请问因子投资中，混合配置因子的信息系数该如何计算呢？具体题目参见图片。

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该题目为某金融类社团笔试试题。某因子信息系数的定义为其预期收益率和实际收益率的相关系数，即\[IC=corr(F,R)\]。现在已经知道两个因子的信息系数IC，以及他们的预期收益率的标准差，同时也知道预期收益率的相关系数，该如何计算因子组合后到信息因子？详细请参见图片。

我的一个思路是，按照定义把相关系数的表达式写出来，即\[corr(X,Y)=\frac{cov(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}\]，但实际操作后感觉公式过于复杂，很难看清楚混合配置后的相关系数的计算路径。因此希望有朋友可以指点一下，是否存在因子混合配置后信息系数计算的简便方式？或者，是否有相关系数计算的简便方法？

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关键词：LaTeX Sigam Sigma 相关系数 atex 因子投资 混合配置 信息系数

      我自己已经想清楚这个问题了。关键在于，这个题目中不同的因子对应的应该是相同的一项资产或者一个行业。因此，A因子和B因子的信息系数分别为A因子与B因子的预期收益率与该资产的实际收益率的相关系数。在这一前提下，按照我之前的思路这题就可解了。      由题意可知：\[cov(F_a, R)=0.15\sigma_r\]，\[cov(F_b, R)=0.1\sigma_r\]，\[\sigma_{F_a}=1\]，\[\sigma_{F_b}=0.5\]，\[cov(F_a, F_b)=0.25\]，其中\[\sigma_r\]代表实际收益率的标准差。

（1）在等权配置下：
\[IC=corr(\frac{F_a+F_b}{2}, R)\]
\[IC=\frac{cov(\frac{F_a+F_b}{2}, R)}{\sigma_{\frac{F_a+F_b}{2}}\sigma_r}=\frac{cov(F_a+F_b, R)}{\sigma_{F_a+F_b}\sigma_r}=\frac{E(F_a+F_b-\mu_a-\mu_b)(R-\mu_r)}{(\sqrt{\sigma_{F_a}^2+\sigma_{F_a}^2+2cov(F_a, F_b)})\sigma_r}=\frac{cov(F_a, R)+cov(F_b, R)}{(\sqrt{\sigma_{F_a}^2+\sigma_{F_a}^2+2cov(F_a, F_b)})\sigma_r}\]
带入数值：
\[IC=\frac{0.15\sigma_r+0.1\sigma_r}{(\sqrt{1+0.25+0.5})\sigma_r}=\frac{0.25\sigma_r}{\sqrt{1.75}\sigma_r}=0.189\]

（2）接下我们考虑最优配置：
设因子A在配置中占比为\[\lambda\]，于是配置的信息系数就是关于\[\lambda\]的函数，其中[LaTex]\lambda\in[0,1][/LaTex]即：
\[IC(\lambda)=corr(\lambda F_a+(1-\lambda) F_b, R)\]
\[IC(\lambda)=\frac{\lambda cov(F_a, R)+(1-\lambda) cov(F_b, R)}{(\sqrt{\lambda\sigma_{F_a}^2+(1-\lambda)\sigma_{F_b}^2+2\lambda(1-\lambda)cov(F_a, F_b)})\sigma_r}\]
带入数值:
\[IC(\lambda)=\frac{0.1+0.05\lambda}{\sqrt{0.25+1.25\lambda-0.5\lambda^2}}=\frac{1}{10}\frac{\lambda+2}{\sqrt{1+5\lambda-2\lambda^2}}=\frac{1}{10}\frac{\frac{13}{4}-(\frac{5}{4}-\lambda)}{\sqrt{\frac{33}{8}-2(\frac{5}{4}-\lambda)^2}}\]
对上式求一阶导数：
\[\frac{\mathrm {d}IC}{\mathrm {d}\lambda}=\frac{\frac{13}{2}\lambda-4}{10(1+5\lambda-2\lambda^2)^\frac{3}{2}}\],易知分母在定义域内是大于0的。故原函数IC在[LaTex][0, \frac{8}{13}][/LaTex]上是递减的,而在[LaTex][\frac{8}{13},1][/LaTex]上是递增的。而\[IC(0)=0.2, IC(1)=0.15\],故，在B因子占比100%时，信息系数是最大的为0.2，也就是最优配置。这一结果是符合直觉的，一方面，B因子信息系数较大，另一方面，B因子预期收益率标准差较小。

楼主，IC的式子分母根号下方差应该是λ2和(1-λ)2，最后结果的λ是1/6，IC是0.208。