银行间网络中股票价格触发的或有资本

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摘要翻译：
本文研究了银行间交易或有可转换债券和股票价格之间相互触发时均衡价格的存在性和唯一性。这类金融产品是在金融危机后作为稳定全球银行体系的工具提出的。然而，人们很早就认识到，即使在没有交易的情况下，这些产品也可能在股票价格的定义中造成循环问题。我们发现，如果转换阈值为债券持有者对边际转换不感兴趣，则无论网络结构如何，都存在唯一的均衡。当阈值较低时，平衡态的存在性被打破，而阈值较高时，平衡态的多重性可能会出现。而且，还存在着复杂的网络效应。一家银行的转换可能会引发进一步的转换--或阻止它们，这取决于资产价值和转换触发器的星座。
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英文标题：
《Contingent Capital with Stock Price Triggers in Interbank Networks》
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作者：
Anne G. Balter, Nikolaus Schweizer, Juan C. Vera
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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英文摘要：
  This paper studies existence and uniqueness of equilibrium prices in a model of the banking sector in which banks trade contingent convertible bonds with stock price triggers among each other. This type of financial product was proposed as an instrument for stabilizing the global banking system after the financial crisis. Yet it was recognized early on that these products may create circularity problems in the definition of stock prices - even in the absence of trade. We find that if conversion thresholds are such that bond holders are indifferent about marginal conversions, there exists a unique equilibrium irrespective of the network structure. When thresholds are lower, existence of equilibrium breaks down while higher thresholds may lead to multiplicity of equilibria. Moreover, there are complex network effects. One bank\'s conversion may trigger further conversions - or prevent them, depending on the constellations of asset values and conversion triggers.
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关键词：股票价格 银行间 Contribution Quantitative equilibrium

银行间网络中带有股票定价者的或有资本*Anne G.Balter Nikolaus Schweizer Juan C.Vera 2020年11月本文研究了银行间交易带有股票价格触发的或有可转换债券的银行部门模型中均衡价格的存在性和唯一性。这类金融产品是在金融危机后作为稳定全球银行体系的工具提出的。然而，人们很早就认识到，即使在没有交易的情况下，这些产品也可能在股票价格的识别中造成循环问题。我们发现，如果转换阈值使债券持有人对边际转换不感兴趣，则存在一个唯一的均衡，而与网络结构无关。当阈值较低时，平衡的存在性被打破，而阈值较高可能导致平衡的多重性。此外，还存在着复杂的网络环境。OneBank的转换可能会引发进一步的转换--或阻止它们，这取决于资产价值和转换触发因素的星座。Jel类别:D53、G33、G21、L14关键词：或有资本、或有可转换债券、银行间网络、金融稳定性*我们感谢Sven Balder、Diego Ronchetti和Harald Uhlig以及2020年经济学会世界大会的与会者提供有益的意见。荷兰蒂尔堡蒂尔堡大学蒂尔堡经济管理学院计量经济学系和or。{A.G.Balter,N.F.F.Schweizer,J.C.Veralizcano}@uvt.nl1导言在过去的十年里，人们对或有可转换债务产生了相当大的兴趣，这是一种使全球银行体系对危机更具弹性的工具。这种或有可转换债券背后的想法很简单。银行发行债券，即借入资金，具有转换功能。每当银行陷入困境，出现无法偿还债务的危险时，转换就会发生。转换后，银行的前债权人拥有银行的一部分--但他们不会收到他们的钱。因此，CoCos的目的是以不危及银行体系稳定和降低系统性风险的方式向银行提供流动性。然而，一旦一种新的产品类型被引入并在各机构之间进行交易，这种产品中的交叉就成为渔业市场中额外互联的来源。在本文中，我们研究了这种相互联系如何影响银行的估值，以及如何在直接投资的潜在转换之间产生复杂的相互依赖关系。一旦银行持有彼此的COCO，一家银行的转换事件可能会触发或阻止其他银行的转换和违约。在CoCos的设计中，对转换事件的识别至关重要。如果只有在借款银行接近破产时才发生转换，那么转换事件可能会对银行系统造成严重影响，几乎就像违约一样：贷款机构非但没有收回资金，反而成为一家几乎破产的公司的部分所有者。相反，如果转换发生在一家状况良好的借款银行，贷款人实际上可能更好地获得股票补偿，而不是收到他们的钱。在这种情况下，转换事件对应于从现有所有者到贷款人的财富转移，伴随着公司部分失去控制权。因此，转换的阈值级别既不应选择太高也不应选择太低。除了选择转换事件的级别之外，CoCo债券的设计者还需要指定借款机构的哪些性能指标与数量之间的关系。例如，转换可以基于银行资产负债表中的会计数据。虽然这种方法相对透明，但它可能是tooslow和容易产生创造性的会计。

或者，转换决定权可以交给监管当局。在这种情况下，转换的时间变得更加容易，但也相当不透明。此外，bya监管者触发的转换将被市场视为痛苦的迹象，并可能导致进一步的中断。我们关注第三种可能性：股票价格作为转换的触发因素。一旦股价达到预先设定的下限，转换就会发生。与基于会计或监管的触发因素相比，股价触发因素更加透明，反应也更加频繁。它们的潜在缺点是，它们可能会在股票价格的预测中引入一个循环。股票价格反映了拥有银行部分股份的价值。是的，它的价值取决于转换是否发生--这取决于它本身的股价。这一观察是Sundaresan和Wang(2015)的出发点，他们认为，在引入带有股价触发器的或有可转换债务后，均衡股价的存在性和唯一性都不能得到保证。Flannery(2014)认为，这种潜在的危险是股票价格触发器没有在实践中实施的主要原因。尽管laterresearch（Glasserman and Nouri，2016；Pennacchi and Tchistyi，2019a，b)有足够弱和透明的条件来保证股票价格的存在性和唯一性。然而，这篇文献孤立地研究了单一的可可，从这样一个事实中抽象出来，即每当一种产品出售时，就会有人购买它。我们问，如果银行不仅发行带有股价触发的可可，而且还相互交易，会发生什么。特别地，我们研究了以前关于均衡价格存在唯一性的结果如何推广到多银行情形。为了了解网络e-crectioned ects是否会放大实践中的循环问题，大多数CoCos都有基于会计和监管触发机制的组合，见Avdjiev et al.（2015年）。即使在没有股票价格触发因素的情况下，许多人仍然对可可豆持有一定的看法，例如，Santander发布的关于最近涉及可可豆事件的新闻报道，如2019年2月17日《华尔街日报》上的“当投资关乎首席执行官的商誉”。威胁到即使在单一银行环境下均衡的存在。鉴于CoCos是以稳定全球银行体系为目标提出的，这一问题从学术和监管的角度都是相关的。我们的理论框架将Sundaresan and Wang(2015)和Glasserman and Nouri(2016)的静态基线模型推广到多个相互关联的银行。总结了我们关于平衡点存在唯一性的主要结果。我们认为，如果一家银行的债权人和其股票持有者都处于转换和不转换之间，而股票正好处于转换阈值，那么该银行就设定了一个公平的转换阈值。如果有一个公平的转换门槛，边际转换不会导致财富转移。如果市场上所有的可可豆都有公平的转换阈值，那么均衡股价的唯一保持器就存在。如果所有转换阈值都是超公平的，即处于或高于公平阈值，则保证存在一个可能的非唯一均衡。然而，一旦一家银行以更低的次公平转换门槛出售可可豆，均衡股价的存在不仅对这家银行，而且对整个银行系统都有潜在的危险。在单一银行的情况下，这些结果当然简化为Glasserman和Nouri(2016)的结果，其中公平阈值意味着唯一均衡的存在，次公平阈值意味着不存在，超公平阈值意味着非唯一。因此，我们发现均衡的存在性和唯一性不依赖于网络结构。

这只取决于银行设定的转换门槛。一个只关心股票价格是否良好的人可以孤立地评估一家又一家银行的情况。然而，当然，这并不意味着或有资本的交叉不能在独立银行的转换之间产生相互依赖。事实上，在公平的转换阈值下，可能会有多米诺骨牌的经验，有可信的证据表明可可豆的交叉是多么普遍。比较了Avdjiev等人讨论的各种来源。（2013年、2015年）和Boermans和van Wijnbergen（2018年），似乎可以公平地得出结论，在大型欧洲市场，其他银行拥有的CoCos股份比例在5%至50%之间，这取决于所考虑的准确背景和数据。考虑到目前的巴塞尔监管往往不鼓励这种交叉交易，这可能是系统性风险担忧（Avdjiev et al.，2013)，这些数字是相当高的。在这种情况下，一只可可债券的转换削弱了该债券持有人的地位。因此，持有者自己的可可豆可能不得不在平衡状态下转换，潜在地引发进一步的转换。在超级公平的情况下，情况类似，但更复杂。根据资产价值和可可持有量的确切星座，一家银行可可的转换可能帮助或损害其他银行，从而触发或阻止额外的转换。因此，可能会有一个银行必须均衡转换以拯救所有其他银行的情况--但不是唯一确定哪个银行是。从这些发现中得出的一个主要结论是，交叉网络的结构在涉及可可时很重要。因此，一个考虑放松银行间交叉交易的资本要求的监管机构应该同时收集关于可可所有权的信息。正如Avdjiev等人所指出的。（2015）和Boermansand van Wijnbergen(2018)，监管机构迄今没有系统地收集关于可可投资的信息。没有这些信息，一个相互联系的CoCo市场将不透明，潜在的溢出效应将难以预测。我们的最终兴趣是从资产价值计算均衡股价的映射（潜在的不完善）。一个主要的技术观点是，从股票价格到基础资产价值的反方向映射更容易理解和分析。从已实现的股票价格中，我们可以很容易地看出哪些银行是健康的、正在转型的还是破产的。给定这些信息，资产价值与股票价格之间的关系是显式的和线性的。因此，我们的大部分分析都是基于从股票价格到资产价值的映射的性质，我们称之为Φ。当φ为满时，资产价值的每一个向量都有一个相关的均衡股价。当φ为内射时，这个股价是唯一的。当Φ不是满式时，存在资产价值的向量，而不存在相应的股票价格向量。我们在模型中发现的这种二分法与早期的文献形成鲜明对比，早期的文献关注银行通过它们的转换相互施加的负外部性（Chan and van Wijnbergen,2014；Boermans and van Wijnbergen,2018）。为了理解为什么转换可以阻止其他转换，回想一下，在超级公平的情况下，转换的边缘情况对CocoCo的持有者是有利的，而不是接收原始债务。在公平的情况下，映射φ是连续的，识别唯一均衡的问题让人想起在银行间拆借和违约下的融资网络中的融资均衡的问题，如在Acemoglu等人中讨论的。(2015)，Glasserman andYoung(2016)及其中的参考文献。我们的模型有三个资产，每个银行可以是健康的，破产的或转换的。

然而，均衡的存在性和唯一性来自于连续函数的经典结果，即Poincar e-Miranda定理，这是Brouwer的固定点定理的一个有用但相对鲜为人知的等价公式。我们的模型与银行间违约网络模型之间的联系，如asEisenberg和Noe(2001),当然不仅仅是形式上的数学联系。根据公平转换阈值的选择，我们的模型在两个没有COCOS的市场模型之间进行插值。当转换阈值为零时，该模型收敛于艾森伯格-诺伊模型，在该模型中，银行在流动性不足的情况下被迫退出市场。相反，随着转换阈值的增加，模型收敛到通过取消所有债务来避免违约周期的情况。CoCos可能会在这两个极端之间找到一个有趣的中间地带。我们的主要技术贡献是开发在超级公平情况下证明平衡存在的技术。在这里，从均衡股价到基础资产价值的映射是分段线性但不连续的。我们的基本策略是将这一uper-fair案例视为调整了信贷金额的公平案例的歪曲。对于资产价值向量，我们给出了显式的固定点迭代，它从公平情况下的公平情况下恢复了超级公平情况下的平衡，从而证明了存在性。相关文献虽然本文似乎是在一个网络环境下研究带有股票价格触发的CoCos的文献，但也有许多文献研究了模型中的相互作用，例如Browder(1983)以背景为背景。触发机制的类型。在这些模型中，确保均衡的良好性更简单，因为股票价格不依赖于自身，即在单个银行案例中不存在循环问题。Chan和van Wijnbergen(2014)考虑带有监管触发的CoCos。在他们的设定中，只有一家银行发行可可，重点是在不完全信息模型中转换的信号价值。相比之下，我们考虑完全信息，并研究市场在价格和转换事件中重新影响所有可用信息的能力。最近的一些论文研究了基于会计触发器的可可交易网络，建立在Glasserman和Nouri(2012)的单一银行模型（而是thanGlasserman和Nouri，2016)的基础上。在这些最近的贡献中，Feinstein和Hurd(2020)在精神上最接近我们的论文，证明了在一个基于会计的触发器的模型中均衡的存在，但允许，例如，对于具有固定到期日的CoCos。古普塔等人。（2020）在模拟和实证上都表明CoCos是一种防范系统性风险的有效工具。除了简单的基于会计的触发因素，它们还考虑了转换机制的扩展，将整个银行系统的资产负债表考虑在内。从更广泛的角度来看，我们明确的存在性和唯一性结果与Schuldenzucker等人最近关于信用违约互换的银行间网络违约的结果没有什么关系。(2017，2020)在那里，即使是决定惠瑟伦均衡存在的问题也可能在计算上难以解决。Chan和van Wijnbergen(2014)对CoCo转换是否会像Diamond和Dybvig(1983)那样在模型中引发银行挤兑感兴趣。当它们触发监管时，转换事件向市场透露了一些监管机构的内部信息。在他们的模型中，相互联系只通过CoCo发行者对其他银行施加的信息外部性间接起作用。如果所有银行的收益都是正相关的，那么一个银行的转换就会对所有银行的收益带来坏消息。在代数上，这些工作所研究的问题与我们的问题是完全不同的。我们的均衡条件是分段线性的，在超级公平的情况下，是不连续的。

Schuldenzuckeret al.（2017,2020）是二次型的，因此“更非线性”，但是连续的。2模型的建立我们考虑了Sundaresan and Wang(2015)和Glasserman and Nouri(2016)中静态基线模型的多银行推广。用[n]={1,...,n}表示nbank的集合。对于每家银行i∈[n]，我们用AITS资产减去负债来表示。我们假设，此外，银行已经发行了可转换债券。我们用CITE表示我必须偿还的银行总可转换债务。如果银行I的股票价格低于预期阈值li，债务被转换（即未偿还），并通过发行MI>0的新股票来补偿。原来的股票数量归一化为1。因此，在转换过程中，前所有者保留银行i的部分1/(1+mi)，而前债权人获得部分mi/(1+mi)。我们偏离了以前的文献，假设银行之间可能交易了一些可转换债务。我们用wij表示J银行的可转换债务中欠I银行的部分。因此，根据银行j是否转换，银行i要么接收wijmjstocks要么接收WijCJ的现金。因此，wij可以被解释为有向加权图的邻接矩阵，即转换网络。wij=0和pi∈[n]wij≤1,满足wij∈[0,1],wii=0。casepi∈[n]wij<1对应于一些可转换债务被发行给银行系统以外的各方的情况。在所有i和j的退化情况下，wij=0，我们的模型本质上崩溃为Glasserman和Nouri(2016)\'Smodeln的独立副本。我们考虑一个静态模型，其中所有债务都同时解决。分析这一背景所面临的挑战是均衡价格=(s，..，sn)对自身的以下依赖关系：银行i是否转换，取决于它的股票价格是高于还是低于Li。然而，股票价格是高于还是低于李德森，拥有股票的价值--这本身取决于银行i是否转换。这个问题已经在以前研究的单一银行环境中出现。在我们的多银行设置中，有一个额外的复杂层，因为银行的转换和股票价格是相互关联的。每个银行的价值取决于该银行是否从其他银行获得股票或现金。均衡概念假定银行集合[n]分为破产银行(B)、转换银行(C)和健康银行(H)，我们说价格向量s=(s，)。..,sn）和资产向量=(a，....,an）形成一个（B,C,H）-均衡候选者，如果他们解以下方程组:(1+mi)si=ai+xj∈Cwijmjsj+xj∈Hwijcj，对于所有i∈B(R)C(1)si=ai-ci+xj∈Cwijmjsj+xj∈Hwijcj，对于所有i∈H(2)方程（1）指出，转换银行发行股票的总价值(1+mi)si等于资产加上银行从转换银行获得的股票加上银行从健康银行获得的现金。对于一个健康的银行，如（2）所述，有两件事是不确定的：左手边的股票总数较少，右手边的债务CII被偿还。破产银行也包括在等式（1）中。在他们的情况下，如果银行不破产，我们不能严格地解释为股票价格，而应该解释为股票价格。为了简单起见，我们在下面称s为股票价格的向量。a（B,C,H）-均衡候选（a,s）是a（B,C,H）-均衡，如果划分（B,C,H）与价格与阈值li的关系是一致的：在均衡中，我们必须有B={isi<0},C={i0≤si≤li}和H={isi>li}。破产银行的真实股票价格当然是零。注意，对于一个bank j∈B，对于任何其他bank i6=j，Sj2的值都不出现在（1）或（2）的右手边。此外，如果从（1）得到的sICOMPUT对于一个组i∈B是负的，那么从（2）得到的sICOMPUT也是负的。

因此，负sifrom(1)暗示了转换和健康都不是破产的可行选择。作为一个结果，我们证明了对于每一个股票价格向量s∈Rn，存在一个唯一的资产价值向量和一个破产银行、转换银行和健康银行的划分。引理1对于每一个s∈Rn，存在一个[n]的唯一划分(B，C，H)和一个资产价格向量a，使得(a，s)是一个(B，C，H)-均衡。具体而言，划分（B,C,H）由B={isi<0},C={i0≤si≤li},H={isi>li}给出，资产价格向量由该划分（B,C,H）的线性系统（1-2）的唯一解a给出。引理的思想简单地说，siin与0和LIN的关系的位置决定了银行i是否应该破产、转换或保持健康。然而，一旦所有银行都获得了这些信息，我们就知道了划分，从s计算a就简化为求解线性系统（1-2）。引理表明存在一个映射Φ:Rn→Rn，它将股票价格向量映射到唯一的资产价值向量，从而使它们在均衡中合理化。因此，从股票价格到资产价值的映射Φ易于理解和计算。不幸的是，在实践中，重要的是这种映射的反面--从资产价值到股票价格。给定一个已实现的资产价值向量，是否存在唯一的股票价格向量s使得Φ(s)=a？如果不是这样，那么均衡股价可能存在多个候选值，或者可能存在非均衡状态。这个问题背后的基本原理如下：我们考虑一个周期市场模型。在这一步骤中，所有银行的资产价值（或资产减去负债价值）实现到一定的a∈RN。在下一步，市场希望为银行达成均衡的股票价格。如果一个唯一的均衡存在，这就是市场将会发现的。如果存在多重均衡，市场是混乱的。如果不存在均衡，市场是不可预测的。只考察(1-2)，看起来a和s之间的关系似乎是线性的。然而事实上，由于分区(B，C，H)，它是分段线性的。平衡分区可以很容易地从s中读取，但不能从A中读取。这使得从MA到s的映射比从s到A的映射更需要分析。对这种不对称的直觉是直截了当的。银行i是否健康，转换或破产只取决于股票价格SI。然而，由于相互联系，股票价格几乎依赖于许多银行的资产价值。重写到目前为止的问题，我们看到均衡的存在性和唯一性问题可以归结为映射Φ的结构性质。如果映射Φ是从Rn到Rn的满射，即对于每一个资产值a∈Rn，存在一个股票价格向量s∈Rn，使得a=Φ(s),均衡的存在性成立。超额利润本身并不意味着均衡的唯一性，即在超额利润条件下，a可能是一个以上股票价格向量唯一的合理化资产价值向量。如果映射Φ是从Rn到Rn的双射，即对于每一个a都存在唯一的s，使得a=Φ(s),我们就有存在唯一性。为了更好地理解映射Φ，我们需要引入一些加法。给定一个向量v=(v,...,vn)和一个集合F[n]，我们用vF∈Rnthevector表示，它由(vF)i=vifor所有i∈F，vi=0所有i/∈F。对于任意向量v∈Rn，我们用Diag(v)表示Rn×n中具有对角项v的对角矩阵。我们用e=(1，..，1)∈Rn表示所有1向量，用ei=e{i}表示除位置i中的a1以外的所有为零的向量。对于给定的划分(B，C，H)，条件（1）和（2）可以概括为asa=s+Diag(mB)s+(I-W)Diag(mC)s+(I-W)CH。

（3）因此，对于给定的划分（B,C,H）,a是s的一个αne函数，我们有a=LB,Cs+BH，其中LB,C=I+Diag(mB)+(I-W)Diag(mC)和BH=(I-W)CH。由于Atpi∈[n]wij≤1,mj>0,矩阵LB严格对角占优，因而是满秩可逆的。这表明，对于给定的分割anda和给定的s,向量a是唯一确定的。3均衡分析3.1回顾到目前为止的一个主要观察是，股票价格的任何向量都决定了破产银行、转型银行和健康银行的唯一相关分割。对于给定的划分（B,C,H）,用SB,C,H表示导致这个划分的股票价格向量的集合，即SB,C,H={ssi<0 For i∈B,0≤si≤lifor i∈C,si>lifor i∈H},显然SB,C,H构成了一个Rn到3n个不相交集的划分。我们用AB,C,H表示SB,C,HunderΦ.的象，即AB,C,H=Φ(SB,C,H)={LB,Cs+bHs∈SB,C,H}（4）,因为在前面的讨论中，Φ=LB,Cs+bHfor s∈SB,C,H.无论映射Φ是满射还是双射，我们都需要了解集AB,C的并在什么条件下盘旋于整个空间RN的所有可能的分块，而在什么条件下这个覆盖是不相交的。作为一个起点，注意集合SB，C，Hare多面体和集合AB，C，Hare a的ne变换-因此也是多面体。其原因是Φ对SB,C,Hisan A\\ne函数的限制如（4）所示，对于n=2的情形，图1给出了股价和资产值各自空间中的集合SB,C,H（左面板）和关联集合AB,C,H=Φ(AB,C,H）（右面板）。突出显示的是中间两家银行转换的集合(CC)，左上角银行1破产和银行2健康的集合(BH)。这两个集合分别对应于（B,C,H）=(θ,{1,2},)和图1：映射Φ.参数分别为m=m=1,C=4,w=w=0.75和l=l=8。股票价格空间显示在左边，资产价值空间显示在右边。（B,C,H）=（{1},μ,{2}）。我们看到两个突出显示的集合AB、C、Hare重叠，这表明对于这个参数星座，映射Φ是（满射但）不是双射。因此，资产价值的组合可能产生不止一个均衡分割，从而产生不止一个均衡股票价格向量。本文的一个主要贡献是根据银行选择的转换阈值，给出了该模型均衡存在唯一性的精确条件。例如，图1中描述的情况是存在性和非唯一性的情况之一。在本节的其余部分，我们将为two bank案例说明这些条件，并介绍必要的术语。作为步骤，比较两个候选股票价格在转换和不转换的情况下（1-2）,sci=ai-misci+xj∈Cwijmjsj+xj∈Hwijcj,shi=ai-ci+xj∈Cwijmjsj+xj∈Hwijcj。这是给第一银行的债权人的。我们认为，如果债权人在边际情况下处于转换和不转换之间，银行i设定的阈值是公平的，即对于转换，阈值为Si=Li。因此，组i的公平阈值由ci=mili给出，即li=ci/mi。我们说，如果LI>CI/MI，即如果在阈值上的转换对应于银行原始股票持有者向债权人的财富转移，则i银行设定的阈值是超级公平的。在上面的数值例子中，公平阈值由li=ci/mi=8给出，因此图1中描述的平衡存在性和非唯一性对应于超公平情况的一个例子。

更一般的图解是givenin图2，它显示了发行债务的直接选择在资产价值空间中的划分。图2：平衡点的不存在性、唯一性和多重性，参数分别为m=m=1,w=w=0.75和l=l=8。信贷量在资产价值空间的(a)中为(c，c)=(8,8)，在(b)中为(c，c)=(12,12)，在(c)中为(c，c)=(4,4)，因此均衡的存在性和唯一性。中间面板对应于两家银行的次公平阈值，显示了一个不重叠的带间隙的分区。因此，每当平衡存在时，它都是唯一的。然而，存在着资产价值的组合，这些组合不存在于集合AB、C、H中的任何一个。对于这些资产价值，不存在均衡股价。右边的面板，对应于两家银行的超公平阈值，显示了一个重叠的分区。在这种情况下，每一个资产价值星座都导致至少一个均衡股价向量，但在某些情况下，我们看到对应于多个均衡的重叠。例如，（仅）集合HC和CH重叠的wesee区域。在这里，一家银行必须转换非均衡来拯救另一家银行--但不确定是哪一家银行。我们在本节结束时预览了我们对n银行案例的主要结果，并将其划分为公平、超级公平和次公平市场。o如果所有银行都设置公平阈值，任何资产价值向量都存在唯一的均衡。我们称之为公平情形。o如果所有银行都设定公平或超公平的阈值，那么任何资产价值向量都存在一个均衡的股票价格。我们称之为超公平情形。o如果某银行设定了一个次公平阈值，那么当均衡股价存在时，存在一个资产价值向量。我们称之为次公平情形。注意，次公平情形被定义得更宽泛一些：假设一些银行设置公平阈值，一些银行设置超公平阈值，而另一些银行设置（严格的）次公平阈值。那么我们说我们处于次公平情形，因为我们不存在均衡，这比超公平阈值所暗示的非唯一性更严重。命题1假设我们处于次公平情形，即存在一个具有LI<CI/MI的银行i。那么存在一个向量a∈Rn，使得对于所有s∈RnΦ(s)6=a。证明背后的直觉是直截了当的。当除i以外的所有银行的资产价值都远远高于转换阈值时，可以孤立地研究i银行的可能转换，因为所有其他银行只能是健康的非均衡。不存在性之后是与Sundaresan和Wang(2015)、Glasserman和Nouri(2016)的单一银行模型相同的论点。图3显示了发行债务的非对称选择在资产价值空间中的划分。在左边的两个面板中，银行1处于公平情况，而银行2分别处于超级公平和次公平情况。在右边的面板中，银行1是超级公平，而银行2是次公平。我们看到，本质上，一家银行的选择不能解决因另一家银行的回声而可能出现的问题。即使只有一家银行有一个不公平的门槛，也会有直接的溢出效应。例如，在左面板中，我们观察到CC和BH集合之间的重叠，对应于具有两个可能均衡的情况：要么两个银行都转换，要么银行1破产，而银行2健康。因此，在一个均衡中，第二个银行转换为拯救第二个银行。在另一个平衡中，情况并非如此。(a)公平/超级公平(b)公平/次公平(c)超级公平/次公平图3：平衡不存在和多重的不对称例子。参数是m=m=1，w=w=0.75和l=l=8。

3.2公平情形下均衡的存在唯一性下一步，我们证明了在公平情形下，即当阈值为li=ci/mifor all i时，股票价格到资产价值的映射φ是满的。这意味着，对于每一个资产价值向量a，我们可以找到一个股票价格向量，即a是唯一的资产价值向量，它使s合理化。我们的存在性证明依赖于下一个给出的中间值定理的多元版本。结果是Poincar e-Miranda定理的推论，而Poincar e-Miranda定理本身是Brouwer闭点定理的等价公式。命题2设f:Rn→Rn,f(x)=(f(x，)。..,xn）,...,fn（x,...,xn))是一个具有以下性质的连续函数：(i)对于所有i∈[n],fi(x)在xi中弱增，在xj中弱减，j6=i。(ii)对于所有i∈[n],我们有limt→∞fi(te)=∞和limt→∞fi(-te)=-∞。那么f是满射的，即对于每个y∈rn，存在x∈rn，使得f(x)=y。这个命题是一个观察的多元版本，即当x到达±∞时，一个连续的单变量函数f(x)到达±∞必须经过每个点。为了保证一个连续的多元函数通过每一个向量，我们需要假设一些更多的结构。在(i)中，我们假定所有分量都是单调的。在(ii)中，我们假设，本质上，当x的所有组成部分都达到±∞时，那么f的所有组成部分都达到±∞。在我们的可转换债务设置中，这个条件成立，因为如果银行i自己的资产是正的还是负的，其他银行的资产价值就与银行i的地位无关。原因很简单，借入的金额是cjarefinite的，转换只发生在中间的股票价格价值。我们在我们的设置中应用命题2，验证了在公平的情况下，函数Φsatis包含了它的所有要求。这里的大部分工作来自于验证φ是连续的。一旦证明了这一点，单调性(i)和(ii)就很容易得到了，因为Φ是一个局部线性函数。命题3在fair情况下，li=ci/mifor所有i∈[n]，映射Φ是满射连续的。因此，对于每一个资产价值向量a∈Rn，存在[n]的一个分块(B，C，H)和一个股票价格向量s，使得(a，s)是一个(B，C，H)-平衡点。这个命题的形式假定fii在xi中增加，在xj中减少，j6=i是我们这里所需要的。当条件(ii)适当地适用时，条件(i)可以很容易地放宽到所有分量中的分量都是增加或减少的函数。为了总结我们对公平情形的分析，我们证明了映射Φ不仅是满射的，而且是内射的。这里的主要问题是φ的分量在一个坐标系中增加，而在其他坐标系中减少。因此，人们可能会担心，在两个方向上的运动可能会相互抵消。我们依靠矩阵LB,Cto的严格对角占优性证明这不可能。命题4在Li=ci/mifor所有i∈[n]的公平情形下，映射φ是内射的，因而也是双射的。因此，对于每一个资产价值向量a存在一个[n]的唯一划分（B,C,H）和一个股票价格向量s，使得（a,s）是一个(B,C,H）-均衡。这个二元性结果证明了均衡的存在性和唯一性：对于任何一个资产价值向量a都存在一个均衡股票价格的唯一匹配向量。3.3超公平情形下均衡的存在性在本节中，我们证明了当所有银行都有设定的公平或超公平阈值时，总是存在一个均衡，li≥ci/mifor所有i∈[n]。