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无理数的确认──第一次数学危机
现代文明的基础，很大程度上由2000多年前生活在小小希腊城邦的科学家们建立。公元前500年左右，古希腊的毕达哥拉斯创建了毕达哥拉斯学派。这个学派认为：“万物皆数”（指整数），数是现实的基础，是严整性和次序的根据，是在宇宙体系里控制着的永恒的关系。数学的知识是可靠的、准确的；数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。毕达哥拉斯学派和更早的以泰勒斯为代表的米利都学派一起开创了应用演绎推理解决数学问题的先河。从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源于古希腊。
整数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种很难分离为单独个体的量，例如长度、重量、体积和时间等等。为了满足这些简单的度量需要，人们提出了分数。在分数和整数的基础上，人们进一步提出了有理数的概念。所谓有理数即为两个整数p、q 的商p/q，q≠0,那么由于有理数系统包括了所有的整数和分数，所以仅使用有理数对于进行实际量度已经足够了。
对有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的左端点和右端点分别表示0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。古代数学家们认为，不言而喻，这样能把直线上所有的点用完。从这个角度来看，“整数是完美的”。毕达哥拉斯学派甚至将自己的全套哲学思想建立在了“整数”的基础上。但是，恰恰是毕达哥拉斯学派在大约公元前400年发现：直线上存在不对应于任何有理数的点。特别是，他们证明了：在这条直线上的点p不对应于任何一个有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线，如图1所示。
图1 无理数的发现
因此，必须发明新的数对应这样的点；由于这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕达哥拉斯学派最伟大的成就之一，也是数学史上一个重要的里程碑。
为了证明以单位长为边的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，根据勾股定理，只要证明是无理数就够了。据亚里士多德说，历史上最早证明√2是无理数的数学家正是毕达哥拉斯本人。他找到了一个方法来证明不能表示成p/q。这里，p,q是没有公约数的正整数。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。首先，对于全部依靠整数的毕达哥拉斯哲学，这仿佛一次致命的打击。其次，无理数看来与常识相矛盾，因为直觉地感到：任何量都可以被表示为某个有理数。在几何上的对应情况，同时也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。由于毕达哥拉斯学派关于比例的定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕达哥拉斯学派比例理论中的所有命题都局限在了可通约的量上，这样他们的比例理论及其推论将不得不被全部抛弃。“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，毕达哥拉斯和他的门徒费了很大的精力，将此事保密，不准外传。据说，毕达哥拉斯的一个学生希帕苏斯，由于泄露了这个秘密而被扔进了大海。
中国有一句古话“纸里包不住火”。人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。后来，据柏拉图说，昔拉图的狄奥多鲁斯在大约公元前425年，指出面积等于3、5、6……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以证明。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。诱发这次危机的另一个间接因素是“芝诺悖论”的出现。它更增加了数学家们的担忧：数学是否还有可能维持作为一门精确的科学？宇宙的和谐性是否还存在？
动摇数学基础的第一次危机并没有很轻易地被解决。最后的成功在大约公元前370年，那是卓越的欧多克斯（Eudoxus）的功绩。欧多克斯是柏拉图的同辈，是毕达哥拉斯学派阿契塔的学生。欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了这个棘手的“矛盾”。欧多克斯处关于处理不可通约量的杰出论述，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年给出的无理数的现代解释基本一致。
第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到了挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。从此，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。第一次数学危机同时反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，也是第一次数学危机的自然产物。
什么是无穷──第二次数学危机
伴随着十七世纪末牛顿和莱布尼兹发现微积分而发生的激烈争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，这次危机的发生带有必然性。
这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，埃利亚数学家芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的4个悖论。
芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却激起了一场轩然大波。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是：希腊证明几何中从此就排除了无穷小。
经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算──微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤。微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为解决问题的重要工具。同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。
求速度为例，瞬时速度是，当趋近于零时的值。是零，是很小的量，还是什么东西？无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成第二次动摇数学理论基础的危机。
无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年又说它是“两个正在消逝的量的最终比”。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量。但是，他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。
英国大主教贝克莱于1734年发表文章攻击说，流数（导数）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学，但却是正确的结果。”贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚、不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。
当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造的时代的初期，科学中，逻辑中存在这样那样的问题，并不是个别现象。莱布尼兹在研究级教时，也认为格拉弟的结论：
1 – 1 + 1 –1 …… = 1/2
是正确的，并解释说，这就象一件东西，今天放在这个人处，明天放在那个人处，于是相当一人一半。现在稍有些数学知识的人都知道，上述级数是不存在和值的。对于无穷级数来说，有些运算律并非都可以用，而要看条件。例如，对上面的级数，如果利用结合律，则有：
1 – 1 + 1 – 1 + …… =（1 – 1） + （1 – 1）+ ……
= 0 + 0 + 0 + …… = 0
利用交换律和结合律，就有：
1 – 1 + 1 – 1 + …… = 1 + 1 + 1 + （1 – 1） + （1 – 1）+ ……
= 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + …… = 3
利用结合律和分配律，就有：
1 – 1 + 1 – 1 + …… = 1 - （1 – 1） - （1 – 1）- ……
= 1 - 0 - 0 - …… = 1
由此可见，如果不顾条件的话，尽管是正确的定律也会导出荒谬的结果。18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的。它强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性，如上述级数可等于1/2、0、3、1，等等；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
直到19世纪20年代，一些数学家才开始关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到魏尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义。阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分。狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的ε-δ定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。
19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
罗素悖论的责难──第三次数学危机
数学基础的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的；到现在虽然已经超过了一个世纪，但从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论而造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且集合论在实际上已经成为了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年意大利数学家布拉里.福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。福尔蒂和康托的悖论只涉及到集合论中的结果，没有引起当时数学家们的足够重视。但罗素于1901年5月发现了一个悖论。它除了涉及集合概念本身外不需要别的概念。
在描述罗素悖论之前，请首先注意：集合，或者是它们本身的成员，或者不是它们本身的成员。例如，抽象概念的集合本身是抽象的概念，但是所有人的集合不是一个人。再则，所有集合的集合本身是一个集合，但是所有鸟儿的集合不是一只鸟。假设M表示是它们本身的成员的所有集合的集合。而N表示不是它们本身的成员的所有集合的集合。然后问：集合N是否是它本身的成员。显然，如果N是它本身的成员，则N是M的成员而不是N的成员，于是N不是它本身的成员。另一方面，如果N不是它本身的成员，则N是N的成员，而不是M的成员，于是N是它本身的成员。悖论在于：无论哪种情况，我们都将导致矛盾。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中，最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村子里这样的人刮脸。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的变化性质：“理发师是否自己给自己刮脸？”如果他给自己刮脸。那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。当弗雷格已经完成他的关于算术基础的两册巨著《算术的基本法则》的最后一册时，罗素通信告诉了他这个悖论。弗雷格在其论著的末尾以悲哀的话语写道：“一位科学家不会碰到比这更痛苦的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待复印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”。于是，他终结了这不止12年的辛勤劳动。狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版复印，这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳威也认为自己过去作的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。
罗素悖论的“破坏力”还不仅局限在数学领域，只要把罗素悖论的陈述略加修改，即用逻辑的术语来代替集合论中的术语，罗素悖论就可以推广到逻辑领域。这样，罗素悖论就不仅触及到数学的基础理论本身，它涉及到了一向被认为极为严谨的两门科学 — 数学和逻辑学。
实际上，早在两千多年前，逻辑学上就已经有人提出了类似的悖论。例如，据说公元前4世纪的欧伯利得曾提出悖论：“我现在正在做的这一陈述是假的。”如果这个陈述是真的， 则它是假的；然而，如果这个陈述是假的，则它必定是真的。于是，这个陈述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。更早的还有公元前六世纪，克里特人埃皮门尼德提出的悖论：“克利特人总是说谎的人”。只要简单分析一下，就能揭示出这句话也是自相矛盾的。
集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从悖论被发现之后，关于这一课题发表了大量的文章，为解决它们作过了大量的尝试。
就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的。以后还有多人进行加工。但是，此种方式曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论；此外，它不能保证将来不出现别种悖论。
另一种方式既能理解又能排除已知的悖论。如果仔细地检查，就会看到：上面的每一个悖论，都涉及一个集合S和S的一个成员m（而m是靠S定义的）。这样的一个定义被称作是“非断言的”，而非断言的定义在某种意义上是循环的。例如，考虑罗素的理发师悖论，用m标志理发师，用S标志理发师那个村的所有成员的集合，则m被非断言地定义为“S的给并且只给不给自己刮脸的人刮脸的那个成员”。此定义的循环的性质是显然的―理发师的定义涉及村子的成员，并且，理发师本身就是村子的成员。庞加莱认为出现矛盾的原因在于非断言的定义。并且，罗素在其恶性循环原则中表示过同样的观点：没有一个集合S被允许包括只能用S定义的成员m，或者涉及或先假定S的成员m。
因此，不允许有非断言的定义便可能是一种解决集合论的已知悖论的办法。然而，对这种解决办法，有一个严重的责难，即包括非断言定义的那几部分数学是数学家很不愿丢弃的。例如定理“每一个具有上界的实数非空集合有最小上界（上确界）。”数学中有许多类似的非断言定义的例子，虽然它们有一些可以设法避开。但数学家们却不愿回避问题的存在。
解决集合论的悖论的其它尝试，是从逻辑上去找问题的症结。这带来了对逻辑基础的全面研究。设想：可能通过三值逻辑的使用摆脱悖论的困难是一种很引人入胜的想法。例如，在上面给出的罗素悖论中，可以看到：“N是它自己的成员”这句话既不是真的，也不是假的。在这里，第三种可能性会产生帮助。用T来表示一个命题为“真”，用F来表示一个命题为“假”，而第三种既非T又非F的性质用问号“？”来表示。如果我们能将这类陈述简单的分类为“？”，这个问题也就解决了。
从1900年到1930年左右，数学的第三次危机使许多数学家卷入一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及到数学的根本，因此必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来的不明显的意见分歧扩展成为学派的争论。以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。它们都是唯心主义学派。它们都提出了各自的处理一般集合论中的悖论的办法。他们在争论中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实各自的观点都吸收了对方的看法而有很多变化。1931年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论冷谈了下来。此后，各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不大关心哲学问题。直到近年，数学哲学问题才又激起人们的兴趣。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好象一切灾难都出来了。这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。经过“悖论”大辩论的洗礼，现代公理集合论的一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
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