标记点驱动的纯跳跃模型中的效用最大化

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英文标题：
《Utility maximization in pure-jump models driven by marked point
  processes and nonlinear wealth dynamics》
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作者：
Mauricio Junca and Rafael Serrano
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We explore martingale and convex duality techniques to study optimal investment strategies that maximize expected risk-averse utility from consumption and terminal wealth. We consider a market model with jumps driven by (multivariate) marked point processes and so-called non-linear wealth dynamics which allows to take account of relaxed assumptions such as differential borrowing and lending interest rates or short positions with cash collateral and negative rebate rates. We give suffcient conditions for existence of optimal policies for agents with logarithmic and CRRA power utility. We find closed-form solutions for the optimal value function in the case of pure-jump models with jump-size distributions modulated by a two-state Markov chain.
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中文摘要：
我们探索鞅和凸对偶技术来研究从消费和终端财富中最大化预期风险规避效用的最优投资策略。我们考虑一个由（多元）标记点过程和所谓的非线性财富动态驱动的跳跃市场模型，该模型允许考虑宽松的假设，例如不同的借贷利率或现金抵押品和负回扣率的空头头寸。对于具有对数和CRRA幂效用的代理，我们给出了存在最优策略的充分条件。在纯跳跃模型中，我们找到了最优值函数的闭式解，其中跳跃大小分布由两状态马尔可夫链调制。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Utility_maximization_in_pure-jump_models_driven_by_marked_point_processes_and_no.pdf (437.24 KB)

2022-5-7 02:56:22 上传

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关键词：效用最大化 最大化 Differential Multivariate Quantitative

由标记点过程和非线性财富动态驱动的跳跃模型中的效用最大化Mauricio Junca*数学系Riversidad de los AndesCra 1号18a-12Bogot\'a，哥伦比亚拉斐尔Serrano+罗萨里奥卡莱大学经济系12C第4-69Bogot\'a号，哥伦比亚2021年11月16日摘要我们探索鞅和凸对偶技术，以研究使消费和终端财富的预期风险规避效用最大化的最优投资策略。我们考虑一个由（多元）标记点过程和所谓的非线性财富动态驱动的跳跃市场模型，该模型允许考虑宽松的假设，如不同的借贷利率或现金抵押和负回扣率的空头头寸。对于具有对数和CRRA幂效用的代理，我们给出了存在最优策略的充分条件，并给出了数值例子。在纯跳跃模型的情况下，我们提供了最优值函数的封闭形式解，跳跃大小分布由两状态马尔可夫链调制。2010年数学学科分类。初级60G55；中学91G10，60J75关键词。

效用最大化、最优投资组合消费、纯跳跃市场模型、markedpoint过程、局部特征、风险规避效用、非齐次泊松过程、差异率、负回扣率、非线性财富方程、马尔可夫调制跳跃大小分布。*电子邮件：mj。junca20@uniandes.edu.co+电子邮件：拉斐尔。serrano@urosario.edu.co——第二作者衷心感谢FIUR研究项目DVG1701引言的财务支持。本文的目的是为投资者在由货币市场组成的纯跳跃不完全市场模型中交易，找到投资和消费策略存在的充分条件，从而最大化消费和终端财富的预期风险规避效用账户和具有价格动态的风险资产由（多变量）标记点过程驱动。由于市场摩擦，投资者面临凸形交易约束和额外现金流出，如资金借贷利率差异，或因股票借贷费用超过作为抵押品支付的现金利率而产生负回扣率的空头头寸，见下面的示例2.1和2.2。这是通过添加一个保证金支付函数来建模的，该函数依赖于投资组合比例过程和投资者的财富方程，该方程由自我融资条件产生。在过去15年中，定点过程在资产价格建模方面取得了相当大的进展，尤其是在高频金融数据建模和波动率估计的非线性滤波方面，参见。

Ceci[4,5]、Ceci和Gerardi[6,7]、Cvitani\'c等人[10]、Frey[13]、Frey和Runggaldier[14,15]、Geman等人[16]、Prigent[29]、Rydberg和Shephard[30]。事实上，标定点过程的随机时间和标记可用于模拟不同市场事件的发生时间和规模，如大额交易、限价单或信用评级变化。做市商根据这些事件更新报价，这反过来又会导致股价的波动和飙升。可以使用与标定点过程相关的（随机）计数度量将这些跳跃纳入价格动态中，参见第2节中的资产价格模型公式。这些过程也被用于债券市场中的期限结构和远期利率建模，参见Bj¨ork等人[1]和Jarrow and Madan[20]。我们对效用最大化问题的处理方法密切遵循了凸对偶方法，该方法由He和Pearson[18]，Karatzas等人[23]，Cvitani\'c和Karatzas[9]提出，并由Kramkov和Schachermayer[25]推广到一般半鞅集。该方法包括制定相关的对偶极小化问题和不存在对偶缺口的确定条件，并且在凸投资组合约束下的效用最大化指数化方面非常有效。对于跳跃扩散市场模型，Goll和Kallsen[17]、Kallsen[22]以及最近的Michelbrink和Le[28]使用鞅方法获得具有对数和幂效用函数以及线性财富方程的代理的显式解。Callegaro和Vargiolu[3]在具有泊松跳跃的跳跃扩散模型中获得了类似的结果。

在差异环境中，库科和刘[8]以及克莱因和罗杰斯[24]对凸对偶方法进行了显著扩展，以纳入非线性财富动态。在本文中，我们考虑了与Cuoco和Liu[8]中相同的效用最大化，但主要驱动过程是标记点过程，而不是布朗运动。我们的主要假设是，基本标记点过程的计数度量N（dy，dt）具有形式（λt，Ft（dy））的局部特征。特别令人感兴趣的是，这些局部特征取决于（可能是外生的）马尔可夫状态过程，该过程可能描述日内交易活动、宏观经济因素、驱动市场的微观结构规则，或者只是经济或商业周期的变化，见下面的例子3.1和3.2。另见Frey和Runggaldier[15]。本文的主要结果是，根据保证金支付函数的凸对偶和由计数测度N（dy，dt）驱动的线性向后SDE的解对，给出了最优投资组合消费对存在的充分条件。虽然主要结果中的最优性条件似乎有相当大的限制性，但在最后一节中，我们表明，在对数函数和幂函数以及由于更高的借款利率或卖空而产生的溢价支付的情况下，最优性条件显着简化。作为我们的主要例子，我们考虑了欧佩兹和拉塔诺夫[26]提出的体制转换纯跳跃资产价格模型，其中跳跃大小分布根据连续时间两状态马尔可夫链交替，另见最近的论文byElliot和Siu[12]以及欧佩兹和Serrano[27]。

在对数效用的情况下，我们找到了该模型最优值函数的显式公式。最后，值得一提的是，我们的市场模型和效用最大化问题的公式可以被视为Schroder和Skiadas[31]研究的更一般问题的特例，因为他们考虑了由布朗运动和标记点过程以及递归效用函数驱动的跳跃扩散模型。然而，他们的主要方法是效用最大化问题的尺度/平移不变公式，尽管他们确实将结果与[31]附录中的对偶公式联系起来。让我们简要描述一下本文的内容。在第一节中，我们概述了标记点过程的随机设置和信息结构，介绍了市场模型和带有保证金支付函数的非线性财富方程，并定义了最优投资/消费问题。在第三节中，我们给出了关于潜在标记点过程存在局部特征的主要假设。在第4节中，我们介绍了Cuoco和Liu[8]的凸对偶技术，并在存在最优投资/消费政策的充分条件下建立了我们的主要结果。在第5节中，我们通过考虑（CRRA）对数函数和幂效用函数，以及不同借贷利率的保证金支付，以及负回扣率的空头头寸，来说明主要结果。

我们给出了一些数值例子，并利用L’opez和Serrano[27]中的最新结果，在马尔可夫调制跳跃大小分布的情况下，提供了最优值函数的显式闭式解。2.市场模型、非线性财富动态和风险规避效用最大化问题(Ohm, P、 F）是一个完全概率空间，具有过滤系数F={Ft}t≥设E为σ为欧几里德空间的Borel子集-代数B（E）。设{（τn，Yn）}n≥1be amarked（或多元）点过程与标记空间E，即，{Yn}n≥1是E的序列-有值随机变量与{τn}n≥1是满足limn的正随机变量的递增序列→∞τn=+∞.我们定义了与标记点过程{（τN，Yn）}N相关的随机计数测度N（dy，dt）≥1as followsN（A×（0，t））：=∞Xn=1{τn≤t、 伊恩∈A} =Xτn≤蒂恩∈A} ，A∈ B（E），t≥ 0（2.1）参见例如Jacod和Shiryaev[19，第三章，定义1.23]或Jeanblanc等人[21，第8.8节]。每一个∈ B（E），计数过程Nt（A）：=N（A×（0，t]）对截至时间t内具有值的标记数进行计数=FNtT≥0表示与这些计数过程相关的自然过滤，即fnt:=σ（Ns（A）：0≤ s≤ t、 A∈ B（E）），t≥ 0.自始至终，我们假设FN F.回想一下实值过程（φt）t≥0是F-可预测的，如果随机函数φ（t，ω）=φt（ω）相对于σ是可测量的-R+×上的代数Ohm 由适应的左连续过程生成。

类似地，地图φ：Ohm ×R+×E→ 如果R相对于乘积σ-代数P是可测的，则R称为F-可预测的 B（E）。我们考虑的是一个金融市场模型，其货币账户bt具有持续的复合利息力rtBt=expZtrsds, T≥ 0，以及价格过程定义为随机指数过程ST:=集（L）且S>0且LT:=Ztusds+Xτn的风险资产或股票≤tf（τn，Yn），t≥ 0.假设过程rt、u和映射f（t，y）一致有界且f可预测。这里Et（·）表示随机（Dol’eans-Dade）指数，参见Jeanblanc等人[21，第9.4.3节]。在该模型中，离散随机时间τnca可被解释为重大市场事件发生的时间点，如大额交易、限价指令或信用评级变化，或市场庄家根据新信息更新报价的时间点。标记yn描述了这些事件的规模，而τnand标记yn通过映射f（t，y）创建股票价格的跳跃和变化。请注意，bt和StsatisfydBt=Btrtdt，B=1dSt=St-hutdt+ZEf（t，y）N（dy，dt）i，S>0。（2.2）我们还假设f（t，y）>-每（t，y）1 a.s∈ [0，T]×E。因此，方程（2.2）的解由可预测的过程st=Sexp给出ZtusdsYτn≤t（1+f（τn，Yn））=SexpZtusds+Nt（E）Xn=1ln（1+f（τn，Yn））= 性爱Ztusds+ZtZEln（1+f（s，y））N（dy，ds）, T∈ [0，T]。对于愿意投资该市场的代理人，我们用πt表示投资于风险资产的财富比例，因此投资于无风险资产的财富比例为1- πt.回想一下，πt的正值代表风险资产的多头头寸，而πt的负值代表空头头寸。

过程π=（πt）t∈[0，T]被称为投资组合比例过程，或者简单的投资组合过程，我们总是假设它是可预测的。我们定义了一个有限的投资期限T>0和一个非空的闭凸K 具有0的Rof投资组合约束∈ K.我们引入了保证金支付功能g：Ohm ×[0，T]×R→ R是P×B（R）-可测量且满足（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]（i）g（ω，T，0）=0，（ii）g（ω，T，·）在R上是凹的和连续的。在时间间隔[0，T]内，投资者可以以瞬时消费率ct消费≥ 0.然后，在自我融资条件下，投资者在时间t的财富Vx，π，cTo∈ [0，T]受制于以下动态预算约束TDVT=Vt-[rt+g（t，πt）]dt+πth（ut- rt）dt+ZEf（t，y）N（dy，dt）i- Cdtt，V=x，（2.3），其中x>0是固定的初始财富，（π，c）=（πt，ct）t∈[0，T]是一对满足（i）π在下有界且πT的F-可预测投资组合-消费过程∈ K.a.s.为所有t∈ [0，T]，（ii）ZT[πT+g（T，πT）+ct]dt<+∞, a、 s.随机微分方程（2.3）与财富过程vx，π，cb呈线性关系，但在投资组合政策π中可能是非线性的，反过来，与投资于风险资产和非风险资产的实际金额呈非线性关系。我们将初始财富x>0的可容许对的A类（x）定义为一组投资组合消费对（π，c），其中财富方程（2.3）具有满足Vt的唯一强解≥ 0，a.s.代表所有t∈ [0，T]。我们用Vx，π，c=（Vx，π，ct）t表示∈[0，T]方程（2.3）的解。特别是，如果没有消耗，即所有t的ct=0∈ [0，T]，方程（2.3）在vt中是线性且均匀的，其解vx，π，0t=xEtZ·[rs+g（s，πs）+πs（us）- rs）]ds+Z·ZEπsf（s，y）N（dy，ds）= x经验Zt[rs+g（s，πs）+πs（us）- [rs]dsNt（E）Yn=1（1+πτnf（τn，Yn））。

（2.4）例如，如果不允许对任何资产进行卖空，则这始终是积极的。e、 如果πt∈ [0,1]对于所有t∈ [0，T]。我们可以使用（2.4）来找到富裕过程Vx，π，cin的表达式V1，π，0=（V1，π，0t）t∈[0，T]，具有初始财富1和投资组合消费对（π，0）的财富过程，如下所示：定义过程ξx，π，ct:=x-ZtcsV1，π，0s-ds，t∈ [0，T]。在不同的形式下，我们有V1，π，0t-dξx，π，ct=-ctdt。然后ξx，π，ctV1，π，0t= ξx，π，ctdV1，π，0t+V1π，0t-dξx，π，ct=ξx，π，ctV1，π，0t-[rt+g（t，πt）]dt+πth（ut- rt）dt+πtZEf（t，y）N（dy，dt）i- ctdt。由于ξx，π，cV1，π，0=x，通过方程（2.3）解的唯一性，财富过程vx，π，cis是过程ξx，π，ctV1，π，0t的修正=十、-ZtcsV1，π，0s-ds经验Zt[rs+g（s，πs）+πs（us）- [rs]dsNt（E）Yn=1（1+πτnf（τn，Yn））。（2.5）注意，投资组合消费对（π，c）在时间t时产生正财富∈[0，T]如果，几乎肯定ztcsv1，π，0s-ds<x和πτnf（τn，Yn）>-1.τn≤ t、 例2.1（不同的借贷利率）。以金融市场为例，投资者为借贷支付的利率高于投资者为借贷赚取的银行利率。更具体地说，假设借贷利率是一个满足Rt的F-可预测一致有界过程≥ rta。s、 尽管如此，t∈ [0，T]。这种情况下的保证金支付函数是g（t，π）：=-（Rt）- rt）（π）- 1)+, π ∈ R.注意财富方程（2.3）在投资组合过程中是非线性的，尽管它是分段线性的。方程中涉及投资组合π和利率的项读取srt+g（t，πt）+πt（ut- （右）=πtut+（1）- πt）rt，如果πt≤ 1，πtut+（1- πt）Rt，如果πt≥ 1.示例2.2（以现金抵押品和负回扣率进行卖空）。