up a different book if you need a reference for work or research, but pick this one up if you actually want to learn and UNDERSTAND the basics of differential equations. iii) I used this book in a 2003 summer course in DE, and found it to be a wonderful introduction to the subject. I am not sure what some of the other people meant by saying it wasn't for math majors- I am one and found it wonderful. Not everything needs to be concise, (I gave Rudin's book five stars too BTW, so I AM a fan of some concise books). It gave diverse examples of applications from all over--physics, EECS, ecology, biology, etc. The CD-Rom is a great learning tool. Ultimately analytic techniques are NOT what DE is about, and this book tries to show the student how to use qualitative and numerical methods early on. Anyone who wants to know DE must become familiar with numerics and the qualitative way of analyzing the equations. This book will show you how to THINK about DE, and not how to mindlessly attack an equation based on its form. This is the intro ODE book to which all others ought be compared. 书名：Concrete Mathematics, 2nd ed. 作者：R.Graham, D.Knuth, O.Patashnik 出版商：Addison Wesley (1994) 页数：624 适用范围：大专院校计算机专业数学教材 预备知识：基本微积分 习题数量：大 习题难度：从容易的习题到研究性的题都有 推荐强度：9.2 书评： 这是非常特别的一本教材。首先书名就与众不同，一不小心会误读为“离散数学”，事实上从内容上看，它包含离散数学的很多内容，特别是组合数学和数论，但作者在序言中声明本书是“离散数学” 和“连续数学”的混合物。 三个作者排序是按姓氏的，本书的第一位作者 Ronald Graham 是组合数学的权威之一，曾任过美国数学会主席。第二作者 Donald Knuth 是计算机科学界的传奇式人物，现任斯坦福大学教授，他的巨著《The Art of Computer Programming》是计算机程序设计的圣经，本书包含了学习上述巨著的几乎全部数学预备知识。 上世纪末美国数学会曾在它的官方出版物上举行公开的辩论，探讨数学发展的方向，最后没有明确的结论。现代数学是向抽象化的方向发展的，数学家更加注重数学问题定性的研究，其重要性是不容质疑的。但有不少有识之士担心这样下去会有脱离实际的危险，所以他们提倡看得见的数学。这是这本书的初衷。对此书有兴趣的读者不妨先看一下序言，以便更清楚地了解这本书的特点。 全书分 9章，依次为：递归、求和、整值函数、数论、二项式系数、一些特殊的数、母函数、离散概率、渐近。每章中包含丰富的内容，有很多问题和例子在其它同类书中很难找到，一些比较难的问题的出处都一一写明。本书的重点是讲述解决问题的方法，牵涉到很多数学的常用技巧，看上去比较初等，但对读者的要求还是比较高的。另外本书的趣味性很强。习题很全面，几乎所有习题有答案，这对自学非常便利。 数学系和计算机系的本科生阅读本书一定有不小收获。（杨劲根） 国外评论摘选 1) i) Unless you're very used to this type of mathematics, this book will, as other reviewers comment, prove hard work. However, even someone with little formal maths background like myself can get a lot out of it. It's beautifully written and well-presented, and on the whole the pacing is OK, although sometimes it goes much too fast for casual reading. Once I've made my way through it, I suspect it will make a very useful reference book too; it's full of useful techniques for solving real-world problems, at least if you work in a field that sometimes requires you to solve recurrences and work with tricky integer functions. Although often corny, the marginalia do give you something of the feeling of being on a course, rather than just reading a textbook. As well as daft jokes, there are hints as to the relative importance of some sections (including ``skip this bit on first reading'' as well as ``this is the critical part'' -- both kinds very helpful). ii) This book is not light reading, but it's worth it. It has most value as a reference tool, and covers well some areas of maths which are important to CS. Moreover, the information is presented in a light-hearted way, with lots of inline jokes (mainly very corny) and margin notes from students who took the lecture course behind the book. The examples tend to help, and there are plenty of exercises with worked solutions. Also lots of references to the primary literature. 书名：Discrete Mathematics 作者：Dossey,Otto,Spence,Vanden Eynden 原著，俞正光等改编 出版商：Addison Wesley (2002) 高等教育社（2005），ISBN 7-04-016632-1 页数：562 适用范围：大专院校计算机专业离散数学教材 预备知识：基本微积分 习题数量：大 习题难度：容易 推荐强度：8 书评： 离散数学并不是数学的一个分支，它是计算机和信息学专业的一门数学基础课，内容一般包括集合论、数理逻辑、初等数论、抽象代数、组合数学等，但每部分内容都不是非常系统和完整。从某种意义上讲，这是一门大杂烩课程。由于内容的繁多，要学完全部离散数学一个学期是不够的。对于一个学期的离散数学课，一般适合于选讲其中一部分。 本书从实用角度出发，以组合数学为主线安排了一个单学期的教程，最难的部分抽象代数完全没有，初等数论和数理逻辑也很少，有一章讲述逻辑线路和有限自动机，涉及了最基本的布尔代数。叙述方面也以概念的直观解释和算法为主，不强调定理的证明，所以比较适合于数学程度比较低的大学生使用。如果授课对象是层次高的计算机专业学生，这本书就显的太浅，内容也不够丰富。 本书英文浅显易懂，例子非常多，作者们似乎花了工夫认真编写这本教材，错误非常少，习题虽然数量大，但很有意思。 下面登载两篇国外的评论，代表两种观点。（杨劲根） 国外评论摘选 1) As a student at Illinois state, I'm skeptical about all of the professors abilities... After all, these are the guys that consistently screw up addition in front of class. After having a chance to complete half of this book in my Discrete Math course (mind you, I'm not a math major) I have definitely gained respect for ISU's math department. I'm not sure if most authors really teach classes, or if they write books to fulfill their publishing requirements. I can tell you that the authors of Discrete math had the students in mind. I've found this book to have exceptional examples, and well-explained, READABLE prose. If you wanted to pick up a copy for self study, this would be a good book.... Yes a professor would be nice, but these guys did a good enough job that the book stands alone. 2) If you are looking for a book for a course in discrete mathematics where the emphasis is on graph theory, then this book will probably satisfy your needs. However, for any other type of course, it will most certainly prove to be inadequate. Nearly half the book is devoted to graph theory, and while many theorems are listed, very few are proven. The working computer scientist may find that acceptable, but most mathematicians will find it inadequate. Logic and the basics of proof are relegated to an appendix. The first chapter covers some combinatorics and the basics of algorithmic analysis, which is meant to be a primer. However, it requires the use of set terminology, set notation and basic counting techniques. Since set theory is covered in chapter 2 and counting techniques in chapter 7, I consider the order to be inappropriate. Recurrence relations, circuits and finite state machines are also covered in other chapters. There are a large number of exercises and the solutions to the odd numbered ones are included. Sets of problems to be solved by programming a computer are given at the end of each chapter, some of which are easy, but many of which are hard. Only students who have had a programming course could be expected to be able to do any of them without significant help. This is a book that does not satisfy my requirements for a discrete mathematics textbook. I consider logic to be a critical topic that must be covered, so I will not consider using any book where predicate and propositional logic are not covered in depth. While I do not expect my students to construct rigorous proofs, I do expect them to be able to construct simple proofs and follow some of the relevant more complicated ones. 3 数学分析和泛函分析 　　 数学分析是数学专业的最重要的基础课，是理论性较强的微积分，它以严格的极限理论 作为基础。我国的综合性大学数学系学生一年级的课程一般都将数学分析列为重点课程，复旦大学安排三个学期的数学分析课。美国大学数学系一般分两步：先让学生修和非数学专业一样的微积分，即 Calculus（属于 lower division 的课程），再修数学分析（属于 upper division 的课程），所化的时间大致上差不多。到底哪种方法好也没有定论，大概对中学数学基础较差的学生按照美国的办法容易接受一些，事实上我国数学系一年级的数学分析有不少学生是吃不消的。 　　 数学分析的英文书名大致有三种： mathematical analysis, real analysis, advanced calculus. 可能有些差别，一般说来，advanced calculus 和我国的数学分析比较接近，适合没有微积分基础的数学专业学生学习， mathematical analysis 多半是针对学过初等微积分的人， real analysis 更深一些，接近我国的实变函数论。 　　 泛函分析是数学分析的自然延伸，它的基础除了数学分析以外还需要线性代数和实变函数论 和少量的复变函数论。外国的有些数学分析教材中也包含测度和勒贝格积分等泛函分析中需要用的内容，所以很多学校在本科生阶段就不设实变函数课了。 书名：Introducton to Analysis 作者： Arthur Mattuck 出版商： Prentice Hall (1999) ISBN 0-13-081132-7 页数：460 适用范围：大学数学系本科基础数学学生教材 预备知识：微积分初步知识 习题数量：大 习题难度：较大 推荐强度：9.8 书评: 本书是麻省理工学院的 Arthur Mattuck 教授教授这门课程多年经验的基础编写而成的，是一本实分析的优秀入门教程，深受读者欢迎。 本书主要讲述单变量函数的分析理论，侧重于讲述实数理论的基本思想，特别是用分析的方法对函数进行估计。 本书从基本的实数理论讲起，内容主要包括数列与函数的极限和连续性，级数理论，微分理论，Taylor展开， Riemann积分理论， Lebesgue积分理论等等。本书的一个鲜明的特点是，对书中的定理不只是叙述，而是从来源讲起， 对读者以启发为主，侧重于揭示数学思想。 例如，对微积分的两个基本定理，其证明较一般书中繁琐，但是其证明给出了微积分的重要思想， 即积分是微分的无穷积累， 微分是积分的局部化，并且，还分析了两个基本定理之间的关系。另外，书中还给出许多重要的应用。 本书比较适合作为我国综合性大学数学系实分析课程一学年的外文教材，也可以作为 程度较好的数学系本科生进一步深化实分析概念的课外读物。 （王泽军） 国外评论摘选 1) This is an unusual and beautifully written introduction to real analysis. The presentation is carefully crafted and extremely lucid, with wonderfully creative examples and proofs, and a generous sprinkle of subtle humor. The layout of the pages is exceptionally attractive. The author has clearly put a great deal of thought and effort into producing an analysis text of the highest quality. Most of the book concentrates on real-valued functions of a single (real) variable. There is a gradual and careful development of the ideas, with helpful explanations of elementary matters that are often skipped in other books. For instance, prior to the chapter on limits of sequences, the book has a chapter on estimation and approximation, discussing algebraic laws governing inequalities, giving examples of how to use these laws, and developing techniques for bounding sequences and for approximating numbers. Proofs involving "epsilons" and "arbitrarily large n" make their first appearance here. The overall presentation of the book is carefully thought out. Each chapter is broken up into small sections, and each section emphasizes one principle idea or theorem. The proofs of the main theorems are lovely, and give both intuitive explanations and rigorous details. Genuinely interesting examples and problems illuminate the key ideas. Each chapter contains a mix of problems: "questions" that help students test their grasp of the main points of each section, "exercises" that are intermediate in scope, and more difficult "problems". (A solutions manual is available for instructors from the publisher.) The careful explanations, even of "elementary" matters, and two appendices on sets, numbers, logic, and methods of argumentation, make the book suitable for a first analysis course in which students have had no prior exposure to proofs. There is ample material for a one-semester, or in some cases a one-year, course. In summary, I believe that this is the best introductory real analysis book on the market. Students and instructors alike will find it a joy to read. 2) The book is slow to begin but it does a great job in explaining all the concepts. The author explains the proofs and theorems and it introduces some intermediate ideas to understand the theorems and definitions. The book contains a lot of exercise of different nature and difficulty. It covers a great range of subjects but not enough on the Rn. The book is basic in it contain, it is not difficult to read and follow. It can serve as an introduction to analysis. I would recommend it if you want an introduction to analysis. 书名：Mathematical Analysis, Second Edition 作者： Tom M. Apostol 出版商： Addison Wesley (1974), 机械工业出版社影印 页数：492 适用范围：大学数学系本科生 预备知识：高中数学 习题数量：中 习题难度：中等 推荐强度：9.8 Tom M. Apostol, 美国数学家，生于犹他州。他于1946年在华盛顿大学西雅图分校获得数学硕士学位，于1948年在加州大学伯克利分校获得数学博士学位，1962年起任加州理工学院教授，美国数学会、美国科学发展协会（A.A.A.S）会员。对初等数论和解析数论有研究，他的著作很多，除本书外，还著有《Calculus, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra》、 《Calculus, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications》等。 书评: 本书第一章以公理化的方式引入了实数系和复数系，接下来介绍了集合论和点集拓扑的一些基本概念和内容，为后面微积分理论的展开打好基础。从第四章开始，作者开始介绍极限、连续和导数等微积分的基本概念。在第六章作者引入了有界变差函数与可求长曲线的概念，接着就对Riemann-Stieltjes积分进行了介绍，而Riemann积分则是它的特例。第八第九章是对级数和函数序列知识的讲解。第十章介绍Lebesgue积分，第十一章介绍Fourier级数以及Fourier积分，第十二章介绍多元微分学，第十三章介绍隐函数与极值问题，接下来的两章是关于多重Riemann积分与Lebesgue积分的介绍，最后一章介绍了复变函数的Cauchy定理以及留数的计算。 本书是一部现代数学名著：自20世纪70年代面世以来，一直受到西方学术界、教育界的广泛推崇，被许多知名大学指定为教材。作为一本大学数学系的本科教材，本书仔细而又不累赘地向读者介绍了微积分的思想，涵盖了数学分析绝大部分的基本知识点，并配有覆盖各级难度的练习题，适用于初次接触数学分析的读者。无论对于教学还是自学，都不失为一本理想的教材。另一方面，本书对于实分析和复分析中的部分内容也有所介绍，这其实也是很多美国大学数学教材（Mathematical Analysis或者Advanced Calculus）内容设置的共同点。例如作者在第十章有对Lebesgue积分的介绍。不过与一般实分析教材里的思路不同，作者采用了Riesz-Nagy的方法引入了Lebesgue积分，此方法直接着眼于函数及其积分，从而避免了对于测度论知识的要求；同时作者还进行了简化、延伸和调整，以适应大学本科水平的教学。 （徐晓津） 国外评论摘选 1) If you're the type of person who likes crisp and clear proofs but don't want to have the proofs be as skinny as Rudin's then this is the perfect book. Apostol's writing style is not only accessible and clear but the organization of the text is excellent too. There are plenty of problems with a good mix of difficulty levels. He also throws in an example here and there to give you firm footing on some difficult topics. If I had to recommend one analysis text this would be it. 2) I own analysis texts by Apostol, Rudin, Bear, Fulks, Protter, and Kosmala. This one by Apostol gets my vote as the best all-around text on the subject. It's rigorous, elegant, readable, and has just the right amount of explanatory text. This would be my first choice as an undergraduate textbook, a self-study text, or as a supplemental reference to another text. I also recommend Bear for his elegance and witty style, and Kosmala for his thorough explanations. But if you are going to buy only one, make it this one. 3) I've never been a big fan of Apostol. He tends to make things more difficult than they really are. Some of the reviewers commented that they are impressed with the elegance of the proofs, which makes me wonder if they are as confused as Apostol. As an example let's consider his proof of the FTC. There is an easy and elegant proof which you find in most books, but Apostol tries to be cute and gives an obscure and ugly proof. Mathematics is an art, and Mr. Apostol is no Picasso. 书名：Principle of Mathematical Analysis, 3rd edition 作者： Walter Rudin 出版商： McGraw-Hill (1976), 机械工业出版社影印 页数：334 适用范围：数学系一、二年级学生与理工科高年级学生 预备知识：高中数学，最好具备微积分的初步知识 习题数量：287 道习题，较大 习题难度： 较难，但是很多有难度的题目有提示 推荐强度：9.5 Walter Rudin 1953年于杜克大学获得教学博士学位。曾先后执教于麻省学院、罗切斯特大学、威斯康星大学麦迪逊分校、耶鲁大学等。他的主要研究领域集中在调和分析和复变函数。除本书外，他还著有另外两本名著：《Functional Analysis》和《Real and Complex Analysis》，这些教材已被翻译成13种语言，在世界各地广泛使用，以本书作为教材的名校有加利福尼亚大学伯克利分校、哈佛大学、麻省理工学院等。 书评: 本书前二章介绍了从高中数学到大学数学过渡中的基本知识：实数与复数理论，基础拓扑理论。第三章介绍数列与级数。第四章介绍函数的连续性。第五章介绍微分的概念。第六章介绍Riemann-Stieltjes积分的概念。第七章介绍了数学分析中很重要的一个概念：函数序列与函数项级数的一致收敛性。在第八章作者列举了几个特殊的函数项级数，如幂级数、Fourier级数等作专门讨论。第九章介绍多变量函数。第十章介绍了微分形式的积分。在最后第十一章对勒贝格积分作了初步的介绍。 本书内容相当精练，结构简单明了，这是Rudin著作的一大特色。例如在第六章积分部分，作者直接介绍了Riemann-Stieltjes积分，而一般数学分析课程中的Riemann积分就是它的特例。书中的习题经过了精心挑选，有助于学生掌握数学分析的基本概念及提高逻辑推理的技巧。本书第3版经过了增删与修订，更加符合学生的阅读习惯与思考方式。 本书适合作数学系学生学习数学分析课程的参考书，也适合作为具有一定微积分知识的理工科高年级学生提高分析水平与能力的教材。 本书是一部现代数学名著，一直受到数学界的推崇。作为Rudin的分析学经典著作之一，本书在西方各国乃至我国均有着广泛而深远的影响，被许多高校用做数学分析课的必选教材。本书涵盖了高等微积分学的丰富内容，最精彩的部分集中在基础拓扑结构、函数序列与函数项级数、多变量函数以及微分形式的积分等章节。 作者从学生的角度出发来考察问题的接受难易程度，并在整本书的结构上做了精心的安排和调整。 比如说，从理论上讲，从有理数的概念出发引入实数的概念是非常正常和符合逻辑的，但是Rudin通过以往的教学经历发现学生对这样的做法不容易接受，因此Rudin从有序集与具有上（下）确界的性质入手来介绍实数，显得简洁而具有新意。 在第九章多变量函数中，一个关键的问题就是反函数存在定理的证明。记得以前看过的书上证明都比较复杂。在此书中，Rudin利用压缩映射的不动点理论，大大简化了证明过程。 (刘东弟) 国外评论摘选 1) OK... Deep breaths everybody... It is not possible to overstate how good this book is. I tried to give it uncountably many stars but they only have five. Five is an insult. I'm sorry Dr. Rudin... This book is a good reference but let me tell you what its really good for. You have taken all the lower division courses. You have taken that "transition to proof writing" class in number theory, or linear algebra, or logic, or discrete math, or whatever they do at your institution of higher learning. You can tell a contrapositive from a proof by contradiction. You can explain to your grandma why there are more real numbers than rationals. Now its time to get serious. Get this book. Start at page one. Read until you come to the word Theorem. Do not read the proof. Prove it yourself. Or at least try. If you get stuck read a line or two until you see what to do. Thrust, repeat. If you make it through the first six or seven chaptors like this then there shall be no power in the verse that can stop you. Enjoy graduate school. You half way there. Now some people complain about this book being too hard. Don't listen to them. They are just trying to pull you down and keep you from your true destiny. They are the same people who try to sell you TV's and lobodemies. "The material is not motivated." Not motivated? Judas just stick a dagger in my heart. This material needs no motivation. Just do it. Faith will come. He's teaching you analysis. Not selling you a used car. By the time you are ready to read this book you should not need motivation from the author as to why you need to know analysis. You should just feel a burning in you chest that can only be quenched by arguments involving an arbitrary sequence span style="position: relative;" id="MathJax-Element-31-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='{x_n' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" {x_n {x_n that converges to span style="position: relative;" id="MathJax-Element-32-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='x#x2208;X.' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" x ∈ X . x∈X. Finally, some people complain about the level of abstraction, which let me just say is not that high. If you want to see abstraction grab a copy of Spanier's 'Algebraic Topology' and stare at it for about an hour. Then open 'Baby Rudin' up again. I promise you the feeling you get when you sit in a hottub for like twenty minutes and then jump back in the pool. Invigorating. No but really. Anyone who passes you an analysis book that does not say the words metric space, and have the chaptor on topology before the chaptor on limits is doing you no favors. You need to know what compactness is when you get out of an analysis course. And it's lunacy to start talking about differentiation without it. It's possible, sure, but it's a waste of time and energy. To say a continuous function is one where the inverse image of open sets is open is way cooler than that epsilon delta stuff. Then you prove the epsilon delta thing as a theorem. Hows that for motivation? Anyway, if this review comes off a combative that's because it is. It's unethical to use another text for an undergraduate real analysis class. It insults and short changes the students. Sure it was OK before Rudin wrote the thing, but now? Why spit on your luck? And if you'r a student and find the book too hard? Try harder. That's the point. If you did not crave intellectual work why are you sitting in an analysis course? Dig in. It will make you a better person. Trust me. Or you could just change your major back to engineering. It's more money and the books always have lots of nice pictures. In conclusion: Thank you Dr. Rudin for your wonderfull book on analysis. You made a man of me. 2) What has been said below is all true. Rudin really does have some excellent moments in this book, except perhaps the chapter on Lebesque integration, which is one of the crappiest expositions of the topic I have found so far. Get the texts by E. Stein (Real analysis), or Bartle's small book on lebesgue integration. There is even a probability text by A.Shiryaev ("Probability, 2nd edition") which has a truly amazing treatment of the Lebesgue integral. Anyhow, the rest of the book is excellent, concepts of single-variable analysis are very well explained, the proofs are short and enlightening. The multivariable calculus is also very well explained. I gave it 3 stars because it's not a good book for self-study. There are hardly any explanations, the beginning student will likely get really frustrated. In order to enjoy this book you either have to know analysis already, so this would be a second text, or you have to take a course that uses Rudin as textbook. Then you won't have any problems, since the teacher will probably end up explaining the stuff in class. I have heard complaints even by some of the world's best mathematicians at Princeton against the fact that Rudin's text is so terse. To me that's not even impressive. It's just arrogance or laziness on the behalf of the author. So don't feel too bad if you read it and find that things aren't explained very well; that's because they aren't! The false sense of reward comes from banging your head against the wall before finding the answer, and being thankful you finally got somewhere rather than committing suicide (only thing is, if anything, you may have just reinvented the wheel...) But by then, you'll have wasted a lot of time already. If you have nothing else to do, and are incredibly patient, this is no problem at all, otherwise, it's a real waste of your time. You could also be a genius, in which case, none of these points are even an issue; then you can prove all theorems in the world, so congratulations, I look forward to meeting you! Oh yeah, and there are no solutions to the problems provided to check if your answers are right or not, so good luck. 书名：Advanced Calculus, 2nd Edition 作者： Patrick M. Fitzpatrick 出版商： Brooks/Cole (2005), 机械工业出版社影印 页数：590 适用范围：数学系与理工科其他专业的本科生 预备知识：高中数学 习题数量：较大 习题难度： 具有一定难度 推荐强度：9.3 Patrick M. Fitzpatrick拥有格兰特大学博士学位，是纽约大学科朗研究所和芝加哥大学的博士后，1975年进入马里兰大学College Park分校任教，现在是数学系教授和系主任，同时它还是巴黎大学和佛罗伦萨大学的客座教授。他的研究方向是非线性泛函分析，在该方向著有50多篇论文。 书评: 本书以清晰、简洁的方式介绍了数学分析的基本概念：第一部分讲述单变量函数的微积分，包括实数理论、数列的收敛、函数的连续姓和极限、函数的导数和积分、多项式逼近等；第二部分把微积分的概念推广到多维欧几里得空间，讨论多变量函数的偏导数、反函数、隐函数及其应用、曲线积分和曲面积分等。 数学分析已经根植于自然科学和社会科学的各个学科分支之中，微积分作为数学分析的基础，不仅要为全部数学方法和算法工具提供方法论，同时还要为人们灌输逻辑思维的方法，本书在实现这一目标中取得了引人注目的成果。本书一方面按传统的和严格的演绎形式介绍微积分的所有主题，另一方面强调主题的相关性和统一性，使读者受到数学科学思维的系统训练。 本书的一大特点是除了包含必不可少的论题，如实数、收敛序列、连续函数与极限、初等函数、微分、积分、多元函数微积分等以外，还包含其他一些重要的论题，如求积分的逼近方法、Weierstrass逼近定理、度量空间等。例如本书专门用一章讨论度量空间，从而把在欧几里得空间讨论微积分时使用的许多概念和导出的结果扩展到更抽象的空间中，引导读者作广泛深入的思考。 另外，与第一版相比，第二版增加了200多道难易不等的习题。全书贯穿了许多具有启发性的例题，并且本版还为教学考虑进行了许多实质性的改动，例如将选学材料与前后内容的关联度降到最低，单独放置，既不影响教学和读者自学的进度，又能让读者集中攻破一些难点，这样使得全书的叙述更简洁、更自然。本书曾于2003-2004年作为马里兰大学教材。 （高威） 国外评论摘选 1) A great book. Starts with two very good chapters on linear algebra, adapted to the needs of calculus, and then proceeds to introduce you to the contemporary way to do multivariate calculus, including existence theorems connected to completeness. Very thorough treatment of integration, including integration of forms on manifolds, up to the Stokes theorem, built upon a fine chapter on differential manifolds, exterior differential forms, riemannian metrics, etc. Good illustrations and beautiful typesetting add to the joy of reading it. Plenty of exercises and chapters on applications to physics and differential geometry. 2) This is the best book on mathematics I've ever come across. The superbly written text succeeds in guiding the reader in an easy, clear-cut, graceful way through the realm of what he modestly calls "Advanced Calculus". Some minor misprints are to regret, but they don't even come close to blurring the fact that this is - no doubt about that - an unsurpassable masterpiece. 3) As Spivak's "Calculus on Manifolds", this book is labeled with a very modest title. It should be something as "All you wanted to know about analysis on manifolds but were afraid to ask". This book is a must-reading for the analyst. It covers everything from the most basic vector space concepts up to the fundamental theorems of classical mechanics, running through multivariate calculus, exterior calculus, integration of forms, and many topics more, always keeping a very modern and rigorous style. The undergraduate may find it a little difficult, but the effort is worth it. For the graduate student and the working mathematician it is an almost-daily reference. 4) This book is out of print, but is available from Sternberg's website. Search on his full name at Google. 书名：Advanced Calculus, 5th Edition 作者： Wilfred Kaplan 出版商： Addison Wesley (1991), 电子工业出版社影印 页数：741 适用范围：理工类本科高年级学生与研究生 预备知识：高中数学和初步的微积分学基础 习题数量：大 习题难度： 有难度 推荐强度：9.5 Wilfred Kaplan于1939年在Harward大学师从Hassler Whitney 获得博士学位，后任教于Michigan大学。 书评: 本书除了全面地介绍微积分的知识，还介绍了线性代数、矢量分析、复变函数、以及常微分方程、偏微分方程等方面的知识。全书共分为10章：前两章介绍了线性代数和偏微分；第三章介绍了散度、旋度和一些基本的恒等式，还介绍了n维空间中的张量；第四、五章介绍了积分理论，包括定积分、重积分、曲线积分、曲面积分、Stokes公式等；第六章介绍级数理论；第七章介绍Fourier级数理论；第八章介绍复变函数的解析理论；第九章介绍了常微分方程理论；第十章介绍了偏微分方程。本书内容丰富，编写深入简出，在每一章都有相当篇幅的内容打了"*"号，这些内容属于基础理论的深化与拓广，可供教师教学时选用，或供基础好的学生选读。 本书的前身是作者应他的一位工程学同事的建议所著，目的是让工科学生在掌握初等微积分的基础上进一步扩充数学知识，提高数学水平与能力。初稿写成后，曾用于工科大三学生的教学。付诸印刷后，被Michigan大学指定为理工科高年级学生的教材。 因为本书的写作初衷是提供给工科学生，并且作者认识到数值方法具有实用价值和帮助读者更深入的了解微积分理论，所以本书不仅介绍了理论知识，还涉及到相关数值方法，这也是本书的一个特点。 本书另一个特点是十分方便读者自学自测。比如说，本书中的定义都有明确标示，所有的重要结果都作为定理以公式的形式给出；书中不仅提供了大量难易不同的习题，更给出了习题答案；此外，还提供了大量的参考文献，并在每章的末尾给出了推荐阅读的书目。 本书为方便教师安排教学进度，注意在各章有机联系的同时，尽量减少每章节对前面章节知识的依赖程度。作者还在序言中为一学期每周四小时的课时提供了具体的教学安排建议。 (高威) 国外评论摘选 1) This book is simply the best that I have found for math texts. Kaplan does not expect much from the reader; he explains basically everything besides Calculus I material. Kaplan's writing is lively and is (relatively) easy to read. He gets to the point and keeps everything easy to follow. I am still in awe about how much material (look below) he was able to fit into this relatively small book and still keep it so clear. The examples are clear and concise. The problems in the book compliment the understanding of the material; they start out easy and guide the reader to do more difficult problems. This book is MORE THAN SUFFICIENT FOR SELF-STUDY. 2) Any student who is taking analysis/advanced calculus course should read chapter 2 of this book, especially if he is confused or is struggling on the excellent but relatively abstract/concise texts of Rudin, Apostal, Bartle, Marsden et al. I've never seen a book which can explain the concept of Jacobian and Inplicit function theory in such a clear way!! 3) It is good and clear book. Excellent for undergrad students who want to dig into calculus a bit deeper. But it is too easy for an advanced undergrad or a grad student in any technical field. I recommend the books published by Springer. 书名：Advanced Calculus 作者： Lynn H. Loomis, Shlomo Sternberg 出版商： Jones Bartlett Pub (1989) 页数：592 适用范围：大学数学系本科生教材 预备知识：高中数学 习题数量：大 习题难度： 中等 推荐强度：9.6 Shlomo Sternberg，美国Harvard大学教授，他于1957年在约翰霍普金斯大学获得博士学位。Shlomo Sternberg是一位杰出的数学家，尤其因他在微分几何上的贡献而闻名。 书评: 本书第零章是关于集合、映射等基础知识，接下来对向量空间作了介绍；第三章引入了微分的概念，接下来作者又对紧性、完备性和点积空间进行了介绍。第六章是有关微分方程的简单讲解，第七章介绍了多重线性函数，第八章引入了积分，第九第十章介绍了可微流形以及流形上的微积分问题，第十一章介绍了外微分，第十二章介绍了位势理论，而最后一个章节对微积分在经典力学上的应用作了介绍，向读者展现了数学的威力。 本书是一部优秀的分析教材。与一般的微积分教材不同，它大体上可以分为两个部分：第一部分介绍了赋范向量空间上的微分知识，第二部分主要介绍了可微流形上的微积分知识。本书既有基础的章节，例如第一第二章对于向量空间的介绍，也有对于读者而言要求比较高的内容，比如第九章中关于切空间和李导数的概念。作者在用朴实的语言向读者介绍微积分的概念和思想的同时，也尽可能地展现了不同的观点：例如对于隐函数存在定理的证明，作者就给出了三种证明方法，揭示了数学的魅力。本书的另一大特色在于丰富的习题，练习题的题量大，并且难度不一，作者还把一些重要定理的证明放在了习题中，因此对于读者而言，尽可能多地完成书后习题可以更好的把握和巩固知识，提高分析能力。 本书可以根据教学的需要选取部分章节，程度较好的数学系本科生也可选用此书作为微积分的课外读物。 （徐晓津） 书名：Problems and Theorems in Analysis 作者： George Polya and Gabor Szego 出版商： Springer Verlag (1978) 页数：第1卷389页；第2卷391页；共780页 适用范围：数学专业高年级学生与研究生，数学教师与数学工作者 预备知识：数学分析，高等代数，复变函数 习题数量：第1卷776道；第2卷884道。这是一套习题书 习题难度： 难，有的习题甚至为研究者的最新成果，难度很大 推荐强度：9.8 George Polya（1887-1985）匈牙利数学家，早年在苏黎世瑞士联邦理工学院任教，后入美国籍，1942年起在美国Stanford大学任教。Polya 在数学的广阔领域里都有深入的研究，特别在泛函分析、数理统计和组合分析等方面尤为突出。Polya不仅是数学家，也是一为优秀的教育家，他始终把高深的数学研究和数学的普及与教育结合起来。 Gabor Szego（1895-1985）匈牙利数学家，早年在柯尼斯堡大学任教，后入美国籍，也在美国Stanford大学任教。他主要的贡献是在数学分析与数理方程方面。 《分析中的问题与定理》一书是George Polya 与 Gabor Szego 最著名的著作。Polya曾经这样评论他与Szego的合作：这是一段美妙的时光；我们专心致志、充满热情地工作。我们有着同样的背景。我们象同时代其他匈牙利数学家一样，受到Leopold Fejér的影响。我们都是那个为中学生创办的强调解题的刊物Hungarian Mathematical Journal 的读者。我们又对同样的课题、同样的问题感兴趣，但往往是一个人对某一个课题知道得多，而另一个人对其他的课题知道得多。这是一次绝妙的合作。我们的合作成果-《分析中的问题与定理》，是我最好的工作，也是Szego最好的工作。 书评: 本书两卷，共分九个部分。第一部分主要收录无限序列与无限级数方面的问题。第二部分是有关积分的各种问题。第三、第四部分是关于单复变量函数的问题，内容包含了数学系本科生与研究生的复分析课程中的主要问题。第五部分主要涉及代数的零点确定问题。第六部分讲多项式与三角多项式。第七部分为行列式与二次型的问题。第八部分为数论方面的题目。第九部分为数学中与几何有关的一些问题。 本书与其说这是一部教科书，不如说这是一部字典，因为它收录了分析学中的各种问题和定理。这是一本有着突破传统意义的书。它对问题巧妙的系统性安排与归纳，给学生创造了自主性思考的可能，最大程度上启发学生的研究能力和创新能力，这也是它不同于其他一些平庸的习题参考书的地方。作者甚至试图用很多哲学的观点来阐释它所选出的题目的代表性，比如有关特殊和一般的问题，要知道早期著名的数学家迪卡尔曾经说过："我学数学是为了追求最终的哲学。"正是这种理念的融入，使得这本书在学术界的地位尤为突出，不只是学生，很多教授和数学工作者都以此书为参考书，并对此书给予了高度的好评。 什么是好的教育？给学生一套完善的体系然后让学生在这样的体系下寻找机会自己去发现和解决问题，这样的完善的体系才是好的教育的关键。此习题书不同于其他习题参考书的特点也就在此。它给我们数学系高年级学生与研究生提供了在不同主题下精心安排的问题，启发我们独立思考和研究问题的能力，是一本不可多得的分析习题书籍。 第一部分的习题139让我们明白了很多问题就像两个点决定一条直线一样，是有两个极端的线性组合而得出的结论。 第六部分的习题92让我们明白了掌握一个领域的知识就像了解一个城市的所有交通路线。真正的掌握就是从任何一个出发点，你都可以找到最短的路线达到你想要达到的目的。 (刘东弟) 书名：Functional Analysis 作者： Walter. Rudin 出版商： McGraw-Hill Book Company ISBN: 0-07-054225-2 页数：397 适用范围：数学类专业本科高年级学生和研究生 预备知识：数学分析 复分析 实分析 线性代数 习题数量：中等 习题难度： 中等偏难 推荐强度：9.5 书评： W.Rudin的《泛函分析》是一本分析数学方面的经典名著，多年来一直被国外一些高校用于研究生教学。 全书由三部分组成，第一部分是线性泛函分析基础，作者在线性拓扑空间的框架下建立了开映射定理、 闭图像定理、逆算子定理、共鸣定理和线性泛函延拓定理等基本定理，介绍了赋范线性空间的对偶性、 紧算子的概念与性质。作为这些理论的应用，作者还专辟一章介绍了Stone-Weierstrass定理、插值定理、 不动点定理、紧群上的Harr测度等知识。第二部分介绍了Fourier变换和广义函数理论， 并给出了这些理论在微分方程方面的应用。第三部分在Banach代数的基础上， 介绍Hilbert空间上有界正规算子的谱理论，并进一步建立了无界正规算子的谱定理，最后还介绍了 类算子半群。第一部分是全书的基础，第二部分和第三部分则是可供平行阅读的两个独立部分， 读者可根据需要选择使用。全书叙述严谨，条理清晰，理论的展开较为详尽。 该书既可用作泛函分析课程的教材，也可供数学工作者查阅参考。（童裕孙） 国外评论摘选 1) Hardly can I find words to highlight the goodness of this book. As mentioned by other readers ,it provides elegant, direct and powerfool proofs of the three theorems which constitute the cornserstones of functional analysis (Hanh-Banach, Banach-Steinhaus and Open mapping). These theorems are, in addition, studied in their most general context, namely topological vector spaces. Specially appealing is its treatment of distributions' theory. It is, as far as I know, the only text which start by defining the rigurous topology on the set of test functions and then obtains the convergence and continuity of functionals (distributions) in terms of this topolgy, which is, indeed, the only way to present and gain insight into these concepts and to reach some results such as completness. In doing otherwise one risk definitions can emerge as artificial and rather arbitrary. It is, without any doubt, a must have book for those with interest in pure mathematics as well as for those who, eventually, realize that the only way to dominate their area is saling through mathematics. 2) No other book covers the elements of distributions and the fourier transform quite like Rudin's Functional Analysis. This is a must for every budding PDE-er! 3) I enjoy perusing Rudin's "Functional Analysis" at this stage in my life. It is fairly nice tome for functional analysis, and its general treatment of topological vector spaces (as opposed to the standard Banach space examples studied in a typical functional analysis class) is now well-received. However, as a student, I was put off by this book. At times, I found it difficult to tie the theory present to the basic examples which were relevant at the time (such as span style="position: relative;" id="MathJax-Element-33-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='L^{p' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" L^{p L^{p spaces). For a first time learner, I would suggest the book of Kolmogorov and Fomin (which is a Dover book, by the way), and would wait until later for this book. 4 单复变函数 复变函数论是数学系本科生的必修科，也是很多数学分支的研究生课程，其重要性是公认的。 粗看起来，数学分析中的导数和积分推广到复数上就是复分析了。但是复的可导函数，即解析函数，具有实的可导函数不具备的优美性质。它中的一些主要定理如柯西定理、柯西积分公式、刘维尔定理、留数公式等都有强大的威力。 由于单复变函数论的基本理论非常成熟，国外的优秀教材也比较定型，我们下面介绍的基本教材都可以作为首选。 学习复变函数前学生应有非常扎实的数学分析基础，特别是无穷级数和广义积分的收敛性。 书名：Complex Analysis, 3rd edition 作者：Lars V. Ahlfors 出版商：McGraw-Hill (1979) 页数：331 适用范围：大学数学系本科,数学专业研究生 预备知识：数学分析和线性代数 习题数量：小 习题难度： 中等 推荐强度：10 书评： 出自数学大家之手的这本书已经公认为单复变函数论的经典著作， 既可以选取部分内容作为我国综合性大学数学系本科生的复变函数论教材， 又可以用来作为大学高年级学生和研究生的选修课内容，同时它又是从事复分析研究的标准参考书。 有关单复变函数论的教材、参考书不下几十种，但是除了干巴巴的概念、 定理的正确叙述与严格证明之外提供大量解释性文字的书本并不多见，而在这些叙述中既没有多余的话， 又能使读者开阔视野并感受到作者深厚功力的更为少见，本书恰恰为其中的佼佼者。这本书已经出了三版。 在这第三版中大部分内容未作更动，叙述依然简洁而流畅，但是作者彻底改写了第八章， 以层论的观点描述Riemann面上整体解析函数的存在性，使经典的内容现代化。（张锦豪） 国外评论摘选 1) This book has been, since its first edition in 1953, the standard textbook for rigorously learning complex analysis, and not without a reason. The wonderful theory of this branch of mathematics is appropriately emphasized and thoroughly constructed, leading to more general and precise results than most textbooks. While the constant appearance of new texts on the field can only help appreciate the subject from a different perspective, few give you such a deep and serious treatment like this gem. Postscript: An earlier reviewer claims that Ahlfors never defines the set of complex numbers, while this is indeed done in the fourth through sixth pages in a much more analytical way than generally found elsewhere. It is quite possible to dislike this author's style or approach (or anybody's for that matter), but it would be difficult to charge Ahlfors with being sloppy with his writing. 2) How can anyone fail to read this book? The exposition is rigorous, coherent, precise without being either pedantic or overwhelming. A certain level of mathematical maturity is requisite, such as one might acquire in the course of digesting Rudin's "Principles of Mathematical Analysis" or Apostol's book. This is not a compendium of results and exercises for engineers or physicists, it is a concise introductory text in pure mathematics. In that sense it is too abstract and proof oriented for that aforementioned audience which would be better served by a text in mathematical methods. Even pure mathematics students would benefit from supplementing this book with more detailed, computationally oriented books such as Conway or Boas. It's unrealistic to expect to find everything in one text and to further expect it to remain cogent and approachable. Ahlfor's beautiful little book has justifiably remained a classic for four decades. 3) I'm not sure why the other reviews are so positive. The book is very thorough and rigorous I'm sure, but the explanations are terrible. Everyone I've talked to in my class agrees that it's extremely difficult to learn from if you don't already know complex analysis, because the definitions and order of treatment are very un-intuitive. Example: residue at span style="position: relative;" id="MathJax-Element-34-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='a' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" a a is defined as the number span style="position: relative;" id="MathJax-Element-35-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='R' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" R R that makes span style="position: relative;" id="MathJax-Element-36-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='f#x2212;R/(z#x2212;a)' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" f − R / ( z − a ) f−R/(z−a) the derivative of a single-valued analytic function in span style="position: relative;" id="MathJax-Element-37-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='0lt;|z#x2212;a|lt;#x03B4;;' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" 0 | z − a | δ ; 0|z−a|δ; why didn't he even mention that it's the coefficient of span style="position: relative;" id="MathJax-Element-38-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='1/(z#x2212;a)' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" 1 / ( z − a ) 1/(z−a) in the Taylor expansion? And he didn't even give any examples of specific residues. I ended up using a mathematical methods for physics book; it was the only way I could develop any kind of intuition for the subject. 书名：Introduction to complex analysis 作者： Kunihiko Kodaira 出版商： Cambridge University Press (1984) 页数：256 适用范围：大学数学系本科 预备知识：数学分析和线性代数 习题数量：无 推荐强度：9.8 书评： 日本岩波讲座的基础数学中由小平邦彦撰写过三本关于复分析的小册子，其中的I、II 分册被译成英文出版为本书。其内容与我国综合性大学的复变函数论课程基本相符。 本书体现了数学大家小平邦彦一贯的写书风格，起点低，过程详尽，深入浅出，流畅而易读。 本书以复可微（有连续导数）的条件引入全纯函数的概念，为后续的处理带来很大方便。 同时以Cauchy积分定理为主线，从简单到复杂，循序渐进地揭示了这个定理的成立与拓扑的关系。 以远较一般教科书为多的篇幅介绍了Riemann球，引入"局部坐标""齐次坐标"等概念， 并顺理成章地接着用来导出分式线性变换的群伦性质。 本书处处体现了小平邦彦深厚的研究功力与广阔的视野。 对于希望将来在Riemann面、Teichmuller空间、多复变函数、复几何、 代数几何等方面进一步深造的有志者来说是一本不可多得的基础好书。（张锦豪） 书名：Functions of One Complex Variable 作者： John B. Conway 出版商： Springer-Verlag (1973) 页数：313 适用范围：大学数学系本科或数学专业研究生一年级 预备知识：数学分析和线性代数 习题数量：大 习题难度： 从易到难都有，大部分中等 推荐强度：9.6 书评： 本书虽然为大学生学习单复变函数论而写，但是内容十分丰富。 作者用整个一章介绍最大模原理，除了我国教材中通常出现的内容外， 还证明了Hadamard三圆定理与Phragmen-Lindelof定理。 对多复变函数的近代理论有深远影响的Runge定理、Mittag-Leffler定理、 Weierstrass定理等也给予详尽的介绍。本书还包含了大Picard定理等值分布理论的基础。 同时以解析函数芽层的现代观点描述了解析延拓这一重要现象，并引入Riemann面， 进一步再用复流形的现代概念进行提升，非常精彩。 本书内容远远超过我国综合大学复变函数论课程的需要， 所以同时可以用来作为大学高年级与研究生一年级的选课教材。 本书观点颇高，论述严谨，排版紧凑。 虽然作者声称只需基本微积分以及关于偏导数等少量预备知识即可阅读本书， 但由于介绍预备知识的叙述水平超过了一般的数学分析，因此初学者若没有一定的数学天赋则很难自学。 但毫无疑问，这是每一位学习或应用复变函数论者的极好参考书。（张锦豪） 国外评论摘选 1) We're using this book for my graduate level complex analysis course, and over all, I'm pleased with it. Aside from some goofy notation (i.e., an empty box to represent the empty set?), it's pretty well written. The pace of the text isn't too fast or too slow, and there are plenty of exercises of a varying degree of difficulty to help you learn the material. 2) An ideal text for a first-year graduate students in mathematics studying Compex Analysis. And this depend how the professor present the material. The exposition is complete and very clear, including a lot of optional material for the curious. which could be very useful to those preparing for a qualifying exam in analysis at the PhD level. 3) This book was the recommended textbook for a course in Complex Analysis I took at college. I had already done a 1st course on analysis, but that didn't help me too much. This book, littered with loads of proofs and lemmas, is a little too terse, and the author expects students to understand a lot on their own. Concepts in Complex Analysis need to be demonstrated using examples, and diagrams, if possible. Like for eg. the concept of branches in complex functions. The book starts of defining the complex logrithmic function. The author never says what a branch exactly is. He writes down a hell lot of proofs and expects the student to figure out that the complex logarithm is infact a multi-valued function, and that a branch is essentially a "slice" of this multivalued function. Similiar problems crop up when the author discusses fractional linear transforms. Instead of showing whats happening with simple diagrams, the author makes things look extremely complicated with his equations and theorems. This book makes learning complex analysis a very mechanical exercise, devoid of all fun. 书名：Complex Analysis, 3rd edition 作者： Serge Lang 出版商： Addison-Wesley (1993) 页数：321 适用范围：大学数学系本科或数学专业研究生一年级 预备知识：数学分析和线性代数 习题数量：中 习题难度： 中 推荐强度：9.7 书评： 本书第三版较之第一版增加了许多超出本科生学习的内容。全书分为三部分， 其第一部分与我国综合性大学的复变函数论教材大致相当，第二、第三部分为进一步学习的内容， 可供大学生高年级或研究生低年级的选修课之用。本书将Cauchy定理分为两部分介绍，从局部到整体， 从简单到复杂，使读者很容易接受。特别是在一般Cauchy定理的证明中借用了分析味更浓的Dixon证明， 避开了初学者理解拓扑内涵的困难。将对数函数的介绍与解析延拓的放在一起， 使读者从更一般的角度理解如何选取多值函数的单值支。 本书的另一亮点是介绍了Zeta函数并用来证明素数分布定理。作者是位著名的数学家， 学识广博，擅长撰写数学基础类教材。一些深刻的定理在他的处理下通俗易懂， 所以本书虽然述及到许多深入的复分析内容，读来也是毫无困难，值得向初学者推荐。（张锦豪） 国外评论摘选 1) A person with absolutely no knowledge of complex numbers could begin with page one of this book. However, I think that some exposure to analysis is helpful before finishing the first chapter, but not necessary. I found this book easier to read and understand than some real analysis books, yet it helped me further understand real analysis in the process. I'm sure this is due to mere repetition of some of those concepts over a different field. As the author mentions in his foreword, the first half of the book can be used as an undergraduate text (Jr/Sn years) and the second half can also, but I would NOT have enjoyed it in undergraduate studies. I found it worthy of a first course in complex numbers at the graduate level. I especially liked it after studying real numbers. The placement of the chapter subject matter can be altered (to some degree) to ones liking. I think Lang has provided good examples and problems. There's a solutions manual (by Rami Shakarchi) for this text somewhere. 2) if you want an introduction to complex analysis, I advise you to pass on this book, and read Churchill and Brown's introductory book. Having said this, part I of Lang's book will seem mostly review if you follow my advice. Part II, on Geometric Function Theory, is more advance material that is presented reasonably well. 5 多复变函数 多复变函数论是现代基础数学的重要分支，除了单复变函数论外，它还要使用代数、拓扑、泛函分析等很多深刻的知识。所以一般只设为研究生课程。 书名：An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, 2nd edition 作者：Lars H?rmander 出版商： North-Holland (1973) 页数：254 适用范围：数学专业研究生 预备知识：实分析与泛函分析初步,复变函数,微分形式略知一二 习题数量：无 推荐强度：10 书评： 作者于1964年在Stanford大学介绍了多复变函数论，对其讲义稍作修改后即成本书第一版。 除了最后一章最后一节外，第二版基本保持原样。本书前后观点统一，读来似有一根红线贯穿始终。 作者处理单复变的预备知识的第一章会给习惯复变函数论方法的人以耳目一新的感觉。 反映作者将超定偏微分方程理论应用于多复变函数论所做巨大贡献的第四章，是本书的最精彩部分。 这一章系统地介绍了拟凸域上 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-39-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='\bar{\nabla-' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" \bar{\nabla- \bar{\nabla- 算子的 理论及其应用，值得反复阅读，细细品味，否则会入宝山而空返，到此一游而已。本书叙述简洁而流畅。 阅读本书无需很多单复变函数论的知识，但若没有扎实的实分析功底，读时有如陷入泥泞之地。 目前本书已被公认为多复变函数论的经典著作，是准备从事多复变函数论、复几何、 超越代数几何等方向研究的必读课本，也可以用来作为大学高年级学生的选修课内容。（张锦豪） 书名：Introduction to Complex Analysis Part II, Functions in Several Variables 作者： B. V. Shabat 出版商： American Mathematical Society 页数：371 适用范围：数学专业研究生 预备知识：复变函数 习题数量：大 习题难度：中等 推荐强度：9.5 书评： 本书为作者两卷书的第二部，第一部讲单复变函数。本书起点较低，通俗易懂。 对于深受前苏联教育体制影响的我国大学培养出来的学生来说， 它的内容与叙述方式以及对预备知识的要求都非常贴切我国学生的知识结构。 本书对概念的介绍非常清楚而到位，例子较其它书籍为多，还附有大量难度适中的习题 ，因此是值得推荐的多复变函数论入门书。但是本书没有提供系统的方法供研究者参考。 本书可作为大学生高年级与研究生的选修课教材。（张锦豪） 书名：Topics in Complex Function Theory I, II, III 作者： Carl L. Siegel 出版商： John Wiley Sons, Inc. (1969,1971,1973) 页数：186,193,244 适用范围：大学数学系本科或数学专业研究生 预备知识：复变函数论，抽象代数初步，代数拓扑初步 习题数量：无 推荐强度：9.8 书评： 这是一本述及复分析高端论题的经典著作。本书根据作者于1964年在德国哥廷根大学 为时两学期的演讲基础上写成的。作者以椭圆积分与椭圆函数及单值化理论作为第一卷的内容开始， 继之以自守函数和阿贝尔积分成就第二卷，最后在第三卷将读者引入多变量阿贝尔积分与模函数。 本书写作风格独特：不追求概念的天衣无缝的表达，而侧重其内涵与相互联系的阐发， 同时包含了有关领域的几乎所有重要结果，以及在其它地方很难找到的一些熟知结果的证明。 因此，不仅初学者能沿着作者独辟的蹊径很快到达最前沿的研究领域， 许多专家也会从其叙述中感受到这位数学大家的深厚功力，得益良多。（张锦豪） 6 代数 　　 数学系本科生课程中，线性代数是最重要的，一般要学一年，其次是抽象代数。一般这些代数知识还不够，在研究生阶段又要学一些更加专门的代数，如群表示、李代数、交换代数、同调代数、环论等。 　　 数学系使用的线性代数教材和非数学专业的教材有很大的不同，前者注重定理的证明，习题中证明题的比重很大，而后者注重计算，习题也以计算题为主，因此非数学专业的学生如果使用数学专业的线性代数教材有可能会不适应。 　　 在此，我们介绍了几本比较基本的优秀代数教材，大多是本科生或低年级研究生使用的。 书名：Linear Algebra, 2nd ed. 作者：K. Hoffmann and R. Kunze 出版商：Prentice Hall, Inc. (1971) 页数：407 适用范围：大学数学系本科低年级教材 预备知识：微积分 习题数量：600 多道习题 习题难度：各种难度都有 推荐强度：9 使用学校： Central Michigan University，University of North Dakota，Indian Institute of Technology, Bombay，University of Pittsburgh，University of Texas，Johns Hopkins University，West Virginia University，University of Houston，Simon Fraser University，Washington University in St. Louis，University of Notre Dame，University of Wisconsin-Madison，Cornell University，University of South Carolina，University of Rhode Island，University of Missouri，University of Maryland，Stony Brook University，University of Michigan，Purdue University，University of Kansas，United Arab Emirates University，Rice University，Kenyon College，Temple University，Louisiana State University，Sonoma State University，North Carolina State University，University of Iowa 书评： 这是一本线性代数方面久负盛名的教材，在麻省理工学院作为大三课程的教材使用多年，第一版于 1961年出版，对此后世界各国编写的各种线性代数教材有很大影响。比方说，北大和复旦的线性代数教材的内容和编排次序与此书非常接近。 虽然作者在序言中声称为了照顾数学基础不是特别扎实的工科学生把很多地方写的浅一些，但是据我看这本教材只适合数学系或者对线性代数基础要求很高的专业用。 本书内容完整，线性代数的所有内容都有了，甚至多重线性代数的若干内容如外积也包含了。从第一章开始就定下一个基调：本书讲解的线性代数是在任意域上的。在叙述了域的定义后，先给读者一颗定心丸：但是几乎所有例子和习题是在数域上的。接下来马上又警告大家：奇怪的域是有的，有限多个 1 相加可以等于 0. 这样的安排虽然对学生的要求比较高，我觉得还是利大于弊，可以一步到位了。另一个类似的情形出现在第五章讲行列式时一上来就定义任意交换环上的行列式。我国的教材大多把行列式定义为一个数，然而在例题和习题中很多行列式中含变元，使人觉得不很严格。提起行列式， Strang 教授在 MIT 的视频课程给我深刻印象，他并不先讲行列式的定义，而是先将它需要满足的几个关键性的性质，最后推出只存在唯一的方式来定义行列式满足这些关键性质。本书基本上也是按照这样的方式处理的，虽然费力一些，但把它的本质讲的比较透彻，这比急功近利地急急忙忙讲行列式的计算技巧深刻。更进一步，接下去作者马上讲交换环上模的概念以及交错型和外积，虽然显得有些过火，但这样的安排还是合情合理的，因为这些内容和行列式的关系太密切了。也许作为课堂教学这些内容只能跳过，否则一个学年讲不完这本书。 后半部分的内容是线性变换的各种标准形、内积空间以及它上的线性算子，比较常规。大量习题和这些习题的覆盖度大也是本书的一个特色。（杨劲根） 国外评论摘选 i) I got this book for my Linear Algebra class about four years ago. This is a great book if you are getting a degree in mathematics. It won't help if you are just trying to get by the class and don't like math. It is not very practical but if you are looking for a real math book on Linear Algebra this is it. It contains a wealth of theorems that only a math lover would appreciate. If you really want to learn about Linear Algebra from a rigorous mathematical point of view this is it. This book taught me so much. ii) This was the textbook they used to use at MIT in the past few decades. Virtually, however, nobody uses this book in a regular undergraduate course anymore. Instead of developing the ideas in the familiar context of the real numbers, Hoffman and Kunze give a more abstract (and general) discussion. For example, the theorems about determinants work in all commutative rings. The rigorousness and the wealth of information are overwhelming for most undergraduates to handle. You will not learn anything if you just glance through the pages. Every line requires deep thought. Down-to-earth applications are not included. So I do not recommend this book for engineers. 书名：Lectures on Linear Algebra 作者：Gelfand 出版商：INTERSCIENCE PUBLISHERS. INC. （60 年代） 页数：185 适用范围：大学数学系本科低年级教材 预备知识：微积分 习题数量：少 习题难度：比较大 推荐强度：8.5 书评：前苏联有一些数学大师写过一些给大学本科用的数学教材，就象我国华罗庚先生写过《高等数学引论》一样。作为泛函分析祖师爷级别的人物 Gelfand 写的线性代数讲义也不失为一本极好的教材。 本书是学院式的，结构和叙述十分严格和简洁，具有 Bourbaki 的风格，但又不象 Bourbaki 那样地追求一般性，所以不要求读者有很高的起点。不象一般的线性代数教材从解线性方程组或行列式开始，本书从 n 维内积空间作为第一章，甚至包括复内积空间，可谓开门见山。第二章讨论线性变换，特别是正交变换和酉变换。第三章是若当标准型，第四章是多重线性代数。 本书原文是俄文的，在 60 年代有多种文字的译本，包括中文本，由于是繁体字，现在已打入冷宫了。我在大学刚毕业不久（1971年）阅读此书得益非浅，感觉对线性代数乃至泛函分析有更深的认识，这是我把这本老书向读者介绍的主要原因。本人认为此书层次较高，适合于已经有一些初等线性代数知识的人读，它不一定对提高解题能力有利， 但对提高数学观点是绝对有益的。（杨劲根） 国外评论摘选 1) The professor who recommended this book made the comment that every time you re-read it, you notice something else that you missed the last time you read it. This is absolutely true. I must say, the first time I picked up this book, I did not like it. The notation was not what I was used to, and the book dives right in, assuming a lot of background (matrices, determinants, etc.) but covering material which many people find boring (bases, etc.). However, when you read deeper, there's a lot here. Once you get past the ugly notation, the proofs are extraordinarily clear. And in spite of the books small size, there is a remarkable amount of motivation and discussion. Like the other reviewer said, this is not a book to learn linear algebra from for the first time: this is an advanced book that is useful for graduate students who have already had a linear algebra course and who want to learn more topics, or understand topics on a deeper level. This is an excellent book; the bottom line is that it's so cheap that there's no excuse NOT to buy it. 2) This is the best treatment of linear algebra that has been published. It starts with n-dimensional linear spaces and ends with an introduction to tensors. An excellent description of dual spaces is concisely presented. NO INDEX! 3) Lucid and clear notation , complete explanations . This books was first published in 1937 but until now it remains best text book in the field . 4) This is a good book if all you need is a condensed reference on theorems and proofs and it assumes that you go for practice (and instruction) elsewhere. If you are trying to actually learn linear algebra (especially on your own and especially if you want to learn how to solve practical problems) get one of Gilbert Strang's books and watch his video lectures at MIT web site. Another thing that I dislike about the Gelfand's book is that it puts too much emphasis on index notation - instead of matrix notation which is natural for linear algebra, almost all formulas and theorems are presented at very low level using expressions consisting of variables with multiple indices. Naturally it gets very messy and hard to follow at times. This doesn't present any more information than equivalent matrix notation but introduces unnecessary complexity and makes things that are really easy to understand very confusing. 书名：Linear Algebra Gems 作者： David Carlson, Charles R. Johnson,David C. Lay, A. Duane Porter 出版商： The Mathematical Association of America (2000左右) 页数：328 适用范围：大学数学系本科低年级参考读物 预备知识：微积分、线性代数 习题数量：123 题 习题难度：大 推荐强度：8.5 书评： 这本书不是线性代数的教材，而是兴趣浓厚的学生或教线性代数的老师的参考读物，同类 的书并不多见。美国最大的数学组织是美国数学会（AMS）, 其次就是美国数学协会（MAA）, 它 的主要目标是推动数学教学，尤其是大学本科的数学教学，和 AMS 一样，它也有不少出版物， 其中最主要的是美国数学月刊，简称 Monthly, 是一份历史悠久并且享有盛名的数学教育刊物， 上面的文章质量高于我国的数学通报，另有一个刊物 College Mathematics Journal，我国数学界不太熟悉。 本书是从多年的 Monthly 和 College Mathematics Journal 中选出几十篇与线性代数有关 的短文，又约稿请人写了若干文章，总共74篇按内容进行分类而构成的。大部分文章是教学心得和 若干有名的定理（比如若当标准型）和习题的进一步探讨。各篇文章互相独立，每篇文章一般在一个或半个小时内读完， 非常适合于充当大学生课外读物，特别是对大学生数学竞赛很有帮助。 内容共分十部分如下 PART 1 - PARTITIONED MATRIX MULTIPLICATION PART 2 - DETERMINANTS PART 3 - EIGENANALYSIS PART 4 - GEOMETRY PART 5 - MATRIX FORMS PART 6 - POLYNOMIALS AND MATRICES PART 7 - LINEAR SYSTEMS INVERSES AND RANK PART 8 - APPLICATIONS PART 9 - OTHER TOPICS PART 10- PROBLEMS 象第 1，2，5，6，7 部分一看就知道有不少有技巧性的内容。第十部分是习题，大部分是竞赛级别的题。 （杨劲根） 书名：Algebra 作者： Michael Artin 出版商： Prentice Hall (1991), 机械工业出版社影印 页数：618 适用范围：大学数学系本科基础数学一学年的教材 预备知识：微积分和线性代数 习题数量：大 习题难度： 各种难度都有 推荐强度：9.8 书评： 本书是美国大数学家美国科学院院士 Michael Artin 的力作，从70年代早期开始就作为麻省理工学院数学系高年级 本科生教材，是一本极具特色的优秀教材，深受使用者欢迎。 与传统的抽象代数教材不同，本书以数学中的重要实例为主线索，引导出抽象的概念，对读者以启发为主，又不缺乏数学的严格性。虽然教材的主要内容是基本的代数结构，但字里行间不乏现代数学的烙印。代数数论、代数几何、表示论中的一些基本思想 也时时涌现，如整二次型的原理和应用、二次域的理想类、不定方程、紧群表示等。 全书分14章，从矩阵运算引入群概念直到最后一章伽罗华理论一气呵成，不使人感觉600多页篇幅的冗长。 本书的习题是作者20多年积累而得，很多是作者独创的习题，例如有一道2x2魔方的问题是70年代3x3魔方游戏刚问世时作者 编制的群论习题。大约有四分之一的习题有一定难度。 本人80年代在 MIT 攻读研究生期间为此课程作过多次助教，主讲人为作者本人或其他资深教授，每次大约有三十人修课，主要 学生是基础数学各专业的学生，也有一些计算机专业的本科生及研究生选修的。学生反映此课程质量很高，但比较难。 本书比较适合我国综合性大学数学系抽象代数课程的外文教材，尤其适合一学年。对于半年的抽象代数课程，则可选用部分章节。 程度较好的数学系本科生可选用此书作为抽象代数的课外读物。 （杨劲根） 国外评论摘选 1) Pretty much any introductory abstract algebra book on the market does a perfectly competent job of introducing the basic definitions and proving the basic theorems that any math student has to know. Artin's book is no exception, and I find his writing style to be very appropriate for this purpose. What sets this book apart is its treatment of topics beyond the basics--things like matrix groups and group representations. I suppose many introductory books shy away from much of the material on matrix groups in Artin's book because it involves a little analysis (and likewise for the section on Riemann surfaces in the chapter on field theory). However, Artin correctly realizes that a reasonably mathematically mature student--even one who doesn't know much analysis--will be able to profit from and enjoy the relatively informal treatments he gives these slightly more advanced topics. Of course these topics can also be found in graduate-level texts, but I for one would much rather be introduced to them via an example-based approach such as that in Artin than through the diagram-chasing obscurantism in more advanced books. I happened upon this book a little late--in fact, only after I'd taken a semester of graduate-level algebra and already felt like analysis was the path I wanted to take--but I'm beginning to think I would have been more keen on going into algebra if I'd first learned it from a book like this one. 2) I bought this book for a class that I ended up dropping. In the beginning, I hated this book. I found Herstein's "topics in algebra" much better, and more to the point. It was only when I was getting bored with Herstein that I bothered to pick this up again. I was pleasantly surprised. A lot of the material flowed very smoothly - exactly as if Artin was teaching the material to you. It must however be noted that people tend to love or hate this book. This is predominantly due to the author's writing style. Given how expensive this book is, you might perhaps want to peruse it somewhere before deciding to buy it. But if you do, you'll get a solid exposition on most of the introductory topics in algebra as well as some insight on groups and symmetry, lie groups, representation theory, galois theory and quadratic number fields. And a whole lot of intuition as well, for the more regular topics. Give this book a chance - it's worth the effort and money. 3) As an undergraduate I learned, or tried to learn, algebra from this book. Artin's pedagogical methods just didn't work for me. Although his idea of teaching through concrete, geometric examples sounds great in principle, in practice it's not so successful. It is very hard to see the forest for the trees, since Artin is so chatty and discursive. When he is discussing examples, he sometimes puts specialized results on par with more general theorems, which may be misleading. Many proofs are only sketched, and occasionally theorems are stated after their proofs, necessitating a rereading of the preceding paragraphs in order to grasp the points of the proof. The chapters on representation theory (Ch. 9) and arithmetic of quadratic number fields (Ch. 11) are nonstandard topics and interesting in themselves, but again, the level of detail tends to obscure, rather than enlighten. The one saving grace of the book is the excellent problem sets at the end of each chapter. In doing them you will learn the algebra that the main body of the text attempts to impart. 书名：Codes and Curves 作者： Judy Walker 出版商： American Mathematical Society (2000) 页数：66 适用范围：大学数学系本科高年级参考书 预备知识：抽象代数 习题数量：小 习题难度： 容易 推荐强度：8.5 书评： 这本小册子是1999年美国数学会在 Princeton 组织的暑期学校的一门课程的讲稿，是代数几何码的入门读物。代数几何码是新发现的 一种纠错码，目前仍有大量问题在研究。本书前一半对纠错码的基本知识和若干经典的纠错码作了扼要的介绍，重点是 Reed-Solomon 码，因为代数几何码是它的推广。然后，作者不加证明地清楚地叙述了有限域上平面代数曲线的基本知识， 最后介绍了代数几何码以及好的代数几何码的构造方法。 本书的一个显著特点是提供了六个供本科生研究的课题。本人曾指导复旦大学数学系毕业班的六名学生报告这本书，并围绕 六个课题查阅文献资料，写作毕业论文，取得很好的效果。 （杨劲根） 国外评论摘选 1) The book gives an overview of algebraic coding theory. The first chapter introduces error correcting codes, the Hamming distance, Reed-Solomon codes, and concludes with a brief exposition of cyclic codes. The second chapter discusses some upper bounds on the minimum distance of a code such as the Singleton and Plotkin bounds. The second theme of this book are algebraic curves. Chapter 3 contains the basic definitions and some examples of algebraic curves. The concept of a nonsingular curve is explained in Chapter 4. This chapter also contains a half page explanation of the genus of a curve. The Riemann-Roch theorem is finally covered in Chapter 5. The two themes come together in Chapters 6 and 7. These chapters discuss the basic principles of algebraic geometry codes. This little book gives the reader a first taste of an intriguing field. The most surprising part is how much is covered in so few pages . The explanations are always accessible for undergraduate students of mathematics, computer science, or electrical engineering. The prerequisites are some knowledge of abstract algebra, but most material is reviewed in the appendices. It is a lovely little book that is written in a lively style. The book nicely complements the typical college courses on coding theory. If you want to get an idea what algebraic geometric codes are and you want a quick answer, then this is the book for you. 2) There is a free version of the book available on the website of the University of Nebraska-Lincoln. 目录： Chapter 1. Introduction to Coding Theory 1.1. Overview 1.2. Cyclic Codes Chapter 2. Bounds on Codes 2.1. Bounds 2.2. Asymptotic Bounds Chapter 3. Algebraic Curves 3.1. Algebraically Closed Fields 3.2. Curves and the Projective Plane Chapter 4. Nonsingularity and the Genus 4.1. Nonsingularity 4.2. Genus Chapter 5. Points, Functions, and Divisors on Curves Chapter 6. Algebraic Geometry Codes Chapter 7. Good Codes from Algebraic Geometry Appendix A. Abstract Algebra Review A.1. Groups A.2. Rings, Fields, Ideals, and Factor Rings A.3. Vector Spaces A.4. Homomorphisms and Isomorphisms Appendix B. Finite Fields B.l. Background and Terminology B.2. Classification of Finite Fields B.3. Optional Exercises Appendix C. Projects C.1. Dual Codes and Parity Check Matrices C.2. BCH Codes C.3. Hamming Codes C.4. Golay Codes C.5. MDS Codes C.6. Nonlinear Codes 书名：Introduction to Commutative Algebra 作者： Michael Atiyah I.G.MacDonald 出版商： Addison-Wesley Publishing Company (1991) 页数：126 适用范围：大学数学系本科基础数学高年级或研究生低年级教材 预备知识：抽象代数和点集拓扑 习题数量：大 习题难度： 较大 推荐强度：9 书评： 英国皇家科学院院士 Michael Atiyah 是当代大数学家，曾或菲尔滋奖。本书是交换代数的入门书籍，是一本优秀教材， 特别适合于代数几何、代数数论和其他代数专业的研究生使用。本书的篇幅虽小，内容却很丰富，包含了交换代数的核心内容。 学过一学期抽象代数的人可以顺利学习本书前九章，学习第十和第十一章需要点集拓扑的基本知识。正文中的定理的证明简明易懂，有很多重要的定理安排在习题中，所以要掌握此书内容必须化工夫做每一章后的大部分习题。 本书以诺特交换环和有限生成模作为重点，这正是代数几何和代数数论中出现最多的代数结构。 作者在序言中说到域论没有 涉及，这可以从别的优秀教材（如 Nagata 的“域论”）中得到补充。 国外很多名校的数学教授将此书作为交换代数教材的首选。我国引进此书也很早，它很受师生的欢迎。 （杨劲根） 国外评论摘选 1) Some people believe that, for getting into algebraic geometry (by this I mean Grothendieck-like AG, with schemes and all that), one needs a monolithic training in commutative algebra (something like both volumes of Zariski-Samuel, for example). I disagree. This little book seems to be specially suited to those who want to learn AG. It's a bit too brisk, specially at the beginning - if you don't already have an acquaintance with the basics of groups, rings and ideals, you may run into trouble - but very illuminating. Masterful choice of topics, great exercises (as a matter of fact, about half the topics of the book, and more specifically the ones that are directly related to AG, are treated in the exercises, some of them quite challenging) - like one said before, it looks like a "chapter 0" of Hartshorne's book on AG. The authors consciously estabilish relations between the commutative algebra and the modern foundations of AG over and over along the way, illuminating both topics. For the algebra itself, it also gets on well with Rotman's "Galois Theory" and MacDonald's out-of-print introduction to AG, "Algebraic Geometry - Introduction to Schemes", besides being the perfect preamble in commutative algebra to the books of Mumford and Hartshorne. A gem. 2)The strongest aspects of Atiyah MacDonald's book are its brevity, accessibility to undergraduates, and subtle introduction of more advanced material. Audience: I think an undergraduate with a solid understanding of material from a first course in abstract algebra (i.e., the chapter on rings--the modules chapter would help, but isn't necessary--from M. Artin's book 'Algebra' is more than sufficient) and some basic point-set topology from an intro real analysis course (or ch1-4 of Munkres) would be sufficient for fully appreciating the material. I think having experience in PS Topology is important for understanding parts of this book well; doing the exercises is possible if you learn it "on the fly," but I hadn't seen Urysohn's Lemma before, and even that caused me some "intuition" hangups; to fully appreciate the material, I would recommend doing a healthy number of problems in topology first. Material: The material uses concepts from homological algebra, though in a disguised form; students with experience in category theory will find offhanded comments that recast some of the material in that language, but CT is absolutely not essential to understand the material well. It also provides exercises that lead naturally into topics from Algebraic Geometry and Algebraic Number Theory quite readily; a nice set of problems in CH1 walk a student through construction of the Zariski topology, prime spectrum, etc., and some functional properties of morphisms between spectra. Algebraic Number Theory starts showing up after chapter 4 in greater detail, and would lead comfortably into Lang's GTM on ALNT by CH9 (though I only read a bit of Lang, the first chapter felt natural). The "details left to the reader" are usually reasonably tackled with the tools made available so far, and the book is short enough that one can cover a lot of ideas in a reasonable amount of time; the commentary made by the authors is brief, to the point, and never redundant as far as I can recall, so I consider this a highly efficient book (but not too efficient, it's self contained enough and not uncompromisingly terse). Exercises: They are quite good, I think. Very few of them follow from "symbol-pushing" or "robotic theorem proving," and usually require some constructive argument. The exercises are mostly chosen to introduce more advanced material, and do a good job in that regard. The longer chapters have 25-30 exercises, and shorter chapters (a few pages) have maybe 10, so there are plenty of problems to do. Hazards: The material on modules is brisk, the propositions in the first three sections on modules are mostly left without proof; however, the proofs follow from their analogues for rings, and aren't that hard, just be sure to actually do them because they are mentioned only briefly. Also, the book is not typo-free, but this only caused me one major hangup during the semester. After Chapter 3, the proofs are mostly complete, with a spattering of "left to the reader" exercises, which I usually found helpful. Companion Material: I think Lang's 'Algebra' GTM would make a nice reference for the material on Homological Algebra and other miscellaneous things that come up in the proofs; I remember once a proof in the book required the notion of the adjoint of a matrix over a ring, and so I had to look it up in Lang, and also the basic category theory covered in CH1 of Lang would at least introduce (though in a very rapid way) the "abstract nonsense" mentioned offhandedly here and there. If you have a lot of money, or access to a good library, 'Categories for the Working Mathematician' is a slower and more thorough introduction to that language, and I would recommend at least having a look, though this isn't really central to the material from Commutative Algebra. 3) This is how mathematics texts SHOULD be written. As in technical writing, the smaller text is the better written text. Everything is clean and direct, with clairity obviously a prime consideration. One never gets mired down. The proofs are always as close to a "THE BOOK" proof as possible, with illuminating examples, and plenty of excercises, many with outlines for solution, which makes the book ideal for self study. This book is a revelation. If I had to take only one math text with me to a desert island, this would be the one. 4) This is a difficult book for undergraduates, even ones who have already had some abstract algebra. Many refer to the book's style as "terse", meaning that there is little explanation, few examples, and proofs are very condensed. 书名：HOPF ALGEBRAS 作者： MOSS E. SWEEDLER 出版商： W. A. BENJAMIN, INC. (1969) 页数：336 适用范围：大学数学系本科、数学专业研究生 预备知识：代数、环模基础理论 习题数量：小 习题难度： 容易 推荐强度：9 书评： 1941年，德国数学家H. Hopf在研究代数拓扑时引入了Hopf代数的概念。真正引 起人们对这类代数结构普遍关注的是1965年J.W. Milnor 和J.C. Moore的有关分 次Hopf代数的文章；到上世纪80年代末，量子群概念的出现及其在Knot不变量理 论中的应用将Hopf代数的研究推向一个新的高潮。如今，Hopf代数理论正在诸如代 数群、李代数、表示论、组合论以及量子力学等学科的研究中发挥着重要的作用。M.E. Sweedler所著的\textquotedblleft Hopf Algebra\textquotedblright是历史上第 一本系统介绍这方面Hopf代数知识的书籍。 这本书是从Sweedler给研究生的系列讲座内容中整理出来的，介绍的对象主要是非分 次的Hopf代数。域 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-40-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='k' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" k k 上一个增广（augmented）代数 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-41-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='H' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" H H ，若带有一个余结合的 （coassociative）和余单位的（counitary）代数映射 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-42-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='#x0394;#x003A;H#x2192;H#x2297;H' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" Δ : H → H ⊗ H Δ:H→H⊗H ，则称 span style="position: relative;" id="MathJax-Element-43-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='H' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" H H 是一个双代数（bialgebra），Hopf代数是指带 有antipode的双代数。本书开始先引入sigma-符号；而后一步步将上世纪70年代 以来有关Hopf代数的最新结果，其中大部分是作者与其合作者当时取得的进展，呈现 给读者；最后一章以证明域上由所有有限维交换、余交换的Hopf代数组成的范畴是交 换的（abelian）范畴作为结束。整本书的内容简洁，易懂，且自我包含，是一部很好 的关于Hopf代数知识的入门教材。它的不尽完美之处是没有列出任何参考文献 。 本书共有16章，有些章节非常短。前4章，给出了余代数、余模、及Hopf代数的 初步介绍，其中包括从模中构建余模的有理模构造方法及余代数的基本定理---该定 理阐明了在一个余代数中，任意有限个元素均包含于一个有限维子余代数中，故而任一 余代数都是有限维余代数的直接极限。第5章讨论了积分（integral）， \textquotedblleft积分\textquotedblright这一名称是因它很像紧群上关于 Haar测度的积分运算而得名。这一章的重要结果是证明任一有限维Hopf代数必存在 一维的积分空间；作为一个推论，本章中导出了群环的著名Maschke定理。 第6章对一个代数引入并讨论了它的对偶余代数。第7章到第9章主要介绍了度量 、smash积和外积等概念，为第13章余交换点（pointed）Hopf代数的结构定理的 证明作了前期的准备工作。 第10章的主要内容是Hopf代数作用的Galois理论；第11章对本原元进行了重点 讨论并引入了分次双代数的概念，在这一章以及后面的第14章中余代数的基本定理起 到了很大的作用。第12章考虑了shuffle代数和相关既约的点余代数万有映射性质 ，此外还讨论了divided power。 第13章中证明了著名的结论：任一既约的点余交换Hopf代数一定同构于Lie代数 或限制Lie代数的包络代数；据此导出了余交换Hopf代数的结构定理。剩下的两章 讨论了仿射群和由交换、余交换Hopf代数构成的Abelian范畴。 （朱胜林） 7 数论 数论是数学中历史悠久但又有生命力的分支，也很有趣味。数论有分初等数论、代数数论、解析数论等。初等数论主要用初等的方法讨论整数的性质，如同余方程、不定方程、二次剩余等。 代数数论是讨论代数数的分支，要使用很深的代数工具。近年来，代数数论和代数几何合起来形成了一门称为算术几何的新分支，是非常艰深的。解析数论则是用数学分析和复变函数论来研究数论的问题，当今数学中第一号未解决问题黎曼猜想就属于解析数论的范围。 大学本科阶段学习一些数论是有用的，特别对学习抽象代数有很大帮助。研究生阶段一般只有数论专业的学生才学数论。 我们在这里介绍的数论教材大多是供数学专业本科生使用的。 书名：Elementary Methods in Number Theory 作者： Melvyn B.Nathanson 出版商： Springer-Verlag 页数：509 适用范围：大学数学系本科基础数学学生、数学专业研究生 预备知识：微积分 习题数量：大 习题难度： 中等，多数习题很容易 推荐强度：9.5 书评： 本书是Springer-Verlag出版的研究生系列教材中的一本，编号第195，2000年出版。全书分 为三个部分，第一部分介绍了初等数论的基本内容，整除性，同余，原根，Gauss二次互反律，有限 交换群上的Fourier分析，以及abc猜想的一个简单介绍。第二部分讨论了一些算术函数的性质， 给出了素数定理的初等证明。第三部分介绍了加法数论中的三个问题，即Waring问题， 正整数表为整数的平方和的问题，以及分拆函数的渐进估计的问题。 本书的一个特点是给出了许多深刻的数论定理的初等证明， 比如，Selberg的素数定理的初等证明，Linnik关于Waring问题初等证明， 一个整数表示为偶数个整数的平方和的个数的Liouville方法，以及Erdos关于分拆函数的渐进估计的结果。 事实上，本书的所有的证明都只使用了初等的方法，不涉及解析方法以及其他的高等方法， 因此本书也是一本很好的大学生数论教材。本书第一部分和第二部分作为大学生一个学期的课程是合适的。 （王巨平） 国外评论摘选 1) Every serious student of number theory should have this classic book on their shelf. Even though only "elementary" calculus and abstract algebra are used, a certain mathematical maturity is required. I feel the book is strongest in the area of elementary --not necessarily easy though -- analytic number theory (Hardy was a world class expert in analytic number theory). An elementary, but difficult proof of the Prime number Theorem using Selberg's Theorem is thoroughly covered in chapter 22. While modern results in the area of algorithmic number theory are not presented nor is a systematic presentation of number theory given (it is not a textbook), it contains a flavor, inspiration and feel that is completely unique. It covers more disparate topics in number theory than any other n.t. book I know of. The fundamental results in classical, algebraic, additive, geometric, and analytic number theory are all covered. A beautifully written book. Other recommended books on number theory in increasing order of difficulty: 1) Elementary Number Theory, By David Burton, Third Edition. Covers classical number theory. Suitable for an upper level undergraduate course. Primarily intended as a textbook for a one semester number theory course. No abstract algebra required for this book. Not a gem of a book like Davenport's The Higher Arithmetic, but a great book to seriously start learning number theory. 2) The Queen of Mathematics, by Jay Goldman. A historically motivated guide to number theory. A very clearly written book that covers number theory at a graduate or advanced undergraduate level. Covers much of the material in Gauss's Disquisitiones, but without all the detail. The book covers elementary number theory, binary quadratic forms, cyclotomy, Gaussian integers, quadratic fields, ideals, algebraic curves, rational points on elliptic curves, geometry of numbers, and introduces p-adic numbers. Only a slight bit of analytic number theory is covered. The best book in my opinion to start learning algebraic number theory. Wonderfully fills the otherwise troublesome gap between undergraduate and graduate level number theory. Full of historical information hard to find elsewhere, very well researched. To cover all the material in this book would likely take two semesters, though most of the important material could be covered in one semester. Requires a background in abstract algebra (undergraduate level), and a little advanced calculus. Some complex analysis for sections 19.7 and 19.8 would be helpful, but not at all a requirement. The author recommends Harold Davenport's The Higher Arithmetic, as a companion volume for the first 12 chapters; according to Goldman it is a gem of a book. 3) Additive Number Theory, by Melvyn Nathanson. Graduate level text in additive number theory, covers the classical bases. This book is the first comprehensive treatment of the subject in 40 years. Some highlights: 1) Chen's theorem that every sufficiently large even integer is the sum of a prime and a number that is either prime or the product of two primes. 2) Brun's sieve for upper bound on the number of twin primes. 3) Vinogradov's simplification of the Hardy, Littlewood, and Ramanujan's circle method. 2) My initial reaction through the first chapters was one of embarrassment at my lack of understanding. I could not believe a book, hailed by so many as a standard and essential resource, could be so much out of my reach. Then, amid the last page or so of chapter 1 I had an epiphany. The book, from that point on, was completely clear and logical while retaining an extraordinary amount of breadth in coverage. Add my staunch support and recommendation to the long list of kudos that this book has accrued. There are, to my knowledge, no better books for the beginning student of number theory. If you have any interest whatsoever in the theory of numbers, this book is essential. 书名：A course in arithmetic 作者： J.-P. Serre 出版商： Springer Verlag (1973) ISBN 0-387-90041-1 页数：113 适用范围：大学数学系本科基础数学高年级或研究生低年级教材 预备知识：抽象代数,复分析 习题数量：很少 习题难度： 较大 推荐强度：10 书评： 法国大数学家，菲尔滋奖和阿贝尔奖获得者 Serre 写过不少短小精悍的小册子，大部分从他亲自所讲授的课程的讲稿整理而成。 本书是他非常有代表性的本科生高年级的数论教材，曾在西方评为某年度世界最佳数学教材。 本书并不是数论的系统教程，作者选择数论中三个重要专题扼要叙述了它们的内容和方法，这三个专题是：二次型、素数的 Dirichlet 定理 和模形式。读者可以化较少的时间学到一些近代数论的知识。最令读者欣赏的是定理的证明将大数学家的技巧展现得淋漓尽致，阅读中不禁 拍案叫绝。非定型幺模偶整格的分类定理非常漂亮，但其完整的证明在很多代数教科书中很难找到，本人所知道的就是本书以及 Milnor 和 Husemoeller 写的 Symmetric bilinear form 一书中的证明。这两本书都是70年代出版的，经过这两位菲尔滋奖得主之手的证明已经很难再 作改进，因此后人写的书大多只是引用而不再重写了。 具备抽象代数的知识就可以读懂前半本书，后一半需要复分析的准备知识。由于叙述简洁，习题数量少，作为教材使用会有一定困难。 作为自学的参考书对读者的数学素养也有较高的要求。 （杨劲根） 国外评论摘选 1) The book is divided into two parts -- algebraic and analytic. I've only worked through the analytic part. Anything by Serre is worth its weight in gold and this book is no exception; everything Serre covers is of the utmost importance. But Serre's style is extremely condensed and spare, and he makes no concessions to the reader in terms of motivation or examples. I can't digest more than half a page of Serre a day; however if one wants to understand the structure of a theory, Serre is ideal. I worked through "A Course in Arithmetic" over a decade back. As I recall I covered Riemann's zeta function and the Prime Number Theorem, the proof of Dirichlet's theorem on primes in arithmetical progressions using group characters in the context of arithmetical functions, and some of the basic theory of modular functions. All of this material is also covered in Apostol's two books on analytic number theory ("Introduction to Analytic Number Theory", and "Dirichlet Series and Modular Functions in Number Theory"); Apostol goes further than Serre in the analytic part -- which is only to be expected since he is devoting two whole texts to the subject. 2) Serre's work could best be summarized in one word - Elegance. The book comprises of two distinct parts. The first one is the 'algebraic' part. Serre's goal in this section is to give a complete classification of the quadratic forms over the rationals. As preliminaries to reaching this goal, he introduces the reader to quadratic reciprocity, span style="position: relative;" id="MathJax-Element-44-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='p#x2212;' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" p − p− adic fields and the Hilbert Symbol. After these three, he spends the next chapter detailing the properties of quadratic forms over span style="position: relative;" id="MathJax-Element-45-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='{\mathbb#xA0;Q' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" {\mathbb Q {\mathbb Q and span style="position: relative;" id="MathJax-Element-46-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='{\mathbb#xA0;Q_p' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" {\mathbb Q_p {\mathbb Q_p (the span style="position: relative;" id="MathJax-Element-47-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='p#x2212;' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" p − p− adic field). The reason to work over span style="position: relative;" id="MathJax-Element-48-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='{\mathbb#xA0;Q_p' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" {\mathbb Q_p {\mathbb Q_p is the Hasse-Minkowski Theorem (which says that if you have a quadratic form, it has solutions in Q if and only if it has solutions in span style="position: relative;" id="MathJax-Element-49-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='{\mathbb#xA0;Q_p' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" {\mathbb Q_p {\mathbb Q_p ). Using Hensels Lemma, checking for solutions in span style="position: relative;" id="MathJax-Element-50-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='{\mathbb#xA0;Q_p' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" {\mathbb Q_p {\mathbb Q_p is (almost) as easy as checking for solutions in Z/pZ. After doing that, he spends yet another chapter talking about the quadratic forms over the integers. (Note: the classification goal is already achieved in previous chapter). The second half of the book is the 'analytic' one. The first chapter in this section gives a complete proof of Dirichlet's theorem while the second one studies the properties of modular forms (these are good!) Due to the extreme elegance, the book is sometimes hard to read. This might sound like a paradox, but it's not and I'll explain why. The book takes some effort to read because it's terse and it often takes a while to figure out why something is 'obvious'. However, once you see it all, you'll realize that a great mind was guiding you through the pursuit. The choice of topics is just right to achieve the goals that the author sets out for himself. Also, I'd rather think for myself and read a smaller book than be given a huge fat tome where the author details his own thought process. This book was my first foray into number theory and I absolutely enjoyed it. If you're considering reading it, I wish you joy in your pursuits. 书名：Introduction to Analytic Number Theory 作者： Tom Apostol 出版商： Springer Verlag (1976) ISBN 0-387-90163-9 页数：328 适用范围：大学数学系本科数论教材 预备知识：微积分,复分析 习题数量：大 习题难度：一般 推荐强度：9 书评： 这是一本非常受欢迎的数论入门教材，写得极其清楚仔细而又不烦琐。虽然书名是解析数论，事实上也包括了初等数论。 由于书的自封性能好，习题又经过精心挑选，适合于大学低年级的数论教材。 本书由于其良好声誉而多次再版，被选入 Springer 的 UTM 系列。同一作者的微积分教材（见本书的另一篇书评）也有好口碑。 （杨劲根） 国外评论摘选 1) I think that there will be little harm if the title of the book is changed to 'Introduction to elementary number theory' instead. The author presumes that the reader has not any knowledge of number theory. As a result, materials like congruence equation, primitive roots, and quadratic reciprocity are included. Of course as the title indicates, the book focusses more on the analytic aspect. The first 2 chapters are on arithmetic functions, asymptotic formulas for averaging sums, using elementary methods like Euler-Maclaurin formula .This lay down the foundation for further discussion in later chapters, where complex analysis is involved in the investigation. Then the author explain congruence in chapter 4 and 5. Chapter 6 introduce the important concept of character. Since the purpose of this chapter is to prepare for the proof of Dirichlet's theorem and introduction of Gauss sums, the character theory is developed just to the point which is all that's needed. ( i.e. the orthogonal relation). Chapter 7 culminates on the elementary proof on Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progression. The proof still uses span style="position: relative;" id="MathJax-Element-51-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='L#x2212;' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" L − L− function of course, but the estimates, like the non-vanishing of span style="position: relative;" id="MathJax-Element-52-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='L(1)' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" L ( 1 ) L(1) , are completely elementary and is based only on the first 2 chapters. The author then introduce primitve roots to further the theory of Dirichlet characters. Gauss sums can then be introduced. 2 proofs of quadratic reciprocity using Gauss sums are offered. The complete analytic proof, using contour integration to evaluate explicitly the quadratic Gauss sums, is a marvellous illustration of how truth about integers can be obtained by crossing into the complex domains. The book then turns in to the analyic aspect. General Dirichlet series, followed by the Riemann zeta function, L function ,are introduced. It's shown that the span style="position: relative;" id="MathJax-Element-53-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='L#x2212;' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" L − L− functions have meremorphic continuation to the whole complex plane by establishing the functional equation span style="position: relative;" id="MathJax-Element-54-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='L(s)=' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" L ( s ) = L(s)= elementary factor span style="position: relative;" id="MathJax-Element-55-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='#x2217;L(1#x2212;s).' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" ∗ L ( 1 − s ) . ∗L(1−s). The reader should be familiar with residue calculus to read this part. Chapter 13 may be a high point of this book, where the Prime Number Theorem is proved. Arguably, it's the Prime Number Theorem which stimulate much of the theory of complex analysis and analyic number theory. As Riemann first pointed out, the Prime Number Theorem can be proved by expressing the prime counting function as a contour integral of the Riemann zeta function, then estimate the various contours. The proof given in this book , although not exactly that envisaged by Riemann , is a variant that run quite smoothly. As is well known , a key point is that one can move the contour to the line span style="position: relative;" id="MathJax-Element-56-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='Re(s)=1,' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" R e ( s ) = 1 , Re(s)=1, and to do this one have to verify that span style="position: relative;" id="MathJax-Element-57-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='#x03B6;(s)' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" ζ ( s ) ζ(s) does not vanish on span style="position: relative;" id="MathJax-Element-58-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='Re(s)=1.' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" R e ( s ) = 1. Re(s)=1. The proof , due to de la vale-Poussin, is a clever application of a trigonometric identity. Unfortunately, the method does not allow one penetrate into the region span style="position: relative;" id="MathJax-Element-59-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='0lt;1,' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" 0 1 , 01, where the distribution of zeroes in this region contain the information about the flunctuation of span style="position: relative;" id="MathJax-Element-60-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='#x03A0;(x)' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" Π ( x ) Π(x) around span style="position: relative;" id="MathJax-Element-61-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='x/log#x2061;x.' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" x / log x . x/log⁡x. The famous Riemann Hypothesis states that the only zeroes in this region lis on the line span style="position: relative;" id="MathJax-Element-62-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='Re(s)=1/2.' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" R e ( s ) = 1 / 2. Re(s)=1/2. After more than 100 years, although the Riemann Hpothesis has natural generalisation to number fields, neither of these RH is proven, which indicates the difficulties of this problem. Recently some new directions, related to quantum statistical mechanics, has been connected with this old problem. If the RH is proven, then the set of prime numbers , although looks completely random locally ( like the occurences of twin primes), is governed by clear-cut laws on the large after all. The last Chapter is of quite differnt flavour, the so-called additive number theory. Here the author only focusses on the simplest partition function ---the unrestricted partition. However interesting phenomeon occur already at this level. The first result is Euler's pentagonal number theorem, which leads to a simple recursion formula for the partition function p(n). 3 proofs are given. The most beautiful one is no doubt a combinatorial proof due to Franklin. The third proof is through establishing the Jacobi triple product identity, which leads to lots of identites besides Euler's pentagonal number theorem. Jacobi's original proof uses his theory of theta functions, but it turns out that power series manipulaion is all that's needed. The book ends with an indication of deeper aspect of partition theory--- Ramanujan's remarkable congrence and identities ( the simplest one being span style="position: relative;" id="MathJax-Element-63-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='p(5m+4)=#xA0;0#xA0;\pmod{5' jaxID="HTML-CSS" isMathJax="true" p(5m+4)= 0 \pmod{5 p(5m+4)= 0 \pmod{5 ). To prove these mysterious identites, the "natural"way is to plow through the theory of modular functions, which Ramanujan had left lots more theorem ( unfortunately most without proof). However an elementary proof of one these identites is outlined in the exercises. This book is well written, with enough exercises to balance the main text. Not bad for just an 'introduction'. 2) This book has excellent exercises at the end of each chapter. The exercises are interesting and challenging and supplement the main text by showing additional consequences and alternate approaches. The book covers a mixture of elementary and analytic number theory, and assumes no prior knowledge of number theory. Analytic ideas are introduced early, wherever they are appropriate. The exposition is very clear and complete. Some novel features include: three chapters on arithmetic functions and their averages (including a simple Tauberian theorem due to Shapiro); Polya's inequality for character sums; and an evaluation of Gaussian sums (by contour integration), used in one proof of quadratic reciprocity. 8 代数几何 代数几何是核心数学的重要分支，内容比较高深，不太容易入门。由于它所用的知识比较多，学习的周期相对比较长。一般本科生阶段不设代数几何课程。 代数几何对抽象代数、复分析、拓扑等都有较高的要求，特别交换代数和同调代数是它的不可缺少的工具。我们在这里介绍一些目前在国际上使用最多的一批基础性的教材供有兴趣和有志向的读者参考。 书名：An Invitation to Algebraic Geometry 作者：K.Smith etc. 出版商：Springer-Verlag, New York, 2000. ISBN 0-387-98980-3 页数：155 适用范围：基础数学本科高年级或非代数几何专业研究生低年级 预备知识：线性代数，群，环，域扩张，Galois 理论的基础知识，最基本的点集拓扑 习题数量：大 习题难度：容易 推荐强度：8.5 书评： 本书由作者 1996 年的为非代数几何专业的数学研究生开设的 20 小时代数几何课的讲义 整理修改而成，是一本非常好的代数几何入门书。 本书从最基本的交换代数代数几何概念开始，用简明的方式引入仿射簇和射影簇。重点的内容是一些经典的例子： Veronese 映射、计数几何、Segr\'{e} 嵌入、 Grassman 簇等。最后介绍代数几何中的一些重大问题如奇点解消、射影簇分类、典范映射等。 本书把代数几何讲解的具体易懂，不拘泥于细节，一些关键定理给出清晰的解释而不是详细的证明，如 Hilbert 零点定理、 B\'{e}zout 定理、 Bertini 定理等，有一部分内容的简单证明放入习题。有些其他教材不提及的问题也作了简短介绍，如 Gauss 映射用来 2 页和 5 道习题。书中不时插入对一些重要问题研究的历史和现状，颇有 Wikipedia 的风格。在三个合适的地方叙述三个未解决的难题： Jabobian 猜想、空间曲线的完全交问题、 Iitaka 猜想。 本书篇幅不大，适合初学者在较短的时间内对代数几何的特点有初步的了解，为进一步的深入学习作准备。（杨劲根） 国外评论摘选 1）This book has a great deal to recommend it: a. It is a genuinely entry-level book that begins with the definition of a prime ideal and the Nullstellensatz. b. The style of explanation is clearly geared to noninsiders. In addition to giving examples of algebraic varieties, some "nonexamples" are given that might have occurred to, say, an analyst as reasonable objects to study but that do not qualify as varieties. c. The illustrations are frequent, relevant, and well executed. d. The authors go out of their way to help the reader develop geometric intuition and to relate it to the accompanying algebraic description. For example, in the careful treatment of the geometry of a family of hyperbolas in chapter 6, the geometry of the general hyperplane section is beautifully illustrated, and the reader's geometric intuition is stimulated into action. e. Many of the constructions covered are classical-the Grassmannian, the Veronese, the Gauss mapping, the secant variety of a variety-yet the book almost seamlessly connects this with more modern material, such as resolution of singularities and vector bundles. f. There is a consistent policy throughout the book of tying in elementary algebraic geometry to recent developments by current leaders such as Kollar, Kontsevich,Mori, Lazarsfeld, and de Jong, so that readers come away with a clear conception of where this is all going and what the next steps might be if a particular topic sparks their interest. Overall, readers will find this book easy to get into and enjoyable to read. Outsiders to the subject will feel that they are hiking up a gently sloping trail, at the end of which they reach a number of pleasant viewing spots from which they. can see rather far in a number of different directions. Students contemplating algebraic geometry as a field of specialization will also find this an attractive and instructive place to start. ( by Mark Green, {\em The American Mathematical Monthly,} Vol. {\bf 109}, 675-678(2002)) 2）This could be your only book on algebraic geometry if you just want a sound idea of what algebraic geometry can do. If you actually want to know the field, and you do not already have a lot of expert friends telling you about it, then the advanced books will go much more easily with this expert around. It is a terrific guide to the key ideas--what they mean, how they work, how they look. The only book like this one in brevity and scope is Reid UNDERGRADUATE ALGEBRAIC GEOMETRY--with its highly informed, highly polemical, final chapter on the state of the art. Both are very good. This one is more advanced. Beyond what Reid covers, Smith sketches Hilbert polynomials, Hironaka's (and very briefly even De Jong's) approach to removing singularities, and ample line bundles. You do need a bit of topology and analysis to follow it. Smith has very many fewer concrete examples than Reid. They are beautifully chosen classics, like Veronese maps and Segre maps, so they teach a lot. And the more you know to start with, the more you will see in each. The book does geometry over the complex numbers. It is good old conservative material, with terrific graphics of curves and surfaces. The proofs and partial proofs are very clear, intuitive and to the point. But, in fact, just because the proofs are so clear and to the point they usually work in a much broader setting. Long stretches of the book apply just as well over any field or any algebraically complete field. This generality is only mentioned a few times, in passing, but is there if you want it. Smith describes schemes very briefly, and mentions them at each point where they naturally arise. You will not know what schemes "are" at the end of this book. You will know some things they DO. She has no time for fights between "concretely complex" and "abstractly scheming" approaches--for her it is all geometry. 3）For people just starting on Algebraic Geometry, Robin Hartshorne's book, is very daunting--but it is the ULTIMATE book for professional and advanced readers. But for starters, Karen Smith's "An Invitation to Algebraic Geometry" is simply a SPLENDID way to start working on the basic ideas. The author has some stunning graphs and pictures to help understand material. I loved the book the minute I opened it. 书名：Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry 作者： Ernst Kunz 出版商： Birkhauser Boston, (1985) ISBN 3-7643-3065-1 页数：238 适用范围：基础数学本科高年级或研究生低年级 预备知识：线性代数，群，环，域扩张，Galois 理论的基础知识，最基本的点集拓扑 习题数量：大 习题难度： 大部分中等，少量难题 推荐强度：9 书评： 作为交换代数的入门书，它不如 Atiyah-McDonald 的有名，也不如 Eisenbud 的大， 但是我认为对于有志学习代数几何的大学生来讲，这是最好的入门书。此书与大学基础课程 的衔接非常紧密，不管是自学还是用此书当教材都比较轻松，如果再认真做习题则效果更好。 交换代数的内容甚广，作者完全按经典代数几何的需要选择交换代数的内容，重点是多变量 多项式环的商环及它上的有限生成模。除了基础性的材料外，也有少量研究性的题材。现在 代数几何最流行的研究生教材是 Hartshorne 的 Algebraic Geometry, 本书可以认为是 Hartshorne 的教程的前续课程。本书作者是著名的交换代数专家，原书用德文写作，后翻译成英文，美国 代数几何大师 David Mumford 写了序言，称此书是美国学代数几何学生久等的一本书，它填补 了一个空白。（杨劲根） 书名：Basic Algebraic Geometry (Second, Revised and Expanded Edition) 作者： Shafarevich 出版商： Springer-Verlag (1988) ISBN 3-540-54812-2 页数：上册 303 下册 269 适用范围：基础数学研究生 预备知识：近世代数、复分析、点集拓扑 习题数量：大 习题难度：较难 推荐强度：9 书评： 本书是俄罗斯的数学大师 Shafarevich 的力作，由英国著名代数几何学家 Miles Reid 翻译成英文。本书内容非常丰富且不枯燥，叙述和证明清晰，比较容易读，是非常收欢迎的一本 代数几何书，国内外不少院校开设代数几何课曾将此书选为研究生教材。全书分三大部分， 第一部分是射影簇，内容包含经典代数几何，一直讲到代数曲面的分类和奇点，其中不乏其它 教科书中不多见的内容。这一部分占了整个上册，作为一个学期的课程内容够多的。 第二部分是概形理论，用现代的语言来刻画代数簇，最后讲到 Hilbert 概形。本部分内容比较简要，基本上讲清概形和层论的威力。第三部分是复代数流形的拓扑和几何，很多内容如代数簇的拓扑 分类和 uniformization 在其它代数几何教科书很难找到。总之，本书基本上讲述了代数几何的所有方法。 习题非常丰富，大部分的习题很有意思，可以看出是作者和他的助手们多年积累而编成的。 还有一个显著的特点是本书不需要交换代数的预备知识，当然学过交换代数在看此书更加轻松。 （杨劲根） 国外评论摘选 1) I have been a student of AG for the past six years and I have come to the conclusion that Shafarevich is a great place to start. Having said this, one must have the necessary background in algebra and topology. I disagree with the other reviewer about doing this after Hartshorne--start here then do Hartshorne!!! 书名：Algebraic Geometry 作者: Robin Hartshorne 出版商：Springer-Verlag 页数：495 适用范围：基础数学研究生 预备知识：近世代数、交换代数、同调代数、复分析、基础拓扑 习题数量：多 习题难度： 又难又繁 推荐强度：8.8 书评： 本书是现代代数几何的标准教科书，适合代数几何专业的研究生使用。从代数几何的发展历史来看， 60年代由 Grothendieck 提出的以概形为基础的新理论完成了代数几何的一次新的革命，至今代数几何仍以 Grothendieck 的理论为基础，他和 Dieudonne 合写的庞大的 EGA (Elements de Geometrie Algebrique) 可堪为代数几何的圣经。但是由于规模太大，EGA 无法当作教科书使用。事实上在 EGA 之前，Grothendieck 在日本的东北数学杂志上一篇同调代数的长文也是代数几何的奠基性的文献之一。此后，出现了两本有 很大影响的书，其一是 Matsumura 的 Commutative Algebra, 这本看上去象是研究笔记的专著把 Grothendieck 的 EGA 中的交换代数部分和部分同调代数整理出来加以详细证明。另一本就是 Hartshorne 的 Algebraic Geometry, 此书用两章约230页的篇幅介绍 Grothendieck 的概形理论。作者能完成此举得益于两点：第一，所有和交换代数 有关的内容都引用 Matsumura 的有关章节。第二，作者牺牲一般性而大大简化了很多大定理的证明，具体来讲， 在大部分章节作者把概形限制为诺特概形，把态射限制为有限型的态射。这样的简化对代数几何的主流方向的研究 来说影响不大。从某种意义来看，Hartshorne 的书是 Grothendieck 的 EGA 的浓缩简化版。这本书中的很多英文 名词现在已经获得代数几何界的普遍认可。 本书中定理的证明比较简洁，认真的读者需要补充不少细节，从这点来看，此书的浓度比较大，要读懂此书大部分得化一年以上的 时间，对于没有学过交换代数或学的不多的读者，最好先读 Kunz 的 Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry 一书。会法文的读者可以参考 Grothendieck 的 EGA 学习，因为有些定理的证明在 EGA 中写的更为详细。 习题也是本书的一大难点，不少研究生抱怨这本书中的习题太难做。网上有些地方甚至有 Hartshorne 习题部分解答下载。 （杨劲根） 国外评论摘选 1) This book is one of the most used in graduate courses in algebraic geometry and one that causes most beginning students the most trouble. But it is a subject that is now a "must-learn" for those interested in its many applications, such as cryptography, coding theory, physics, computer graphics, and engineering. That algebraic geometry has so many applications is quite amazing, since it was not too long ago that it was thought of as a highly abstract, esoteric topic. That being said, most of the books on the subject, including this one, are written from a very formal point of view. Those interested in applications will have to face up to this when attempting to learn the subject. To read this book productively one should gain a thorough knowledge of commutative algebra, a good start being Eisenbud's book on this subject. Also, it is important to dig into the original literature on algebraic geometry, with the goal of gaining insight into the constructions and problems involved. The author of this book does not make an attempt to motivate the subject with historical examples, and so such a perusal of the literature is mandatory for a deeper appreciation of algebraic geometry. The study of algebraic geometry is well worth the time however, since it is one that is marked by brilliant developments, and one that will no doubt find even more applications in this century. Varieties, both affine and projective, are introduced in chapter 1. The discussion is purely formal, with the examples given unfortunately in the exercises. The Zariski topology is introduced by first defining algebraic sets, which are zero sets of collections of polynomials. The algebraic sets are closed under intersection and under finite unions. Therefore their complements form a topology which is the Zariski topology. The properties of varieties are discussed, along with morphisms between them. "Functionals" on varieties, called regular functions in algebraic geometry, are introduced to define these morphisms. Rational and birational maps, so important in "classical" algebraic geometry are introduced here also. Blowing up is discussed as an example of a birational map. A very interesting way, due to Zariski, of defining a nonsingular variety intrinsically in terms of local rings is given. The more specialized case of nonsingular curves is treated, and the reader gets a small taste of elliptic curves in the exercises. A very condensed treatment of intersection theory in projective space is given. The discussion is primarily from an algebraic point of view. It would have been nice if the author would have given more motivation of why graded modules are necessary in the definition of intersection multiplicity. The theory of schemes follows in chapter 2, and to that end sheaf theory is developed very quickly and with no motivation (such as could be obtained from a discussion of analytic continuation in complex analysis). Needless to say scheme theory is very abstract and requires much dedication on the reader's part to gain an in-depth understanding. I have found the best way to learn this material is via many examples: try to experiment and invent some of your own. The author's discussion on divisors in this chapter is fairly concrete however. The reader is introduced to the cohomology of sheaves in chapter 3, and the reader should review a book on homological algebra before taking on this chapter. Derived functors are used to construct sheaf cohomology which is then applied to a Noetherian affine scheme, and shown to be the same as the Cech cohomology for Noetherian separated schemes. A very detailed discussion is given of the Serre duality theorem. Things get much more concrete in the next chapter on curves. After a short proof o the Riemann-Roch theorem, the author studies morphisms of curves via Hurwitz's theorem. The author then treats embeddings in projective space, and shows that any curve can be embedded in P(3), and that any curve can be mapped birationally into P(2) if one allows nodes as singularities in the image. And then the author treats the most fascinating objects in all of mathematics: elliptic curves. Although short, the author does a fine job of introducing most important results. This is followed in the next chapter by a discussion of algebraic surfaces in the last chapter of the book. The treatment is again much more concrete than the earlier chapters of the book, and the author details modern formulations of classical constructions in algebraic geometry. Ruled surfaces, and nonsingular cubic surfaces in P(3) are discussed, as well as intersection theory. A short overview of the classification of surfaces is given. The reader interested in more of the details of algebraic surfaces should consult some of the early works on the subject, particularly ones dealing with Riemann surfaces. It was the study of algebraic functions of one variable that led to the introduction of Riemann surfaces, and the later to a consideration of algebraic functions of two variables. A perusal of the works of some of the Italian geometers could also be of benefit as it will give a greater appreciation of the methods of modern algebraic geometry to put their results on a rigorous foundation. 2) This is THE book to use if you're interested in learning algebraic geometry via the language of schemes. Certainly, this is a difficult book; even more so because many important results are left as exercises. But reading through this book and completing all the exercises will give you most of the background you need to get into the cutting edge of AG. This is exactly how my advisor prepares his students, and how his advisor prepared him, and it seems to work. Some helpful suggestions from my experience with this book: 1) if you want more concrete examples of schemes, take a look at Eisenbud and Harris, The Geometry of Schemes; 2) if you prefer a more analytic approach (via Riemann surfaces), Griffiths and Harris is worth checking out, though it lacks exercises. 书名：Principles of Algebraic Geometry 作者： Phillip Griffiths, Joseph Harris 出版商： John Wiley Sons, Inc., 1978; ISBN 0-471-32792-1 页数：813 适用范围：基础数学研究生 预备知识：近世代数、复分析、点集拓扑 习题数量：无 推荐强度：8 书评： 代数几何原理的作者之一 P. Griffiths 是美国科学院院士，国际著名的数学家，他是 普林斯顿高等研究院教授。本书从比较解析的方面介绍代数几何，它给人的印象是代数几何也很具体， 这是一本代数几何的入门引导课本。 本书前两章处理复流形理论的一些结果和技巧，同时强调它们在射影代数簇上的应用； 第2章开始介绍黎曼面和代数曲线的理论；第3章中介绍了流、陈类、Riemann-Roch 公式等基本工具，然后在第4章中介绍代数曲面理论；本书最后介绍 Quadric Line Complex. 本书的选材十分合适，内容基本自我包容，给读者以直观和易懂的感觉， 但笔者认为该书在排版过程中过于仓促，书中（尤其第0章）累出打印错误和符号冲突。 如果有谁能从现在的版本重新修订并浓缩成一本稍薄的代数几何入门书，那将是代数几何爱好者的福音。（陈猛） 国外评论摘选 1) Once thought to be highly esoteric and useless by those interested in applications, algebraic geometry has literally taken the world by storm. Indeed, coding theory, cryptography, steganography, computer graphics, control theory, and artificial intelligence are just a few of the areas that are now making heavy use of algebraic geometry. This book would probably be one the most useful one for those interested in applications, for it is an overview of algebraic geometry from the complex analytic point of view, and complex analysis is a subject that most engineers and scientists have had to learn at some point in their careers. But one must not think that this book is entirely concrete in its content. There are many places where the authors discuss concepts that are very abstract, particularly the discussion of sheaf theory, and this might make its reading difficult. The complex analytic point of view however is the best way of learning the material from a practical point of view, and mastery of this book will pave the way for indulging oneself in its many applications. Algebraic geometry is an exciting subject, but one must master some background material before beginning a study of it. This is done in the initial part of the book (Part 0), wherein the reader will find an overview of harmonic analysis (potential theory) and Kahler geometry in the context of compact complex manifolds. Readers first encountering Kahler geometry should just view it as a generalization of Euclidean geometry in a complex setting. Indeed, the so-called Kahler condition is nothing other than an approximation of the Euclidean metric to order 2 at each point. The authors choose to introduce algebraic varieties in a projective space setting in chapter 1, i.e. they are the set of complex zeros of homogeneous polynomials in projective space. The absence of a global holomorphic function for a compact complex manifold motivates a study of meromorphic functions and divisors. Divisors are introduced as formal sums of irreducible analytic hypersurfaces, but they are related to the defining functions for these hypersurfaces also, via the poles and zeros of meromorphic functions. For the mathematical purist, a "sheafified" version of divisors is also outlined. Divisors and line bundles are basically "linear" tools used to investigate complex varieties through their representation as complex submanifolds of projective space. In addition, various approaches are used to study codimension-one subvarieties, such as the results of Kodaira and Spencer. Although the famous Kodaira vanishing theorem is clothed in the language of Cech cohomology, this cohomology is represented by harmonic forms, thus making its understanding more accessible. The authors also show explicitly to what extent an algebraic variety can be thought of as a compact complex manifold via the Kodaira embedding theorem. Projective space of course is not the most complicated of constructions, as readers familiar with the theory of vector bundles will know. Grassmannians are an example of this, and they are introduced and discussed in the book as generalizations of projective space. And, just as in the ordinary theory of vector bundles, the authors show how to use Grassmannians to act as universal bundles for holomorphic vector bundles. The presence of meromorphic functions will alert the astute reader as to the role of Riemann surfaces in the study of complex algebraic varieties. Indeed, in chapter 2, the authors cast many classical complex analytic results to modern ones, and they prove the famous Riemann-Roch theorem, which essentially counts the number of meromorphic functions on a Riemann surface of genus g. The theory of Abelian varieties is outlined, and the reader gets a taste of "Italian" algebraic geometry but done in the rigorous setting of Plucker formulas and coordinates. Chapter 3 is a summary of some of the other methodologies and techniques used to study general analytic varieties, the first of these being the theory of currents, i.e differential forms with distribution coefficients. It is perhaps not surprising to see this applied here, given that it can handle both the smooth and piecewise smooth chains simultaneously. The currents are associated to analytic varieties and allow a definition of their intersection numbers and a proof that they are positive. The all-important Chern classes are introduced here, and it is shown that the Chern classes of a holomorphic vector bundle over an algebraic variety are fundamental classes of algebraic cycles. Most importantly the authors introduce spectral sequences, a topic that is usually formidable for newcomers to algebraic geometry. The study of surfaces is studied in chapter 4, with the differences between its study and the theory of curves (Riemann surfaces) emphasized. The reader gets a first crack at the notion of a rational map, and the birational classification of surfaces is shown. Intuitively, one expects that the classification of surfaces would be easy if it were not for "singular points", and this is born out in the use of blowing up singularities in this chapter. Rational surfaces are characterized using Noether's lemma, and a rather detailed discussion is given of surfaces that are not rational, giving the reader more examples of rigorous "Italian" geometry. 2) If you are a graduate student in mathematics or related fields and you are interested in learning algebraic geometry in the Griffiths-Harris way, then I suggest before buying this book to have a good background in the following: 1. Complex Analysis 2. Differential Geometry and calculus on manifolds 3. Homology-Cohomology Theory 4. Undergraduate Algebraic Geometry Do not expect chapter 0, "Foundational Material", to be the place where you are supposed to build your "foundation". You can try the books of Michael Spivak, David A. Cox, Fangyang Zheng, among other books for foundational material but not chapter 0. However, if you have most of the above-mentioned foundational material, then this book is good in presenting complex manifolds for example in chapter 0 section 2 and also in presenting (complex) holomorphic vector bundles, as well as many other things. So, in summary, I would say a good book but not for students trying to learn the basics in algebraic geometry. 书名：The Red Book of Varieties and Schemes 作者： David Mumford 出版商： Springer-Verlag (1994) ISBN 3-540-50497-4 页数：309 适用范围：基础数学研究生 预备知识：近世代数、复分析、点集拓扑 习题数量：很少 习题难度： 较难 推荐强度：8.6 书评： 代数几何学家 Mumford 是美国科学院院士，菲尔滋奖获得者，在哈佛大学任教多年。 本书实际上是 60 年代他在哈佛的代数几何课程的讲义。即使到80年代有了 Hartshorne, Shafarevich 写的优秀教科书，很多初学者仍然喜欢 Mumford 的老讲义,油印本在研究生中广为流传。Springer Verlag 经专家的推荐便将这些讲义原封不动地出版了，由于原来的油印的封面是红色的，故此书就被亲切地取名为 red book. 比较可惜的是这本书只有三章，由于种种原因作者未能把原来写讲义的庞大计划执行到底。 代数几何是抽象概念非常多的一门数学分支，初学者需要化很大的精力来理解、消化和记住一大堆基本概念。 Mumford 的讲义用朴实无华的方式解释代数几何这些概念的来龙去脉，一点不落俗套。从目录上看，这些内容和 其它同类的书差不多，事实上具体的论述还是很不一样的，讲义行文的非正式的风格也使枯燥的数学变的生动。 作者自嘲地称这本书里一个定理也没有，这多少有些夸张， 很多应该叫做定理的结论在这位大师面前大概不能称为定理。 （杨劲根） 国外评论摘选 1）In a nutshell, reading this book is like reading the mind of a great mathematician as he thinks about a great new idea. Anyone interested in schemes should read it. But a review needs more detail: The RED BOOK is a concise, brilliant survey of schemes, by one of the first mathematicians to learn of them from Grothendieck. He gives wonderfully intuitive pictures of schemes, especially of "arithmetic schemes" where number theory appears as geometry. The geometry shines through it all: as in differentials, and etale maps, and how unique factorization relates to non-singularity. There is a bravura discussion of Zariski's Main Theorem (the algebraic property of being "normal" implies that a variety has only one branch at each point) comparing forms of it from older algebraic geometry, topology, power series, and schemes. Mumford cites proofs of these but does not give them. In fact, this theorem was one of the first things Mumford could use, to get Zariski to respect schemes. Many accomplished algebraic geometers say this book got them started. But you probably cannot learn to work in the subject from this book alone--you either have to work with people who work with it, or use some other books besides (maybe both). The other book would probably be Hartshorne ALGEBRAIC GEOMETRY, which is far more detailed, has far more examples, goes very much farther into cohomology--and is very much longer and denser (though also clearly written). 2）There is a problem in getting going with alg. geo. To learn the geometry you need commutative algebra and to contextualize commutative algebra you need algebraic geometry. Mumford is an excellent book to get going without the need for the heavy prereqs of the more classic books like Hartshorne or Griffiths-Harris. A really good read. This is not however a terrific reference text, you'll need something else as a reference. Its much to expository and their is no index. 书名：Compact Complex Surfaces, 2nd edition 作者：W.P. Barth, K. Hulek, C.A.M. Peters, A. Van de Ven 出版商：Springer-Verlag (2003) ISBN 3-540-00832-2 页数：436 适用范围：代数几何、复几何、微分几何方向研究生 预备知识：多复变函数论、代数几何、复微分几何 习题数量：无 推荐强度：9 书评： "紧复曲面"专著第一版于1984年出版，自其出版以来因其选材精致，重点突出而广受青睐， 内行称其为"BPV"（第一版的三位作者的姓氏的开头字母）。第二版增加了不少新的研究成果， 但笔者认为第二版的组织过于仓促，反而给人画蛇添足的感觉，尽管如此， 这仍不失为一本优秀的专业工具书。 本书第一章列出了必需的预备知识，虽然没有证明，但笔者认为该内容十分恰当。 第二章中，作者分别介绍了曲面上的曲线、Riemann-Roch定理、相交理论；第三章中介绍了曲面的奇点、 纤维化方法和稳定纤维化的周期映射。然后从第四章开始，本书着重讲述曲面的一般性质、 特殊曲面的分类和一般型曲面的典范分类。本书的最后一章中主要介绍曲面的拓扑和微分结构。 笔者认为，本书对于一般型曲面的分类内容略显陈旧。 总的来说，这是一本介绍代数曲面理论的极好工具书。（陈猛） 9 拓扑与微分几何 拓扑学是现代数学的基础之一，国内外很多大学数学系都把它列为本科生高年级基础课，甚至是必修棵。按大数学家嘉当的观点，数学中最基本的结构就是代数结构和拓扑结构。 拓扑又分点集拓扑（也称一般拓扑）、代数拓扑和微分拓扑等。点集拓扑讨论拓扑空间的基本概念和拓扑空间的连通性、分离性、紧致性等重要性质。代数拓扑则是用抽象代数中的工具来研究拓扑空间进一步的性质，其内容包括基本群、覆盖空间、同调、上同调、示性类等。一般在本科生的拓扑课程中学习点集拓扑、基本群和覆盖空间。其余是研究生课程的内容。微分拓扑的对象是微分流形的拓扑性质，也属于研究生课程的范围。 初等微分几何主要讨论欧氏空间中曲线和曲面的几何学，需要的数学工具比较少，基本上有数学分析、线性代数和常微分方程的预备知识就够了，它也可称为 古典微分几何，大学本科的微分几何课程一般学初等微分几何。近代微分几何的对象是微分流形、向量丛、李群等，它和拓扑学的关系异常密切。微分几何里又有各种分支如黎曼几何、复几何、辛几何等，这里不一一介绍了。 书名： Elements of Algebraic Topology 作者： James R. Munkres 出版商： Addison-Wesley Publishing Company 页数： 454 适用范围：基础数学研究生一学年的教材和数学系高年级本科生 预备知识：一般拓扑学和线性代数 习题数量：适中 习题难度： 适中 推荐强度： 9.6 书评：本书是美国 MIT 的 James R. Munkres 教授的力作，从 80 年代开始就作为麻省理工学院数学系一年级研究生教材， 是一本极具特色的优秀教材。本书以拓扑中的重要实例为线索，引导出抽象的概念， 对同调论的基本思想做到了深入浅出。本书以现代数学的语言来阐述代数拓扑中同调理论的， 内容安排上由浅入深，即从单纯同调开始，逐渐地过渡到奇异同调及上同调。 虽然教材的主要内容是基本的代数结构，但几何动机、背景和应用贯穿始终。 全书分 8 章，从单纯复形引入同调群概念，到如何定义一般拓扑空间的同调群； 到最后一章又转到流形的同调理论。遵循了从特殊到一般，再回到特殊的哲学规律。 本书的习题和教材的衔接处理的非常好。 本书比较适合我国综合性大学数学系研究生的外文教材，尤其适合一学年。 本教材自封性非常好，故此还特别适合程度较好的数学系本科生进行自学。 （吕志） 国外评论选摘 1) This well written text is one of the standard references in algebraic topology courses because of its conciseness, and I find it very useful as a reference text. However I think it is a little incomplete because of several reasons. (1)It pays no attention to one basic concept of algebraic topology: the fundamental group. (2) It doesn't cover Cech homology, important in other areas, like dimension theory for example. (3) It doesn't stress the most important feature of algebraic topology: its connection to other areas of mathematics (analysis, differential geometry, etc.). (4) Its list of references is too short, and lacks almost completely HISTORICAL references which are always important to become an expert in any field. Conclusion: a good reference on homology and cohomology essentials, but not "the" reference on algebraic topology as a whole 2) Algebraic topology is a tough subject to teach, and this book does a very good job. Some prerequisites, however, are essential: • point set topology (e.g. in Munkres' Topology) • Abstract algebra • Mathematical maturity to be willing to follow a definition and argument even when it seems like a weird side-track In addition, this would not be the first book I would recommend to those interested in algebraic topology. First might be Massey's "Algebraic Topology: and Introduction" that introduces the fundamental group (conceptually easier than homology and cohomology). At some point, however, a prospective student in topology will have to learn homological algebra and this provides the most concrete approach I know to the subject. Algebraic topology is a lot of fun, but many of the previous textbooks had not given that impression. This one does. 书名： Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry 作者： Singer Thorpe 出版商：Springer Verlag (1967) 页数：232 适用范围：大学数学系本科高年级教材或参考读物 预备知识：微积分、线性代数、抽象代数 习题数量：少 习题难度：中等 推荐强度：9.2 书评： 本书是大数学家为本科生写教材的又一典范，在 60-70 年代曾用作麻省理工学院数学系本科高年级一学年的课程的教材。 时隔几十年，行家们仍然认为这是一本不可多得的拓扑和几何的优秀入门读物。 本书篇幅不大，包含的内容不少，深入浅出，引人入深。作者不追求完整性，比如前两章的点集拓扑的基本知识不拘泥于一些 公理的仔细探讨，而是简明实用地把几何中最常用的拓扑空间讲清楚。第三章只化 20 几页就把基本群和复叠空间及其关系写清楚的， 值得指出的是前三章看似枯燥的内容中时而出现非常有趣的例子。第四、五、六章是全书的第一重点，讲述拓扑空间的同调群及微分流形 的概念，高潮是 de Rham 定理的证明。这里充分体现了数学中各不同分支间的渗透。最后两章是黎曼几何的导引，讲述了曲面上的 Gauss-Bonnet 公式这一深刻的定理。即使从现在的角度去看，这本书的选材仍然是反映现代数学主流的。 从内容来看，本书是点集拓扑、微分拓扑、微分几何三合一，这正是作者开这门课的宗旨。我国综合性大学的数学系一般对本科生也设有 拓扑和微分几何的课程，一般各占一个学期，这些学校的学生在学完这些课程后常常不知道 de Rham 定理和 Gauss-Bonnet 公式。 Singer-Thorpe 的这本教材也许可以启发我们在拓扑和几何的本科生教学方面作些改革。 （杨劲根） 书名： Topology from the differentiable viewpoint 作者： John Milnor 出版商：The University Press of Virginia 页数：61 适用范围：大学数学系本科高年级参考读物 预备知识：微积分、线性代数、基础拓扑 习题数量：17 题 习题难度：从易到难 推荐强度：9.5 书评： 华罗庚前辈写过好几本题为《从 ... 谈起》的数学小册子，其中一本是 《从单位圆谈起》。我们可以把 Milnor 的这本小书起名为《从单位球面谈起》，事实上本书自始至终不离单位球面。 拓扑学家 John Milnor 是费尔滋奖得主，在 Princeton 执教多年，他在拓扑方面的很多系列讲座笔记被整理出版，成为脍炙人口的数学读物， 这本书就是其中一本。 一本可以让大学三年级学生能看懂的 60 页的小册子，却包含如此多的深刻的定理（从 Sard 定理直到 Hopf 定理）以及完整的证明，这是何等的不可思议！ 这是学拓扑或几何的学生的必读书。 （杨劲根） 国外评论选摘 i) Perfect for a first-year graduate or advanced undergraduate course, Milnor takes us on a brief stroll through elementary differential topology. Elegant and self-contained, this book serves as an excellent first taste of the subject. Milnor is a master expositor, and is at his best in this book. ii) One of the best points of this little book is its brevity and clear exposition of the basic ideas. It makes a great reference guide because it's so short and well-organized. Written by a distinguished mathematician, it's no wonder that other graduate-level texts such as Guillemin Pollacks "Differential Topology" highly recommend reading it alongside their book. Milnor's booklet is a classic, whose style and ideas surely pervade other texts. 书名： Algebraic topology 作者： Hatcher 出版商： Cambridge University Press (2002) 页数： 542 适用范围：大学数学系基础数学研究生教材 预备知识：点集拓扑、抽象代数 习题数量：中等 习题难度：中等 推荐强度： 8.5 国外评论选摘 i) No serious introductory text on basic algebraic topology has ever achieved this level of clarity, readability and depth. Its richness in examples (in both the main text and the problems) exposes a beginner to the underlying mechanisms of geometry in algebraic topology; its choice and arrangement of topics strike a perfect balance between accesibility and substantiveness; its lively and motivating exposition makes a student reluctant to attend the often boring topology classes. For a novice, this should be the first reading on the subject before (s)he is ruined by the many existing daunting texts; for a veteran, this can be very nourishing, especially if (s)he is already ruined by those either unreadable or shallow 'introduction's. ii) Allen Hatcher has gone to great length's in order to create a text which, albeit overly verbose, can be used as a gentle introduction to modern Algebraic Topology. Why 'modern'? Compare this text with the tried and tested texts of Spanier, Munkres as well as May and, almost immediately, you will see what I mean. The obvious example is Hatcher's use of CW-complexes as opposed to the more traditional build up beginning with simplices. For the die-hard mathematician who enjoys less fluff, this book is not for you and, in particular, if this is your first venture in Algebriac Topology, you enjoy the theorem-proof-theorem style with a light sprinkling of explaination, then I would recommend J.J. Rotman's text. Whereas, if you enjoy filler, background information, and lots of side-notes or examples, then Hatcher's text would be a perfect fit. Myself, I fall into the category of those who enjoy the more terse texts but, I purchased Hatcher's (the hardcover) because of the clarity and percision found in the proofs. The majority of other texts have a tendancy to obfuscate the underlying meaning that should be unerstood by the up-and-coming mathematician. Of course this approach has it's merits since, in particular, it forces the reader to fill in the blanks but, as a matter of insight, Hatcher's approach is also beneficial. Another positive strength of Hatcher's text lies in the fact that he effectively breaks the subject into it's prime sub-categories in such a way that the reader can begin with either of the four parts of the text without having to rely too much on previous sections. This novel feature allows someone interested in, say, Cohomology to pick up an begin learning about Cohomology without having to waste time making their way through material they are not interested in. Finally, yes you can get the book for free via Hatcher's website but I highly recommend purchasing the hardback text. It is well made, it will last for years, and it becomes truely mobile as compared to burning your eyes out while reading the text on your computer. Moreover, why waste the time printing it out. 书名： Differential forms in algebraic topology 作者： Bott Tu 出版商： Springer GTM 82 (1982) 页数： 331 适用范围：大学数学系基础数学研究生教材 预备知识：基础数学本科生的大部分知识 习题数量：少 习题难度：中等 推荐强度： 9.3 国外评论摘选 1) The authors of this book, through clever examples and in-depth discussion, give the reader a rare accounting of some of the important concepts of algebraic topology. The introduction motivates the subject nicely, and the authors succeed in giving the reader an appreciation of where the concepts of algebraic topology come from, how they do their jobs, and their limitations. The de Rham cohomology, which is the main subject of the book, is explained in here in a way that gives the reader an intuitive and geometric understanding, which is sorely needed, especially for physicists who are interested in applications. As an example, they give a neat argument as to why de Rham cohomology cannot detect torsion. In chapter 1, the authors get down to the task of constructing de Rham cohomology, starting with the de Rham complex on R(n). The de Rham complex is then specialized to the case where only C-infinity functions with compact support are used, giving the de Rham complex with compact supports on R(n). The de Rham complex is then generalized to any differentiable manifold and the de Rham cohomology computed using the Mayer-Vietoris sequence. The discussion gets a little more involved when the authors characterize the cohomology of a fiber bundle. The all-important Thom isomorphism for vector bundles, is treated in detail. The authors give several good examples of the Poincare duals of submanifolds. The connection to ideas in differential topology is readily apparent in this chapter, namely transversality and the degree of a map. In addition, the first construction of a characteristic class, the Euler class, is done in this chapter. The Mayer-Vietoris sequence is generalized to the case of countably many open sets in chapter 2, and shown to be isomorphic to the Cech cohomology for a "good" cover of a manifold. Good examples are given for computing the de Rham cohomology from the combinatorics of a good cover. The authors then characterize Cech cohomology groups in more detail, introducing the important concept of a presheaf. Presheaves are usually introduced abstractly in most books, so it is a real treat to see them described here in such an understandable way. Computations of the case of a sphere bundle are given, and the role of orientability and the Euler class in giving the existence of a global form on the total space is detailed. The Thom isomorphism theorem and Poincare duality are generalized to the cases where the manifold does not have a finite good cover and the vector bundle is not orientable. A very concrete introduction to monodromy is given and nice examples of presheaves that are not constant are given. The authors treat spectral sequences in chapter 4, and as usual with this topic, the level of abstraction can be a stumbling block for the newcomer. The authors though explain that the spectral sequence is nothing other than a generalization of the double complex of differential forms that was considered in chapter 2. The crucial step in the chapter is the transition to cohomology with integer coefficients, which is necessary if one is to study torsion phenomena. The De Rham theory is then extended to singular cohomology and the Mayer-Vietoris sequence studied for singular cochains. The authors show that the singular cohomology of a triangularizable space is isomorphic to its Cech cohomology with the constant presheaf the integers. After a fairly detailed review of homotopy theory (including a discussion of Morse theory) the authors compute the fourth and fifth homotopy groups of S(3). The last section of the chapter discusses the rational homotopy theory of Sullivan as applied to differentiable manifolds. The authors discussion is illuminating, and shows how eliminating any torsion information allows one to prove some interesting results on the homotopy groups of spheres. One such result is Serre's theorem, the other being the computation of some low-dimensional homotopy groups of the wedge product of S(2) with itself. The last chapter of the book considers the theory of characteristic classes, with Chern classes of complex vector bundles being treated first. The theory of characteristic classes is usually treated formally, and this book is no exception, wherein the authors formulate it using ideas of Grothendieck. They do however give one nice example of the computation of the first Chern class of a tautological bundle over a projective space. The Pontryagin class is defined in terms of a complexification of a real vector bundle and computed for spheres and complex manifolds. A superb discussion is given of the construction of the universal bundle and the representation of any bundle as the pullback map over this bundle. 2) This book is almost unique among mathematics books in that it strives to ensure that you have the clearest picture possible of the topics under discussion. For example almost every text that discusses spectral sequences introduces them as a completely abstract machine that pumps out theorems in a mysterious way. But it turns out that all those maps actually have a clear meaning and Bott and Tu get right in there with clear diagrams showing exactly what those maps mean and where the generators of the various groups get mapped. It's clear enough that you can almost reach out and touch the things :-) And the same is true of all of the other constructions in the book - you always have a concrete example in mind with which to test out your understanding. That makes this one of my all time favourite mathematics texts. 书名：Knot thoery 作者：Livingston 出版商：Mathematical Association of America (1996) 页数：258 适用范围：大学数学系本科生自学读物 预备知识：线性代数，群论 习题数量：多 习题难度：中等 推荐强度：8.8 书评：本书是美国数学协会出版的大学生系列丛书“Carus Mathematical Monographs" 中的一册，是拓扑学中纽结理论的优秀入门书。 本书的预备知识非常少，只要少量的线性代数知识。如果知道一些群论更好，但作者在用到群和二次型时都从头讲起。本书从纽结的历史和直观形象开始讲述纽结的分类，分别从组合、几何和代数三个方面引入各种重要不变量，如 Seifert 矩阵、 Alexander 多项式、 Conway 多项式、 Jones 多项式等。最后把 各种不变量的关系叙述得非常清楚。 本书图文并茂，习题非常丰富。内容安排从浅入深，章节的衔接紧凑。对初学者容易忽视的要点讲得很清楚。大部分定理有严格的证明，但又不拘泥于一些繁琐的证明细节，容易使读者掌握要点。 由于所用的准备知识少，所有的证明几乎都基于平面上的 Reidemeister 变换，纽结的基本群只是简单介绍一下，代数拓扑的工具没有使用。从这点来看对于具有较深数学基础的读者可以较快浏览本书后再选择更加高深的纽结理论的书籍阅读。 下面两段国外的评论中第一篇是一个数学教授写的，第二篇是自学过这本书的一个研究生写的，颇有代表性。（杨劲根） 国外评论摘选 1) This book is an excellent introduction to knot theory for the serious, motivated undergraduate students, beginning graduate students,mathematicains in other disciplines, or mathematically oriented scientists who want to learn some knot theory. Prequisites are a bare minimum: some linear algebra and a course in modern algebra should suffice, though a first geometrically oriented topology course (e. g., a course out of Armstrong, or Guillemin/Pollack) would be helpful. Many different aspects of knot theory are touched on, including some of the polynomial invariants, knot groups, Alexander polynomial and related abelian invariants, as well as some of the more geometric invariants. This book would serve as a nice complement to C. Adams "Knot Book" in that Livingston covers fewer topics, but goes into more mathematical detail. Livingston also includes many excellent exercises. Were an undergraduate to request that I do a reading course in knot theory with him/her, this would be one of the two books I'd use (Adam's book would be the other). This book is intentionally written at a more elementary level than, say Kaufmann (On Knots), Rolfsen (Knots and Links), Lickorish (Introduction to Knot Theory) or Burde-Zieshcang (Knots), and would be a good "stepping stone" to these classics. 2) I really do enjoy this book - but picked it up as a means of teaching myself Knot Theory... as was the case with many of my text books in college, brevity (for the sake of publishing costs) makes some concepts more of a challenge to grasp. Overall, the illustrations are great, and if you do the exercizes, the material tends to flow more easliy. It seemed to me the book worked backwards a bit - first covering a subject, than introducing it comprehensively later on - not what I'm used to. Keep in mind, I'm not a Mathematician, merely a graduate student of mathematics, who is interested in learning about this subject on my own. 书名： Riemannian Geometry, 3rd ed. 作者： M.P. Do Carmo 出版商：Springer Verlag (2004) ISBN-13: 978-3540204930 页数： 322 适用范围：数学专业研究生 预备知识：微积分，线性代数 习题数量：较大 习题难度： 适中 推荐强度: 10 书评：本书是一本标准的黎曼几何教材和参考书，其作者是巴西著名几何学家 Do Carmo 教授。作者写作风格清晰明了，全书共十三章，前四章介绍了黎曼几何的基本概念， 如黎曼度量、黎曼联络、测地线和曲率等；第五章介绍了 Jacobi 场这个重要的工具， 阐明了测地线与曲率的关系；第六章对等距浸入介绍了第二基本形式及相关的基本公式。 该书从第七章开始， 主要介绍了整体问题，涉及曲率与拓扑和比较几何中的一些基本结果。该书自成体系， 是目前黎曼几何最好的入门书之一。 对于想从事研究整体微分几何及相关领域的读者，该书也适合自学。 （东瑜昕） 国外评论摘选 i) "This book based on graduate course on Riemannian geometry covers the topics of differential manifolds, Riemannian metrics, connections, geodesics and curvature, with special emphasis on the intrinsic features of the subject. Classical results are treated in detail. contains numerous exercises with full solutions and a series of detailed examples which are picked up repeatedly to illustrate each new definition or property introduced. For this third edition, some topics have been added and worked out in the same spirit." (L'ENSEIGNEMENT MATHEMATIQUE, Vol. 50, (3-4), 2004) ii) "This book is based on a graduate course on Riemannian geometry and analysis on manifolds that was held in Paris . Classical results on the relations between curvature and topology are treated in detail. The book is almost self-contained, assuming in general only basic calculus. It contains nontrivial exercises with full solutions at the end. Properties are always illustrated by many detailed examples." ( EMS Newsletter, December 2005) 书名： Foundations of Differential Geometry (in two volumes) 作者： Shoshichi Kobayashi Katsumi Nomizu 出版商：John Wiley Sons, Inc. (1996) 页数： Vol.I : 329 , Vol.II: 468 适用范围：数学专业研究生 预备知识：微积分，线性代数，微分流形、 Lie 群基础知识 习题数量：无 推荐强度：10 书评： 本书共两卷，旨在系统介绍微分几何的基础内容，其作者是著名的几何学家 S. Kobayashi 和 K. Nomizu 。第一卷首先概要地介绍了微分流形、李群和纤维丛的概念，然后主要介绍了主丛上的联络论、向量丛上的线性联络和仿射联络、黎曼流形上的黎曼联络，还涉及空间形式、仿射联络或黎曼度量的自同构群等。第二卷主要介绍了一些经典的专题 , 如子流形理论、Morse 指标理论 , 复流形、齐性空间和对称空间、示性类理论等。本书内容翔实、处理严谨，行文精练， 自二十世纪六十年代问世以来，一直被认为是经典的微分几何参考书。 1996 年John Wiley Sons 出版社将其选入经典图书系列重印了其第三版，可见其影响。 对于想从事微分几何和相关领域研究的读者，这是一本很好的参考书。（东瑜昕） 国外评论摘选 1) The two-volume set by Kobayashi and Nomizu has remained the definitive reference for differential geometers since their appearance in 1963(volume 1) and 1969 (volume 2). Over the decades, many readers have developed a love/hate relationship with these difficult, challenging texts. For example, in a 2006 edition of a competing text, the author remarked that "every differential geometer must have a copy of these tomes," but followed this judgment by observing that "their effective usefulness had probably passed away," comparing them to the infamously difficult texts of Bourbaki. As a practicing differential geometer, I would argue that Kobayashi and Nomizu remains an essential reference even today, for a number of reasons. Volume 1 still remains unrivalled for its concise, mathematically rigorous presentation of the theory of connections on a principal fibre bundle---material that is absolutely essential to the reader who desires to understand gauge theories in modern physics. The essential core of Volume 1 is the development of connections on a principal fibre bundle, linear and affine connections, and the special case of Riemannian connections, where a connection must be "fitted" to the geometry that results from a pre-existing metric tensor on the underlying manifold, M. Volume 2 offers thorough introductions to a number of classical topics, including submanifold theory, Morse index theory, homogeneous and symmetric spaces, characteristic classes, and complex manifolds. The influence of the texts by Kobayashi and Nomizu can be seen in most of the subsequent differential geometry texts, both in organization and content, and especially in the adoption of notation. If there was a particularly fine point in your favorite introductory differential geometry text that you never completely understood, the odds are good that you will find the answer, fully developed and presented at an entirely different mathematical level, in Kobayashi and Nomizu. It is not an unreasonable analogy to say that learning differential geometry without having your own copy of Kobayashi/Nomizu is like studying literature in the complete ignorance of Shakespeare. Let there be no mistake about the advanced level of these texts. The Preface to Volume 1 clearly states that the authors presume the reader to be familiar with differentiable manifolds, Lie groups, and fibre bundles, as developed in the (now classical) texts by Chevalley, Montgomery-Zippin, Pontrjagin, and Steenrod. Today's reader is far more likely to have studied these subject from more recent books like those by Boothby, Hall, and Husemoller, but whatever the source, a familiarity IS presumed. The "lightning review" provided in Chapter I of Volume 1 will be extremely tough going for the reader who is new to these topics. It should also be noted that in 329 pages of Volume 1 and 470 pages of Volume 2, not a single diagram or picture is to be found! Those drawn to geometry for its visual aspects will find Kobayashi/Nomizu totally lacking in visual aids. As with so many classic references in mathematics, the hardbound edition of Kobayashi and Nomizu is no longer in print. Copies appear sporadically on the used book market at absolutely obscene prices. The Classics Library paperback edition is still available, but the serious student will find that the paperbacks simply do not fare well under serious, sustained use. 书名： Introduction to Lie groups and Lie algebras 作者： A.A.Sagle R.E.Walde 出版商： Academic Press (1973) 页数： 361 适用范围：大学数学系研究生低年级教材 预备知识：抽象代数 习题数量：较小 习题难度： 中等 推荐强度： 9.5 书评： 本书详细介绍了李群和李代数的基本知识以及半单李代数的结构。本书的特点是起点很低 , 对欧氏空间中的微分、张量积、模及其表示以及微分流形和 Riemann 流形的基本内容都作了一定的介绍， 学生只需要有最基本的群论知识就可学习李群和李代数，而不需要事先掌握较多的几何基础 , 同时本书对于李群和李代数的介绍又是相当完全的。 （周子翔） 10 偏微分方程 书名： Hyperbolic Partial Differential Equations 作者： Peter D. Lax 出版商： American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 页数： 217 适用范围：数学专业研究生 预备知识：泛函分析，常微分方程 习题数量：无 推荐强度： 10 书评： 本书是柯朗研究所系列讲义丛书之一。其作者是美国著名数学家 Peter D. Lax 教授。他在双曲型方程尤其是拟线性双曲型守恒律方程组及其计算，孤立子理论， 拟微分算子理论等诸多方面作出了开创性及里程碑式的工作。 本书恰是作者对双曲型方程理论知识方面的讲解。 全书包含十章及五个附录，介绍了线性双曲型方程及方程组的一些基本概念，能量估计， 解的存在性以及解的其他性质，还介绍了线性双曲型方程及方程组的差分格式及其差分格式的稳定性， 以及散射理论和拟线性双曲型守恒律方程组一些基本理论。 附录中最后一章由美国著名数学家 Morawetz 教授执笔。对于想从事双曲型方程研究的读者来说， 这是一本很好的入门书。（张永前） 书名： Partial Differential Equations, An Introduction 作者： Walter A. Strauss 出版商： John Wiley ＆ Son Inc. 页数： 425 适用范围：大学数学系本科高年级学生或低年级研究生 预备知识：微积分，线性代数，常微分方程 习题数量：较大 习题难度： 较难 推荐强度： 9 书评： Walter A. Strauss 是美国 Brown 大学数学系教授，著名的偏微分方程专家。本书自出版以来， 被美国多所著名大学作为本科生的偏微分方程课程的教科书。 全书包含十四章及一个附录，介绍了几类重要的偏微分方程的来源和基本性质以及基本的研究方法， 并在最后两章中介绍了一些来自物理学的非线性偏微分方程方面的进一步课题。 书中习题类型甚广，而且还配有部分习题的答案供读者参考。 本书适合作为偏微分方程的教材及参考书。（张永前） 国外评论摘选 1 ） This 1992 title by Strauss (professor at MIT) has become a standard for teaching PDE theory to junior and senior applied maths and engineering students in many American universities. Last year, being an informal teaching assistant for the class, I found many of the students struggling with the concepts and exercises in the book. Admittedly the style of writing here is very dense and if the reader does not have a very strong background in the topic, chances are high he or she will face a grand level of frustration with the exposition and the subject as a whole. One would need perseverance and dedication working numerous hours with this text before things start to settle in. After about the second or third chapter onward, those who were still taking the class had an easier time understanding the material and doing the excercises. Contentwise, after a brief and important introductory chapter (which should not be skipped by any reader!) the book first focuses on the properties and methods of solutions of the one-dimensional linear PDEs of hyperbolic and parabolic types. Then after two separate chapters, one on the trio of Dirichlet, Neumann, and Robin conditions and the other on the Fourier series, the author embarks upon the discussion of elliptic PDEs via the methods of harmonic analysis and Green's functions. Subsequently there is a brief introduction to the numerical techniques for finding approximate solutions to the three types of PDEs, mostly centered on the finite differences methods. The beginning of roughly the second half of the text is devoted to the higher-dimensional wave equations and boundary conditions in plane and space, utilizing the machinery of Bessel and Legendre functions, and ending up with a section on angular momentum in quantum mechanics. In the following, Dr. Strauss brings up the discussion of the general eigenvalue problems, and then proceeds with a treatment of the advanced subject of weak solutions and distribution theory. (This topic is normally skipped in an undergraduate course.) The last two chapters are a pure delight to read, dealing with the PDEs from physics as well as a survey of the nonlinear phenomena (shocks, solitons, bifurcation theory). A few appendixes at the end, summarize the analysis background needed for the course and must be consulted before and during the first reading. All in all this is a very splendid source for all the applied maths and engineering students, that can be used in conjuction with other references to help break through the conceptual barriers. In fact, I recommended the book by Stanley Farlow to our students and many found the presentation there very modular and accessible. For example, some of the Strauss' homework problems, such as solving the Poisson equation on an annulus, were subjects of a single chapter in Farlow. In any event, I am very much hoping to see a new and more student-friendly edition of the Strauss' text be prepared and issued in the near future. 2 ） I used this book in a tough applied math course, and the quality of this book did not help matters much. There are a couple of good things about this book. The material chosen is appropriate and reasonably comprehensive for an intro PDE text. In other words, the table of contents is a nice read. The notation is very clean and concise throughout, as is the typesetting. The bibliography was also useful, pointing me to some great supplementary texts. Now for the bad parts. An intro PDE book should explain clearly the basic concepts behind PDEs, including how certain famous equations (wave, heat, Laplace , etc.) arise in physical modeling. It should explain in detail the various computational techniques for finding analytical solutions to these equations. It should explain relevant elementary theorems needed for these computational techniques. This book attempts to do all of these things, but does so poorly. The basic problem is that the book's explanations and examples are too terse and incomplete for an introductory text. Analytically solving a PDE is a relatively difficult task, involving several computational steps and techniques. Examples of these techniques should be worked in detail, but in this book, they frequently omit steps or fail to explain where or how a particular technique is being applied. Theorems are often not stated, or if they are, proofs are either omitted or partially sketched. This makes the book difficult for beginners, but it is not a terrible reference if you have already been exposed to the material. My advice: given the price of this book and its mediocre quality, you would do better by looking elsewhere for an intro PDE text. 书名： Partial Differential Equations 作者： Lawrence C. Evans 出版商： American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 页数： xviii+662 适用范围：数学专业研究生 预备知识：微积分，线性代数，常微分方程 习题数量：较大 习题难度：适中 推荐强度： 10 书评： Lawrence C. Evans 是著名的偏微分方程专家，美国加州大学伯克利分校的教授。本书 被美国多所著名大学采用作为研究生偏微分方程课程的教科书或者参考书。 作者在这本教材中介绍了偏微分方程的许多重要课题，重点介绍了偏微分方程各种现代处理方法。 内容主要分为三部分。第一部分介绍了一些偏微分方程解的表示， 其中包含了一阶非线性偏微分方程的特征线方法， Hamilton-Jacobi 方程和双曲守恒律方程组解的表示方法 以及一些特殊非线性方程的行波解等。 第二部分主要介绍了处理二阶线性椭圆型方程及抛物型方程的现代方法。 第三部分介绍处理非线性方程的变分和非变分方法以及处理 Hamilton-Jacobi 方程和双曲守恒律方程组 的一些现代方法。每章之后都给出了相关内容的出处的说明以及与正文内容紧密配合的习题。 本书极适合作为研究生的偏微分方程教科书。（张永前） 国外评论摘选 1) This is a textbook for a first-year graduate course in PDE (for mathematics students). You should take courses in analysis (on the level of Rudin) and measure theory before you expect to understand everything in this book. This is by far the best book on PDE. The text is extremely clear, and most of the rather technical proofs are prefaced with "heuristic" calculations to help the reader understand what is going on. The chapter on the calculus of variations is the best exposition I have found of the subject, and Evans completely dispenses with the awful "delta" notation which never made any sense. The text doesn't make much use of the Fourier transform and doesn't even mention distributions, and this gives his book a definite nonlinear flavor (which is a good thing). This should become the standard introduction to PDE on the graduate level. 2) I have taught a one-year course in PDE based on Evans' book and found it extremely cogent and stimulating both for myself and for the students. The treatment is up-to-date, with a definite nonlinear flavor. Beyond that, the exercises are very good, and the treatment is sufficiently detailed to make class preparation fairly fast. It does demand mathematical dexterity and maturity of the students right from the start, though. 3 ） I've seen a lot of positive reviews of this text, and I feel the need to explain some cons of this book. Before that, I will say this is probably the best introduction to PDE theory out there. This is NOT a book for people looking for a dissertation on undergraduate methods of solution (separation of variables, fourier series, etc.). If that is what you are looking for, go to Haberman or perhaps Strauss. Ok, so here are the problems I see with this text. First, there is no mention of distributions in this book. Evans addresses this in the intro., saying it's not necessary. I find that hard to swallow, given that fundamental solutions play a big part in the text. Despite this, Evans devotes parts of the book to going into very esoteric subjects like mean value theorems for the heat equation. The other glaring gap in this text is the absence of Schauder estimates; a corner-stone for linear elliptic theory. On a note of personal preference, I would have like to have seen more of the book dedicated to a functional analytic foundation; the appendicies that are present are simply not enough. Overall, the book gives a decent introduction; but is far from being self-contained and is not enough of a foundation for people wishing to pursue research in PDE. Evans does acknowledge this in his introduction, but I think its something that is frequently overlooked in reviews of this text. 书名： Partial Differential Equations 作者： Fritz John 出版商： Springer-Verlag, New York-Berlin 页数： x+249 适用范围：大学数学系本科 预备知识：微积分，线性代数，常微分方程 习题数量：中等 习题难度：适中 推荐强度： 10 书评： 本书是系列丛书《 Applied Mathematical Sciences 》的第一卷。其作者是已故著名数学家﹑美国纽约大学 Courant 研究所 Fritz John 教授。其内容包括：一阶偏微分方程， Cauchy-Kovalevskaya 定理 , Holmgren 定理 , Lewy 的著名反例，波动方程及 Poisson 方程﹑热传导方程和相应高阶方程及对称双曲组的性质及 相应定解问题的基本求解方法。既介绍了特征线方法等经典方法， 也介绍了差分方法及 Hilbert 空间理论等近代方法。本书已被四次再版， 作者在每个新版中加入了一些新的内容，如在第四版中加入了关于 Cauchy-Kovalevskaya 定理解的存在区域大小的讨论等。 1991 年 Springer-Verlag 出版社又重印了其第四版， 可见其影响。我国科学出版社也在 1986 年翻译出版了其第四版。该书由朱汝金教授翻译。 书后习题与正文内容紧密配合，有助于对所介绍方法的理解。 适合偏微分方程的初学者作为入门及参考书。（张永前） 11 概率论 书名： An Introduction to probability theory and its applications, Vol 1 作者： William Feller 出版商： John Wiley Sons 页数： 509 适用范围：大学数学系本科 预备知识：微积分 习题数量：中等 习题难度：一般 推荐强度： 10 书评： 本书是概率界公认的经典教材 , 作者是现代概率论的大师 , 本教材多年来曾经多次再版多次重印 , 内容包括古典概率 随机序列 , 极限理论 , 更新过程 , 随机游动与马氏链等 , 此书之所以成为经典是因为 其中包含有大量的直观的概率模型 , 涵盖物理生物经济等几乎所有科学分支 , 直到 今天 , 许多研究论文都可以在本书的例子中捕捉到其背景 . 本书虽然经典 , 但使用它作为教材对教师和学生都需要勇气 , 它要求授课者有非常广泛的知识背景 , 它也要求读者有通过现象看清 本质的能力 , 另外本教材并不象传统的教材那样具有 Bourbaki 风格 , 也就是说不是通常的教材那么系统 , 所以采用本书作为概率论教材的 学校并不很多 , 但它的确是一本富有宝藏的参考书 . ( 应坚刚 ) 国外评论摘选 1) Although people often recommend K.L. Chung at our math department as an introduction to probability theory, i think that Feller is just another view of the problem. If you prefer a concise writing style then Chung is better. On the other hand, Feller's books are full of examples so that you cannot go through this book without having an accurate picture of the historical developments of probability theory and its many applications (even if sometimes applications are driving the need for theory...). This is anyway something you must have read if you want to get an intuitive understanding of probability theory. Whatever your preferred writing style is, Feller is probably a "must-read" if you're involved on probability theory, just because of its importance in the literature, not because you like it. Maths are not just about formalism, they're also a matter of culture. 2) I came across Vol 1 as a maths student in the 1970s. Indeed, the book was suggested to me by a quantum physicist recommended for the Nobel Prize in 1965 (John Ward, now deceased)- Feynman, Schwinger and Tomonaga shared the prize. This is a difficult book and was not widely used even in the 70s as a textbook. I can recall the word "idiosyncratic" being used by someone to describe the book. The problem is that the book seeks to address deep issues and that requires hard work. It is not the sort of book a struggling student will find helpful. As one matures as a mathematician one can appreciate the incredible depth of the material. As a practical example - about 30 years after I first touched this book a Head of Quant approached me in relation to a paper by Marsaglia on distributions of ratios of normal variates. The verification of Marsgalia's derivation (which is non-trivial) is to be found as a series of 3 problems in Vol 1. With the development of stochastic calculus in the finance world Feller can look a bit outdated but if you can understand the core material you are doing well. Stochastic calculus would be a push over. Vols 1 and 2 present a treasure trove for those who want to delve into the area. I still use Feller's coin tossing example from Vol 1 to demonstrate to those in the finance world that their understanding of the "law of averages" is imperfect. The funny thing is that Vol 2 (which I could never afford as a student) is so hard to get. I think that was because Vol 2 was regarded as even more obscure than Vol 1. I got a copy from Amazon second hand and it is now united with its twin in my study. Peter Haggstrom, Bondi Beach Australia 书名： A course in Probability Theory 作者： Kai Lai Chung 出版商： Academic Press 页数： 353 适用范围：大学数学系本科 预备知识：实变函数 习题数量：较大 习题难度：难 推荐强度： 9 书评： Chung 的这本概率论教材是 Stanford 大学数学系用的一学年课程的教材 , 从严格的测度论开始 , 内容非常广泛并且深入 , 包括收敛性 , 大数定律 , 强大数定律 , 特征函数 , 中心极限定理 , 重对数律 , 无穷可分分布 , 随机游动理论 , 条件期望 , 鞅与马氏 链等 , 虽然不需要很多的预备知识 , 但要求读者有很好的数学素养和对纯粹数学 的兴趣 , 与 Chung 一贯风格一样 , 教材本身写得非常严谨 , 某些部分也可以说 非常难 , 侧重于概率的纯理论方面 , 对概率的应用和直观背景说得不多 . 此书约共有 500 个习题 , 其中一些习题需要很高的技巧 . 本教材比现在大多数高校数学系使用的教材要难 , 但是使用于那些对数学真正 有兴趣的人 , 也是那些程度较好的学生一本很好的参考书 . ( 应坚刚 ) 国外评论摘选 1) This text by Chung was one of the texts that I used when I was taking a graduate course in probability at Stanford in 1975. It is carefully written but challenging. It provides good coverage of the central limit theorem, the law of large numbers and the law of the iterated logarithm. It also covers stable laws very well. The style is one of rigorous mathematics with theorems, and lemmas given with their mathematical proofs. The book was recently revised. The revised text does not change much but new material on measure and integration that is now commonly included in the first graduate course in probability has been added. In the 1970s at Stanford a course in measure theory was a prerequisite for the course in advanced probability although some student took it concurrently. If you plan to get this text, the revised edition is probably worth it. If you already have this edition and know your measure theory, it may not be worth it to get the new edition. 2) "A course in probability theory", written by Kai Lai Chung, has been referred by not only mathematicians but also mathematical economists.This book is written very rigorously, but almost all of the theorems have easy-to-understand proofs. So it is not difficult to follow. Moreover, there are lots of exercises in this book. So I do recommend this book. 12 计算数学 书名：Numerical Optimization 作者： J. Nocedal \ S. Wright 出版商： 科学出版社, 2006 页数：636 适用范围：计算数学、运筹学、工业工程、计算机专业高年级本科或者研究生教材 预备知识：数学分析、高等代数、数值线性代数 习题数量：一般 习题难度：一般 推荐强度：10 书评： 本书是由 Northwestern 大学电子工程和计算机科学系教授、数值最优化最著名的专家 Nocedal 和 Wisconsin 大学 Madison 分校 (UW-Madison) 计算机科学系教授、优化著名专家 Wright 合写的一本数值最优化教材。深受读者欢迎，国外很多院系也把这本书作为最优化或者非线性规划课程的教材。本书内容十分丰富，包括求解无约束问题的最速下降法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法、信赖域算法；非线性最小二乘问题、求解非线性方程组的数值计算方法；线性规划的单纯形法和内点算法、二次规划；求解约束问题的罚函数法、乘子法、增广拉格朗日法、序列二次规划算法。关于这本书和其它非线性规划专著的比较可以参考国外评论部分 Michael Ferris 做的精彩评价。 (杨卫红) 国外评论摘选 I find the book under review (hereafter N-W) to be a well-written treatment of continuous nonlinear optimization and I would recommend its use for upper level undergraduate or graduate level courses in nonlinear optimization. The book is sufficiently detailed to be useful to researchers, but its real merit is as an educational resource. In reaching this conclusion, I asked the following questions of the text: What is the competition for this text? Will this text replace the one I use? Does it cover all the topics I cover, or enough of them? Is it readable? I believe there are five books that are possible competitors to (N-W), namely (1) D. Bertsekas, Nonlinear programming, Athena Scientific, Belmont, MA, 1995; (2) J. E. Dennis, Jr. and R. B. Schnabel, Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations, Corrected reprint of the 1983 original, SIAM, Philadelphia, PA, 1996; (3) R. Fletcher, Practical methods of optimization, Second edition, Wiley, Chichester, 1987; (4) P. E. Gill, W. Murray and M. H. Wright, Practical optimization, Academic Press, London, 1981; (5) S. Nash and A. Sofer, Linear and nonlinear programming, McGraw-Hill, New York, 1996. The book by Fletcher is the classical reference; I believe\break (N-W) will supplant Fletcher's for two reasons. Firstly, the new book uses a more modern typeset and is much easier to read and understand. Such clarity enables students to learn the material more quickly, and, furthermore, to read the relevant literature more easily. Secondly, the topics covered in the new book are more current and balanced (the one exception being nonsmooth optimization). In particular, the section on automatic derivatives is an important and welcome addition. Clearly, the (N-W) text benefits from being written a good decade later. Similar comments can be made comparing (N-W) to the Dennis and Schnabel book. While the latter is much more specialised than Fletcher's text, it is still the book of choice for many who are interested in unconstrained and nonlinear equation software. I believe (N-W) is much more up-to-date and will be a much better choice for engineers and practitioners interested in knowing some mathematical background for the algorithms they need to use. The treatment of the same topics is more thorough but eminently readable in (N-W); furthermore, (N-W) covers linear and constrained optimization as well, without becoming too long. While the treatment of line search methods in the book by Gill, Murray and Wright is very good, (N-W) covers these in adequate detail, and furthermore gives an up-to-date view of trust region methods as well. The treatment of interior point methods in the description given in (N-W) also benefits from the research carried out over the past decade, and is preferable to that of Gill et al. The Nash and Sofer book is somewhat similar to (N-W) and may be preferable for lecturers who wish to teach nonlinear optimization appended to a course on linear programming. I believe, however, that the approach given in (N-W) is better, and enables a clearer understanding of how linear problems fit within the big picture. Again, the treatment of trust region methods is much more complete in (N-W). The Bertsekas book is very different from (N-W). It is a much more theoretical text, and covers aspects of convex analysis and nonsmooth optimization in much greater detail than (N-W). For more theoretical courses, I would prefer to use the Bertsekas text. However, for courses that stress algorithms for smooth problems, the (N-W) text covers all the necessary ground concisely, clearly and in an eminently readable fashion. These two books complement each other nicely. Is the book well organised? For the most part, I believe it is. The only caveat to this is that the trust region and conjugate gradient chapters seem to be the wrong way around, with many forward references in Chapter 4. What's missing? Several things are missing from the book, in my opinion. Some treatment of nonsmooth optimization would have been useful in this text, as many of the ideas from that literature can be used to supplement our understanding of algorithms and enhance the problem classes that can be treated. (N-W) also does not cover derivative free methods at all, unless one counts finite differences. Given the huge variety of applications that use such methods in practice, I believe some comments on their applicability, strengths and weaknesses would strengthen the book. Finally, I would be remiss if I did not complain about the omission of complementarity. The unifying viewpoint and newly emerging problem classes that could benefit from overlap would draw these two fields more closely together again. (by Michael C. Ferris) 13 其他 书名： Berkeley Problems in Mathematics 作者： Souza Silva 出版商：Springer Verlag 页数： 443 适用范围：大学数学系本科生各年级 预备知识：按各章内容而定 习题数量：大 习题难度： 中等到难 推荐强度： 8.2 书评： 本书是美国加州大学 Berkeley 分校数学系直到 90 年代的历届博士生 资格考试题集锦。作者按分析、多变量微积分、微分方程、度量空间、复分析、 抽象代数、线性代数进行了分类，总共大约 300 道题，难度参差不齐。 美国大学的数学系的研究生没有入学考试，却有资格考试，那时在入学后的第一年 里需要通过的，考试的方式各校不一样，采用笔试比较普遍，名校的题比较难。 Berkeley 的题不算特别难，和我国重点大学本科生的试题差不多。由于出题者多半是 Berkeley 数学系的教授，大部分题在别处见不到，有些考题明显是从 出题人的论文中提取的。书后附有习题解答，但不完整，遗憾的是最难的一些题 都没有解答，这也许是编书的人来不及把所有题做完。本人认为这本书是非常 好的补充题来源，值得数学系的师生选用。 （杨劲根） 国外评论摘选 This book is a rare peak inside one of the best Ph.D. programs in Mathematics in the world. It allows you to try out and test yourself on the same problems that the best young and aspiring mathematicians are testing themselves. The problems are neatly arranged by subject and in increasing level of difficulty, and the solutions, are not only beautifully written, but somewhat surprising and unexpected for a seasoned student. I pull mine out of the shelf on the rainy days and try a few more, and when I get one, I really savour it! 书名： Putnam and Beyond 作者： Gelca Andreescu 出版商：Springer Verlag (2007) ISBN-13: 978-0-387-25765-5 页数： 798 适用范围：大学数学系本科生数学竞赛 预备知识：微积分、线性代数 习题数量：大 习题难度： 中等到难 推荐强度： 8.5 书评： 我国的中学生数学竞赛是国际领先的，各种参考书籍也很多，这多数归因于社会各界对这项活动的重视和投入。 与此相比，大学生的数学竞赛就冷清多了，相关的书籍也少。而美国对大学生和中学生的数学竞赛同样地重视。 美国的 Putnam 大学生数学竞赛有 70 年历史，每年举行一次，美国的各名校都组对参赛，是大学数学系本科生的一次盛会， 优胜者名单和试题及解答都公布在美国数学月刊上。象哈佛、麻省理工学院等校把这项荣誉看得很重，互相 较紧，就象数学中的 NBA. 美国有些著名数学家如 Milnor,Mumford,Quillen 都是当年的优胜者。 很多年前曾有过一本 Putnam 竞赛的试题和解答的中译本，收集了从 1938 年到 1980 年的全部比赛。 本书并不是 Putnam 竞赛试题集，它是关于解题方法和技巧的导引，当然也收集了大量竞赛集训题。作者先介绍了竞赛中常用的 五种技巧：反证法、数学归纳法、抽屉原理、极值问题、不变量。每种方法都有精彩的示例。然后按照 代数、分析、几何、数论、组合五个专题讲解实例。例题和习题总共一千余道，书后附习题的详细解答。 从题的深度来看，有大量的题实际上是中学生竞赛题，大学生竞赛题以解析几何、微积分和线性代数为主， 抽象代数有一些，但比较浅。两位作者都有多年指导大学生和中学生竞赛的经验，他们所选的题大部分是 他们所指导的集训队的集训题。 本书是比较理想的大学生数学竞赛参考资料，也可供中学生数学奥林匹克的教练参考。对于想提高数学解题能力 的大学数学系也是很有帮助的。 （杨劲根） 国外评论摘选 Once more another panorama of amazing math problems written by two famous math problemists: Titu Andreescu and Razvan Gelca Many many congratulations to them for this invaluable treasure of math problems. I am not absolutely able to describe this excellent book; the best way is purchasing this book. I highly recommend it to all math lovers; in particular to whom are preparing themselves to mathemaical competitions of all kinds. In fact I do warmly recommand all of the books by Titu Andreescu and his colleagues without exception!!! 国外优秀数学教材选评.pdf （本文转自 http://blog.sina.com.cn/s/blog_6a9a18f801012b60.html ，没有版权，请勿商用！谢谢）
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hylpy1 2016-8-31 23:49
英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1+1=2，又有著名的E=mc2；既有简单的圆周公式，又有复杂的欧拉公式…… No.10 圆的周长公式（The Length of the Circumference of a Circle ） 目前，人类已经能得到圆周率的2061亿位精度。还是挺无聊的。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有就是为了兴趣。 No.9 傅立叶变换（The Fourier Transform） 这个挺专业的，一般人完全不明白。不多作解释。简要地说没有这个式子没有今天的电子计算机，所以你能在这里上网除了感谢党感谢政府还要感谢这个完全看不懂的式子。另外傅立叶虽然姓傅，但是法国人。 No.8 德布罗意方程组（The de Broglie Relations） 这个东西也挺牛逼的，高中物理学到光学的话很多概念跟它是远亲。简要地说德布罗意这人觉得电子不仅是一个粒子，也是一种波，它还有 “波长”。于是搞啊搞就有了这个物质波方程，表达了波长、能量等等之间的关系。同时他获得了1929年诺贝尔物理学奖。 No.7 1+1=2 这个公式不需要名称，不需要翻译，不需要解释。 No.6 薛定谔方程（The Schrdinger Equation） 也是一般人完全不明白的。因此我摘录官方评价：“薛定谔方程是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式。”由于对量子力学的杰出贡献，薛定谔获得1933年诺贝尔物理奖。 另外薛定谔虽然姓薛，但是奥地利人。 No.5 质能方程（Mass–energy Equivalence） 好像从来没有一个科学界的公式有如此广泛的意义。在物理学“奇迹年”1905年，由一个叫做爱因斯坦的年轻人提出。同年他还发表了《论动体的电动力学》——俗称狭义相对论。 这个公式告诉我们， 能量和质量是可以互换的 。副产品：原子弹。 No.4 勾股定理/毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem） 做数学不可能没用到过吧，不多讲了。 No.3 牛顿第二定律（Newton's Second Law of Motion） 有史以来最伟大的没有之一的科学家在有史以来最伟大没有之一的科学巨作《自然哲学的数学原理》当中的被认为是经典物理学中最伟大的没有之一的核心定律。动力的所有基本方程都可由它通过微积分推导出来。对于学过高中物理的人，没什么好多讲了。 No.2 欧拉公式（Euler's Identity） 这个公式是上帝写的么？到了最后几名，创造者个个神人。欧拉是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者。数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。欧拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力。他一生谦逊，很少用自己的名字给他发现的东西命名。不过还是命名了一个最重要的一个常数——e。 关于e，以前有一个笑话说：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念， 总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失 ，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“ 我是e的x次方 。” 这个公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、pie放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。 高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。” No.1 麦克斯韦方程组（The Maxwell's Equations） 积分形式： 微分形式： 任何一个能把这几个公式看懂的人，一定会感到背后有凉风——如果没有上帝，怎么解释如此完美的方程？这组公式融合了 电的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律 。比较谦虚的评价是：“一般地，宇宙间任何的电磁现象，皆可由此方程组解释。”到后来麦克斯韦仅靠纸笔演算，就从这组公式预言了电磁波的存在。我们不是总喜欢编一些故事，比如爱因斯坦小时候因为某一刺激从而走上了发奋学习、报效祖国的道路么？事实上，这个刺激就是你看到的这个方程组。也正是因为这个方程组完美统一了整个电磁场，让爱因斯坦始终想要以同样的方式统一引力场，并将宏观与微观的两种力放在同一组式子中：即著名的“大一统理论”。爱因斯坦直到去世都没有走出这个隧道，而如果一旦走出去，我们将会在隧道另一头看到上帝本人。
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分享 如何去阅读数学？
hylpy1 2016-8-28 14:26
你在阅读数学文献的时候遇到过什么困惑么？读不懂文章也许并不是你不够聪明，而是因为想要读懂数学也是需要一些技巧的。 未经训练的人是无法读懂和理解数学的。 阅读是讲究方法的。欣赏诗歌的方法和小说的不同，小说的和纪实文学的方法又有不同。看小说时去深究主人公到底为何是身体黝黑金发飘飘是没什么必要的，但是阅读纪实文学时对事实真相不去究根问底就不对了。同样，欣赏美术和音乐也需要相应的方法。事实上，文学、音乐和美术课的入门部分把大多数笔墨都花在了传授相应的方法上。 数学也有自己的阅读方法。和我们需要学习如何阅读文学一样，我们也要学习如何阅读数学。学习阅读数学的方法所需的功夫，不比学习阅读小说和诗歌、欣赏音乐和绘画要少。Ed Rothsteins的《Emblems of Mind》是一本关于数学和音乐的关系的非常棒的书。它从侧面阐述了阅读数学的方法。 当我们阅读一本小说时，我们关注它的情节和人物。我们关注各条故事线的发展和人物的变化。这些人物在我们的脑海中栩栩如生，有的惹人喜爱，有的让人憎恶。我们不会拘泥于单个的词句，而是将它们想象成画布上的线条。即使有一个词不认识也没关系，我们总能把握大体的意思。我们很少停下来字斟句酌，而是随波逐流一直读到最后。这样的阅读让人放松，给你思考的空间。 小说家们常常用精心准备的逸闻趣事来描写自己的角色，而不是给他们冠以各种形容词。他们先刻画人物的一个侧面，然后是另一个，然后再用不同的手法回到第一个，如此反复，逐渐的将整个故事展开。这是一种将无法准确说明的复杂事物表达出来的好方法。 数学概念天生就是精确而完备的，因此他们的定义总是简洁而准确。数学论文和小说都在讲故事，只是数学论文中很少用到小说中的正常的语言词汇而已。小说的美来源于优雅的文字和洗练的笔法。数学论文的美则来自于用简洁有效的方法来描述非常复杂的概念。 人们在阅读数学时会烦哪些常见的错误？应该如何纠正？ 1、 不要只见树木不见森林 数学阅读不是线性的...理解文意需要查阅引用、精读、思考和反复 不要以为理解了每一句话就能通读全文。这就好像把鼻子尖凑到跟前一点点的欣赏一幅画一样，你能看到细节、纹理和颜色，但却无法欣赏这幅画。每篇数学论文都讲了一个故事。你应该在深究细节之前先了解故事的梗概。在有了一个整体的概念之后你就可以看得更仔细些了，这就好像重读一本小说一样。 2、不要做一个被动的读者 一条只需三行就能证明的定理也许意味着经年累月的努力，要读懂它就必须像作者一样思考。 在例子中探索模式，尝试特殊情况。 一篇数学论文通常只是在一部长篇小说的一小部分。在这个故事里，作者花费了数月的时间探索未知的小径，发现了一些东西。最后，他把他的所有动机、犯过的所有错误以及最后的结论简洁的总结成了这篇文章。真正理解作者原意的方法就是在脑中重建作者没有写出的那部分故事，从字里行间读出东西来。 数学总是言简意赅，惜墨如金。而读者必须置身于其中。每时每刻，他都应该自省是否读懂了文章的观点。问问自己这些问题： 为什么这个结论是正确的？ 你确定？ 我能向另一个人证明这个结论的正确性么？ 为什么作者不用另一种方式证明它？ 我有更好的方法来说明这个结论么？ 为什么作者和我的思路不一样？ 我的方法是正确的么？ 我真的理解了这个结论了么？ 我是不是忽视了一些细节？ 作者是否忽视了一些细节？ 如果我没法理解这个结论，我是否能够理解一个类似但稍微简单一些的结论？ 这个简单一些的结论是什么？ 需要完全理解这个结论么？ 我能不能不去理会这个结论的证明细节呢？ 忽略这个结论的证明会使我对整篇文章的理解产生偏差么？ 不去考虑这些问题就好像心不在焉的看小说。发呆了一会儿之后你会突然发现虽然你已经翻了很多页，但却完全想不起你看了什么。 3、不要读得太快 想要快快的阅读数学只会让你沮丧。根据小说的不同和读者的能力，一般人看小说半个小时能读上20-60页。但视你的能力和文章的深度而异，半个小时你能看懂的数学公式也许只有不到十行。努力和时间是无价的。你可以通过练习来提高数学阅读的技巧和速度，但要小心。和学习任何技巧一样，高歌猛进也会让你疲惫不堪，就好像让两年没锻炼的你突然做一个小时的高强度有氧运动一样。你也许能撑过第一节课，但你肯定不想再来了。看到有经验的同伴轻松的完成了两倍于你的训练量，而你第二天却会因为酸痛而哀嚎一整天，这样的挫折感是很难以承受的。 例如，考虑 Levi Ben Gershons在1321年的手稿《Maaseh Hoshev（计算的艺术）》中给出的如下定理： 将从1开始的奇数个连续整数相加的结果等于这一串数字的中数与尾数之积。 现代数学家很自然的会将这个结论写成： 读者理解两种形式的表达所需的时间应该是差不多的。 这个定理的一个例子是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 3x5。 4、消化作者的思想 理解文意的最好办法就是把作者的思想消化掉。 这需要你回到最初的线索，然后自己独立推导出相同的结论。数学家们常说，要理解一个问题，先要读懂它，然后把它用自己的话写出来，最后还要能把它教给别人。每个人思考复杂问题的方式和水平都有不同，你需要用自己的语言和经验来解释这个问题。 “当我使用这个词时，它的意思就是我赋予它的意思” （Humpty Dumpty 对爱丽丝说道，引自 Carroll Lewis 的《爱丽丝镜中奇遇记》） “意义”从来都不是透明的，因为每一个单词或符号都是概念和典故浓缩而成的。 严谨的数学文字只会认真的使用那些没有歧义的词汇来区别不同的东西，例如 组合 与 排列 。 严格的数学定义会说，“黄色的疯狗”和“疯狂的黄狗”的词语排列是不同的，但组合是相同的。大多数讲英语的人不会同意这一点。 这种极端的严谨对于以使用排比对仗反复等修辞手法为荣的诗歌和小说的创作是无法想象的。 读者应该知道， 绝对值 并不是什么无法改变的数值，而 函数 也和任何实用性无关。 一个特别有名的例子是“容易得到”或是类似的话。 它的实际意思是： 任何人都可以通过一定的机械和复杂的计算验证以下陈述的正确性。 作为作者，我虽然可以完成这些，但这会耗费大量的纸张却没有什么帮助，因为您自己通过演算来理解其中的逻辑是最好不过的了。 我保证，这其中不会用到什么新的结论。当然，思考与正确地把好点子组合起来是找到答案的必由之路。 换句话说，这种话一般意味着这里的结论背后的推导虽然枯燥甚至困难，但并没有包含什么新意。 这样读者就可以根据自己的水平来决定他（她）是钻进细节还是接受作者的保证：“好吧，我相信你”。 关于这种话能否用在在特定的场合或是作者是否正确的使用了它，无论你的意见如何你都应该理解它的本意。 “容易得到”并不意味着 如果这都看不出来，那你就是个蠢货。 它也不意味着 两分钟之内你就应该能弄懂。 但不熟悉这种暗语的人可能会误解这句话，然后非常沮丧。 某个问题对于一个人来说可能是枯燥无味的，但对于另一个人来说则可能很有挑战性。但这种问题和“容易得到”这种话无关。因此文章的作者在使用这种话时需要考虑到他的读者。 5、认识你自己 文章的写作都是有目标受众的。 开始阅读之前请确认您就是文字的目标读者，或是原意学习以成为一个合格的读者。 T.S.Eliot 的 《给 Simeon 的一首歌》： Lord, the Roman hyacinths are blooming in bowls and Thewinter sun creeps by the snow hills; Thestubborn season has made stand. Mylife is light, waiting for the death wind, Likea feather on the back of my hand. Dustin sunlight and memory in corners Waitfor the wind that chills towards the dead land. 比如，Eliot 的这首诗至少假设了它的读者知道 Simeon 是谁，即使不知道也愿意去了解这个人。 它还假定其读者有一定的欣赏诗歌的能力，或者即使没有也愿意去学习并得到这种能力。它假定读者能够读懂或者会去研究它的典故。这不仅包括 Simeon 是谁这样的信息，还比如，为什么风信子是“罗马的”？ 这很重要么？ Eliot 假设读者会慢慢的读这首诗并勾勒出这样一幅画面：他把尘土与回忆放在一旁，将老去想象成寒冬，把等待死亡比作手背上的一根羽毛。 他假设读者能够认得出这是一首诗，假设读者熟悉诗歌的形式。 读者应该知道隔行押韵，但临行不会，等等。 最重要的是，他假定读者不光会用心，还会用感情和想象来读这首诗，在画面中召唤出这位老人，对生命已经感到疲惫，但仍在坚持等待着某个重要的事件的发生。 数学书也一样会对读者做一些假设：读者应该了解某些知识，达到了某个“等级”什么的。 在开始阅读之前，最好确认你已经拥有了作者所期望你了解的知识。 6、数学写作的一个范例 为了实践我刚才提到过的准则，我附上了关于“生日悖论”的一段文字。 文章的第一部分用简练的数学语言描述并解决了这个问题。第二部分则从读者的角度想象如何用正确的方式来尝试读懂这篇文章。这篇文章主要和概率论有关，只要愿意思考，对读者背景没有任何要求。 生日悖论 一位教授和班上30名普通学生们打赌说这个班上至少有两个人是在同一天生的（月日相同，年不一定）。 你敢和教授打这个赌么？如果班上的人更少一些呢？你还愿意打这个赌么？ 假设 n 个人的生日均匀的分布在一年的365天之中（简单起见不考虑闰年）。 可以证明，至少有两个人在同一天出生的概率是： 那么一个房间里的30个普通人，其中至少有两人在同月同日出生的几率是多大呢？ 对于 n = 30，答案是大约71％。这意味着在任意一个30人的班级之中，赌100次的话教授能赢71次。而如果班上只有23个人，教授赢的几率大概是50%。 证明 设 P(n) 两个人同月同日生的概率。 设 Q(n) = 1 - P(n) ，也就是没有任何人是在同月同日生的概率。现在我们就可以用 n 个生日不重合的组合方式除以所有可能的生日组合方式计算出 Q(n)，然后就可以得到 P(n) 了。 不重复的 n 种生日组合方式总共有： 365x 364 x 363 x ... x (365 - n + 1) 这是因为第一个生日有365种选择，而第二个生日只有364种了，一次类推到第 n 个生日。 而在没有限制的情况下 n 个生日的组合即是 365^n 因为每个生日都有365种选择。因此，Q(n) 即为： 用 P(n) = 1 - Q(n) 就可以得到结果了。 从读者的角度理解生日悖论 在这一节中，一位新手想要看懂刚才的几段话。 R 部分是读者的想法，P 部分是专家对读者部分的评论。 读者(R)：我一点也不懂概率论，我能看懂这篇文章么？ 专家(P)：试试看吧。 每一步可能都会反复很多次。 R ：“30名普通学生”是什么意思？ 我的读者可能看起来上手挺快的。 但实际上，每一段读者的话都意味着长时间的思考，而且我已经略去了读者尝试死胡同的部分。要和这位读者感同身受不是只要读过他（她）的评论这么简单的事情，你要在试图理解这个问题时可以把他（她）的话作为思路。 via：hellmage(译言网) 原文来源： web.stonehill.edu 原文标题： How to Read Mathematics 原文作者：Shai Simonson and Fernando Gouvea 链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-939523.html
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hylpy1 2016-8-28 13:12
目录： 1 数学书目 2 1.1 《数学分析--高等数学》 3 1.2 《高等代数--线性代数》 4 1.3 《空间解析几何》 5 1.4 《常微分方程》 6 1.5 《单复变函数》 8 1.6 《关于自学数学》 11 1.7 《实变函数论与泛函分析》 11 1.8 《抽象代数》 16 1.9 《组合基础》 17 1.10 《数学物理方程》 19 1.11 《拓扑学》 21 1.12 《微分几何》 22 1.13 《微分流形》 23 2 数学参考书目 25 2.1 说明 25 2.2 1.逻辑 27 2.3 组合，形式计算 30 2.4 数论 31 2.5 代数，同调代数，范畴，层 32 2.6 K-理论，C^*-代数 33 2.7 代数几何 34 2.8 群，李群和李代数 36 2.9 代数拓扑，微分拓扑 37 2.10 微分几何 39 2.11 动力系统 40 2.12 实分析，调和分析 42 2.13 泛函分析 43 2.14 复分析，解析几何，奇性 45 2.15 线性偏微分方程，D-模 46 2.16 非线性偏微分方程 47 2.17 数学物理 49 2.18 数值分析 50 2.19 概率 51 2.20 统计 52 2.21 博弈论，经济数学，最优化 54 2.22 数学史 55 3 物理学书单 56 3.1 量子力学 57 3.2 理论力学 57 3.3 电动力学 58 3.4 固体物理 58 3.5 数理方法 59 3.6 统计力学 60 3.7 一些补充 60 4 理论物理 60 5 物理经典教材 63 6 A Physics Booklist: Recommendations from the Net 65 6.1 Subject Index 66 6.2 General Physics (so even mathematicians can understand it!) 66 6.3 Classical Mechanics 67 6.4 Classical Electromagnetism 68 6.5 Quantum Mechanics 68 6.6 Statistical Mechanics and Entropy 70 6.7 Condensed Matter 71 6.8 Special Relativity 71 6.9 Particle Physics 72 6.10 General Relativity 73 6.11 Mathematical Methods (so that even physicists can understand it!) 74 6.12 Nuclear Physics 74 6.13 Cosmology 74 6.14 Astronomy 76 6.15 Plasma Physics 76 6.16 Numerical Methods/Simulations 76 6.17 Fluid Dynamics 77 6.18 Nonlinear Dynamics, Complexity, and Chaos 77 6.19 Optics (Classical and Quantum), Lasers 78 6.20 Mathematical Physics 78 6.21 Atomic Physics 79 6.22 Low Temperature Physics, Superconductivity 80 7 习题 80 8 推荐给大家的优秀数学参考书 80 9 数理逻辑 85 10 现在在中国买得到的100本经典物理学专著 86 ---------------------------------------------------------------------------- 1 数学书目 1.1 《数学分析--高等数学》 1.菲赫今哥尔茨 "微积分学教程","数学分析原理". 前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.此书堪称经典."微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)都承认不太合适作为教材,为此他才给出了能够做教材的后一套书,可以说是一个精简的版本(有所补充的是在最后给出了一个后续课程的简介).相信直到今天,很多老师在开课的时候还是会去找"微积分学教程",因为里面的各种各样的例题实在太多了.如果想比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的例题当做有答案的习题来做,当然不是每道题都可以这么办的.如果你全部做完了那里的题目然后考试的时候碰到你做过的可别怪我.毫无疑问,这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了. 2.Apostol "Mathematical Analysis" 在西方(西欧和美国),这应该算得上是一本相当完整的课本了,在总书库里面有. 3.W.Rudin "Principles of Mathematical Analysis" (有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,(指一些符号,术语的运用)也是很好的.这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的ddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以找一本西方advanced calculus水平的书来看,基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师曾特别指出Rudin的书. 说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是可以一看的,就是L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的课本. 4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等 "数学分析习题集","数学分析习题课教材".北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答, 5.克莱鲍尔"数学分析" 记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.理图里有. 6.张筑生"数学分析新讲"(共三册) 我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看. ---------------------------------------------------------------- 下面的一些书可能是比较"新颖"的. 7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)" 理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,人家是苏联科学院院士. 7b."数学分析" 忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉 到观点非常的"高". 8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)" 那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再回过头来看感觉会更好一些. 9.说两句关于非数学专业的高等数学. 这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课之间. --------------------------- 1.1 《高等代数--线性代数》 高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点,关于线性空间的理论应该叫线性代数, 再加上一点多项式理论(就是可以完完全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的Higher Algebra. 从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一个矩阵的表示.因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的.而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.复旦以前有两本课本就是这么做的. 1.蒋尔雄,吴景琨等 "线性代数" 这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比数学专业相应的课程要高的.因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.我个人以为还是比较有意思的. 2.屠伯埙等 "高等代数" 这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里可能可以买到翻印的.这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常有益的.当然这不是很容易的:据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁 开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我."有此可见一斑.如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,那么下面这本应该说是比较适当的. 3.屠伯埙等 "线性代数-方法导引" 这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也更"实际"一些.值得一做. 另外,讲到矩阵论.就必须提到 4.甘特玛赫尔"矩阵论" （P.IAHTMAXEP） 我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者是柯召先生.在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩阵该怎么求?请看"矩阵论".这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣. 5.许以超 "线性代数和矩阵论" 虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的. 6.华罗庚 "高等数学引论" 华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的(不记得是不是在这本书里面了):n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反对称线性函数.这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了. 高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如 7.贾柯勃逊(N.Jacobson) Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31 ("抽象代数学"第二卷:线性代数) 这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了. 8.Greub Linear Algebra(GTM23) 这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是值得一读的. 还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有: 9.丘维声 "高等代数"(上,下) 北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少. 10.李炯生,查建国 "线性代数" 这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些内容的处理在国内可能书属于相当先进的了. 1.2 《空间解析几何》 空间解析几何实在是一门太经典,或者说古典的课.从教学内容上说,可以认为它描述的主要是三维欧氏空间里面的一些基本常识,包括最基本的线性变换(那是线性代数的特例),和二阶曲面的不变量理论. 在现行的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的"空间解析几何"里面,最后还有一章讲射影几何.这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影的内容还不是很好念的. 可以考虑的参考书包括: 1.陈(受鸟) "空间解析几何学" 内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长) 的夫人,也是中国早期留学海外的女学者. 2.朱鼎勋 "解析几何学" 这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).朱先生相当有才华,可惜英年早逝. 如果想了解比较"新"的动态,可以考虑 3.Postnikov "解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早是要给吃到线性代数里面去的.海外教材中心有一本英文本. 我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要下放到高中里面去. 上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有相当深刻的了解. 4.狄隆涅 "(解析)几何学" 这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能写的. 5.穆斯海里什维利 "解析几何学教程" 这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的而已). 1.3 《常微分方程》 从常微分方程开始,数学课就变成没底的东西,每一个标题做下去都是数学研究里面庞大的一块.对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断. 这里我打算还是从现行课本讲起.常微分方程这门课,金福临先生和李迅经先生在六十年代写过一本课本,后来在八十年代由控制那一块的老师们修订了一下,变成第二版,就是现在常用的课本.上海科技出版社出版.应该说,金先生他们的第一版在今天看来还是很好的一本课本(这本书估计受了下面的一本参考书的不小的影响), 该书在理图老分类的那一块里有. 但是第二版有那么点不敢恭维.不知为什么,似乎这本书对具体方程的求解特别感兴趣,对于一些比较"现代"的观点,比如定性的讨论等等相当地不重视.最有那么点好笑的是在某个例子中(好象是介绍Green函数方法的),在解完了之后话锋一转,说"这个题其实按下面的办法解更简单..."而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的. 下面开始说参考书,毫无疑问,我们还是得从我们强大的北方邻国说起. 1.彼得罗夫斯基 "常微分方程讲义" 在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术官僚作风,讲法不是非常活泼. 2.庞特里亚金 "常微分方程" 庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字不感冒的话绝对值得一读. 下面转到欧美方面, 3.Coddington Levinson "Theory of Ordinary Differnetial Equations" 这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看着办吧. 比较"现代"的表述有 4.Hirsh Smale "Differential Equations ,Linear Algebra and Dynamical Systems" (中译本"微分方程,线性代数和动力系统")这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他为在中国领土上工作的最重要的数学家应该没有什么疑问. 5.Arnol\'d "常微分方程" 必须承认,我对Arnol\'d是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,Arnol\'d,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol\'d对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生们都是这么说的.这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话. 再说一句,Arnol\'d的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."的,程度要深得多. 看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人自己的值得一看的课本吗?答曰Yes. 6.丁同仁,李承治 "常微分方程教程" 这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动. 再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看 7.卡姆克(Kamke) 常微分方程手册 那里面的方程多得不可胜数, 理图里有. 对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解这些特殊函数系的"完备性",象 8.Courant-Hilbert "数学物理方法"第一卷 可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数一个方法学起来更容易一些. 而且， 9.王竹溪,郭敦仁 "特殊函数概论" 的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的\'特殊函数概论\'...从此这本书就一直在我的书架上,...经常在里面寻找我需要的结论..."连他老先生都如此,何况我们? 1.4 《单复变函数》 单复变函数论从它诞生之日(1811年的某天Gauss给Bessel写了封信,说"我们应当给\'虚\'数i以实数一样的地位...")就成为数学的核心,上个世纪的大师们基本上都在这一领域里留下了一些东西,因此数学的这个分支在本世纪初的时候已经基本上成形了.到那时为止的成果基本上都是学数学的学生必修的东西. 1.范莉莉,何成奇 "复变函数论" 这是上海科技出版的那套书里面的复变.今天回过头来看,这本书讲的东西也不是很难,包括那些数量很不少的习题.但是做为第一次学的课本,应当说还不是很容易的.总的说来,从书的序言里面列的参考书目就可以看出两位先生是借鉴了不少国际上的先进课本的.不知道数学系的学生还发这本书吗? 如果要列参考书的话,单复变的课本真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧: 2.普里瓦洛夫 "复变函数(论)引论" 这是我们的老师辈做学生的时候的标准课本.内容翔实,具有传统的苏联标准课本的一切特征.听说过这么一个小故事:普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,无论是从教师还是从学生的角度来说),有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝般地问了一句"sin z有界无界?"此人稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上被开回去了,实在是不幸之至. 3.马库雪维奇 "解析函数论(教程?)" 这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.它比上面这本要深不少.张老师说过,以前学复变的学生用2.做课本,学完后再看3.,然后就可以开始做研究了. 这本书的一个毛病是它喜欢用自己的一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程它也给换了个名字,好象是Euler-D\'Alembert吧! 再说点西方的: 4.L.Alfors(阿尔福斯) "Complex Analysis(复分析)" 这应该是用英语写的最经典的复分析教材.Alfors是本世纪最重要的数学家之一(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.他的这本课本从六十年代出第一版开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本,理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的)记不清了,建议还是看英文的.这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理可以说是相当好的. 5.H.Cartan(亨利.嘉当) "解析函数论引论" 这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物在二十世纪复分析的发展史上也占有很重要的地位.他在多复变领域的很多工作是开创性的.这本课本内容不是很深,从处理方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-)) 6.J.B.Conway "Functions of One Complex Variable"(GTM 11) "Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159) (GTM=Graduate Mathematics Texts,是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass, 对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西要到第二卷里面才能看到. 7.K.Kodaira(小平邦彦) "An Introduction to Complex Analysis" 这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"我就找不出什么错. 人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题 9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的 "数学分析中的问题和定理" 第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以独立做出来的. 10."解析函数论习题集" 实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字忘了,这本书里面的题目相当多.理图里面有,系资料室有一本英文的. 其它的书我认为可以翻翻的包括 11.张南岳,陈怀惠 "复变函数论选讲" 这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.从内容上来看,第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"(这部分内容在6.里面也有),然后去看 12.J.-P. Serre(塞尔) "A course of Arithmetics"(数论教程) 第二部分的十来页东西就可以理解下述 Dirichlet定理的证明了:"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"Serre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称. 国内的复变教材还有北大庄圻泰的复变函数,不记得是不是和张南岳合 写的。应该是不错的，习题较多。 科大严镇军也有一本复变函数也不错。 在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,理图里面还有 13.庄圻泰,何育瓒等 "复变函数论(专题?)选讲" 差不多的题目应该有两本,一本肯定理图里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一本记忆中就觉得太专门了点.除此之外,讲单复变的还有两本书,不过可能第一遍学的时候不是很适合看. 14.W.Rudin "Real and Complex Analysis" 必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候再谈吧! 15.L.Hormander "An Introduction to Complex Analysis in Several Variables" 这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些奇异积分. 16.Titchmarch "函数论" 这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要影响的先驱,等说实变的时候再谈吧! 17.戈鲁辛 "复变函数几何理论" 这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.总书库里面应该有,标题可能略有出入. 最后讲一本书,不知道复旦有没有: 17. R.Remmert "Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics) Remmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的来龙去脉交代的异常清楚. 注：12.的作者J.-P. Serre成为第五位既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor) 另注：单复变,北大原来的那本课本(庄圻泰老先生编的)其实非常好,我没有列上去的原因是此书早已绝版,在北大94级念的时候就只能是一个寝室分一本了.方企勤的书没有仔细翻过,不敢妄加评论. 1.5 《关于自学数学》 现代数学的一大特色即是已经完全建立了一套自己的表达方式.没有一个学科象数学这样创造了这么多的概念. 现代数学的传播的一大困难也在与此,要向一个非本行(哪怕是数学里另外一个分支的专家)解释清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌.但在另外一方面数学是如此有用,而且数学的抽象性使得一个数学观点往往可以表征其它学科的许多看似毫无关系的对象.所以现代数学还是挺值得一学的.自学不是一件容易的事情,特别是自学数学.从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系的课程的话.我的建议还是跟班听课,这比自己找书看要省力的多.在可以考虑的书籍方面,以前上海科技出版社出过一套1."大学数学自学丛书"应当说编得是不错的.至于具体该怎么学,这里我不敢多说,建议参考2.赵慈庚,朱鼎勋"大学数学自学指南"赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书.关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明. 好象是高等教育出的. 1.6 《实变函数论与泛函分析》 这是数学系的学生学到的第一门完全属于二十世纪的课程.这门课程的重要性是不言而谕的.对于这门课程在中国的发展,许多和复旦有密切关系的前辈都做出过重要贡献.在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在 1."中国现代数学家传"(第二卷) 里面做了一篇传记,不可不读.陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是 2.陈建功"实函数论" 今天看来,这里面的内容是相当古典的,但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的. 陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,龚升,李训经...前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大图书馆的(见内页题字) 现在用的课本是 3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌 "实变函数论与泛函分析"第二版,上,下册 这是,在我看来,复旦为中国的数学事业贡献的最重要的课本.从1978年第一版出版开始,这就是中国最标准的实变与泛函课本.受益与此书的学生不可计数.夏先生是陈先生五十年代初的研究生.当年陈先生开实分析课的时候夏先生 做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的要求差不多,不是吗?*_^)夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅在在苏联的两年间做出了相当好的工作,而且回国后在复旦建立了一个相当强的泛函研究小组.具体可以看4.杨乐,李忠编"中国数学会六十年"里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年的学术地位!夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的是这三样.我们一章一章来看:第一章"集和直线上的点集"这是很美妙的东西,数学系的学生从这里开始严肃地接受关于无限的教育.具体的问题是教师一般都要在这一章上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的 东西学生以前根本没有接触过.我想今后可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章的内容,象实数理论和极限论,等价关系,直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书也能看到这些内容.大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,在 5.E.Hewitt, K.Stromberg"Real and Abstract Analysis"(GTM 25) 里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice does not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is needed most urgently".这是很有道理的.这个方向上扩展出去可以看 6.那汤松 "实变函数论" 在下册里面还有关于超限归纳法的描述.这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.徐先生不幸于文革中自杀身亡. 另外,对于很多具体的点集的例子,有许多书可以参考,比如 7.汪林 "实分析中的反例" 这是本非常非常好的书,在以后的几章里面我们也都要引用这本书.作者是程民德先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是一本讲例子的书!理图里有. 和一些习题集和解答,比如 8."实变函数论习题解答" 这是那汤松的书的习题解答.质量一般,不过好歹是本习题解答吧. 9."实变函数论的定理与习题" 记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.里面有详细的解答,质量相当高.第二章"测度"这是这本书上册的核心. 测度在这里的讲法,从环上的测度讲到测度的扩展,基本上属于 10.P.R.Halmos"Measure Theory"(GTM 18) (中译本:测度论)的框架里面.这本书实在不敢评论,自己看吧!这本书里面还有一些精选的习题,有胆子和时间的话值得一做. 集环的理论一本相当有趣的书可以看看,就是 11.J.Oxtoby Measure and Category(GTM2) 这里的"category"不是指代数里面的范畴,而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西. 现在可以来谈谈 12.周民强 "实变函数"(第二版) 这本书写得不错,总的说来最大的好处恐怕就是习题很多,而且都是能做的习题--复旦的课本里面的习题初学好象是难了点,特别是在没有答案的情况下:) 还有一本很好的书,可惜至今只打过几个照面,但是可以肯定的是绝对是好书: 13.程民德,邓东皋 "实分析" 我见过这书里面的一个测度的题目: span style="display: inline-block; position: relative;" id="MathJax-Element-1-Frame" class="MathJax" role="presentation" tabIndex="0" data-mathml='m#x2217;(E1capE2)+m#x2217;(E1cupE2)leqm#x2217;(E1)+m#x2217;(E2)' m ∗ ( E 1 c a p E 2 ) + m ∗ ( E 1 c u p E 2 ) l e q m ∗ ( E 1 ) + m ∗ ( E 2 ) m∗(E1capE2)+m∗(E1cupE2)leqm∗(E1)+m∗(E2) , 还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S的差别还是有用的.第三章 这就是真正的实分析了.这里面应该说每一节都是重要的. 在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑下面的: 14.I.E. Segal, R.A. Kunze "Integrals and Operators" 和 15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin"函数论与泛函分析初步" 这些作者应该说都是相当好的数学家了.比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的. 最后问个小问题:"L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间"这句话对吗?在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能 先建立积分理论再导出测度的.比如下面将要讲到的 16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙 "泛函分析第二教程" 里面就有一些这方面的内容. 此外还有象 17.夏道行,严绍宗 "实变函数与泛函分析概要(?)" (上海科技出的那套教材里面的一本, 理图里面有)好象就是按照先积分 再测度的办法讲的. 另外用这一体系的书好象还有 18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy "泛函分析讲义"(Lecons d\'analyse fonctionnelle) 这也是不错的书. 对测度感兴趣的话,还可以看一些动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony). 第四章从这里开始算泛函分析的课了.不过这一章是不是一定要以这样的篇幅在这里讲值得讨论.其实很多度量空间的概念在数学分析课里面就可以解决掉,在这里应该只要强调有限维和无限维的差别就可以了.上面的许多参考书在这里一样可以用,还应该加上的是: 19.汪林"泛函分析中的反例" 第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,整个泛函的体系都可以建立在上面,理图里面有一本 20.夏道行,杨亚立 "拓扑线性空间" 不过那书基本上是第二作者写的,所以建议有兴趣的化还是看下面几本 21.N.Bourbaki "Topological Vector Space"Chpt. 1-5 布尔巴基写书是一章一章出的,这书能一次就包含五章,实属罕见.而且估计今后也不会有后续的内容了. GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的: 22.H.H.Schaefer Topological (GTM3) 23.J.L. Kelley, I.. Namioka (GTM36) 16.里面有一章也是讲这东西的.其它许多以"泛函分析"为标题的书也是以此为出发点的,比如 24.S.K. Berberian "lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15) Berberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本. 25.W. Rudin "Functional Analysis" 这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的. 26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov "Functional Analysis" (英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多)不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,中译本的质量也很不错. 27..J.B. Conway "A Course in Functional Analysis"(GTM96) 第五章这一章讲述Banach空间上的有界线性算子理论.这一内容的框架性著作毫无疑问是 28.Dunford,Schwarz "Linear Operators"I 这书在系资料室运气好的话能找到一到两本.注意有一些结论是可以把Banach空间减弱为Frechet空间的,不过好象据说实际应用中除了广义函数空间是个Frechet空间以外其它用得并不多.前面列的各中标题是泛函分析的书这里都可以用. 汪林的书19.里面有许多有趣的例子. 不自反的空间的例子在系资料室可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上. 再补充一下前面漏掉的一本书: 29.W.Rudin "Real and Complex Ananlysis" 在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法在复变中的应用.这书现在已经有第三版了,老的版本总书库里面有很多. 第六章Hilbert空间由于其上存在一个内积,可以发展的性质比Banach空间要多得多.从空间本身来讲,线性代数学好点对 本章前面几节有很大帮助,学的过程中密切注视维数无限导致的各种反例就是了.算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些 有限维的性质是可以推广到无限维的对整个体系的理解很有用.本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,如果第四章能省下的点时间的话还是能够讲一些算子谱理论的. 这里可以做的习题非常多,特别是 30.P.R. Halmos (GTM19) 算得上一本杰作."The only way to learn mathematics is to do mathematics"就出自这里.再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)在16.里面有一章讲些基本概念.这一块的文献也是浩如烟海,因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书, 31.G.K. Pedersen "C*-Algebras and their Automorphism Groups" 这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去. 再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整个算子代数往后来的非交换几何的发展历史,特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理的联系,可以看 32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici "Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes" AMS Notice,v.44(1997),No.7 33.A.Lesniewski "Noncommutative Geometry" AMS Notice,v.44(1997),No.7 还有 34.Irving Segal Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes AMS Bulletin,v.33(1996),No.4 因为 35.Alain Connes(Fields 82) "Noncommutative Geometry" 可以说是这一块的里程碑式的著作,(33.中甚至说今后人们会用今天看Riemann的就职演说的眼光看这本书)所以对于这本书的评论很多也就把整个分支都评论进去了,不妨看看.Jones说这书是"A milestone for mathematics.Connes has created a theory that embraces most aspects of `classical\' mathematics and sets us out on a long and exciting voyage into the world of noncommutative mathematics".做为老前辈,Segal的书评里面有一些批评,也值得注意. 第七章这一章一般不讲,在本科阶段不讲,在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗?主要问题是,就事论事地讨论广义函数 恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架在偏微分理论中的应用.现在的状态就是你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认复旦的偏微是很强的...\\\\sigh 在广义函数的标题下最有名的应该是 36.I.M.Gelfand等"广义函数"(Generalized Functions,I-V) 大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的,英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是第二本最有意思.另外还有两本好书,不光是这一块内容,从整体上讲也是很好的泛函课本 37.K.Yosida(吉田耕作)"Functional Analysis" 他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版去年世界图书刚刚影印. 38.H.Brezis "Analyse Fonctionelle" Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士,非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.如果能念法语的话绝对值得一读. 在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容,特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思. -- 1.7 《抽象代数》 有的地方管这叫"近世代数",反正近不近各人自己看着办吧!从历史上说,可以认为严肃的讨论是从伽罗华开始的,他在决斗前夜写下的那封著名的信件(里面有"你可以公开向Jacobi或者Gauss提出请求,不是就这些结果的正确性, 而是重要性,给出意见....",现藏法国国家图书馆).在后来的发展过程中,代数结构话的语言逐步渗透到数学的各个角落.到今天这已经是一门无处不在的分支了.不止一个老师教导过我们:在复旦,你们受到的分析训练将是很多的(充不充分要看各人的要求了),但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.现行教材是我的本家写的,总的说来作为初学还很可以一读,原因将在下面说明.北大的课本是 1.丁石孙,聂灵沼 "代数学引论" 这本书的特点和北大的那本高等代数一样,就是没什么自己的特色,原因是这本书从体例到习题在很大程度上参考了 2.N.Jacobson "Basic Algebra I,II" 这书在总书库里面有不少,理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.Jacobson在代数领域也属于权威,是华先生同时代的人.这本书从观点上说是相当现代化的,比同作者的那本 3.N. Jacobson "Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32) (中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)要改进不少.有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去比较一下，从习题的角度上说,可以看 4.徐诚浩 "抽象代数--方法导引" 这本书可以说比较适合在复旦学这门课.可以罗列的参考书还有很多,综合性的课本有名气很大的 5.S.Lang "Algebra" Lang写书以清晰著称,他的这本书还得过AMS发的Steel优秀图书奖. 6.莫宗坚 "代数学(上,下)" 北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书推崇倍至,认为比1.写得好. 7.熊全淹 "近世代数" 这本书的好坏不敢评论,不过这本书有个很大的特点,就是作者收集了很多小文章,比如许多American Mathematical Monthly上的短文.依他开列的参考文献到系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.其它的就是比较专门的东西了.比如群论就有影响过无数学者的 6.库洛什 "群论" 注意这本书第二版和第三版中译本的封面一模一样.或者段学复先生的导师Robinson写的 7.Robinson "A course in the theory of Groups"(GTM 80) 再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,不过我是一窍不通的了.还望这里的高手多多指点. 对于Galois理论,有一本 8.E.Artin "伽罗华理论" 非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.还有 9.Edwards "Galois Theory"(GTM 101) 这本书很有趣,它是循着Galois的原始想法写的,因此和一般通行的教本里面的讲法不是很一样. 1.8 《组合基础》 这门课没读过,不过如果现在的课本还是 1.I.Tomescu "组合学引论" 的话,倒还是想说两句的.首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案:)(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,就该知道这些结果不是那么平凡的了)作为补充,可以考虑 2.I.Tomescu "Problem in graph theory and combinatorics(???)" 这本书有比较详细的提示和解答,里面的题目也非常好,高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).不过复旦是不是有我不是最清楚.但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面有很多: 3.Lovasz "Problems in Combinatorics(?)" 这是本相当好的习题集,作者Lovasz是唯一一个得过wolf奖的组合学家.唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大了点,不过千万不要被吓倒!(这里应当声明,已经快五年没好好看过组合书了,所以脑子里面的印象难免有所偏差,还望大家原谅) 有一些书是讲图论的,其中比较好的书大概可以算 4.Bondy,Murty "Graph Theory and Applications(?)" (中译本:图论及其应用,科学出版社,理图里有)这本书内容翔实,写得很容易读,而且有许多难度适当的习题,注意这些习题不仅在书后(好象)有简短的提示,而且在图书馆里面还有一本 5."图论及其应用"习题解答 做得还算不错吧.翻译成中文的书里面,还有上海科技出版的 6.Harary(哈拉里) "Graph Theory"(图论) 这本书里面的习题基本上都是从人家的论文里面直接找来的,所以有相当难度,虽说那里给出了非常详细的文献来源,但是有些还是很不好找的.这本书其实已经有点专著的味道了. 讲到图论,还有象 7.B. Bollobas "Graph Theory"(GTM 63) 这本书世界图书刚刚重印,市面上应该还能见到不少.Bollobas现在是在剑桥吧,国际数学家大会上也是做过(作为参照,改革开放以来,从大陆出去做过45分钟报告的好象才两个人--在国外工作的加上去也不到十个吧) 8.G.Chartrand,L. Lesniak"Graph and Digraphs" 是本好书,浅显易懂.此外还有 9.C. Berger"Graph and Hypergraph" 是这里的框架性著作,至少在外国教材中心里面有一本. 还有一些不讲或不专讲图论的组合书,中文的有 10.李乔"组合数学基础" 我们的这位校友(华宣积老师的同学)文革期间在中科大吃过很多苦头,现在在上海交大.他这本书写得很不错,不过一个小小的遗憾,就是这书的书脊上印的是"组合数学础基". 11.I. Anderson"Combinatorics of Finite Sets" 12.Bollobas"Combinatorics" 这两本书国内影印过,所以我想总书库里面会有.理图里面还能找到一本薄得要死的名著 13.Ryser(赖瑟)"组合数学" 这里面记得有一些讲组合设计的章节还是很简单明了的.至于象 14.魏万迪 "组合论" 这书感觉好象篇幅太大了点,而且你很快就会发现其实这书很不好看.着重算法的书很多就是计算机类的了,比如 15.朱洪等 "算法设计和分析" 16.卢开澄"组合数学--算法与分析" 印象中该书第一版是上下两册,第二版就只剩下一半篇幅了,没有很仔细得比较过前后两版,所以也说不出究竟变了点什么. 组合数学有不少书是可以看着玩的,比如外国教材中心里面有一本书好象叫"Graph theory from Eulerto Konig"(等于就是说讲现代图论的史前史),等等. 如果要求不是很高,那么下面的书可能可以算篇幅不大,内容不深,但多少也讲了些东西的: 17.I. Anderson "A First Course in COmbinatorial Mathematics" 18.C.Berger "组合学原理"(上海科技) 19.C.L.Liu(刘炯朗,现新竹清华大学校长) "组合学引论"这书是魏万迪翻的,就是印刷质量差了点.其它都还好,在北美的评价也不错.此外,最近刚刚看到出了一本 20.Lovasz,et al.(ed.) "Handbook of Combinatorics" 厚厚的两大本,里面有很多人的文章, 算得上是包罗万象了. 组合里面还有一个非常有名的东西--四色定理,关于它就是是不是被证明了争论了很多年,当真是仁者见仁,智者见智.当年的两位主角Appel 和Haken写过本书,就叫 21.Appel ,Haken "Every Planar Map is Four Colorable" 如果你觉得这书块头太大,可以先翻翻他们在 22.Steen(ed.) "mathematics today" (中译本:今日数学,上海科技)里面的一篇通俗的文章,写得非常的好. 最后补充canetti指出的 23.Reinhard Diestel "Graph Theory"(GTM173) 这本书里面讲到了概率方法,这个感觉是一个很有希望的方向,有很多人在做,包括98年得Fields奖的T.Gower(这位是靠 Banach空间理论得奖的,但是他的组合功夫本来就很深,现在好象干脆就转向组合了) 1.9 《数学物理方程》 这是讲偏微分方程的课的名称.顾名思义,就是说这里的方程原则上最早都是从物理里面来的.这个分支里面的东西丰富之至(当然往反面说就是有时候会显得结果比较零散). 现行课本是 1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿"数学物理方程"(上海科技) 这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.注意那些经典方程的推导里面多少有一些近似的过程,这其实从某种意义上反应了所对应的微分算子的某些性质的稳定性.比如,对于经典的波动方程,3维及以上的奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,差不多二阶双曲方程里面只有波动方程有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程 的推导里面是有近似的,这说明什么?一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有存在C^\\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书 2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?), Ｋ文????"数学物理方程"(人民教育?高等教育?) 这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.特别指出这本书的原因是在复旦的课本中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"习题解答的,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了.那本解答对于做作业是很有帮助的. 比较容易找到的书里面, 3.陈恕行,秦铁虎 "数学物理方程--方法导引"是一本非常好的讲习题的书.里面的习题如果能够全部做一遍的话,应付考试是绰绰有余了. 说实在的,偏微分这个领域在过去的几十年里面有翻天覆地的变化,古典的方法和"现代"的泛函的方法有时候的确很难兼顾.我想说起古典的, 4.R. Courant, D. Hilbert"数学物理方法"(I,II) 可以说是毫无疑问的经典.按照洪家兴老师的说法,不管椭圆,双曲,抛物里面的哪一块这本书里面的相应章节都是经典,问题就是这书放在一起你是没办法当教材来学的,所以只能有空翻翻啦.... 经典的教材,大概可以算 5.彼得罗夫斯基"偏微分方程讲义" 这本书从风格上可能和他老人家那本"常微分方程讲义"比较接近.里面的有些内容,象Cauchy-Kovalevskaya定理,在复旦的本科也好象是不讲的.我想讲讲这个人,他其实从三十年代开始就不怎么做东西了,主要的精力一直放在为苏联数学界构造保护伞方面.他最后去世的时候是这个样子的,某天他到莫斯科市委会去开会,跟人家大吵了一架,因为基础科学研究的经费的事情,结果出来的时候在大门口突发心肌梗塞,他的最后一句话是:"我嬴了".有这样的人存在你才可以想象为什么人家的大清洗没有对科技的发展有太大的影响.对于这个问题,建议看看 6.AMS Notice, vol. 44(1997), No.4, p.432 7.AMS Notice, vol. 46(1999), No.10,p.1217 8.O.A. Ladyzhenskaya"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics" 和5.一样,都很经典.当然你要说它们陈旧我也没话可说. 既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,在这个方向上我以为 9.李大潜,秦铁虎"物理学与偏微分方程"(高教) 还是很不错的,上册已经出版,下册也就要付印了.该书的起点并不高,所以应该比较容易看.据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.比如 10.L.Bers, F. John, M. Scheter,"Partial Differential Equations" Bers是个很有趣的人,可以看看 11.L.Steen, ed."今日数学"(Mathematics Today) 里面的文章.附带说一句,这本书是最好的数学普及读物之一,绝对值得一看,中译本的质量也不错. 12.F. John"Partial Differential Equations" 这本书系资料室肯定有. 剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚印,虽说贵了点.不过还是值得一看的. 13.J. Rauch"Partial Differential Equations"(GTM128) 14.M. Taylor"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115) 后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))引G. Lebeau的一句话,这书比 15.L. Hormander"Linear Partial Differential Operators, I" 要好念多了.(当然基本上人人都是这么认为的,只不过这位的来头比较大而已--法国科学院通讯院士,46岁) 1.10 《拓扑学》 我拓扑学得很差(从总体上说),因此这里我也说不出太多东西.大概也就点集拓扑还算过得去,我以为这一方面我们的现行课本: 1.李元熹,张国(木梁) "拓扑学" 的前两章还是不错的.至少该讲的东西都讲了,而且后面罗列(我想不出还有什么更好的形容词)了许多习题,做上一遍是很有趣的一项工作.中文的参考书里面好象 2.熊金城 "点集拓扑讲义" 是比较好的.该书也有些名气. 不过要好好学,可能还是看下面的两本比较经典的书: 3.J.L. Kelley "General Topology"(GTM 27) 此书名头很响,55年出版的时候应该算得上是把这一领域里面的结果做了个很好的总结.该书是想写成课本的, 因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,... 编号.只是....真要做起来未免有些困难.听说过这样一个故事,就是曾有一位 华裔数学家回国讲学的时候于酒席间说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的书,而且要习题全做.结果大家都笑了, 因为大家都明白这目标不是很现实. 我个人的经验是,在那个学期陷入各类考试的重围中之前,还做了前面两三章的题目.是比较困难,但是做起来也非常有趣. 再补充一本中文的书,内容和1.差不多 4.尤承业"基础拓扑学" 是北大的教材. 5.I.M.Singer, J.A.Thorp "Lecture notes on elementary topology and geometry (中译本:(基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)这是本极好的教材,应该可以用深入浅出来形容吧!第一作者Singer就是和Atiyah一起证指标定理的那位,说是重量级人物当无疑义. 如果你只想查结果,我觉得可以去找 6.R.Engelking "General Topology" 这书是七十年代末写的,内容翔实,至少对我来说是有包罗万象的感觉,当然对做这一块的人就不一定了. 按照萧先生的速度,大概第二章还是能讲大半的.这里属于代数拓扑的起始部分,参考书一下子就比前面的多多了. 讲代数拓扑的书,可能 7.Greenberg "Lectures on Algebraic Topology" 属于写得很通俗易懂,配置合理的那一类. 还有象GTM里面的 8.W.S.Massay"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56) 也是写得很好的书. 这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。:)拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为当代数学理论的三大支柱。如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看 《拓扑学奇趣》巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定数量的有启发性的题目。 M.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。 1.11 《微分几何》 几何是非常美妙的,通常人们提到几何的时候会把直观两个字加上去.这其实是很有道理的,在微分几何中也不例外.具体的说,就是虽然微分几何往往会使人感觉被淹没在计算的汪洋大海,但是有一个几何的"感觉"是很有帮助的. 现在用的课本应当是 1.苏步青,胡和生等 "微分几何" 这书写得不错,至少比北大陈维桓的那本"微分几何初步"要好多了.这很大程度上应当感谢本书的主要作者,也就是书上列的第三作者沈纯理先生,他现在在华师大.应当承认这本书,特别是第三章,取材受 2.Do Carmo(多卡模) "曲线和曲面的微分几何学" "Differential Geometry of Curves and Surfaces"这是本绝对的好书,胡先生他们把这本书翻译出来实在是功德无量.在总书库里面有一本英文本,如果怀疑有什么翻译问题的话可以去对照. 1.第三章里面有个习题是从2.的中译本上搬过来的,不过有题意不清之嫌.做的时候要小心. 还有一点要注意的是1.里面曲面论基本定理的证明中有个地方漏印了两项,具体去问黄宣国老师吧. 一般说来,看上面两本书也就够了,可以考虑的扩充部分包括在2.的末尾所开列的参考书目.这是我很少见到的带书评的书目.里面提到的一些经典的著作在数学系资料室都能找到,比如 3.Eisenhart "Diffenrential Geometry(?)" 谷先生读书的时候就念过这本. 还有象 4.Darboux "Lecons sur la theorie generale des surfaces" 在系资料室里偏偏缺最常被引用的第二卷. 古典微分几何的开山之做是 5.Gauss "Disquisitiones generales circa superficies curvas" 这是拉丁文的(Gauss只有晚年最后的一些东西是用德文写的),所以虽然系里有Gauss全集,我也不认为有人能看懂,不过现在我们有下面的 6.P.Dombrowski "150 years after Gauss\' \'Disquisitiones generales circa superficies curvas\' " 这里面有完全的英文翻译和里面的结果到20世纪70年代末的发展情况. 对于中文的课本,其实总数就不是太多.有象 7.吴大任 "微分几何学(?)" 或者五十年代翻译苏联的课本等等,内容都差不多,而且微分几何的特点是各人都喜欢用自己的一套符号,许多符号,象曲率等等,常会有正负号的差异,所以建议认定一两本,其它简单翻翻即可. 所以说想找讲解详细的书还不如看 8.沈纯理,黄宣国 "微分几何"(经济科学出版社,97) 虽然说这本书是自学考试的教材.那里的习题也是有较详细解答的. 更难一些的习题可以在 9.姜国英,黄宣国"微分几何100例" 里面的题目全部做下来的话,应付期末考试绝对是没有问题的.而且,如果老师有心考点难题的话,说不定就会有里面的题目. 此外还有两本苏联人的书 10. A.S. Mishenko, A.T. Fomenko"微分几何与拓扑学教程" (中译本,第一册,第二册)我没有看到过是否有第三册,反正这书是没有翻全.其处理方法别具一格.我想这书要不是非常好的话胡先生也不会去翻它. 忻元龙老师有时候会开一门"极小曲面",这里的特点是甚至可以不引进流形等概念,出现的最难的工具有时候就是单复变的一些结果.这门课的参考书大概首推 11.R.Osserman "Lectures of Minimal Surfaces" 此书篇幅不大,但内容丰富. 其它还有 12.J.C.C.Nitsche"Lectures on Minimal Surfaces"(Vol.1) 这书学校里面肯定有.这里面关于Plateau问题讲得很全,可惜至今我没见到第二册,而原来的德文版又看不懂(上面写的是英译本):-( 注意到微分几何有许多东西并不象大家想象的那样古老,比如第三章里面提到的Fray-Milnor定理,那J.Milnor还好好活着呢?再比如说等温参数,几乎必引的文献就是陈省身先生55年的文章.这些文献,系里的资料室里面都是有的,看原始文献可以让人逐步体会一样东西在它刚刚出现的时候是个什么样子,这和经过无数再处理后写进课本的讲法往往是不一样的. 《微分几何》 苏步青 原著 姜国英 改写 就是那本黄颜色封面的，理图里有借这本书的原版据说晦涩难懂，但即使改写以后，根据潘老师的讲法，看起来也比较费劲。印象比较深的有，书中单独的一节讲了Bertrand曲线，对于等周问题，该书也给出了好几种不同的证法。（最近的几期美国数学月刊里，对于该问题也集中给出了几个比较初等的证明和若干相关命题）另外，该书的一个特色是几乎每道练习题都附有最先证明该命题的人名和时间。使人能够感受到微分几何发展的脉搏。 《微分几何一百例》确实是一本很好的书，这本书很薄，所以可以在两三天里面看完。但是建议在看解答的时候最好先自己想一想，因为书中有些题目的解法并不是最简洁的。 1.12 《微分流形》 现在想来讲两句"微分流形",我想大概给94开的是第一次,当时是作为基础专业的选修课的,我是逃了三分之一的抽象代数课去听的(当然,应该解释为为听这课逃掉了三分之一的抽象代数课,由于其他原因的还不算在内*_^),最后参加考试,因为没选这课,所以就和黄老师商量,如果没有A的话就算了,结果就是我这课没有成绩--那课只有今年要去Stanford的哥们拿了个A.说正经的,微分流形可以认为是"(微分)流形上的微积分与微分几何初步".在目前教材尚未确定的情况下,我们只能来看一下具体的内容了:-((当然我想说还是有本教材的好,这样至少有个明确的目的,不然尽管大家都可以直接把笔记拿来当讲义,但总是有点别扭的,我以为)首先自然是流形的概念,我们自然不能指望从Bourbaki的"流形"开始念,一般来说,在任何一本讲微分几何的书里面都有这一概念的介绍,只不过详略不同而已. 复旦曾经有相当长的一段时间用 1.W.M.Boothby "An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry" 作为微分几何课本,从某种技术性的观点来说这书可能太罗嗦,讲到流形上的向量场就用了100多页的篇幅,但是我觉得初学看这书还是很好的,毕竟讲得相当详细,几乎所以的东西都是有详细证明的.理图总书库里面有不少.讲到流形总是有两种引进方法,一是从一开始就讲一个局部和欧氏空间中的开集同胚的Haussdorf空间....然后再讲微分结构等等. 中文书里面有 2.陈省身,陈维桓 "微分几何初步" 很有大师风范,只是印刷质量不算太好.(至于陈维桓自己写的那本北大教材,我比较倾向于引用北大一位师兄的说法:"陈还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意",所以,还是免了吧) 另外被认为写得比较好的中文书有 3.白正国,沈一兵,水乃翔,郭效英"黎曼几何初步" 这书的特点--要说就在于没有特点,那实在是太过分点了--我认为还是在于很细致,既然不用象Boothby那样在拓扑流形上花时间,进入正题可以说比较快,而且有不少习题,书末更有一个索引,实在是本好书.有胃口的话,还可以看看 4.B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov "Modern Geometry--Methods and Applications" 的第一,二卷(GTM 94, 103,世界图书新印过).该书的作者都是名家,除了对于这门课就事论事来说可能难了点外应该说不出有什么不好.至少可以看看第二卷的第一章.二是从欧氏空间中的子流形开始讲.这样的好处应该说是可以马上看到很多例子,另外毕竟大多数情况下流形只有放在仿射空间或者射影空间里面才有点意思(至少在开始阶段是这样),从这一角度出发写的微分几何课本中有一本 5.Gallot, Hulin, Lafontain"Introduction to Riemannian Geometry"(?) 是Springer-Verlag的Universitext中的一本,应该说写得很好,评价(我听到的)也很不错. 用这种观点(其实用前一种观点也一样,多元函数的反函数定理,隐函数定理都是要明白的. J.Milnor曾经写过两本很有意思的书,里面的讲解都是非常精彩的, 6.J.Milnor Topology from a differential point of view (中译本:从微分观点看拓扑) 7.J.Milnor Morse Theory(中译本:莫尔斯理论) 如果还没给赔光的话理图里面应该都是有一些的.讲到微分形式,自然可以讲流形上的积分,以及Stokes公式等等. 这里有 8.Spivak "Calculus on Manifolds"(?) (中文名字就叫"流形上的微积分")⒎ 流形"可以一看. 有一点,就是大家千万不要只会用Stokes公式,真给你一个流形上的体积元去积一下反而不会,这千万要不得.作为练习,不妨试试复射影空间CP^n上的Fubini-Study形式积出来是多少? 9.V.I.Arnold "Mathematical Mathods of Classical Mechanics" 里面关于微分流形,微分形式等等的介绍也很简单明了. 还可以一看的书有 10.R.Narasimhan "Analysis on Real and Complex Manifolds" (中译本:实流形和复流形上的分析,科学,1986)陆柱家翻译这书是花了功夫的,连印刷错误都一一纠正.我想至少前一百页是可以看的. 11.苏竞存 "流形的拓扑学" 此书块头很大,内容翔实,而且有很多作者加的话,很有意思. 有一本书,可能不入高手法眼,不过我觉得是很不错的, 12.C. von Westenholz"Differential forms in Mthematical Physics" (这书有两个中译本,书名都是数学物理中的微分形式,理图里面至少有一个版本)这是写给念物理的人看的,因此只有条条框框,很多定理都没有证明.但是好处在于:条理是清楚的,例子是丰富的(虽然很多例子没有展开,但是至少开始阶段该有的基本上都有了),而且这书里还能给人一个大概的概念,这些东西学了都可以干什么用(主要是写了一些在理论物理中的应用).对于到考试前还有点不知所云的人(比如说我那时候),应该说帮助不小.至于侯伯元,侯伯宇的那本"物理学家用微分几何",可能是太深了点,非物理学家不能理解. 2 数学参考书目 这份书目是1992年1月做的，按照Pierre Schapira(巴黎13大)写的说明，这份书目是他应Jean-Pierre Lemaire的要求为CIMPA(Centre International des Mathematiques PuresetAppliquees,国际纯粹与应用数学中心，1978年在法国建立的国际组织，主要的"上级单位"是联合国教科文组织和法国科技部，法国教育部)做的。本来1985年的时候Jean Dieudonne为IMU/CDE(国际数学联盟/发展与交流委员会-Comission on Development and Exchange)做的书单，1986年CIMPA又找了一些其他人做了份书目，目前的这个主要是一个更新的版本(他们后来又没有重新做过我不清楚)。 (CIMPA主要是组织一些在发展中国家的会议，讲习班等等。在各个国家都有相应的委员会。中国的负责人原来是吴文俊先生，现在是李大潜先生。本月(2002年11月)18日即将在系里举行的关于Ginzburg-Landau方程的讲习班就是在CIMPA的框架下举行的) 这份书目在每一个所划定的数学分支中，由Schapira向下列名单中的人物提出要求，最后综合大家的意见，最后在每个分支给出一二十本法语或者英语的"基本的"参考书，水平基本上以本科高年级为起点。不同"分支"之间可能有重叠。特别注明，说这份书目的起草没有参考前面两份。 那张被咨询者的名单是很有意思的。我稍微做一点注： J.-P.Aubin, Paris IX A.Beauville,Nice M.Berger,IHES,通讯院士 D.Bertrand，Paris VI L.Birge,Paris VI J.-B.Bost,Paris XI L.Breen, Paris XIII A.Chenciner,Paris VII P.Ciarlet,目前在香港，院士，中法数学研究所前法方所长 A.Connes,College de France, IHES,院士，1982(3)年Fields A.Debiard, Paris XIII P.Dehuevels,Paris VI,院士 J.-P.Demailly,Grenoble,通讯院士 J.-M.Fontaine,Paris XI,院士 C.Goldstein,Paris XI P.Gerard, Paris XI C.Houzel,Paris XI G.Henniard,Paris XI L.Illusie,Paris XI J.-P.Kahane,Pairs XI,院士 G.Lebeau，Nice,通讯院士 J.-L.Loday，Strasbourg A.Marin,ENS Lyon M.Mignotte,Strasbourg J.Mouline Ollagner,Paris XII J.Neveu,Ecole Polytechnique F.Nier,Rennes G.Pisier, Paris VITAMU,院士 M.Rais,Poitiers D.Revuz,Paris VII G.Sabbagh,Paris VII Laurent Schwartz, Ecole POlytechnique(当时已退休)，院士，1950年Fields,2002.7.4去世 Lionel Schwartz,Paris XIII J.-P.Serre,College de France,院士，1954年Fields J.Stern,Paris VII S.Sorin,Paris X B.Teissier,ENS Paris 2.2 1.逻辑 Barwise J. Handbook of Mathematical Logic, Studies in logic and the foundation of mathematics n°90, North Holland, 1977 这本书过时了，但还有一些参考价值，里面给出了当时一些分支发展的概况。 Barwise J. Admissible sets and structures--an approach to definability theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag, 1975 这绝对是本好书，有人说任何学数理逻辑的人都必须看这本书。 Barwise J., Feferman S. Model-theoretic logics, Perspectives in Mathematical Logic, 1985 想起来了，这本书狂厚，是抽象模型轮的一部大百科全书。做教材是绝对不适合的，呵呵。 Chang C.C., Keisler H.J. Model Theory, North Holland, 1973 模型论的最经典的教材，现在看虽然有些过时，但仍然是一本非常好的入门读物.最近的一版是1990年的， Chang C.C.是华人，当时的模型论大牛之一，现在据说搞神学去了，呵呵。 Ebbinghaus H.D., Flim J., Thomas W. Mathematical Logic, Unergraduate texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1984 没看过 Girard J.Y., Lafont Y., Taylor P. Proofs and types, Cambridge Tracts in Theoretical Computor Science n°7, Cambridge Univ. Press, 1989 还是没看过，//shy Godel K. Collected Works, Vol.I:1986, Vol.II:1990, Oxford Uni Press 有影印本，不过那时的符号体系太难看了。 Jech T.J. Set Theory, Pure and Applied Mathematics, Academic Press, 1978 集合论中最经典的入门读物，98年出了修订版。作者是匈牙利人，后来因为布拉格之春逃了出来。先后在普林斯顿，PSU任教。现已退休，回到匈牙利，正在重写这本书。现在中国集合论界的第一高手就是他的弟子，呵呵。这本书的一大特点就是全，几乎囊括了集合论的各个分支。据说现在要去Berkeley都Ph.D.首先得把这本书看完。 Hinuley J.R., Sedlin J.-P. Introduction to Combinatorics and \\lambda-calculus, London Math.Soc., Students texts 1, 1986 Krivine J.-L. Lambda Calcul, types et mod\\`eles, Masson Paris, 1990 不好意思，这两本都没看过。 Kunen K. Set Theory, North Holland, 1980 当年美国数理逻辑研究生的必修教材。绝对是一本好书。相比较于Jech的书，这本书集中于组合与描述集合论。对Forcing讲得非常透彻。如果想学集合论，强烈推荐这本书。 Minsky M. Computation: finite and infinite machines, Prentice Hall Series in Automatic Computation, Prentice Hall, 1967 没看过。 Moschovakis Y.N. Descriptive set theory, Studies in logic and the Foundations of Mathematics n°100, North Holland, 1980 描述集合论的经典教材，作者是波兰人，UCLA学派的领袖人物。对于经典描述集合论讲得非常精彩，而且只需要很少的预备知识。 Robinson J.A. Logic: form. and function, The mechanization of deductive reasoning, University Press of Edinburgh, 1979 没看过：（ Rogers H.Jr Theory of recursive functions and effective computability, McGraw Hill, 1967 递归论（现在成为可计算性理论）的最经典教材，现在虽然过时了，但是看一看它还是很有收获的，作者把递归论的来龙去脉讲得非常清除，很精彩的一本书。 Schutte K. Proof Theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften n°225, Springer-Verlag, 1977 证明论中一本比较经典的教材. Soarse R.I. Recursively enumerable sets and degrees, Springer-Verlag, 1987 现代递归论的必读教材，看完了它，就可以开始写论文了，呵呵。作者是现代递归论的领袖人物（可偶以为他更多的是个学霸，呵呵）。 Stern J. Fonements Math\\\'ematiques de l\'informatique, McGraw Hill, 1990 （这是什么书？） Van Heijenoort J. From Frege to Godel, a source book in mathematical logic, 1879-1931, Harvard Univ. Press, Cambridge, MA,1967 一本数学史，我觉得在数理逻辑的研究生阶段以前你可以不懂命题演算，谓词演算，但必须知道数理逻辑史，呵呵。 偶个人推荐一些: Shoenfield Mathematical logic. 这本书不好看，但你如果把里面的习题做完了，你差不多就入门了，呵呵。 Devlin Inner Model 集合论的另一个分支内模型的必读教材。 Kechris Classical Descriptive Set theory， GTM No.? 真如作者在书中说的，这不是一本入门读物，而是一本演讲的合集。可以和Moschovakis的书互补，方法更加现代一些。 Akihiro Kanamori The higher infinite 关于大基数的写得最好的一本书。 Odiferddi Classical Recursion Theory I,II 一本unreadable的递归论百科式的参考书，可以当字典来看。 Sacks The degrees of Unsolvability. Annals of Math Studies 1966 作者是递归论领域的大师级人物，当年的递归论领袖。即使这本书的年代如此遥远，但是仍然有如此多的宝藏可以开发。。。。 Hodges Model Theory 现代模型论教材，它正在取代C.C. Chang 和 Keisley的那本书。 Takeuti Proof Theory 证明论教材，可以跟前面那本互补，作者是个日本人。 2.3 组合，形式计算 Berger C. Graphes et Hypergraphes, Dunod, Paris-Bruxelles-Montr\\\'eral, 1973 (有英译本， Graphs and Hypergraphs) Comtet L. Analyse Combinatoires, 2 tomes, "Le Math\\\'ematiciens" n°4 et 5, PUF Paris 1970 Davenport J., Siret Y.,Tournier E. Calcul Formel, Syst\\`eme et algorithmes de manipulations alg\\\'ebriques, Masson, Paris 1987 Macdonald I.G. Symmetric functions and hall polynomials, Clarendon Press, 1979 Graham R.L., Knuth D.E., Patashnik O. Concrete Mathematics, a foundation for computer science, dedicated to L.Euler(1701-1783), Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA,1989 Knuth D.E. The Art of Computer Programming, Vol. 1,2,3, Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA,1981 Lothaire M. Combinatorics on Words, Encyclopedia of Mathematics and its applications n°17, Advanced book Program Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA,1983 (这套书的主编是Gian Caro-Rota, 有影印本) Mignotte M. Math\\\'ematiques pour le calcul formel, PUF,1989 (原注，Springer将出英文版) Sedgewick R. Algorithms, Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA,1988 Tutte W.T. Graph Theory, Encyclopedia of Mathematics and its applications n°21, Advanced book Program Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park CA,1983 2.4 数论 Baker A. Transcendental number theory, Cambridge UP, 1975 Bombeiri E. Le grand cilbe dans la th\\\'eorie analytique des nombres, Asterique 17, S.M.F., Paris, 1974 Borel A., Casselman W. Automorphic forms, representations and L-functions, Proc. of Symp. in Pure Maths, vol. XXXIII, 1 and 2, AMS, Providence, 1979 Borevic Z.I., Shafarevich I.R. Th\\\'eorie des nombres, Gauthier-Villars, 1967 (英文本:Number theory / Borevich, Zenon Ivanovich ; Shafarevich, Igor\' Rostislavovich ;(Pure and applied mathematics ; 20) Academic Press, New York NY London , 1966.) Bosch S.,Luetkebohmert W., Raynaud M. N\\\'eron Models, Ergebnisse des Mathematik und ihrer Grenzgbiete n°21, Springer-Verlag, 1990 Cassels J.W.S. Introduction to the Geometry of Numbers, Springer-Verlag,1959 Cassels J.W.S, Fr\\"ohlich A. Algebraic number theory, Sussex, Brighton, September 1-17, 1965, Academic Press, 1967 Cornell G., Silverman J. Arithmetic Geometry, Conference, Storrs, July 30-August 10, 1984, Spri Baker A. Transcendental number theory, Cambridge UP, 1975 Bombeiri E. Le grand cilbe dans la th\\\'eorie analytique des nombres, Asterique 17, S.M.F., Paris, 1974 Borel A., Casselman W. Automorphic forms, representations and L-functions, Proc. of Symp. in Pure Maths, vol. XXXIII, 1 and 2, AMS, Providence, 1979 Borevic Z.I., Shafarevich I.R. Th\\\'eorie des nombres, Gauthier-Villars, 1967 (英文本:Number theory / Borevich, Zenon Ivanovich ; Shafarevich, Igor\' Rostislavovich ;(Pure and applied mathematics ; 20) Academic Press, New York NY London , 1966.) Bosch S.,Luetkebohmert W., Raynaud M. N\\\'eron Models, Ergebnisse des Mathematik und ihrer Grenzgbiete n°21, Springer-Verlag, 1990 Cassels J.W.S. Introduction to the Geometry of Numbers, Springer-Verlag,1959 Cassels J.W.S, Fr\\"ohlich A. Algebraic number theory, Sussex, Brighton, September 1-17, 1965, Academic Press, 1967 Cornell G., Silverman J. Arithmetic Geometry, Conference, Storrs, July 30-August 10, 1984, Springer-Verlag, 1986 Hardy G.H., Wright E.M. An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Univ. Press, 1938-1984 Lang S. Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, 1970 (Springer-Verlag的GTM110应该就是这本书) Lang S. Cyclotomic Fields I et II, Graduate Texts in Mathematics n°121,Springer-verlag, 1990 (注:Cyclotomic fields ,GTM59,1978;Cyclotomic fields II,GTM69, 1980) Lang S. Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer-Verlag, 1983 Serre J.-P. Corps Locaux, Actualit\\\'es Scientifiques n°1296,Hermann, 1968 (注:英文版Local fields, GTM67, Springer-Verlag,1979) Serre J.-P. Cours d\'Arithm\\\'etique, Collection SUP, PUF, 1970 (注:英文版A Course in arithmetic, GTM 7,Springer-Verlag, 1973;中文版 数论教程，冯克勤译，上海科技出版社) Serre J.-P. Oeuvres Compl\\`etes, Vol.1,2,3, Springer-Verlag, 1986 (注:98年出了第四卷) Shimura G. Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publications of the Mathematical Society of Japan n°11, Princeton UP, 1971 Silverman J. The arithmetic of elliptic curves, GTM 106, Springer-Verlag, 1986 Weil A. Oeuvres Compl\\`etes, Vol.1,2,3, Springer-Verlag, 1980 2.5 代数，同调代数，范畴，层 Anderson, Fuller Rings and Categories of Modules, GTM 13, Springer-Verlag, 1973 Atiyah M., Macdonald I.G. Introduction to commutative algebra, Addison Wesley Series in Mathematics vol.361, Addison-Wesley, Reading MA, 1969 Bourbaki N. Alg\\`ebre commutative, ch.1 \\`a 9,Masson, Paris 1983,1985 Cartan H., Eilenberg S. Homological Algebra, Princeton Mathematical Series Vol.19, Princeton UP, 1956 Gabriel P., Zisman M. Calculus of fraction and homotopy theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrergrenzgebiete Vol.35, Springer-Verlag, 1967 Gelfand S., Manin Y. Methods of homological algebra, Springer-Verlag, 1992 Godement R. 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Algebraic K-theory, Mathematics Lecture Notes Series,Benjamin, 1968 Bass H. -"Classical" algebraic K-theory and connection with arithmetic, Seattle Research Sept. 1972, LNM 342,Springer-Verlag, 1972 -Hermitian K-theory and geometric applications, LNM 343. Springer-Verlag, 1973 -Higher K-theories, LNM 341, Springer-Verlag, 1973 Blackadar B. K-theory for operator algebras, Mathematical Sciences Research Institute Publications vol.5, Springer-Verlag,1986(此书已经出了第二版，不过变动不是很大) Dixmier J. Les alg\\`ebres d\'op\\\'erateurs dans l\'espace Hilbertien(alg\\`ebres de von Neumann), Cahiers Scientifiques n°25,Gauthier-Villars,1969(这是第二版) (英译本 Von Neumann Algebras,国内曾经影印过) Dixmier J. Les C^*-alg\\`ebres et leurs repr\\\'esentations, Cahiers Scientifiques n°29， Gauthier-Villars, 1964 (英译本 C^*-algebras Algebras,国内曾经影印过) Kadison R., Ringerose J. Fundamentals of the theory of operator algebras, vol.1-2,Academic Press, 1983-1986 (这书国内也影印过。后来又第III,IV卷，分别是前两卷的习题) Karoubi M. 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Les math\\\'ematiques arabes, Vrin, 1976 3 物理学书单 【 以下文字转载自 Physics 讨论区 原文由 pergo 所发表 】 出国有三种书是必带的： 1.课本。不同学校不同教授用的课本不一样。一般说来，就算教授指定的课本很烂，你也得买，因为作业和考试都要用。建议大家提前上网查一查是哪个教授上课，用的什么课本，或者给在美国的师哥师姐发信咨询。这样做可以省很多钱，因为在美国买书都是"bloodly expensive"。 2.参考书。因为大家所学专业不同，用到的参考书当然也不同。尤其是最后做论文的时 候，一般都限制在一个很窄的范围里，用的都是极专的书。我这里只能列出一些最普通 的参考书，就是大家一定会用到的四大力学、数理方法等方面的相应书目。大家只要念 物理，这些研究生基本课程都要上的。至于以后可能会用到的专著，就不是我所能了解 的了。 某一门课的好书可能有很多，大家可以多带自己学校教授写的书，因为这些书派上用场的可能性比较大。比如多体方面的书很多，因为我去Stanford，我就要带Fetter的，而别人就可以带NegeleOrland。又比如概率统计方面我带的是Parzen的ModernProbability Theory and Its Applications。这本书列入Wiley\'s Classic，但也不能就说它是这方面最好的书，因为概率统计的好书实在是太多了。我选它主要是因为Parzen是Stanford的教授。当然这个原则也不是绝对的。比如UT Austin的统计物理如果是Linda Reichl上，就用她自己的书，而如果是别的教授上就不用这本书。所以我说如果可能，还是要先了解一下。 3.手册。主要是数学手册，一定要带！国内好的手册很少，随便找一本比较有规模的就行了，因为再怎么挑也就是那个档次。最好是英文的。 下面我将列出一些我所知道的比较好的参考书，并简略介绍它们的内容、风格、特点、体积、购买方法。因为大家受条件所限不能带很多书走，所以我每门课只介绍两三本，贵精不贵多。仅供参考。如果大家已经完全确定了自己以后的专业，那么还要选我这个书单以外的书，比如搞光电的可以带Yariv的Optical Electronics，搞激光的可以带Svelto的Principles of Lasers，等等 3.1 量子力学 1. Cohen-Tannoudji的Quantum Mechanics 推荐级：*** 这书是我最喜欢的量子力学入门书，通俗易懂，态度诚恳。以前做过一点介绍。不过作为研究生教科书偏容易（比如角动量的群论方法没有，Dirac方程没有），而且太厚了！两卷摞起来够带四本Landau了。不知道哪里有卖的:( 我的是从老妈手里继承的。 2. Landau的Quantum Mechanics 推荐级：***** 不是因为我对Landau个人崇拜，实在是他这几卷书都写得太好。比如这本Quantum Mechanics，多少年来都是圣经级的。89年有个哥们发现书里一个错，居然就以此为题在j.chem.phys上发了篇论文（题目叫spin statistics - an error in Landau and Lifshitz QM），可见该书地位。书里要什么有什么，但是数学基础比较差的看起来会比较费劲--比如，你知道Airy函数是什么方程的解吗？你知道合流超几何函数的积分表示吗？反正我看这书的时候，总要不停地翻后面的数学附录，深感数学功底之薄弱。中等厚度。 3. Sakurai的Advanced Quantum Mechanics 推荐级：**** 美国最为流行的高量教科书。Sakurai是个日本人，死得很早（七十年代？）。这书脉络清晰，讲解自然，但是有一个致命的弱点：度规用"错"了，协变逆变张量不区分，所以书中出现很多虚数单位i。不过从另一个角度看，这书在这么不利的条件下还能这么受欢迎，可见确有其独到之处。不知道哪里有卖。我的是从图书馆复印的，图书馆有一本原版。两百多页。 J.J Sakurai的Modern Quantum Mechanics 嗯.这本书给人的感觉是非常清楚,许多非常简明的推导,是Sakurai所特有的. 另外,一些最基本的物理量量比如动量和角动量,是从对称性的角度来引入的, 给人以非常之美的感觉.整本书渗透着群论的精神.以前学过一些很抽象的群论, 但一直不知道这东西究竟怎么用,直到读了Sakurai的这本书.甚至觉得,这本书 可作群论应用的入门教材. 量子力学的书太多了，几乎每个学校都有自己教授写的，而且都差不太多，比如Cornell的Liboff、UT Austin的A. Bohm等等。大家要自己事先打听。 3.2 理论力学 1. Landau的Mechanics 推荐级：***** 我以前写过一篇文章介绍这本书，不再重复。内容精炼紧凑，表述严谨，推导简洁，观点比较深刻。一大好处是只有169页，很薄，不占地方。 2. Goldstein的Classical Mechanics 推荐级：**** 这是我看的第一本英文理论物理书。老实说我并不觉得它写得很好，有拼凑的痕迹，不如Landau的书简洁明快。吴大猷先生曾经著文批评该书写Hamilton原理变分形式时，因为抄袭别人而现一大眼。还说它在某处引用Dirac的一篇论文，而Dirac的那篇论文和书中讨论的问题根本风马牛不相及，"有点装点门面，不太诚实！"我就看出过那本书里讲进动的时候有一个地方不大对头。不过该书内容确实很全，而且在美国一向极受推崇，很多地方都拿它当研究生教材，是标准参考书，一定要带的。中等厚度（以后我说"中等厚度"，就是指400-600页，大概相当于曾谨言《量子力学》第三版上册或下册的厚度）。原来系里的理论物理教研室卖过，不知道现在还有没有。理论物理所新近重印，有卖。 3.3 电动力学 1. Jackson的Classical Electrodynamics 推荐级：***** Jackson是Berkeley的老教授，非常能活，估计没有九十也有八十大几了。这书最大的特点是数学繁复无比，而且习题狂难，充满了各种特殊函数的演算，正常人绝对无法做出一半以上。Hawking年轻时一度能做出书中全部习题，传为佳话。关于此书一向有两派观点：一派认为它包罗万象，堪称此领域百科全书，而且数学方面陈述严谨，不愧为理论物理典范；另一派认为它过于强调数学形式，不够突出物理内容，比如Stanford的Laughlin就公然骂它为"bullshit"。Jackson喜欢讨论数学细节已到变态程度，比如静电场就开了两章，教你解各种百年不遇的边条件。无论如何，在美国念物理研究生，此书必备。98年刚出了第三版。理论物理所动作很快，马上盗版，现有售。第三版比第二版的改动主要在于增加了一些习题（估计更不让人活了），删去了一些关于等离子体的内容，所以不是想搞等离子体的买这一版是最好的。本来是很厚的，盗版后变成中等厚度了，看时需配放大镜一只。 2. Jackson的Classical Electrodynamics超难习题解答 推荐级：********** 我从网上down的，ps格式，哪天传到ftp上。凡是不想陈尸美国的，自己down了去打印。 3. Landau的Classical Electrodynmaics of Continuous Media 推荐级：**** 有不少Jackson书里没有讨论到的方法。虽然没有Jackson数学味那么重，不过也够可以 的了。中等厚度。 3.4 固体物理 1. Ashcroft Mermin的Solid State Physics 推荐度：***** 固体物理不像四大力学，内容比较庞杂，各部分相对独立，没有固定的讲授顺序，而且所需准备较多，是公认难讲的课程。Ashcroft是美国比较流行的课本。说这书好，就因为它态度诚恳，不欺骗读者。它基本按照历史发展顺序组织材料，分析问题细致入微，对现阶段不清楚的问题，绝不一带而过。比如讲电子在电磁场中运动的半经典模型，书里详细讨论了半经典近似的适用条件，而且承认该模型"还有很多含混不清的地方……之所以能被大家接受，主要是因为结论和实验吻合。"又比如讲声子输运时，对"声子气"近似的成立条件也做了相当的讨论，而这在其他固体物理书中是最喜欢打马虎眼的地方。此书的缺点是有一点嫌老，从1976年第一版以来没有再版过，不过当入门教材还是可以的。去Cornell的azhuazi必备。比较厚（七八百页？），图书馆有一本原版可以复印。没有卖的:( 2. Kittel的Introduction to Solid State Physics 推荐度：** 我实在不知道这本破书怎么能出到第七版！讲解混乱不堪，充满了跳步和不负责任的臆断。Index和实际页码不符，正文中引用公式序号错位，Addison-Wiley的编辑也不过如此！因为每一版都是在前一版的基础上扩写的，所以明显能看出剪刀浆糊的痕迹，不成体系。比如第六版从第五版里删掉了弹性体力学的基本介绍，第七版又加回来了，结果因为没地方放，就随便挤在了一章后面，让人莫名其妙。Kittel有一个极恶心的习惯，就是先说了很多事，不做任何说明，然后过了几页，开始解释为什么前面说的有理。还有他喜欢把经典力学和量子力学混用，不由得让我怀疑他自己是否概念清晰。很多习题和正文完全脱节，根本没有训练价值！如果说这书还有一点可取之处的话，那就是书里有很多表格，据说对实验物理学家比较有用。顺便说一下，Kittel还写过一本热学，和Zemansky的书并称为美国最好的两本热学教材。那书确实不错。理论所有卖第七版。中等厚度。因为流行，所以估计很多教授还是会拿它当课本:( 3.5 数理方法 1. Mathews Walker的Mathematical Methods of Physics 推荐度：**** 数理方法的好书很多，没有特别突出的。如果非要矮子里面拔将军，那就是这本Caltech的教材了。典型的美国风格，就是不管严密，只管实用。看完这书保你学到很多怪招。笔墨精简，信息量巨大。有很多其他书里找不到的内容，比如WKB的详细讨论专门有一节。再比如Euler-Maclaurin公式，五六十年代的数理方法大都都讲，新出的书却不怎么讲了，这本书里用算子方法给出了该公式的一个简洁推导。再比如讲积分方程的Neumann级数和Fredholm级数时，用了图形方法，估计作者在Caltech受了Feynman的影响。另外，书中有一章概率统计和一章数值计算，是很好的入门读物。中等厚度。图书馆有第二版的影印本。没有卖。 2. Arfken的Mathematical Methods for Physicists 推荐度：**** 可能是美国现今最流行的数理方法教材（我妈当年在UT就用的这本）。写得中规中矩，确实不错，不过也说不出特别好在哪里。例题习题比较多，选得也比较有启发性。比较实用，适于查阅。中等偏厚。图书馆有原版。没有卖。 3. 王竹溪、郭敦仁的《特殊函数概论》 推荐度：**** 我准备带出去的唯一一本中文书。绝对是世界级的名著，被新加坡翻成英文出版了，当然如果连这书还要看英文的那我就真成卖国贼了。第一章讲函数用无穷级数和无穷乘积展开，第二章讲二阶线性常微分方程，这两章必看。后面各章详细讲各种特殊函数的古怪性质，当手册查，内容极全，绝对不会让你失望！很多函数的变态性质正文里来不及讲，就放在各章之后，美其名曰"习题"。要是你真拿它当习题做，那么嘿嘿。。。根据我的经验，肯定没有好下场。。。连杨振宁先生都说，用的时候只管查《特殊函数概论》，不用管怎么来的。。。要是有谁觉得自己推导能力比杨先生稍胜一筹，不妨一试。:) 搞实验物理的同学不一定要带。全国各大书店有售。北京大学出版社发行部电话62754140。 4. Hassani的Mathematical Physics - A Modern Introduction to Its Foundations 推荐度：**** 98年刚出，所以不会有什么学校拿它当教材，但是确实是我见过的最好的数理方法书。这书我看得很细，准备以后专门撰文热烈推荐。 3.6 统计力学 1. Landau的Statistical Mechanics 推荐级：***** 绝对是我见过的统计力学方面最好的教科书。从Gibbs原理把什么东东都推出来了。有一点不太适合美国国情（体系跟美国的体系不一样），不过还是很受欢迎的参考书。不光统计，学固体的时候也经常要查。内容相当全，很多观点很独特。一般来讲，看每章最开头的几节都有一种耳目一新的感觉。第三版修订过后加进了临界现象、二类相变等内容，更适合现代研究生课程。被评为Landau一套书中最好的一本。中等厚度。 2. 黄克孙(Kerson Huang)的Statistical Mechanics 推荐级：*** 很多人不喜欢这本书，包括我在内。第二版的后半部分因为是在第一版的基础上改写扩充的，所以弄得很凌乱，看起来抓不住重点（e.g.超流部分）。可能因为第一版写得很好，所以在美国常被教授们选用。但是现在又不能买第一版的，因为内容不够了。上amazon看看就知道这书在学生圈里的口碑并不好。清华教材科去年影印过，不知道现在还有没有卖。50块！比较薄。 3.7 一些补充 最后零零碎碎地补充几句。下面说的这些书，我都没有仔细看过，只是看过一些书评， 向大家简单介绍一下，和我以往的放荡文章一样，说错了不负责。 场论推荐Peskin的书和Weinberg的书。理论所都有卖。Peskin的书印刷错误极多，但仍是一本不可多得的好书。网上有该书的详尽勘误表，一定要下载！去年我给Peskin发信挑了几个错，他没理我:(Weinberg的书比较难，当入门不太合适。 相对论、宇宙学的名著有Weinberg、Wald、MisnerWheelerThorne。Weinberg的书俞允强老师介绍过，是Weinberg一贯的发人深省风格。特别要说的是MWT的那本巨著Gravitation，图书馆有影印本，1279页，16开本，抱在怀里包你对gravitation有感性认识。三人是Caltech的名教授，写出来的书生动活泼，充满很多妙趣横生的插图，闲极无聊时可以当漫画看。 搞光学的同学带上BornWolf（此Wolf非PlateauWolf）第六版Principles of Optics。一般书名敢叫Principles什么什么的都巨牛（e.g. Dirac）。半个世纪的光学圣经。 量子力学补充一本Shankar的Principles of Quantum Mechanics。Shankar是Yale的教授，这书在美国也很流行。 4 理论物理 发信人: johnest (saga), 信区: Physics 标 题: 想学理论物理吗 发信站: 北大未名站 (2000年12月30日22:51:19 星期六), 站内信件 （转载） 但凡爱看武侠的人都知道练武功有内功和招式,其实学物理也是大同小异.物理所对应的内功就是数学.想必物理系二年级正在学"电动力学"的小弟弟小妹妹们已经从王那领教了(对了也许上学期王不在,算你们走运).从纯粹物理学的角度讲,一旦建立了MAXWELL方程组,里面的物理就少得可怜了.但是就是为了那么一点点最精粹的物理,我们需要实用大量的数学工具,包括物理系的四门数学基础课:高等数学,复变函数,数理方程和线性代数.这些都是相当基础的课程,重要性自不必说.但是仅仅是这些课程学好了对于物理来讲是不够的.我建议想学物理的人应当学一些更加高等的课程. 高等数学由于教学时间的限制对很多"古典分析"中的基础问题没有涉及.我建议大家看看北大的张筑生写的数学分析新讲.当年我收集过各种版本的"数学分析",比来比去还是张的这套好,内容充实适合自学.当然不要忘了北大的数学分析习题集,虽然此书是给林源渠的数学分析配套的,但是里面的题多而且好,可以补充张的书的习题不足的毛病.我建议大家花一年到一年半的时间好好读读这套书. 复变函数.我建议大家着重于它的应用,也就是要会算.复变函数中有许多定理在数学分析中有对应,并不困难.我建议大家去学复变函数中"古典分析"之外的理论,比如共形映射,作为进一步学习的基础.我推荐北大庄圻泰的复变函数,也许前面的内容和钟玉泉的类似,但是后面就不一样了.这本书我也没看完. 线性代数.我建议大家看看王萼芳和丁石孙的高等代数.这是以前清华高等代数课程的教材.这本书以古典的方法讲授了"古典代数"的全部内容,而且习题丰富,仔细学下来很有好处. 数学物理方程.我建议大家看看希尔伯特和柯朗的数学物理方法.这套书写得很精粹和全面.对于掌握了"古典分析"和"古典代数"的同学,一方面可以以此来复习已经学到的几乎全部内容,另一方面这套书可以说是学物理的人的看家本领,学到此为止可以说是"小成",更重要的是这本书中的许多内容已经涉及现代数学的内容.相比之下 昆淼,郭敦仁和王竹溪的书虽然各有所长,但是境界已经是纯粹应用了.当然如果精通这三位的书中的一本也算"小成". 我看能在短短的四年中有此"小成"已经很不容易,就算以前上五年有此小成的人也不多.往往有许多人还没有"小成"就开始想"大成",结果是一事无成.如果你不想做数学物理,"小成"已经是足够了.关键是学得要扎实,比如你可以不知道许多定理,但是一定要知道所学的脉络,要知道"根",这样才能举一反三. 上面所说的只是内功修为,要学物理还有招式呀. 学物理应当从普通物理入手,这无可争辩.通过普通物理,可以慢慢感受什么是物理,从而真正入门.力学就可以选物理系的教材,那套绿皮的力学与热学的上.热学选力学与热学的下.这套书浅显易懂,内容全面,是初学的好书.电磁学可以选赵凯华的电磁学.这套书很经典,而且内容也很丰富,是学习电动力学的良好前导.光学可以选赵凯华的光学,这本书的部份内容已经超出了普通物理的水平,应当属于中级物理的范畴,而且是光学专业的同学的看家书.至于量子物理,我很难找出满意的书,因为量子现象几乎没有简单而正确的解释,所以普通物理中很难含盖. 至于四大力学,虽然是物理的一个核心,但是我不建议初学物理的人要在四年之内学完它们,因为这四大力学可以说是高深莫测,而且就算勉强学完了也不会精通.对于物理的学士而言,我认为精通经典力学和电动力学之一已经是很不容易的事了.经典力学可以选朗道的经典力学.这本书很薄,但是是朗道一套书中最好的.从朗道对拉氏量的讨论,你可以发现,理论物理完全不是你以前所认为的理论物理.电动力学可以选郭硕鸿的电动力学就可以了,看JACKSON的书需要很好的数学基础,关键是对位势形偏微分方程有相当的了解.至于量子力学和统计力学我认为不以物理为职业的人没有必要学.电动力学学好了学习电子工程类的电磁场理论并不困难;经典力学学好了,学习机械类的振动理论也很轻松.而量子力学和统计力学的物理以外的用处就不大了.所以对于以后并不一定干物理的本科生而言,这种既学不会又"没用"的课,最好还是不学. 学过普通物理,经典力学和电动力学,作为一个本科生已经足够了.如果不打算继续学物理了,那么可以学学其它的东西.你会惊讶的发现,由于你学了足够多的数学,其它学科是那样的容易,而且它们细致和精巧的程度不会超过经典力学和电动力学.如果打算继续学物理,那么就得学习物理学中最困难的量子力学和统计力学了.这两门(实际是一门)学问可以说是高深莫测.就是对于一个内功小成的人而言,它们的数学也是你所不掌握的.实际上,曾经有许多人试图把量子力学变成经典力学和电动力学那样的"形式物理",但是这种努力总是以失败高终.这两门学问的深度远远超过我们今天的数学所能达到的范畴. 量子力学实际上是一种量子理论.它所包含的内容极广,从大学三年级学生学的一维无穷神势井,到超弦可以说都是量子理论.量子力学大致分两个层次,非相对论的量子力学以及量子场论和量子规范场论.对于前者P.A.M DIRAC在1937年写过著名的量子力学的原理.无论如何要从这本书学起.这本书会告诉你,量子力学不仅仅是薛定锷方程,而是一组原理.从原理出发,而不是从具体问题出发,这正是真正的高手的做法.但是DIRAC的书的练习太少,不妨参考曾谨言的量子力学I,II和量子力学习题集.曾先生过于强调量子力学的丰富内容,而忽视了量子力学首先是一组基本原理,这是曾先生书的不足.但是通过看DIRAC的书"顿悟"也好还是看曾先生的书"渐悟"也好,最终是殊途同归.但是我以为还是要先看曾先生的书,多做习题为妙.不然如果悟性不够那么光看DIRAC的书,你一点收获都得不到,而先看曾先生的书至少可以照猫画虎打打基础,等到表面上的东西学得差不多了,再看DIRAC的书才会有"顿悟"之感.但是你要明白,你所学的量子力学从数学角度讲是"形式的"和"未经证明的",并不可以和经典力学和电动力学相提并论.实际上,很少有学物理的人关心这个问题,但是有一本Quantum Physics对此详细地进行了讨论.此书虽然叫Quantum Physics但是里面的内容是量子力学的数学基础.但是里面的许多概念是是现代数学的内容,看起来很艰难. 量子场论的数学基础并不完善,但是作为一种"形式"理论近几年的物理学中用得越来越多.搞物理,尤其是理论的人,应当学学.经典的教材是卢里的粒子与场.这本书从DIRAC方程起手,容易为初学者接受,而且此书写得比较早,有许多现在流行的量子场论的书中没有的内容.这可以使初学者体会到,我们是在某种原理下进行尝试和探索,许多东西并不是天经地义的.量子规范场论在学李群和李代数之前,是不能学的. 学到量子场论为止,那么也算是学理论物理有了"根".接下来的事情就要看你的兴趣了. 如果对凝聚态理论感兴趣,你可以学统计力学.这方面的书以朗道的书为上.朗道在这方面可是得过诺贝尔奖.朗道在两册统计力学中,以俄国人惯有的繁琐(他的经典力学是例外)将统计物理的原理和方法讲得清清楚楚.当然朗道讲的不全,你可以参考雷克老太太的现代统计物理教程.这书几乎含盖了统计物理的所有内容,但是言之不详,好在有参考文献.学凝聚态不能不学固体物理,我选的是黄昆的固体物理,这本书很好理解.当年黄老爷子在文化大革命时还说"学(我的)固体物理不用学量子力学"呢!不过那时候正在批判量子力学,黄老爷子可是为了固体物理不受牵连才说的这句话.不过黄老爷子的固体物理确实写的容易懂,是初学者的良师.作为学凝聚态的人,群论是必修了.不过我们学的是群表示论.学群论,孙洪洲(不是鲤鱼洲)的群论就足够了.群论的内容大致是有限群和连续群两部份,前一部份和晶体的对称性直接相关,后一部份和角动量理论有关,学凝聚态的人做含有d或f电子的紧束缚方法时自然会用到.如果想做点FANCY的凝聚态理论,那么就得看点FANCY的书了.比如马汉的多粒子问题(该有中译本了)或者北大的固体物理中格林函数方法.不过读这些书之前最好读过量子场论,否则比较艰难.而且作为过渡,最好先看过卡拉威的固体理论.不过能懂固体理论已经是不简单了,清华没几个. 如果对光学感兴趣,那么除了赵凯华的光学作为基础外还要看看光学的名著.本人当年对光学深恶痛绝,没看过什么光学的书,总是考试之前背三天公式.如果想做量子光学那么量子场论就有用了.量子光学的麻烦在于边界条件,一般量子场论的边界很简单,而量子光学就不是了.一个有限体系的量子光学性质是很有意思的问题.比如微腔中的光吸收和发射以及由此引申出的光子晶体中的若干问题.这里要分清光子晶体和人工电介质.光子晶体中存在量子效应,而人工电介质中没有.所以一个有三维人工周期机构工作在微波波段的陶瓷算不上光子晶体,只是人工电介质. 如果对核物理感兴趣,那我建议你多看看角动量理论或者群论的书.这算是量子力学的一部份.但是搞核理论的要求对这些东西极其熟悉,能够拿来就用.同样这些东西对搞量子化学和能带论的人也很重要.不过做核理论是很辛苦的,不如凝聚态和光学那么轻松. 对物理学理论本身感兴趣的人恐怕内功"小成"就不够了.他们需要进一步学习数学.可以从实变函数和泛函分析学起.学习实变函数,有利于你建立现代数学的一些基本观念(如函数类)掌握一些基本方法以及积累一些素材.学过实变函数就可以进入现代数学的基础,泛函分析了.只有学过泛函分析,你才能对(非相对论)量子力学有清楚的认识.这时量子力学才不是形式的而是严格的.实变函数和泛函分析的书最好的当属REAL AND ABSTRACT ANALYSIS 为了准备学微分几何,还要学一些拓朴和代数.这只是准备概念,不必费太多时间.代数可以看蓝以中的高等代数教程,这书用近式代数的语言将古典的矩阵和线性空间的理论加以重复,对于理解抽象的代数概念很有好处.拓朴可以看拓朴学基础.这书上的习题狂多,不过只要第一章会了其它章节很简单. 学过泛函分析和拓朴就可以学真正在发展物理理论中有用的微分几何了.微分几何内容十分庞杂,从最基础的导数的值等于切线斜率,一直到函数空间中的几何学.这些东西要在短时间内学会很不容易,不过也有迹可寻.首选的入门书是陈维桓的微分几何基础这书不需要高深的基础,但是却是微分几何的入门.学过之后就可以看陈省身的微分几何了.这两本书读过以后再回头读数学物理中的微分形式,学习如何应用这些数学.数学物理中的微分形式算不上严格的数学书,但是里面对如何使用数学却讲得很好.如果觉得李群和李代数有用,还可以专门看看这方面的书.不过我建议找一本以特殊函数为工具,介绍李群的书.看过以后你就知道Bessel函数等那些在数理方法中学过的东西是何等重要.它们直接是对称性的反映,只不过那时你还小并没有认识这一点.学过这以 后你知道量子力学真正关心的是什么了.原来量子力学做来做去是一种关于对称的理论.在这一理论中作为群的表示的基的波函数是次要的,而群本身和代表它的特征值才重要,而这些被物理量正是特征值. 再往下就得听天由命了,也许你走运,发现了融合量子论和广义相对论的方法,也许不走运什么也没发现.这可就是天数了,看再多的书也没用. 5 物理经典教材 Mathematical Physics: Methods of mathematical physics, by R. Courant and D.Hilbert Tensor Analysis, by I. Solkolnikoff The Variational Principles in Mechanics, by Lancoz, Classical mechanics: Classical mechanics, by Herbert Goldstein Mechanics, by L.D. Landau and E.M. Lifshitz Quantum mechanics: Quantum mechanics(non-relativistic theory), by Landau and Lifshitz The principles of quantum mechanics,by P.A.M. Dirac Electrodynamics: Classical electrodynamics ,by John David Jackson Statistical physics: Statistical Mechanics,by Kerson Huang Statistical physics, by L. D. Landau and E. M. Lifshitz Quantum field theory: Introduction to Quantum Field Theory,by M.E.Peskin and Schroeder The Quantum Theory of Fields,by Weinberg Steven General theory of relativity: Gravitation and cosmology, by Steven Weinberg Gravitation, by Charles W. Misner, Kip S.Thorne and John Archibald Wheeler String Theory: String theory, by Joseph Polchinsk Superstring theory, by Michael B. Green,John H. Schwarz,Edward Witten Geomtry: Geometry, Topology and Physics ,by Nakahara Supersymmetry: J.Wess and J.Bagger Standard Model particle physics: Gauge Theory of Elementary Particle Physics ,by Cheng and Li Cosmology: The Early Univers,by Kolb and Turner Conformal Field Theory : Di Francesco Solid State: The Introduction of Solid State Physics, by Charles Kittel Dynamical theory of crystal lattices, by M. Born and K. Huang Solid State Physics, by N. W. Ashcroft and N. D. Mermin Principles of condensed matter physics ,P.M. Chaikin, T.C. Lubensky Semiconductor Physics Physics of Semiconductor Devices, by S.M.Sze Fundamentals of Semiconductors: Physics and Materials Properties, by P.Y.Yu Many body: Many particle Physics, by Gerald Mahan Quantum Theory of Many Particle System,by Fetter and Walecka Low dimension system: Wave mechanics applied to semiconductor heterostructure,by G. Bastard. Group Theory Group Theory and Its Applcation to Quantum Mechanics of Atomic Spectra by E.P.Wigner Group Theory,by Van der Waarden 6 A Physics Booklist: Recommendations from the Net This article is a compilation of books recommended by sci.physics participants as the \'standard\' or \'classic\' texts on a wide variety of topics of general interest to physicists and physics students. As a guide to finding the right book for you, many of the comments from the contributors have been retained. This document is still under construction. Many entries are incomplete, and many good books are not yet listed. Please feel free to contribute to this project. Contact me (Phil Gibbs) at pg@pobox.com. When you submit a book please try to keep your note short like the entries already on this page so that I can easily cut and paste them in. It is your responsibility to make sure that the title and authors are correct and that the book is worth including since I will rarely have the time to check them. Details such as publisher, date and ISBN numbers below are far and few between. This is partly because we are too lazy to type them in but also because these things can change with new editions and different countries (slightly better excuse). If you want to know more do a search at one of the internet book shops such as: " http://www.amazon.com/ " http://www.bookshop.co.uk/ If you are looking for an out of print book try one of these: " http://www.abebooks.com/ " http://www.bibliofind.com/ 6.1 Subject Index " General Physics " Classical Mechanics " Classical Electromagnetism " Quantum Mechanics " Statistical Mechanics and Entropy " Condensed Matter " Special Relativity " Particle Physics " General Relativity " Mathematical Methods " Nuclear Physics " Cosmology " Astronomy " Plasma Physics " Numerical Methods/Simulations " Fluid Dynamics " Nonlinear Dynamics, Complexity and Chaos " Optics (Classical and Quantum), Lasers " Mathematical Physics " Atomic Physics " Low Temperature Physics, Superconductivity 6.2 General Physics (so even mathematicians can understand it!) 1. M. S. Longair, Theoretical concepts in physics, 1986. An alternative view of theoretical reasoning in Physics for final year undergrads. 2. Sommerfeld, Arnold, Lectures on Theoretical Physics Sommerfeld is God for mathematical physics. 3. Feynman, R: The Feynman lectures on Physics - 3 vols Highly recommended texts compiled from the graduate lecture courses given by Feynman. 4. Walker, Jearle: The Flying Circus of Physics 5. There is the entire Landau and Lifshitz series. They have volumes on classical mechanics, classical field theory, EM, QM, QFT, Statistical Physics, and more. Very good series that spans entire graduate level curriculum. 6. The New physics edited by Paul Davies. This is one big book and takes time to look through topics as diverse as general relativity, astrophysics, particle theory, quantum mechanics, chaos and nonlinearity, low temperature physics and phase transitions. Nevertheless, this is one excellent book of recent (1989) physics articles, written by several physicists/astrophysicists. 7. The Character of Physical Law Richard P Feynman In his unique no nonsense style. Feynman lectures about what physics is all about. Down to Earth examples keep him from straying into the kind of metaphysics of which he is often critical. 8. Boojums all the way through: Communicating science in Prosaic language David Mermin 9. Longing for the Harmonies: Themes and variations from modern physics Frank Wilczek and Betsy Devine 10. Permutation City Greg Egan This is a science fiction novel which has more to say about philosophy of physics than most philosophers and physicists 6.3 Classical Mechanics 1. Goldstein, Herbert Classical Mechanics, 2nd ed, 1980. intermediate to advanced; excellent bibliography 2. Introductory: The Feynman Lectures, vol 1 3. Symon, Keith Mechanics, 3rd ed., 1971 undergrad level. 4. Corbin, H and Stehle, P Classical Mechanics, 2nd ed., 1960 5. V.I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, translated by K. Vogtmann and A. Weinstein, 2nd ed., 1989. The appendices are somewhat more advanced and cover all sorts of nifty topics. Deals with Geometrical aspects of classical mechanics 6. Resnick, R and Halliday, D Physics, vol 1, 4th Ed., 1993 Excellent introduction without much calculus. Lots of problems and review questions. 7. Marion, J Thornton, Classical Dynamics of Particles and Systems, 2nd ed., 1970. Undergrad level. A useful intro to classical dynamics. Not as advanced as Goldstein, but with real worked-out examples. 8. Fetter, A and Walecka, J: Theoretical mechanics of particles and continua graduate level text, a little less impressive than Goldstein (and sometimes a little less obtuse) 9. Kiran Gupta: Classical Mechanics of Particles and Rigid Bodies (1988) At the level of Goldstein but has many more worked out problems at the end of each chapter as a good illustration of the exposed material. Very useful for preparations for the Ph.D. Qualifying Examination. 6.4 Classical Electromagnetism 1. Jackson, J. D. Classical Electrodynamics, 2nd ed., 1975 intermediate to advanced, the definitive graduate(US)/undergraduate(UK) text. 2. Edward Purcell, Berkeley Physics Series Vol 2. You can\'t beat this for the intelligent, reasonably sophisticated beginning physics student. He tells you on the very first page about the experimental proof of how charge does not vary with speed. plus .. Chen, Min, Berkeley Physics problems with solutions. 3. Reitz, J, Milford, F and Christy, R: Foundations of Electromagnetic Theory 4th ed., 1992 Undergraduate level. Pretty difficult to learn from at first, but good reference, for some calculations involving stacks of thin films and their reflectance and transmission properties, for e.g. It\'s a good, rigorous text as far as it goes, which is pretty far, but not all the way. For example, they have a great section on optical properties of a single thin film between two dielectric semi-infinite media, but no generalization to stacks of films. 4. Feynman, R: Feynman Lectures, vol 2 5. Lorrain, P Corson D: Electromagnetism, Principles and Applications, 1979 6. Resnick, R and Halliday, D: Physics, vol 2, 4th ed., 1993 7. Igor Irodov, Problems in Physics Excellent and extensive collection of EM problems for undergrads. 8. Smythe, William: Static and Dynamic Electricity, 3rd ed., 1968 For the extreme masochists. Some of the most hair-raising EM problems you\'ll ever see. Definitely not for the weak-of-heart. 9. Landau, Lifschitz, and Pitaevskii, Electrodynamics of Continuous Media, 2nd ed., 1984 same level as Jackson and with lots of material not in Jackson. 10. Marion, J and Heald, M: Classical Electromagnetic Radiation, 2nd ed., 1980 undergraduate or low-level graduate level 6.5 Quantum Mechanics 1. QED : The strange theory of light and matter Richard P. Feynman. One need no longer be confused by this beautiful theory. Richard Feynman gives an exposition that is once again and by itself a beautiful explanation of the theory of photon-matter interactions. Taken from a popular, non-technical lecture 2. Cohen-Tannoudji, Quantum Mechanics I II, 1977. introductory to intermediate. 3. Liboff Introductory Quantum Mechanics, 2nd ed., 1992 elementary level. Makes a few mistakes. 4. Sakurai, J Modern Quantum Mechanics, 1985 5. Sakurai, J Advanced Quantum Mechanics 1967 Good as an introduction to the very basic beginnings of quantum field theory, except that it has the unfortunate feature of using \'imaginary time\' to make Minkowski space look Euclidean. 6. Wheeler, J and Zurek, W (eds.) Quantum Theory and Measurement, 1983 On the philosophical end. People who want to know about interpretations of quantum mechanics should definitely look at this collection of relevant articles. 7. DeWitt, C and Neill Graham: The Many Worlds Interpretation of Quantum Mechanics Philosophical. Collection of articles. 8. Everett, H: Theory of the Universal Wavefunction An exposition which has some gems on thermodynamics and probability. Worth reading for this alone. 9. Bjorken, J and Drell, S Relativistic Quantum Mechanics/ Relativistic Quantum Fields (for comments, see under Particle Physics) 10. Ryder, Lewis Quantum Field Theory, 1984 11. Guidry, M Gauge Field Theories : an introduction with applications 1991 12. Messiah, A: Quantum Mechanics, 1961 13. Dirac, Paul: a] Principles of QM, 4th ed., 1958 b] Lectures in QM, 1964 c] Lectures on Quantum Field Theory, 1966 14. Itzykson, C and Zuber, J: Quantum Field Theory, 1980 advanced level. 15. Slater, J: Quantum theory: Address, essays, lectures. Good follow on to Schiff. note: Schiff, Bjorken and Drell, Fetter and Walecka, and Slater are all volumes in "International Series in pure and Applied Physics" published by McGraw Hill. 16. Pierre Ramond, Field Theory: A Modern Primer, 2nd edition. Volume 74 in the FiP series. The so-called "revised printing" is a must, as they must\'ve rushed the first printing of the 2nd edition, and it\'s full of inexcusable mistakes. 17. Feynman, R: Lectures - vol III A non-traditional approach. A good place to get an intuitive feel for QM, if one already knows the traditional approach. 18. Heitler London, Quantum theory of molecules 19. Bell, J: Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, 1987 An excellent collection of essays on the philosophical aspects of QM. 20. Milonni: The quantum vacuum: an introduction to quantum electrodynamics 1994. 21. Holland: The Quantum Theory of Motion A good bet for strong foundation in QM. 22. John Von Neumann: Mathematical foundations of quantum mechanics, 1955. For the more mathematical side of quantum theory, especially for those who are going to be arguing about measurement theory. 23. Schiff, Leonard, L: Quantum Mechanics, 3rd ed., 1968 A little old. Not much emphasis on airy-fairy things like many worlds or excessive angst over Heisenberg UP. Straight up QM for people who want to do calculations. Introductory graduate level. Mostly Schrod. eqn. Spin included, but only in an adjunct to Schrod. Not much emphasis on things like Dirac eqn., etc. 24. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles by Eisberg and Resnick, 2nd ed., 1985. This is a basic intro. to QM, and it is excellent for undergrads. It is not thorough with math, but fills in a lot of the intuitive stuff that most textbooks do not present. 25. Elementary Quantum Mechanics, David Saxon It\'s a decent undergraduate (senior level) text. 26. Intermediate Quantum Mechanics, Bethe and Jackiw 27. Quanta: A Handbook of concepts, P.W.Atkins Short entries, arranged alphabetically, emphasis on stuff relevant to quantum chemistry. Concentrates on the intuition and not the mathematics. 28. James Peebles: Quantum Mechanics (1993) Intermediate level, based on lectures given by the author at Princeton. Very lucid exposition of the standard material with outstanding selection of mostly original problems at the end of each chapter. 6.6 Statistical Mechanics and Entropy 1. David Chandler, Introduction to Modern Statistical Mechanics, 1987 2. R. Tolman, Prinicples of Statistical Mechanics., Dover 3. Kittel Kroemer: Statistical Thermodynamics Best of a bad lot. 4. Reif, F : Principles of statistical and thermal physics. the big and little Reif stat mech books. Big Reif is much better than Kittel Kroemer. He uses clear language but avoids the handwaving that thermodynamics often gives rise to. More classical than QM oriented. 5. Bloch, Felix: Fundamentals of Statistical Mechanics. 6. Radu Balescu Statistical Physics Graduate Level. Good description of non-equilibrium stat. mech. but difficult to read. It is all there, but often you don\'t realize it until after you have learned it somewhere else. Nice development in early chapters about parallels between classical and quantum Stat. Mech. 7. Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics, Abrikosov, Gorkov, and Dyzaloshinski 8. Time\'s Arrow and Archimedes\' Point Huw Price Semi-popular book on the direction of time by a philosopher. It has been controversial because of its criticism of physicists such as Hawking for their "double standards" in dealing with the old problem on the origin of the arrow of time. It is thought provoking and clearly written. The following 6 books deal with modern topics in (mostly) classical statistical mechanics, namely, the central notions of linear response theory (Forster) and critical phenomena (the rest) at level suitable for beginning graduate students. 9. Thermodynamics, by H. Callen. 10. Statistical Mechanics, by R. K. Pathria 11. Hydrodynamic Fluctuations, Broken Symmetry, and Correlation Functions, by D. Forster 12. Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, by H. E. Stanley 13. Modern Theory of Critical Phenomena, by S. K. Ma 14. Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group, by N. Goldenfeld 6.7 Condensed Matter 1. Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics (ISSP), introductory 2. Ashcroft and Mermin, Solid State Physics, intermediate to advanced 3. Charles Kittel, Quantum Theory of Solids. This is from before the days of his ISSP; it is a more advanced book. At a similar level... 4. Solid State Theory, by W. A. Harrison (a great bargain now that it\'s published by Dover) 5. Theory of Solids, by Ziman. 6. Fundamentals of the Theory of Metals, by Abrikosov Half of the book is on superconductivity. 7. Many-Particle Physics, G. Mahan. Advanced. 6.8 Special Relativity 1. Taylor and Wheeler, Spacetime Physics Still the best introduction out there. 2. Relativity : Einstein\'s popular exposition. 3. Wolfgang Rindler, Essential Relativity. Springer 1977 With a heavy bias towards astrophysics and therefore on a more moderate level formally. Quite strong on intuition. 4. A P French: Special Relativity A through introductory text. Good discussion of the twin paradox, pole and the barn etc. Plenty of diagrams illustrating Lorentz transformed co-ordinates, giving both an algebraic and geometrical insight to SR. (Seems to be out of print) 5. Subtle is the Lord: The Science and Life of Albert Einstein Abraham Pais The best technical biography of the life and work of Albert Einstein. 6. Special Relativity and its Experimental Foundations Yuan Zhong Zhang Special relativity is so well established that its experimental foundation is often ignored. This book fills the gap and will be of relevance to many discussions in sci.physics.relativity 6.9 Particle Physics 1. Kerson Huang, Quarks, leptons gauge fields, World Scientific, 1982. Good on mathematical aspects of gauge theory and topology. 2. L. B. Okun, Leptons and quarks, translated from Russian by V. I. Kisin, North-Holland, 1982. 3. T. D. Lee, Particle physics and introduction to field theory. 4. Itzykson: Particle Physics 5. Bjorken Drell: Relativistic Quantum Mechanics One of the more terse books. The first volume on Relativistic quantum mechanics covers the subject in a blinding 300 pages. Very good if you really want to know the subject. 6. Francis Halzen Alan D. Martin, Quarks Leptons, beginner to intermediate, this is a standard textbook for graduate level courses. Good knowledge of quantum mechanics and special relativity is assumed. A very good introduction to the concepts of particle physics. Good examples, but not a lot of Feynman diagram calculation. For this, see Bjorken Drell. 7. Donald H. Perkins: Introduction to high energy physics Regarded by many people in the field as the best introductory text at the undergraduate level. Covers basically everything with almost no mathematics. 8. Close, Marten, and Sutton: The Particle Explosion A popular exposition of the history of particle physics with terrific photography. 9. Christine Sutton: Spaceship Neutrino A good, historical, largely intuitive introduction to particle physics, seen from the neutrino viewpoint. 10. Mandl,Shaw: Quantum Field Theory Introductory textbook, concise and practically oriented. Used at many graduate departments as a textbook for the first course in QFT and a bare minimum for experimentalists in high energy physics. Chapters on Feynman diagrams and cross-section calculations particularly well written and useful. 11. F.Gross: Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory I am familiar with fist part only (rel.QM) which I warmly recommend in conjunction with Mandl,since Klein-Gordon and Dirac Equation are explained in greater detail than in Mandl.One of my professors likes a lot the rest of the book too, but I haven\'t spent much time on it and can\'t comment. Published in\'93. 12. S. Weinberg: The Quantum Theory of Fields, Vol I,II, 1995 It\'s the usual Weinberg stuff: refreshing, illuminating viewpoints on every page. Perhaps most suitable for graduate students who already know some basics of QFT. Unfortunately, this book does not conform. to Bjorken-Drell metric. 13. M.B. Green, J.H. Schwarz, E. Witten, Superstring Theory (2 vols) Although these two volumes do not touch the important new developments in string theories they are still the best texts for the basics. To keep up with this fast developing subject it is necessary to download the papers and reviews as hep-th e-prints. 14. M. Kaku Strings, Conformal Fields and Topology Just a little more up-to-date than GSW 15. Superstrings: A Theory of Everything ed P.C.W. Davies Through transcripts of interviews with Schwarz, Witten, Green, Gross, Ellis, Salam, Glashow, Feynman and Weinberg we learn about string theory and how different physicists feel about its prospects as a TOE. This also predates the new developments which revolutionised string theory after 1993. 16. A Pais: Inward Bound This can be regarded as a companion volume to his biography of Einstein (see special relativity section). It covers the history of particle physics through the twentieth century but is best for the earlier half. 17. R.P. Crease, C.C. Mann The Second Creation 1996 Another history of particle physics in the twentieth century. This one is especially good on the development of the standard model. Full of personal stories taken from numerous interviews, it is difficult to put down. 6.10 General Relativity 1. Meisner, Thorne and Wheeler. Gravitation W. H. Freeman Co., San Francisco 1973 Sometimes known as "the telephone book" or just MTW. It has two tracks for different levels. 2. Robert M. Wald, Space, Time, and Gravity : the Theory of the Big Bang and Black Holes. A good non-technical introduction, with a nice mix of mathematical rigor and comprehensible physics. 3. Schutz: First Course in General Relativity. 4. Weinberg: Gravitation and Cosmology Good reference book, but not a very good read. 5. Hans Ohanian: Gravitation Spacetime (recently back in print) For someone who actually wants to learn to work problems, ideal for self-teaching, and math is introduced as needed, rather than in a colossal blast. 6. Robert Wald, General Relativity It\'s a more advanced textbook than Wald\'s earlier book, appropriate for an introductory graduate course in GR. It strikes just the right balance, in my opinion, between mathematical rigor and physical intuition. It has great mathematics appendices for those who care about proving theorems carefully, and a good introduction to the problems behind quantum gravity (although not to their solutions). I think it\'s MUCH better than either MTW or Weinberg. 7. Clifford Will,Was Einstein Right? Putting General Relativity to the Test Non-technical account of the experimental support for GR, including the "classic three tests", but going well beyond them. 8. Kip Thorne, Black Holes and Time Warps: Einstein\'s Outrageous Legacy An award winning popular account of black holes and related objects with many historical anecdotes from the authors personal experiences. The book is famous for the final sections about time travel through wormholes. 6.11 Mathematical Methods (so that even physicists can understand it!) 1. Morse and Feshbach Methods of Theoretical Physics (can be hard to find) 2. Mathews and Walker, Mathematical Methods for Physicists. An absolute joy for those who love math, and very informative even for those who don\'t. 3. Arfken Mathematical Methods for Physicists Academic Press Good introduction at graduate level. Not comprehensive in any area, but covers many areas widely. Arfken is to math methods what numerical recipes is to numerical methods -- good intro, but not the last word. 4. Zwillinger Handbook of Differential Equations. Academic Press Kind of like CRC tables but for ODE\'s and PDE\'s. Good reference book when you\'ve got a Diff. Eq. and want to find a solution. 5. Gradshteyn and Ryzhik Table of Integrals, Series, and Products Academic THE book of integrals. Huge, but useful when you need an integral. 6. F.W. Byron and R. Fuller, Mathematics of Classical and Quantum Physics (2 vols) is a really terrific text for self-study; it is like a baby version of Morse Feshbach. 6.12 Nuclear Physics 1. Preston and Bhaduri, Structure of the Nucleus 2. Blatt and Weisskopf Theoretical Nuclear Physics 3. DeShalit and Feshbach Theoretical Nuclear Physics This is serious stuff. Also quite expensive even in paper. I think the hard cover is out of print. This is volume I (structure). Volume II (scattering) is also available. 4. Satchler: Direct Nuclear Reactions 5. Walecka: Theoretical Nuclear and Subnuclear Physics (1995) Covers advanced topics in theoretical nuclear physics from a modern perspective and includes results of past 20 years in a field which makes it unique. Not an easy material to read but invaluable for people seeking an updated review of the present status in the field. 6. Krane: Introductory nuclear physics Introductory-to-intermediate level textbook in basic nuclear physics for senior undergraduates. Good, clear and relatively comprehensive exposition of "standard" material:nuclear models, alfa, beta, gamma radioactivity, nuclear reactions...Last edition issued in 1988. 6.13 Cosmology 1. J. V. Narlikar, Introduction to Cosmology.1983 Jones Bartlett Publ. For people with a solid background in physics and higher math, THE introductory text, IMHO, because it hits the balance between mathematical accuracy (tensor calculus and stuff) and intuitive clarity/geometrical models very well for grad student level. Of course, it has flaws but only noticeable by the Real Experts (TM) ... 2. Hawking: Brief History of Time The made that made Popular Science popular. 3. Weinberg: First Three Minutes A very good book. It\'s pretty old, but most of the information in it is still correct. 4. Timothy Ferris: Coming of Age in the Milky Way and The Whole Shebang more Popular Science. 5. Kolb and Turner: The Early Universe. At a more advanced level, a standard reference. As the title implies, KT cover mostly the strange physics of very early times: it\'s heavy on the particle physics, and skimps on the astrophysics. There\'s a primer on large-scale structure, which is the most active area of cosmological research, but it\'s really not all that good. 6. Peebles: Principles of Physical Cosmology. Comprehensive, and on the whole it\'s quite a good book, but it\'s rather poorly organized. I find myself jumping back and forth through the book whenever I want to find anything. 7. Black Holes and Warped Spacetime, by William J. Kaufmann, III. This is a great, fairly thorough, though non-mathematical description of black holes and spacetime as it relates to cosmology. I was impressed by how few mistakes Kaufmann makes in simplifying, while most such books tend to sacrifice accuracy for simplicity. 8. Principles of Cosmology and Gravitation, Berry, M. V. This is very well-written, and useful as an undergrad text. 9. Dennis Overbye: Lonely Hearts of the Cosmos The unfinished history of converge on Hubble\'s constant is presented, from the perspective of competing astrophysics rival teams and institute, along with a lot of background on cosmology (a lot on inflation, for instance). A good insight into the scientific process. 10. The big bang, Joseph Silk. I consider Silk\'s book an absolute must for those who want a quick run at the current state of big bang cosmology and some of the recent (1988) issues which have given so many of us lots of problems to solve. 11. Bubbles, voids, and bumps in time : the new cosmology edited by James Cornell. This is quite a nice and relatively short read for some of the pressing issues (as of 1987-88) in astrophysical cosmology. 12. Structure formation in the universe T. Padmanabhan. A no-nonsense book for those who want to calculate some problems strictly related to the formation of structure in the universe. The book even comes complete with problems at the end of each chapter. A bad thing about this book is that there isn\'t any coverage on clusters of galaxies and the one really big thing that annoys the hell outta me is that the bibliography for *each* chapter is all combined in one big bibliography towards the end of the book which makes for lots of page flipping. 13. The large-scale structure of the universe by P. J. E. Peebles. This is a definitive book for anyone who desires an understanding of the mathematics required to develop the theory for models of large scale structure. The essential techniques in the description of how mass is able to cluster under gravity from a smooth early universe are discussed. While I find it dry in some places, there are noteworthy sections (e.g. statistical tests, n-point correlation functions, etc.). 14. Inhomogeneous Cosmological Models by Andrzej Krasinski If you are blinded by the dogma of the cosmological principle this book is a real eye opener. A technical, historical and bibliographical survey of possible inhomogeous universes from solutions of general relativity. 15. Origins: The lives and worlds of modern cosmologists Alan Lightman and Roberta Brawer, 1990 Transcripts of interview with 27 of the most influential cosmologists from the past few decades. This book provides a unique record of how their cosmological theories have been formed. 6.14 Astronomy 1. Hannu Karttunen et al. (eds.): Fundamental Astronomy. The best book covering all of astronomy (also for absolute beginners) AND still going into a lot of detail for special work for people more involved AND presenting excellent graphics and pictures. 2. Pasachoff: Contemporary Astronomy Good introductory textbook for the nontechnical reader. It gives a pretty good overview of the important topics, and it has good pictures. 3. Shu, Frank: The physical universe : an introduction to astronomy, 4. Astrophysical formulae : a compendium for the physicist and astrophysicist Kenneth R. Lang. Here is everything you wanted to know (and more!) about astrophysical formulae on a one-line/one-paragraph/one-shot deal. Of course, the formulae come complete with references (a tad old, mind you) but it\'s a must for everyone who\'s working in astronomy and astrophysics. You learn something new every time you flip through the pages! 6.15 Plasma Physics (See Robert Heeter\'s sci.physics.fusion FAQ for details) 6.16 Numerical Methods/Simulations 1. Johnson and Rees Numerical Analysis Addison Wesley Undergrad. level broad intro. 2. Numerical Recipes in X (X=c,fortran,pascal,etc) Tueklosky and Press 3. Young and Gregory A survey of Numerical Mathematics Dover 2 volumes. Excellent overview at grad. level. Emphasis toward solution of elliptic PDE\'s, but good description of methods to get there including linear algebra, Matrix techniques, ODE solving methods, and interpolation theory. Biggest strength is it provides a coherent framework and structure to attach most commonly used num. methods. This helps understanding about why to use one method or another. 2 volumes. 4. Hockney and Eastwood Computer Simulation Using Particles Adam Hilger Good exposition of particle-in-cell (PIC) method and extensions. Applications to plasmas, astronomy, and solid state are discussed. Emphasis is on description of algorithms. Some results shown. 5. Birdsall and Langdon Plasma Physics via Computer Simulations PIC simulation applied to plasmas. Source codes shown. First part is almost a tutorial on how to do PIC. Second part is like a series of review articles on different PIC methods. 6. Tajima Computational Plasma Physics: With Applications to Fusion and Astrophysics Addison Wesley Frontiers in physics Series. Algorithms described. Emphasis on physics that can be simulated. Applications limited to plasmas, but subject areas very broad, fusion, cosmology, solar astrophysics, magnetospheric physics, plasma turbulence, general astrophysics 6.17 Fluid Dynamics 1. D.J. Tritton Physical Fluid Dynamics 2. G.K. Batchelor Introduction to Fluid Dynamics 3. S. Chandrasekhar Hydrodynamics and Hydromagnetic Stability 4. Segel Mathematics Applied to Continuum Mechanics Dover. 6.18 Nonlinear Dynamics, Complexity, and Chaos There is a FAQ posted regularly to sci.nonlinear. 1. Prigogine, "Exploring Complexity" Or any other Prigogine book. If you\'ve read one, you read most of all of them (A Poincar?recurrence maybe?) 2. Guckenheimer and Holmes Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Borderline phys/math. Advanced level. Nuts and bolts how to textbook. No Saganesque visionary thing from the authors. They let the topic provide all the razz-ma-tazz, which is plenty if you pay attention and remember the physics that it applies to. 3. Lichtenberg, A. J. and M. A. Lieberman (1982). Regular and Stochastic Motion. New York, Springer-Verlag. 4. Ioos and Joseph Elementary Stability and Bifurcation Theory. New York, Springer-Verlag. 5. The Dreams Of Reason by Heinz Pagels. He is a very clear and interesting, captivating writer, and presents the concepts in a very intuitive way. The level is popular science, but it is still useful for physicists who know little of complexity. 6. M.Mitchell Waldrop: Complexity. A popular intro to the subject of spontaneous orders, complexity and so on. Covers implications for economics, biology etc and not just physics. 6.19 Optics (Classical and Quantum), Lasers 1. Max Born and Emil Wolf Principles of Optics : Electromagnetic Theory of Propagation standard reference. 2. Sommerfeld, A: For the more classically minded 3. Allen and Eberly\'s Optical Resonance and Two-Level Atoms. For quantum optics, the most readable but most limited. 4. Goodman Introduction to Fourier Optics. If it isn\'t in this book, it isn\'t Fourier optics. 5. Quantum Optics and Electronics (Les Houches summer school 1963-or-4, but someone has claimed that Gordon and Breach, NY, are going to republish it in 1995), edited by DeWitt, Blandin, and Cohen- Tannoudji, is noteworthy primarily for Glauber\'s lectures, which form. the basis of quantum optics as it is known today. 6. Sargent, Scully, Lamb: Laser Physics 7. Yariv: Quantum Electronics 8. Siegman: Lasers 9. Shen: The Principles of Nonlinear Optics 10. Meystre Sargent: Elements of Quantum Optics 11. Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc, Grynberg: Photons, Atoms and Atom-Photon Interactions. 12. Hecht: Optics A very good intro optics book (readable by a smart college freshman, but useful as a reference to the graduate student) 13. Practical Holography by Graham Saxby, Prentice Hall: New York; 1988. This is a very clear and detailed book that is an excellent introduction to holography for interested undergraduate physics people, as well as advanced readers, esp. those who are interested in the practical details of making holograms and the theory behind them. 6.20 Mathematical Physics Lie Algebra, Topology, Knot Theory, Tensors, etc. These are books that are sort of talky and fun to read (but still substantial - some harder than others). These include things mathematicians can read about physics as well as vice versa. These books are different than the "bibles" one must have on hand at all times to do mathematical physics. 1. Yvonne Choquet-Bruhat, Cecile DeWitt-Morette, and Margaret Dillard-Bleick, Analysis, manifolds, and physics (2 volumes) Something every mathematical physicist should have at her bedside until she knows it inside and out - but some people say it\'s not especially easy to read. 2. Jean Dieudonne, A panorama of pure mathematics, as seen by N. Bourbaki, translated by I.G. Macdonald. Gives the big picture in math. 3. Robert Hermann, Lie groups for physicists, Benjamin-Cummings, 1966. 4. George Mackey, Quantum mechanics from the point of view of the theory of group representations, Mathematical Sciences Research Institute, 1984. 5. George Mackey, Unitary group representations in physics, probability, and number theory. 6. Charles Nash and S. Sen, Topology and geometry for physicists. 7. B. Booss and D.D. Bleecker, Topology and analysis: the Atiyah-Singer index formula and gauge-theoretic physics. 8. Bamberg and S. Sternberg, A Course of Mathematics for Students of Physics 9. Bishop Goldberg: Tensor Analysis on Manifolds. 10. Flanders : Differential Forms with applications to the Physical Sciences. 11. Dodson Poston Tensor Geometry. 12. von Westenholz: Differential forms in Mathematical Physics. 13. Abraham, Marsden Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications. 14. M. Nakahara, Topology, Geometry and Physics. 15. Morandi: The Role of Topology in Classical and Quantum Physics 16. Singer, Thorpe: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry 17. L. Kauffman: Knots and Physics, World Scientific, Singapore, 1991. 18. Yang, C and Ge, M: Braid group, Knot Theory Statistical Mechanics. 19. Kastler, D: C-algebras and their applications to Statistical Mechanics and Quantum Field Theory. 20. Courant and Hilbert Methods of Mathematical Physics Wiley Really a math book in disguise. Emphasis on ODE\'s and PDE\'s. Proves existence, etc. Very comprehensive. 2 volumes. 21. Cecille Dewitt: is publishing a book on manifolds that should be out soon (maybe already is). Very high level, but supposedly of great importance for anyone needing to set the Feynman path integral in a firm foundation. 22. Howard Georgi, Lie Groups for Particle Phyiscs Addison Wesley Frontiers in Physics Series. 23. Synge and Schild 6.21 Atomic Physics 1. Max Born: Atomic Physics A classic, though a little old. 2. Gerhard Herzberg. Atomic spectra and atomic structure, Translated with the co-operation of the author by J. W. T.Spinks. -- New York, Dover publications, 1944 Old but good. 3. E. U. Condon and G. H. Shortley, The theory of atomic spectra, CUP 1951 4. G. K. Woodgate, Elementary atomic structure, 2d ed. --Oxford : New York : Clarendon Press, Oxford University Press, 1983, c1980 Introductory level. 5. Alan Corney, Atomic and laser spectroscopy, Oxford, New York : Clarendon Press, 1977 Excellent,fairly advanced, large experimental bent, but good development of background. Good stuff on lasers (gas, dye) 6.22 Low Temperature Physics, Superconductivity 1. The Theory of Quantum Liquids, by D. Pines and P. Nozieres 2. Superconductivity of Metals and Alloys, P. G. DeGennes A classic introduction. 3. Theory of Superconductivity, J. R. Schrieffer 4. Superconductivity, M. Tinkham 5. Experimental techniques in low-temperature physics, by Guy K. White. This is considered by many as a "bible" for those working in experimental low temperature physics. Thanks to the 30 plus contributors who made this compilation possible. 7 习题 　　1)钱伯初、曾谨言：《量子力学习题精选与剖析》 　　考试必备。其地位相当于钟锡华《光学解题指导》或张之翔《电动力学解题指导》。 　　教材科有售。 8 推荐给大家的优秀数学参考书 微积分： R.Courant,F.John，Introduction to Calculus and Analysis vol III T.M.Apostol Calculus vol III T.M.Apostol Mathematical Analysis Rudin "Principles of Mathematical Analysis" Spivak "Calculus on Manifolds" V.A.Zorich，Mathematical Analysis vol III Springer-Verlag 代数： Friedberg "Linear Algebra" 4th ed. Prentice Hall Axler "Linear Algebra Done Right" 2nd ed. Springer-Verlag Hoffman Kunz , Linear Algebra Basic Algebra III, 2nd Edition by N. Jacobson Algebra by Serge Lang Dummit Foote "Abstract Algebra" Wiley Hungerford "Abstract Algebra: An Introduction" Brooks/Cole 分析： Real Complex Analysis, 3rd Edition by W. Rudin Royden "Real Analysis" 3rd ed. Prentice Hall Ahlfors "Complex Analysis" 3rd ed. McGraw-Hill Hormander "An Intro to Complex Analysis in Several Variables" Conway "Functions of One Complex Variable III Springer-Verlag Conway A Course in Functional Analysis Functional Analysis, 3rd Edition by W. Rudin 几何与拓扑： Basic Topology by Armstrong Differential Geometry of Curves and Surfaces by Manfredo Do Carmo Hatcher "Algebraic Topology" Cambridge UP Munkries "Topology" 2nd ed. Prentice Hall M. Postnikov，Analytic geometry， Mir Publishers M. Postnikov，Linear algebra and differential geometry，Mir Publishers A.T.Fomenko Differential geometry and topology，Consultants Bureau Dubrovin, Fomenko, Novikov "Modern geometry-methods and applications"Vol 1- 3 A Comprehensive Introduction to Differential Geometry vol 1-5 ,by Michael Spiv ak 方程： Earl.A. Coddington，Theory of ordinary differential equations，McGraw-Hill Aleksei.A.Dezin，Partial differential equations，Springer-Verlag Evans "Partial Differential Equations" \'98 AMS Ordinary Differential Equations by V. I. Arnold Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations by V. I. Arnold 教材与参考书目 1、微积分原理III R.Courant,F.John，Introduction to Calculus and Analysis vol III T.M.Apostol Calculus vol III 张筑生，《数学分析新讲》（1~3册），北大版 常庚哲，《数学分析教程》（上、下册），高教版 陈纪修，《数学分析》（上、下册），高教版 2、解析几何 丘维生，《解析几何》，北大版 南开数学系，《空间解析几何》，高教版 M. Postnikov，Analytic geometry， Mir Publishers 3、线性代数III 蓝以中，《高等代数简明教程》（上、下册），北大版 丘维生，《高等代数》（上、下册），高教版 李炯生，《线性代数》，科大版 Friedberg "Linear Algebra" 4th ed. Prentice Hall Axler "Linear Algebra Done Right" 2nd ed. Springer-Verlag Hoffman Kunz , Linear Algebra 4、集合论原理 耿素云，集合论与图论，北京大学出版社 Elements of Set Theory by Herbert Enderton Set Theory by Thomas J. Jech 5、离散数学原理 耿素云，离散数学，高教版 Discrete Mathematics and its Applications Kenneth H. Rosen 6、普通物理学III 力学，赵凯华和罗蔚茵编写的《新概念物理教程》力学部分 高等教育出版社 热学，赵凯华和罗蔚茵编写的《新概念物理教程》热学部分。 高等教育出版社 电磁学，赵凯华和陈熙谋编写的《电磁学》，高等教育出版社。 光学，赵凯华和钟锡华编写的《光学》，北京大学出版社 7、数学分析原理III Rudin "Principles of Mathematical Analysis" Spivak "Calculus on Manifolds" V.A.Zorich，Mathematical Analysis vol III Springer-Verlag 8、抽象代数III 莫宗坚，《代数学》（上、下册），北大版 Basic Algebra III, 2nd Edition by N. Jacobson Algebra by Serge Lang Dummit Foote "Abstract Algebra" Wiley Hungerford "Abstract Algebra: An Introduction" Brooks/Cole 9、拓扑学原理 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北大版 Basic Topology by Armstrong 10、微分几何原理 陈维桓，《微分几何初步》 Differential Geometry of Curves and Surfaces by Manfredo Do Carmo M. Postnikov，Linear algebra and differential geometry，Mir Publishers A.T.Fomenko Differential geometry and topology，Consultants Bureau 11、常微分方程III 丁同仁，《常微分方程教程》，高教版 Ordinary Differential Equations by V. I. Arnold Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations by V. I. Arnold Earl.A. Coddington，Theory of ordinary differential equations，McGraw-Hill 12、概率论原理 汪仁官，《概率论引论》，北大版 A First Course in Probability by Sheldon Ross 13、统计学原理 陈家鼎，《数理统计学讲义》，高教版 R. Larsen and M. Marx: An Introduction to Mathematical Statistics, Prentice-Ha ll, 1986。 14、复分析原理 方企勤，《复变函数教程》，北大版 龚升，《简明复分析》，北大版 Ahlfors "Complex Analysis" 3rd ed. McGraw-Hill Conway "Functions of One Complex Variable III Springer-Verlag 15、理论物理学III 量子力学：曾谨言，《量子力学教程》，高等教育出版社出版 电动力学：郭硕鸿，《电动力学》，高等教育出版社出版。 理论力学：周伯衍, 《理论力学教程》高等教育出版社。 热力学与统计物理：汪志诚，《热力学与统计物理》，高等教育出版社出版。 16、实分析III 周民强，《实变函数》，北大版 夏道行，《实变函数论与泛函分析》（上册），高教版 Real Complex Analysis, 3rd Edition by W. Rudin Royden "Real Analysis" 3rd ed. Prentice Hall 严加安，《测度论讲义》，科学版 程士宏，《测度论与概率论》，北大版 Halmos，"Measure Theory"(GTM 18) 17、交换代数III 冯克勤，《交换代数基础》，高教版 Commutative Algebra III by Oscar Zariski , Pierre Samuel 18、拓扑学III Munkries "Topology" 2nd ed. Prentice Hall 熊金成，《点集拓扑讲义》，高教版 Hatcher "Algebraic Topology" Cam 18、拓扑学III Munkries "Topology" 2nd ed. Prentice Hall 熊金成，《点集拓扑讲义》，高教版 Hatcher "Algebraic Topology" Cambridge UP Spaniers "Algebraic Topology" 张筑生，《微分拓扑新讲》，北大版 19、微分几何III 陈省身，《微分几何讲义》，北大版 陈维桓，《微分流形初步》，高教版 苏步青, 《微分几何》，高教版 A.T.Fomenko Differential geometry and topology，Consultants Bureau Dubrovin, Fomenko, Novikov "Modern geometry-methods and applications"Vol 1- 3 A Comprehensive Introduction to Differential Geometry vol 1-5 ,by Michael Spiv ak 20、数理逻辑原理 王捍贫, 数理逻辑， 北京大学出版社,1997 H.B.Enderton, A Mathematical Introduction to Logic. Academic Press, New York , 1972. 21、复分析III Real Complex Analysis, 3rd Edition by W. Rudin Conway "Functions of One Complex Variable III Springer-Verlag 史济怀，《多复变函数论基础》，高教版 张南岳，《复变函数论选讲》，北大版 Hormander "An Intro to Complex Analysis in Several Variables" 22、泛函分析III 张恭庆，《泛函分析讲义》（上、下册），北大版 夏道行，《实变函数论与泛函分析》（下册），高教版 Conway A Course in Functional Analysis Functional Analysis, 3rd Edition by W. Rudin 23、黎曼几何原理III 陈维桓，《黎曼几何引论》（上、下册），北大版 伍宏熙，《黎曼几何初步》，北大版 Dubrovin, Fomenko, Novikov "Modern geometry-methods and applications"Vol 1- 3 24、偏微分方程III 姜礼尚，《数学物理方程讲义》，高教版 谷超豪，《数学物理方程》，高教版 Aleksei.A.Dezin，Partial differential equations，Springer-Verlag Evans "Partial Differential Equations" \'98 AMS L. Hormander "Linear Partial Differential Operators, " III 25、概率理论 程士宏，《高等概率论》，北大版 严士健，《概率论基础》，北大版 Probability: Theory and Examples by Richard A. Durrett Foundations of Modern Probability by Olav Kallenberg 26、数值分析 李庆扬，《数值分析》 R.L. Burden and D. Faires, Numerical analysis, 7th edition, Thomson Learning。 J. Stoer and R. Bulirsch, An introduction to numerical analysis, Springer-Ver lag, 27、统计学理论 陈希孺，数理统计引论，科学出版社 陈希孺，高等数理统计，科大版 Statistical Inference by George Casella, Roger L. Berger, Cassell 28、随机过程 钱敏平，龚光鲁，随机过程，北京大学出版社 钱敏平，龚光鲁，随机微分方程，北京大学出版社 S.M. Ross, Stochastic Processes, John Wiley Sons, 1983 A First Course in Stochastic Processes by Samuel Karlin, Howard Taylor A Second Course in Stochastic Processes by Samuel Karlin, Howard Taylor The Theory of Stochastic Processes I II Gikhman, I.I., Skorokhod, A.V. 9 数理逻辑 当今逻辑学界一致公认的数理逻辑最好的入门教材，就是从命题演算讲起的，是：Anil Nerode, Richard A. Shore合著的《Logic for applications》，Springer出版社1997出版。这本书是用现代的观点来介绍数理逻辑的，相比之下，国内的所有的数理逻辑的入门书都早已淘汰了。 （以下介绍的书都需要数理逻辑的基础，必须在看完高阶入门书以后才能阅读） 至于递归论，简单的入门书就是Nigel Cutland在1980年写的《Computability： an introduction to recursive function theory》，Cambridge University Press。 标准的进入现代递归领域的最好的书是：Robert I. Soare 1987年写的《Recursively enumerable sets and degrees :a study of computable functions and computably generated sets》，Springer出版社1987出版。 另外，Piergiorgio Ddifreddi写的《Classical recursion theory :the theory of functions and sets of natural numbers》（North-Holland 1989年）也是比较好的一本书，好在他详细介绍了一些定理得来龙去脉，和简单直觉含义。还有一本书就是Rogers, H.写的《Theory of recursive functions and effective computability》不过是比较难的，据说有些做递归论的人一辈子都没有看懂这本书。 模型论的书有两本：C.C.Chang和H.J.Keisler合著的《Model theory》，North-Holland 1973年出版，第一作者是华人，著名的数理逻辑学家，不过书是英文的。还有就是David Marker在2002年刚出版的《Model theory :an introduction》，这本书是新加坡国际一流逻辑学家庄志达推荐的，我还没有看过，据说是有最新的研究方向，是Springer出版社的GTM丛书中的一本。 集合论的书可以看：Kenneth Kunen的《Set theory :an introduction to independence proofs》，这本书是North-Holland出版社在1980年出版的书，不过至今仍然是最经典的教材。 还有一本是：Thomas Jech的《Set theory》（Springer, 1997出版），讲述地非常详细。 至于图灵机的书籍，在一般的递归论入门书都有，比如cutland的书。不过，完全可以看图灵的原著，非常简单易懂， 10 现在在中国买得到的100本经典物理学专著 理论力学 Mechanics 3rd ed. Landau 世界图书出版公司 热力学 热力学 王竹溪 北京大学出版社 数学物理方法 特殊函数概论 王竹溪 郭敦仁 北京大学出版社 经典电动力学 Classical Electrodynamics (3rd Edition)(影印版)（经典电动力学）（第3版） John David Jackson 高等教育出版社 经典电动力学 Electrodynamics of Continuous Media 2nd ed. Landau 世界图书出版公司 经典电动力学 Classical Electrodynamics Greiner 世界图书出版公司 光学 光学（上、下册） 赵凯华 北京大学出版社 光学 光学（第四版）（改编版） Eugene Hecht 改编 张存林 高等教育出版社 光学 Optics 11th ed. M. H. Freeman, C. C. Hull 世界图书出版公司 光学 Principles of Optics 7th ed. Bord,Worf 世界图书出版公司 光学 Nonlinear Fiber Optics 3rd ed. 世界图书出版公司 光学 Quantum Optics Scully 世界图书出版公司 光学 Semiconductor Optics Klingshirn 世界图书出版公司 光学 Coherent Optics 世界图书出版公司 光学 Optical Coherence Quantum Optics 世界图书出版公司 光学 Quantum Optics Walls 世界图书出版公司 相对论 A Short Course in General Relativity 2nd ed. Foster 世界图书出版公司 相对论 广义相对论引论（第二版） 俞允强 北京大学出版社 相对论 微分几何入门与广义相对论（上册） 梁灿彬 北京师范大学出版社 相对论 微分几何入门与广义相对论（下册） 梁灿彬 北京师范大学出版社 相对论 物理学家用微分几何（第二版） 侯伯元 侯伯宇 科学出版社 场论 经典场论 张启仁 科学出版社 场论 The Classical Theory of Fields 4th ed. Landau 世界图书出版公司 场论 Statistical Field Theory Vol. 1 C. Itaykson, J. M. Drouffe 世界图书出版公司 场论 Statistical Field Theory Vol. 2 C. Itaykson, J. M. Drouffe 世界图书出版公司 量子场论 The Quantum Theory of Fields Vol. 1 S. Weinberg 世界图书出版公司 量子场论 The Quantum Theory of Fields Vol. 2 S. Weinberg 世界图书出版公司 量子场论 The Quantum Theory of Fields Vol. 3 S. Weinberg 世界图书出版公司 量子场论 Quantum Field Theory 2nd ed. L. H. Ryder 世界图书出版公司 量子场论 Field Quantization Greiner 世界图书出版公司 量子场论 相互作用的规范理论 戴元本 科学出版社 量子力学 Quantum Mechanics (Non-relatisticTheory) 3rd.ed. Landau 世界图书出版公司 量子力学 Quantum Mechanics:Special Chapters Greiner 世界图书出版公司 量子力学 Quantum Mechanics: A Introduction 4th ed. Greiner 世界图书出版公司 量子力学 量子力学：对称性 W.顾莱纳 B.缪勒 北京大学出版社 量子力学 量子力学：导论 瓦尔特.顾莱纳 北京大学出版社 量子力学 量子力学（卷I）（第三版） 曾谨言 科学出版社 量子力学 量子力学卷II（第三版） 曾谨言 科学出版社 量子力学 高等量子力学 喀兴林 高等教育出版社 量子力学 量子力学原理 王正行 北京大学出版社 量子力学 量子力学纠缠态表象及应用 范洪义 上海交通大学出版社 量子电动力学 Finite Quantum Electrodynamics Scharf 世界图书出版公司 量子电动力学 Quantum Electrodynamics 2nd ed. Berestetskii 世界图书出版公司 弦论 String Theory Vol.1 J. Polchinski 世界图书出版公司 弦论 String Theory Vol.2 J. Polchinski 世界图书出版公司 统计物理学 统计物理学(第二版) 苏汝铿 高等教育出版社 统计物理学 Thermodynamics and Statistical Mechanics Greiner 世界图书出版公司 统计物理学 Statistical Physics Part 1 3rd ed. Landau 世界图书出版公司 统计物理学 Statistical Physics Part 2 Lifshitz 世界图书出版公司 统计物理学 A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics D.P.Landau 世界图书出版公司 统计物理学 Statistical Physics:Statics, Dynamics and Renormalization L.P.Kadanoff 世界图书出版公司 统计物理学 Methods of Statistical Physics T.Tanaka 世界图书出版公司 统计物理学 群论及其在固体物理中的应用 徐婉棠、喀兴林 高等教育出版社 凝聚态理论 凝聚态物理学 上卷 冯端 高等教育出版社 凝聚态理论 固体理论（第2版） 李正中 高等教育出版社 凝聚态理论 Solid-State Physics 世界图书出版公司 凝聚态理论 Introduction to Solid-State Theory O.Madelung 世界图书出版公司 凝聚态理论 Principles of Condensed Matter Physics Chaikin 世界图书出版公司 凝聚态理论 Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics Tsvelik 世界图书出版公司 磁性物理学 凝聚态磁性物理 姜寿亭，李卫 科学出版社 金属物理学 金属物理学 第一卷 结构与缺陷 冯端 科学出版社 金属物理学 金属物理学 第二卷 相变 冯端 科学出版社 金属物理学 金属物理学 第三卷 金属力学性质 冯端 科学出版社 金属物理学 金属物理学 第四卷 超导电性和磁性 冯端 科学出版社 半导体物理学 半导体物理与器件（第三版） （美）尼曼 电子工业出版社 半导体物理学 半导体物理学（第6版） 刘恩科 电子工业出版社 电介质物理学 电介质物理学（第二版） 殷之文 科学出版社 超导物理学 超导物理 张裕恒 中国科学技术大学出版社 超导物理学 超导理论 章立源 科学出版社 超导物理学 Phase Transition Approach to High Temperature Superconductivity 世界图书出版公司 等离子体物理学 The Physics of Plasmas T. J. M. Boyd, J. J. sanderson 世界图书出版公司 等离子体物理学 等离子体粒子模拟 邵福球 科学出版社 原子物理学 原子物理学(第3版) 杨福家 高等教育出版社 原子物理学 The Physics of Atoms and Quanta H.Haken, H.C.Wolf 世界图书出版公司 原子核牧师学 原子核物理(修订版) 卢希庭 原子能出版社 原子核牧师学 原子核物理（第二版） 杨福家 复旦大学出版社 原子核牧师学 Nuclear Models 世界图书出版公司 宇宙学 Cosmologcal Physics J. A. Peacock 世界图书出版公司 宇宙学 物理宇宙学讲义 俞允强 北京大学出版社 科普·传记 费恩曼物理学讲义（第1卷） 费恩曼 等著 上海科学技术出版社 科普·传记 费恩曼物理学讲义（第2卷） 费恩曼 等著 上海科学技术出版社 科普·传记 费恩曼物理学讲义（第3卷） 费恩曼 等著 上海科学技术出版社 最最基础的：赵凯华《新概念物理系列教程》 The Feynman Lectures on Physics1,2,3 进阶：梁昆淼和Arfken的数学物理方法， 梁昆淼和Marion的理论力学， Griffith和郭硕鸿，虞福春的电动力学 曾谨言和程檀生，Griffith的量子力学 杨福家和Eisberg的近代物理学 王竹溪和汪志诚，Reif的统计物理学 Manchester理论物理教程，北大张启仁理论物理系列教程 日本岩波书局物理学系列教程 高级的：Corant和Hilbert的数学物理方法，王竹溪的特殊函数。 Classical Mechanics: Harvard, Goldstein(199903-200001) Classical Electrodynamics:UIUCCaltech, Jackson(200009-200101) Statistical Mechanics:Caltech, Huang(200003-200101) Quantum Mechanics:Hawaii, Sakurai (200009-200107) Solid State Physics:Manchester,HallCaltech, Charles Kittle(200109-200201) Peskin和Weinberg的量子场论 台湾吴大猷理论物理经典教程 以及Landau和Greiner的理论物理学系列教程 进阶的：廷哈姆的超导电性，章立源的超导理论 以及Theoreticaland Computational Chemistry系列丛书， 相应的电介质物理，磁性物理，分子光谱与分子点群，元激发物理等 普通物理 一般的教材 Tipler, Physics for Scientists and Engineers, 4th or 5th edition. 叫这个名字的普通物理教材比较多，其中不少都被广泛采用，这本是Princeton近年来用的，教师们评价不错，可惜我还没看过。 上面这类教材主要是理工科非物理专业的用的，如果精力有限，看这种就可以了，不会影响后续课程的学习，毕竟理论物理才是更加重要的。如果想要扎实的基础，需要看一些Honors的普通物理教材，主要是力学和电磁学需要足够的训练，但也不应该花费过多的精力，尤其对业余自学的人。 力学 Kleppner and Kolenkow, An Introduction to Mechanics. 以前有人发帖说赵剀华的力学“技术性”太差，这本Honors course的经典著作应该可以弥补吧！ Howard Georgi在Harvard主讲了多年的力学课程 http://my.harvard.edu/icb/icb.do?course=fas-phys16 textbook目录下是David Morin写的课本，免费下载，每学期更新。lectures里面Georgi的讲义也很详细。开课的学期（秋季）还有录象 下载 （，不要密码，无IP和限制！），可惜现在没有了，看下个学期运气吧。 热学 这部分在普通物理中地位相对比较次要，主要内容会在以后统计物理中学习。 E. Fermi, Thermodynamics. 140页的精致小书，很快可以看完，没有统计物理的内容。 Tipler的热学部分. 有初步的气体动理论（统计物理）。 电磁学 Purcell, Electricity and Magnetism, 2nd edition. 米国Honors电磁学课程很少有不用这本书的。这是当年Berkeley教程中唯一一本还没有停版的。 振动与波（包含光学） 在国内机械波一般在力学中讲，电磁波一般在光学中讲授，国外多数是放在专门的波动课程里教的。 Howard Georgi, The Physics of Waves. 听作者的名字是如雷贯耳，但是这本书很少用作教材，据说是因为太难。 Frank S. Crawford, Jr., Waves. Berkeley教程中的一种，图书馆要是没有英文版至少也该有中译本。 A. French, Vibrations and Waves + Eugene Hecht, Optics, 4th edition. 第一本讲机械震动和机械波的，第二本是光学，组合起来基本上是完整的（普通）波动理论。Hecht的光学篇幅很大。个人觉得波动理论的书还是简练一些的好。专门从事光学方面研究的人以后会看更加高等的专著，所以推荐下面的组合： A. French, Vibrations and Waves + Grant R. Fowles, Introduction to Modern Optics. 与上面类似的机械+光学组合，Fowles的光学篇幅只有Hecht的一半。 近代物理 一般就是相对论和量子物理引论及简单应用，像热学一样，不必花太多精力，因为学过一学期 量子力学 后再学习各种应用比较好。至于相对论，在学习力学的时候就应该学，电磁学里面要用。 相对论 A. French, Special Relativity. Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler, Spacetime Physics. Kleppner and Kolenkow《力学引论》的相对论部分. Tipler物理的相关章节。 量子部分 Tipler书里的相关章节。 最后有一个做物理必看的参考书 Richard Feynman, The Feynman Lectures on Physics, Vol 1-3. 科学巨匠的骇俗之作，充满创造性和物理直觉，讲法精妙，很多漂亮的比方和物理图象叫人拍案。但是这不适合初学者，除非基础不好的人，否则难以深刻体会，所以放在最后。教师通常不敢用来作教材，因为很可能失败（有的说是怕学生提出里面问题回答不了），当年Feynman唯一一次上普通物理，用这些内容把新生都吓跑了，但是跑来听课的研究生和教授却越来越多…… 北京世界图书公司有影印版，虽然每卷都将近100元，我觉得仍然是超值享受。有些国内网站也有下载（个别页面损坏）。 理论物理（四大力学） 量子力学 David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 1st or 2nd edition. 最好的本科量子力学教材，讲解明晰，易学易懂，物理实例（例题和习题）很多。就是没有早期量子论的内容，第一页就开讲Schodinger Eq。国内很多图书馆没有这本书，不知道为什么。世图有国际版供邮购(￥200.00^_^，已经算很便宜了。） S. Gasiorowiz, Quantum physics. 和Griffiths有点类似，好象逊色一点，不过有早期量子理论的章节。可以参考。 Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quatum Mechanics, Vol 1 and 2. 一共有1500多页！对本科或研究生教材可以写出这么大的篇幅感到惊讶。有人称赞她内容详实，讲解透彻；有些人嫌太罗嗦。 Landau and Lifshitz, Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory), 3rd edition（Landau and Lifshitz理论物理系列的第三卷）. Landau系列是理论物理领域长期以来的经典，一共十卷，通常作为研究生教材。作者擅长从第一性原理出发，演绎出理论体系，在很多地方展现出令人折服的物理直觉。 经典力学（理论力学） Louis Hand and J. Finch, Analytical Mechanics. 比较新的教材，使用广泛，分析透彻，或许是最适合当代教学使用的，有很多高等题材以及一章“混沌”的导引。 Landau and Lifshitz, Mechanics（Landau and Lifshitz理论物理系列的第一卷）. 简练精致，是该系列中篇幅最小的。Landau的一贯风格。建议初学时配合Hand的书作参考（除非是天才）。北京世图影印。 H. Goldstein, Classical Mechanics, 3rd edtion. 就是楼下有个帖子里讲的那本，高教快出版了，把钱准备好。几十年的经典，庞大的篇幅，完整的古典内容，外加一章混沌，以前作为研究生教材，现在…… J. Jose and J. Saleton, Classical Dynamics, A Contemporary Approach. 这个是研究生教材，大量采用当代几何语言。 电动力学 David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd edition. 老美本科流行教材，几乎人人说好，从讲法到习题都独具匠心，容易理解。详见Amazon.com的Review。 J. D. Jackson, Classical Electrodynamics. 世界上最著名的研究生电动力学教材，需要扎实的数理方法基础，习题很有挑战性。高教去年影印。 Landau and Lifshitz, The Classical Theory of Field（Landau and Lifshitz理论物理系列的第二卷）. Landau学派的又一经典，从狭义相对论出发建立电磁理论。比较高等，学完Griffiths后可以看看。 热力学与统计物理 Charles Kittel and Herbert Kroemer, Thermal Physics. 本科层次最好的热力学与统计物理教材。 Frederick Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. 另外一本流行的本科教材，很老，感觉没Kittel那本好。 Landau and Lifshitz, Statistical Physics, part 1（Landau and Lifshitz理论物理系列的第五卷）. 研究生教材，本科声参考书。又是Landau的经典，有很好的物理直觉。 数学物理 一般地要为学四大力学作准备，需要复分析和微分方程的基础，像Churchill and Brown, Complex Variables and Applications以及Michael D. Greenberg, Advanced Engineering Mathematics（两本国内都有影印版）这个层次的就足够了。如果要做理论物理，需要更加全面的数学物理基础： George B. Arfken, Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 5th edition 古典的数学物理内容都包括了，从复分析，微分方程到群论都有了。 Bernard Schutz, Geometrical Methods of Mathematical Physics。 有微积分和线性代数基础就可以看了，通过学习该书，物理领域的读者可以熟悉现代几何语言，为研究理论物理作好准备。 Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 1st or 2nd edition. 几何与拓扑在物理中的地位日渐显著，这本著作为熟悉量子场论的读者提供了研究物理需要的几何基础。阅读该书需要比较多的准备，好在开头几章为不熟悉场论的读者作了一点物理上的准备。 本科生必修的东西差不多就这些了，下面是比较主要的选修方向： 固体物理 在我国好象都是必修的，固体课程有这么特殊的地位大概是因为要“联系实际”吧 N. Ashcroft and Mermin, Solid State Physics 最好的固体教材，全书从经典理论开始，通过逐渐修正完善，建立起精确的理论，很有思想性，有利于培养研究的思路方法。 C. Kittel, Introduction to Solid State Physics， 7th edition. 同样是Kittel的东西，似乎不如他的《热物理》好，有人对它评价很低。不过都出到第七版了，生命力如此旺盛总有点理由吧。 粒子物理 Gavid Griffiths, Introduction to Elementary Particles. Griffiths的三本Introduction几乎垄断了三门课程的教材市场。比较偏重计算。 Halzen and Martin, Quarks and Leptons 没看过，但是很有名 Perkins, Introduction to High Energy Physics 理论没有Griffiths深入，但是有很多新进展，譬如超对称。北京世图有影印 上面这些内容，本科生毕业时候应该掌握其中80%。有了这些基础，就可以学研究生的课程并参加点科研了。 本来只是想抽空写点推荐，没想到竟然写下真么多，从一个侧面了解到物理学之博大精深。 杂项 增长见识，培养兴趣 Roger Blandford and Kip Thorne, APPLICATIONS OF CLASSICAL PHYSICS http://www.pma.caltech.edu/Courses/ph136/yr2002/index.html Caltech的这门课程由一些在基础课里不讲或来不及讲的东西合并而成，涉及统计物理，光学，连续介质力学，等离子体和广义相对论。 Surely you are joking, Mr Feynman（别闹了，费曼先生；80年代大陆译本：爱开玩笑的物理学家费曼） Richard Feynman的传奇故事，做物理的哪有不喜欢看的？ 国内的教材就看看清华大学张三慧等人撰写的教材，其实不错。 链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-49409.html
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分享 数学专门化的一些参考书
hylpy1 2016-8-28 13:08
各方向的一些专业门化课程的参考书，大家可以在自己组织讨论班或者上相关的专门化课程的时候参考： 量子群、代数群与李理论方向： J.P.Serre，Lie Algebras and Lie Groups，Springer。 A.L.Onishchik、E.B.Vinberg，Lie Groups and Algebraic Groups，Springer。 V.I.Voskresenskii，Algebraic Groups and Their Birational Invariants，AMS。 V.Kac，Infinite-dimensional Lie Algebras，Birkhauser。 J.Hong、S-J.Kang，Introduction to Quantum groups and Crystal Bases，AMS。 S.Majid，A Quantum Groups Primer，Cambridge University Press。 G.Lusztig，Introduction to Quantum Groups，Birkhauser。 S.Ariki，Representations of Quantum Algebras and Combinatorics of Young Tableaus，AMS。 代数表示论方向： J.A.Drozd、V.V.Kirichenko，Finite Dimensional Algebras，Springer。 M.Auslander、I.Reiten、S.O.Smalo，Representation theory of Artin Algebras，Cambridge University Press。 I.Assem、A.Skowronski、D.Simson，Elements of the Representation Theory of Associative Algebras，Cambridge University Press。 C.M.Ringel，The Hall Algebra Approach to Quantum Groups（ http://www.math.uni-bielefeld.de/~ringel/elam.ps ）。 C.M.Ringel，Tame Algebras and Integral Quadratic Forms，Springer。 W.Crawley-Boevey，Lectures on Representations of Quivers（ http://www.amsta.leeds.ac.uk/~pmtwc/quivlecs.pdf ）。 W.Crawley-Boevey，More Lectures on Representations of Quivers（ http://www.amsta.leeds.ac.uk/~pmtwc/morequivlecs.pdf ）。 W.Crawley-Boevey，Geometry of Representations of Algebras（ http://www.amsta.leeds.ac.uk/~pmtwc/geomreps.pdf ）。 V.Ginzburg, Geometric Methods in Representation Theory of Hecke Algebras and Quantum Groups（ http://arxiv.org/abs/math.AG/9802004 ）。 C.M.Ringel, The Preprojective Algebra of a Quiver（ http://www.mathematik.uni-bielef ... rints/pr97046.ps.gz ）。 数论方向： J-P.Serre，A Course in Arithmetic，Springer。 A.A.Karatsuba，Basic Analytic Number Theory，Springer。 N.I.Koblitz，Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms，Springer。 H.Lange、C.Birkenhake，Complex Abelian Varieties，Springer。 M.Hindry、J.Silverman，Diophantine geometry，Springer。 N.I.Koblitz，P-Adic Numbers，P-Adic Analysis and Zeta-Functions，Springer。 L.E.Washington，Introduction to Cyclotomic Fields，Springer。 J-P.Serre，Local Fields，Springer。 K.Iwasawa，Local Class Field Theory，Oxford University Press。 G.Shimura，Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions，Princeton University Press。 R.J.Valenza、D.Ramakrishnan，Fourier Analysis on Number Fields，Springer。 J.Milne，Etale Cohomology，Princeton University Press。 R.Langlands，Automorphic Forms on GL(2)，Springer。 D.Bump，Automorphic Forms and Representations，Cambridge University Press。 P.Vojta，Diophantine Approximations and Value Distribution Theory，Springer。 C.Soule、D.Abramovich、J.F.Burnol、J.K.Kramer，Lectures on Arakelov Geometry，Cambridge University Press。 代数几何方向： R.Hartshorne，Algebraic geometry，Springer。 I.R.Shafarevich，Basic Algebraic Geometry Vol II，Springer。 D.Mumford、J.Fogarty、F.Kirwan，Geometric Invariant Theory，Springer。 V.I.Danilov、V.V.Shokurov，Algebraic Curve，Algebraic Manifolds and Schemes，Springer。 D.Huybrechts，M.Lehn，The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves，Vieweg。 W.Fulton，Intersection 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分享 金融-数学（金融数学系列之三）
hylpy1 2016-8-28 12:54
由于最近要给金融数学专业的上一门课（当然是数学课，其实金融我也不懂！），所以需要知道一些金融方面的常识，以免犯一些常识性的错误！特收集一些金融数学方面的博文，全是转载的，没有自己的修改和观点。欢迎各位博主拍砖！谢谢！ Motivation: 首先申明，我写这篇东西没有其他的意思，不是想争论什么，只是想给想申请 finance phd 的那些数学，工程背景的人（更广泛的说，给那些想转专业读 PHD 而又没有相关工作背景的人）点鼓励 , 帮助，一百个人看到这篇文字的人有一个能收到一点点益处，帮助，也不算浪费我的时间。如果现在不写的话，以后估计更不会去写了， “ 勿以善小而不为 ” 。我当初申请的时候遇到了一个 Msc in Financial Mathematics , 现在是 Finance 的 Phd 。我不知道我的经历会给别人什么样的想法，至少他当时给了我一个可能。我希望能让真正需要的人读到这点东西。 Why phd? “When trying to discover something new in any field, one has to spend many years thinking, making salse starts, wandering down blind alleys and stumbling into ditches, only to emerge again and keep going.For this,a PhD is a good, if painful, training.”-E.Derman(PHd physics( 李政道的 phd 学生的 phd ， ^_^),Fromer Head of Quantative strategies at Goldman,Sachsamp;Co.) Why Finance? 怎么说那？ 人各有志，看你自己的想法，兴趣所在，以及你如何计划自己的将来了。我当初可能学测度论的时候太痛苦了，哈哈，但数学其实很有意思的（有篇北大 wang shisheng 的学生写的文章，很搞笑）。目标，计划一定要有的！ “ 人因梦想而伟大 ” ！李开复的文章值得看看，思考一下就好了。也可以看看：凌志军：微软研究院的小子们。这点其实很重要，如果你很清楚自己在做什么，想做什么的话，也许我下面写的东西你基本都知道了。 最近的 Tsunami ，死了好多人，其实想想，我们每个人其实都很渺小的，我们做的事情又有多大意义呢？只不过是在做些 trivial things 谋生而已，一生奋斗的价值怎么去评价？哈哈，扯远了，说不清的事情都！ What is Finance? What is Finance? 对没有 finance 相关背景的的人来说， what is Finance? 去美国 top 20 的 Business school or Finance department 看看那些 prof. 的 paper （如果能看懂那些 paper title 的话），就可以大体了解现在金融发展趋势了。 看 JF ， JFE ， RFS ... 也很不错，不过没有看 personal website 有意思。 总体来说，现在做金融有两个方面： Theoratical and Emperical. 做 thoeratical 需要数学，工程背景，有基本的数学知识及编程能力（ PDE ， numerical methods ， stochastic analysis ， Fortran/C/Java/Matlab programming ）；如果做 empirical ，需要懂 statistics and Matlab/R/Eview/Stata/SAS... uantative Finance in UK （ Filtration Ft {t-(9.2003-12.2004)} ） 总体来说，英国的金融跟美国根本没法比，看几大期刊上（ JF,JFE,RFS...JF 上有篇 paper 专门讲各种 journal 的排名的，哈哈）发表的论文数量就知道了。基本情况是，美国做新 Model, 然后用美国的 data calibration ，然后再做 implementation ， extension ；英国的拿人家的 model ，用英国的 data 再测试一遍 , 参照人家的 benchmark ，然后得出相关 “ 结论 ” ，基本上就跟在人家后面走。而英国的 phd 3 年所受的 trainning 跟美国 phd 5 年所受的 trainning 也相差太大了！说美国的留学生更优秀，更好，不承认是不行的！ 看看美国 top school 提供的 Master in Financial Engeering 的课程设置就知道了，汗。 sigh ！！我不知道在那里的学生是什么情况，没有认识的人。 Which University （ UK ） to Apply ？（ Filtration 9.2003-6.2004 ） 就 mathematical Finance 方面，在 London 有这么几个学校： LBS ， LSE ， IC business School, IC CQF,IC Mathematical Finance, KCL, City, berbeck college ,London. London 有多大的地理优势就不必说了。 如果能去 LBS,LSE ，真的是很幸运也很强。我跟两个 LSE 的 PHd 聊过，感觉人家的资源优势我们根本没法比，能去这两个学校，光是从同同学身上就够你学了。 IC ， Mathematical Finance ，有 M.Davis and C.Albanece, 大家努力搞定他俩中的一个做 Phd 吧，哈哈。（知道的两个 Albanece 的 phd 朋友，一个香港人，一个英国人，从 CQF 转过去的， Davis 曾经有个 CBC 的 phd ， CFA ， FRM ， PRM 都考过了）。 Business School ， professors ， lectures 我觉得满好的（对 IC 有点偏爱 ^_^ ）。 我个人觉得 CQF 其实不错，尽管遇到很多从 CQF 转校或者转系的。整个 CQF 5 ， 6 个 lecturer ，有 50 多 phd^_^ 。想想 3 年之后， phd 到手，还有 3 年的 work experience ，多好啊！ KCL 数学系两个人很牛， Hugoton ， Zermov ，前者搞 interest rate 的 professor ，后者满有实力的。最近也一直在招 lecturer ，新来的 lecturer 尽管都算是 fresh PHd ，但背景其实都不错， phd 导师都是牛人。我当年拿到他的 MSC offer ，嫌学费贵，没去。照现在的发展趋势，大有前途。 Cass Business School, 都说有不错的实业界关系，我是没什么感觉。认识两个中国的女生 Phd ，感觉都很不错 . 在 London ，好像 Berbeck college 的 Quantative finance training （夜校好像 ^_^ ）也不错，不过学校排名不太高。它的 training 很受欢迎的样子。 出了 London ，有 Oxbridge! 当初有个中国人（朋友的朋友），被要求拿到 IC MSC in finance 的 distinction 作为 condition 。我当时申请的时候根本就没考虑 哈哈，不太熟悉就。不过 cambridge 的 newton institute of mathematics 很好！！！ Oxford 也出了 Rebonaton ， Joshi 。 剩下的有 Warwick ， Manchester, Lancaster, HW, York, Reading,... 我的感觉， Warwick 的 MSC financial mathematics 不错的，教课的 professors 们，都可以。 HW 的 Msc in financial mathemaics(joint with Edinburgh) 也不错（学费超便宜， 2003 年 ， 67×× ）。其他几个学校也有，不过名气小些。 Hull,Exter 也有 Msc in financial mathemaics 。 在 UK ，除了我前面说过的，有几个 professors ，值得提一下（都是我当初想陶瓷的， Oxbridge 的我根本就没考虑）。 Warwick ， S,Hodges, financial mathematics, 不过好像从 chair of the center 退了， N.Webber （ interest rate ） 接任的，也不错的样子。 HW 做精算很强，（另外还有 City 和 Kent ）。 A.Cairns 做 interest rate ， pension fund 的。还有几个其他的 professors ，感觉也不错。 Manchester ， R.Stapleton , 做 background risk 的， JF 曾经发过 10 多篇 paper 。 Reading ISMA ，有个 Alexander(female),PRM （ FRM ？）的参考书她是两个主编之一，自己也做软件的。以上的只是跟当初 google 到的 professor 们，大家可以自己去各个学校的主页找自己领域的导师。 在英国，好像还真的没有多少中国人在 academic 做的很好的 (IC 好像有个 Herry Zheng ，不过也是 canadian 的 phd). 不像在美国，一堆数学物理，工程背景的人（ Jun liu,Jun Pan,Ming Huang, Wu Liuren ....... ）在 top school 做 professors （参考 4 ，年薪 16 万 ，美国大学 finance department 点评）。 我的想法 ( 申请原则 ) 总得来说，能进好的学校，尽量争取，不要短视，在好学校交到的朋友（ network ）的价值远远超过你的学费，要有长远眼光。当然前提是，你有能力平衡你读书用的钱和你的学校。我当初相当于放弃了一个全奖，选了现在的半奖！人生就是在选择么，选择完了就是一种经历了。 能去美国最好，我当时懒得动弹，根本就没申请美国。哈哈。其实欧洲也有很多学校不错的（ ETH,FAME.... ， Oslo univ., ） , 不错的 professors 的（ Oksendal ， Lando ， Munk ， Schwiezer ， Eibeilin...... ） .Australia 的 NWS 也有几个人（ BGM ）， Platen 在 sydney tech 好像。香港有两个学校（忘了哪两个）也不错的，人家的 professors 都是 MIT ， Chicago 之类学校的 PHD 。其实，在上海，中科大开了个金融研究所，把 Wall street 的很多校友请了回去，不知道打算怎么发展！ Placement: 我觉得主要是： 1. Academic （工作还是能找到的，学校好坏而已） 2.Hedge Fund and Investment Bank （ Quant ） 关于 quant ，可以看看 Joshi 的 about a quant 。 在英国读 phd in mathematical finance, London 还是有很多机会的，只要你知道怎么去抓住机会。 如果你们的本科是学数学，物理，我觉得我们的数学知识会使我们受益终生！他们是纯粹的自然科学，是跟上帝打交道的科学，永远不会过时，永远都会伴随着你！参考：回首来时路 - 对高雄大学应用数学系同学的讲稿 . 我想说的是： 凡是预则立，不预则费！ 一份耕耘，一份收获！ 充满激情的去做自己想做的事情吧！ 没有任何人可以阻止你成功除非你自己对自己说了不！ 但， Always look for the joy in life! ( 参考：从加州理工到高盛银行》 -- 粟耀莹 ) 下面是我想到的对申请 phd in Financial Mathematics 有用的各种材料。 几部电影 “ 有这样一些影片，已成为构筑我的精神家园的一部分，它们赞美 了人类高贵的信念，是我经常要去回顾和审视的。《勇敢的心》 宣扬的是自由的精神，《最后的莫根战士》叙述的是爱情的悲壮， 而这部《刺激 1995 》表现的是希望的力量。每一次静悄悄地重温这些影片，都能让我们更深切地感悟到信念的尊贵和生命的可爱。 ” 几本书： 徐小平 图穷对话录： E. Derman ： My life as a Quant － Reflections on Physics And Finance Conclusion: 重申一遍，写这个东西是因为身边有些朋友问我申请 phd 的事情，我只是介绍一下我曾经的想法，以及我还没有忘记的一些有用信息和我认为比较好的文章，希望能给需要的人一点启示，帮助。信息的来源和准确性我没有时间去认真证实，你们知道我想表达的意思就好了。至于如何去陶瓷以及申请技巧问题，奖学金申请的问题，在很多 BBS,website 上面有很多相关的讨论贴了，找自己想要的信息吧。寻找有用文献的能力是 phd 必须具备的，就把申请过程作为 trainning 吧。跟人打交道的能力也蛮重要的，就把跟 professors 们陶瓷的作为 exercises 吧， ^_^ 。 training ， exercise pass 了，再加上一点运气（运气是需要的，仅仅当你实力不够的时候，年轻不是错吧？！所以找个欣赏你 potential 的 professor 啦，唉！还是上面的 exercises ），你就是 phd 了。写到这儿，希望我的时间（远远超过我的预期了！！！！）没有白费，能让我 “ 勿以善小而不为 ” 心愿达成！ ^_^ 总之， enjoy life ！希望大家都能顺利的申请到 offer ！ ^_^ References ： 1 。 李开复：成功 自信 快乐 李开复中国学生网 2 。 Joshi ： about a quant （他的 personal website 里有很个 personal website list ，从 Wilmott 上摘的） 3. 凌志军：微软研究院的小子们 4 。 ？？？，年薪 16 万 ，美国大学 finance department 点评 5. ？？， 回首来时路 - 对高雄大学应用数学系同学的讲稿 6. 《从加州理工到高盛银行》 -- 粟耀莹 本文来自 : 人大经济论坛 详细出处参考： http://www.pinggu.org/bbs/viewthread.php?tid=11176page=1fromuid=314297
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hylpy1 2016-8-28 12:53
由于最近要给金融数学专业的上一门课（当然是数学课，其实金融我也不懂！），所以需要知道一些金融方面的常识，以免犯一些常识性的错误！特收集一些金融数学方面的博文，全是转载的，没有自己的修改和观点。欢迎各位博主拍砖！谢谢！ 经济史学家声称：早在古希腊时代，第一张借据产生的那一刻，金融（ finance ）就出 现了。所谓金融，顾名思义就是指资金的融通或者说资本的借贷。更进一步看，我们认为， 金融需要解决的核心问题就是：如何在不确定的环境下，对资源进行跨期地 最优配置。 这还算不上是一个定义，但是它确实为我们提供了一条线索，为了澄清 “ 金融 ” 一词 应当包含的确切涵义，我们不妨先详细描述一下，资源是如何在不确定的环境下，进行跨 期配置的。为此不得不动用经济学家历来钟爱的荒岛鲁宾逊（ Robinson Crusoe ）传奇。 故事仍然从鲁宾逊在沉船的残骸中取回了最后的一些谷子开始。他必须现在就消费其 中的一部分，否则立刻就会饿死；但又不能图一时享受把谷子全部吃光，还必须拿出一部 分用于耕种，期待来年有所收获以维持生计。到此为止一切还好，就像经济学教科书中描 写的那样有条不紊。但很快鲁宾逊遇到一个新问题，在他耕种得已经很熟悉的那块土地上， 每年的产出量都是一个不太多的固定数目，他对此不太满意。一次在岛东边巡视时，他发 现了一片看上去非常肥沃的冲击平原。他估计如果把谷子播种在这块土地上，来年可能会 有更好的收成。但是他对此又没有十分的把握，如果把所有的种子都投放在这个风险项目 上，而又不幸出了什么差错的话，那么他辛辛苦苦一年，到头来仍然难逃饿 死的命运。 现在问题复杂了，鲁宾逊必须同时决定现在消费多少谷子、投放多少谷子在原来的土 地上，又投放多少在有风险的土地上。换句话说，作为消费者的鲁宾逊必须决定如何跨期 地在不确定的环境下，把资源最优地配置给同时又是生产者的鲁宾逊。这就是金融所要解 决的核心问题。按照现代金融理论的术语，鲁宾逊要求解一个终身的跨期最优消费 / 投资决 策问题，而他至少要了解随机最优控制方法，才能对这个问题提供一个令人满意的答案。 无论从哪个角度看，这个不确定环境下的资源最优跨期配置问题都是相当棘手的。那么现实中的经济体系是如何对这个问题做出解答的呢？既然我们说金融是一个资源配置过 程，那么完成这种资源配置历来就有计划和市场两种方式。 假定个人即国家，则鲁宾逊的决策就提供了一个典型的小型封闭经济，在不确定环境 下跨期资源配置问题的全部答案。如果中央决策者完全掌握了经济 的生产能力、了解每个人的偏好，对未来不确定性有足够的认识、有强大的计算能力来随 时求解上述随机最优控制问题，并可以由始至终地贯彻自己的意志，理论上他完全可以胜 任在不确定环境下最优化跨期资源配置的任务。 这正是大部分前计划经济，包括 1956—1979 年间的中国所努力从事的工作。但是出于 一些众所周知的原因，从 20 世纪 80 年代起，几乎所有计划经济的中央决策者都不约而同 地开始（部分或者全面）放弃履行资源跨期配置任务的职责。以中国国有企业固定资 产投资中国家所占的比例为指针，从一个侧面反映了中央决策者逐渐放弃了直接参与资源 跨期配置决策的过程。计划经济把资源跨期配置的任务交给了另一种可供替代的制度安排 —— 市场。 整个封闭经济条件下，市场化的跨期资源配置过程和结构如图所示。在市场体制下，原来由中央政府做出的决策又重新回到了鲁宾逊式的个人一级。个人，或者更一般的经济体系中的资金盈余单位，获得收入并分割为当期消费和投资。而在另一方面，经济体系中存在着大量提供产品和劳务的实际生产者（主要是企业，也包括政府），为了生产和再生产，它们需要大量的资金支持。在它们资产负债表（ balance sheet ）的资金来源一方，是代表收益要求权（ claim ）的股票、债券和债权；另一方的资产则产生收入，再分配给个人进行新一轮的投资、扩大再生产和资源跨期配置过程。连通消费和生产，媒介资源跨期配置的就是金融市场和金融中介机构。这就是现代市场经济（同时也是货币经济）环境下金融的全部内容，因此，实际上现代金融可以视为不确定环境下，资源跨期最优配置的市场解决方案。换句话说，我们把金融定义为：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进行跨期（最优）配置。 2 金融学 应当说，明确了金融的含义也就明确了金融学的对象和内容。但事实上，目前国内外 大专院校的金融专业中，开设了各种各样的金融学课程，例如投资学、公司 金融学、金融工程学、金融市场学、金融经济学、货币银行学、 国际金融学、公共财政学、数理金融学、金融（市场）计量经济学等。 它们之间存在密切的联系，并在教学内容和课程设置上存在着某种程度的重叠。尽管 人们普遍认识到：原则上它们都属于广义金融学的范畴，但由于缺乏统一的理论基础和方 法论指导，它们不得不处于目前这种离散的状态。迫切需要建立起一个能够涵盖这些紧密联系的分支学科，并为其提供经济学理论基础的统一学科。 为了探讨这种统一学科是否有存在的可能性，我们不妨先看一下现有这些分支学科（也 即是课程）的主要内容和相互之间的关系。 在微观层面上，投资学研究如何把个人、机构的有限财富或者资源分配到诸如股票、 国库券、不动产等各种（金融）资产上，以获得合理的现金流量和风险 / 收益特征。它的核 心内容就是以效用最大化准则为指导，获得个人财富配置的最优均衡解。 金融市场学分析市场的组织形式、结构以及微结构（ microstructure ），同时考察不同的 金融产品和它们的特征，以及它们在实现资源跨期配置过程中起到的作用。它们的合理价 格是这种研究中最重要的部分。 公司金融学考察公司如何有效地利用各种融资渠道，获得最低成本的资金来源，并形 成合适的资本结构（ capital structure ）。它会涉及到现代公司制度中的一些诸如委托 — 代理 结构的金融安排等深层次的问题。 金融工程学则侧重于衍生金融产品的定价和实际运用，它最关心的是如何利用创新金 融工具，来更有效地分配和再分配个体所面临的形形色色的经济风险，以优化他们的风 险 / 收益特征（ profile ）。 最近才逐渐明确并正在快速发展的金融经济学，则是我们所说的真正意义上的作为金融学科（统一）理论基础的金融学。同经济学面临的任务一样，它试图通过对个人和厂商的最优化投资 / 融资行为以及资本市场的结构和运行方式的分析，去考察跨期资源配置的一般制度安排方法和相应的效率问题。而另一方面，在宏观层面上除了一些必要的关于货币本质、形式，货币制度和金融体系的介绍以外，货币银行学的核心内容是货币供给和需求、利率的决定以及由此而产生的对于宏观金融经济现象的解释和相应的政策建议。就此而言，可以说它是主流宏观经济学的一种货币演绎。 国际金融学本质上是开放经济的货币宏观经济学，因而它往往被认为是货币银行学的 一个外延和必然组成部分。在经济全球化进程中，它主要关心在一个资金广泛流动和灵活多变的汇率（ exchange rate ）制度环境下，同时实现内外均衡的条件和方法。与以上这些分支学科相比，数理金融则显得比较独特，与其说它是一门独立的学科， 倒不如说它是做为一种方法存在。它主要使用一切可能的数学方法，来研究几乎一切金融问题，特别是复杂产品定价和动态市场均衡。类似的还有金融市场计量经济学，本质上它 属于计量经济学：基于实际数据，以统计计量的方法为各种金融模型和理论提供效验（验伪）手段和证据。 综上所述，我们大体上可以认为：金融学的这些分支学科（数理金融和金融计量经济 学除外）所考察的金融现象发生在不同的层次之上，并存在着某种分工。藉此我们提出构架金融学科的总体设想：以金融经济学和货币银行学两门学科为主干，建立起统一的金融 学理论学科，它包括微观金融学（ Microfinance ）和宏观金融学（ Macrofinance ）两大分支。 这并不仅仅是简单的名称变化，它不仅意味着分类逻辑的通畅和完备，而且正如我们将看 到的那样，各种学科之间的固有联系变得有机、清晰，并紧密统一在一个完整的框架结构中。 建立一门学科，首先必须明确它的研究对象，又使用什么样的方法论的问题。这就必须首先为金融学下一个靠得住的定义。基于前面对 “ 金融 ” 一词内涵的认识，我们说金融学是研究如何在不确定性的环境下，通过资本市场，对资源进行跨期最优配置的一门经济科学。 这听上去是不是有些耳熟呢？是不是很像经济学的传统定义呢？实际上，金融学最早 游离于正统经济学之外，是道 琼斯（ DowJones ）式的简单数据采集和统计分析 ④ ，由于 有巴舍利耶（ Bachelier L. ）、马科维茨（ Markovitz D. ）、阿罗（ Arrow ）、德布鲁（ Debreu ）、 托宾（ Tobin J. ）、夏普（ Sharpe W. ）、萨缪尔森（ Samuleson P. ）、布莱克（ Black F. ）、休尔斯（ Scholes M. ）、默顿（ Merton R ， C. ）、哈里森（ Harrison D. ）、克里普斯（ Kreps ）、达菲（ Duffie D ）和黄（ Huang C.H. ）等经济学家们的杰出工作，它日益向严格的经济科学靠拢，并紧紧地与正统经济学结合在一起 ⑤ 。实际上它就是经济学 ⑥ ，正如现代经济学最新的研究方向就是试图在涉及不确定性和动态过程的问题上有所突破一样，金融学视它们为应有之义和一切问题的出发点。因此可以说金融学是专门研究不确定性和动态过程的经济学。所 以不奇怪它同正统经济学在学科研究内涵和基本方法论上存在某种相似性。与其说是由于 研究方法，还不如说是由于其特殊的研究对象（货币、金融现象），使得它作为一门独立的 经济学科存在。实际上，金融学的这个定义和微观金融学与宏观金融学之间的关系要比我们想象中的微妙。把它们与经济学的定义和微观经济学与宏观经济学之间的关系做一个对照，就会有一个比较明确的认识。从 1870 年的边际学派（ Margin School ）到马歇尔（ Marshall. A ）一脉相承的新古典经济学（ new classical economics ）就是研究资源配置的，在一个制度永远不会变化的世界中，市场机制巧妙地安排产出、分配、社会福利 ?? 人们在感叹这种制度的美妙时，只要无为而治就可以了。这种乐观情绪一直维持到 20 世纪 30 年代动摇整个西方资本主义世界的经济危机以及由此而来的经济学危机。这之前只有惟一的、研究资源配置的（新古典）经济学。而以凯恩斯革命（ Keynsian revolution ）为分水岭，新古典经济学，包括它无所作为的政治信念，被正式冠以微观经济学（ microeconomics ）的名称；而凯恩斯和他的追随者倡导的宏观分析方法及其国家干预经济的政策建议最终形成了现代宏观经济学 （ macroeconomics ）。从此经济学包含了宏观、微观两大分支，而原有的经济学定义也得到 了拓展。 反观金融学思想的发展历程，在早期的古典经济学家那里，他们关心整体价格水平（如 货币数量理论）、利息率决定和资本积累过程等问题，也就是说他们更多的是在宏观的意义 上考察金融（经济）问题（熊彼得， 1951 ）。新古典后期的经济学家们，如维克塞尔（ Wicksell ）， 则通过利息理论把宏观金融问题与一般经济问题（如经济增长和经济危机）紧密结合在一 起考虑。等到凯恩斯的革命，顺理成章的，它不但确立了现代宏观经济学，也标志着现代 宏观金融学的形成，从此宏观金融学的核心内容 —— 货币理论也同时作为宏观经济学中的 重要内容被不断改进，并一同传授给学生。与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分，再有微观部分的。一般认为微观 金融学出现在 20 世纪 50 年代中期，如同新古典的经济学（即后来的微观经济学）一样，它也是一种价格理论，它认为使得资源（跨期）最优配置的价格体系总是存在的，反过来 说，这句话就意味着：它的目标就是寻找使得资源最优配置的合理（金融资产）价格体系。宏观金融学则没这么乐观，由于无论是凯恩斯主义还是货币主义赋予它的精神实质都是国家干预（资本）主义，它势必拓展成为现代宏观经济学的货币版本。 因而有必要再重申一下，我们上面给金融学下的定义是新古典意义上的，它同时也适用于我们的微观金融学。而宏观金融学则是资源非有效配置情况下（即自由价格机制在某种程度上失灵），对微观金融学（即新古典的金融学）的一种现实扩展，尽管获得这种认识的历史顺序与逻辑顺序正好相反（同经济学相比较而言）。我们希望这种意义上的金融学（包括宏观金融学和微观金融学），能够对现有各金融学 分支学科提供足够的兼容性；而且最重要的是，它必须提供一个开放的学科结构，能够适 应飞速发展的金融理论和实践创新的需要。接下来让我们具体看一下，应当如何安排这门 学科的框架结构和基本内容，来实现对现有众多的金融学分支学科的兼容。 微观金融学：微观金融学主要考虑金融现象的微观基础。如同微观经济学一样，它实质上也是一种价格理论，它研究如何在不确定情况下，通过金融市场，对资源进行跨期最优配置，这也意味着它必然以实现市场均衡和获得合理金融产品价格体系为其理论目标和主要内容。也许受到实际工作的过多影响，它的一个重要任务是为资产定价（ asset pricing ）。 首先需要阐明的是：微观金融学这门学科的主要研究方向和内容以及使用的主要数学工具和方法。在初步引入不确定性、时间等一些基本概念后，同微观经济学类似，为了呈现理性决策的基础，需要建立个人偏好公理体系和效用函数理论。有了上述基础，接下去 __ 很自然的，会考察个人如何做出投资 / 消费决策，以使得个人终身效用最大化。问题的另一个方面便是生产者的融资行为理论。企业如何做出它们的投资 / 融资决策，通过合理的资本结构安排，使得所有者权益最大化。资金的供给者（投资者）和需求者（融资者）最终在资本市场上相遇。同产品市场上的情况类似，当市场均衡时 ③ ，资产的价格和数量必须同时被决定。一个完整的金融市场 必然包括为克服风险而产生的衍生金融产品市场，同样的，它们的价格体系也是人们极为关心的。此外，另一媒介资源跨期配置的支柱 —— 金融中介机构在金融过程中扮演什么角色，以及它与金融市场之间的关系也是微观金融分析的应有之意。宏观金融学。宏观金融学研究在一个以货币为媒介的市场经济中，如何获得高就业、低通货膨胀、国际收支平衡和经济增长 ⑥ 。可以认为宏观金融学是宏观经济学（包括开放条件下）的货币版本，它着重于宏观货币经济（包括了开放条件下的）模型的建立，并通过它们产生对于实现高就业、低通货膨胀、高经济增长和其他经济目标可能有用的货币政策结论和建议。 货币起源、定义和作用。货币有两个主要作用 —— 媒介交换和储藏价值。可以说正是这种区分导致从货币数量理论到现代货币理论的发展，这一切都发生在自由资本主义向国家资本主义、从相对封闭经济向大规模资本流动的资本主义世界广阔的历史背景之下。货币的制度安排和以银行为主的现代金融体系。现代金融体系包括银行、非银行金融机构和各种专业金融市场，它们保证货币主要功能的实现。从最初的，仅仅是确保纸币稳定地充当流通手段的早期银行制度，到为了资本主义筹集巨额建设资金的直接金融市场，又进一步发展出了适应国家干预，以确保资本主义经济健康运行的，以中央银行为核心的现代金融体系。 早期封闭经济下的宏观金融理论就是用来解释总体价格水平的，如有代表性的费雪的交易方程式（ Fisher ， I.1911 ）；剑桥方程式（ Pigou ， A.C ， 1917; Marshall ， A.1923 ）则是试图对货币需求做更进一步理解的最初尝试，尽管它认为货币需求主要来自于交易。所以一点也不奇怪，两分法（ dichotomy ）和货币数量论会在几个世纪的宏观金融理论领域内占统治地位。 在开放条件下，即国际金融领域，这一时期休谟（ Hume ， D ， 1752 ）的价格 — 金银自 由流动机制是在以贸易为主的世界经济交往格局中，惟一的一种国际收支（即外部平衡） 的自动调节机制。这时的汇率决定理论就是绝对或者相对购买力平价理论（卡赛尔， Cassel ， G. 1914 ）。 实际上从这里我们可以看到，即便是自我标榜为经济科学的西方经济学，也有深深的 历史痕迹。只是他们不习惯问自己这样一个问题，为什么费雪和马歇尔只是把货币看成交 易媒介，而凯恩斯和托宾会认为利息率在货币需求中也起重要作用。答案很简单，历史还 没有发展到能够提供相应经济现象的那个阶段。进入工业社会，货币作为资本，越来越多 地在资本主义生产中起决定性作用了，它从流通手段发展成万能的资本。 我们知道货币理论中货币需求是问题的关键，凯恩斯识别出了货币的投机需求，从而 货币需求不只是收入（交易量）的函数，也是利率的函数，现代资产选择理论开始显示自 己的力量，货币只是众多备选金融资产中的一种。在新货币主义的框架下，问题可以简化 为既定收入（恒久收入）、财富约束下个人资产配置的均衡问题，或者既定价格（资产收 益率）体系下，收入（参数）扩张的路径问题。无论如何， LM 曲线出现了，它决定了利 息率和国民收入之间的关系，从而在 IS-LM 框架中，不再有两分法了，只有统一的现代货 币经济学（它也就这样渗透到宏观经济学中去了）。 在相应的国际金融领域，大规模的资本流动，使得外部平衡的传统定义有了更新，基 于资产选择方法的汇率理论开始被普遍接受，以蒙代尔 - 佛莱明（ Modell-Fleming ）模型的 出现为标志，整个经济的内部、外部均衡开始被紧密地联系在一起考虑。这也同时隐含着 开放的货币经济的整体均衡有可能通过适当的政策协调得以实现。这种协调既出现在一个 经济的内部，也出现在不同经济之间。由于始终存在着看待问题的不同角度和研究风格，因而在一些重要的金融问题，如通 货膨胀、汇率管理、市场干预等方面，总是会有不同货币政策和争论产生，这也构成了宏观金融理论的一个重要的也是必然的部分。 可以设想，完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融学为理论基础，扩展到 各种具体的应用金融学学科上，而数理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将逐渐贯穿整个从理论到实践的过程。图提供了一份比较完整的现代金融学学科的构成图，当然， 由于实践的快速发展和学科的开放性质，它将不断得到进一步的充实和扩展。构建一门学科是为了更全面和更系统地研究它。在以上确立的 “ 新 ” 金融学框架中，这一点毫无疑问会实现。需要指出的是：由于国内对微观金融学的严格研究，基本上还属 于刚刚起步的阶段，目前工作中的大部分精力，会集中在学习、理解和吸收上。当然，我 们也不是一点基础都没有，散见于各种专业课程如投资学中的《资产组合》、金融工程学中 的《期权、期货和其他衍生金融产品》等，都提供了一些相关的内容。但问题的关键是缺 乏一种提纲挈领和统一的基础理论框架，正如现有学科各成一家的分散情形一样。在前面 对于微观金融学所应涵盖的内容进行探讨时，我们开列的更像是一本教科书的目录。的确， 那就是一本微观金融学基础教材所应当涵盖的核心内容。 3 微观金融学 如前所述，微观金融学是金融学的两大分支之一，它是仿照微观经济学建立起来的一 套研究如何在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进行跨期最优配置的理论体系。它 的核心内容就是：个人在不确定环境下如何进行最优化；企业又如何根据生产的需要接受 个人的投资；经济组织（市场和中介）在协助个人及企业在完成这一资源配置任务时，应 当起什么样的作用；其中的关键就在于怎样达成一个合理的均衡价格体系。 微观金融学借助于正统经济学的基本方法（例如，个人最优化和均衡分析等），这意味 着它必然带有浓厚的新古典特征；同时它也最大限度地使用现代数学提供的有力工具 —— 随机过程理论。因而它是一门建筑在经济学和数学基础上，专门解决不确定性和动态问题 的经济学学科分支。可以说它包括现有大多数金融学分支学科，如投资学、公司金融学、金融市场学、金融工程学等核心内容。更为重要的是：如同微观经济学在整个经济学学科体系中的作用一样，它为广义金融学提供理论（包括方法论）基础。同时它和几乎所有金 融实践工作紧密地联系在一起，它的大量成果直接应用到市场第一线，这在所有经济学科 中是很少见的。 下面让我们一起来简要地回顾这门学科的发展历程，它不仅可以为我们的学习提供一 条线索，而且对于加深对整个金融理论和实践的理解，甚至对未来金融发展趋势的预测都 会有一些重要的启示。 最早在克来默（ Gabriel Crammer ， 1728 ）和伯努里（ Daniel Bernouli ， 1738 ）那里就有 对如何在不确定环境下进行决策的最初思考，在两个世纪后，它成为微观金融学的基础。 这长达两百年的沉寂是有其历史原因的，在早期的古典经济学家那里，他们关心整体价格 水平（如货币数量论）、利息率如何决定、资本如何参与价值分配和完成积累过程等问题， 这就是说他们不重视微观金融过程，而更多的是在宏观的意义上考察金融（经济）问题。 古典的经济学家把储蓄视为资金的供给过程，对于他们来说，重要的是利率的决定和它对 于实物经济产出的影响。而经历了 1870 年边际革命后，羽翼日益丰满的新古典经济学派那 里，要么根本没有不确定性概念，如帕累托（古典两分法）的一般均衡体系；要么仅仅使 用粗浅的动态模型考察宏观问题，如维克塞尔（ Wicksell ）通过利息理论把宏观金融问题与 一般经济问题紧密结合在一起考虑。 20 世纪早期，费雪（ Fisher I ， 1906 ）、希克斯（ Hicks ， 1934 ）、凯恩（ Kenyes ， J.M.1936 ） 等重新开始审视不确定环境下的决策问题。特别是马夏克（ Marschak ， 1938 ）在 1938 年就 试图用均值 - 方差空间中的无差异曲线来刻画投资偏好。拉姆齐（ Ramsey ， 1927 ）则开创性 地提出了动态的个人（国家）终身消费 / 投资模型。主流经济学研究者的视野再次聚焦到 时间和不确定性这两个问题上。那么自然地， 视冯 · 诺伊曼 - 摩根斯坦（ von Neumann-Morgenstern ， 1947 ）期望效用公理体系的建立为新（微观）金融学的启蒙是合适 的。接下来，以当时年仅 25 岁的马科维茨（ Markovitz ， D.1952 ）的博士论文《投资组合》 （ investment portfolio ）发表为标志，现代（微观）金融学起源了。他们的后续者包括夏普（ Sharpe ）、林特纳（ Lintner ）、莫辛（ Mossin ），在对于信息结 构做出更为大胆的假设后，他们获得一个由期望效用公理体系出发的单期一般均衡模型 —— 资本资产定价模型（ capital assets pricing model ， CAPM ），它也奠定了现代投资学的 基础。尽管在这个均衡体系中，风险已经有了明确的体现，但它仍然不过是一个比较静态模 型，这与实际生活相去甚远。把它向多期，特别是连续时间推广成为当务之急，但是对动 态不确定问题的深入研究需要更为复杂和精密的数学工具。 这项技术性更强的工作也在以一种不同的方式进展着。对资产价格运动过程的性质的 探索是现代金融学研究的又一条重要线索。不确定性的引入倾向把价格变化视为一个由外 生冲击驱动的随机过程。早在 1900 年，法国人巴舍利耶（ Bachelier ， L ）的早期工作实际 上就奠定了现代金融学发展的基调。但遗憾的是，在长达半个多世纪的时间内他和他的著 作《投机理论》（ speculation theory ）一直被埋没而无人知晓。有一些讽刺抑或是启发意味 的是：和他的工作同时并进，在大西洋彼岸的美国纽约华尔街（ Wall street ），道和琼斯 （ DowJones ）也开始了他们的事业。哈密尔顿（ Hamilton ）发展了现在为大多数投资者 所熟悉的理论（波浪理论），并最终发展为所谓的技术分析（ technical analysis ）。 尽管远隔万里，他们的工作都在试图解决同一个问题 ——“ 股票价格可以预测吗？ ” 他们的回答是如此的不同，就注定华尔街（实践）和金融学教授（理论）在 70 年内无缘识 荆。感谢萨维奇（ Savege ）和克鲁甄加（ Karuzenga ）在 1965 年重新发掘了巴舍利耶的工 作，这使得现代金融学的发端向上追溯了 60 年。 价格过程被拟合为从马尔可夫过程到独立增量过程，再到（几何）布朗运动（ Brownian motion ），这就使得研究由随机因素决定的动态过程成为可能。随着假设的进一步明确， 在数学上越来越容易获得明确的结果。与此同时，日本数学家伊藤清（ Ito K. ）定义出了 在随机分析中具有重大意义的伊藤积分（ Ito integral ），同列维（ Levy ）、维纳（ Weiner N ） 等数学家一起，他们开创和拓展了处理随机变量之间变化规律的随机微积分基本定理。不 过，他们还没有意识到他们的工作也正在为微观金融研究制造出设计精良的武器。 默顿（ Merton ， R.C.1971 ， 1973 ）和布里登（ Breeden ， 1979 ）敏锐地察觉到了这种相 关性，使用贝尔曼（ Bellman ）开创的动态规划方法和伊藤随机分析技术，他们重新考察了 包含不确定因素的拉姆齐问题 —— 即在由布朗运动等随机过程驱动的不确定环境下，个人 如何连续地做出消费 / 投资决策，使得终身效用最大化。无须单期框架中的严格假定，他们 也获得了连续时间跨期资源配置的一般均衡模型 —— 时际资产定价模型（ ICAPM ）以及消 费资产定价模型（ CCAPM ），从而推广并兼容了早先单一时期的均值 —— 方差模型。这些 工作开启了连续时间金融（ continuous-time finance ）方法论的新时代（ Merton ， 1990 ）。 作为新方法论的一种运用，布莱克（ Black F. ）、斯科尔斯（ Scholes M. ）于 1973 年成 功地给出了欧式期权（ European option ）的解析定价公式 ⑥ ，这就激发了在理论和实际工作 中大量运用这种方法的热情。他们工作的开创性体现在三个方面：第一，使用瞬间无风险 的自我融资（ self-financing ）交易技术；第二，用无套利方法，获得具有普遍意义、不包含任何风险因素的布莱克 - 斯科尔斯偏微分方程；第三，他们同时诱发的对于公司金融和实际 投资领域内问题的或有权益分析方法（ contingent claim analysis ）以及真实期权（ real option ） 方法的深入研究和大量运用。尽管随机分析是他们最重要的技术手段和理论外观，但是合 成不包含任何风险因素的投资组合和 “ 一物一价法则 ” 恰恰正是他们（经济学）思想的精 华所在。这是非常有启发的，它导致了对于所谓金融基本原理 —— 无套利（ no arbitrage ） 原则的重新认识。 遵循这条思路，考克斯（ Cox ， 1976 ）开创了基于无套利的风险中性（ risk neutral ）定 价方法。紧接着，随着哈里森（ Harrison D. ）、帕里斯卡（ Paliska ， 1979 ）和哈里森与克瑞普斯（ Kreps ， 1981 ）杰出论文的发表，进一步研究的基调被设定了：他们证明了一个无套利的均衡体系可以由等鞅测度化来获得。这不仅使得 1938 年由多布（ Doob ）建立的鞅（ martingale ）数学在金融分析中占据了主导地位，也向无套利一般均衡迈出了重要一步。随之而来的便是市场结构问题，怎样才算是一个完备的，能够在不确定环境下，圆满 完成资源跨期配置任务的金融市场呢？作为对于阿罗早期工作的一种回应和扩展，拉德纳（ Radner ， 1972 ）提出，不需要无限种类和数量的金融资产，也可以完成不确定环境下的资源跨期配置。正如同微观经济学视一般均衡为最高智力成就一样，微观金融学也把资源 跨期配置的一般均衡作为自己的最终目标。以德布鲁的一般均衡为蓝本，感谢达菲和黄（ 1985 ）的出色努力，他们证明了多次开放的市场和有限数目的证券可以创造出无限的世 界状态（ states of the world ），而这就成功地为德布鲁的均衡提供了一个动态的答案。这不仅意味着动态一般均衡的必然存在并有其特定现实解决方案，而且它从理论上证明了资本 市场存在的合理性和它对于有效跨期资源配制的重要性。 我们把微观金融视为一个从个体决策行为到市场动态一般均衡和产生合理福利效果的 不断扩展的过程。它信奉最通用的主流经济学的新古典原则，从美学的角度看，它已臻化 境。正统（新古典）经济学信奉的两个准则： （ 1 ）个体是效用最大化的（最优化）； （ 2 ）市场帮助人们实现这个愿望（市场竞争均衡）。 在微观金融分析上体现得淋漓尽致。尽管它是一个深思熟虑的逻辑体系，我们仍然应 当牢记著名经济学家和一个成功的投资者凯恩斯（ Keynes J.M. ）的箴言： “ 金融学理论是一种方法而不是教条 ?? ，它是有助于你作出正确判断的一种思考问题的技巧 ??” 因而，认识到它的优点和认识到它的不足同样重要。特别需要指出的是：本书介绍的 是最基本的、理想化的金融理论和模型体系，如同生活在没有任何摩擦的 “ 牛顿的世界 ” ， 把它们直接应用于实践是要慎之又慎的，阅读《发明金钱》（ inventing money ）（ Dunbar ， 2000 ）一书就可以发现，一些细微的、但脱离现实的假定，是如何谋杀了像 “ 长期资本管 理公司 ” （ LTCM ）这样的金融 “ 高科技 ” 巨头的。因此正确的态度是：视这些微观金融学 基础理论为金融科学的蓝本和进一步研究的起点。 4 金融数学 相信大家已经注意到了，伴随着微观金融理论的发展，以随机分析为核心的数学理论 也在同步发展，并不断为金融学家们所吸收和运用，它们交织在一起，密不可分又相映生辉。但这给研究者带来了很多困难：由于微观金融学研究重点的特殊性和复杂性（不确定性和动态性），注定以随机分析作为其主要数学工具，这无形中提高了这一学科的门槛。 无须讳言，数学工具的缺乏是我们试图深入研究现代金融理论（如果不是所有现代经济学理论的话）遇到的最大障碍，对于大多数没有受过严格专业数学训练的研究者来说，试图去弥补这个缺陷通常会遇到两方面的问题，事情往往是这样的：金融学教授一开始总是会说： “ 啊，只要有一些高等数学知识就可以了。 ” 你回答说： “ 没问题，为此我们已经做好了充分的准备。 ” 教授： “ 是吗？那太好了。不过涉及到衍生产品问题的严肃研究者应当对随机运动过程 有一些明确的认识（ Hull J. C. ， 1993 ） ??” “ 我们会补习这方面的课程 ??” 教授： “ 如果从测度论（ measure theory ）入手一定很有帮助 ??” 学生： “ 噢 ??” “ 但这又不得不对集合论、积分论或者更一般的 —— 实变函数论 ?? 在整体上有初步 的了解 ??” “??” 当勤奋的学生下定决心开始攻克集合论时，他们很快地陷入了数学本身的抽象逻辑和 具体细节中。他们想知道的是，随机过程理论的测度论的集合论到底同我们感兴趣的衍生 金融产品定价问题有什么关系啊？ 这就是一般研究者最经常遇到的困惑： （ 1 ）如何按照数学本身的逻辑结构去掌握最重要的数学工具（在我们这里是随机过程 理论）； （ 2 ）它与实际问题的相关性。 我们希望能够通过某种适当的方法，帮助一般研究者克服这两个困难。不过在有所行 动之前，先要看清楚我们需要的究竟是什么。所以让我们先一同简要回顾一下金融数学的理论源泉和它们相互之间承前启后的关系，历数一下 “ 巨人 ” 们和他们的功勋，这将为我 们的学习提供另一条重要的线索。 （ 1 ）首先是由牛顿（ Newton ， 1648—1729 ）和莱布尼兹（ Leibniz ， 1646—1716 ）各 自独立创立的经典微积分理论，正如马克思（ Marx K. ）高度评价的那样，它是人类思想史 和科学史上的丰碑；随后泰勒（ Taylor ， 1685—1731 ）、拉格朗日（ Langrange ， 1736—1813 ） 和柯西（ Cauchy ， 1789—1857 ）对它做了进一步的完善，时至今日它已经是几乎所有自然 科学（特别是物理学）研究者的必备工具；其次是由凯莱（ Cayley ， 1828—1895 ）创立的 矩阵代数，它极大地方便了对于多个变量的处理。它们以及由它们引申出来的最优化方法 已经构成了现代经济学理论的一个有机部分。 （ 2 ）有人会问，概率论不也是经济数学的一个部分吗？是的。以随机现象数学规律为 研究对象的概率论有着悠久的历史。早在 16 、 17 世纪就有数学家认真地研究掷骰子赌博游 戏中，出现各种概率的计算问题。伯努利和拉普拉斯（ Laplace ）提出了大数定理，并创建 了古典的概率理论。 1933 年，柯尔莫格罗夫（ Kolmogorov ， 1903—1987 ）继博雷尔（ Borel ， 1878—1956 ）之后认识到概率论不过是测度论的一个特例，通过公理化，为现代概率理论 奠定了坚实的数学基础。可以清楚地看到，我们慢慢地离开古典数学，来到了由勒贝格 （ Lebesgue ， 1875—1941 ）开启的 20 世纪数学分析的全新领域。 （ 3 ）有了以上准备，我们可以着手研究现代金融数学的核心部分和金融经济学的主要 数学工具 —— 随机过程（ stochastic process ）理论。从对于布朗运动（ Brown motion ）的早 期研究到伊藤（ Ito ， 1944 ）对于随机积分的新认识，一整套新的随机微积分原则确立起来； 由杜布（ Doob ）开创并已经被广泛应用的鞅（ martingale ）理论逐渐形成了现代随机过程一 般理论的基础；而由亨特（ Hunt ）和邓肯（ Dynkin ）正式化的停时（ stopping time ）理论在 20 世纪 90 年代的微观金融学研究中占有日益重要的地位。 容易发现，金融学研究者们不断地向数学下一些新的订单。但正如人们所说的：黑格 尔只是在读了他的哲学著作的法文译本之后，才第一次真正理解自己的哲学（说了些什么） 一样，人们也只有在明白了隐藏在复杂数学形式背后的基本经济原理，才会真正领悟到微 观金融分析的真谛。这可能也是人们所知的，有关经济学和数学之间良性共生关系的最好 例证之一。 因此即便是明确了微观金融学的学科内容，要在教学上实现它，还需要一些其他的辅 助措施。简单地说，在微观金融学的学习过程中，有两个主要关系要理清：金融学和数学 的关系；金融学和经济学的关系。其中特别是数学问题，在国外实现相同的教育目标中，它也是一个一贯的难题。 很高兴看到一种新的教学方法 / 学习方法的最初尝试正在出现。例如纳夫特西（ Neftci ， S.N ）的《金融衍生产品数学入门》，它对于数学技术的处理就如同《时间简史》、《苏菲的 世界》对天体物理和哲学所做的一样 —— 理解准确、诠释简单。它们希望为那些对于复杂 金融问题有兴趣的人们，提供一个快速有效的入口。我们愿意相信正如赫尔（ Hull ， J.C. ， 1993 ）在他那本成功的书中所说的那样 “?? （数学）在很大程度上是一个表达方式的问 题 ??” 。一本好的教材会给学生勇气、兴趣和智慧。这方面的努力应当加强，学生们对这 些所谓 “ 阳春白雪 ” 的尖端金融科技有很强烈的求知欲望，方法上的改进会收到事半功倍 的效果，如何逾越数学这一障碍将成为教学工作的重点。许多证据表明急需这样的中文作 品，我们的金融数学部分可以算是这种尝试之一。 本文来自 : 人大经济论坛 详细出处参考： http://www.pinggu.org/bbs/viewthread.php?tid=458129page=1fromuid=314297
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分享 金融学基本知识（金融数学系列博文之一）
hylpy1 2016-8-28 12:52
由于最近要给金融数学专业的上一门课（当然是数学课，其实金融我也不懂！），所以需要知道一些金融方面的常识，以免犯一些常识性的错误！特收集一些金融数学方面的博文，全是转载的，没有自己的修改和观点。欢迎各位博主拍砖！谢谢！ 1. 金融市场和货币政策 . 主要包括金融市场的一些基本结构 / 组成 / 运作机制 / 各种金融产品的基础知识 , 央行货币政策的理论和实际操作 , 利率 / 通货膨胀 / 失业 /GDP 等影响因素 . 2 、财务会计。主要是怎么做三大表，尤其是现金流量表怎么做，财务报表中的操纵手法。 3 、公司财务 . 主要是企业制度 /MM 理论 /MA 操作和定价 / 公司治理结构 / 融资决策 / 投资决策 / 股利政策 / 公司定价 ( 知道 DCF/FCFE/FCFF/RI/NOI 方法 ) 等 4 、证券定价 . 效用理论，股票定价 ( 包括 MPT,CAPM,APT 等 ), 债券定价 (YTM,SPOT,Duration,Convexity, 利率期限结构等 ), 衍生品定价 ( 期货定价 . 二叉数 , 简单随机过程模拟 ,BSM 定价模型等 ) 5 、证券市场 . 各种金融产品的类别 , 交易机制（不需要太深，只要知道基本交易规则和交易价格怎么产生就行了） , 投行业务流程等 6 、国际金融 . 外汇市场各种金融产品 / 外汇市场机制 /BOP 项目 / 各种汇率制度 / 汇率调整机制 . 推荐一本书 —— 斯蒂格里茨的 7. 企业战略 . 公司战略决策、产业分析框架（ PORTER'S FIVE FORCES 、 BCG Matrix 等）、产品分析工具（ SWOT ）。推荐一本书 ——BCG 的一本书，我借出了，想不其名字（现在记性不好，借给谁都忘了，想起来再帖出来） 8 、微观经济学。价格、成本、生产、定价、税收、垄断、市场类型、外部性等。 9 、关注政治经济时事。现在经济类报纸杂志很多，报纸不用看。可以看看新浪财经自己关注的细分板块有什么事件就行了。推荐两本杂志，《财经》和《新财富》，《财经》我从高中就开始看，里面有很多政策、案件的深度调查。《新财富》从创刊就开始看，这个是专门给券商和基金等看的，内容比较深，开始看可能有些困难，不过坚持上一年，水平会大有长进。现在这两本书基本成为各家券商和基金的必定书目。《新财富》这本书，现在被我推广到整个系都看了（偶曾是分管学术的研究生会副主席）。 10 。信息。现在川大比其他地方落后最多的地方就是信息，很多同学连一些大机构的名称都不知道，这个就看自己努力，多看杂志，多联系外面的朋友。特别有条件的话，多找一些券商或者基金的研究报告看，有产业的，还有宏观的，或者金融工程等等。 11 、考试。目前金融类考试主要有 CPA/CFA/ACCA/ 精算。首先，除了精算考试能保证考了就有一个好工作之外，其他考试都不行，所以不用花太多时间在考试上，看书和实习更重要。 CPA 值得一考，不过近年类难度越来越大，考了不仅对进券商有帮助，而且能够有报表签字权。 CFA 基本是一个国外的金融硕士课程体系（这个我在全程陪同一美国商学院院长访问时和他交流过），考出来之后一般国外金融硕士课程需要的东西也就可以了，五六年前，考过 CFA 就能保证一个大券商 50 万的年薪，不过现在不行，国内考的人很多，海归很多再国外也考过。 ACCA ，考了还是不能签字，不过明年起中国会计的 GAAP 要和国际 GAAP （不是美国 GAAP) 接轨，所以 ACCA 现在有些用处了，主要是现在不少国内企业到海外 IPO 或者并购时会用得上。精算对于做保险和金融工程的同学来说时非常有用的，不过考这个也是持久战。 12 、英文。进外资券商或者基金，英文要求不是很高，口语能基本应付对话就行（现在很多外资券商都本土化了，基本都是中国人，也没几个讲英文的），不过阅读和写作能力要比较好（要读写英文的研究报告）。国内的机构对英文更加不在乎了，除了要进国际业务部（这里面海归居多）。现在经济学院很多人整天啃英文，但个人不建议整天搞英文，毕业后专业一塌糊涂（我同导师去国际顶级券商的百万富翁室友英文也一般），也许到时能找个外资日化（偶特别讨厌 PG ，好多产品都有问题，而且每次出问题后很傲的样子， JJ 差点就用 sk2 了，一好友去退 SK2 还不给退）、电子等企业做做销售、财务。可以说日后的收入很大可能没有在国内券商高，更不用说基金公司或者外资机构了 —— 虽然国内券商的初始工资不如这些企业，但是工资对于这些人来说只是小部分，主要靠自己炒股赚钱。 13 、理论与实践。偶现在就读的学校理论培养不怎么好，学生理论功底都不怎么行，上手工作还是比较快，但后续发展总是遇到瓶颈。国内目前理论培养最强的是北大 CCER ，出来的人在看一些问题上比我们全面，也更有深度，后劲很足。个人意见还是理论和实践并重。现在川大有些科研项目不是太偏向市场或者偏向证券业，这是一个问题，但是个人建议还是好好做，至少培养自己一种做研究的能力，因为多数同学进入证券业是从做研究开始。现在券商和基金都比较看重论文，尤其是中资。 14 、社团活动。这个不是太重要，对于打算做投行业务的同学来说，因为经常要和公司、政府、交易所打交道，人活络一点比较好，但不需要 social butterfly 。做这行的只有政府最大，关键还是看能不能提出让几方都满意的方案，再会吹牛没方案都不行。而其他部门就更无关紧要了，只要不是不能和别人一起工作就行。社会活动可以多参加一点。我前几天就参加了一个 lawyer ， consultant ， banker 的聚会，认识了不少现在人。虽然几乎就是交换名片和简单交流，但认识一个人总是好的。我的一个 lawyer 好朋友做一个外资银行的资产证券化业务时很多东西不懂，就是我给她介绍的信托、券商和 CBRC 里面的人指导她的。也许你说成都没有类似的活动，但是我本科的时候就参加过类似的社会聚会，虽然不全是金融业的，但总还是多认识了几个人。 15 、对于工科背景的同学。我是计算机出身的，这其实很有优势。现在很多券商或者基金的行业研究员都是要本科工科，研究生金融的；甚至有本科工科毕业直接做行业研究，像什么化工、医药、 IT 这些行业没学过工科根本就不懂。另外，如果有工科背景的话，做相关行业公司的投行业务的时候，也比较容易上手，而且不容易上当受骗；有些不懂行业的投行业务分析师去公司做尽职调查的时候，基本公司说什么就是什么。另外工科背景的同学在数学和计算机能力上比较强，这在做固定收益和衍生品的定价、金融工程（包括产品开发）以及交易员时特别有优势，因为这里面需要大量的数学工具和计算机编程，这些职位经常要的是数学、计算机、物理出身的。华尔街最牛的人就是一些天体物理博士出身的对冲基金经理。 16 、数学。除了做固定收益、衍生品分析师、金融工程和证券交易员对数学要求比较高（主要是统计、最优化和随机微积分，很厉害的人物会用混沌和测度论建模），其他只需要初中数学就行了。如果行业研究员的话，对于计量还是要懂一点的，基本只需要会做回归就成。 17 。比赛。有空多参加一下比赛是好事情。比如 GMC 、达能的什么（不记得了）、欧莱雅的什么，一些案例分析比赛等等。 18 。中文能力。这个现在要大力培养。我几次面试，无论是中资还是外资，中文写作归纳能力都不过关。如果做投行业务的同学一定要特别重视中文，因为所有文件都是要中文提交给政府审批，而且在国内 IPO 或者 MA 的所有文件都是中文。前段时间我向国内某券商的副总裁请教的时候，他就特别看重下属的中文写作能力，说一次他让手下写一个发言稿。结果收到的东西根本就不想发言稿的文风，而且病句、错别字一大堆。 19 。机构。现在很多同学都想进大券商，的确收入远高于其他行业和同行业其他机构，但这些机构每年几乎只要几个人，而且特别看重出身（学校或者家势，很多时候是本科学校，我也吃过这个亏），所以即使申请了没回音业不用太在意。先找一个一般的券商好好做，以后争取跳槽比较好；而现在国内一般的券商对人才的要求都比较高，硕士居多，而且很少看到来川大招人，所以大家需要留意各个机构的网站和各大招聘网站，多投投，以后来招聘的就会越来越多；而且成都作为西南重镇，金融机构的集聚会慢慢多起来。 下面我列出国内证券业的机构分类：证券公司（中资、外资、中外合资）、基金公司（中资、中外合资）、保险公司投资部、商业银行金融市场部、商业银行资金运营部、四大资产管理公司（信达、华融、东方、长城）、交易所、期货公司、外汇交易中心、私募基金、 PE （私人股权投资机构）、 VC （创业投资）、地产投资公司、企业战略部等。 券商部门分类：经纪部（代客交易）、研究部（行业研究、宏观研究，为自营部提供研究报告，同时也卖研究报告给基金公司）、自营部（自己做投资）、资产管理部（代客理财，基本以公司客户和富人为主）、投行部（ IPO 、 MA 、财务咨询）、固定收益部（债券市场的研究、债券 IPO 、债券投资）、金融工程部（新产品开发、开发新模型）、国际业务部（卖研究报告给外国投资者，给投资建议等）。投行部会经常喝酒，而以前女孩进这个部门还比较危险，以前很多项目是女孩用身体换回来的，不过现在情况好多了。 基金公司部门分类：研究部（行业研究、宏观研究、为投资部提供研究报告，主要是买券商的报告看）、投资部（以基金经理为核心，进行宏观、行业和个券的资产配置）、销售部（主要对象为大机构、另外保持和散户销售渠道的联系，主要是银行和券商），基金公司对人才要求比券商高。 链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-378698.html
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hylpy1 2016-8-28 12:50
数学 分析 V.A.Zorich ，数学分析（两卷） 作者是 S.P.Novikov 的学生，写本书的时候还很年轻.研究也作的很好， 2006 年国际数学家大会上几何组作过45分钟报告。说句实话，要是把这两卷学下来（包括习题），可能许多博导也做不到.如果作为教材去学,确实不容易,清华数学专业就用的这个,听说第二卷也比较困难.但用来自学还是很好的 张筑生 数学分析新讲 ( 共三册 ) 这个张老师是十年动乱后的首批 博士 之一,基础绝对过硬,还写过一本书 《微分动力系统》 第一册的最后介绍万有引力的证明,其实这个内容也应该教授给工科学生.和国内大多教材差不多,可惜没有习题. 邹应 数学分析 作者是武汉大学的，书学的法国。可惜我没见过他，当我知道他的时候，已经去了.可以用来参考,当然包括习题.我知道它曾经是武大中法班的教材,我的许多老师应该就是受的它的教育 常庚哲 史济怀 数学分析 教程 （两册） 第一作者曾经是 IMO 的领队或教练， 中国 科技 大学的.内容选材和处理都很好,被称为经典.习题也不错,稍微有点难. L.Loomis ， S.Sternberg Advanced Calculus 这两位都是美国数学学派的人,当然其祖上也来自德国.作为研究生的教材,其实适合所有方向的学生.它本来就是MIT的研究生教材 齐民友 重温微积分 齐老师是绝对的院士水平,近来很关心本科教学.作为为高年级的参考书是很适合的,读过后会很有收益的.尤其是会学到许多新的知识 高等代数 -- 线性代数-空间解析几何-近世代数-数论 Postnikov 解析几何学与线性代数 ( 第一学期 ) Postnikov 解析几何学与线性代数 ( 第二学期 ) 作者水平应该很高，反正他的学生 S.P.Novikov 是很有名气，他也研究拓扑。书写的绝对好.这套书还有一些分册,但只能找到俄语版. 解析几何可以说很重要,但学起来又觉的没什么内容.学会第一本应该就可以了.第二本是线性代数和部分初等微分几何,内容讲的很清晰. A.I.Kostrikin ，代数学引论(共三卷) 这三卷都值得一读，尤其是第二，三卷，作者毕竟是前苏联通讯院士.他是纯粹的俄罗斯学派的传人,其祖上是俄本土数学大家Chebevshev.S的学生,这个沙老师作为苏联人,居然有点反对十月革命,结果被学校停了职,也不知道解体后的情况怎么样,水平是很高.克老师这么优秀的人物,可惜没有培养学生. 书很好,但学起来不容易,有些抽象,其实这已经是作者的简化版了. M ． Artin 代数 S ． Lang 线性代数 导论 很害羞的法国人，不过这个色狼很能写书，把他写的书都学会了 ，也成了大半个全能数学家了. 把这两位放一块是因为他们有关系,色狼是 M ． Artin 的父亲E ． Artin 的学生, M 是以严厉著称的代数几何学家扎老师的学生,据说在扎老师那学习很难毕业,不过他的学生可真是争气。 E ． Artin 是哥学派的,据说他的文章不多,才50多篇,但每篇都是精品。 第一本是非常优秀的本科教材,美国几个名校都用.作者是地道的代数几何学家,但教材里看不出作者的倾向,是所有教师的榜样,就是要敢于讲授自己不从事的领域的内容. S ． Lang 是出色的数学家,优秀的教师,它的这本书曾经很畅销 N.Jacobson Lectures on Abstract Algebra （三卷） 是个犹太人，代数方面的权威，但被 Pontryagin 贬的一塌糊涂，本来是国际数学联盟主席的候选，但被庞瞎子抵制下去了. 上面俄罗斯人写了三卷,美国人也写这么多,可见代数的重要.作为教科书其实不太适合,有点太代数了.但参考是可以的 Rotman 高等近世代数 作者写过好几本代数方面的著作,要追究其师源,居然是 物理 学大家Maxwell,当然他也是伟大的数学家.Rotman所有的书都有个最大的优点,就是介绍名词的来历.学了它应该会对数学有更深刻的认识 Hardy G.H., Wright E.M. An Introduction to the Theory of Numbers Hardy 的大名在数学界应该很响,看起来挺帅的一个英国人,但他老自己觉的自己丑. Wrigh 是他的学生.很优秀的数论教材 华罗庚 数论导引 华老师是个天才,包括学识和领导才能.这本书的选材不错,比较适合作为教材 Serre J.-P A Course in arithmetic 布学派第二代的领袖,研究范围很广,荣誉得了一大堆.有名的数学大奖他都拿了.作为法国数学的代表人物,和阿老师有争论. 最大的特点就是薄,内容还不少,难怪他老获奖. Atiyah M., Macdonald I.G. Introduction to commutative algebra 20 世纪后半叶英国数学的代表,不但自己出色,其学生也很优秀.第二作者这个麦当劳就是他的学生,也在国际数学家大会上做过报告 常微分方程-动力系统 V.I.Arnold 常微分方程 V.I.Arnold 常微分方程续篇 V.I.Arnold Mathematical Mathods of Classical Mechanics 很硬气的俄罗斯老头，他爹也是数学家，好像研究数论的，他现在法国谋生，也不容易，研究范围很广，现在居然在走他爹的路子。1974年本来有机会获得Fields奖，因为是 犹太人，被 Pontryagin 强烈的抵制， 2000 年总算得到了 Wolf 奖. 第一本书比较适合本科生用,但阿老师毕竟是大师,难免会有太难的感觉.至于后面的两本,更适合读动力系统的研究生阅读 Pontryagin 常微分方程 这个瞎子简直就是 伤残人士的楷模，看看他所涉足的领域和他的学生就知道了，太淘气了，把自己的眼睛玩丢了 ， 顽固的反犹人，据说他自己也是犹太人 。曾经是国际数学联盟的活跃分子，但不太受欢迎。 虽然人有许多缺点,但不可否认,他的这本书确实不错.也难为了他娘了,不知道一个完全不懂数学的老妇女是怎样记录这些抽象的数学的 Hirsh Smale 微分方程 , 线性代数和动力系统 这个 Hirsh 是老的，研究拓扑，培养了许多出色的学生，他的儿子是 Smale 的学生，也是优秀的数学家， Smale 的名气很大，微分拓扑，动力系统，计算理论都研究，曾经还在中国工作过。听说他女儿是同志. 作为动力系统的入门书比较合适 复分析 J.B.Conway 单复变函数 美国学派的,研究泛函分析.这个教材绝对好,因为它涉及了几何理论.作者还写了本更高档次的复分析教材,不过很难找到 L.Alfors 复分析 伟大的分析学家，坚强的反苏战士。北欧国家历来就有出数学大师的传统，这位芬兰人在复分析方面很有建树。 这个教材很有名,但我没看出来.当然它的内容足够广泛,应该比他的老师纳老师的好 H.Cartan 解析函数论引论 太长寿了，前两年刚去，名气比他爸还响。布学派第一代的灵魂人物 如果你学了钟玉泉老师的书,建议你去看看这书.很短的篇幅就学到多复变了,缺点是几何太少.当然我没有贬低钟老师的意思,钟老师毕竟也是我的校友 Shabat 复分析导论（两卷） 莫斯科学派的人物，学术情况不太了解，但这两卷书很好.但第二卷本科生读不下来 余家荣 复变函数 可爱健忘的老头，他 80 大寿的时候，我从汉口送他回武昌，在汉口时说我 的名字很好记，回宾馆后马上又问我叫啥. 其实余老师这本教材一般,因为他算我的师爷,所以推荐一下 龚升，《简明复分析》 水平很高人很低调，我曾经陪他看过风景. 郑建华 复变函数 清华大学的教材，内容选择上很好 作本科教材很适合的,如果我再上这门课,一定会选其一.可惜我们这个工科大学的数学专业,很难让学生学下去这些内容,当然也不会让我去祸害这些水货学生了 李忠 复分析导引 非常可惜，本来有多次机会聆听李老师的教诲，但那时候不懂他的方向，等看了他的书才知道，李老师不是一般的水平. 如果你读几何等相关方向的研究生,读一下它一定有用.我的偶像崔贵珍用它作过教材,看着他叼烟的帅样,再享受上李老师的精彩内容,一定很美 实分析-泛函分析 A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin 函数论与泛函分析初步 柯老师的名字在数学界应该人人皆知，列为20世纪最伟大的数学家的行列里应该不为过。据说身体极好，当然性格也很强，连他的老师都敢打。佛老师是他的学生，也很有才，当然在他的虎狼同门里就显得淡了. 如果研究生不读这个方向,学会这本书已经足够了 F.Riesz,B.Sz.-Nagy 泛函分析讲义（两册） 兄弟两都是很强的数学家，但据说两人关系一般。匈牙利的数学强人也很多，都很进业，连结婚的时间和想法都没有. 夏道行 , 严绍宗 , 舒五昌 , 童裕孙 泛函分析第二教程 夏老师是 Gelfand 的学生,水平很高.这个教材是研究生用的,从内容取材来看,应该适合所有方向的学生. W.Rudin Real and Complex Ananlysis 论起他的师源，原来和我是同一个，就是长寿数学大师哈 Royden 实分析 复分析大师阿的学生,没想到他的实分析也这么强 I.M.Gelfand 等 广义函数(五卷) 现在活着的最伟大的数学家，代数分析几何都涉猎过，连生物也不放过，著名的阿辛指标定理也发源于他，80岁的高龄还被美国聘走，看来美国人也好这个名. 如果时间允许的话,读读这位大师应该是有意义的 拓扑学-微分几何 Yu. Borisovich, N. Bliznyakov, Ya. Izrailevich 拓扑学导论 如果你只打算学一次拓扑学,那强烈推荐学这个,它的内容基本把拓扑学的分支都覆盖了 熊金城 点集拓扑讲义 抽烟太厉害了，故事讲的也不错，在茅山给我讲过佛教的乱事 M.A.Armstrong 基础拓扑学 作者是英国人.内容包括一般拓扑和代数拓扑,所以值得学. I.M.Singer, J.A.Thorp 几何学与拓扑学讲义 就是指标定理里的那个人，水平是响当当的 B.A.Dubrovin 、 A.T.Fomenko 、 S.P.Novikov ， Modern Geometry （三卷） 第二作者年少成名，现在还很活跃。第一作者是第三作者最优秀的学生，现在意大利。第三作者很强，当然他的家族就不一般，所以说话很强硬，把他父亲那一代的俄罗斯数学家骂了个狗血喷头，连他的同学也没放过，包括阿老师，马老师都被他损过，现在美国马里兰大学. 许多学校作为研究生教材来用,确实本科生不容易对付 苏步青 , 胡和生等 微分几何 胡院士是女数学家里的大美女(另外一个是 Dubrovin 的学生,现在意大利), 其先生谷超豪也是著名数学家。苏老先生不用介绍，他最大的成就是娶的日本媳妇，户口还是周总理特批的，当然也培养了一大批优秀的学生.作为本科生微分几何的入门教材非常适合 ， 白正国 , 沈一兵 , 水乃翔 , 郭效英 黎曼几何初步 白老师和沈老师是浙大的教学非常有特色 苏竞存 流形的拓扑学 作者是台湾人，是齐民友的弟弟，听说他们兄弟三，一人一个姓，搞不清楚是啥原因. Spivak Calculus on Manifolds 当代美国数学大家米的学生,这个米老师也写过几本优秀的著作,比如morse理论.现在还在努力,但据说不如他的夫人. 陈省身 , 陈维桓 微分几何讲义 陈维桓，《微分流形初步》 陈维桓，《黎曼几何引论》（两册） 小陈老师的书比较规矩，但他花这么大力气来写这些书，为我国的几何学作出了很大的贡献，毕竟国内这类书很少。老陈先生的书里可能是 英文 的更好，可惜没有翻译 伍鸿熙，《黎曼几何初步》 伍先生是绝对的牛人， 80 年代经常来大陆走动，但脾气有点大，因为政治上的事，现在很少来了 侯伯元 侯伯宇 物理学 家用微分几何 这兄弟两都如此优秀,让人羡慕.他们的父亲也很有名,黄埔毕业的老共产党员侯镜如,可后来还是在国民党的部队里起义的 C. von Westenholz Differential forms in Mthematical Physics 物理学家写的数学大多有的一看,因为他们用过这些工具.当然了,他们不一定对自己书里的所有内容都通晓.唯一的缺点就是有些定理没有证明. 其他 Griffiths P., Harris J. Principles of Algebraic geometry Hartshorne R. Algebraic Geometry 关于代数几何的 中文 书目前不超过 10 本，大概只有 6 本，其中还有几本是偷偷翻译的。第一本就是，但只有前面几章。作者是高等研究院的院长。第二本的作者是扎老师的优秀学生。第一本以几何为出发点，第二本是从代数的角度来写的。顺便说一句，在代数和几何领域，我们和日本的差距太大了 Humphreys J. Introduction to Lie algebras and representation theory 伍鸿熙 紧Riemann曲面引论 Milnor Morse 理论 Feller W. 概率论及其 应用 我对随机数学了解不多,但这本书在我这个外行来看,也觉的很好.作者是克罗地亚人, 20岁就在希和科处获得博士学位 链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-393245.html
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分享 二十世纪的数学
hylpy1 2016-8-28 12:46
如果有人想谈论一个世纪的终结以及下一个世纪的开始，那么他有两个具有相当难度的选择：一个是回顾过去百年的数学；另一个是对未来百年数学发展的预测，我选择了前面这个比较困难的任务，任何人都可以预测未来而且我们并不能判定是对还是错．然而对过去的任何评述，每个人都可以提出异议． 我在这里所讲的是我个人的观点．这个报告不可能包含所有内容，特别是，有一些重要的内容我不准备涉及，一部分是因为我不是那些方面的专家，一部分也是出于它们已经在其他地方被评述过了.例如，我不会去谈论那些发生在逻辑与计算领域内的著名事件，这些事件往往是与像Hilbert，Godel，Turing这些伟大的名字相关的，除了数学在基础物理中的应用之外，我也不会谈论太多数学的其他应用，这是因为数学的应用太广泛了，而且这需要专门的论述．每一个方面都需要一个专门的报告．也许大家在这次会议的其他报告中会听到很多关于这些内容的演讲．另外，试着罗列一些定理，甚至是列出在过去一百 年的著名数学家的名字也是毫无意义的，那简直是在做枯燥的练习．所以，代替它们的是，我试着选择一些我认为在很多方面都是很重要的主题来讨论并且强调围绕这些主题所发生的事情． 首先我有一个一般性的说明．世纪是一个大约的数字概念．我们不会真地认为在过整整一百年的时候，有些事情会突然停下来，再重新开始，所以当我描述二十世纪的数学时，有些内容实际上可能是跨世纪的，如果某件事件发生在十九世纪九十年代，并持续到二十世纪初，我将不去计较这种时间方面的细节．我所做的就象一个天文学家，工作在一个近似的数字环境中．实际上，许多东西始于十九世纪，只不过在二十世纪才硕果累累． 这个报告的难点之一是很难把我们自己放回到1900年时作为一位数学家的位置上，这是因为上个世纪的数学有非常多的内容已经被我们的文化和我们自己吸收掉了．难以想象人们不用我们的术语来思考的那个时代是什么样子的．实际上，如果现在有人在数学上有一个真正重要的发现，其后他也一定会与之一起被忽略掉了！他会完全地被融入到背景之中，于是为了能够回顾过去，我们必须努力去想象在不同时代，人们用不同方式思考问题时的情景． 从局部到整体 作为开始，我准备列一些主题并且围绕它们来讨论．我谈论的第一个主题概括地讲，就是被大家称为从局部到整体的转变．在古典时期，人们大体上已经研究了在小范围内，使用局部坐标等等来研究事物．在这个世纪，重点已经转移到试图了解事物整体和大范围的性质．由于整体性质更加难以研究，所以大多只能有定性的结果，这时拓扑的思想就变得非常重要了．正是Poincaré，他不仅为拓扑学发展作出先驱性的贡献，而且也预言拓扑学将成为二十世纪数学的一个重要的组成部分，顺便让我提一下，给出一系列著名问题的Hilbert并没有意识到这一点．拓扑学很难在他的那些问题中找到具体体现．但是对Po incaré而言，他相当清楚地看出拓扑学将成为一个重要的内容． 让我试着列一些领域，然后大家就能知道我在想什么了．例如，考虑一下复分析（也被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心，也是象Weierstrass这样伟大人物工作的中心．对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数;对于Weierstrass而言，一个函数就是一个幂级数．它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式．函数是一些公式:它们是明确可以用显式写下来的．然而接下来Abe1，Riemann和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通过它们取值范围．这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性．局部展开只是看待它们的一种方式． 一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！是一些可以写下来的东西．随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们．解的奇异性是真正决定其整体性质的东西．与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细节上有些不同罢了． 在微分几何中，Gauss和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程．只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了．当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质． 数论也有一个类似的发展，尽管它并不是很明显地适用于这一框架．数论学家们是这样来区分他们称之为“局部理论”和“整体理论”的：前者是当他们讨论一个单个的素数，一次一个素数，以及有限个素数时；后者是当他们同时讨论全部素数时．这种素数和点之间，局部和整体之间的类似性在数论发展过程中起了很重要的作用，并且那些在拓扑学发展中产生的思想深深地影响了数论． 当然这种情况也发生在物理学中，经典物理涉及局部理论，这时我们写下可以完全描述小范围性质的微分方程，接下来我们就必须研究一个物理系统的大范围性质．物理学涉及的全部内容就是当我们从小范围出发时，我们可以知道在大范围内正在发生什么，可以预计将要发生什么，并且沿着这些结论前进． 维数的增加 我的第二个主题有些不同，我称之为维数的增加．我们再次从经典的复变函数理论开始：经典复变函数论主要是详细讨论一个复变量理论并加以精炼．推广到两个或者更多个变量基本上发生在本世纪，并且是发生在有新现象出现的领域内．不是所有的现象都与一个变量的情形相同，这里有完全新的特性出现，并且n个变量的理论的研究越来越占有统治地位，这也是本世纪主要成就之一． 另一方面，过去的微分几何学家主要研究曲线和曲面，我们现在研究n维流形的几何,大家仔细想一想，就能意识到这是一个重要的转变．在早期，曲线和曲面是那些人们能真正在空间里看到的东西．而高维则有一点点虚构的成分，在其中人们可以通过数学思维来想象,但当时人们也许没有认真对待它们．认真对待它们并且用同样重视程度来研究它们的这种思想实际上是二十世纪的产物．同样地，也没有明显的证据表明我们十九世纪的先驱者们思考过函数个数的增加，研究不单单一个而是几个函数，或者是向量值函数(vector-valued function)．所以我们看到这里有一个独立和非独立变量个数增加的问题． 线性代数总是涉及多个变量，但它的维数的增加更具有戏剧性，它的增加是从有限维到无穷维，从线性空间到有无穷个变量的Hilbert空间．当然这就涉及到了分析,在多个变量的函数之后，我们就有函数的函数，即泛函．它们是函数空间上的函数．它们本质上有无穷多个变量，这就是我们称为变分学的理论．一个类似的事情发生在一般（非线性）函数理论的发展中．这是一个古老的课题，但真正取得卓越的成果是在二十世纪．这就是我谈的第二个主题． 从交换到非交换 第三个主题是从交换到非交换的转变．这可能是二十世纪数学，特别是代数学的最主要的特征之一．代数的非交换方面已经极其重要，当然，它源自于十九世纪．它有几个不同的起源．Hamilton在四元数方面的工作可能是最令人惊叹的，并且有巨大的影响，实际上这是受处理物理问题时所采用的思想所启发．还有Grassmann在外代数方面的工作，这是另一个代数体系，现在已经被融入我们的微分形式理论中．当然，还有Cayley以线性代数为基础的矩阵方面的工作和Galois在群论方面的工作等． 所有这些都是以不同的方式形成了把非交换乘法引入代数理论的基石，我形象地把它们说成是二十世纪代数机器赖以生存的“面包和黄油”．我们现在可以不去思考这些，但在十九世纪，以上所有例子都以各自不同的方式取得了重大的突破，当然，这些思想在不同的领域内得到了惊人的发展．矩阵和非交换乘法在物理中的应用产生了量子理论．Heisenberg对易关系是非交换代数在物理中的一个最重要的应用例子，以至后来被von Neumann推广到他的算子代数理论中． 群论也是在二十世纪占重要位量的理论，我稍后再回来谈它． 从线性到非线性 我的下一个主题是从线性到非线性的转变．古典数学的大部分或者基本上是线性的，或者即使不是很精确的线性，也是那种可以通过某些扰动展开来研究的近似线性，真正的非线性现象的处理是非常困难的，并且只是在本世纪，才在很大的范围内对其进行了真正的研究． 我们从几何开始谈起：Euclid几何，平面的几何，空间的几何，直线的几何，所有这一切都是线性的．而从非欧几何的各个不同阶段到Riemann的更一般的几何，所讨论的基本上是非线性的．在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了众多我们通过经典方法所看不到的新现象．在这里我只举两个例子，孤立子和混沌，这是微分方程理论两个非常不同的方面，在本世纪已经成为极度重要和非常著名的研究课题了．它们代表不同的极端．孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预料的无组织的行为(disorganized behavior)．这两者出现在不同领域，都是非常有趣和重要的，但它们基本土都是非线性现象．我们同样可以将关于孤立子的某些工作的早期历史追溯到十九世纪下叶，但那只是很少的一部分． 当然，在物理学，Maxwell方程（电磁学的基本方程）是线性偏微分方程．与之对应的是著名的Yang-Mills方程，它们是非线性方程并被假定用来调控与物质结构有关的力．这些方程之所以是非线性的，是因为Yang-Mills方程本质上是Maxwell方程的矩阵体现，并且由矩阵不可交换这一事实导致方程中出现非线性项．于是在这里我们看到了一个非线性性与非交换性之间的有趣的联系．非交换性产生一类特殊的非线性性，这的确是很有意思和很重要的． 几何与代数 至此我谈的是一些一般性的主题，现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象，它来回摇摆却始终伴随着我们，这就给了我一个机会来做一些哲学上的思索和说明．我指的是几何和代数之间的二分法，几何和代数是数学的两个形式支柱，并且都有悠久的历史．几何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期；代数学则源于古阿拉伯人和古印度人．所以，它们都已经成为数学的基础，但它们之间有一种令人感到不太自然的关系． 让我首先由这个问题的历史开始．Euc1id几何是数学理论中最早的一个例子，直到Descartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前，它一直是纯几何的．Descartes的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试．从代数学家们的角度来讲，这当然是对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击，如果我们来比较Newton和Leibniz在分析方面的工作，我们会发现他们属于不同的传统，Newton基本上是一个几何学家而Le1bniz基本土是一个代数学家，这其中有着很深刻的道理．对于Newton而言，几何学，或者是由他发展起来的微积分学，都是用来描述自然规律的数学尝试．他关心的是在很广泛意义下的物理，以及几何世界中的物理．在他看来，如果有人想了解事物，他就得用物理世界的观点来思考它，用几何图象的观点来看待它．当他发展微积分的时候，他想要发展的是微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式．所以他用的是几何论证，因为这样可以与实际意义保持密切关系，另一方面，Leibniz有一个目标，一个雄心勃勃的目标，那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大的代数机器．这与Newton的途径截然不同，并且二者有很多不同的记号．正如我们所知道的，在Newton和Leibniz之间的这场大争论中，Leibniz的记号最后得胜．我们现在还沿用他的记号来写偏导数．Newton的精神尚在，但被人们埋葬了很长时间． 在十九世纪末期，也就是一百年前，Poincaré和Hilbert是两个主要人物．我在前面已经提到过他们了，并且可以粗略地讲，他们分别是Newton和Leibniz的传人．Poincaré的思想更多的是几何和拓扑的精神，他用这些思想作为他的基本洞察工具．Hilbert更多的是一个形式主义者，他要的是公理化，形式化，并且要给出严格的，形式的描述．虽然任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去，但是，很清楚地，他们属于不同的传统． 当准备这个报告的时候，我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有代表性的人的名字．谈论还健在的人是十分困难的——谁该放在这张名单上呢？接着我又暗自思忖：有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢？于是我选择了两个名字Arnold　Bourbaki，前者是Poincaré-Newton传统的继承人，而后者，我认为，是Hilbert最著名的接班人．Arnold毫不含糊地认为：他的力学和物理的观点基本上是几何的，是源自于Newton的；以为存在处于二者之间的东西，除了象Riemann（他确实跟两者都有偏离）等少数人之外，都是一种误解．Bourbaki努力继续Hilbert的形式化的研究，将数学公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功．每一种观点都有它的优点，但是它们之间很难调和． 让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同．几何学当然讲的是空间，这是毫无疑问的．如果我面对这间房间里的听众，我可以在一秒中内或者是一微秒内看到很多，接收到大量的信息，当然这不是一件偶然的事件．我们大脑的构造与视觉有着极其重要的关系．我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到，视觉占用了大脑皮层的百分之八十或九十．在大脑中大约有十七个中枢，每一个中枢专门用来负责视觉活动的不同部分：有些部分涉及的是垂直方向的，有些部分与水平方向有关，有些部分是关于色彩和透视的，最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说．理解并感知我们所看到的这个世界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分．因此空间直觉(spatial intuition)或者空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具，也是几何学在数学上占有如此重要位置的原因，它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用，甚至对那些没有明显几何性质的事物也可以使用．我们努力将它们归结为几何形式，因为这样可以让我们使用我们的直觉．我们的直觉是我们最有力的武器．特别是在向学生或是同事讲解一种数学时可以看得很清楚．当你讲解一个很长而且很有难度的论证，最后使学生明白了．学生这时会说些什么呢？他会说“我看到了（我懂了）！”在这里看见与理解是同义词，而且我 们还可以用“知觉”这个词来同时形容它们，至少这在英语里是对的，把这个现象与其他语言作对比同样有趣．我认为有一点是很基本的：人类通过这种巨大的能力和视觉的瞬间活动获取大量的信息，从而得以发展，而教学参与其中并使之完善． 在另一方面（也许有些人不这样认为），代数本质上涉及的是时间．无论现在做的是哪一类代数，都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来，这里“一个接着一个”的意思是我们必须有时间的概念．在一个静态的宇宙中，我们无法想象代数，但几何的本质是静态的：我可以坐在这里观察，没有什么变化，但我仍可以继续观察．然而,代数与时间有关，这是因为我们有一连串的运算，这里当我谈到“代数”时，我并不单单指现代代数．任何算法，任何计算过程，都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展使这一切看得很清楚．现代计算机用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答案． 代数涉及的是时间的操作，而几何涉及的是空间．它们是世界互相垂直的两个方面，并且它们代表数学中两种不同的观念．因此在过去数学家们之间关于代数和几何相对重要性的争论或者对话代表了某些非常非常基本的事情． 当然只是为了论证是哪一边输了，哪一边胜利了，这并不值得．当我考虑这个问题时，有一个形象的类比：“你愿意成为一个代数学家还是一个几何学家？”这个问题就象问：“你愿意是聋子还是瞎子？”一样．如果人的眼睛盲了，就看不见空间；如果人的耳朵聋了，就无法听见，听觉是发生在时间之中的，总的来说，我们还是宁愿二者都要． 在物理学，也有一个类似的、大致平行的关于物理概念和物理实验之间的划分．物理学有两个部分：理论——概念，想法，单词，定律——和实验仪器．我认为概念在某种广义的意义下是几何的，这是因为它们涉及的是发生在真实世界的事物．另一方面，实验更象一个代数计算．人们做事情总要花时间，测定一些数，将它们代入到公式中去．但是在实验背后的基本概念却是几何传统的一部分． 将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说，那就是对几何学家而言，代数就是所谓的“浮士德的奉献”．正如大家所知道的，在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼可以得到他所想要的（就是一个漂亮女人的爱），其代价是出卖他的灵魂，代数就是由魔鬼提供给数学家的供品．魔鬼会说：“我将给你这个有力的机器，它可以回答你的任何问题．你需要做的就是把你的灵魂给我：放弃几何，你就会拥有这个威力无穷的机器”(现在可以把它想象成为一台计算机!)．当然我们希望同时拥有它们，我们也许可以欺骗魔鬼，假装我们出卖灵魂，但不真地给它．不过对我们灵魂的威胁依然存在，这是因为当我们转入代数计算时，本质上我们会停止思考，停止用几何的观念来考虑问题，不再思考其含义． 在这里我谈论代数学家的话重了一些，但是基本土，代数的目标总是想建立一个公式，把它放到一个机器中去，转动一下把手就可以得到答案．也就是拿来一个有意义的东西，把它化成一个公式，然后得到答案．在这样的一个过程中，人们不再需要思考代数的这些不同阶段对应的几何是什么．就这样，洞察力丢掉了，而这在那些不同的阶段都是非常重要的．我们绝不能放弃这些洞察力！最终我们还是要回到这上面来的，这就是我所谈到的浮士德的奉献．我肯定这种讲法尖锐了一点． 几何和代数的这种选择导致能融合二者的一些交叉课题的产生，并且代数和几何之间的区别也不象我讲的那样直截了当和朴实无华．例如，代数学家们经常使用图式(diagram)．而除了几何直觉，图式又能是什么呢？ 通用的技术 现在我不想再谈论太多就内容来划分的主题，而想谈谈那些依照已经使用的技术和常见方法所确定的主题，也就是我想描述一些已经广泛应用于众多领域的常见方法．第一个就是： 同调论 历史上同调论是作为拓扑学的一个分支而发展起来的．它涉及到以下情形．现有一个复杂的拓扑空间，我们想从中得到它的一些简单信息如计算它的洞或者类似事物的个数, 得到某些与之联系的可加的线性不变量等．这是一种在非线性条件下关干线性不变量的构造．从几何的角度来看，闭链可加可减，这样就得到了所谓的一个空间的同调群．同调论，作为一种从拓扑空间获取某些信息的基本代数工具，是在本世纪上半叶发现的．这是一种从几何中获益匪浅的代数． 同调概念也出现在其他一些方面．其另一个源头可以追溯到Hilbert及其关于多项式的研究中，多项式是非线性的函数，它们相乘可以得到更高次数的多项式．正是Hilbert那伟大的洞察力促使他来讨论“理想”，具有公共零点的多项式的线性组合．他要寻找这些理想的生成元．生成元可能有很多．他审视它们之间的关系以及关系之间的关系．于是他得到这些关系的一个分层谱系，这就是所谓的“Hilbert合系”．Hilbert的这个理论是一种非常复杂的方法，他试图将一个非线性的情形（多项式的研究）化为线性情形．本质上来讲，Hilbert构造了一个线性关系的复杂体系．能够把象多项式这样的非线性事物的某些信息纳入其中． 这个代数理论实际上是与上述拓扑理论平行的，而且现在它们已融合在一起构成了所谓的“同调代数”．在代数几何学中，本世纪五十年代最伟大的成就之一是层的上同调理论的发展及在解析几何学中的扩展，这是由Leray，Cartan，Serre和Grothendieck等人组成的法国学派取得的．从中我们可以感受到一种既有Riemann-Poincaré的拓扑思想，又有Hilbert的代数思想，再加上某些分析手段的融合， 这表明同调论在代数的其它分支也有着广泛的应用．我们可以引入同调群的概念，它通常是与非线性事物相关的线性事物．我们可以将之应用于群论，例如，有限群，以及李代数：它们都有相应的同调群．在数论方面，同调群通过Galois群产生了非常重要的应用．因此在相当广泛的情形下同调论都是强有力的工具之一，它也是二十世纪数学的一个典型的特征． K-理论 我要谈的另外一个技术就是所谓的“K-理论”．它在很多方面都与同调论相似，它的历史并不很长（直到二十世纪中叶才出现，尽管其起源的某些方面也许可以追溯到更早一些），但它却有着很广泛的应用，已经渗透进了数学的许多部分．K-理论实际上与表示理论紧密相联，有限群的表示理论，可以讲，起源于十九世纪．但是其现代形式——K-理论却只有一个相对较短的历史．K-理论可以用下面的方式来理解：它可以被想成是应用矩阵论的一种尝试．我们知道矩阵的乘法是不可交换的，于是我们想构造矩阵可换的或是线性的不变量．迹，维数和行列式都是矩阵论中可换的不变量，而K-理论即是试图处理它们的一种系统的方法，它有时也被称为“稳定线性代数”．其思想就是，如果我们有很多矩阵，那么把两个不可换的矩阵A和矩阵B放在不同块的正交位置上，它们就可换了，因为在一个大的空间里，我们可以随意移动物体．于是在某些近似情况下，这样做是很有好处的，足以让我们得到一些信息，这就是作为一个技术的K-理论的基石．这完全类似于同调论，二者都是从复杂的非线性情形获取线性的信息． 在代数几何中，K-理论是由Grothendieck首先引入的，并且取得了巨大的成功，这些与我们刚刚谈到的层理论密切相关，而且也和他在Riemann-Roch定理方面的工作有紧密联系． 在拓扑学方面，Hirzebruch和我照搬了这些思想并且将它们应用到一个纯粹的拓扑范畴内．从某种意义下来说，如果Grothendieck的工作与Hilbert在合系方面的工作有关，那么我们的工作更接近于Riemann-Poincaré在同调方面的工作，我们用的是连续函数，而他用的是多项式．K-理论也在椭圆算子的指标理论和线性分析的研究中起了重要作用． 从另外一个不同的角度，Milnor，Quillen和其他人发展了K-理论的代数方面，这在数论的研究中有着潜力巨大的应用．沿着这个方向的发展导致了许多有趣问题的产生． 在泛函分析方面，包括象Kasparov在内的许多人的工作将连续的K-理论推广到非交换的C*-代数情形．一个空间上的连续函数在函数乘积意义下形成一个交换代数．但是在其他情形下，自然地产生了类似的关于非交换情形的讨论，这时，泛函分析也就自然而然地成为了这些问题的温床． 因此，K-理论是另外一个能够将相当广泛的数学的许多不同方面都能用这种比较简单的公式来处理的领域，尽管在每一个情形下，都有很多特定于该方面且能够连接其他部分的非常困难的，技巧性很强的问题．K-理论不是一个统一的工具，它更象是一个统一的框架，在不同部分之间具有类比和相似． 这个工作的许多内容已经被Alain Connes推广到“非交换微分几何”． 非常有趣的是，也就是在最近，Witten通过他在弦理论方面（基础物理学的最新思想）的工作发现许多很有趣的方法都与K-理论有关，并且K-理论看起来为那些所谓的“守恒量”提供了一个很自然的“家”．虽然在过去同调论被认为是这些理论的自然框架，但是现在看起来K一理论能提供更好的答案． 李群 另一个不单单是一项技术、而且是具有统一性的概念是李群．现在说起李群，我们基本上就是指正交群，酉群，辛群以及一些例外群，它们在二十世纪数学历史中起了非常重要的作用．它们同样起源于十九世纪．SophusLie是一位十九世纪的挪威数学家．正如很多人所讲的那样，他和Fleix Klein，还有其他人一起推动了“连续群理论”的发展．对Klein而言，一开始，这是一种试图统一处理Euclid几何和非欧几何这两种不同类型几何的方法．虽然这个课题源于十九世纪，但真正起步却是在二十世纪，作为一种能够将许多不同问题归并于其中来研究的统一性框架，李群理论深深地影响了二十世纪． 我现在来谈谈Klein思想在几何方面的重要性．对于Klein而言，几何就是齐性空间，在那里，物体可以随意移动而保持形状不变，因此，它们是由一个相关的对称群来控制的．Euclid群给出Euclid几何而双曲几何源于另一个李群．于是每一个齐性几何对应一个不同的李群．但是到了后来，随着对Riemann的几何学工作的进一步发展，人们更关心那些不是齐性的几何，此时曲率随着位置的变化而变化，并且空间不再有整体对称性，然而，李群仍然起着重要的作用，这是因为在切空间中我们有Euclid坐标，以至于李群可以出现在一种无穷小的层面上．于是在切空间中，从无穷小的角度来看，李群又出现了，只不过由于要区分不同位置的不同点，我们需要用某种可以处理不同李群的方式来移动物体．这个理论是被Eile Cartan真正发展起来的，成为现代微分几何的基石，该理论框架对于Einstein的相对论也起着基本的作用．当然Einstein的理论极大地推动了微分几何的全面发展． 进入二十世纪，我前面提到的整体性质涉及到了在整体层面上的李群和微分几何．一个主要的发展是给出所谓的“示性类”的信息，这方面标志性的工作是由Borel和Hirzebruch给出的，示性类是拓扑不变量并且融合三个关键部分：李群，微分几何和拓扑，当然也包含与群本身有关的代数． 在更带分析味的方向上，我们得到了现在被称为非交换调和分析的理论．这是Fourier理论的推广，对于后者，Fourier级数或者是Fourier积分本质上对应于圆周和直线的交换李群，当我们用更为复杂的李群代替它们时，我们就可以得到一个非常漂亮、非常精巧并且将李群表示理论和分析融为一体的理论．这本质上是Harish-Chandra一生的工作． 在数论方面，整个“Lang1ands纲领”,现在许多人都这样称呼它，紧密联系于Harish-Chandra理论，产生于李群理论之中．对于每一个李群，我们都可以给出相应的数论和在某种程度实施Langlands纲领．在本世纪后半叶，代数数论的一大批工作深受其影响．模形式的研究就是其中一个很好的例证，这还包括Andrew Wiles在Fermat大定理方面的工作． 也许有人认为李群只不过在几何范畴内特别重要而已，因为这是出于连续变量的需要．然而事实并非如此，有限域上的李群的类似讨论可以给出有限群，并且大多数有限群都是通过这种方式产生的．因此李群理论的一些技巧甚至可以被应用到有限域或者是局部域等一些离散情形中．这方面有许多纯代数的工作，例如与George Lusztig名字联系在一起的工作．在这些工作中，有限群的表示理论被加以讨论，并且我已经提到的许多技术在这里也可以找到它们的用武之地． 有限群 上述讨论已把我们带到有限群的话题，这也提醒了我：有限单群的分类是我必须承认的一项工作．许多年以前，也就是在有限单群分类恰要完成之时,我接受了一次采访，并且我还被问道我对有限单群分类的看法,我当时很轻率地说我并不认为它有那么重要．我的理由是有限单群分类的结果告诉我们，大多数单群都是我们已知的，还有就是一张有关若干例外情形的表．在某种意义下，这只不过是结束了一个领域．而并没有开创什么新东西，当事物用结束代替开始时，我不会感到很兴奋．但是我的许多在这一领域工作的朋友听到我这么讲，理所当然地会感到非常非常不高兴，我从那时起就不得不穿起“防弹衣” 了． 在这项研究中，有一个可以弥补缺点的优点．我在这里实际上指的是在所有的所谓“散在群”(sporadic groups)中，最大的被赋予了“魔群”名字的那一个．我认为魔群的发现这件事本身就是有限单群分类中最叫人兴奋的结果了．可以看出魔群是一个极其有意思的动物而且现在还处于被了解之中．它与数学的许多分支的很大一部分有着意想不到的联系，如与椭圆模函数的联系，甚至与理论物理和量子场论都有联系．这是分类工作的一个有趣的副产品．正如我所说的，有限单群分类本身关上了大门，但是魔群又开启了一扇大门． 物理的影响 现在让我把话题转到一个不同的主题，即谈谈物理的影响．在整个历史中，物理与数学有着非常悠久的联系，并且大部分数学，例如微积分，就是为了解决物理中出现的问题而发展起来的．在二十世纪中叶，随着大多数纯数学在独立于物理学时仍取得了很好的发展，这种影响或联系也许变得不太明显．但是在本世纪最后四分之一的时间里，事情发生了戏剧性的变化,让我试着简单地评述一下物理学和数学，尤其是和几何的相互影响． 在十九世纪，Hamilton发展了经典力学，引入了现在称为Hamilton量的形式化．经典力学导出现在所谓的“辛几何”．这是几何的一个分支，虽然很早已经有人研究了，但是实际上直到最近二十年，这个课题才得到真正的研究．这已经是几何学非常丰富的一部分．几何学，我在这里使用这个词的意思是指，它有三个分支：Riemann几何，复几何和辛几何，并且分别对应三个不同类型的李群．辛几何是它们之中最新发展起来的，并且在某种意义下也许是最有趣的，当然也是与物理有极其紧密联系的一个，这主要因为它的历史起源与Hamilton力学有关以及近些年来它与量子力学的联系．现在，我前面提到过的、作为电磁学基本线性方程的Maxwell方程，是Hodge在调和形式方面工作和在代数几何中应用方面工作的源动力．这是一个非常富有成果的理论，并且自从本世纪三十年代以来已经成为几何学中的许多工作的基础． 我已经提到过广义相对论和Einstein的工作．量子力学当然更是提供了一个重要的实例．这不仅仅体现在对易关系上，而且更显著地体现在对Hilbert空间和谱理论的强调上． 以一种更具体和明显的方式，结晶学的古典形式是与晶体结构的对称性有关的．第一个被研究的实例是发生在点周围的有限对称群，这是鉴于它们在结晶学中的应用．在本世纪中，群论更深刻的应用已经转向与物理的关系，被假设用来构成物质的基本粒子看起来在最小的层面上有隐藏的对称性，在这个层面上，有某些李群在此出没，对此我们看不见，但是当我们研究粒子的实际行为时，它们的对称性就显现无遗了．所以我们假定了一个模型，在这个模型当中，对称性是一个本质性的要素，而且目前那些很普遍的不同理论都有一些象SU(2)和SU(3)那样的基本李群融入其中并构成基础的对称群，因此这些李群看起来象是建设物质大厦的砖石． 并不是只有紧李群才出现在物理中,一些非紧李群也出现在物理中，例如Lorentz群．正是由物理学家第一个开始研究非紧李群的表示理论的．它们是那些能够发生在Hilbert空间的表示，这是因为，对于紧群而言，所有不可约表示都是有限维的，而非紧群需要的是无穷维表示，这也是首先由物理学家意识到的． 在二十世纪的最后25年里，正如我刚刚完成阐述的，有一种巨大的从物理学的新思想到数学的渗透，这也许是整个世纪最引人注目的事件之一，就这个问题本身，也许就需要一个完整的报告，但是，基本上来讲，量子场论和弦理论已经以引人注目的方式影响了数学的许多分支，得到了众多的新结果、新思想和新技术．这里，我的意思是指物理学家通过对物理理论的理解已经能够预言某些在数学上是对的事情了．当然，这不是一个精确的证明，但是确有非常强有力的直觉、一些特例和类比所支持．数学家们经常来检验这些由物理学家预言的结果，并且发现它们基本上是正确的，尽管给出证明是很困难的而且它们中的许多还没有被完全证明． 所以说沿着这个方向，在过去的25年里取得了巨大的成果．这些结果是极其细致的．这并不象物理学家所讲的“这是一种应该是对的东西”．他们说：“这里有明确的公式，还有头十个实例（涉及超过12位的数字）”．他们会给出关于复杂问题的准确答案，这些决不是那种靠猜测就能得到的，而是需要用机器计算的东西，量子场论提供了一个重要的工具，虽然从数学上来理解很困难，但是站在应用的角度，它有意想不到的回报．这是最近25年中真正令人兴奋的事件． 在这里我列一些重要的成果：SimonDona1dson在四维流形方面的工作；Vaughan-Jones在扭结不变量方面的工作；镜面对称，量子群；再加上我刚才提到的“魔群” 这个主题到底讲的是什么呢？正如我在前面提到过的一样，二十世纪见证了维数的一种转换并且以转换为无穷维而告终，物理学家超越了这些，在量子场论方面，他们真正试图对广泛的无穷维空间进行细致的研究，他们处理的无穷维空间是各类典型的函数空间，它们非常复杂，不仅是因为它们是无穷维的，而且它们有复杂的代数、几何以及拓扑，还有围绕其中的很大的李群，即无穷维的李群，因此正如二十世纪数学的大部分涉及的是几何、拓扑、代数以及有限维李群和流形上分析的发展，这部分物理涉及了在无穷维情形下的类似处理．当然，这是一件非常不同的事情，但确有巨大的成功． 让我更详尽地解释一下，量子场论存在于空间和时间中．空间的真正的意义是三维的，但是有简化的模型使我们将空间取成一维．在一维空间和一维时间里，物理学家遇到的典型事物，用数学语言来讲，就是由圆周的微分同胚构成的群或者是由从圆周到一个紧李群的微分映射构成的群．它们是出现在这些维数里的量子场论中的两个非常基本的无穷维李群的例子，它们也是理所当然的数学事物并且已经被数学家们研究了一段时间． 在这样一个1＋1维理论中，我们将时空取成一个Riemann曲面并且由此可以得到很多新的结果．例如，研究一个给定亏格数的Riemann曲面的模空间是个可以追溯到上个世纪的古典课题．而由量子场论已经得到了很多关于这些模空间的上同调的新结果．另一个非常类似的模空间是一个具有亏格数g的Riemann曲面上的平坦G-丛的模空间．这些空间都是非常有趣的并且量子场论给出关于它们的一些精确结果．特别地，可以得到一些关于体积的很漂亮的公式，这其中涉及到Zeta函数的取值． 另一个应用与计数曲线(counting curve)有关．如果我们来看给定次数和类型的平面代数曲线，我们想要知道的是，例如，经过那么多点究竟有多少曲线，这样我们就要面临代数几何的计数问题，这些问题在上个世纪一直是很经典的．而且也是非常困难的．现在它们已经通过被称为“量子上同调”的现代技术解决了，这完全是从量子场论中得到的．或者我们也可以接触那些关于不在平面上而在弯曲族上的曲线的更加困难的问题，这样我们得到了另一个具有明确结果的被称为镜面对称的美妙理论，所有这些都产生于1＋1维量子场论． 如果我们升高一个维数，也就是2-维空间和1-维时间，就可以得到Vaughan-Jones的扭结不变量理论．这个理论已经用量子场论的术语给予了很美妙的解释和分析． 量子场论另一个结果是所谓的“量子群”．现在关于量子群的最好的东西是它们的名字．明确地讲它们不是群！如果有人要问我一个量子群的定义，我也许需要用半个小时来解释，它们是复杂的事物，但毫无疑问它们与量子理论有着很深的联系它们源于物理，而且现在的应用者是那些脚踏实地的代数学家们，他们实际上用它们进行确定的计算． 如果我们将维数升得更高一些，到一个全四维理论（三加一维），这就是Donaldson的四维流形理论，在这里量子场论产生了重大影响．特别地，这还导致Seiberg和Witten建立了他们相应的理论，该理论建立在物理直觉之上并且也给出许多非同寻常的数学结果．所有这些都是些突出的例子．其实还有更多的例子． 接下来是弦理论并且这已经是过时的了！我们现在所谈论的是M一理论，这是一个内容丰富的理论，其中同样有大量的数学，从关于它的研究中得到的结果仍有待于进一步消化并且足可以让数学家们忙上相当长的时间． 历史的总结 我现在作一个简短的总结．让我概括地谈谈历史：数学究竟发生了什么？我相当随意地把十八世纪和十九世纪放在了一起，把它们当做我们称为古典数学的时代，这个时代是与Euler和Gauss这样的人联系在一起的，所有伟大的古典数学结果也都是在这个时代被发现和发展的．有人也许认为那几乎就是数学的终结了，但是相反地，二十世纪实际上非常富有成果，这也是我一直在谈论的． 二十世纪大致可以一分为二地分成两部分．我认为二十世纪前半叶是被我称为“专门化的时代”，这是一个Hilbert的处理办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终．正如我说到过的，Bourbaki的名字是与这种趋势联系在一起的．在这种趋势下，人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系统或者其它系统能获得什么．二十世纪后半叶更多地被我称为“统一的时代”，在这个时代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物在很大程度上变得越来越有交叉性．我想这是一种过于简单的说法，但是我认为这简单总 结了我们所看到的二十世纪数学的一些方面． 二十一世纪会是什么呢？我已经说过，二十一世纪是量子数学的时代，或者，如果大家喜欢，可称为是无穷维数学的时代．这意味着什么呢？量子数学的含义是指我们能够恰当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性函数空间的代数，在这里，“恰当地理解”，我是指能够以某种方式对那些物理学家们已经推断出来的美妙事物给出较精确的证明． 有人要说，如果用天真幼稚的方式(naive way)来研究无穷维并问一些天真幼稚的问题，通常来讲，只能得到错误的答案或者答案是无意义的，物理的应用、洞察力和动机使得物理学家能够问一些关于无穷维的明智的问题，并且可以在有合乎情理的答案时作一些非常细致的工作，因此用这种方式分析无穷维决不是一件轻而易举的事情．我们必须沿着这条正确的道路走下去．我们已经得到了许多线索，地图已经摊开了：我们的目标已经有了，只不过还有很长的路要走． 还有什么会发生在二十一世纪？我想强调一下Connes的非交换微分几何．Alain Connes拥有这个相当宏伟的统一理论．同样，它融合了一切．它融合了分析、代数、几何、拓扑、物理、数论，所有这一切都是它的一部分．这是一个框架性理论，它能够让我们在非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作，这当中包括与拓扑的关系．要求这样做是有很好的理由的，因为它在数论、几何、离散群等等以及在物理中都有（潜力巨大的或者特别的）应用．一个与物理有趣的联系也刚刚被发现．这个理论能够走多远，能够得到什么结果，还有待进一步观察．它理所当然地是我所期望的至少在下个世纪头十年能够得到显著发展的课题，而且找到它与尚不成熟的（精确）量子场论之间的联系是完全有可能的． 我们转到另一个方面，也就是所谓的“算术几何”或者是Arakelov几何，其试图尽可能多地将代数几何和数论的部分内容统一起来．这是一个非常成功的理论．它已经有了一个美好的开端，但仍有很长的路要走．这又有谁知道呢？ 当然，所有这些都有一些共同点．我期待物理学能够将它的影响遍及所有地方，甚至是数论：Andrew Wiles不同意我这样说，只有时间会说明一切． 这些是我所能看到的在下个十年里出现的几个方面，但也有一些难以捉摸的东西：返回至低维几何．与所有无穷维的富有想象的事物在一起，低维几何的处境有些尴尬．从很多方面来看，我们开始时讨论的维数，或我们祖先开始时的维数，仍留下某些未解之谜．维数为2，3和4的对象被我们称为“低”维的．例如Thurston在三维几何的工作，目标就是能够给出一个三维流形上的几何分类，这比二维理论要深刻得多．Thurston纲领还远远没有完成，完成这个纲领当然将是一个重要的挑战． 在三维中另外一个引人注目的事件是Vaughan-Jones那些思想本质上来源于物理的工作．这给了我们更多的关于三维的信息，并且它们几乎完全不在Thurston纲领包含的信息之内．如何将这两个方面联系起来仍然是一个巨大的挑战，但是最近得到的结果暗示两者之间可能有一座桥，因此，整个低维的领域都与物理有关，但是其中实在有太多让人琢磨不透的东西． 最后，我要提一下的是在物理学中出现的非常重要的“对偶”．这些对偶，泛泛地来讲，产生于一个量子理论被看成一个经典理论时有两种不同的实现．一个简单的例子是经典力学中的位置和动量的对偶．这样由对偶空间代替了原空间，并且在线性理论中，对偶就是Fourier变换．但是在非线性理论中，如何来代替Fourier变换是巨大的挑战之一．数学的大部分都与如何在非线性情形下推广对偶有关．物理学家看起来能够在他们的弦理论和M一理论中以一种非同寻常的方式做到了这一点．他们构造了一个又一个令人叹为观止的对偶实例，在某种广义的意义下，它们是Fourier变换的无穷维非线性体现，并且看起来它们能解决问题，然而理解这些非线性对偶性看起来也是下个世纪的巨大挑战之一． 我想我就谈到这里．这里还有大量的工作，并且我觉得象我这样的一个老人可以和你们这么多的年轻人谈谈是一件非常好的事情；而且我也可以对你们说：在下个世纪，有大量的工作在等着你们去完成． （原载《数学译林》2002/2，白承铭译，周性伟、冯惠涛校） 附录： 20世纪数学（mathematics in 20th century） 20世纪数学是从19世纪数学多样性时期趋于统一的时期，其统一的基础是集合论。一方面在集合论之上产生出结构数学的庞大领域，另一方面由集合论的基础问题产生了元数学。数学新对象的形成，导致结构的多样性和理论的多样性，而且19世纪末以前的数学——数论、代数学、分析学、几何学与应用数学仍有新的发展，加上新的应用数学、计算数学等领域，数学日趋专门化、多样化。但意想不到的是，从20世纪70年代起，各个领域之间新的关系不断发展，新一轮的统一性正在形成之中。 当代数学前沿的大多数学科是20世纪上半叶形成的，其中主要是抽象代数学（包括群论、环及代数理论、域论、格论、整体李群理论、代数群论、同调代数以及各种衍生结构理论）、一般拓扑学、点集拓扑学、测度和积分理论、泛函分析（包括线性拓扑空间理论、算子代数理论等）、组合拓扑学及代数拓扑学、整体微分几何学、多复变函数论、动力系统理论、随机过程理论等。对于19世纪开创的新领域——代数数论、代数几何学、黎曼几何学和局部李群理论，也在结构数学的框架中获得重大突破，成为当代数学的前沿。20世纪早期形成的一些领域，如微分拓扑学、大范围分析、K理论、非交换几何等，也可在其中看到萌芽。 除了纯粹数学领域的扩大与深化之外，20世纪的应用数学和计算数学的面貌也发生了根本性的改变。 一方面数学应用的范围已从20世纪之前经典力学、天文学与测地学以及数学物理等领域扩展到几乎所有自然科学、工程技术、社会科学、人文科学的分支，而且在其中越来越起着举足轻重的作用；另一方面，一批新的应用数学领域产生出来，成为具有相对独立的分支，构成大数学科学的组成部分。它们一方面与实际问题有着密切的关系，另一方面它们也形成独立的数学研究方向。其中最典型的是19世纪末20世纪初形成的数理统计学，它们同应用概率一起在近半个世纪已经成为与经典应用数学平起平坐的学科领域。另外一个数学领域——组合数学几乎与数学的历史一样悠久，但只有近半个多世纪才逐步成熟并独立地发展起来。 第二次世界大战之后，一些新的应用数学领域独立出来，特别是运筹学诸分支，后来纳人管理科学的学科群中，与工程技术密切相关的系统科学、控制理论与自动化科学、信息科学也得到空前的发展。 20世纪科学技术史中头等重要的事件是电子计算机的诞生，它对整个社会的冲击是怎么估计也不过分的。从计算机的设计制造到大规模应用，处处离不开数学，同时也开辟了新的数学领域，它们可以被归纳成两大部分：一是计算机科学，它指导未来计算机的发展；一是计算数学，它指向计算机在科学计算和工程技术中的大规模计算。计算机的不断普及和改进对数学也造成不可忽视的影响。它给数学家提出一系列算法问题，并形成一套有效的算法，如单纯形方法及其种种改进，有限元方法及其衍生算法等，对算法的分析，如收敛速度、误差传播及稳定性等问题形成数值分析分支。 近年来，计算机由数值运算过渡到符号运算，形成计算机代数重要分支，特别是中国数学家吴文俊的机械化数学纲领在机器证明方面是一大突破。 19世纪末到20世纪初，数学也像物理学一样，迎来了一个激烈的变革时期。一方面人们开始接受G．康托尔的集合论作为统一数学的基础，但不久又在其中发现有悖论，从而出现了严重的数学危机。另一方面，作为未来数学的主要方法——公理化方法由希尔伯特所奠定，他在1899年发表的《几何基础》对于20世纪的数学给予很大的启示。在他的推动下，形成了一个小小的公理化热潮。正是在这个基础上形成了结构数学和元数学两大新领域。20世纪初，数学越来越趋于抽象化。抽象群论的研究、法国数学家勒贝格的测度论和积分论、希尔伯特的积分方程理论、法国数学家弗雷歇的抽象空间理论、代数学的一些公理化理论等相继出现，连同19世纪末组合拓扑学的建立，预示着以代数学和拓扑学为中心的现代数学翻天覆地的变化。泛函分析的出现大大改变了分析的面貌，而且给量子物理学准备了现成的工具。与以前的数学比较，20世纪数学有如下特点： 1、数学不再只是数论、代数、几何、分析几个相对独立的部分，而是随着集合论的出现涌现出大量的新学科、新分支、新理论。例如数学基础与数理逻辑（以及由此分化出来的模型论、递归论、证明论）、抽象代数学（包括群论、环论、域论、同调代数学、代数K理论、格论以及各式各样的代数结构）、一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、拓扑群理论（及其他拓扑代数，包括李群）、代数群理论、测度与积分论、泛函分析、随机过程论，等等。几乎所有应用数学和与计算机有关的数学部门都是20世纪的产物，即使是经典的数学部门，面貌也已完全改观。比如说，19世纪以前的代数学主要研究代数方程及代数方程组的求解问题,19世纪出现了研究代数方程置换群的伽罗瓦理论、线性代数学、不变式理论，而现代的代数学已经是群论、环论、域论及同调代数学等分支，那些经典内容总共也已经占不到百分之几了。 2、数学不再像过去那样只是解决特殊问题、寻求特殊算法的学科，而是在结构的概念下有统一的对象、统一的方法、有自身独立的问题的独立学科，它不只是研究数与形，而主要是研究各种结构，其中特别是代数结构、拓扑结构、序结构以及这些结构互相结合所产生的各种多重结构，从而给20世纪数学带来无比丰富而深刻的内容。结构观念进一步发展成范畴及函子的概念，对统一数学的思想起着很大的作用。思想的统一及方法的深化，促进许多经典问题的解决。 3、数学的内容越来越复杂、抽象，非但没有使得它脱离实际，而且从数学本身发展出来的许多观念给物理学、化学、生物学等提供了许多有力的工具。例如黎曼几何学及张量分析对于广义相对论，泛函分析对于量子力学及量子场论，乃至近年来的纤维丛理论、微分几何学及代数几何学对于规范场理论，群表示论对于原子结构、核结构、基本粒子分类等，都好像是定做的工具，不只一次引起物理学家的惊异。甚至像1917年发现的拉东变换在四五十年后都对医学上检查肿瘤不可缺的X射线层析仪提供理论基础。第二次世界大战前后，电子计算机的问世以及许多门应用数学的发展更是为数学的应用开辟了无比广阔的前景。反过来，实际问题及应用数学又为纯粹数学提出来许多新概念、新问题，甚至推动许多经典难题的解决。例如用规范场理论推动四维拓扑学的研究并取得重大突破。 4、随着电子计算机的发明，无论是纯粹数学还是应用数学都受到电子计算机的强烈影响，数值分析已形成一门独立的数学分支，现在的数学计算方法如果不能在计算机上使用那就要大为减色，许多方法（如单纯形法、蒙特卡罗法、有限元方法、卡尔曼滤波等等）的优越性就在于它们能够与计算机很好地结合。这样许多应用数学问题可以进行计算机试验，而逐步得到解决。不仅如此，许多纯粹数学问题也在计算机帮助之下得到证明，其中最突出的就是1976年阿佩尔及哈肯借助计算机证明四色猜想。机械化证明可望减轻数学家某些重复、繁琐的劳动，而集中于更重要的数学问题的解决。 20世纪数学可以第二次世界大战为界划分为前后两期，前期约从1870年到1940年，可以说是现代数学的萌芽时期。数学由以算为主过渡到以研究结构为主，把数学统一在集合论的基础上，其标志是数理逻辑、抽象代数学、测度与积分论、拓扑学、泛函分析等五大学科的诞生。到20世纪50年代，布尔巴基学派用数学结构的概念统一数学，陆续出版多卷本《数学原理》，成为以后数学的经典。1940年以后，是现代数学的繁荣时期，纯粹数学以拓扑学为中心得到迅猛发展，同时，随着计算机的出现，应用数学和计算数学也取得空前的进步，对于科学及社会都起着越来越重大的作用。 下面我们从四个方面论述纯数学的进展。 一、元数学 20世纪初期，集合论的内在矛盾开始暴露出来，使数学界震动最大的是罗素在1901年发现的悖论。为了解决这个矛盾，罗素提出了分支类型论，并在这个基础上与怀特海合著3大卷《数学原理》（1910－1913）。一个解决悖论的途径是策梅罗于1908年提出的集合论的公理化，他的公理体系经过后来的补充和修改成为公理集合论的一个公认的基础。与此同时，对于数学基础进行了热烈的争论，产生了相互对立的逻辑主义、直觉主义和形式主义三大派。以希尔伯特为代表的形式主义企图把全部数学建立在少数公理的基础上，然后给公理的无矛盾性一个绝对的证明，这就是所谓证明论。1931年，哥德尔证明了他的著名的不完全性定理，使得希尔伯特所期望的形式系统的绝对完全性的证明根本做不到，从而使数理逻辑完全转向一个新的方向。 1931年，哥德尔的不完全性定理导致数理逻辑的大发展。首先是20世纪30年代发展起来的一般递归函数的概念，1936年图灵提出了图灵机的概念，给可计算性一个具体的刻画。由于不完全性定理出现形式系统中的不可判定问题，特别是群的字的问题不可解与希尔伯特第10问题的否定解决。1938年，哥德尔证明连续统假设的相对无矛盾性，20世纪60年代又发现选择公理和连续统假设等的相对独立性，由此产生一系列的数学方面的后果。特别是从20世纪50年代起模型论的诞生，对数学本身也有很大的冲击，其中主要的是非标准分析的产生以及拓扑斯理论的发表。由于集合论的公理系统不完全，自然考虑加进一些新的公理，其中选择公理是比较重要的，在代数和分析的许多证明中是不可少的。但是也有一些公理，比如大基数公理，可以导出所有实数的子集都是勒贝格可测的。数理逻辑的研究又重新受到数学家的重视。 二、结构数学 20世纪上半期主要奠定抽象代数、一般拓扑学、测度和积分理论、泛函分析等分支的基础，20世纪下半期结构数学的重点是代数拓扑学。 1、抽象代数 从19世纪末起，代数学的面貌发生了根本性改变，这时抽象群的结构理沦和表示理论已经有了一定的发展。1910年，施泰尼茨对于域论进行统一的抽象处理，而最重要的发展是从19世纪末发展起来的结合代数和非结合代数的结构理论，特别是韦德伯恩在1907年证明了线性结合代数的结构定理。在此前后， ．嘉当完成了复数域上的半单李代数的结构定理，并推广到实半单李代数，同时研究了它们的表示理论，这些都构成了抽象代数的最初萌芽。但是，抽象代数的发展来源于A．E．诺特的理想理论，A．E．诺特通过公理化方法发展了一般理想理论，建立了诺特环及戴德金环的理想的结构理论，并建立结合代数的基础。阿廷首先把代数的结构理论推广到环上去，导致了环论的诞生。阿廷等人关于实域的研究解决了希尔伯特第17问题，反映了抽象方法的威力。1930年范德瓦尔登的《近世代数学》一书的出版，标志着抽象代数学这门学科的诞生。 2、泛函分析 大约同时，泛函分析也作为一门学科正式诞生，它的来源除了意大利和法国的泛函演算之外，还有希尔伯特和他的学生在20世纪初所进行的积分方程的研究。他们引进了l2空间和L2空间，证明了里斯一菲舍尔定理。里斯还引进了抽象线性算子，并定义算子的范数。他把希尔伯特关于积分方程中的全连续概念推广到抽象算子上，这样，基本建成希尔伯特空间及其线性算子理论，但一直到1928年才由冯·诺伊曼加以公理化。泛函分析的第三条路线来源于巴拿赫等人的工作，他们主要研究赋范空间，并引进其上的算子，其中特别是推广了里斯的工作，建立了对偶空间的概念。泛函分析的出现不仅推广了20世纪初期的谱理论，而且后来成为量子力学的合用的数学工具。量子力学的出现，更进一步推动了泛函分析的研究，推动了算子理论的产生。 3、有限群论 有限群论的主要目标是把所有有限群进行分类，为此我们可以分成两步走，一步是找出所有的单群（也就是构成所有群的基本单位），再就是把这些单群拼凑起来成为各种各样的群。 关于有限单群，很久以前就已经知道许多。除了素数阶循环群外，伽罗瓦已经知道交错群。1900年左右知道许多矩阵构成的典型群，但是在1955年之前进展不大。1955年谢瓦莱用李代数的方法系统地造出当时已知的所有单群（除了几个例外），后来别人又利用他的方法得出许多新的无限单群系列，这些都被称为李型单群。但是这些群并没有把有限单群包罗完全。除了无限系的单群之外，还有26个零散单群，早在1861年及1873年马蒂厄已知道其中的5个，1966－1975年间又陆续发现了21个。到1980年初，所有这26个零散单群都已经具体造出来。那么单群的分类是否大功告成了呢？群论专家大都认为是这样，不过完全证明仍在发表中。 4、拓扑学 在20世纪最初30多年中，拓扑学经历了相当长的混乱时期，出现了许多同调理论，也开拓了一些应用领域，其中特别值得指出的是拓扑学与分析的联系。1925年莫尔斯建立了大范围变分法，即变分问题的莫尔斯理论，这个理论把临界点（奇点）指数与贝蒂数联系起来。1931年德．拉姆证明德．拉姆公式，把微分形式与同调联系起来。这时由于抽象代数学的发展，在A．E．诺特的影响下，形成了同调群的概念，由此把几何的结构和代数的结构联系起来。到第二次世界大战末期，艾伦伯格和斯廷罗德将同调论公理化，从而结束了同调论的混乱局面。后来又发现了许多广义的同调理论（如K理论），给拓扑学乃至整个数学提供了许多强有力的武器。 拓扑学的一个方向是同伦论，庞加莱已经提出了基本群的概念，后来切赫和胡雷维奇先后提出同伦群的观念。同伦群包括着拓扑空间的丰富信息，但是，它是极为难计算的群。常常很片面的进展都给拓扑学乃至整个数学带来极大的推动，例如博特用莫尔斯理论得出典型群同伦群的周期性定理，成为K理论的一个来源。 拓扑学的一个自然对象是流形，流形可以看成是一块一块欧氏空间粘接在一起形成的东西。假如这些块通过线性映射粘接在一起，就成为分段线性流形；假如这些块通过可微映射粘接在一起，就得出微分流形。 一个著名的、长期没有解决的猜想——主猜想，它宣称任何分段线性流形必定存在本质上是唯一的三角剖分（即线性粘接的方式）。显然对于许多流形，主猜想成立，但是仍然存在反例。另外，1966－1967年，还证明了存在拓扑流形没有分段线性结构。 微分流形是应用范围极广的对象。1956年米尔诺发现微分流形7维球面S7具有不同的微分结构，这是拓扑学的一个重大成就，它标志着微分拓扑学的诞生。其后不久，又发现有的分段线性流形没有微分结构，而反过来，任何微分流形都存在本质上是唯一的分段线性结构是早就知道的事。 另外一个重要的猜想是庞加莱猜想，即单连通、定向、闭三维流形一定是三维球面。至今，这个猜想未被证实也没有被否定。但是广义的庞加莱猜想，5维以上的相当的猜想在1960年左右却获得了证实。1982年，4维的猜想也得到证明。 近年来，流形上的分析——奇点理论、动力系统（常微分方程）理论、叶状结构理论等取得很大的发展。托姆从奇点理论出发，发展了突变理论，在不同程度上可以解释许多自然现象及社会现象。 三、结构数学对经典数学的冲击 20世纪发展起来的代数及拓扑方法对于古老的学科起着极大的推动作用。其中结构数学对于代数数论、代数几何学、多复变函数论、抽象调和分析、大范围微分几何学等分支起着决定性的改造作用，从而极大地扩展了它们的范围。由此，导致许多经典问题取得突破乃至完全解决。 1、微分流形的几何学 组合拓扑学由于群的概念的引进，正式成为代数拓扑学。20世纪40年代同调论的公理化，统一了同调论的基础，并开辟了以后广义上同调论的发展途径。同时，同伦论的兴起，丰富了拓扑学的内容，而且使得拓扑学成为数学发展的重要工具。其中纤维丛及层概念的引入起着决定性作用。20世纪50年代以后，对于流形的研究取得了重要的突破，1956年发现了球面上的不等价的微分结构，证明了广义庞加莱猜想，解决了主猜想，并发展了大范围的动力系统理论。对于微分流形的研究，促进了奇点理论的发展，同时解决了一系列与微分几何学有关的拓扑问题，并且发展了叶状结构理论。 2、古典分析 新学科的发展给古典分析提供了重要的工具，其中包括不动点定理、拓扑度的观念，尤其是广义函数论大大推动了偏微分方程理论的发展。在微分流形上，考虑微分算子促使霍奇理论的产生，这个理论把流形的拓扑性质与分析性质结合起来，它与黎曼一罗赫定理共同深化为阿蒂亚一辛格理论，阿蒂亚一辛格理论是引进伪微分算子的主要推动力，伪微分算子不仅包含线性微分算子，而且包含了以前研究的奇异积分算子，从而使线性偏微分方程理论系统化，这套理论后来又推广为傅立叶积分算子理论。 3、代数几何学 交换环理论给代数几何学打下了牢固的基础。从范德瓦尔登、韦伊、扎里斯基一直到塞尔、格罗唐迪克，不仅发展了抽象代数几何学，而且解决了一系列经典问题，其中特别是广中平枯解决了特征0的代数簇的奇点解消问题，而且建立了算术代数几何这一前沿学科，并导致一系列重要猜想的解决。1974年，德利涅成功地证明了韦伊猜想，这是不定方程理论最重大的成就。1983年，法尔廷斯证明了莫德尔猜想，这是丢番图几何的中心问题之一。1994年怀尔斯取得世纪性的成就，证明了费马大定理。 4、代数数论 19世纪末，希尔伯特已把当时代数数论最主要的成果整理在他的《数论报告》（即《代数数域的理论》）中，而且发展了类域的概念，给出一系列类域论的猜想，并证明了许多特殊的情形。这些结果和猜想成为20世纪前半叶代数数论发展的指南。如希尔伯特类域的推广、相对阿贝尔扩张具有唯一的类域、克罗内克青春之梦等到1920年都陆续被高木贞治等人解决。到1927年阿廷证明了一般互反律，从而完成了阿贝尔类域论的理论。20世纪30年代到50年代，在抽象代数、同调代数等工具的帮助下，类域论可以用漂亮的代数理论和上同调理论来表达，成为数学王国中一颗光彩夺目的明珠。 类域论不仅仅在原来代数数域的范围中，许多定理可以类推到代数闭域上单变量代数函数域上。另外，亨泽尔发现了p-adic数，对于各种代数数域也都有相应的“局部域”，相应地建立了各种局部域的阿贝尔扩张理论，此即局部类域论。20世纪60年代，局部类域论可以用形式群的工具来简明地表示出来。 其后，类域论向非阿贝尔类域论发展。这里面，自守形式、代数几何、群表示论、上同调混合在一起。朗兰茨等人发展了一套体系，被称为朗兰茨哲学，它极大地影响了整个数学的发展。 四、经典数学 20世纪许多经典问题也取得重大进展，下面列举其中一些重要项目。 1、解析数论 （1）黎曼猜想 （2）素数定理的初等证明 （3）华林问题与哥德巴赫猜想 （4）密率方法与筛法 （5）三角和方法 2、丢番图逼近与超越数论 （1）解决希尔伯特第7问题 （2）代数数的最佳逼迫 （3）高斯关于类数1的虚二次域猜想 （4）卡塔兰方程 （5）ζ（3）为无理数 3、单复变函数论 （1）奈望林纳理论 （2）拟共形映射 （3）比伯巴赫猜想 4、实变函数论 傅立叶级数为几乎处处收敛和发散的问题，如卢津猜想。 5、微分方程与变分法 （1）极小曲面、普拉托问题 （2） KdV方程 （3）线性偏微分方程的解的存在性、唯一性 虽然它们大都与结构数学无关，但是其中一些问题的进步仍可以看出结构数学的影响。 当然，经典数学不仅限于上述几个分支，另一个活跃的分支是概率论。 概率论虽然已有300年的历史，但到20世纪初，人们对概率只有一些模糊的认识，概率的计算也没有很严格的基础。当时只有一些古典概率的基本概念以及大数律及中心极限定理的原始形式。20世纪初严格地证明了中心极限定理。1909年， ．波莱尔得出强大数定律，马尔可夫开始了马尔可夫链的研究。到20世纪20年代，建立了大数律与中心极限定理成立的充分必要条件，可以说是古典概率论的最终完成。但是，这个时期对于概率的理解有着很大的不同，对于概率的数学基础，也有不同的看法，一直到 ．波莱尔有意识地把概率论建立在测度论的基础上，建立了可数集的概率法，填补了古典概率以及几何概率之间的空白，概率论才算有了可靠的数学基础。1933年，柯尔莫戈罗夫把概率论公理化，概率论才正式成为一门独立学科。20世纪20年代到40年代，是概率论的英雄时代，这个时期形成了以莱维为代表的法国学派，柯尔莫戈罗夫、辛钦等为代表的原苏联学派以及稍后的美国学派，这个时期研究了独立随机变量和的极限定律以及相关的随机变量情形下大数律与中心极限定理的推广，而最重要的一个方面是随机过程。随机过程的最典型的例子是布朗运动，在爱因斯坦1905年的物理解释的基础上，N．维纳首先从数学上建立了布朗运动的理论模型，其后莱维从马尔可夫过程观点研究布朗运动，提出假定未来与过去无关这种强马尔可夫性质。后来发现马尔可夫过程的转移概率满足微分积分方程。第二次世界大战后，概率论发展了随机过程和随机分析等重要分支，在理论和实践方面起着重大作用。例如当前发展的热门全能数学中，随机微分方程起着决定性作用。 20世纪的应用数学和计算数学也获得了巨大发展。除了经典的应用数学之外，20世纪新产生了许多新兴领域，特别是统计数学、运筹学、控制理论以及与计算机有关的计算机科学与计算数学等。 作为概率论的应用是数理统计，它来源于优生学。20世纪初，皮尔逊构造相关性的理论，建立了生物计量学的基础。他引进了 分布，开辟了参数检验理论，后来戈塞特开辟小样本检验方法，这些都是建立在古典概率基础上的。20世纪20年代，费希尔一系列的理论与实践活动促进了数理统计的极大发展，他的主要贡献是假设检验和实验设计，他还发展了方差分析方法的研究。他的数学不够严格，后来在概率论公理化的基础上，内曼等人奠定了统计假设检验的基础。实验设计是应用非常广泛的方法，它与组合理论密切相关，特别涉及正交拉丁方的存在问题以及区组设计理论，这些都已经成为组合理论的独立分支。数理统计的另外一个发展是瓦尔德开创的统计判断函数理论，在第二次世界大战中，他发展了序贯分析法，有极大的实用价值。 20世纪的数学应用不仅在物理科学方面继续深人发展，而且扩展到生物科学、经济科学、管理科学等各个方面。20世纪40年代以后，随着计算机的发展，应用数学与计算数学密切相关地发展，解决了一系列的重要问题。它不仅应用基础数学，而且用到新兴的抽象学科，如拓扑学、抽象代数、泛函分析等等。反过来，应用数学也促进了纯粹数学的发展，甚至直接促使纯粹数学问题的解决，如1982年由杨振宁一米尔斯理论导致四维庞加莱猜想的证明。在第二次世界大战中发展起来的运筹科学，其中最重要的分支是规划理论，特别是线性规划理论与算法复杂性有着密切的关系，在实用上也有着多方面的应用。1948年发展起来一整套信息理论，其中编码问题与代数问题密切相关。由于卫星和火箭的控制问题产生了控制理论、应用抽象代数、泛函分析、随机过程理论乃至微分几何学、代数几何学。1958年，庞特里亚金等人提出最优控制所满足的必要条件，而形成集中参数系统的最优控制理论。1960年，卡尔曼等提出递推滤波算法，适合于计算机进行计算，便于应用。对策论的发展较早，1944年冯·诺伊曼等的《对策论与经济行为》一书出版，是对前人关于对策模型研究的总结，其中给对策以公理化的定义，奠定了这门科学的基础。与此同时，他们也发展了数理经济学的一个方向。 随着数学应用的发展，对计算机的要求也越来越高，大量数值计算使人们对于研究数值计算方法更加重视。1947年，冯·诺伊曼等人发表“高阶矩阵的数值求逆”，标志着数值分析这门学科的诞生。数值分析最常用的方法是解线性方程组，除了高斯消去法之外，还发展了迭代法，并研究一类应用价值很广的稀疏矩阵以及广义逆的概念。为了解偏微分方程，常用差分法以及库朗等人在20世纪20年代奠定基础的有限元法，这个方法是应用范围最广的方法。其他还有样条函数、快速傅立叶变换以及线性规划的单纯形方法及其种种改进。20世纪60年代，随着计算数学的实践，出现了计算复杂性分支，它对于算法进行了定量的评价。 20世纪初，大部分数学工作是在德国和法国进行的，法国数学的领袖人物是庞加莱，其后 ．波莱尔、勒贝格、阿达马等人在函数论方面有着重要的国际影响。德国的数学主要是以希尔伯特为首的格丁根学派，希尔伯特的研究一直影响到20世纪30年代，德国各地也有许多小的中心，如柏林、汉堡等地都进行着活跃的数学研究。在希特勒上台之前，德国一直处于世界的领先地位。第一次世界大战之后，A．E．诺特的学派促成抽象代数的诞生以及拓扑学的代数化，而同时在法国，只有 ．嘉当进行李群与微分几何学的孤立的研究。第二次世界大战以后，以布尔巴基学派为核心的法国数学在世界上居于主导地位，尤其对结构数学的发展起着决定性作用。 19世纪的英国，虽然有一些著名的数学家，但落后于欧洲大陆，长期以来，数学的发展停滞不前。19世纪末，扬夫妇去格丁根学习，开始把新数学引进英国，一直到20世纪初，哈代和李特尔伍德在数论及古典分析方面开始做出国际水平的贡献。20世纪30年代以后，英国数学家开始在拓扑学、代数几何学以及抽象代数等方面做出突出的贡献。 19世纪70年代以后，意大利数学家在到德、法两国去学习之后，本国数学有了巨大的发展。19世纪末到20世纪初，许多意大利数学家在微分几何学、代数几何学、泛函分析、实变函数论等方面做出了第一流的贡献。意大利数学在20世纪30年代到50年代趋于衰微，其后，又得到复兴，在各个领域都有不少贡献，最突出的是在分析方面，尤其是偏微分方程。 20世纪一系列的民族学派兴起，美国数学家先是向德国、法国学习，产生了一些优秀的数学家，如N．维纳及G．D．伯克霍夫。20世纪30年代以后，一大批欧洲数学家移民美国，使得美国在二战后成为重要的数学大国。另一个数学大国原苏联则是以卢津为首的莫斯科学派最为主要，20世纪20年代许多人到德国等地留学，出现了一批优秀的拓扑学家、代数学家、分析学家。原苏联的概率论尤其出色。其后，在新兴的一些学科一度落后，从20世纪60年代起得到恢复和振兴，形成门类齐全的数学体系。波兰数学从第一次世界大战以后开始形成自己的学派，他们着重研究集合论、逻辑、拓扑学和泛函分析以及实分析，在这些领域处于国际领先地位。但第二次世界大战中，半数以上的数学家惨遭杀害，致使波兰数学元气大伤。日本的数学从19世纪末起开始向欧洲学习，20世纪初已经出现像高木贞治这样的数学家，其后日本数学逐步形成了一个门类齐全的数学体系。第二次世界大战以后，出现不少世界第一流的数学家。北欧诸国产生了一批重要的数学家，但他们的兴趣多偏重于经典数学。匈牙利给世界提供了大批优秀数学家，如里斯和冯·诺伊曼。第二次世界大战以后，拉丁美洲、印度等国也出现一些重要的数学家。 在第二次世界大战之前，数学家之间的交流已经开始活跃起来，除了四年举行一次的国际数学家大会之外，区域性的会议及专业的会议也举行过一些。第二次世界大战以后，由于交通工具的改进，各种各样的会议层出不穷，大大促进了数学的国际化。20世纪数学的出版物也以指数形式增长，每年发表的数学论文从1900年的大约1500篇增长到1980年的4万至5万篇，这种庞大数量的文献使数学家难以掌握，于是逐步产生一些新的文摘杂志。数学家的交流方式越来越变得口耳相传而不是通过阅读文献及书刊来进行 本文后半部分转自CSDN博客，转载请标明出处： http://blog.csdn.net/aris_zzy/archive/2006/06/18/808114.aspx
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hylpy1 2016-8-28 12:45
常言道：数学难学，高等数学更难学。但有大师云：“数学好玩”。一批“玩数学”的数学家们推出了《走向数学丛书》，这套丛书是上世纪90年代初由湖南教育出版社出版的一批精品数学图书，这些书都有共同的编写方针和理念，却又每本书都用尽可能通俗的语言深入到数学中的不同领域，力求做到深入浅出，旨在让人们真正认识数学，了解数学，热爱数学。因此很受大家欢迎，以至此套丛书后来很快脱销。读书的时候见过几本，印象比较深刻的是《绳圈的数学》（姜伯驹），后来又有某头“小牛”极力推崇《极小曲面》（陈维桓）。欣闻2011年5月大连理工大学又将此套丛书再版印刷。美中不住的是新版走向数学丛书似乎只是单纯的再版，绝大多数是以前的作品，新作寥寥。相比之下，18载搞出不来新的东西，大家要反思啊。走向数学丛书共计18册，明细如下： 1、波利亚计数定理（萧文强） 2、复数、复函数及其应用（张顺燕） 3、极小曲面.陈维桓 4、计算复杂性（王则柯） 5、计算密码学（卢开澄） 6、拉姆塞理?（李乔） 7、滤波及其应用（谢衷洁） 8、浅论点集拓扑、曲面和微分拓扑（杨忠道） 9、曲面的数学（常庚哲） 10、绳圈的数学（姜伯驹） 11、数学·计算·逻辑（陆汝钤） 12、数学模型选谈（华罗庚，王元） 13、数学与电脑（杨重骏,杨照崑） 14、双曲几何（李忠,周建莹） 15、凸性（史树中） 16、信息的度量及其应用（沈世镒） 17、有限域及其应用（冯克勤） 18、走出混沌（方兆本） 闲话少说，还是给出电子资源吧，哈哈！如果确实喜欢，还是建议买纸版的吧。 资源来自网络，希望大家喜欢， 遗憾的是还差两本，希望科学网的网友们能帮忙补全： 走向数学丛书 -数学与电脑 杨重骏,杨照崑 本书收集了10篇与电子计算机科学有关的 数学 问题，包括计算机信号传递的正确性与保密性、计算机快速计算问题、计算机处理模糊问题的 数学 、统计学与模拟实验。材料虽有限，但至少可以略窥 数学 在计算机上应用的梗概及其进展。 走向数学丛书 -曲面的数学 常庚哲 本书以曲面为主要讨论的内容，用最少的 数学 知识阐明了“计算机辅助几何设计”这门崭新的学科。 走向数学丛书 -滤波及其应用 谢衷洁 本书是通过初等的 数学 知识来介绍近半个世纪以来无论在理论和应用上都得到了极其广阔的发展的一个领域——滤波。滤波理论的出现，虽然从背景上看它是起源于电工类的信号提取问题，然而随着该理论的发展，滤波方法广泛地应用于医学、生理、经济、工业生产过程及国防等。本... 走向数学丛书 －拉姆塞理论 李乔 拉姆塞理论是 数学 世界的奇葩。这个理论用各种 数学 形式反映了这样的哲理：完全的无序是不可能存在的。本书试图以历史的演进和内容的拓展为经纬，通过一系列精妙的定理向广大 数学 爱好者概要介绍拉姆塞理论的发展和现状。具有高中 数学 知识而且 数学 理解能力较好的读者都能读懂... 走向数学丛书 －计算的复杂性 王则柯 数值计算的复杂性理论，在20世纪80年代取得了若干重要进展，引起了人们的注意，这一进展既发生在应用 数学 领域，又植根于纯粹 数学 的深层，令两方面的 数学 家都十分关心。本书力图以浅显易懂的语言，准确地向读者介绍数值计算复杂性理论的重要进展。 走向数学丛书 -复数、复函数及其应用 张顺燕 复数的发明和复函数的使用在历史上曾经有过一段困惑，后来发现用它可以解决或解释许多 数学 问题和现象，并且在流体力学等领域有实际应用。与此同时，复函数也形成一个优美的理论。本书从中学的复数知识出发，介绍复函数理论的一些著名概念和结果，它在代 数学 和几何学中和一... 走向数学丛书 -波利亚计数定理 萧文强 它计算了一个转换群作用在一个集合上产生的等价类的个数。由于很多计数问题都能纳入这个表述架构，波利亚计数定理的应用非常广泛。就 数学 内容而言，这条定理结合了群、母函数、权的概念，构思优美。本书并没有假定读者具备这三个概念的太多的、专门的 数学 知识，原则上... 走向数学丛书 -走出混沌 方兆本 内容章节有：偶然与必然、把握随机性、混沌、走出混沌等四章。 走向数学丛书 -有限域 冯克勤 内容章节有：有限域、有限域的应用、通信网络等三章。 走向数学丛书 -信息的度量及其应用 沈世镒 本书介绍几种主要的信息度量及它们所涉一些分支学科,尤其对仙农熵及其有关的信源、信道编码理论作较为完整的叙述。 走向数学丛书 -凸性 史树中 本书内容包括：凸集的几何性质、凸函数、凸规划等。 走向数学丛书 -双曲几何 李忠,周建莹 本书内容分为3章，介绍了复数几何、双曲几何的基本概念和理论、非欧几何的应用。 走向数学丛书 -数学·计算·逻辑 陆汝钤 本书以计算机科学中的可计算性理论和计算复杂性理论为背景，以生活的比喻，介绍这一领域的基础知识和主要研究成果。 走向数学丛书 －绳圈的数学 姜伯驹 本书讨论了绳圈的打结与连环现象，介绍了研究这些现象的先进武器--琼斯多项式，讨论了绳圈的扭转与绞拧理论，介绍了制约它们的基本规律--怀特公式。 走向数学丛书 －浅论点集拓扑、曲面和微分拓扑 内容章节有：基础、点集拓扑、拓扑流形、微分拓扑。 走向数学丛书 -计算密码学 卢开澄 更着重讲述了70年代以来发明的DES数据加密标准和公开密钥体制。包括公钥体制的各种方案和与此有关的新的研究课题，如大数分解、纠错码加密方法等，并有许多例子供读者参考。书中还论述了 数学 的许多分支的思想方法和结果，以及在保密通信领域中的应用... 另外附带给出我所知道的一些数学科普丛书： 第一套：数学故事丛书 这套书是全由张远南编写的，共六册，分别是《偶然中的必然──概率的故事》、《未知中的已知──方程的故事》、《否定中的肯定──逻辑的故事》、《无限中的有限──极限的故事》、《变量中的常量──函数的故事》、《抽象中的形象──图形的故事》，这套书原由上海科学普及出版社出版， 第二套：世界数学名题欣赏 共十四册，分别是《费马猜想》、《黎曼猜想》、《连续统假设》、《希尔伯特第十问题》、《欧几里得第五公设》、《哥德尔不完全性定理》、《不动点定理》、《无处可微的连续函数》、《科克曼女生问题》、《斐波那契数列》、《哥德巴赫猜想》、《置换多项式及其应用》、《素数判定与大数分解》、《货郎担问题》。这套书是辽宁教育出版社于八七年左右出版的，近年重印，并改换了封面。 第三套：走向数学丛书 自九十年代初至今，这套丛书共推出了三辑，第一辑有《数学模型选谈》、《绳圈的数学》、《双曲几何》、《有限域》、《凸性》、《波利亚计数定理》、《拉姆塞理论》等，第二辑有《复数、复函数及其应用》、《浅论点集拓扑、曲面和微分拓扑》、《计算的复杂性》、《计算密码学》等，而第三辑则有《Ｐ进数》、《走出混沌》、《滤波及其应用》等。这丛书是由湖南教育出版社出版的，第一版相信都已售罄，近期则见到大连理工大学的再版印刷。 第四套：数学方法论丛书 是由江苏教育出版社出版的，从八十年代后期至今，共推出了三辑，第一辑有《关系映像反演方法》、《中国古代数学思想方法》、《数学领域中的发明心理学》、《康托的无穷的数学和哲学》、《智力游戏中的数学方法》、《化归与归纳模拟联想》，第二辑有《数学抽象方法与抽象度分析法》、《泛系理论与数学方法》、《数学证明》、《数学家言行录》、《数学方法溯源》、《数学中的美学方法》，第三辑有《数学中的特殊化与一般化》、《数学的思维方式》。 第五套：数学精品库 是由民主与建设出版社出版的，笔者所见到的有以下数册：《数学宫趣游》、《难题精解思维训练》、《诺贝尔奖中的数学方法》、《决策致胜思维训练》、《数学竞赛题的背景》、《组合几何思维训练》等。 第六套：让你开窍的数学 是由河南科学技术出版社出版的，共八册，计有《数学的领悟》、《解析几何方法漫谈》、《数学解题中的物理方法》、《数学解题中的动态思维》、《极端原理与解题》、《有趣的图形覆盖》、《趣味题与简捷解》、《从毕达哥拉期到费尔马》。 这六套丛书，各有特点、各有千秋，其内容几乎涵盖了当代数学的方方面面，但它们的共通点都是尽量让具有中等教育程度的读者能读懂书中的大部份章节，故此，这些都是中学生们的理想课外数学读本，他们只要用点功，不难从这些书走进当代数学的门槛。 第七套：数学家随笔 此套丛书是科学普及出版社出版今年正在推出的，已出版了一本，林群院士的《微积分减肥快跑》，致力于微积分初等化，适合高中生阅读。 此外还有一套由 中国少年儿童出版社 出版的《中国科普名家名作》中有不少数学名家如张景中院士的数学科普著作《帮你学数学》以及马希文的《数学花园漫游记》等等。 最后，还想介绍一套正在陆续出版的普及数学丛书，只不过它们都不是我国数学家写的，而是翻译国外的──「通俗数学名著译丛」。已出版的计有《数学加德纳》、《数学：新的黄金时代》、《数论妙趣──数学女王的盛情款待》、《数学娱乐问题》等，将在不久之后出版的会有《数学中的五项金科玉律──20世纪伟大的数学理论及其背景》、《当代世界中的数学──〈科学美国人〉杂志数学小品汇编》、《数学奇闻集锦》上下集、《稳操胜券》上下集、《游戏的规则──自然规则如何主宰机会》、《数学娱乐与随笔》、《数学狂欢节》、《平面几何和数论中新、老未解决的问题》、《数学中的精彩片段》、《欧氏几何插曲》等。 链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-493192.html
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