函数凸凹性

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问一下jerryliu老师，1能具体解释下消费者偏好凸集或不是凸集，无差异曲线凹向原点时消费者效用函数是凹函数还是凸函数。为什么不是凹函数时一阶条件失效？不很清楚。因为平时学的凹函数和凸函数和你在强化视频中讲得完全反过来，你当时规定的是相对于x轴的凸凹性就是函数的凸凹性。
2还有10年的计算消费者效用最大化那个题第一问就那样答就行了吗？它并不是效用最大的结果啊？
309年的计算最后一问，要素价格上升利润变化式子非常复杂最后结果怎么样呢？能解答下吗？
谢谢！

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关键词：消费者效用最大化 jerryliu 消费者效用函数 消费者效用 jerry 函数 凸凹

这个地方确实挺乱的，因为微积分里基本没有提到凸集的概念，另外微积分里函数的凸凹和经济学里函数的凸凹刚好是反过来的，我写的是按照经济学的凸凹的定义
凸集的定义很简单，一个集合如果是凸集，那么在这个集合上任取两点，两点之间的连线一定也在集合里面。所以在二维平面上，一个圆的内部就是一个凸集；有意思的是，“凸”的内部并不是一个凸集。

在经济学里面，凹函数是二阶导数为负，凸函数是二阶导数为正。这里是以坐标横轴作为参照，是凹向坐标横轴的，这个是经济学对于函数凸凹性的定义。

偏好的凸性是指给定一个消费组合，比这个消费组合带来更多效用的其他消费组合所构成的集合是一个凸集。所以凸向原点的无差异曲线所代表的偏好具有凸性。（注意这里无差异曲线的凸向原点和偏好的凸性是描述两个不同的东西）。

可以证明凹的效用函数所对应的偏好具有凸性，具体证明可以参考任何一本高微教材

一阶条件是否失效取决于函数的性质和所要求解的问题是最大值还是最小值
试想一个无约束问题，对于求一个凸函数的最大值，一阶条件找到是最小值，而非最大值，所以一阶条件失效
消费者效用最大化问题是一个有约束的规划，这里更复杂一些，不过如果函数是凸函数，一阶条件仍然找不到最大值

对于10年那道计算题，第一问试问最大效用，我给出的解答是一阶条件所对应的消费组合所带来的效用（不是最优，故不是最大效用），之所以这样写是因为第二问要求比较和第一问的区别，所以我认为这里出题人的意思就是比较一阶条件下的“最优”并非真正的最优，否则两个问的结果就没有任何比较的意义

09年那道题的比较要素价格上升对利润的影响，直观上利润是下降的，不过去导数之后还要再讨论（括号里面是减号连接），除了数学上的复杂性没有经济学的解释，我没有想出进一步合理的解答。
我觉得即便不是题目的问题以后出现这种题的可能性也很小，而且最后一问写出利润函数基本上可以拿到的分数都拿到了。