评估财务模型风险

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摘要翻译：
模型风险对任何风险度量过程都有巨大的影响，因此模型风险的量化是至关重要的一步。本文介绍了在给定类内选择特定参考模型时模型风险的三种定量测度：模型风险的绝对测度、模型风险的相对测度和模型风险的局部测度。每一种措施都有特定的目的，因此允许灵活性。我们通过研究一些相关的例子来说明各种概念，以强调我们的方法的实用性和易操作性。
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英文标题：
《Assessing Financial Model Risk》
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作者：
Pauline Barrieu, Giacomo Scandolo
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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英文摘要：
  Model risk has a huge impact on any risk measurement procedure and its quantification is therefore a crucial step. In this paper, we introduce three quantitative measures of model risk when choosing a particular reference model within a given class: the absolute measure of model risk, the relative measure of model risk and the local measure of model risk. Each of the measures has a specific purpose and so allows for flexibility. We illustrate the various notions by studying some relevant examples, so as to emphasize the practicability and tractability of our approach.
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关键词：财务模型 Quantitative Applications Measurement QUANTITATIV

评估金融模型风险Pauline Barrieu*Giacomo Scandolo@6月24日，AstractModel risk对任何风险度量程序都有巨大影响，因此对其进行量化是至关重要的一步。本文介绍了在Givenclass中选择特定参考模型时模型风险的三个定量度量：模型风险的绝对度量、模型风险的相对度量和模型风险的局部度量。每一个度量都有一个特定的用途，因此允许使用BreeteXIB。我们通过研究一些相关的例子来说明各种方法，以强调我们的方法的实用性和可操作性。1.在度量投资组合所面临的投资风险时，模型的确定是至关重要的一步。常用的方法，如Delta-Normal或Simulation方法，都是基于风险因素的特定模型的选择。即使在使用历史方法时，我们也隐含地依赖经验分布作为参考模型。然而，据观察，实际风险往往对模型的选择相当敏感。使用可能不太适合的模型工作的危险被称为模型风险。模型风险的影响及其量化研究是整个风险度量过程中的一个重要步骤。特别是，在最近金融危机之后，在评估金融机构的监管资本需求时，理解模型的不确定性似乎至关重要。本文的主要目的是为了准确地提出一些方法来量化模型风险时，为监管目的衡量的财务风险。我们强调，我们的目标不是在存在模型不确定性的情况下度量风险，而是量化模型风险本身。近年来，模型风险的即时契约问题越来越受到关注。特别是，最小风险投资组合的意义是*伦敦经济学院统计学系(p.m.barrieu@lse.ac.uk)|维罗纳大学欧共体经济学系(giacomo.scandolo@univr.it)在研究op timal资产配置问题时受到质疑：几位作者（其中包括El Ghaoui et al.2003、Natarajan et al.2008、Chen et al.2010、Zymler et al.2013)最近从稳健优化的角度考虑了这个问题。我们评估模型风险的方法非常普遍。它是基于围绕一个参考模型的一组替代模型（或分布）的规定。（2010）提出通过计算容差模型集上的最坏情况风险度量，在类似的情况下度量模型风险。然而，当我们引入基于最坏和最佳情况风险测度的模型风险测度时，为了服务于特定目的，我们可以考虑的替代模型集的例子包括参数或非参数分布族，或给定分布的小扰动。如果我们相信一个参数模型，我们就可以考虑所有的分布，这些分布的参数都在由数据导出的控制区间内。通过这样做，我们只考虑了估计风险（参见Kerkhof Etal.2010)。另一方面，如果我们完全相信一些估计的量（例如，均值和方差），而不依赖于预测区间，那么我们认为任何形式的所有可能的分布都与这些量一致（例如，它们具有相同的均值和方差）。我们也可以考虑那些与参考分布不太远的分布，它们符合某种统计距离（例如均匀距离），或者所有与参考分布具有相同边际的联合分布。后一个例子说明了a p ortfolio中风险聚合的相关问题（见Embrechtset al 2013）。

如果投资组合包含衍生品，我们甚至可以指定di-erent pr模型。请注意，我们的方法的范围非常广泛，超出了仅与统计估计有关的问题。此外，模型风险的评估不应与风险度量过程的统计稳健性分析相混淆（如Cont et al.2010)，即使这两个概念是相关的。事实上，参考分布在我们的方法中是一个输入，而在Cont等人中。为了评估模型风险，我们引入了三种度量方法：模型风险的绝对度量、模型风险的相对度量和模型风险的局部度量eof。我们的目的是提供一个模型r的定量度量，iskwe在使用特定的风险度量时，在给定的类别中选择特定的参考模型时所暴露的模型r。这三个指标都是纯数字，与参考货币无关。它们取非负值，并在没有模型风险时精确地消失。我们提出的每一种度量都有其特定的目的：虽然绝对度量是基本的，并给出了模型风险的定量评估，但相对度量和局部度量都是普通的，并允许对可能有不同规模的不同情况进行比较。如果我们把所有可能的模型作为参考，那么相对度量的u se可能是使用的更自然的度量，因为它将给出备选方案之间的明确排序。当参考模型几乎确定时，此外，在某些有趣的情况下，当考虑到参考风险度量的风险价值或预期缺口时，我们得到了显式的封闭形式的f ormulae，以及基于在一些标准统计距离上的有限动量小扰动b的替代分布集。2一个激励的例子在本节中，我们从巴塞尔乘数开始，巴塞尔委员会介绍了巴塞尔乘数，作为评估金融机构资本要求的一个成分。正如我们将看到的，这个乘数与概率界密切相关，给经典的风险度量，如风险价值和预期缺口提供了一些上限。在下一节介绍模型风险的一些衡量标准时，这些初步意见将激励我们的应用程序Roach.2.1巴塞尔乘数在巴塞尔框架内，金融机构被允许使用内部模型来评估由于市场风险而产生的资本要求。在考虑到市场风险的各个方面后，资本费用实际上是六个期限的总和。通常情况下衡量风险的术语由以下公式给出:cc=max(VaR(0)，λxi=1VaR(-i))，(1)其中VaR(0)是今天计算的投资组合的风险价值（约为1%，期限为10天），而VaR(-i)是我们在i天前获得的值。常数λ被称为乘数，由监管机构分配给每个机构，监管机构定期修订它。它的最小值为3，但在风险度量系统pr导致回测性能差的情况下，它可以增加到4。给定λ的大小，显然在正规条件下，第二项是（1）中出现的极大值m的领先项。2.2 Chebishev boun ds和th e MultipierStahl(1997)提出了一个简单的理论公式f或乘数在范围内的chosen[3,4]。在这里，我们对他的论点进行总结。L et X是随机变量（R.V.）描述由于市场风险而导致的投资组合的收益和损失。如果时间范围很短，通常假定e[X]=0，那么VaRα(X)=σVaRα(eX)，其中σ是X的方差，σ=X/σ是标准的，即均值和单位方差为零。

当σ是一个估计问题时，vaRα(eX)取决于我们对X分布类型的假设（正态分布、Student-t分布等）。Chebishev不等式toeX的一个应用toeX产生dsp(ex6-q)6P(eX>q)6q，q>0。（2）回顾对VaR的认识，它很容易遵循VaRα(eX)61/τα，OrVaRα(X)6στα。（3）在等式中，上面的r轻侧给出了均值为0且方差为σ的随机变量的theVaR的一个上界。它可以与我们用delta-normal方法得到的VaR进行比较，而delta-normal方法在实际应用中是非常普遍的。根据该方法，eX是正态分布的，因此varα(X)=σZα(α<0.5),其中Zα=Φ-1(α)是一个标准正态的分位数。下面报告了比值σ/√ασzα=zα√α(4)的曲线图（见图1左）。我们可以看到，对于通常的α值（即从1%到5%)，比值大致位于区间[3,4]内。因此，如果在正常假设下计算的vars乘以λ，我们就得到了与我们所拥有的部分信息（均值和方差）兼容的最坏可能VaR的u pper界。然后我们可以将这个论点推广到预期的短值。实际上，通过积分不等式(3)，我们得到了α(X)=αzαvaru(X)du6σαzαdu√u=2σ√α。（5）上界必须与正态分布假设下的预期缺口进行比较，即(X)=σ(zα)α，也见Leippold and Vanini(2002)，其中，标准正态分布的dens itity。从th e比2σ/√ασπ(zα)/α=√απ(zα)的曲线图（见图1,对）我们看到，预期缺口的适当乘数将在[4]范围内，8].（2）中的第二个内曲性是尖锐的，然而，这个不等式肯定不是最优的，这意味着我们在上面导出的VaR和预期缺口的上界不是最优的。0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1012345678910(a)VaRα0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1012345678910(b)Esα图1：高斯假设下的Chebishev上界和风险测度之间的比率，作为α∈(0,10%）的函数。2.3 Cantelli界和乘法的impr overment。使用集中在单个尾部的Cantelli不等式可以得到关于s界的更好的结果。这个不等式的一个可能版本表明，对于astandard R.V.eX，以下不等式成立:p(ex6-q)61+q，q>0。（6）从（6）中可以很容易地得出，对于任何具有m ean 0和方差σ的随机变量，varα(X)6σr1-αα(7)。我们看到这种latterbound在（3）上有所改进。然而，该界与正常假设下的计算量之间的r atio大致保持在3到4之间。积分（7）我们得到了以下期望缺口的上界:Esα(X)6σαzαr1-uudu=σαpα-α+arctanr1-αα！。（8）这个界在（5）上略有改进。2.4锐利界s和乘法的意义众所周知，Cantelli不等式提供了一个锐利的概率上界。换句话说，以下成立:SUPEX标准p(ex6-q)=1+q，q>0。这意味着atp(1-α)/α是varα(eX)外汇标准的锐利上界（另见下面引理4.2）。相反，作为锐界的积分的界(8)，不一定是锐界。实际上，我们稍后会记得，在这种情况下，夏普界是Esα(X)6p(1-α)/α.00.020.040.060.080.1012345678910(a)varα00.020.040.060.080.1012345678910(b)Esα图2：高斯假设下切比舍夫（虚线）和夏普（连续）上限与therisk测度之间的比率。例如参见Billingsley(1995)，第5节。我们可以绘制夏普上限与高斯假设下计算的风险之间的比率，并使用切比舍夫界与我们以前获得的比率进行比较。结果如图2所示。我们可以注意到，对于预期的缺口，实际比率（即。

基于sharpbound）的一个比基于Chebishev界的r atio低得多，而且实际乘数也应该在ran ge[3,4]中，以满足预期的不足。因此，在评估模型风险时，对所考虑的风险度量的最大界限进行准确的分析和理解是非常必要的。任何其他边界都可能导致对模型风险的不准确评估，并导致任何相关决策过程中的潜在错误。为此，本文引入了基于夏普界（下界和上界）的模型风险度量方法。模型风险的绝对测度和相对测度在这一节中，我们介绍了模型风险测度的两个直接概念。我们将使用给定的风险度量、给定的参考模型和一组替代模型。我们的目标是提供一个定量的度量，以确定当使用特定的风险度量时，我们在给定的类中选择这个特定的参考模型时所暴露的m odel风险。我们提出了两个度量标准：模型风险的绝对度量提供了一个基本度量，而模型风险的相对度量是序数的，并允许在各种情况下进行比较。3.1注意：我们在这里和后面的文章中引入了一些基本的符号和假设。本文给出了一个概率空间(Ω，F，P)，并假定它是无原子的。设FX=(Ω,F,P）,即FX(X)=P(x6x),Qα(X)=inf{X:FX(X)>α}为α∈(0,1）阶的（下）分位数。如果fxFYandXF，我们将写XY，如果fxF，我们将写XY，如果fxF。本文将风险测度定义为映射ρ:Lρ→R，定义在R.V的某个空间上。Lρ，且满足以下pr运算法则不变性:ρ(X)=ρ(Y),当XYo正齐次ty:ρ(aX)=aρ(X)时，对于任一a>0,则e s,对于任一分布F,存在一个R.V.分布为F.o平移不变性:ρ(X+b)=ρ(X)-b对于任何b∈RWe注记，对于已知的α∈(0,1）,风险值varα(X)=-qα(X)和期望值α(X)=αzαvaru(X)都使这些假设成立。我们强调，风险价值是涵盖所有随机变量的，而预期的缺口要求在X的尾部有一个可积条件。更一般地说，任何律不变的相干风险测度都属于我们的框架，一个主要的例子是谱风险测度类（参见Acerb i2002)。鉴于风险测度的律不变性，我们可以把风险测度看作是一个直接映射在适当分布集上的泛函。实际上，只要略有滥用符号，我们就可以将ρ(F)=ρ(X)设置为XèF.3.2。我们现在引入两种模型风险度量。这两种度量都与风险度量ρ、R.V.相关联。X作为参考分布假说，而R.V.的集合L作为替代分布假说。在本文中，我们不讨论参考分布的选择过程，参考Alexander和Sarabia(2012)，其中一些特定的标准进行了审查。我们可以确定x∈L→Lρ.我们还假定ρ(L)=infx∈Lρ(X),ρ(L)=SUPx∈Lρ(X)两个量都是整数，且ρ(L)6=ρ(L)。显然，不等式ρ(L)6ρ(X)6ρ(L)是正确的。最后，我们假设ρ(X)>0:这不是一个限制性假设，因为投资者头寸的预期风险通常是正的。

我们准备给出模型风险的定义。定义3.1与ρ相关的模型风险的绝对度量，XandL isAM=AM(X,L)=ρ(L)ρ(X)-1。模式L风险的度量是RM=RM(X,L)=ρ(L)-ρ(X)ρ(L)-ρ(L)ρ(L)-ρ(L)。为了简单起见，我们放弃了对ρ(L)-ρ(X)ρ(L)-ρ(L)的明显的dep endence。绝对度量是一个在某种意义上推广巴塞尔乘数的概念：实际上，通过将ρ(X)乘以AM+1我们达到了在L内可以达到的最大风险。因此，如果我们将L解释为一组可能偏离模型X的情况，那么AM就可以解释最坏的情况有多糟糕。显然，AM>0且AM=0（即没有模型风险）当且仅当X已经具有最坏情况分布，即ρ(X)=ρ(L)。显然，对于给定的ρ(X)和X，L越大，AM越大，因为ρ(L)在L中增加。这正好证明了我们给AM的绝对定性，尽管它是以比率的形式出现的。相比之下，RM具有相对行为。实际上，直接关系ρ(L)-ρ(X)除以整个范围ρ(L)-ρ(L)。当ρ(X)=ρ(L)（无模型风险）或ρ(X)=ρ(L)（全模型风险）时，我们可以精确地计算RM=0或1。换句话说，它关注的是ρ(X)在r an ge[ρ(L),ρ(L)]内的相对位置，而不仅仅是相对于上确界的位置。在下一节中，我们还将看到RM在L中不需要增加，从而提供了模型风险的相对评估。备注3.2使用前面的符号，模型风险的度量在Kerkhof et al(2010)ISMK=ρ(L)-ρ(X)中引入。我们注意到，这个度量也是非负的，并且在没有模型风险时精确地消失。然而，它是用给定的货币来表示的，并依赖于风险的规模X。由于AM=MK/ρ(X)，这里提出的绝对度量是MK的无单位版本，由风险的大小来规范。注3.3在衍生品定价的背景下，Cont(2006)提出的模型风险w hich的计算是基于使用定价度量的aset来计算极值p RICE的。3.3性质在下一个命题中，我们收集了模型风险的两个测度的一些基本性质。对于任意a，b∈R，我们证明了命题3.4对于任意a>0和b∈R，它是（aX,aL)=AM(X,L）,AM(X+b,L+b)(>AM(X,L）,对于b>0<AM(X,L）,对于b<0和RM(aX+b,aL+b)=RM(X,L）。当我们观察到a>0且b∈Rρ(aL+b)=aρ(L)-b,ρ(aL+b)=aρ(L)-带ρ(Ax+b)=aρ(X)-b时，证明就很简单了。对于给定的μ∈R和σ>0，考虑s ETLμ，σ={X:E[X]=μ，σ(X)=σ}，其中两个矩是有限的。在命题3.4中，设a=1/σ和b=-μ/σ,则当L L L,σ和X∈L,则RM(X,L)=RM(eX,eL),其中eL={eX:X∈L}时，我们立即得到推论3.5,如果L L L,σ和X∈L,则RM(X,L)=RM(eX,eL),则RM(X,eL)=RM(eX,eL)。具体而言，RM(X,Lμ,σ)=RM(eX,L0,1）。在下面的文章中，我们将主要关注关于Lμ,σ或某些子集的模型风险度量。鉴于最后的结果，我们将集中在特殊情况L0,1上，只要我们标准化参考R.V。接下来，我们观察到，对于修正的ρ和L，模型风险的相对度量形式为rm(X)=c-cρ(X)，(9)，其中顺式为正。如果ρ是一个凸映射，就像预期缺口的情况一样，或者更一般地是（律不变）凸风险测度类的情况一样，那么RMis是凹的。因此，例如，如果X,X和(X+X)/2在L中，并且RM(X)=RM(X)，那么RM X+X>RM(X)+RM(X)=RM(X)。

这样一个不等式可以部分地由这样一个事实来解释：与(X+X)/2相关的模型风险既是由于marg inals的模型风险，也是由于联合分布的mod elrisk。由于(9)，我们看到RM的其他可能性质（如单调性、连续性等）继承自风险测度的类似性质。次可加性是一个例外，它是所有相干风险测度都有的性质。事实上，如果我们知道ρ(X+X)6ρ(X)+ρ(X),并且X,X,X+X∈L，我们只能得出RM(X+X)>RM(X)+RM(X)-ρ(L)ρ(L)-ρ(L).而次可加性只有在右手边的最后一项是su-cientlysmall时才被保证。4在本节中，我们说明了模型风险的两个测度，并研究了下面的例子：我们考虑一个R.V.x的参考分布在集合Lμ，σ中，该集合对应于所有R.V的集合。用均值μ和标准差σ，并对两个风险度量，即VaR和预期缺口，估计模型风险的两个度量。如前所述，在不丧失概括性的情况下，我们可以将注意力限制在R.V的集合的特殊情况下。在集中讨论我们的例子之前，我们给出了一个关于一般集L上的极值分位数的初步结果，它将对本文的其余部分有用。4.1关于极值分位数的初步结果L是一个R.V.的一般集。对于任意x,FLAND FLD上的极值函数为:FL(x)=SUPX∈LFX(x)FL(x)=INFX∈LFX(x),注意FL(+∞)=1,FL(-∞)=0,且FLAND FLD为非递减函数。我们将它们分别称为最大函数和最小函数。注4.1IfFLand耀斑确实是分布函数，在t阶占优意义上，它们是极值的（记为<1sd)。这些函数不一定是分布函数，因为FL(-∞)>0和/或FL(+∞)<1。这个m意味着fl<1sdfx<1sdfl±x∈L注意，这两个FLand FLare不一定都是c`adl`ag。然而，它们在C`adl`ag上的点集至多是可计数的，并且如果G和H是满足G<1sdfx<1sdh,±x∈L的两个分布f函数，则G<1sdfl，FL<1sdh。下面关于极值分位数的结果将在本文的其余部分中非常有用。引理4.2假定FL(-∞)<FL(+∞)。IfFLand耀斑可逆函数，则对于任意α∈(FL(-∞),FL(+∞)),它保持为infx∈Lqα(X)=f-1L(α)和SUPx∈Lqα(X)=f-1L(α)。（10）若bothFLand耀斑分布函数，则（10）对任意α∈(0,1）成立。证明。我们只证明了In的结果，因为一个类似的论点导致了上确界的结果。如果α>fl(-∞)，那么根据假设a=f-1L(α)是好的，让我们矛盾地证明b=infx∈Lqα(X)>a。那么对于任意X∈Lwe有qα(X)>b>a，因此对于X∈[a,b)，根据分位数的充分认识，有FX(X)<α。对于x∈[a,b)，我们得到FL(x)6α=FL(a)，但这与假定FL(x)>α相反。相反，如果我们假定b<a，那么存在一些x∈L，使得qα(x)<a.如果FL(x)<a)严格增加，我们得到x(qα(x))6FL(qα(x))<FL(a)=α。然而，由于认识分位数，它总是成立FX(qα(x))>α，我们得到了一个矛盾。然后我们得出结论:b=A。备注4.3下面的例子强调了FLand FLin引理4.2的可逆性。如果没有这个条件，(10)中的等式即使我们用广义逆（即分函数）代替ef-1或f-1也不需要成立。固定α并考虑R.V的序列L=(Xn)n>1。其中xntakes值1具有概率1-α+n，值0具有概率α-n。如果x<0α，如果x>06x<11，如果x>1，我们很容易检验FL(x)supnFXn(x)=0，即使对于任何n>1的qα(Xn)=1，我们也有qα(x)=0。

所以，（10）在本案中并不成立，但以下情况除外─分别在{x:FL(x)=FL(-∞)或1}和{x:FL(x)=0或FL(+∞)}.4.2模型风险服从Royden(1953)第4节和H-urlimann(2008)第3章第4节的情形下，利用经典Chebyshev-Markov不等式，给出了L0,1分布上的极值函数：如果x>0，FL0,1(x)=1+xif x601和FL0,1(x)=0如果x60x1+xif x>0。这些极值分布通常分别称为L0,1的极大和极小Chebyshev-Markov分布。但是请注意，两个极值分布FL0，1和FL0，1都不在L0，1中。事实上，FL0,1的均值是负的，Off 0,1的均值是正的，并且两个方差都是有限的。从引理4.2来看，由于FL0,1和FL0,1都是可逆的，所以对于极值分位数，以下的恒等式占上风（例如见H-Urlimann 2002，定理3.1，或Bertsimas等人）。2004,定理2):infx∈L0,1qα(X)=f-1L0,1(α)=-R1-ααSUPx∈L0,1qα(X)=f-1L0,1(α)=Rα1-α。作为极值分位数的直接结果，下列结果为真：命题4.4(i)在xis处Varα的模型风险的绝对测度:am(X,L0,1)=q1-αα-Varαα(X)q1-αα+qα1-α=(1-α)-pα(1-α)=r(X)varα(X).这个结果将在后面的4.4小节中说明。注4.5注意supx∈L0,1 varα(X)>0和infx∈L0,1 varα(X)<0。因此，在L0,1类中，某些分布是可接受的，这意味着它们具有风险，而另一些分布则不具有风险。在Lμ，σ，当μ>0时，如果α>σμ+σ，则所有分布都是可接受的。当μ<0时，如果α<μμ+σ，则所有分布都是不可接受的。注4.6正如Hüurlimann(2008)（第4章，第3节）所指出的，当考虑(-∞,+∞)上的分布时，关于偏度的知识并不能改善切比雪夫极值分布。因此，如果X∈Lμ，σ:AM(X，lμ，σ，ζ）=AM(X，lμ，σ)RM(X，lμ，σ，ζ）=R M(X，lμ，σ).其中lμ，σ，ζ={X∈Lμ，σ:ζ(X)=ζ(X)}和ζ(X)表示X.4.3的模型风险。对于预期的Sh来说，采用类似的方法是不容易的，因为公式4.2给出了关于极值分位数的结果，而不是关于极值预期的短缺的结果。然而，Bertsimas等人最近的一个结果。（2004）（定理2）利用凸分析的变元，给出了集合L0,1上极端期望亏缺的恒等式:infx∈L0,1 Esα(X)=0(11)SUPx∈L0,1 Esα(X)=R1-αα。（12）据我们所知，对于一般集合L还没有得到类似的结果。作为一个直接的结果，关于模型风险的下列结果成立：命题4.7(i)在xis处Esα的模型风险的绝对测度:am(X,L0,1)=q1-αα-Esα(X)=q1-αα-Esα(X)q1-αα=1-rα1-α-Esα(X)。(ii)在xis处Esα的模型风险的相对测度。这个结果将在后面的小节4.4中说明。注4.8如前所述，我们不能使用引理4.2来获得极值不足。然而，我们可能会怀疑（11）中的极值不足是否是某些极值分布的预期不足。由于预期缺口相对于止损顺序是单调的（见实例Bauerle和Müuller(2006))，我们研究集合L0,1上止损顺序的极值分布。紧随HUrlimann(2002)之后，我们利用分布F的止损变换为:πF(x)=z∞x(1-F(y))dy的事实，通过简单的计算，我们得到:F(x)=1+π′F(x)。这种关系对于极值止损分布也成立（参见HUrlimann(2002)中的例子式(1.3)):fslmax(x)=1+π′max(x)，其中πmax(x)supF∈L0,1πF(x),对于in也成立。因此，为了得到极值止损分布，我们需要得到极值止损变换。对于最大止损变换，werefer给出了Jansen等人的定理2。

（1986）得到:πmax(x)=√x+1-x。对于最小止损变换，我们参见表5.2第5节，Hüurlimann(2008)第3章:πmin(x)=(-x，如果x>0，则x600)。最后，我们得到了极值止损分布:FSLmax(x)=1+x√x+1和FSLmin(x)=(1，如果x>00，如果x<0。我们得到了方程(11):esα(FSLmin)=0=infx∈L0,1 esα(x)和esα(FSLmax)=r1-αα=supx∈L0,1 esα(x)。注意，使用极值分布FL0，1和FL0，1，给出了我们在2.3小节（特别是E q ution(8))中讨论的一些界限，这些界限并不尖锐。在L0,1)R.V.服从正态分布或学生t分布。我们特别感兴趣的是度量对风险价值或预期缺口的阶数α的依赖性。图3和4.00.020.040.060.080.1012345678910(a)VaRα00.020.040.060.080.1012345678910(b)Esα图3：作为α函数的模型风险的绝对度量。连续行：XStandardNormal。虚线:XStudent-t，具有v=3个自由度。很自然地，使用参考胖尾分布（Student-t）会比使用正常分布产生更低的模型风险。对于预期缺口，这对α的任何实际值都是正确的，而对于风险值，这只对α很小(α/1.5%)来说是正确的。我们还可以注意到，对于VaR和预期缺口，以及对于这两个分布，模型风险的相对度量都是α→0。换句话说，随着我们在（左）尾进一步深入，任何给定的分布都越来越偏离最坏的情况。我们认为这是一种普遍的行为，图5中的图表比较了VaR模型风险和预期风险的绝对（左）和相对（右）度量，我们看到，在这两种情况下，预期缺口都具有较低的模型风险水平。通过将学生T作为预期缺口，我们得到了类似的行为。这可能与我们所期望的不一致：事实上，人们经常说预期缺口比VaR对模型选择更敏感，因为形式依赖于整个左尾。相反，至少对两个精确测量来说，α/8%。参见图3（右）和图4（右）。另参见Cont et al中关于统计ro鲁棒性的相关讨论。(2010).0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.91(a)VaRα0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.91(b)ESα图4：作为α函数的模型风险的相对度量。连续行：XStandardNormal。虚线：XStudent-t具有v=3个自由度。模型风险的相反证明是正确的。5模型风险的局部测度本节我们引入了一个模型风险的局部测度，通过在一族收缩到单点{X}的扰动集上取该测度RM的极限，得到了一个模型风险的局部测度。5.1definitionlet(Lε)ε>0是一个集合族，每个集合包含在Lρ，且Lε{X}为ε→0。这意味着无论何时ε<ε\'和⑤ε>0Lε={X}，Lεbul lε′.下面，我们将根据距离和混合物给出一些例子。认识5.1与ρ、X和族(lε)ε>0ISLM=Limε→0RM(X,Lε)=Limε→0ρ(Lε)-ρ(X)ρ(Lε)-ρ(Lε)-ρ(Lε)相关的模型风险的局部度量，前提是存在极限。0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1012345678910(a)绝对度量0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.91(b)相对度量5：模型风险的绝对和相对度量是α的函数。连续线：VAR。虚线：预期的缺口。限制L M明显是0/0形式；然而，如果它存在，那么对于任一ε,它在区间[0,1]内为RM(X,lε)∈[0,1]。

局部测度描述了ρ(X)相对于最坏和最好情况的位置。5.2一个基于距离的例子在下面的s中，我们将考虑对于某些α的情况ρ=varα，因此Lρ是所有R.V.我们在对Lε的认识中不作任何参考。作为计算局部模型风险的一个例子，考虑集合族:Lε={X:d(X，X)6ε}，(13)，其中d是分布之间的给定距离。可以立即认识到，这样一个家庭满足了上述假设。特别地，我们考虑了Kolmogorov（或一致）距离K(X，Y)=SUPx∈RFx(X)-FY(X)或L′evy距离L(X，Y)=inf{a>0:FX(x-a)-A6Fy(X)6FX(X+a)+a^X∈R}。命题5.2如果ρ=varα对于α∈(0,1）和族(Lε)被定义为（13）,其中d=dKor d=dL,则LM(X,(Lε))=对于任何绝对连续的R.V.X.证明。如果d=dKit可以立即看出flε(x)=m在{F(x)+ε,1},flε(x)=m ax{F(x)-ε,0}。（14）从现在起，设ε<min{α,1-α}，则flε(-∞)=ε<α<1-ε=flε(+∞)。假定Fis inver tib le,因此flε和flε是可逆的；立即计算表明:f-1Lε(α)=f-1(α-ε),f-1Lε(α)=f-1(α+ε),然后我们可以应用引理4.2,得到SUPx∈Lεvarα(X)=-f-1(α-ε),infx∈Lεvarα(X)=-f-1(α-ε),其中forelm=limε→0f-1(α)-f-1(α+ε)f-1(α+ε)-f-1(α-ε),即varα(X)=-f-1(α).最后，如果F=F′是X的密度，应用Del′H Opital法则，我们在d=DL，我们从观察flε(X)=min{F(X+ε)+ε,0}和flε(X)=m ax{F(x-ε)-ε,0}开始，然后类似地进行。这个结果是很自然的，因为扰动集在X附近是渐近对称的，因此模型风险的相对测度收敛到1/2。然而，我们强调这只在极限ε→0和n ot中成立，对于一个基于混合列的例子Fbe的x∈L0,1的分布；对于ε<1definelε={X:X≈(1-θ)f+θfy,Y∈L0,1,θ∈[0,ε]}。（15）集合Lε收集标准R.V的F和a分布之间的所有（R.V.分布为）混合。Y,对其替代分布(FY)不是加权的。值得注意的是，对于任意ε，lεyl0，1:实际上，平均值和evaliance都是分布的一个ne函数。注5.3我们强调(1-θ)f+θfy通常不是(1-θ)x+θY的分布，即使我们假定x，Y是独立的。相反，它是(1-Ia)X+IAY的分布，其中A是一个概率θ的事件，与X、Y无关，并具有它的指示函数。命题5.4如果ρ=varα对于α∈(0,1）和族(Lε)被定义为（15）,则对于任何绝对连续的R.V,则LM=1-α(1+varα(X))。X，其中varα(X)>0。证明。Lε的最大函数是flε(x)=supθ∈[0,ε]supy∈L0,1{(1-θ)F(x)+θFL0,1(x)=(1-ε)F(x)+εFL0,1(x),其中我们用FL0,1(x)-F(x)>0来推导最后一个等式。由于fl0,1是可逆的（假设前者）,flε也是可逆的，因此，应用Lemm A4.2,我们得到X∈Lεvarα(X)=-f-1Lε(α)。（16）利用类似的论元，我们得到了infx∈Lεvarα(X)=-f-1Lε(α)，(17)其中flε(X)=(1-ε)F(X)+εfl0,1(X)。因此，模型风险的局部测度isLM=Limε→0-f-1Lε(α)-Varα(X)-f-1Lε(α)+f-1Lε(α)。（18）如果我们设ρ(ε)=f-1Lε(α)，那么，通过对(1-ε)F(ρ(ε))+εFL0,1(ρ)-F(ρ)+ε(F′l0,1(ρ)-F(ρ)+F(ρ)=0，其中F=F′是x的密度。