仿射空间中$d$-平面的有限集

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摘要翻译：
设$a$是仿射空间$\mathbb{a}^n$的子类，其不可约分量为$\mathbb{a}^n$的$D$维线性或仿射子空间。用$D(A)\subset\mathbb{N}^N$表示$A$的标准单项式的指数集。我们表明组合对象$D(A)$以一种非常直接的方式反映了$A$的几何形状。更准确地说，我们将$\mathbb{N}^N$中的$d$-平面定义为一个集$\gamma+\oplus_{J\in J}\mathbb{N}e_{J}$，其中$#J=d$和$\gamma_{J}=0$对于J$中的所有$J\。我们将这样定义的$D$-平面称为与$\oplus_{J\in J}\mathbb{N}e_{J}$平行。我们证明$d(A)$中$d$-平面的数目等于$A$的组件数目。这推广了一个经典的结果，有限算法，它在$d=0$的情况下成立。此外，对于所有$J$，我们确定$D(A)$中与$\oplus_{J\In J}\mathbb{N}e_{J}$平行的所有$D$-平面的数目。此外，我们用交叉的标准集$A\cap\{X_{1}=\lambda\}$来描述$D(A)$，其中$\lambda$贯穿$\mathbb{A}^1$。
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英文标题：
《Finite sets of $d$-planes in affine space》
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作者：
Mathias Lederer
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最新提交年份：
2008
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Commutative Algebra        交换代数
分类描述：Commutative rings, modules, ideals, homological algebra, computational aspects, invariant theory, connections to algebraic geometry and combinatorics
交换环，模，理想，同调代数，计算方面，不变理论，与代数几何和组合学的联系
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Algebraic Geometry        代数几何
分类描述：Algebraic varieties, stacks, sheaves, schemes, moduli spaces, complex geometry, quantum cohomology
代数簇，叠，束，格式，模空间，复几何，量子上同调
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英文摘要：
  Let $A$ be a subvariety of affine space $\mathbb{A}^n$ whose irreducible components are $d$-dimensional linear or affine subspaces of $\mathbb{A}^n$. Denote by $D(A)\subset\mathbb{N}^n$ the set of exponents of standard monomials of $A$. We show that the combinatorial object $D(A)$ reflects the geometry of $A$ in a very direct way. More precisely, we define a $d$-plane in $\mathbb{N}^n$ as being a set $\gamma+\oplus_{j\in J}\mathbb{N}e_{j}$, where $#J=d$ and $\gamma_{j}=0$ for all $j\in J$. We call the $d$-plane thus defined to be parallel to $\oplus_{j\in J}\mathbb{N}e_{j}$. We show that the number of $d$-planes in $D(A)$ equals the number of components of $A$. This generalises a classical result, the finiteness algorithm, which holds in the case $d=0$. In addition to that, we determine the number of all $d$-planes in $D(A)$ parallel to $\oplus_{j\in J}\mathbb{N}e_{j}$, for all $J$. Furthermore, we describe $D(A)$ in terms of the standard sets of the intersections $A\cap\{X_{1}=\lambda\}$, where $\lambda$ runs through $\mathbb{A}^1$.
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PDF链接：
https://arxiv.org/pdf/0803.3141

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